文档文本内容
1 / 13
第04 讲认识有理数
内容导航
01 预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向
02 教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理
03 题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解
题型1 正数的识别
题型2 负数的识别
题型3 相反意义的量
题型4 正负数的实际应用
题型5 有理数概念的理解
题型6 对0 的理解
题型7 有理数的分类
题型8 带“非”字的有理数
04 过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固
关键词
学习目标导航
正数、负数、相反意义
的量、有理数、分类、
整数、分数。
1. 理解正数与负数的概念，能准确识别并举例说明，知道0 既不是正数也不
是负数。
2. 会用正、负数表示生活中具有相反意义的量（如温度、海拔、收支等），
体会引入负数的必要性。
3. 理解有理数的意义，掌握有理数的两种分类方法：按定义（整数和分数）
和按性质符号（正有理数、0、负有理数）。
4. 经历从实际情境抽象出有理数概念的过程，培养观察归纳能力和数感。
学习重点：理解正、负数的概念，会用正、负数表示相反意义的量；掌握有理数的概念及两种分类标
准。
学习难点：理解负数的抽象意义（特别是引入负数后数的范围扩充），以及能按不同标准对有理数进
行准确分类且做到不重不漏。
2 / 13
知｜识｜框｜架
知｜识｜精｜讲
知识点01 正数和负数
正数的概念：大于0 的数叫做正数.
负数的概念：在正数前面加上负号“—”的数叫做负数.
注：0 既不是正数也不是负数，是正数和负数的分界线，是整数，自然数，有理数.
（不是带“—”号的数都是负数，而是在正数前加“—”的数.）
【易错提醒】
0 既不是正数也不是负数。带“+”号不一定是正数（如+(-3)），带“-”号不一定是负数（如-(-3)）。
即时即练1．有五个数：2 ，0 ，5
，1
3 ，
1
4
，其中正数有（
）
3 / 13
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
2．在9
，0，2
，1
3 ，100
，0.5
中，负数的个数有几个（
）
A．2 个
B．3 个
C．4 个
D．5 个
知识点02
相反意义的量
意义：在同一个问题上，用正数和负数表示具有相反意义的量.
【易错提醒】
必须同时具备：两个量、意义相反、属于同一属性（如温度增减），且可带不同单位。无相反意义（如“向
南”与“向上”）不算。
即时即练1．我国古代数学著作《九章算术》中提出了正数，负数的概念．若水库的水位升高2 m 时，水位
变化记作2 m
，则水库的水位下降1m 时，水位变化记作
m ．
2．一种袋装食品的标准净重为200g ，质监部门工作人员为了了解该种食品每袋净重与标准净重的误差，把
食品净重203g 记为3g
，那么食品净重198g 就记为
g ．
知识点03 有理数的概念
概
念：整数和分数统称有理数.
整
数：正整数、0、负整数统称为整数.
分
数：正分数、负分数统称分数.（有限小数与无限循环小数都是有理数.）
注：正数和零统称为非负数，负数和零统称为非正数，正整数和零统称为非负整数，负整数和零统称为非
正整数.
【易错提醒】
有理数是整数和分数（有限小数或无限循环小数）的总称。注意：π不是有理数；分数形式
ݍ须约分为最简
整数比，且q≠0 。
即时即练1.下列说法中，错误的有（
）
①
4
2 7
是负分数；②1.5不是整数；③非负有理数不包括0 ；④3.14不是有理数；⑤0 是最小的有
理数；⑥正整数、负整数统称为有理数．
A．1个
B．2 个
C．3个
D．4 个
4 / 13
2.下列说法正确的有（
）
①正有理数是正整数和正分数的统称；
②整数是正整数和负整数的统称；
③有理数是正整数、负整数、正分数、负分数的统称；
④0 是偶数，但不是自然数；
⑤偶数包括正偶数、负偶数和零．
A．2 个
B．3 个
C．4 个
D．5 个
知识点04 有理数的分类
两种分类：
⑴按正、负性质分类：
⑵按整数、分数分类：
正有理数
正整数
正整数
有理数
正分数
整数
0
零
有理数
负整数
负有理数
负整数
分数
正分数
负分数
负分数
【易错提醒】
按定义分整数（含0）和分数；按性质分正有理数、0、负有理数。注意：小数（如0.5）需先判断是否可化
分数，循环小数是有理数，π等不是。
即时即练1.把下列各数填入图中相应的位置，并填写公共部分的名称．
16
，0，
2
3
，4
，3.6
，32
2.将下列各数填入相应的集合内：
13.2，
3
8
，12，0，6.8
，8%
，1
3 ，2
整数集合：{
……}
正有理数集合：{
…… }
负有理数集合：{
……}
5 / 13
题型1 正数的识别
【例1】下列各数中，是正数的是（
）
A．1
3
B．2
C．
1
