文档文本内容
第12 讲 整式
内容导航
01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向
02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理
03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解
题型1 单项式的判断
题型2 单项式的系数、次数
题型3 写出满足某些特征的单项式
题型4 单项式规律题
题型5 多项式的判断
题型6 多项式的项、项数或次数
题型7 多项式系数、指数中字母求值
题型8 将多项式按某个字母升幂(降幂)排列
题型9 整式的判断
题型10 单项式、多项式、整式的分类
04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固
关键词
学习目标导航
单项式、多项式、整
式、系数、次数、升
幂排列、降幂排列。
1. 理解单项式、多项式、整式的概念，能准确区分整式与分式。
2. 掌握单项式的系数、次数，多项式的项、常数项、次数等核心概念，并能
准确指出。
3. 能将一个多项式按某一字母的升幂或降幂排列，培养规范整理的数学习
惯。
4. 经历从具体数到字母表示数的抽象过程，体会用整式刻画数量关系的简洁
性与一般性。
学习重点：单项式与多项式的相关概念（系数、次数、项），以及整式的识别。
学习难点：准确确定单项式的系数与次数（特别是含字母系数、指数为1 或0 的情况），以及多项式
的次数（多项式中次数最高项的次数）和项的确定（注意符号）。
知｜识｜框｜架
知识点
01
单项式的概念、系数与次数
1.单项式的概念
如
，
，0，它们都是数与字母的积，像这样的式子叫单项式，单独的一个数或一个字母也
是单项式．
【注意】（1）单项式包括三种类型：①数字与字母相乘或字母与字母相乘组成的式子；②单独的一个
数；③单独的一个字母．
（2）单项式中不能含有加减运算，但可以含有除法运算．如：
可以写成
。但若分母中含有字
母，如
就不是单项式，因为它无法写成数字与字母的乘积．
2.单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数．
（1）确定单项式的系数时，最好先将单项式写成数与字母的乘积的形式，再确定其系数；
（2）圆周率π 是常数．单项式中出现π 时，应看作系数；
（3）当一个单项式的系数是1 或-1 时，“1”通常省略不写；
（4）单项式的系数是带分数时，通常写成假分数.
3.单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数．单项式的次数是计算单项
式中所有字母的指数和得到的，计算时要注意以下两点：
（1）没有写指数的字母，实际上其指数是1，计算时不能将其遗漏；
（2）不能将数字的指数一同计算．
知｜识｜精｜讲
【易错提醒】
单项式易错警示：数字与字母乘积（单独数或字母也是）。系数指数字因数，带符号（如-3x 系数-3）。次
数是所有字母指数和（如x2y 次数3）。注意：π 是数字非字母，指数不计数；常数次数为0。
即时即练1．在代数式
，
，
，
，a，0，
，
中，单项式的个数是（）
A．4
B．5
C．6
D．7
2．你来确定单项式
的系数是________，次数是________．
知识点
02
多项式的概念、系数与次数
1.多项式的概念：几个单项式的和叫做多项式．
2. 多项式的项：每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项．
【注意】（1）多项式的每一项包括它前面的符号．
（2）一个多项式含有几项，就叫几项式，如：
是一个三项式．
3. 多项式的次数：多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数．
【注意】（1）多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中次数最高的单项式的次数．
（2）一个多项式中的最高次项有时不止一个，在确定最高次项时，都应写出．
【易错提醒】
多项式易错警示：几个单项式的和。次数指最高次项的次数（如x2y+3x 次数3）。项要带符号（如第二项
是-2x）。常数项没有字母，次数为0。勿将单项式系数（数字因数）与多项式次数混淆。
即时即练1．在式子
，−1，
，
，
，
，4 x中，多项式有（）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
2．把多项式
按
的降幂排列为： _______；这个多项式的次数为______；项数是
_______．
知识点
03
整式
整式的概念：单项式与多项式统称为整式．
【注意】（1）单项式、多项式、整式这三者之间的关系如图所示．即单项式、多项式必是整式，但反过
来就不一定成立．
（2）分母中含有字母的式子一定不是整式．
【易错提醒】
