文档文本内容
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第10 讲有理数的混合运算
内容导航
01 预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向
02 教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理
03 题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解
题型1 有理数四则混合运算
题型2 含乘方的有理数混合运算
题型3 有理数混合运算错题复原问题
题型4 程序流程图与有理数计算
题型5 算“24”点
题型6 新定义型有理数混合运算
04 过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固
关键词
学习目标导航
混合运算、运算顺序、
乘方、乘除、加减、括
号、运算律、简算。
1. 掌握有理数混合运算的运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；同级从左
到右；有括号先算括号内。
2. 能正确运用运算律（交换、结合、分配）简化有理数的混合运算。
3. 能准确进行包含加、减、乘、除、乘方及括号的多步混合运算，提高计算
能力。
4. 养成规范书写、认真审题、检验结果的良好运算习惯，培养严谨的数学态
度。
学习重点：有理数混合运算的运算顺序规则，特别是乘方与乘除、加减的优先级关系。
学习难点：在较复杂的混合运算中正确确定运算顺序，灵活运用运算律简化计算，以及避免符号错误
（特别是负号、括号的处理）。
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知｜识｜框｜架
知｜识｜精｜讲
知识点01 有理数的混合运算
（1）先乘方，再乘除，最后加减。
（2）同级运算，从左到右的顺序进行。
（3）如有括号，先算括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。在进行有理数的运算时，要分两步
走：先确定符号，再求值。
【易错提醒】
有理数混合运算易错警示：先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内。注意运算律使用可简化，但
需带符号移动。勿跳步导致符号错误或漏算。
即时即练1．下列计算正确的是（）
A．
3
2
6
B．1
1
3
0
2
2
C．
2
1
4
1
2
D．
3
23
2
1
【答案】C
【分析】本题考查有理数的乘方运算及四则混合运算，需按照先乘方、再乘除、后加减的运算顺序逐一计
算各选项，判断结果是否正确．
【详解】解：∵
3
2
2
2
2
8
6
，∴A 选项错误．
3 / 30
∵1
1
1
3
3
1
0
2
2
2
2
，∴B 选项错误．
∵
2
1
1
4
4
1
2
4
，∴C 选项正确．
∵
3
23
2
9
8
9
8
1
1
，∴D 选项错误．
故选：C．
2．计算：
(1)
1
1
3
24
12
6
4
(2)
2
1
0.5
2
8
4
【答案】(1)16
(2)8
【分析】（1）根据乘法的分配律求解即可；
（2）根据含有乘方的有理数混合运算计算即可；
【详解】（1）解：原式
1
1
3
24
24
24
12
6
4
2
4 18
16
．
（2）解：原式
1
4
4
8
2
1
4
4
2
8
．
3．下面是学习《有理数》时，数学老师出示的问题和两名同学的解答过程．
计算：
2
3
4
5
2
4
嘉嘉：
解：原式
16 5
8
4
第一步
80
2
第二步
80
2
第三步
78
第四步
琪琪：
解：原式
16 5
8
4
第一步
80
8
4
第二步
88
4
第三步
22
第四步
(1)请指出两名同学的错误分别在第几步；
(2)请你写出正确的解答过程．
【答案】(1)嘉嘉的错误在第一步，琪琪的错误在第三步
4 / 30
(2)见解析
【分析】（1）根据有理数的混合运算法则分析判断即可．
（2）先计算乘方，再计算乘除，最后计算加减运算即可．
【详解】（1）解：嘉嘉的错误在第一步，琪琪的错误在第三步．
（2）解：原式
16 5
8
4
80
2
80
2
82
．
题型1 有理数四则混合运算
【例1】计算：
(1)
20
5
7
(2)
5
1
25
8
4
(3)
1
5
1
12
4
6
2
(4)
2
5
3
6
4
【答案】(1)22
(2)10
(3) 7
(4)39
【分析】（1）去括号依次加减即可；
（2）先将除法化为乘法，再计算即可；
（3）利用分配律进行简便计算即可；
（4）先计算平方、乘法、绝对值，再相加减即可．
【详解】（1）解：原式
20
5
7
22
；
（2）解：原式
8
1
1
25
40
10
5
4
4
；
（3）解：原式
1
5
1
12
12
12
3 10
