文档文本内容
第21 讲 一元一次方程的应用
内容导航
01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向
02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理
03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解
题型1 一元一次方程的应用之古代问题
题型2 一元一次方程的应用之销售问题
题型3 一元一次方程的应用之方案问题
题型4 一元一次方程的应用之配套问题
题型5 一元一次方程的应用之工程问题
题型6 一元一次方程的应用之行程问题
题型7 一元一次方程的应用之数字问题
题型8 一元一次方程的应用之比赛问题
题型9 一元一次方程的应用之几何问题
题型10 一元一次方程的应用之电费和水费问题
04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固
关键词
学习目标导航
实际问题、一元一次
方程、等量关系、建
模、行程问题、配套
问题、检验。
1. 能根据实际问题中的等量关系列出一元一次方程，体会方程是刻画现实世
界的有效模型。
2. 掌握行程、工程、销售、配套、方案选择等常见实际问题的基本数量关
系。
3. 能运用解一元一次方程的方法求解实际问题，并验证解的合理性。
4. 经历“审题—设未知数—找等量关系—列方程—求解—检验”的全过
程，培养分析问题、解决问题的能力。
学习重点：分析实际问题中的数量关系，找等量关系列出一元一次方程，并正确求解。
学习难点：准确理解题意，找出隐含的等量关系（特别是行程中的相遇、追及问题，以及方案选择问
题），以及对求得的解根据实际意义进行取舍。
知｜识｜框｜架
知识点
01
一元一次方程
的应用
1.列一元一次方程解应用题的步骤
①审：审题，分析题中已知什么，求什么，明确各数量之间关系
②设：设未知数（一般求什么，就设什么为x）
③找：找出能够表示应用题全部意义的一个相等关系
④列：根据这个相等关系列出需要的代数式，进而列出方程
⑤解：解所列出的方程，求出未知数的值
⑥答：检验所求解是否符合题意，写出答案（包括单位名称）
2.用一元一次方程解决实际问题的常见类型
1.行程问题：路程＝速度×时间
2.顺水逆水问题：顺水速度=船速+水速；逆水速度=船速-水速
3.和差倍分问题：增长量＝原有量×增长率
4.利润问题：商品利润＝商品售价－商品进价
5.工程问题：工作量＝工作效率×工作时间，各部分劳动量之和＝总量
6.银行存贷款问题：本息和＝本金+利息，利息＝本金×利率×期数
7.数字问题：多位数的表示方法：例如：
【易错提醒】
列方程解应用题易错警示：审题设未知数，找等量关系。注意单位统一，解方程后检验是否符合实际（如
人数、长度为正）。避免漏解或多解，答案要带单位。勿混淆“增加”与“增加到”。
即时即练1．列方程解决问题：
我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多
十四，每人八竿少二竿．”其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩，不知有多少人和竹竿，每人6
知｜识｜精｜讲
竿，多14 竿；每人8 竿，少2 竿．”求共有多少个牧童？
【答案】8 个
【详解】解：设有x 个牧童，
依题意得：
，
解得
．
经检验，符合题意．
答：共有8 个牧童．
2．某超市第一次用3100 元购进甲、乙两种商品，其中乙商品的件数比甲商品件数的1
3多15 件，甲、乙两
种商品的进价和售价如表：
甲
乙
进价（元/件）
12
20
售价（元/件）
19
30
(1)该超市第一次购进甲、乙两种商品各多少件？
(2)该超市第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数不变，乙商品的件数是第一次
的4 倍；甲商品按原价销售，乙商品销售一部分后出现滞销，于是超市决定将剩余的乙商品五折（售价的
）促销，若在本次销售过程中超市共获利1850 元，则以五折售出的乙商品有多少件？
【答案】(1)超市第一次购进甲商品150 件，乙商品65 件
(2)以五折售出的乙商品有120 件
【分析】（1）设第一次购进甲种商品x 件，则购进乙种商品
件，根据单价数量
总价，即可得
出关于x 的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）设五折的乙商品m 件，根据题意列出方程求解即可．
【详解】（1）解：设第一次购进甲种商品x 件，则购进乙种商品
件，
由题意得：
，
解得
，
则
（件），
答：超市第一次购进甲商品150 件，乙商品65 件；
（2）解：设五折售出的乙商品有m 件，则原价销售的乙商品的数量为
件，
由题意得
，
解得
，
答：以五折售出的乙商品有120 件．
3．为迎接新春佳节到来，某移动公司推出两款“5G 套餐”，计费方式如下：
套餐类别
套餐一
套餐二
通话不超时且流量不
超量
通话120 分钟及以
下，流量10
及以
下，各种费用月费共
计60 元．
通话200 分钟及以
下，流量18
及以
下，各种费用月费共
计100 元．
通话超时或上网超量
通话超时部分加收
元/分；流量超量
部分加收
元/
．
通话超时部分加收
元/分：流量超量
部分加收2 元/
．
(1)若10 月小宁通话时间为200 分钟，上网流量为20
，则按“套餐一”计费需要多少费用？
(2)若11 月小宁参加了“套餐二”活动，已知上网流量为
且费用共计128 元，则该月小宁通话时间为
多少分钟？
(3)若12 月小宁的通话时间为250 分钟，上网流量超过18
，是否存在按套餐一和套餐二计费相等的情况？
若存在，求出此时上网流量；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)按“套餐一”计费需要101 元
(2)该月小宁通话时间为300 分钟
(3)存在按套餐一和套餐二计费相等的情况，此时上网流量为24
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
（1）利用按“套餐一”计费所需费用
（通话时间
）
（上网流量
），即可求出结
论；
（2）设该月小宁通话时间为x 分钟，根据11 月小宁按“套餐二”计费需付128 元，可列出关于x 的一元
一次方程，解之即可得出结论；
（3）存在按套餐一和套餐二计费相等的情况，设此时上网流量为
，根据按套餐一和套餐二计费相等，
可列出关于y 的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】（1）解：根据题意得：
=101（元）；
答：按“套餐一”计费需要101 元；
（2）解：设该月小宁通话时间为
分钟，
根据题意得：
，
解得：
；
答：该月小宁通话时间为300 分钟；
（3）解：存在按套餐一和套餐二计费相等的情况，设此时上网流量为
，
根据题意得：
，
解得：
．
答：存在按套餐一和套餐二计费相等的情况，此时上网流量为24
．
题型1 一元一次方程的应用之古代问题
【例1】（用一元一次方程解应用题）
我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中有这样的记载：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽
马先行一十二日，问良马几何追及之”．其大意是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走
里．
慢马先走
天，求快马几天可以追上慢马．
【答案】快马20天追上慢马
【分析】设快马
天追上慢马，根据慢马先走
天，追及时快马所行路程等于慢马所行总路程列出方程，
解方程求出
的值即可．
【详解】解：设快马
天追上慢马，
∵跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走
里，慢马先走
天，
∴
，
∴
解得：x =20
答：快马20 天追上慢马．
【例2】元朝著名数学家朱世杰的名著《四元玉鉴》中有一问题：“我有一壶酒，携着游春走．遇务（务，
即酒肆，卖酒的地方）添一倍，逢店饮斗九（斗九即一斗九，也就是
斗），店务经四处，没了壶中酒．
借问此壶中，当元多少酒（即问原来应当有多少酒）”，请你用方程的方法，求出原来应当有多少酒？
【答案】原来有酒
斗．
【分析】设原来有酒
斗，再根据题意列一元一次方程求解即可．
【详解】解：设原来有酒
斗，则
，
解得：
．
答：原来有酒
斗．
【技巧归纳】
用现代数学翻译古文：设未知数，根据“多、少、倍、半、相等”等词列方程。如“今有物不知其数，三
三数之剩二”可列x=3a+2。注意单位换算（斤、两、尺）。解方程后，用古语或现代单位作答，检验是否
符合题意。通常为一次方程。
【变式1-1】《九章算术》是中国传统数学最重要的著作之一．书中记载：“今有人共买鸡，人出九，盈
十一；人出六，不足十六．问人数、鸡价各几何？”译文：假设有几个人共同出钱买鸡，如果每人出九钱，
那么多了十一钱；如果每人出六钱，那么少了十六钱．问：有几个人共同出钱买鸡？鸡的价钱是多少？请
你列一元一次方程解决这个问题．
【答案】
共有9 个人共同出钱买鸡，鸡的价钱是70 钱
【分析】本题考查了一元一次方程在实际问题中的应用，解题的关键是抓住“鸡的价钱不变”这一等量关
系，通过两种不同的出钱方式列出方程．
设人数为未知数，根据“每人出9 钱多11 钱”和“每人出6 钱少16 钱”分别表示鸡价，令两式相等列方
程求解；再将人数代入表达式求出鸡价．
【详解】解：设共有
人共同出钱买鸡．
，
，
，
x =9．
鸡的价钱为：
．
答：有9 个人共同出钱买鸡，鸡的价钱是70 钱．
【变式1-2】一位老牧羊人，所有的儿子都成了家．一天，病重的老人把儿子们叫到床前，说：“老大，
给你2 头羊，余下的1
9给你妻子；老二，再给你3 头羊，再余下的1
9给你妻子；……”说完，老人就去世
了．已知从老二开始，老人的每个儿子都比他的前一个哥哥多分1 头羊，最小儿子的妻子没有分到羊，而
每个小家庭却分到相同多的羊．你知道老人共有多少头羊？
【答案】老人一共有56 头羊
【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，设老人一共有
只羊，根据从老二开始，老人的每个儿子都
比他的前一个哥哥多分1 只羊，其妻子分得儿子拿走其份额外剩下羊的1
9，每个小家庭却分到相同多的羊，
列出方程进行求解即可．
【详解】解：设老人一共有x 只羊，根据题意得
解得
，
答：老人一共有56 头羊．
题型2 一元一次方程的应用之销售问题
【例3】某文具店购进一批文创笔记本，用相同金额进货，第二批单价比第一批贵1 元，数量少了5 本．
设第一批单价为x 元．
(1)用含x 的代数式表示两批进货数量；
(2)若第一批单价为4 元，求两次一共购进笔记本多少本．
【答案】(1)第一批：
本；第二批：
本
(2)一共45 本
【分析】（1）设第一批单价为x 元，则第二批单价为
元，设第一批购进了
本，则第二批购进了
本，进一步即可得到答案；
（2）设第一批购进了
本，则第二批购进了
本，可得
，再进一步求解即可.