整式易错警示：单项式与多项式统称整式。分母中含字母的式子（如1
x 不是整式，属于分式。注意：π 是
数字，含π 的式子是整式。判断时要看字母是否在分母或根号内。
即时即练1．式子：
，
，
，
，
，0 中，是整式的有（ ）个
A．6
B．5
C．4
D．3
2．把下列代数式：
，0，
填入相应的大括号内．
单项式：{ …}；
多项式：{ …}；
整式：{ …}．
题型1 单项式的判断
【例1】下列各式：2a，
，
，
，
，
，
，
中，是单项式的有（ ）
A．7个
B．
个
C．5个
D．
个
【例2】代数式
，
，
，
，
，
，
中，单项式的个数为（ ）
A．
个
B．个
C．
个
D．个
【技巧归纳】
单项式：数与字母的积（分母不含字母）。单独一个数或字母也是单项式。判断要点：不含有加减运算，
分母中无字母。如 3x、-5、a ² 是；x/y、2x+1 不是。注意π 是数字，不是字母。
【变式1-1】下列代数式中，单项式有：（ ）
①
；②
；③
；④
；⑤
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【变式1-2】在以下的
个代数式：
，
，
，
，
，
中，单项式有（ ）个．
A．
B．
C．5
D．
题型2 单项式的系数、次数
【例3】单项式
的系数是______ ，次数是______ ．
【例4】单项式
的系数是________，次数是________．
【技巧归纳】
系数：单项式中的数字因数（带符号）。次数：所有字母指数之和。如-3x ² y 系数-3，次数3。单独数字
（如5）次数0，常数项系数本身。π 视为数字，含π 的项系数含π。注意指数为1 时省略。
【变式2-1】单项式
的系数是____________，次数是____________．
【变式2-2】单项式
的系数是______，次数是______．
题型3 写出满足某些特征的单项式
【例5】请写出一个只含字母x，y 的五次单项式
【例6】请写出一个含有字母
和
，且次数为3 的单项式 ．
【技巧归纳】
根据系数和次数要求构造，系数是数字（可为分数），次数由各字母指数和决定。如系数为-2，次数为
3，可写-2x ³或-2xy ²。注意可含多个字母，但不含加减符号。结合题意，确保分母无字母。
【变式3-1】请写出一个只含有
、
两个字母，系数是
，次数是5 的单项式 ．
【变式3-2】系数为
，只含字母
的所有三次单项式是 ．
题型4 单项式规律题
【例7】有一列按照一定规律写出的单项式：0，3 x
2，
，
，
，…．这列单项式中的第25 个单
项式是__________．
【例8】一列单项式按以下规律排列：
，
，
，
，
，
，
，⋯，则第20 个单项
式是________．
【技巧归纳】
观察序号与系数、字母指数的变化规律。系数多为等差或等比，指数常与序号有关。写通项时用n 表示序
号，注意符号交替用(-1)n。如第n 个单项式：(-1)n·n·xn。代入验证前几项是否正确。
【变式4-1】一组按规律排列的代数式为：a
2，
，
，
，
，⋯，第
个代数式为____．
【变式4-2】按一定规律排列的一组代数式：
，
，
，
，
，…，则第n 个
式子是_______________．
题型5 多项式的判断
【例9】下列代数式中，是多项式的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【例10】在代数式
、
、
、5、
、
中，多项式有（ ）
A．2 个
B．3 个
C．4 个
D．5 个
【技巧归纳】
多项式：由几个单项式相加或相减组成。判断标准：含加减运算，分母中不含字母。如3x ²-2x+1 是；
1/(x+1)不是。注意可以合并同类项后看项数，如x ²+3x-x ²=3x 是单项式。所有整式都是单项式或多项式。
【变式5-1】在代数式
中，多项式的个数是（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【变式5-2】在下列式子中：
、
、
、
、
、
，多项式有（ ）个．
A．2 个
B．3 个
C．4 个
D．5 个
题型6 多项式的项、项数或次数
【例11】多项式
的最高次项的系数为_____，常数项为_____．
【例12】多项式
是_____ 次_____ 项式，最高次项是_____ ．
【技巧归纳】
项：多项式中的每个单项式（包括符号）。项数：项的个数。次数：所有项中次数最高项的次数。如
3x ² y-2x+1：项分别为3x ² y、-2x、1，项数3，最高次项3x ² y 次数3。常数项次数0。找准符号。
【变式6-1】多项式
的最高次项是______，第二项的系数是______，第二项的次数是______．
【变式6-2】多项式
是由单项式_______，_______，_______的和组成的，它的次数为_______．
题型7 多项式系数、指数中字母求值
【例13】若多项式
是关于x 的五次二项式，则
．
【例14】已知关于x 的多项式
是二次三项式，则
.