6
7
4
6
2
；
（4）解：原式
2
5
3
6
4
25
18
4
25 18
4
39
．
【例2】计算下列各题：
(1)
10
7
18
11
；
5 / 30
(2)
1
7
4
2
4
1
2
25
3
5
；
(3)
11
11
5
5
13
3
5
5
11
；
(4)
3
2
1
1
2
3
8
6
2
5
．
【答案】(1) 10
(2)30
(3) 11
(4) 8.9
【分析】（1）按照从左到右的顺序进行计算；
（2）先确定积的正负，再按照乘除法的运算法则进行计算；
（3）逆用乘法分配律进行计算；
（4）根据有理数混合运算的运算法则进行计算．
【详解】（1）解：原式
10
7 18 11
10
；
（2）解：原式
9
25
4
7
2
7
3
5
30
；
（3）解：原式
11
5 13
3
5
11 5
11
5
；
（4）解：原式
1
2
9
1
6
5
1
3
9
9
0.1
6
5
8.9
．
【技巧归纳】
有理数混合运算遵循“先乘方、再乘除、最后加减，括号优先”。可先将除法化为乘法，减法化为加法。
运用运算律简化（交换、结合、分配），注意符号处理，逐步计算避免跳步。检验结果合理性。
【变式1-1】计算：
(1)
59
46
34
71
；
6 / 30
(2)
3
2
2
1
5
5
4
5
3
5
3
；
(3)
2022
3
1
3
7
1
2
4
；
(4)
2
2
1
5
3
24
3
2
8
．
【答案】(1) 50
(2) 4
(3)0
(4) 28
【详解】（1）解：原式
59
46
34
71
59
71
46
34
130
80
50
（2）解：原式
3
2
2
1
5
4
5
5
5
3
3
10
6
4
（3）解：原式
1
4
1
( 8)
4
4
4
8
0
（4）解：原式
2
1
5
9
24
24
24
3
2
8
9
16
12
15
28
【变式1-2】计算
(1)
12
18
7
15
(2)
3
4
.
1
1
1
0 5
3
(3)
1
2
1
24
2
3
4
(4)
3
1
1
25
25
25
4
2
4
【答案】(1)8
(2)
11
2
7 / 30
(3) 2
(4)25
【分析】（1）根据有理数的加减运算法则求解即可；
（2）先计算乘方和括号内的加法，再计算乘法，最后计算减法即可；
（3）先计算绝对值，再利用乘法分配律求解即可；
（4）先把原式变形为
3
1
1
25
25
25
4
2
4
，再利用乘法分配律的逆运算法则求解即可．
【详解】（1）解：
12
18
7
15
12 18
7 15
8
；
（2）解：
3
4
.
1
1
1
0 5
3
3
1
1
4
2
3
1
1
4
2
11
2
；
（3）解：
1
2
1
24
2
3
4
1
2
1
24
2
3
4
1
2
1
24
24
24
2
3
4
12 16
6
2
；
（4）解：
3
1
1
25
25
25
4
2
4
3
1
1
25
25
25
4
2
4
3
1
1
25
4
2
4
25 1
25
．
题型2 含乘方的有理数混合运算
【例3】计算：
8 / 30
(1)
3
48
2
4
；
(2)
2
3
4
30
6
4
．
【答案】(1) 12
(2)7
【分析】（1）先算乘方与括号内运算，再算除法，得出结果；
（2）先算乘方，再算乘除，最后算加减．
【详解】（1）解：原式
48
8
4
48
4
12
．
（2）解：原式
3
16
30
6
4
12
5
12
5
7
．
【例4】计算：
(1)
3
2
18
32
2
4
5
(2)
2025
1
1
2
1
8
1
7
8
3
24
【答案】(1)94
(2) 14
【分析】根据有理数混合运算的运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，计算即可，有绝对值的先
要把绝对值算出来．
【详解】（1）原式
18
32
8
16
5
18
4
80
94
；
（2）原式
1
1
2
8 1
24
7
8
3
1
1
2
7
24
24
7
8
3
1
7
3 16
7
1 13
14
．
9 / 30
【技巧归纳】
先算乘方（注意符号），再算乘除，最后加减。括号优先。将除法转为乘法，带分数化假分数。运用分配
律简化，如公因数提取。小数化分数可避免精度问题。注意底数为负数时加括号，如(-2)⁴=16。逐步计算。
【变式2-1】计算：
(1)
2
4
2
3
1
9
3
；
(2)
2
2
1
1
3
5
7
2
．
【答案】(1) 1
(2) 3
【分析】（1）先算乘方，再算乘法，最后算加减；如果有绝对值，要先做绝对值内的运算；
（2）先算乘方，再算乘法，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做
括号内的运算．
【详解】（1）解：
2
4
2
3
1
9
3
4
2
1
3
3
1
3
6
2
1
1
；
（2）解：
2
2
1