【详解】（1）解：设第一批单价为x 元，则第二批单价为
元，设第一批购进了
本，则第二批购进
了
本，
∴
，
解得：
，
∴
，
∴第一批进货数量为
（本），则第二批进货数量为
（本）.
（2）解：∵第一批单价为4 元，
∴第二批单价为5 元，
设第一批购进了
本，则第二批购进了
本，
∴
，
解得：m=25，
∴
，
∴两次一共购进笔记本45本.
【例4】某工厂需要生产一批眼镜镜架，每副镜架由一个镜框和两个镜腿组装而成．工厂现共有45 名工人，
平均每人每天生产100 个镜框或160 个镜腿．
(1)应如何安排工人才能使每天生产的镜框和镜腿恰好配套？
(2)某眼镜商店以每副80 元的价格购进了100 副镜架，提高50 %后标价．在元旦假期期间，商店打七折售
出了90 副，若想在销售完这100 副镜架后总获利8 %，则剩余的镜架应打几折出售？
【答案】(1)安排20 名工人生产镜框，25 名工人生产镜腿
(2)剩余的镜架应打九折出售
【分析】（1）设安排x 名工人生产镜框，则安排
名工人生产镜腿，根据等量关系为：每副镜架由
一个镜框和两个镜腿组装而成，把相关数值代入即可；
（2）设剩余的镜架应打y 折出售，再根据“销售完这100 副镜架后总获利8 %”进行列方程求解即可．
【详解】（1）解：设安排x 名工人生产镜框，则安排
名工人生产镜腿，
解得x =20，
（名），
答：安排20 名工人生产镜框，25 名工人生产镜腿，才能使每天生产的镜框和镜腿恰好配套；
（2）解：设剩余的镜架应打y 折出售，
根据题意得：
解得：
，
答：剩余的镜架应打九折出售．
【技巧归纳】
关键公式：利润=售价-进价，利润率=利润/进价×100%，售价=标价×折扣。设进价、售价或折扣为x，根
据利润关系列一次方程。注意“打几折”即乘0.几。单位统一。若含税费，利润=售价×(1-税率)-进价。解
后检验合理性。
【变式2-1】为响应“乡村振兴·助农兴商”号召，某社区助农驿站第一次用
元购进本地特色的甲、乙
两种农产品进行线上线下销售，其中乙农产品的件数比甲农产品件数的
倍多
件，两种农产品的进价和
售价如下表：（注：获利
售价
进价，农产品销售利润全部用于本地乡村公益建设）
农产品
甲（特色果蔬）
乙（手工杂粮）
进价（元/件）
22
30
售价（元/件）
(1)该助农驿站第一次购进甲、乙两种农产品各多少件？
(2)该助农驿站将第一次购进的甲、乙两种农产品全部售完后，所获利润可支持多少元的乡村公益建设？
(3)该助农驿站第二次以第一次的进价再次购进甲、乙两种农产品，其中甲农产品件数不变，乙农产品件数
是第一次的倍；甲农产品按原售价销售，乙农产品因推出公益装，在原售价基础上进行打折销售，第二
次全部售完后获得的总利润比第一次多
元，求第二次乙产品是按原售价打几折销售？
【答案】(1)甲种农产品
件、乙种农产品90件
(2)
元
(3)8.5折
【分析】（1）设未知数，根据总进价列一元一次方程，进而求出两种农产品的购进数量；
（2）根据“每件利润×数量”分别计算两种农产品的利润，再求和得到总利润；
（3）根据第二次的利润变化列方程，进而求出乙农产品的折扣．
【详解】（1）解：设第一次购进甲种农产品
件，则购进乙种农产品
件，
可得
，
解得x =150，则
，
故该助农驿站第一次购进甲种农产品
件、乙种农产品90件．
（2）解：
（元）．
故该助农驿站将第一次购进的甲、乙两种农产品全部卖完后一共可获得利润
元．
（3）解：设第二次乙种农产品是按原价打
折销售，
可得
，
解得
，
故第二次乙农产品是按原价打8.5折销售．
【变式2-2】某校为迎接中考体育改革，准备在体育商城采购某种篮球和足球共90 个，每个篮球售价为
160 元，比每个足球的售价多60 %．学校采购这批篮球的个数与足球的个数之比为
．
(1)每个足球的售价是多少元？
(2)采购时恰逢年中促销，商家针对篮球的优惠政策是在原售价的基础上先打七五折，又打了九折，按这个
价格销售商城还有
的利润．每个篮球的进价是多少元？
(3)为鼓励学校开展丰富多彩的体育运动，商家给出了三种购物优惠政策，方案如下：
方案一：按原价购买，购物总费用打九折；
方案二：按原价购买，每买4 个足球赠送1 个篮球，不足4 个足球不赠送；
方案三：按原价购买，购物超过2000 元的部分每满300 元减30 元．
通过计算说明：为了节省费用，学校应该选择哪个方案购买？
【答案】(1)100 元
(2)90 元
(3)学校应该选择方案二购买
【分析】（1）根据篮球售价与足球售价的百分比关系，列方程，求解足球售价；
（2）第二问先计算两次打折后的篮球售价，再根据利润率关系列方程求解篮球进价；
（3）第三问先根据总数量和比例求出篮球足球的个数，再分别计算三种优惠方案下的总费用，比较大小
后得到最省钱的方案．
【详解】（1）解：设每个足球的售价是
元，
依题意，
，
解得
，
即每个足球的售价是
元；
（2）解：设每个篮球的进价是
元，
则两次打折后篮球的实际售价：
（元）；
根据题意得
，
解得
，
∴每个篮球的进价是90 元．
（3）解：∵总数量共90 个，篮球与足球个数比为
，
因此篮球个数为
（个）；
足球个数为
（个）；
原价总费用为
（元），
方案一：总费用打九折，总费用为
（元）；
方案二：40 个足球可赠送篮球个数为40÷ 4 =10（个）；
需要付费的篮球个数为
（个）
总费用为
（元）
方案三：超过2000 元的部分为
（元）
，
∴可满减33 次，即满减总金额为
（元）
∴总费用为
（元）
∵
，
∴为了节省费用，学校应该选择方案二购买．
题型3 一元一次方程的应用之方案问题
【例5】学校本学期开展“红色烟台”为主题的研学活动，组织200 名学生参观磁山“红色革命纪念馆”
和烟台山“人民纪念碑”，每名学生只能到其中一个景点参加活动．学校共支付票款3600 元，票价信息
如下表：
地点
学生票价
磁山“红色革命纪念
馆
20 元/人
烟台山“人民纪念
碑”
15 元/人
(1)参观两个景点的学生各有多少名？
(2)若学生都去参观烟台山“人民纪念碑”，则能节省票款多少元？
【答案】(1)参观磁山“红色革命纪念馆”的学生有120 名，参观烟台山“人民纪念碑”的学生有80 名.
(2)能节省票款600 元.
【分析】（1）设参观其中一个景点的学生人数为
，根据总人数表示出另一个景点的学生人数，再结合总
票款列出一元一次方程，求解即可得到两个景点的参观人数；
（2）计算出全部学生参观烟台山的总票款，用原总票款减去该费用，即可得到节省的票款．
【详解】（1）解：设参观磁山“红色革命纪念馆”的学生有
名，则参观烟台山“人民纪念碑”的学生有
名，
根据题意列方程得：
解得：x =120，
（名）
答：参观磁山“红色革命纪念馆”的学生有120 名，参观烟台山“人民纪念碑”的学生有80 名；
（2）解：全部学生参观烟台山“人民纪念碑”的总票款为
（元），
节省票款为
（元），
答：能节省票款600 元．
【例6】商店A 型号笔记本电脑的售价是1000 元/台，最近，该商店对A 型号笔记本电脑举行促销活动，
有两种优惠方案，方案一：每台按售价的九折销售：方案二：若购买量不超过5 台，每台按售价销售；若
购买量超过5 台，则超过的部分每台按售价的八折销售．某公司一次性从友谊商店购买A 型号笔记本电脑
台．
(1)当x =8时，选择哪种方案可使该公司购买费用最少？最少费用是多少元？
(2)若该公司采购时发现，不论选哪种方案价格都一样，请问该公司买了几台电脑？
【答案】(1)选方案一，最少费用为7200 元
(2)10 台
【分析】（1）根据两个方案的优惠政策，分别求出购买8 台所需费用，比较后即可得出结论；
（2）根据购买
台时，分类讨论求解即可．
【详解】（1）解：设购买
型号笔记本电脑
台时的费用为w元，
当x =8时，
方案一：
，
方案二：
，
∵
，
当x =8时，应选择方案一，该公司购买费用最少，最少费用是7200 元；
（2）解：①若
时：
方案一：
；方案二：
；
此时不相等；
②若
时：
方案一：
；方案二：
令
解得
答：该公司买了10 台．
【技巧归纳】
将两种方案费用表示为含x 的一次式，令相等得临界值。根据x 的范围选择最优方案。若比较大小，列不
等式。注意分类讨论：如x 为整数、分段计费。实际背景如租车、电话套餐、购物优惠。画数轴或表格辅
助决策。解后验证端点值。
【变式3-1】某商店有A、B 两种型号的节能灯，店主统计了3 天的产品销售情况，如表：
统计日期
售出A 型节能灯个数
售出B 型节能灯个数
总售价
6 月15 日
0
1
50
6 月16 日
1
2
200
6 月17 日
5
5
750
(1)根据上表数据可得B 型节能灯的单价 ．
(2)根据上表数据，求A 型节能灯的单价．
(3)若商家A、B 两种型号的节能灯共售出15 个，总售价为1300 元．那么售出的两种型号的节能灯各多少
个？
【答案】(1)50 元/个
(2)A 型节能灯的单价为100 元/个
(3)售出的A 型号的节能灯有11 件，B 型号的节能灯有4 件
【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，观察表格数据先推出B 型节能灯单价，设A 型节能灯的单
价
，根据6 月16 销售情况列关于
的方程，解出即可求出A 型节能灯单价；设A 和B 型节能灯的件数
和
，根据题意，列关于
的方程，即可求出两种型号节能灯各自的件数．
【详解】（1）解：
6 月15 日的销售情况可知，售出0 个A 型节能灯，1 个B 型节能灯，总售价为50 元，
B 型节能灯的单价为50 元/个．
（2）解：设A 型节能灯的单价为
元/个，根据6 月16 日的销售情况，售出1 个A 型节能灯，2 个B 型节
能灯，总售价为200 元，
可列方程得，
解得
，
A 型节能灯的单价为100 元/个．
（3）解：设售出A 型节能灯
个，则售出B 型节能灯
个，根据题意，可列方程得
，
解得
，
．
售出的A 型号的节能灯有11 个，B 型号的节能灯有4 个．
【变式3-2】刘师傅购买了一辆某型号的新能源汽车，其电池满电量为
千瓦时．目前有两种充电方案可
供选择：
方案一：私家安装充电桩，费用为
元，每千瓦时电费为
元．
方案二：使用公共充电桩，无安装费用，每千瓦时电费（含服务费）为
元．
已知新能源汽车充电时存在能量损耗，电池实际每增加千瓦时的电量，需充入1.2千瓦时的电．假设电池
的耗电量与行驶里程成正比，且电池从满电
千瓦时行驶至
千瓦时时，对应的行驶里程为
千米．
请解答以下问题：
(1)电池每次从
千瓦时充至满电
千瓦时，分别计算使用方案一和方案二，单次充电所需支付的电费．
(2)请问该汽车的累计行驶里程为多少千米时，两种充电方案的总费用恰好一样多？
【答案】(1)
使用方案一单次电费为
元，使用方案二单次电费为
元.
