文档文本内容
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第18 讲多边形和圆的初步认识
内容导航
01 预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向
02 教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理
03 题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解
题型1 多边形的概念与分类
题型2 多边形的对角线的条数问题
题型3 多边形截角后的边数问题
题型4 对角线分成的三角形个数问题
题型5 圆的基本概念辨析
题型6 圆心角概念辨析及简单运算
题型7 圆的周长和面积问题
04 过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固
关键词
学习目标导航
多边形、正多边形、对
角线、圆、扇形、弧、
圆心角、顶点、边。
1. 在具体情境中认识多边形、正多边形、圆、扇形，能从现实世界中抽象出
平面图形。
2. 掌握多边形的顶点、边、内角、对角线等概念，了解n 边形的顶点、边、
内角个数。
3. 理解圆、弧、扇形、圆心角的概念，知道圆心角与扇形面积的关系。
4. 能根据扇形与圆的关系求扇形的圆心角的度数，在活动中发展有条理的思
考和表达能力。
学习重点：多边形、正多边形、圆、扇形等有关概念的理解。
学习难点：多边形对角线条数规律的探究（过n 边形一个顶点有n-3 条对角线，总条数为n(n-3)/2），
以及根据扇形和圆的关系求扇形的圆心角的度数。
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知｜识｜框｜架
知｜识｜精｜讲
知识点01 多边形
1.定义：由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭平面图形。
2.相关概念：顶点是相邻两条边的公共端点；边是组成多边形的各条线段；内角是相邻两条边所组成的角；
对角线是连接不相邻两个顶点的线段。
3.性质：n 边形有n 个顶点、n 条边、n 个内角。从n 边形的一个顶点出发，可以引出（n-3）条对角线，n
边形对角线的总条数为n(n - 3)/2（n≥3，且n 为整数）。
4.正多边形：各边相等、各角也相等的多边形叫作正多边形。
【易错提醒】
多边形易错警示：由若干条不在同一直线上的线段首尾顺次相接的封闭图形。注意：凸多边形所有对角线
在内部，凹多边形有在外部的。n 边形有n 条边、n 个顶点、n 个内角。对角线总数݊
⥨݊െ͵ሻ
͵
，勿除以2 时漏
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项。三角形是最简单多边形。
即时即练1．过n 边形的一个顶点最多可以画出7 条对角线，则n 的值是
．
3．某中学八年级数学课外兴趣小组在探究：“ n 边形(
3)
n
共有多少条对角线”这一问题时，设计了如下表
格．请你完成探究过程并解决问题：
多边形的边数
4
5
6
…
n
从多边形的一个顶点出发
1
2
______
…
_____
多边形对角线的总条数
2
5
______
…
_____
(1)请在表格中的横线上填上相应的结果；
(2)十边形有__________条对角线；
(3)过多边形的一个顶点的所有对角线条数与这些对角线分多边形所得的三角形个数的和可能为2023 吗？
若能，请求出这个多边形的边数；若不能，请说明理由．
多边形的边数
4
5
6
…
n
从多边形的一个顶点出发
1
2
3
…
9
多边形对角线的总条数
2
5
3
n
…
(
3)
2
n n
知识点02 圆
1.定义：平面上，一条线段OA 绕着它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 所形成的图形。
2.相关概念：圆心是固定的端点O；半径是线段OA；圆弧是圆上任意两点间的部分；扇形是由一条弧和经
过这条弧的端点的两条半径所组成的图形；圆心角是顶点在圆心的角。
3.扇形圆心角的度数：将一个圆分割成若干个扇形，这些扇形的圆心角度数之和等于360°，每一个扇形圆
心角的度数=360°×这个扇形的圆心角占周角的百分比。
【易错提醒】
圆初步认识易错警示：圆是平面内到定点距离等于定长的所有点组成的图形（曲线）。注意：圆是封闭曲
线，不是圆面。半径、直径是线段，直径是半径的2 倍。弦不一定是直径，弧分优弧、劣弧。圆心确定位