1
3
5
7
2
1
1
3
25
7
2
1
1
28
7
2
1 14
7
1
2
3
．
【变式2-2】计算：
(1)
4
7
7
2
1
6
4
8
3
．
(2)
2
2
2
4
3
2
3
9
．
10 / 30
(3)
2
1
5
1
3
1
6
9
3
．
【答案】(1)5
(2) 6
(3)
1
2
【分析】（1）先计算乘方和乘除法，再计算加减法即可；
（2）先计算乘方和括号内通分作差，再计算乘法，最后计算加减法即可；
（3）先计算括号内减法和乘方，将除法化为乘法，再计算连乘即可．
【详解】（1）解：
4
7
7
2
1
6
4
8
3
7
8
1
4
4
7
1
2
4
5
；
（2）解：
2
2
2
4
3
2
3
9
6
4
9
4
9
9
2
9
4
9
2
4
6
；
（3）解：
2
1
5
1
3
1
6
9
3
5
9
1
3
6
5
9
1
2
．
题型3 有理数混合运算错题复原问题
【例5】阅读下面题目的运算过程，并解答下列问题．
计算：
2025
2
1
1
5
1
4
0.5
6
2
3
6
解：原式
2
1
1
5
1
2
6
6
6
2
3
6
①
1
4
3
2
5
②
11 / 30
9
③
(1)上述运算过程，从第________步出现错误，错误的原因是________；
(2)写出正确解答过程．
【答案】(1)①，误将
2
4 0.5
计算为
2
2
(2)解答过程见解析
【分析】本题考查有理数的混合运算．熟练掌握运算法则和顺序，正确的计算，是解题的关键．
（1）根据运算顺序，先算乘方再算乘除可知第①步出现问题；
（2）根据先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的进行计算即可．
【详解】（1）解：上述运算过程，从第①步出现错误，错误的原因是误将
2
4 0.5
计算为
2
2 ；
（2）解：
2025
2
1
1
5
1
4 0.5
6
2
3
6
3
2
5
1
4 0.25
6
6
6
6
1 1 6 1
6
．
【例6】小明与小红两位同学计算
3
2
1
4
2
8
的过程如下：
小明：
原式
1
8
6
8
（第一步）
4
1
3
8
（第二步）
1
6
（第三步）
小红：
原式
1
16
8
8
（第一步）
1
16
8
8
（第二步）
16 1
（第三步）
16
（第四步）
(1)小明与小红在计算中均出现了错误，小明错误的步骤是第______步，小红错误的步骤是第______步．
(2)写出正确的解答过程．
【答案】(1)一、三；二、三、四
(2) 1
4
12 / 30
【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
（1）根据计算过程分析即可得解；
（2）先计算乘方，再计算乘除即可得解．
【详解】（1）解：由计算过程可得：小明与小红在计算中均出现了错误，小明错误的步骤是第一、三步，
小红错误的步骤是第二、三、四步；
（2）解：
3
2
1
4
2
8
1
16
8
8
1
2
8
1
4
．
【技巧归纳】
从错误答案倒推运算过程，对比正解，常见错误：符号漏变、乘除顺序颠倒、乘方漏括号、分配律使用不
当。先定位错误步骤（可分段计算），再修正。建议重算一遍，重点检查负号及指数运算。
【变式3-1】在学习《有理数》时，陈老师布置同学们计算课本第51页第5（13）题：
2
3
2
5
2
4
，
下面是小凯和小丽的计算过程：
小凯：
解：原式
4 5
8
4
20
2
20
2
18
第一步
第二步
第三步
第四步
小丽：
解：原式
4 5
8
4
20
8
4
28
4
7
(1)请你指出这两个人的错误各自在第几步：小凯错误在第___________步，小丽的错误在第___________步；
(2)请你写出正确的解答过程．
【答案】(1)一，三；
(2) 22 ．
【分析】本题考查了含乘方的有理数的混合运算，掌握运算法则是解题的关键．
（1）小凯第一步计算乘方时没有考虑负号，小丽第三步没有先计算除法；
（2 ）按照先乘方，再乘除，最后加减的顺序进行计算即可．
【详解】（1）解：小凯第一步计算乘方时没有考虑负号，小丽第三步没有先计算除法，
故答案为：一，三；
13 / 30
（2）解：
2
3
2
5
2
4
4 5
8
4
20
8
4
20
2
22
．
【变式3-2】下面是甲、乙两位同学计算：
4
2
1
1
1
0.4
2
3
3
的错误解法
甲同学
乙同学
错误解法
4
2
1
1
1
0.4
2
3
3
1
1 0.6
2
6
3
4
1 0.2
1 0.8
0.2
4
2
1
1
1
0.4
2
3
3
1
1 0.6
2
9
3
1 0.2
7
1
1.4
2.4
错误原因
正确解法
(1)请你分别圈出他们俩第一步出错的地方
．．．．．．．．．．．．．．．，并指出错误原因；
(2)写出正确解法．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据有理数的混合运算顺序和运算法则，即可进行判断；