(2)
累计行驶里程为
千米时，两种充电方案的总费用恰好一样多.
【分析】（1）根据每千瓦时所需电费计算出所需费用；
（2）设该汽车的累计行驶里程为
千米时，根据两种充电方案的总费用相同列方程求解．
【详解】（1）解：使用方案一，单次电费为
元，
使用方案二，单次电费为
元；
（2）解：设该汽车的累计行驶里程为
千米时，两种充电方案的总费用恰好一样多，
根据题意可得：
，
解得：
，
答：累计行驶里程为
千米时，两种充电方案的总费用恰好一样多.
题型4 一元一次方程的应用之配套问题
【例7】某眼镜厂家的一个车间共有22 名工人生产镜片和镜架，每人每天生产12 个镜架或20 片镜片，一
副镜架要配两个镜片，此车间为了使每天生产的产品刚好配套．
(1)应该如何分配工人才能使每天生产的镜架和镜片恰好配套？
(2)若每副眼镜的成本为150 元，该车间每天生产的眼镜的总成本为多少元？
【答案】(1)生产镜架10 人，生产镜片12 人
(2)18000 元
【分析】（1）设分配x 名工人生产镜片，
名工人生产镜架，根据“一副镜架要配两个镜片”列方
程求解；
（2）根据题意列式求解即可．
【详解】（1）解：设分配x 名工人生产镜片，
名工人生产镜架，
根据题意得：
，
解得：x =12，
∴
，
答：生产镜架10 人，生产镜片12 人．
（2）解：由（1）可知，每天生产的镜架数量为
（个），
即每天生产120 副眼镜，
故总成本为
（元）
答：该车间每天生产的眼镜的总成本为18000 元．
【例8】某车间每天能生产甲种零件180 个或乙种零件60 个，若2 个甲种零件与1 个乙种零件配成一套，
那么要使50 天内生产的两种零件恰好配套，应怎样安排生产甲、乙两种零件的天数？
【思路分析】：
(1)设安排生产甲种零件x 天，则安排生产乙种零件
天，那么x 天共生产甲种零件 个，
天共
生产乙种零件 个；（用含x 的代数式表示）
(2)根据题意可知“甲种零件数是乙种零件数的2 倍”即可列出方程求解．请同学们自己完成解答过程．
【答案】(1)
；
(2)安排生产甲种零件20 天，则安排生产乙种零件30 天．
【详解】（1）解：安排生产甲种零件x 天，则安排生产乙种零件
天，
那么x 天共生产甲种零件
个，
天共生产乙种零件
个；
（2）解：根据题意得
，
解得x =20，
，
答：安排生产甲种零件20 天，则安排生产乙种零件30 天．
【技巧归纳】
设需配套的某物数量为x，根据比例关系列方程。如螺栓与螺母1:2 配套，设生产螺栓x 个，则螺母2x
个。注意总数限制（如总人数、总材料）。或设分配人数，则产量=人数×效率。用比例式或方程表示配套
关系，解出后验证是否符合题中比例。
【变式4-1】六年级一班共有学生
人，其中男生人数比女生人数多4人，劳动课上，老师组织同学们自
己动手设计制作便携式垃圾盒，每名学生一节课能做盒身
个或盒底
个．
(1)六年级一班有男生和女生各多少人？
(2)原计划女生负责做盒身，男生负责做盒底，每个盒身匹配
个盒底，那么这节课做出的盒身和盒底不能
完全配套，最后决定男生去支援女生，问有多少男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配
套．
【答案】(1)
男生
人，女生
人
(2)
名
【分析】（1）设出女生人数，则可表示出男生人数，根据“全班总人数为
人”列出一元一次方程，求
解即可得到男女生人数；
（2）设出去支援女生的男生人数，则可表示出做盒身和做盒底的人数，根据配套要求“盒底总数量是盒
身总数量的
倍”列出一元一次方程，求解即可得到去支援的男生人数．
【详解】（1）解：设六年级一班有女生
人，则男生有
人，
根据题意得
，
解得
，
．
答：六年级一班有男生
人，女生
人；
（2）解：设有
名男生去支援女生，才能使盒身和盒底刚好配套，此时做盒身的总人数为
人，做
盒底的总人数为
人，
根据题意得
，
化简得
，
整理得
，
解得
．
答：有
名男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套．
【变式4-2】完成如下项目式学习表
情境挖掘
眼镜是由镜片和镜架组合而成，用来改善视力、保护眼睛或作装饰用途的用
品．
素材整合
某工厂需要生产一批镜架（如图），每副镜架由一个镜框和两个镜腿组装而
成．工厂现共有45 名工人，平均每人每天生产100 个镜框或160 个镜腿．
任务解决：
(1)任务一：应如何安排工人才能使每天生产的镜框和镜腿恰好配套？
(2)任务二：某店家以每副80 元的价格购进一批镜架，提高50 %后标价．求每一副镜架的标价是多少？
(3)任务三：该店家购进了100 副镜架，元旦假期期间按照标价售出了60 副后打折销售，结果销售完这100
副镜架后仍获利2560 元，求剩余的镜架打几折出售？
【答案】(1)安排20 名工人生产镜框，25 名工人生产镜腿，
(2)120 元
(3)七
【分析】（1）设安排x 名工人生产镜框，则安排
名工人生产镜腿，根据等量关系为：每副镜架由
一个镜框和两个镜腿组装而成，把相关数值代入即可；
（2）根据“提高50 %后标价”进行列式求解即可；
（3）设剩余的镜架应打y 折出售，再根据“销售完这100 副镜架后仍获利2560 元”进行列方程求解即可．
【详解】（1）解：设安排
名工人生产镜框，则安排
名工人生产镜腿，
解得x =20，
（名），
答：安排20 名工人生产镜框，25 名工人生产镜腿，才能使每天生产的镜框和镜腿恰好配套；
（2）解：根据题意得：
（元）
答：每一副镜架的标价是120 元；
（3）解：设剩余的镜架应打
折出售，
根据题意得：
解得：y =7，
答：剩余的镜架应打七折出售．
题型5 一元一次方程的应用之工程问题
【例9】解答下列问题：
(1)师徒两人检修一条长
的自来水管道，师傅每小时检修15m，徒弟每小时检修
．现两人合作，
多少时间可以完成整条管道的检修？
(2)师徒两人检修一条煤气管道，师傅单独完成需要10h，徒弟单独完成需要
．现两人合作，需要多少
小时完成？
【答案】(1)
小时
(2)
小时
【分析】（1）已知管道具体总长度和两人每小时检修长度，直接列方程计算；
（2）把总工作量看作单位1，先得到两人的工作效率，再列方程求解．
【详解】（1）解：设两人合作
小时可以完成整条管道的检修．
根据题意，师傅
小时检修
(m)，徒弟
小时检修
(m)，总管道长
，
列方程得
解得x =7.2
答：两人合作
（小时）可以完成整条管道的检修．
（2）设两人合作需要
小时完成，根据题意得
解得x =6
答：两人合作需要6（小时）完成．
【例10】师徒两人检修一段煤气管道，若师傅单独完成需要8 小时，徒弟单独完成需要12 小时．现在先
由徒弟单独检修若干小时后师徒两人合作完成，已知两人合作检修的时间比徒弟单独检修的时间少1.5 小
时．
(1)求师徒两人合作检修的时间是多少小时？
(2)完成任务后共得劳动报酬1200 元，若按每个人完成的工作量计算报酬，师傅和徒弟所得报酬分别为多
少元？
【答案】(1)师徒两人合作检修的时间为3 小时
(2)师傅应分得的报酬为450元；徒弟应分得报酬为
元
【分析】（1）设师徒两人合作检修的时间
小时，则徒弟单独检修的时间为
小时，根据题意列出
关于x 的一元一次方程求解即可得出答案．
（2）分别求出师傅和徒弟的报酬即可．
【详解】（1）解：设师徒两人合作检修的时间为
小时，则徒弟单独检修的时间为
小时，
依题意，得
，
解这个方程，得
，
当
时，
，
答：师徒两人合作检修的时间为3 小时．
（2）解：师傅应分得的报酬为：
（元）
徒弟应分得报酬为：
（元）
【技巧归纳】
将总工作量看作1，效率=1/时间。合作效率=各效率之和。设未知时间，列方程：部分工作量之和=1。如
甲单独x 天，乙单独y 天，合作t 天：t/x + t/y = 1。注意剩余工作量：已完成+未完成=1。解后检验时间
是否为正。
【变式5-1】某市新区现有一段长为180 米的河堤整治任务由A、B 两个工程队先后接力完成，已知A 工程
队每天整治12 米，B 工程队每天整治8 米，此工程共用时20 天．求A，B 两个工程队各工作了多少天？
(1)若设A 工程队工作了x 天，则B 工程队工作了 天（用含x 的代数式表示）；
(2)请按（1）中所设的未知数，列方程解此问题．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）由工程共用时20 天，列出代数式即可；
（2）根据180 米的河堤整治任务由A、B 两个工程队先后接力完成，已知A 工程队每天整治12 米，B 工程
队每天整治8 米，结合（1）所设的未知数与结果，列出一元一次方程求解即可．
【详解】（1）解：∵A 工程队工作了x 天，工程共用时20 天，
∴B 工程队工作了
天．
（2）解：由题意得：
，
，
，
4 x =20，
x =5，
∴
．
答：A 工程队工作了5 天，B 工程队工作了15 天．
【变式5-2】某市实施惠民工程，对老旧小区进行改造，甲、乙两个工程队参与某小区9000 平方米路面改
造．其中甲队每天完成200 平方米，乙队每天完成的工程量是甲队的
倍，甲队施工一天需付工程款
万元，乙队施工一天需付工程款
万元．
(1)若甲、乙两队合作若干天后，乙队又单独干5 天，最终完成任务，求乙队完成此项工程的天数；
(2)若甲、乙两队全程合作，完成该工程需付工程款多少钱？
【答案】(1)20 天
(2)
万
【分析】（1）设乙队完成此项工程的天数为x 天，可知甲队完成此项工程的天数为
天，根据“甲队
每天完成200 平方米，乙队每天完成的工程量是甲队的
倍”列方程求解即可；
