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专项训练06 一元一次方程中含参数问题
【知识点1 一元一次方程中含参数问题】
1. 解的情况判定：系数定乾坤
对于一元一次方程ax = b（a、b 可为含参表达式）：
- 唯一解：a≠0，解为x =b
a。
- 无数解：a = 0 且b = 0，方程化为0*x = 0 ，任意实数均为解。
- 无解： a = 0 且b≠ 0，方程化为0*x = b（b≠0），无解。
> 关键：含参方程先化为标准形式ax = b ，再按上述原则分情况讨论。
2. 解的特征条件：正负、整数、相等
- 解的正负：先解出x = f(m)（含参表达式），再列不等式：
- x > 0、x < 0、x≥0 等。
- 解为整数： f(m) 为整数，常结合整除性求参数（如m 为整数，f(m)需能被某数整除）。
- 解相等：若两个含参方程的解相同，先分别解出x1 = f(m) 、x2 = g(m)，再令f(m) = g(m)求参数。
3. 同解与错解问题：代入法破题
- 同解方程：
- 两个方程解相同，可用“解一方程，代入另一方程”求参数；
- 或分别用含参式子表示解，令其相等。
- 错解问题（看错系数）：
- 如“看错a 得解 x0”，则将x0代入未看错的方程部分，反求参数；
- 关键：分清哪个系数看错，哪个没看错，代入正确的方程。
【题型1 利用一元一次方程的定义求字母参数】
1．已知方程
是关于x 的一元一次方程，则m 的值为______．
2．如果关于
的方程
是一元一次方程，则
_____．
【题型2 利用一元一次方程的解求字母或代数式的值】
3．若
是关于
的一元一次方程
的解，则
的值是______．
4．若
是关于x 的一元一次方程
的解，则代数式
的值为_________．
【题型3 利用一元一次方程的解相同求字母参数】
5．若关于
的方程
和方程
同解，则
的值等于______．
6．若方程
的解与关于
的方程
的解相同，则
的值为_____．
【题型4 求一元一次方程含字母参数的方程的解】
7．若关于
的方程
的解为
，则关于
的方程
的解为
________．
8．关于
的一元一次方程
的解是
，则关于
的一元一次方程
的解是___________．
【题型5 一元一次方程含字母参数的解为整数解问题】
9．关于x 的方程
的解是正整数，则满足条件整数a 的和是 ．
10．已知关于x 的方程
的解为整数，且k 为整数，则满足条件的所有k 值的和为 ．
【题型6 一元一次方程含字母参数的新定义型问题】
11．我们定义：若关于
的一元一次方程
的解满足
，则称该方程是“差解方程”，例如：
的解为
，则该方程
就是“差解方程”，请根据上述规定解答下列问题：
【定义理解】
（1）判断：方程
_______差解方程；（填“是”或“不是”）
（2）若关于
的一元一次方程
是“差解方程”，求
的值；
【知识应用】
（3）已知关于
的一元一次方程
是“差解方程”，求
的值．
12．中考新趋势·新定义 定义：关于x 的方程
与方程
（a，b 均为不等于0 的常数）称互
为“反对方程”，例如：方程
与方程
互为“反对方程”．
(1)若关于x 的方程
与方程
互为“反对方程”，则
_______；
(2)若关于x 的方程
与其“反对方程”的解都是整数，求整数d 的值；
(3)已知关于x 的一元一次方程
的解为
，那么关于y 的一元一次方程
的解为_______．（请直接写出答案）
1．若关于
的方程
的解为
，则
的值为（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1
2．已知方程
是关于
的一元一次方程，则
的值是（ ）
A．1
B．
C．
D．2
3．王涵同学在解关于
的方程
时，误将“
”看作“
”，得到方程的解为
，那么原
方程的解为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．已知关于
的方程
有整数解，则
的所有可能的取值的和为( )
A．
B．
C．