（2）根据有理数的混合运算顺序和运算法则即可进行解答．
【详解】（1）解：
14 / 30
（2）解：
4
2
1
1
1
0.4
2
3
3
1
1 0.6
7
3
1
0.2
7
1 1.4
0.4
．
题型4 程序流程图与有理数计算
【例7】有一数值转换器，原理如图所示．若开始输入的值为1
，则最后输出的结果是
．
【答案】11
【分析】本题考查程序流程图和代数式求值，将1
代入流程图，进行计算即可．
【详解】解：
1
4
1
4 1
3
5
，
3
4
1
12 1
11
5
，
∴最后输出的结果是11
．
故答案为：11
．
【例8】如图是一个简单的数值运算程序，当输入的值为2
时，则输出的值为
．
【答案】5
2
【分析】本题考查了程序流程图与有理数计算，先理解运算程序为
2
2
3
x
，把2
代入
2
2
3
x
进
行计算，得
2
2
2
3
1
，因为得数不符合
1
，故再把
1
x 代入
2
2
3
x
进行计算，即可作答．
【详解】解：依题意，把2
代入
2
2
3
x
，
得
2
2
2
3
1
，
∴把
1
x 代入
2
2
3
x
，
得
5
1
2
3
1
2
，
15 / 30
故答案为：5
2
【技巧归纳】
按流程图顺序计算，入口处代入数值，依次执行运算框（加减乘除乘方）和判断框（是否满足条件）。遇
到分支按结果选择路径。注意循环结构需累加或迭代，可列表记录中间值，避免漏步。输出最终结果。
【变式4-1】如图是一个数值转换机，当输入的数字
3
n 时，按照图中的程序计算，输出的答案为
【答案】3
【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，先将
3
n 代入程序，然后按照程序图计算即可．
【详解】解：根据题意：
2
3
3
2
3
9
2
6
2
3
故答案为：3
【变式4-2】按如图所示的程序计算，若输入的数值为3，则输出的结果是
．
【答案】
1
2
/ 0.5
【分析】本题考查了有理数的运算．按照程序把3 代入进行计算，若小于或等于1
，再代入计算即可求解．
【详解】解：当输入的数值为3 时，
2
1
3
6
2
2
1
2
，
故答案为：
1
2
．
题型5 算“24”点
【例9】请选择使用“加、减、乘、除和括号”（可重复），将四个数3, 4,5,7
组成算式（每个数必须用一
次且只能用一次），使运算结果为24，你列出的算式是
．（写出一种即可）
【答案】
3
4
7
5
（答案不唯一）
16 / 30
【分析】本题考查了有理数的加减乘除运算，熟练掌握运算法则是解题关键．根据有理数的加减乘除运算
法则求解即可得．
【详解】解：因为12
2
24
，
所以列出的算式是
3
4
7
5
，
故答案为：
3
4
7
5
（答案不唯一）．
【例10】你会玩“24 点”游戏吗？从一副扑克牌（去掉大、小王）中任意抽取4 张，根据牌面上的数字，添
加“
、、、”和括号等符号进行运算，每张牌只能用一次，使得运算结果为24，其中A，J，Q，K 分别代
表1，11，12，13，小明抽到的是如下4 张牌，你凑成24 的算式是
（写出一个即可）
【答案】
6
5
7
3
24
（答案不唯一）
【分析】本题考查有理数运算在实际生活中的应用，“二十四”点的游戏要注意运算顺序与运算符号，以及
题目的要求．
【详解】解：根据题意可知答案不唯一：
如：
6
5
7
3
24
；
或
6
5
7 ] 3
24
；
或
6
5
7
3
24
；
或
[6
5
7 ] 3
24
等；
∴凑成24 的算式是
6
5
7
3
24
，
故答案为：
6
5
7
3
24
．
【技巧归纳】
常用组合：3×8、4×6、12×2、24×1；分数技巧：如(a-b÷c)×d。尝试加减乘除及括号改变顺序。从24 的
因数入手，先选两数运算得中间数，再与另两数组合。注意小括号改变运算优先级，也有(a+b÷c)×d 型。
【变式5-1】生活情境·24 点游戏有一种“24 点”游戏，其游戏规则是：任取1 至13 之间的四个自然数，将
这四个数（每个数用且只用一次，可以加括号）进行混合运算，使其结果等于24 或24
．将下面的四张扑
克牌凑成24
，结果是
24
．（注：A 表示1，K 表示13）
17 / 30
【答案】(13 1) (4
6)
（答案不唯一）
【分析】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，写出相应的算式．根据题意和题目中
的数据，可以写出一个使得结果为24
的算式，注意本题答案不唯一．
【详解】解：由题意得：(13 1) (4
6)
24
，
故答案为：(13 1) (4
6)
（答案不唯一）．
【变式5-2】从一副扑克牌（去掉大、小王）中任意抽取四张，根据牌面上的数字进行混合运算（包括加、
减、乘、除和乘方），每一张牌必须用一次且只能用一次，可以加括号，使得运算结果为24 或24