（2）设甲，乙两队合作y 天，根据“甲队每天完成200 平方米，乙队每天完成的工程量是甲队的
倍”
列方程求出y 的值，根据“甲队施工一天需付工程款
万元，乙队施工一天需付工程款
万元”计算即
可．
【详解】（1）解：设乙队完成此项工程的天数为x 天，
由题意可得：
，
解得x =20，
答：乙队完成此项工程的天数为20 天；
（2）解：设甲，乙两队合作y 天，
由题意可得：
，
解得
，
∴
（万），
答：完成该工程需付工程款
万．
题型6 一元一次方程的应用之行程问题
【例11】小明、小杰两人在400 米的环形赛道上练习跑步，小明每分钟跑280 米，小杰每分钟跑220 米．
若小明、小杰两人同时同地反向出发，那么出发几分钟后，小明，小杰第一次相遇？
【答案】经过
分钟以后小明，小杰第一次相遇
【知识点】行程问题(一元一次方程的应用)
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设
分钟以后小明，小杰第一次相遇，根据题意，列出方程，
求出
，即可求解．
【详解】解：设
分钟以后小明，小杰第一次相遇，
由题意可得，
，
解得
，
答：经过
分钟以后小明，小杰第一次相遇．
【例12】A、B 两地间相距
，甲从A 地出发匀速前往B 地，甲的速度为4 千米/时，乙的速度为3 千
米/时，甲出发30 分钟后，乙从B 地出发，沿同一条公路匀速前往A 地，问：乙出发多长时间两人相遇？
【答案】4 小时
【详解】解：设乙出发x 小时后两人相遇，由题意得：
，
解得：
；
答：乙出发4 小时后两人相遇．
【技巧归纳】
基本公式：路程=速度×时间。相遇：相距距离=速度和×时间；追及：路程差=速度差×时间。设时间或速
度为x，画线段图辅助。注意方向相向、同向，单位统一（小时/分钟）。若含往返，分段列方程。解后检
验是否满足实际。
【变式6-1】甲站和乙站相距
，一列慢车从甲站开出，速度为
，一列快车从乙站开出，速
度为
．
(1)若两车相向而行，慢车先开
，快车开出多少小时后两车相遇？
(2)若两车同时开出，相背而行，多少小时后两车相距
？
(3)若两车同时开出，快车在慢车后面同向而行，多少小时后两车相距
（快车在慢车的后面）？
【答案】(1)快车开出
后两车相遇
(2)
后两车相距
(3)
后两车相距
【知识点】行程问题(一元一次方程的应用)
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据每一问的速度和路程列出关于时间的方程式并求解是解题
的关键．
（1）设快车开出
后两车相遇，根据两车行驶路程和为
，列出方程式即可解题；
（2）设
后两车相距
，两车行驶路程和再加上甲站和乙站的距离为
，列出方程式即可解
题；
（3）设
后两车相距
，根据快车所走的路程比慢车所走的路程多
，即可列出
方程式，即可解题．
【详解】（1）解：设快车开出
后两车相遇．
．
由题意，得
，
解得
．
答：快车开出
后两车相遇．
（2）解：设
后两车相距
．
由题意，得
，
解得
．
答：
后两车相距
．
（3）解：设
后两车相距
．
由题意，得
，
解得
．
答：
后两车相距
．
【变式6-2】已知在数轴上点A 表示的数为8，B 在A 点左侧，且A，B 两点间的距离为14．动点P 从点A
出发，以每秒4 个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，点Q 从B 点向右运动，速度为每秒2 个单位，PQ
同时出发，设运动时间为
秒．
(1)数轴上点B 表示的数是______；当点P 运动到
的中点时，它所表示的数是______．
(2)动点Q 从点B 出发，以每秒2 个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，求：
①当点P 和点Q 运动多少秒时，点P 和点Q 第一次相遇？
②当点P 运动多少秒时，点P 与点Q 间的距离为6 个单位长度？
【答案】(1)
，1
(2)①
秒；②
秒或
秒
【知识点】数轴上的动点问题、行程问题(一元一次方程的应用)、数轴上两点之间的距离
【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，解决本题的关键是根据数轴上动点的运动情况列方程．
（1）先根据数轴上两点距离计算公式得到点BB 表示的数，再根据两点中点计算公式求解即可；
（2）①根据相遇问题的等量关系，利用动点P 的运动距离加上动点Q 的运动距离等于A，B 两点间的距离，
列方程即可求解；
②根据点P 与点Q 相遇前和相遇后之间的距离为6 个单位长度，分两种情况列方程即可求解．
【详解】（1）解∶∵数轴上点A 表示的数为8，B 在A 点左侧，且A，B 两点间的距离为14．
∴点B 表示的数为
，
当点P 运动到
的中点时，它所表示的数是
，
故答案为∶
，1；
（2）解∶①点P 和点Q 运动t 秒时，点P 和点Q 第一次相遇，
则
，
解得
，
即点P 和点Q 运动
秒时，点P 和点Q 第一次相遇；
②设点P 运动t 秒
根据题意得：
当点P 与点Q 相遇前，点P 与点Q 距离6 个单位长度时，则
，
解得
；
当点P 与点Q 相遇后，点P 与点Q 距离6 个单位长度时，则
，
解得
，
∴当点P 运动
秒或
秒时，点P 与点Q 间的距离为6 个单位长度．
题型7 一元一次方程的应用之数字问题
【例13】一个两位数，十位数字是个位数字的 2 倍，将两个数对调后得到的新两位数与原两位数的和是
99，原两位数是 ．
【答案】63
【知识点】数字问题(一元一次方程的应用)
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设原两
位数的个位数字为
，则十位数字为
，根据将两个数对调后得到的新两位数与原两位数的和是99，可列
出关于
的一元一次方程，解之可求出
的值，再将其代入
中，即可求出结论．
【详解】解：设原两位数的个位数字为
，则十位数字为
，
根据题意得：
，
解得：
，
，
原两位数是63．
故答案为：63．
【例14】一个三位数，已知十位数字是0，个位数字是百位数字的倍．现将这个三位数的个位数字与百
位数字调换位置，所得的三位数与原三位数的和是
．设原三位数的百位数字是x．
(1)原三位数可表示为______，调换位置后的三位数可表示为______．（用含x 的代数式表示）
(2)列方程求解原三位数．
【答案】(1)
；
(2)
【分析】（1）利用三位数的数位计数规则（百位
十位
个位），结合已知的个位与百位数字的
倍数关系，分别写出原数和调换后数的代数式；
（2）根据“两数之和为
”的等量关系列一元一次方程，求出百位数字x的值，再代入原数的代数式计
算出原三位数即可．
【详解】（1）解：设原三位数的百位数字是x，则原三位数的个位数字是3 x，新三位数的百位数字是3 x，
个位数字是x，
∴原三位数为
；
调换位置后的三位数为
；
（2）解：根据题意，得
，
解得
，
∴
，
答：原三位数是
．
【技巧归纳】
设个位或十位数字为x，用10a+b 表示两位数。根据数字关系（如调换位置、和、积）列方程。注意数位
限制：首位不能为0，每位0-9。若设两位数为x，则十位=⌊x/10 。解后检验数字范围。也可表示三位数。
⌋
方程组思想。
【变式7-1】将奇数至
按照顺序排成下表：
记
表示第
行第
个数，如
表示第
行第个数是
．
(1)
；
(2)将表格中的
个阴影格子看成一个整体并平移，所覆盖的
个数之和能否等于
．若能，求出
个数中
的最大数；若不能，请说明理由；
(3)用
、
的式子表示
；
(4)若
，求
、
的值．
【答案】(1)
(2)不能，理由见解析
(3)
(4)
，
【知识点】数字类规律探索、数字问题(一元一次方程的应用)、有理数四则混合运算的实际应用、列代数
式
【分析】本题考查一元一次方程的应用、数字的变化类、列代数式，
（1）根据题意可知
表示第
行第个数，每行都有
个数，所有的数字都是奇数，然后即可计算出相应
的值；
（2）先判断，然后设
个阴影格子中的数分别为
、
、
、
，即可列出相应的方程，
然后求解即可说明理由；
（3）根据表格中的数据和发现，可以用含
、
的代数式表示出
．
（4）根据题意，可以得到
，然后
、
为整数，
，即可得到
、
的值；
解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，找出等量关系，列出相应的方程．
【详解】（1）解：由题意可得，
，
故答案为：
；
（2）所覆盖的
个数之和不能等于
．
理由：设
个阴影格子中的数分别为
、
、
、
，
由题意得：
，
解得：
，
∵
为整数，
∴所覆盖的
个数之和不能等于
；
（3）由题意可得，
，
故答案为：
；
（4）∵
，
∴
，
∴
，
∵
、
为整数，
，
∴
，
．
【变式7-2】如图，阶梯图的每个台阶上都标着一个数，从下到上的第1 个至第4 个台阶上依次标着
，
，1，9，且任意相邻四个台阶上的数的和都相等．
(1)前4 个台阶上的数的和是多少？
(2)第5 个台阶上的数x 是多少？
(3)试用含k（k 为正整数）的式子表示出数“1”所在的台阶数．
【答案】(1)3
(2)
(3)
【知识点】用代数式表示数、图形的规律、数字类规律探索、有理数加法运算、数字问题(一元一次方程的
应用)
【分析】本题考查了图形的变换规律，解题的关键是根据相邻四个台阶上的数的和都相等得出台阶上的数
字每4 个一循环．
（1）将前4 个数字相加可得；
（2）根据“相邻四个台阶上的数的和都相等”，列方程求解即可；
（3）根据“台阶上的数是每4 个一循环”求解可得，观察发现，由循环规律即可知道“1”所在的台阶数为