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置，半径确定大小。
即时即练1．下列说法：①直径是弦；②半径相等的圆叫同心圆；③长度相等的两条弧是等弧．其中正确
的是（
）
A．②③
B．①②
C．①③
D．①
2．某中学原计划修一个半径为10 米的圆形花坛，为使花坛修得更加美观，决定向全校征集方案，在众多
方案中最后选出两种方案：
方案A 如图1 所示，先画一条直径，再分别以两条半径为直径修两个圆形花坛；
方案B 如图2 所示，先画一条直径，然后在直径上取一点，把直径分成2：3 的两部分，再以这两条线段为
直径修两个圆形花坛；（花坛指的是图中实线部分）
(1)如果按照方案A 修，修的花坛的周长是．（保留π）
(2)如果按照方案B 修，与方案A 比，省材料吗？为什么？（保留π）
(3)如果按照方案B 修，学校要求在5 天内完成，甲工人承包了此项工程，甲每天能完成工程的1
15 ，他做了
1 天后，发现不能完成任务，就请乙来帮忙，乙的速度是甲的2 倍，乙加入后，甲的速度也提高了
1
2 ，结果
正好按时完成任务，若修1 米花坛可得到10 元钱，修完花坛后，甲，乙各得到多少钱？（π取3）
题型1 多边形的概念与分类
【例1】如图所示的图形中，多边形的个数为（
）
A．2
B．3
C．4
D．5
【例2】下列多边形中，不是凸多边形的是（
）
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A．
B．
C．
D．
【技巧归纳】
多边形：由n 条线段首尾顺次连接组成的封闭图形，n≥3。分类：凸多边形（对角线均在内部）和凹多边形。
正多边形：各边相等、各角相等。
【变式1-1】下列图形中不是多边形的是（
）
A．
B．
C．
D．
【变式1-2】下列图形中，属于多边形的有（
）
A．2 个
B．3个
C．4 个
D．5个
题型2 多边形的对角线的条数问题
【例3】若一个多边形从一个顶点出发可引出6 条对角线，则这个多边形是
边形．
【例4】过某多边形的一个顶点可以引2024 条对角线，则这个多边形的边数是
条
【技巧归纳】
n 边形对角线总数=n(n-3)/2。从每个顶点可作(n-3)条对角线，不重复则总数除以2。已知对角线条数求边数：
解方程n(n-3)/2=d，取正整数解。如d=5 则n=5。注意三角形无对角线。若已知部分顶点连线，注意减去重
复或已算边。公式适用凸多边形。
【变式2-1】从一个多边形的任何一个顶点出发都只有4 条对角线，则这个多边形的对角线共有
条．
【变式2-2】过m 边形的一个顶点，有8 条对角线，n 边形没有对角线，五边形有p 条对角线，则
n
m
p
的
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值为
．
题型3 多边形截角后的边数问题
【例5】把一张形状是四边形的纸片剪去其中某一个角，剩下的部分的形状不可能是（
）
A．三角形
B．四边形
C．五边形
D．六边形
【例6】若一个多边形截去一个角后，变成五边形，则原来的多边形的边数可能为（
）
A．5 或6
B．4 或5
C．3 或4 或5
D．4 或5 或6
【技巧归纳】
截去一个角，边数可能不变、增加1 或减少1，取决于截线是否经过顶点。经过一个顶点，边数不变；经过
两个顶点，边数减少1；不经过顶点，边数增加1。画出不同情况。如四边形截去一角可能为三角形、四边
形或五边形。分类讨论，根据图形变化判断。常见于拓展题。
【变式3-1】若一个四边形截去一个角后，可能为（
）边形
A．4 或5
B．3 或4
C．3 或4 或5
D．4 或5 或6
【变式3-2】如图，四边形ABCD 去掉一个
D
后，剩下的新图形不可能是（
）边形．
A．三边形
B．四边形
C．五边形
D．六边形
题型4 对角线分成的三角形个数问题
【例7】如图所示的蜂巢由许多六边形构成，将六边形三角剖分，可以分割成三角形的个数为
．
【例8】若从这个n 边形的一边上任意取一点（不是顶点），分别连接这个点与其余各顶点，可以把n 边形
分成
个三角形．
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【技巧归纳】
从n 边形一个顶点出发可作(n-3)条对角线，将多边形分成(n-2)个三角形。若从不同顶点分，总数仍为n-2
（对角线互不交叉时）。若所有对角线全画，三角形总数更多，需用组合计数。基本公式：分割成n-2 个
三角形。用于面积计算。注意对角线不交叉的分法。
【变式4-1】若某多边形的一个顶点与和它不相邻的其他各顶点连接，可将多边形分成7 个三角形，则该多
边形的总对角线条数为
．