，其中
黑色扑克牌代表正数（黑桃、梅花为黑色），红色扑克牌代表负数（红桃、方块为红色），A，J，Q，K 分
别代表1，11，12，13．比如，小明抽到了黑桃7，黑桃3，红桃3，梅花7，他运用下面的方法凑成了：
7
3
3
7
24
．如果抽到的是黑桃A，红桃2，黑桃2，梅花3，则列出算式为
．
【答案】
3
2
1
2
24
(答案不唯一)
【分析】本题考查了有理数的混合运算以及正数和负数，根据题意列出算式即可，掌握相关运算法则是解
答本题的关键．
【详解】解：由题意得：
3
2
1
2
24
或
32
2 1
24
或
3
2
2
1
24
．
故答案为：
3
2
1
2
24
或
32
2 1
24
或
3
2
2
1
24
．
题型6 新定义型有理数混合运算
【例11】新定义：妙想在学习完有理数的运算后，借助有理数的运算，定义了一种新运算“※”，规定如下：
对于任意有理数a，b，满足
2
a
b
a b
ab
※
．
(1)求
2
3
※ 的值；
(2)求
5
4
2
※
※
．
【答案】(1)6
(2)480
【分析】本题考查了有理数的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
（1）根据定义的新运算进行计算，即可解答；
18 / 30
（2）根据定义的新运算进行计算，即可解答．
【详解】（1）解：由题意得：
2
3
※
2
2
3
2
3
12
6
6
；
（2）解：由题意得：
5
4
2
※
※
2
5
4
2
4
2
※
5
32
8
※
5
24
※
2
5
24
5
24
600 120
480
．
【例12】用“△”定义新运算，对于任意有理数a，b，都有
2
a b
a
ab
．例如：
2
7 4
7
7 4
21
．
(1)求
3
5
的值；
(2)若继续用“*”定义另一种新运算
2
*
3
a b
ab
b
，例如：
2
1*2
3 1 2
2
2
．求
4 * 2 3
．
【答案】(1)24
(2)20
【分析】本题主要考查了有理数混合运算；
（1）根据题干信息列出算式进行计算即可；
（2）根据题干信息列出算式进行计算即可．
解题的关键是理解题意，熟练掌握有理数混合运算法则．
【详解】（1）解：
3
5
2
3
3
5
9
15
24
；
（2）解：
4 * 2 3
2
4 * 2
2 3
*
2
4
2
3
4
2
2
24
4
20
．
19 / 30
【技巧归纳】
先理解新运算规则（如a⊗b=ab-a-b），将自定义式转化为常规有理数算式。注意运算顺序，括号优先。按
先乘方再乘除最后加减计算。可先代入具体数验证规则，再对字母表达式运算。结果化为最简形式。
【变式6-1】我们定义一种新运算：
2
§
x y
x
y
．
如
2
§
5
3
( 5)
3
25
23
3
，有理数的运算法则适用于新运算．按照上述定义计算下列各式：
(1)
7
4 §
；
(2)
1
36
2§
§
2
3
．
【答案】(1) 45
(2)76
【分析】本题主要考查了有理数混合运算；
（1）根据题干信息列式计算即可；
（2）根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可．
本题主要考查了有理数混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数混合运算法则，“先算乘方，再算乘除，最
后算加减，有小括号的先算小括号里面的”．
【详解】（1）解：
2
§7
4
7
4
49
45
4
；
（2）解：
1
36
2§
§
2
3
17
36
§
2
9
2
2
36
17
9
7
4
36
1
9
17
36
36
4
9
68 144
76
．
【变式6-2】我们定义一种新运算：
2
*
a b
a
b
ab
．例如：
2
1*3
1
3 1 3
1
．
(1)则
2*
3
______；
(2)求
2 * 2*
3
的值；
(3)若5*
5
x
，求x 的值．
20 / 30
【答案】(1)1
(2)1
(3)
5
x
【分析】本题考查了有理数的混合运算，解一元一次议程．读懂题意并理解新运算的定义式
2
*
a b
a
b
ab
是解题的关键．
（1）根据新运算的定义，代入数据即可算出结论；
（2）先把（1）得到的
2*
3
的值代入，再根据新运算的定义式，代入数据即可算出结论．
（3）根据新运算的定义，列出方程，求解即可．
【详解】（1）解：∵
2
*
a b
a
b
ab
∴
2*
3
2
2
3
2
3
4
3
6
1
．
（2）解：∵
2
*
a b
a
b
ab
又由（1）得
2*
3
1
，
∴
2 * 2*
3
2 *1
2
2
1
2
1
4 1
2
1
．
（3）解：∵
2
*
a b
a
b
ab
∴5*
5
x
2
5
5
5
x
x
5
5
25
x
x
4
20
x
5
x
21 / 30
一、单选题
1．下列运算错误的是（
）
A．
1
1
2
2
3
3