．
【详解】（1）解：由题意，得
．
故前4 个台阶上的数的和是3．
（2）由题意，得
，
所以
，
故第5 个台阶上的数x 是
．
（3）由题意知，台阶上的数每4 个一循环，
，−2，1，9，
，−2，1，9，…
数“1”所在的台阶数为3，7，11，15，19. . .，
所以数“1”所在的台阶数为
．
题型8 一元一次方程的应用之比赛问题
【例15】下表是篮球联赛中比赛积分表的一部分：
球队
比赛场数
胜场
负场
积分
敬业
4
诚信
4
(1)求胜一场积多少分？负一场积多少分？
(2)若某队比赛场数为场，胜场总积分与负场总积分相等，那么这支球队胜了几场？
【答案】(1)
胜一场积
分，负一场积分
(2)
这支球队胜了场
【分析】（）因为两队比赛场数相同，胜场数和负场数、积分都有差异，所以可设胜一场积x分，负一场
积
分，根据两队的胜场、负场和积分情况列二元一次方程组求解；
（
）因为已知胜场和负场的积分，且胜场总积分与负场总积分相等，比赛总场数为场，所以这支球队
胜了
场，则负了
场，根据胜场积分等于负场积分列一元一次方程求解．
【详解】（1）解：设胜一场积x分，负一场积
分，
根据表格积分信息列二元一次方程组：
，
两式相加化简得
，即
，
代入第一个方程：
，
解得
，
∴
，
∴胜一场积
分，负一场积分；
（2）解：设这支球队胜了
场，总场数为场，则负了
场，
根据胜场总积分等于负场总积分列方程：
，
整理得
，
解得m=3．
【例16】某电视台组织知识竞赛，共20 道选择题，每题必答，如表记录了3 个参赛者的得分情况．
参赛者
答对题数
答错题
数
总得分
甲
20
0
100
乙
19
1
94
丙
14
6
64
(1)由表中的数据可知：答对1 题得________分，答错1 题得________分；
(2)小婷得76 分，她分别答对了几道题、答错了几道题？
(3)小明说他得了80 分，你认为可能吗？为什么？
【答案】(1)5，−1
(2)参赛者小婷得76 分，她答对了16 道题，答错了4 道题；
(3)不可能，见解析
【分析】（1）从参赛者甲的得分可以求出答对1 题的得分
总分
全答对的题数，再由乙同学的成绩就可
以得出答错1 题的得分；
（2）设参赛者小婷答对了x 道题，则答错了
道题，根据“答对的得分+加上答错的得分
76 分”
建立方程求出其解即可；
（3）假设他得80 分可能，设答对了
道题，答错了
道题，根据“答对的得分+加上答错的得分
80 分”建立方程求出其解即可判断．
【详解】（1）解：由题意，可得，答对1 题的得分是：
分，
答错1 题的得分为：
分；
（2）解：设参赛者小婷答对了x 道题，则答错了
道题，
由题意，得
，
解得
，
，
答：参赛者小婷得76 分，她答对了16 道题，答错了4 道题；
（3）解：不可能．理由如下：
假设他得80 分可能，设答对了
道题，答错了
道题，
由题意，得
，
解得
，
∵
为整数，而
不是整数，
∴参赛者小明说他得80 分，是不可能的．
【技巧归纳】
积分规则：胜场得分+平场得分+负场得分=总积分。设胜x 场，平y 场，负z 场，根据总场数列x+y+z=N，
再积分方程。通常已知总场数和积分，可消去一个未知数。注意胜负场数非负整数。解后检验是否合理。
常见于循环赛。
【变式8-1】学校开展“科技小达人”主题活动，活动分为“编程挑战”和“手工创作”两个项目，活动
结束后根据两个项目的得分进行颁奖．评奖规则为：
奖项
获奖条件（满足多个条件时仅颁发最高奖）
金奖
两个项目得分之和不低于110 分，且至少一个项目得分达到65 分
银奖
两个项目得分之和不低于110 分
参与奖
完成全部两个项目的活动
在正式计分前可以先体验一次．同学甲体验时，“编程挑战”与“手工创作”得分比为
；正式计分中，
“编程挑战”得分比体验时提高了9 分，“手工创作”得分比体验时增加了20 %，最终两项共得123 分．
请利用所学知识，为这个同学颁发合适的奖项，并说明理由．
【答案】解：给这个同学颁发金奖，理由如下：
设体验时编程挑战得
分，手工创作得3 x分，则正式计分时编程挑战得
分，手工创作得
分．
根据题意可列方程为：
．
解得
，
∴编程得
（分），
手工创作得
（分），
，
∴给这个同学颁发金奖，
答：给这个同学颁发金奖．
【分析】先设出体验时编程挑战得
分，手工创作得3 x分，利用两项共得123 分求出x 的值，即可计算
得出编程得分与手工创作得分，根据获奖条件即可求解．
【变式8-2】2025 湖北省全国百强县篮球联赛以独特的魅力，将竞技激情升华为地域文化的盛宴，让运动
精神在城市血脉中流淌．截止到12 月1 日，湖北省全国百强县篮球联赛已经进行了12 场比赛，下表是第
12 轮比赛结束后部分球队积分榜：
序号
队名
比赛场次
胜场
负场
积分
1
潜江
12
11
1
23
2
汉川
12
10
2
22
3
枣阳
12
6
6
18
5
大冶
12
4
8
16
6
枝江
12
2
10
14
根据上表信息，解决下列问题：
(1)若某市球队12 场比赛全胜，可得24 分，则联赛胜一场得____分，负一场得____分；
(2)第12 轮比赛结束后，天门队得了19 分，求天门队胜场数和负场数；
(3)某队的胜场总积分能等于它的负场总积分的3 倍吗？请通过计算说明理由．
【答案】(1)2，1
(2)胜7 场，负5 场
(3)不能，理由见解析
【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，读懂题意，列出方程是解题的关键．
（1）由题意即可求解；
（2）设天门队胜了x 场，则负了
场，根据题意得
，然后解方程即可；
（3）假设某队胜场数为x，则负场数为
，根据题意得
，然后解方程并检验即可．
【详解】（1）解：由题意得，胜一场得
分；根据潜江队积分可得，负一场得
分
故答案为：2， 1；
（2）解：设天门队胜了x 场，则负了
场，则
，
解得：
∴天门队负了
（场）
（3）解：假设某队胜场数为x，则负场数为
，则
∵场数为整数，
∴
不合实际．
∴某队胜场总积分不能等于它的负场总积分的3 倍．
题型9 一元一次方程的应用之几何问题
【例17】学校建花坛余下
长的漂亮小围栏，经总务处同意，七年级（1）班同学准备在自己教室后的
空地上一边靠墙、三边利用这些小围栏，建一个长方形的小花圃．已知墙面长10 m，若要使花圃的长比宽
多3 m，求花圃的面积．（提示：注意题目中的条件“已知墙面长10 m”的用意，应考虑有两种情形）
【答案】
或
【分析】设花圃的宽为
米，则长为
米，分类讨论：①当较长边（长）平行于墙面时，②当较短边
（宽）平行于墙面时，逐项分析求解即可．
【详解】解：设花圃的宽为
米，则长为
米，
①当较长边（长）平行于墙面时，
此时围栏长度为
，
解得
，
∵长为7+3=10米，符合墙面长度限制，
∴花圃的面积：
；
②当较短边（宽）平行于墙面时，
此时围栏长度为：
，
解得：x =6，
∵长为
米，符合墙面长度限制，
∴花圃的面积：
综上，花圃的面积是
或
．
【例18】如图，用三种大小不同的五个正方形和一个长方形（图中阴影部分）拼成长方形
，已知
，较小正方形的边长为
．
(1)填空：
______cm，
______cm（用含有x 的代数式分别示）．
(2)先用含有x 的代数式表示出长方形
的面积．并求当
时，求长方形
的面积．
【答案】(1)
，
(2)
，
【分析】（1）根据图中各正方形边长之间的关系即可直接列出代数式；
（2）先根据图中各正方形边长之间的关系列出长方形
的长和宽，进而表示出长方形
的面积，
然后求出x 的值，再把x 的值代入求值即可．
【详解】（1）解：由题意可得：
，
；
（2）解：由题意可得：长方形
的长为
，宽为
，
长方形
的面积
，
∵
，
，
∴
，
∴
当
时，
长方形
的面积
．
【技巧归纳】
利用几何公式（面积、周长、角度）列方程。设未知边或角，根据图形性质（如内角和、勾股、相似）建
立一次关系。注意单位一致。若为动点，设时间为t，用t 表示线段长。解后检验边长>0，角度在范围内。
画图标量。
【变式9-1】已知线段AB =15，点C 在线段AB上，且
(1)求线段
，CB的长；
(2)点P 是线段AB上的动点，线段
的中点为M，设
．
①请用含有m 的代数式表示线段PC，
的长；
②若三个点M，P，C 中恰有一点是其它两点所连线段的中点，则称M，P，C 三点为“共谐点”，请直接
写出使得M，P，C 三点为“共谐点”的m 的值．
【答案】(1)
，
(2)①当点P 在线段
上时，
，
；当点P 在线段
上时，
，
；②m 的值为6 或12
【分析】（1）根据线段的和差关系并结合
求解即可；
（2）①分当点P 在线段
上时和当点P 在线段
上两种情况分别计算即可；
②分情况列方程可得m 的值．
【详解】（1）解：∵
，
，
∴
，
；
（2）解：①当点P 在线段
上时，
，
；
当点P 在线段
上时，如图，
，
；
②当点P 在线段
上时，则
，
∴
，
解得：
，
当点P 在线段
上时，则
，
∴
，
解得：m=12，
综上，m 的值为6 或12．
【变式9-2】如图：长方形
中，
，
，点P从点
出发，以每秒
的速度沿
A →B→C方向运动，同时点
从点
出发，以每秒
的速度沿射线CB方向运动，当点P到达终点
时，点
也随之停止运动．设点P的运动时间为t秒．
(1)当点P在AB上运动时，
______
．
(2)当点P在
上运动时，
时，求线段
的长．
(3)当
时，求出t的值．
(4)当点P在
上运动时，连接
、
，直接写出
的面积是
时，t的值．
【答案】(1)
(2)2cm
(3)
或
(4)
【分析】（1）根据题意，
，则
；
（2）计算得t = 4，此时点