【变式4-2】如图所示，按某种方法将多边形分割成若干个三角形．图①中的三角形可分割出2 个三角形，
图②中的四边形可分割出3 个三角形，图③中的五边形可分割出4 个三角形，……．以此类推，n 边形可分
割出
个三角形．
题型5 圆的基本概念辨析
【例9】下列说法：①直径是弦；②弦是直径；③半圆是弧，弧不一定是半圆；④优弧一定大于劣弧；⑤直
径是圆中最长的弦．其中正确的说法为（
）
A．①③④
B．①③⑤
C．②③⑤
D．③④⑤
【例10】下列说法正确的是（
）
A．直径是弦，弦是直径
B．半圆是弧
C．无论过圆内哪一点，只能作一条直径
D．长度相等两条弧是等弧
【技巧归纳】
圆：到定点距离等于定长的点的集合。定点为圆心，定长为半径。直径=2 半径。弦是连接圆上两点的线段，
直径是最长弦。弧用符号⌒表示，半圆、优弧、劣弧。等圆半径相等，同心圆圆心相同。扇形由弧和两半
径围成。注意圆是曲线，不是多边形。理解直径与弦关系。
【变式5-1】下列说法：①弦是直线；②圆的直径被该圆的圆心平分；③过圆内一点P 的直径仅有一条；④
弧是圆的一部分．其中正确的有（
）
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A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【变式5-2】说法：①直径是圆中最长的弦，弦是直径；②半径相等的两个半圆是等弧；③半圆是弧，但弧
不一定是半圆；④长度相等的两条弧是等弧；⑤经过圆内一定点可以作无数条直径．其中正确的有（
）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
题型6 圆心角概念辨析及简单运算
【例11】如图，在
O 中，劣弧AB 的度数为75，则圆心角
AOB
.
【例12】如图，把一个圆分成三个扇形，你能求出这三个扇形的圆心角吗？
【技巧归纳】
圆心角：顶点在圆心的角，对应一段弧。度数等于所对弧的度数。计算弧长：l=(nπr)/180，扇形面积：S=(n
πr²)/360。若知道弧长或面积，可反求圆心角。注意度数与弧度制（初中通常用度数）。圆心角越大弧越长。
同圆中，相等圆心角所对弦相等。常用比例关系。
【变式6-1】如图，圆心角
90
AOD
BOC
．
(1)判断
AOC
和
BOD
的数量关系，并说明理由；
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(2)若
30
COD
，求
AOB
的度数．
题型7 圆的周长和面积问题
【例13】一个运动场如图，两端是半圆形，中间是长方形．这个运动场的周长是多少米？面积是多少平方
米？
【例14】如图所示，半径为1 厘米的小圆盘（娃娃脸）沿着长方形内壁，从A 点出发不停滚动（无滑动），
最后到原来的位置．小圆盘在
B 、C 、D 位置是怎样的，请你计算一下并画出示意图．
【技巧归纳】
周长C=2πr，面积S=πr²。已知半径求周长/面积，已知周长求半径r=C/(2π)。半圆周长=πr+2r，半圆面积
=πr²/2。组合图形中，用加减法求阴影面积。注意π取3.14 或分数。单位要统一。若给直径，先化半径。
常见于环形、跑道等实际问题。利用割补法转化。
【变式7-1】如图，AB 是
O 的直径，把AB 分成几条相等的线段，以每条线段为直径分别画小圆，设
2
AB
r
，
那么
O 的周长
2
L
r
，
O 的面积
2
S
r
．
(1)探究：①把AB 分成两条相等的线段，每个小圆的周长
2
1
1
2
2
2
2
2
r
L
r
L
；
②把AB 分成三条相等的线段，每个小圆的周长记作
3L ，
③把AB 分成四条相等的线段，每个小圆的周长
4L ，…
④把AB 分成n 条相等的线段，每个小圆的周长
nL ．
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分别求出
3L ，
4L ，
nL ；
(2)类比探究：仿照（1）的探索过程，当把大圆直径平均分成n 等分时，以每条线段为直径画小圆，求每个
小圆的面积
n
S 与大圆面积S 之间的关系．
一、单选题
1．下列图形中的角是圆心角的是（
）
A．
B．
C．
D．
2．下列说法正确的是（
）
A．任意两点之间的部分叫做弦
B．长度相等的两条弧是等弧
C．圆的两条弦所对的两条弧一定是等弧
D．圆上任意两点之间的部分叫做弧
3．一个扇形的圆心角是90 ，（
）个这样的扇形可以拼成一个圆
A．ʹ
B．4
C．8
4．从݊
边形的一个顶点出发作对角线，最多可将此݊
边形分成2023个三角形，则n （
）
A．2023
B．2024
C．2025
D．2026