B．
2
2
3.5
7.5
C．
5
6
21
9
D．
2
3
6
【答案】C
【分析】根据绝对值、有理数乘方以及四则运算的法则逐项计算即可．
【详解】解：A、
1
1
1
2
2
2
3
3
3
，运算正确，不符合题意；
B、
2
2
3.5
4
3.5
7.5
，运算正确，不符合题意；
C、
5
6
21
30
21
9
，9
9
，运算错误，符合题意；
D、
2
3
6
，运算正确，不符合题意；
2．对于有理数a，b，定义一种新运算“△”，规定
2
7
b
a
ab
a
△
，则
5
9
△
（
）
A．77
B．77
C．63
D．13
【答案】A
【分析】本题为新定义运算题，需根据给定的运算规则，将对应数值代入公式计算求解．
【详解】解：∵
2
7
b
a
ab
a
△
，
∴
2
5
9
5
5
9
7
25
45
7
77
△
，
故选：A．
3．根据如图所示的程序，当输入x 的值为1 时，输出的y 值为（
）
A．2
B．3
C．4
D．8
【答案】C
【分析】先输入1，得到结果2
0
，再输入2
，得到结果4
0
，即可．
【详解】解：输入1，
21
2
4
2
0
，
输入2
，
2
2
2
4
4
0
，
所以输出的y 值为4．
4．“三进制”逻辑的芯片与传统的“二进制”芯片相比，三进制逻辑芯片在特定的运算中具有更高的效率．二
进制数的组成数字为0，1，二进制数
2
10110 转化为十进制数：
22 / 30
4
3
2
1
0
2
10110
1 2
0
2
1 2
1 2
0
2
22
．三进制数的组成数字为0，1，2，三进制数
3
211 转化为十进
制数：
2
1
0
3
211
2 3
1 3
1 3
22
．将二进制数
2
1110 化为三进制数为（
）
A．
3
102
B．
3
101
C．
3
111
D．
3
112
【答案】D
【分析】本题考查不同进制之间的转换，解题思路为先将二进制数转换为十进制数，再将十进制数通过除3
取余法转换为三进制数，即可得到结果
【详解】解：∵二进制数11102 的各位权值从右到左依次为
0
1
2
3
2 ,2 ,2 ,2
∴将11102 转换为十进制数得：
3
2
1
0
1 2
1 2
1 2
0
2
8
4
2
0
14
即11102 对应的十进制数为14，
接下来将十进制数14 转换为三进制，使用除3 取余法：
14
3
4
，余数为2；
4
3
1
，余数为1；
1 3
0
，余数为1；
将所得余数倒序排列，得到三进制数为
3
112
5．定义一种对正整数n 的“F”运算：①当n 为奇数时，结果为3
5
n ；②当n 为偶数时，结果为2k
n ，其中k
取使2k
n 为奇数的正整数，并且运算一直重复进行，例如，取
26
n
时，则有：
，将
49
n
进行2025 次“F 运算”的结果
是（
）
A．19
B．31
C．62
D．98
【答案】C
【分析】根据题意，依次求出每次“F 运算”的结果，发现规律即可解决问题．
【详解】解：由题知，
因为
49
n
，
所以第1 次“F 运算”的结果是3
5
3 49
5
152
n
，
第2 次“F 运算”的结果
152
19
2
8
k
n
，
第3 次“F 运算”的结果3
5
3 19
5
62
n
，
第4 次“F 运算”的结果
62
31
2
2
k
n
，
第5 次“F 运算”的结果3
5
3 31 5
98
n
，
23 / 30
第6 次“F 运算”的结果
98
49
2
2
k
n
，
第7 次“F 运算”的结果3
5
3 49
5
152
n
，
…，
由此可见，从第1 次“F 运算”的结果开始按152，19，62，31，98，49 循环．
因为2025
6
337
3
，
所以第2025 次“F 运算”的结果62．
二、填空题
6．计算：
3
2
2
8
1
________．
【答案】0
【分析】按照先算乘方，再算除法，最后算加法的顺序计算即可．
【详解】解：
3
2
2
8
1
8 8 1
=
1 1
0
．
7．已知,a b 互为相反数，,c d 互为倒数，m 的绝对值是1，则
2
1
1
3
2
2 a
b
cd
m
的值为____________．
【答案】1
2
【分析】本题考查了相反数、倒数和绝对值的性质，有理数的混合运算．
根据相反数、倒数和绝对值的性质，得到
0
a
b
，
1
cd ，
2
1
m ，代入表达式计算．
【详解】解：∵a ，b 互为相反数，
∴
0
a
b
，
∵c ，d 互为倒数，
∴
1
cd ，
∵
1
m ，
∴
1
m 即
2
1
m ，
原式
1
1
1
1
0 1
3 1
2 1
1
3
2
1
2
2
2
2
．
故答案为：
1
2 ．
8．定义新运算：对于任意有理数a 、b ，都有
2
a
b
a
b
，例如
2
3
2
3
2
7
，那么1
1
2 __________．
【答案】- 3
4
【分析】本题考查有理数的混合运算，理解新定义的运算规则，掌握有理数运算法则即可求解.