与点
重合，因此
；
（3）分类讨论，点P在AB边上时，
，
，根据题意可列方程
，
解得
或
；当点P在
边上时，同样的方法计算出t的值，并删去不符合题意的值即可；
（4）先利用三角形面积计算出
，再分类讨论，当点P在点
上方时，
，可列方程
，解得
；当点P在点
下方时，
，列方程
，解得
，舍去不符合题意的情况即可．
【详解】（1）解：∵长方形
中，
，点P从点
出发，以每秒
的速度沿A →B→C方
向运动，当点P在AB上运动时，
∴
，
∴
；
（2）解：∵长方形
中，
，点P从点
出发，以每秒
的速度沿A →B→C方向运动，
当点P在
上运动时，
，
∴点P的运动路程为
，
（秒），
∵同时点
从点
出发，以每秒
的速度沿射线CB方向运动，
∴
，
∵
，
∴点
与点
重合，
∴
；
（3）解：∵长方形
中，
，
，点P从点
出发，以每秒
的速度沿
A →B→C方向运动，
∴P点走完
需要的时间为：
（秒）；P点走完
需要的时间为：
（秒），
①当
时，点P在AB边上，
∴
，
，
∵
，
∴
，即
，
解得
或
（与题设矛盾，舍去）；
②当
时，点P在
边上，
∴
，
同理可得，
，即
，
解得t = 18
5 或
（与题设矛盾，舍去）；
综上所述，t的值为
或
；
（4）解：∵点P在
上运动，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
①当点P在点
上方时，如图，
∴
，
∵
，
∴
，
解得
；
②当点P在点
下方时，如图，
∴
，
同理，
，
解得
，
∵
，
∴不符合题意；
综上所述，
．
题型10 一元一次方程的应用之电费和水费问题
【例19】某市居民家庭全年用气（天然气）量划分为三档，气价实行超额累进加价，先用第一档，再用第
二档，最后用第三档．例如：王明家年用气量为400 立方米，前360 立方米按2.53 元计算，后40 立方米按
2.78 元计算．
用气量（立方米）
单价（元）
第一
档
（含）
2.53
第二
档
（含）
2.78
第三
档
600 以上
3.54
(1)李强家年用气量为440 立方米，李强家需交燃气费多少元？
(2)赵刚家全年的燃气费平均每立方米2.60 元，赵刚家年用气量是多少立方米？
【答案】(1)1133.20 元
(2)500 立方米
【分析】（1）根据燃气缴费方式求解即可．
（2）先计算600 立方米用气量的总费用，然后再算出平均每立方米的费用，比较得出用气量不足600 立方
米，设赵刚家用气量为
立方米，根据题意列出关于x 的一元一次方程，求解即可得出答案．
【详解】（1）解：
（元）
答：李强家需交燃气费1133.20 元．
（2）解：600 立方米用气量的总费用：
（元）
平均每立方米的费用：
（元）
，因此用气量不足600 立方米．
设赵刚家用气量为
立方米．
答：赵刚家年用气量是500 立方米．
【例20】为鼓励居民节约用水，某市居民生活用水推行每月阶梯水费收费制度，具体执行方案如下：
类别
每户每月用水量
阶梯价格/（元
）
第一阶
梯
小于或等于
a
第二阶
梯
大于
且小于或等于
4
第三阶
梯
大于
5
该市某户居民2025 年12 月份的用水量为
，缴纳水费18 元．
(1)表格中a 的值为________．
(2)若该户居民2026 年1 月份的用水量为
，应缴纳水费多少元？
(3)若该户居民2026 年2 月份缴纳水费56 元，求该户居民2 月份的用水量．
【答案】(1)3
(2)39
(3)该户居民2 月份的用水量为
．
【分析】（1）根据第一阶梯收费标准计算即可；
（2）根据分段计算即可；
（3）先判断得出用水量超过
，进入第三阶梯，设该户居民2 月份的用水量为
，由三段缴水费和
为56 元即可列方程求解．
【详解】（1）解：
（元
）；
（2）解：用水量
属于第二阶梯(大于
且小于或等于
)，需分段计算：
第一阶梯
：
元，
第二阶梯
：
元，
总水费：
元；
（3）解：第一阶梯
水费：
元，
第二阶梯
水费：
元，
前两阶梯总水费：
元，
因为
，所以用水量超过
，进入第三阶梯，
设该户居民2 月份的用水量为
，
根据题意，得
，
解得
．
答：该户居民2 月份的用水量为
．
【技巧归纳】
阶梯计价：分段计算，每段单价不同。设用水/用电量为x，先判断所在区间，总费用=前段费用+本段费
用。列方程时，若已知总费用，先假设x 在某一阶梯，解出后验证是否在该区间内。注意每个阶梯的基数
和单价。可用分段函数思想。
【变式10-1】为鼓励居民节约用电，某市电力公司采用分段计费方式计算电费，每月用电不超过180 度时，
按每度
元计费；每月用电量超过180 度但又不超过280 度时，超过部分按每度
元计费，每月用电超
过280 度的部分按每度
元计费．收费标准如下表：
月用量
不超过180 度
超过180 度不超过
280 度的部分
超过280 度的部分
收费标准（元/度）
(1)如果小李家每月交电费y 元，每月用电量为x 度，用含x 的代数式表示电费y 为：
当
时，y = ；
当
时，y = ；
当
时，y = ．
(2)小李家6 月份交电费138 元，求小李家6 月份用多少度电？
【答案】(1)
(2)260 度
【分析】（1）根据题意，直接分段列出相应的函数关系式即可；
（2）根据（1）的结论；由交电费138 元可知在第二段，代入解析式可得用电量．
【详解】（1）解：当
时，
；
当
时，
；
当
时，
．
（2）解：当
时，
（元）；
当
时，
（元）；
，
故用电量处于第二段，
由
时，得到
，
解得：
．
小李家6 月份用电260 度．
【变式10-2】小阳同学在查看家里的电费账单时发现账单上有“第一档电费，第二档电费，峰时段用电量、
谷时段用电量、⋯⋯”等信息，引起了小阳同学的好奇．通过查询国家电网福建电力公司官网知道了电力
公司对居民用电设定如下两种计费方式供居民选择：
计费方式一：“分档”计算电费（如表1），即按用电量先计算第一档，超过第一档的部分再计算第二档，
依次类推，总电费等于各挡电费的总和；
计费方式二：“分档＋分时”计算电费（如表1、表2），总电费等于分档电费、峰时段增加的电费、谷
时段减少的电费的总和．
居民用电分档
用电量（单位：度）
电价（单位：元/度）
第一档
不超过230
第二档
超过230 且不超过420
第三档
超过420
表1
峰谷时段
电价差额（单位：元/度）
峰时段（
）
（每度电在各挡电价基础上加价
元）
谷时段（
次日
）
（每度电在各挡电价基础上降低
元）
表2
(1)若小阳同学家选择计费方式一，1 月份用电量为330 度，求1 月份应缴电费；
(2)设小阳同学家某月的用电量为x 度，
，且峰时段用电量是谷时段用电量的4 倍，请用含x 的式子
表示两种计费方式应缴电费；
(3)小阳同学家在2025 年某月的电费为
元，若采用计费方式一和计费方式二应缴电费相同，求该月峰
时段的用电量是谷时段的几倍？
【答案】(1)170 元
(2)“分档”计算电费：
，“分档+分时”计算电费：
(3)20
3 倍
【分析】（1）根据题意可直接进行求解；
（2）根据题意
，分
和
两种情况“分档”计算电费分别列出代数式即可，由峰
时段用电量是谷时段用电量的4 倍，根据“分档+分时”计算电费列出代数式即可；
（3）根据电费为
元，利用计费方式一确定用电量，设峰时段用电量为y，由采用计费方式一和计费
方式二应缴电费相同，即峰时段增加的电费
谷时段减少的电费，列出方程求解y 的值，进而求出该月峰
时段的用电量和谷时段的用电量，即可求出答案．
【详解】（1）解：由题意得：
（元），
答：1 月份应缴电费170 元；
（2）解：
，
当
时，则“分档”计算电费：
；
当
时，则“分档”计算电费：
，
“分档”计算电费：
，
峰时段用电量是谷时段用电量的4 倍，则峰时段用电量是
，谷时段用电量是
，
当
时，则“分档+分时”计算电费：
；
当
时，则“分档+分时”计算电费：
，
“分档+分时”计算电费：
；
（3）解：
（元），
（元），
（元），
，
（度），
小阳同学家在这个月的用电量为：
（度），
设峰时段用电量为y 度，则谷时段的用电量为
度，
由题意得：
，
解得：
，
则
（度），
，
答：该月峰时段的用电量是谷时段的20
3 倍．
一、单选题
1．某次“最强大脑”比赛，每个选手都需回答20 道题，答对一题得7 分，答错一题倒扣4 分，王刚答完
了全部
道题，得了63 分，他答对了（ ）道题．
A．7
B．9
C．11
D．13
【答案】D
【分析】先设王刚答对了
道题，再根据题意列方程，即可解答．
【详解】解：设王刚答对了
道题，则答错了(20−x)道题，
由题意得，
，
解得，x =13，
即他答对了
道题．
2．《孙子算经》中记载了这样一道题：今有三人共车，二车空：二人共车，九人步．问车几何？其译文
为：有若干人乘车，若每3 人同乘一车，最终剩余2 辆空车；若每2 人同乘一车，最终剩下9 人因无车可
乘而步行．问有多少辆车？设共有
辆车，则可以列出的方程为（ ）
A．3(x +2)=2 x−9
B．3(x−2)=2 x +9
C．3(x +2)=2 x +9
D．3(x−2)=2 x−9
【答案】B
【分析】分别用含
的式子表示两种乘车方案下的总人数，即可列出方程．
【详解】解：∵设共有
辆车，总人数保持不变，且每人乘一车，剩余
辆空车，
∴实际使用(x−2)辆车，
∴总人数可表示为3(x−2)，
∵每
人乘一车，剩余人步行，
∴总人数可表示为2 x +9，
∴3(x−2)=2 x +9．
3．农历“三月三”即将来临，某传统文化小组计划做一批“绣球”，如果每人做个，那么可比计划多做
个；如果每人做
个，那么将比计划少做