5．小明把一个半圆平均分成12 份，拼成一个新的图形（如图）．这个新图形的周长与半圆周长相比（
）
A．半圆周长更长
B．新图形的周长更长
C．一样长
D．无法比较．
二、填空题
6．如图，该图形是_______边形，有_______条边，从一个顶点出发的对角线有_______条，把该多边形分
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成_______个三角形．
7．某新款自动驾驶汽车的环视感知系统，其八个核心传感器均匀分布在一个圆形支架上（可视为正八边形
顶点）.该系统内部信号连接时，若每两个传感器均需建立独立通道（相邻传感器间已由支架直连），则需
要额外建立的连接通道数量为______条．
8．如图，把圆形茶杯垫片沿直径剪开，得到两个近似的三角形，再拼成平行四边形，如下图所示．已知平
行四边形的底是15.7cm ，那么圆形茶杯垫片的面积是_______
2
cm ．（取3.14）
9．用对角线把多边形分成几个三角形，叫做“多边形的三角剖分”．20 世纪，数学家乌尔班发现并证明了
下面的公式：
1
4
6
n
n
D
n
D
n
（其中
n
D 表示凸n 边形的三角剖分数）．如图，凸四边形ܣ形的三，有两种剖分
方式（即：
4
2
D
），请你用上面的公式计算
6
D ______．
10．如图，将大小不同的两块量角器的零度线对齐，大、小量角器的中心分别为
1
O 、
2
O ，且
2
O 恰好在大量
角器的圆周上，设图中两圆周的交点为P ，点P 在小量角器对应的刻度为67，则点P 在大量角器上对应的
刻度为_______．（只考虑小于90的角）
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三、解答题
11．圆的有关概念：
(1)圆的两种定义方式：
（a）在一个平面内线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点ܣ随之旋转所形成的图形叫做圆，
固定的端点O叫做
．线段OA叫做
．
（b）圆是所有点到定点O的距离
定长ݎ的点的集合．
(2)弦：连接圆上任意两点的
叫做弦．（弦不一定是直径，直径一定是弦，直径是圆中最长的
弦）；
(3)弧：圆上任意两点间的部分叫
（弧的度数等于这条弧所对的圆心角的度数，等于这条弧所
对圆周角的两倍）
(4)等弧：在同圆与等圆中，能够
的弧叫等弧．
(5)等圆：能够
的两个圆叫等圆，半径
的两个圆也叫等圆．
12．如图所示，分别以AB，BC 和AC 为直径作弧．已知
8
AB
，
16
BC
．
(1)比较①②两条从点A 到点C 的路线，走哪条路更近？
(2)如果AB
a
，形的㔴⸹，那么①②两条从点A 到点C 的路线的长度相比，有什么变化呢？你得到了什么样
的结论？
13．古时候人们往往会用八卦罗盘来测量建筑的方位．小明自制了一个类似的玩具：以点O 为中心，共有
内外两圈，均可以绕着点O 旋转，外圈有A，B，C，D，E，F，G，H 8 个点将圆八等分，内圈仅有J，K
两个点，且点A，K，O，J 四点共线，连接AO
OD
，
．
(1)求
AOD
的度数；
(2)固定内圈，顺时针转动外圈一周，恰好经过6s ．求外圈只转一周且当JK 与
AOD
一边垂直时，经过多
少时间？
14．观察、探究及应用．
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(1)观察如图所示的图形并填空．
一个四边形有条对角线；
一个五边形有条对角线；
一个六边形有条对角线；
一个七边形有条对角线；
(2)分析探究：由n 边形的一个顶点出发，可作条对角线，多边形有n 个顶点，若允许重复计数，共可作条
对角线；
(3)结论：一个n 边形有条对角线；
(4)应用：一个十二边形有多少条对角线？
15．阅读与思考
连接多边形任意两个不相邻顶点的线段叫做多边形的对角线．
如图所示，过多边形的一个顶点作出所有的对角线，可以把多边形分割成若干个三角形．请仔细观察下面
的图形和表格，并回答下列问题：
多边形的顶点数/个
4
5
6
7
8
……݊
从一个顶点出发的对角
线的条数/条
1
2
3
4
5
……
①_____
分割成的三角形个数/个
2
3
4
5
6
……
②_____
(1)观察探究：请仔细观察上面的图形和表格，并用含݊
的代数式填写表格①______，②______；
(2)n 边形有n 个顶点，那么所有对角线的条数可表示为______；
(3)类比应用：数学社团共有11名同学，大家约定，春节期间每人都要给同社团的其他同学打一个电话拜年．请
问，按照此约定，数学社团的同学们一共将拨打电话多少个？