24 / 30
【详解】解：由新定义可知
2
a
b
a
b
.
将
1
2
a
，
1
b 代入得
2
1
1
1
1
2
2
1
1
4
3
4
.
9．有一种“24 点”的扑克牌游戏的规则是：任意抽四张牌，将各张牌上的数用加、减、乘、除、乘方中的几
种运算（可用括号，且各数只能用一次）列一个算式，先计算结果为“24”者获胜．现已抽出如图所示的四
张牌（A 表示1），则可算“24”点的算式是________（写出一个即可）
．
【答案】
5 1 2
8
【分析】根据题意和题目中的数字，可以写出一个结果为24 的算式，注意本题答案不唯一．
【详解】解：
5 1 2
8
5
2
8
3 8
24
10．把二进制数
2
1011001
，改写成十进制数，只要把它写成各位数字与基数2 的幂的乘积之和的形式，然
后按通常的方法进行计算即可．
6
5
4
3
2
1
0
2
1011001
1 2
0 2
1 2
1 2
0 2
0 2
1 2
64
0
16
8
0
0
1
89
，
所以二进制数
2
1011001
转换成十进制数为89．（注：规定当
0
a
时，
0
1
a ）
请通过计算将二进制数
2
110011
，改写成十进制数是__________．
【答案】51
【分析】根据题干给出的二进制转化为十进制的规则，列式计算即可．
【详解】解：
5
4
3
2
1
0
2
110011
1 2
1 2
0
2
0
2
1 2
1 2
32
16
0
0
2
1
51
．
25 / 30
三、解答题
11．计算：
(1)
2
3
2
8 14
2
(2)
112 116
34 16
48
【答案】(1) 57
(2)10080
【分析】（1）根据有理数混合运算法则进行计算，先乘方，再乘除，最后加减；
（2）根据有理数混合运算法则进行计算，有括号先算括号里面．
【详解】（1）解：原式
8 8 14 4
1 56
57
；
（2）解：原式
210
48
10080
．
12．计算：
(1)
3
1
1
1
2
4
2
4
；
(2)
3
2
2
( 10)
[
4)
1 3
2
．
【答案】(1)
1
2
(2) 968
【分析】（1）先算
3
3
9
4
2
8
，再把除法转化为乘法，用9
4
1
8
9
2
；
（2）先算中括号内为
16
1 9
2
16
8
2
16 16
32
，再算
3
10
1000
，再把两个得数相加减
即可．
【详解】（1）解：原式
3
3
9
4
2
4
9
4
8
9
1
2
；
（2）解：原式
1000
16
1 9
2
1000
16
8
2
1000
16 16
26 / 30
1000
32
968
．
13．计算：
(1) 1
1
1
1
3
4
2
12
；
(2)
2
41
1 0.5
2
3
．
【答案】(1)5
(2)
10
9
【详解】（1）解：原式
1
1
1
12
3
4
2
1
1
1
12
12
12
3
4
2
4
3
6
4
3
6
5
；
（2）解：原式
1
1
2
9
2
1
1
9
10
9
．
14．计算
(1)
5
15
2
4
；
(2)
4
5
8
60
5
6
15
；
(3)
2
2027
1
1
5
3
4
．
【答案】(1)8
(2)34
(3)0
【分析】（1）根据有理数的加减法运算计算即可；
（2）使用乘法运算律求解即可；
（3）根据含乘方的有理数混合运算法则求解即可．
【详解】（1）解：
5
15
2
4
5 15
2
4
27 / 30
8
；
（2）解：
4
5
8
60
5
6
15
4
5
8
60
60
60
5
6
15
48
50
32
34
；
（3）解：
2
2027
1
1
5
3
4
1
1
5
9
4
1
1
4
4
1 1
0
．
15．计算：
(1) 1
3
1
1
8
3
2
3
．
(2)
1
5
7
24
6
4
12
．
(3)
2
1
2
3
1
8
9
4
5
2
．
(4)
3
2
2
3
1
4
2
．
【答案】(1) 7
(2) 12