个，该文化小组计划做多少个“绣球”？若设该文化小组计
划做
个“绣球”，则可列方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】文化小组的人数不变，根据两种制作情况，用计划做的绣球总数
表示出小组人数，即可列出方
程．
【详解】解：设该文化小组计划做
个“绣球”，小组人数固定不变，
根据题意得
，
故选：A．
4．我国明代数学著作《算法统宗》中有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多
七客，一房九客一房空．”诗的后两句的意思是：如果每一间房住7 人，那么有7 人无房可住；如果每一
间房住9 人，那么恰好空出一间房．设共有客人x 人，根据题意可列出的方程是（ ）
A．
B．
C．7x+7＝9（x
1
﹣）
D．7x
7
﹣＝9（x+1）
【答案】A
【分析】利用房间总数不变的等量关系，用客人总数
表示出两种住宿情况对应的房间数即可列出方程．
【详解】解：设共有客人
人，两种情况下房间总数不变．
∵ 每间房住7 人时，有7 人无房可住，
∴此住满房间的人数为x−7，可得房间总数为
，
∵每间房住9 人时，空出1 间房，
∴实际使用房间数为x
9 ，原房间总数比实际使用房间数多1，可得房间总数为
．
∵ 房间总数不变，
∴
．
5．如果一个矩形的内部可以用若干个正方形不重叠、无缝隙地铺满，就称其为“完美矩形”．下图中的
“完美矩形”
，其周长为26，则正方形
的边长为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】C
【分析】设正方形a、b、c、d 的边长分别为a、b、c、d，分别求得
，
，由“完美矩形”
的周长得
，列式计算即可求解．
【详解】解：设正方形a、b、c、d 的边长分别为a、b、c、d，
∵“完美矩形”
的周长为26，
∴
，
∵
，
∴
，则
，
∴
，则
，
∴
，
∴
，
∴正方形d 的边长为5．
二、填空题
6．阳光小学购买了一批红色跳绳和蓝色跳绳，数量的比是
∶
．学校给每个班级发放
根红色跳绳和
根蓝色跳绳，结果蓝色跳绳刚好发完，红色跳绳还剩下48根．学校买来红色跳绳______根，蓝色跳绳
______根．
【答案】 288 1008
【分析】设学校共有
个班级，根据发放规则分别表示出红色跳绳与蓝色跳绳的总数量，再结合两种跳绳
的数量比列出一元一次方程，求解得到班级数后，即可计算两种跳绳的原有数量．
【详解】设学校共有
个班级．
由题意得 红色跳绳总数量为
，蓝色跳绳总数量为
．
已知红色跳绳与蓝色跳绳数量比为2:7，可得方程
，
解得x =24，
∴红色跳绳数量为
根，蓝色跳绳数量为
根．
7．四支排球队进行单循环比赛，即每两队都赛一场，且只赛一场．如果一场比赛的比分是3:0或3:1，则
胜队得3 分，负队得0 分；如果比分是3:2，则胜队得2 分，负队得1 分．比赛的结果各队得分恰好是四个
连续的自然数，则第一名的得分是______分．
【答案】6
【分析】本题考查了一元一次方程应用题，先根据题意确定比赛场数和比赛总得分，设参数最低分数为
，
利用各队得分是四个连续自然数的和是总分列方程，求出
，即可知道第一名的分数.
【详解】解：
四支球队进行单循环比赛，
总比赛场为3+2+1=6（场）．
一场比赛的比分是3:0或3:1，则胜队得3 分，负队得0 分；比分是3:2，则胜队得2 分，负队得1 分,
每场比赛无论比分如何总得分均为3 分，
所有比赛总得分为18 分.
比赛的结果各队得分恰好是四个连续的自然数，设最低得分为x，则其他自然数分别为x +1，x +2，
x +3，
∴x + x +1+ x +2+ x +3=18，
∴x =3，
第一名得分是x +3=3+3=6.
8．把9 个数放置到
方格中，使其任意一行、任意一列及两条对角线上的数之和都相同，如此便形成
了一个“九宫格”．它源于我国古代的“洛书”，是世界上最早的“幻方”．如右图，“九宫格”中m 的
值为_________．
【答案】
【分析】根据九宫格任意一行任意一列及两条对角线上的数之和相等，先由含三个已知数的对角线求出相
等的和，再计算出第一行第一列的数，最后利用对角线的和相等列方程求解
．
【详解】解：由题意可知，右上到左下的对角线经过中心方格，三个数分别为
，，，可得任意行、列、
对角线的和为：
，
设第一行第一列的数为
，
∵第一列三个数的和为15，
∴
，
解得a= 4，
左上到右下的对角线三个数为
，，
，和为15，
∴
，
解得
．
9．“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，中国古代数学史上经
常研究这一神话．数学上的“九宫图”所体现的是一个
表格．其每行、每列、每条对角线上三个数字
之和都相等，也称为三阶幻方，如图是一个三阶幻方，则
的值为___________．
【答案】
【分析】首先求出3+(−2)+(−7)=−6，然后根据题意求出x =−6−(−7)−4 =−3，
y =−6−(−2)−(−6)=2，然后代数求解即可．
【详解】解：3+(−2)+(−7)=−6
∵每行、每列、每条对角线上三个数字之和都相等，
∴x =−6−(−7)−4 =−3
3
∴和x 中间的数为−6−3−(−3)=−6
∴y =−6−(−2)−(−6)=2
∴2 x + y =2×(−3)+2=−4．
故答案为：
．
10．如图，在长方形
中，
，
．有一动点P从点
出发以
的速
度沿
运动到点
时停止．动点Q从点
出发以
的速度在线段CB上沿
方向向点B运动，
P，Q两点同时出发，当一点停止时另一个点同时停止运动，设运动的时间是
．当
________时，能使
．
【答案】
或
或
【分析】分两种情况讨论：①当点P在
上时，利用直角三角形斜边大于直角边的性质判断无解；②当
点P在
上时，用含的代数式表示
和CQ的长，根据
列出绝对值方程求解，并检验的
取值范围．
【详解】解：由题意得，点P运动的总时间为
，点Q运动的总时间为
，
所以
．
当
时，点P在
上，点Q在
上，
在
中，
．
因为CQ =2t，
，
所以
．
因为
，
所以
．
所以
，即
，不符合题意．
当
时，点P在
上，点Q在
上．
此时P，Q两点都在线段
上运动，
点P运动的路程为
，则
，点Q运动的路程为
，则CQ =2t．
因为BC =12，
所以
．
所以
．
由
，得
．
所以
或
．
即
或
．
①当
时，
或
．
解得
或
．
因为
，
所以
舍去，
符合题意．
②当
时，
或
．
解得
或
．
因为
，
所以
和
均符合题意．
综上所述，的值为
或
或
．
三、解答题
11．2025 年是新中国成立76 周年，实验小学举行了以“礼赞新中国，放歌新时代”为主题的歌咏比赛．
比赛分单人独唱和双人合唱，共有18 组，30 名学生参加比赛，单人独唱和双人合唱各有多少组？
【答案】单人独唱6 组；双人合唱12 组
【详解】本题可通过设未知数，设双人合唱的组数为x 组，因为总组数是18 组，所以单人独唱的组数就是
(18－x)组，再根据单人独唱每组1 人，双人合唱每组2 人，以及总共有30 名学生参加比赛这一条件，列
出方程2× x +1×(18−x)=30求解．
【分析】解：设双人合唱有x 组，则单人独唱有(18－x)组，根据人数关系可列方程：
2× x +1×(18−x)=30，
2 x +18−x =30，
x +18−18=30−18
x =12，
将x =12代入18−x，可得单人独唱的组数为18−12=6（组）
答：单人独唱有6 组，双人合唱有12 组．
12．烟台市政府决定修建一条高速公路，其中一段长为146 米的山体隧道贯穿工程由甲、乙两个工程队负
责施工．甲工程队独立工作2 天后，乙工程队加入，两工程队又联合工作了1 天，这3 天共掘进26 米．已
知甲工程队每天比乙工程队多掘进2 米，按此速度完成这项隧道贯穿工程，甲乙两个工程队还需要联合工
作多少天？
【答案】甲乙两个工程队还需联合工作10 天．
【分析】设甲工程队每天掘进x 米，则乙工程队每天掘进(x−2)米，利用甲、乙两工程队3 天共掘进26 米
列出方程，分别求得甲、乙工程队每天的工作量，再求出结果即可．
【详解】解：设甲工程队每天掘进x 米，则乙工程队每天掘进(x−2)米，
由题意得
，
解得
，
x−2=5，
（天），
答：甲乙两个工程队还需联合工作10 天．
13．（列方程解应用题）七年级一班共有学生50 人，其中男生人数比女生人数的2 倍还少19 人，劳技课
上，老师组织同学们自己动手设计制作收纳盒，每名学生一节课能做盒身11 个或盒底22 个．
(1)七年级一班有男生和女生各多少人？
(2)原计划女生负责做盒身，男生负责做盒底，每个盒身匹配2 个盒底，那么这节课做出的盒身和盒底不能
完全配套，最后决定男生去支援女生，问有多少男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配
套．
【答案】(1)男生27 人，女生23 人
(2)2 名
【分析】（1）根据班级总人数和男生与女生的数量关系列一元一次方程求解即可；
（2）根据配套要求，盒底数量是盒身数量的2 倍，列一元一次方程求解即可．
【详解】（1）解：设七年级一班女生人数为
人，则男生人数为
人，
根据题意，得
，
解得x =23，
则
，
答：七年级一班有男生27 人，女生23 人；
（2）解：设有
名男生去支援女生，支援后，做盒身的人数为
人，做盒底的人数为
人，
盒身总数为
个，盒底总数为
个，
根据配套关系，得
，
解得
，
答：有2 名男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套．