D．
5．下列结论：
若
①
是关于x 的方程
的一个解，则
；
若
②
有唯一的解，则
；
若
③
，则关于x 的方程
的解为
；
若
④
，且
，则
一定是方程
的解；
其中结论正确个数有（ ）
A．4 个
B．3 个
C．2 个
D．1 个
6．若
是方程
的解，则
．
7．小玉在解方程
去分母时，方程右边的“
”项没有乘6．因而求得的解是
，则
．
8．若关于x 的方程
，无论k 为任何数时，它的解总是
，则
．
9．若方程
是关于x 的一元一次方程，则代数式
的值是 ．
10．k 是一个正整数，关于
的一元一次方程
有正整数解，则
．
11．已知关于x 的方程
的解与
的解互为相反数．
(1)求a 的值；
(2)求代数式
的值．
12．（1）已知
是方程
的解，求m 的值；
（2）方程
的解与方程
的解相同，求m 的值．
13．【定义】若关于x 的一元一次方程
的解满足
，则称该方程为“友好方程”．例如：方
程
的解为
，而
，则该方程为“友好方程”．
(1)在方程①
；②
中，为“友好方程”的是_____；（填序号）
(2)若关于x 的一元一次方程
是“友好方程”，求m 的值．
1．若
是一元一次方程
的解，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．若关于
的方程
的解是整数，则整数
的取值有（ ）
A．6 个
B．5 个
C．3 个
D．2 个
3．已知关于x 的一元一次方程
的解为
，则关于y 的一元一次方程
的解为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．嘉嘉同学在解关于x 的方程
时，由于粗心大意，误将等号左边的“
”看作了“
”，其他解题过程均正确，从而解得方程的解为
，则原方程的解是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．如果关于
的方程
无解，那么
满足的条件是 ．
6．已知关于
的方程
的解是非正整数，则符合条件的所有整数
的和是 ．
7．例如“已知关于x 的方程
的解为
，求关于y 的方程
的解．”可以这样解：
可得
，所以
．若关于x 的方程
的解是
，且式子
成立，则
的值为 ．
8．已知关于x 的一元一次方程
的解为
，那么关于y 的一元一次方程
的解为 ．
9．已知关于
的一元一次方程
，其中
为整数
(1)求
的值
(2)若该方程与方程
同解，求
的值
(3)若该方程有整数解，求
的值
10．方程的解的定义：使方程两边相等的未知数的值．如果一个方程的解都是整数，那么这个方程叫做
“立信方程”．
(1)若“立信方程”
的解也是关于
的方程
的解，则
___；
(2)若关于
的方程
的解也是“立信方程”
的解，则
______；
(3)若关于
的方程
的解也是关于
的方程
的解，且这两个方程都是
“立信方程”，求符合要求的正整数
和正整数
的值．
11．定义：如果两个一元一次方程的解的和为1，我们就称这两个方程为“友好方程”．例如：方程
和
为“友好方程”．
(1)若关于x 的方程
与方程
是“友好方程”，则
______；若“友好方程”的两个
解的差为5，其中一个解为
，则
______．
(2)若关于x 的方程
与方程
是“友好方程”，求m 的值．
(3)若关于x 的一元一次方程
和
是“友好方程”，请直接写出关于y 的一元
一次方程
的解．
12．数学课本上有这样一道题“如果代数式
的值为
，那么代数式
的值是多
少？”小明同学解题过程如下：
解：原式
因为
，所以原式
．
小明同学把
作为一个整体进行代入求值，像这样的求解方法称为“整体思想”，这是数学解题中的
一种重要思想方法，它在多项式的化简求值与解方程中应用极为广泛．请仿照上面的解题方法，完成下面
问题：
【尝试应用】
（1）已知a、b 互为相反数，m、n 互为倒数，则
______．
（2）已知，当
，
的值是2023；当
时，
的值是____．
【拓展提高】
（3）已知
，
，
，
求
的值．
（4）关于x 的一元一次方程
的解
，解关于y 的一元一次方程
．