(3) 8
(4)1
【详解】（1）解：1
3
1
1
8
3
2
3
1
3
3
8
3
2
4
2
3
3
4
4
1
3
8
8
3
2
9
7
；
（2）
1
5
7
24
6
4
12
28 / 30
1
5
7
24
24
24
6
4
12
4
30 14
12
；
（3）
2
1
2
3
1
8
9
4
5
2
5
2
9
8
9
4
5
4
9
9
4
4
4
4
8
；
（4）
3
2
2
3
1
4
2
4
3
1
8
4
3 8
1
．
16．小明同学在黑板上计算“
1
1
5
4
4
8
8
”时，他的解答过程如下：
解：
1
1
5
4
4
8
8
1
1
5
2
2
……………………第一步
5 1
………………………………第二步
4
…………………………………第三步
解答下列问题：
(1)同学们发现小明的解答过程存在错误，请你指出他是在哪一步出现错误的？并写出正确的解答过程；
(2)计算：
2
2
4
2
4
6
3
．
【答案】(1)小明在第一步出现错误；正确计算过程为：
1
1
5
4
4
8
8
1
1
5
4
2
8
1
5
8 4
2
5
16
29 / 30
11
；
(2) 4
【分析】（1）小明在第一步中先计算了1
4
8 ，因此出现错误；根据有理数混合运算法则进行计算即可；
（2）根据含乘方的有理数混合运算法则，进行计算即可．
【详解】（1）略
（2）解：
2
2
4
2
4
6
3
16
2
4
8
4
4
．
17．如图，有A、B、C、D 四张运算卡片，每张卡片表示对前一个数进行卡片上的运算，如按“ 4
A
B
”
进行运算，则所列算式为“
4
3
4
”．
(1)若按“
5
6
B
A
C
”进行计算，先列出算式，再直接写出结果；
(2)若琪琪同学按“ 1
2
D
C
B
A
进行计算，请列出算式并写出运算过程和结果．
【答案】(1) 1
9
(2)
28
9
【分析】（1）根据流程图规则列式计算即可；
（2）根据流程图规则列式计算即可．
【详解】（1）解：根据题意，得
2
2
2
5
10
1
1
4
3
3
6
3
3
9
；
（2）解：根据题意，得
2
1
2
4
3
2
3
，
∴原式
2
1
1
1
28
4
3
4
3
3
6
36
9
9
．
18．进位制是人们为了计数和运算方便而约定的计数系统，约定逢四进一就是四进制，用数字0，1，2，3
记数，四进制数可以转换为十进制数．例如，四进制数1212记为
4
1212
，由
3
2
4
1212
1 4
2 4
1
0
1 4
2
4
102
，可得
4
1212
是十进制数102．
(1)将
4
201
转换为十进制数，结果是___________；
30 / 30
(2)对于一个用四进制表示的正整数，有下列两个结论：
①如果这个数的末位数字能被2 整除，那么这个数就能被2 整除；
②如果这个数的所有数位上的数字之和能被2 整除，那么这个数就能被2 整除．
从中选出正确结论，并以四位的四进制数
4
abcd
为例，说明该结论正确的道理，若不成立举反例证明即可．
【答案】(1)33
(2)见解析
【分析】本题考查了有理数的混合运算，能熟练将四进制转化为十进制是解答本题的关键．
（1）根据题意将四进制转化为十进制即可；
（2）根据题意判断出①正确，将四位的四进制数化为十进制的数，经过变形即可验证①．
【详解】（1）解：
2
1
0
4
201
2 4
0 4
1 4
2 16
0 1
33
．
（2）解：选①．将四进制数
4
abcd
转换为十进制数为
3
2
1
0
4
4
4
4
64
16
4
a
b
c
d
a
b
c
d
．
因为64
16
4
a
b
c
一定能被2 整除，
若末位数字d 能被2 整除，那么64
16
4
a
b
c
d
就能被2 整除，
所以如果这个数的末位数字能被2 整除，那么这个数就能被2 整除．
对于②不一定成立．例如四进制数
4
(1001) ，其各位数字之和为2（能被2 整除），但对应的十进制数65 不
能被2 整除，所以②错误．