14．一水果店主分两批购进某一种水果．第一批所用资金为2400 元，因天气原因水果涨价，第二批所用
资金是2700 元．由于第二批每箱单价比第一批单价多10 元，以致购买的数量比第一批少25 %．
(1)该水果店主购进两批水果的单价分别是多少元？
(2)该水果店主计划两批水果的售价均定为每箱40 元，实际销售时按计划无损耗售完第一批后，发现第二
批水果品质不如第一批，于是该店主将售价下降a %销售，结果还是出现了
的损耗，但这两批水果销
售完后仍赚了1716 元，求a 的值．
【答案】(1)第一批水果的单价是20 元，第二批水果的单价是30 元．
(2)30
【分析】（1）设第一批购进每箱单价为
元，则第二批每箱单价为( x +10)元，根据第二批数量比第一批
少25 %，列方程求解．
（2）先根据（1）中的单价得出第一批的数量是120 箱，且第一批无损耗则收入是4800 元；第二批的数量
90 箱，但是出现了
的损耗，即售出数量为购进数量的(1−20 %)，则只能卖出72 箱．售价下降a %，
即售价为40×(1−a %)元．总收入减去总成本(2400+2700)等于利润1716 元，列方程求解
．
【详解】（1）解：设第一批购进每箱单价为
元，则第二批每箱单价为(x +10)元，
根据题意可得：2700:(x +10)=2400×(1−25 %): x，即2700 x =2400×0.75×(x +10)，
解得：
，
第二批单价：20+10=30（元），
答：第一批水果的单价是20 元，第二批水果的单价是30 元．
（2）解：第一批水果的购买数量：2400÷20=120（箱），
第一批水果的无损耗收入：40×120= 4800（元），
第二批水果的购买数量：2700÷30=90（箱），
第二批水果的售出数量：90×(1−20 %)=90×0.8=72（箱），
成本：2400+2700=5100（元），
根据题意可得：4800+72×40×(1−a %)−5100=1716，
解得：a=30，
答：
的值是30．
15．如图，是某月的月历．
(1)带阴影的十字框中的5 个数的和与十字框中间的数有什么关系？
(2)这个结论对于任何一个月的月历都成立吗？说明理由．
(3)在该月的月历上用十字框框出5 个数，能使这5 个数的和为100 吗？
【答案】(1)带阴影的十字框中的5 个数的和是十字框中间的数的5 倍
(2)成立；理由如下：
假设中间数为
，则上面的数是
，下面的数是x +1，前面一个是x−7，后面一个是x +7，
( x−1)+ x +( x +1)+( x−7)+( x +7)
= x−1+ x + x +1+ x−7+ x +7
=5 x
5 x÷ x =5
(3)不能
【分析】（1）根据所给数据进行计算可得答案；
（2）根据图上的数之间的关系可得：中间一个为x ,上面的数是
，下面的数是x +1，前面一个是x−7，
后面一个是x +7，然后再计算这五个数的和即可；
（3）根据题意用未知数表示出框出个数，根据这个数的和为
列出方程解答即可．
【详解】（1）解：9+15+16+17+23=80
80÷16=5
答：带阴影的十字框中的5 个数的和是十字框中间的数的5 倍．
（2）略
（3）解：设中间数为
．
5 x =100
5 x÷5=100÷5
x =20
答：在该月历上，
是最后一列上的数，不能成为十字框中间的数．
16．列方程解应用题：
某花店售卖金桔盆栽和花肥，已知一盆金桔盆栽售价28 元，利润率为40%；花肥进价每包2 元，一包花肥
的利润率和一盆金桔盆栽的利润率相同．花店第一次进货总共花费720 元，其中花肥的进货数量是金桔盆
栽的2 倍．
(1)花店第一次进货购进了金桔盆栽多少盆？
(2)第一次进货商品全部售完后，商家进行第二次进货．为吸引更多顾客，花店推出促销活动：每卖出一盆
金桔盆栽，免费赠送一包花肥，金桔盆栽售完后，剩余的花肥再进行单独售卖（第二次购进花肥数量大于
金桔盆栽数量）．第二次进货对比第一次：金桔盆栽的进价降低了m 元，进货数量增加了8 盆，售价不变；
花肥的进价不变，进货数量比第一次增加了2m 包，售价不变．第二次售完获得的总利润比第一次多76.4
元，求m 的值．
【答案】(1)30
(2)3
【分析】（1）先根据金桔盆栽的售价和利润率求出金桔的进价，再设金桔进货数量为未知数，根据总进
货花费列方程求解；
（2）先求出花肥售价和第一次总利润，再根据题意表示出第二次的总利润，根据第二次总利润比第一次
多76.4 元列方程求解，验证条件后得到m 的值．
【详解】（1）解：设金桔盆栽的进价为x 元，
由题意得
，
解得
，
设花店第一次进货购进金桔盆栽y 盆，则购进花肥
包，
由题意得
，
解得y =30．
答：花店第一次进货购进了金桔盆栽30 盆．
（2）解：由（1）得第一次购进花肥数量为
（包），花肥售价为
（元），
第一次总利润为
（元），
第二次金桔盆栽进货数量为
（盆），进价为(20−m)元，第二次花肥进货数量为
包，
进价为2 元，每卖一盆金桔赠送一包花肥，因此免费赠送38 包，单独售卖的花肥数量为
（包），
由题意得：
，
整理得
，
解得
，
此时第二次花肥进货数量为
，符合题意．
答：m 的值为3．
17．为增强公民节水意识，合理利用水资源，某市采用“阶梯收费”，标准如下表：
用水量
单价
不超过
的部分
2 元/m
3
超过
不超过
的部
分
4 元/m
3
超出
的部分
8 元/m
3
譬如：某用户2 月份用水
，则应缴水费：
(元)．
(1)某用户3 月用水
应缴水费多少元？
(2)已知某用户4 月份缴水费
元，求该用户4 月份的用水量；
(3)如果该用户5、6 月份共用水
(
月份用水量超过5 月份用水量)，共交水费
元，则该户居民5、6
月份各用水多少立方米？
【答案】(1)
元；
(2)9 m
3；
(3)5 月份用水7 m
3，6 月份用水13 m
3
【分析】（1）用水量
超过
，需分三段计算水费：不超过
的部分、
到
的部分、超过
的部分，将各段费用相加得到总水费．
（2）先计算不同阶梯的费用上限，判断
元对应的用水量区间，再设用水量为
，根据阶梯计费规则列
方程求解．
（3）设5 月份用水量为
，则6 月份为
，结合6 月份用水量超过5 月份得
，分三种情况讨论：
①5 月份用水量不超过
；②5 月份用水量在
到
之间；③5 月份用水量超过
，分别列方程
求解后验证是否符合假设条件，舍去矛盾解．
【详解】（1）解：∵用户3 月用水
，根据阶梯收费标准分三段计算：
不超过
的部分费用为2×6=12(元)，
到
的部分费用为
(元)，
超过
的部分费用为
(元)，
∴总水费为
(元)．
答：该用户3 月应缴水费
元．
（2）解：当用水量为
时，水费为2×6=12(元)；
当用水量为
时，水费为
(元)．
∵用户4 月缴水费
元，
，
∴该用户4 月用水量在
到
之间．
设该用户4 月用水量为
，根据题意列方程：
，
解得：
．
答：该用户4 月份的用水量为
．
（3）解：设5 月份用水
，则6 月份用水
，
分三种情况讨论：
①若0< x ≤6，则
，
5 月份水费为
元，
6 月份水费为
元，
根据总水费列方程：
，解得
，
，与假设0< x ≤6矛盾，故该情况不成立．
②若
，则
，
5 月份水费为
元，
6 月份水费为
元，
根据总水费列方程：
，解得
．
此时6 月份用水量为
，满足题意，符合条件．
③若
，则
，不满足
月份用水量超过5 月份用水量．
答：该户居民5 月份用水
，6 月份用水
．
18．【方法指导】在学习绝对值时，老师通过绝对值的几何意义，拓展了数轴上任意两点之间的距离公式，
点A、B 在数轴上分别表示有理数a、b，那么A、B 两点之间的距离为：
．
【问题解决】如图，在数轴上，点A 表示−10，点B 表示11，点C 表示18．动点P 从点A 出发沿数轴正
方向以每秒3 个单位长度的速度匀速运动；同时，动点Q 从点C 出发，沿数轴负方向以每秒1 个单位长度
的速度匀速运动．设运动时间为秒．
(1)当
时，线段
的长为 ；线段
的长为 ；
(2)当为何值时，P、Q 两点相遇？相遇点M 所对应的数是多少？
(3)在点Q 出发后到达点B 之前，求为何值时
；
(4)当t 为何值时，P、Q 两点间的距离
【答案】(1)4，5
(2)当
时，P、Q两点相遇，相遇点
所对应的数为11
(3)
或
(4)
或
【分析】（1）根据题意表示出点P和点Q表示的数，进而求出
时点P和点Q表示的数，再根据两点距
离计算公式即可；
（2）根据题意表示出点P和点Q表示的数，然后当P、Q两点相遇时列出方程求解即可；
（3）根据题意表示出
，
的长度，然后根据
列方程求解即可；
（4）首先表示出PQ的长度，然后根据
列方程求解即可．
【详解】（1）解：
动点P从点
出发沿数轴正方向以每秒3 个单位长度的速度匀速运动；同时，动点Q
从点
出发，沿数轴负方向以每秒1 个单位长度的速度匀速运动，
点P表示的数为
，点Q表示的数为
，
当
时，点P表示的数为
，点Q表示的数为
，
，
．
（2）解：
动点P从点
出发沿数轴正方向以每秒3 个单位长度的速度匀速运动；同时，动点Q从点
出
发，沿数轴负方向以每秒1 个单位长度的速度匀速运动，
点P表示的数为
，点Q表示的数为
，
当P、Q两点相遇时，
，
解得
，
相遇点
所对应的数为
，
当
时，P、Q两点相遇，相遇点
所对应的数为11．
（3）解：
点P表示的数为
，点Q表示的数为
，
，
，
当
时，
，
解得
或
，
当点Q 到达点B 时，
，
解得
，
∴
或
都符合题意，
综上，
或
；
（4）解：
点P表示的数为
，点Q表示的数为
，
，
当
时，则
，
解得
或
．