【技巧归纳】
根据多项式次数或项数条件列方程。如多项式xm+1-3x+2 为二次三项式，则m+1=2 得m=1。若某项不存
在，则其系数为0（如无xy 项，则系数=0）。注意合并同类项后再判断，防止被表面项数误导。
【变式7-1】若多项式
是关于
的三次多项式，则多项式
的值为 ．
【变式7-2】若多项式
是关于a，b 的五次二项式，则
的值为 ．
题型8 将多项式按某个字母升幂(降幂)排列
【例15】将整式
按x 降幂排列为 ．
【例16】将多项式
按x 的降幂排列的结果为 ．
【技巧归纳】
选定字母，按该字母指数从小到大（升幂）或从大到小（降幂）排列。常数项视为指数0。每项保持符
号，移项时注意正负号也跟它一起移动。合并同类项后可简化。如x ²-2x+1 按x 降幂仍是原式。
【变式8-1】把多项式
按x 的降幂排列: ．
【变式8-2】把
按
降幂排列 ．
题型9 整式的判断
【例17】代数式
，
，x + y，
，
中，是整式的有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【例18】在代数式
，
中，整式有（ ）
A．7 个
B．6 个
C．5 个
D．4 个
【技巧归纳】
整式：单项式与多项式的统称，分母中不含字母。判断标准：式子由数、字母通过乘除（除数可为字母？
注意：分母含字母则不是整式）和加减运算组成，不含除法分母字母。
【变式9-1】在式子10，
，
，
，
中，整式的个数为（ ）
A．
B．
C．5
D．
【变式9-2】在代数式
，
，
，
，
，
中，整式有（ ）．
A．5 个
B．4 个
C．3 个
D．2 个
题型10 单项式、多项式、整式的分类
【例19】将下列代数式的序号填在相应的横线上．
①
；②
；③
；④0；⑤
；⑥
；⑦
；⑧
；⑨x
2．
(1)单项式：________．
(2)多项式：________．
(3)整式：________．
【例20】把下列各式分别填在相应的大括号里：
4，1
x +2，
，
，
，2 x−3，
，
单项式：{ …}；
多项式：{ …}；
整式：{ …}
【技巧归纳】
整式包含单项式和多项式。单项式：无加减号；多项式：有加减号。判断时先看分母有无字母，无则是整
式。再按有无加减号区分单项式/多项式。常数也是单项式。含根号字母的式子一般不是整式。
【变式10-1】把下列代数式分别填在相应的大括号内：
，
，
，
，
，
，
．
单项式：{ …}；
多项式：{ …}；
二次二项式：{ …}；
整式：{ …}．
【变式10-2】把下列代数式的序号填入相应的横线上：
①
；③
；④
；⑤0；⑥
；⑦
；⑧
；⑨
；⑩x
2 ．
(1)单项式：_______；
(2)多项式：_______；
(3)整式：_______；
(4)二项式：_______．
一、单选题
1．在代数式
，
，
，
中，单项式的个数是（ ）
A．个
B．
个
C．个
D．
个
2．一个单项式的系数是2，次数是3，则下列符合条件的单项式是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．下列结论正确的是（ ）
A．单项式
的系数是
B．单项式
的次数是6
C．单项式
没有系数
D．多项式
是二次三项式
4．多项式
是关于x 的二次三项式，则m 的值是（ ）
A．
B．
C．2
D．2 或
5．观察下列单项式：
，
，
，
，
，…，则第
个单项式是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
6．单项式
的系数是_______．
7．把多项式
按字母
的降幂排列是__________．
8．
；
；
；
；
；
；0；
其中单项式有________个，多项式有________个．
9．若多项式
是关于x，y 的三次多项式，则
______．
10．我国古代的天元式可以用来表示多项式，在未知数的一次项旁标注“元”字，未知数的其他幂由与
“元”的相对位置确定，高次幂在上，低次幂在下．如图1 中的天元式表示多项式
，
则图2 表示的多项式的一次项系数为__________．
三、解答题
11．请把下列整式分类填入下表，并完成表格．
，
，
，
，
，
，
，
．
单项式
系数
次数
多项式
次数
项数
常数项
单项式
系数
次数
多项式
次数
项数
常数项
1
1
2
1
5
2
2
3
0
3
2
2
0
0
2
3
12．将多项式
按下列要求进行排列：
(1)按a 的升幂排列；
(2)按b 的降幂排列．
13．已知关于x，y 的多项式
是五次四项式（m、n 为有理数），且单项式
的次数与该多项式相同．
(1)求m，n 的值．
(2)将这个多项式按x 的降幂排列．
14．代数式：①
；②
；③
；④
；⑤
；⑥
；⑦
．
(1)请把上述代数式的序号分别填在相应的圆圈内：
(2)其中次数最高的多项式是______次多项式；
(3)其中次数最高的单项式的次数是______，系数是______．
15．把下列各代数式的序号分别填在相应的横线上：
下列代数式中哪些是单项式？哪些是多项式？哪些是整式？．分别将序号填入所属的横线上．
①7，②
，③
，④
，⑤
，⑥
，⑦
，⑧
，⑨
．
单项式：__________；
多项式：__________；
二次三项式：__________；
整式：__________；
16．观察下列各单项式：
根据你发现的规律：
(1)请你写出第9 个单项式为 ，第n 个单项式为 ．
(2)请你求出当
时，第9 个单项式与第10 个单项式和的值．