2
D．0
【例2】5
，32
，0，6
，3 这几个数中，正数有（
）个
A．1
B．2
C．3
D．4
【技巧归纳】
1. 大于0：正数即大于0 的数，含正整数、正分数、正无理数。
2. 判符号：看“+”（可省略）或直接比较与0 的大小。
【变式1-1】在2
，6
，0，
4
5
，3
14 中，正数有（
）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【变式1-2】在9
、2.7
、10、0 、35
、200
中，一共有( ) 个正数．
A．2
B．3
C．4
D．5
题型2 负数的识别
【例3】在2 ，3
，3.14，8.5
，0 ，
2
7
，
7
3
中，负数有（
）
A．1个
B．2 个
C．3个
D．4 个
【例4】下列六个数2
、1.010010001、4
3 、0、
、0.1
，其中负数有（
）个
A．3
B．4
C．5
D．6
【技巧归纳】
1. 小于0：负数即小于0 的数，如带“−”号（负号）。
2. 看符号：负号不可省略，0 既非正也非负。注意“−a” 不一定是负数（当a 为负时为正）。
【变式2-1】在3
、0、5、
1
5 2
、+4.9、15% 、+2019 中，是负数的有（
）个．
A．2
B．3
C．4
D．5
6 / 13
【变式2-2】在3
，2
，0 ，1
，4 ，5这6 个数中，负数有几个（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
题型3 相反意义的量
【例5】在零件尺寸检测中，如果一个零件的尺寸超出标准尺寸0.08 mm 记作0.08 mm
，那么低于标准尺
寸0.22 mm 记作__________ mm ．
【例6】某市元旦的最高气温为零上6 C
，记为6 C
；最低气温为零下3 C
，则最低气温记为__________ C
．
【技巧归纳】
1. 定基准：明确“正方向”意义（如上升、收入）。
2. 成对出现：意义相反（如上升5 米与下降3 米），数值可不同。
3. 辨无关：不是所有正负数都是相反意义，需描述方向或属性对立。
【变式3-1】中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入了负数．若收入
200 元记作200
元，则支出100 元记作______元．
【变式3-2】2025 年9 月3 日，纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80 周年大会在北京天安门
广场隆重举行，其中无人机智能作战群的精准飞行成为亮点之一．若无人机在飞行过程中，上升8 米记作8
米，那么下降10 米记作______米．
题型4 正负数的实际应用
【例7】一位足球守门员练习折返跑，从球门线出发，向前记作正，返回记作负，他的记录（单位：米）如
下：5
，3
，8
，13
，9
，12
，10
．
(1)守门员最后是否回到了球门线的位置？
(2)守门员全部练习结束后，他共跑了多少米？
【例8】某电商在网上销售一种水果，其每箱的标准质量为10kg ．现抽取6 箱样品进行检测，结果如下表：
每箱样品
的质量
/ kg
10.2
9.9
10.3
9.8
9.7
10.4
如果规定高于标准质量的部分记作正，请分别用带“ ”或“ - ”的数表示样品质量与标准质量的差．
7 / 13
【技巧归纳】
1. 定基准：规定正方向（如收入为正，支出为负）。
2. 算差值：用“末－初”或“正数和－负数和”求变化量。
3. 判盈亏：总和>0 盈利，<0 亏损，=0 持平。
【变式4-1】如图，一只甲虫在5 5
的方格（每小格边长为1）上沿着网格线运动，它从A 处出发去看望B ，
C ，D 处的甲虫，规定：向上、向右走为正，向下、向左走为负．例如从A 到B 记为：
1, 4
A
B
，从D
到C 记为：
1, 2
D
C
，其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向．
(1)图中
(
A
C
，) ，D
4, 2
；
(2)若这只甲虫从A 处去P 处的行走路线依次为
2, 2
，
2, 1
，
2, 3
，
1, 2
，请在图中标出P 的
位置．
【变式4-2】出租车司机小凯一天下午从公司出发，在一条东西方向的大街上营运．规定向东为正，向西为
负，按照接送乘客的先后顺序记录如下（单位：千米）：1
，9
，5
，4
，8
，6
，2
，6
，4
，10
．
(1)司机将最后一名乘客送到目的地时，出租车在公司的什么方向，距离公司多少千米？
(2)若出租车每千米耗油0.1升，油价为每升6 元．求这天下午运营过程中，共需要多少油费？
(3)在第（2）问的条件下，若该出租车的计价标准为每趟乘车行驶路程不超过3千米收费8元，超过3千米
的部分每千米加收2 元，如果不计其它成本且不考虑其它因素，该司机这天下午运营是盈利还是亏损？盈利
或亏损了多少元？（运营收入乘客所给的总车费- 油费）
题型5 有理数概念的理解
【例9】下列说法：①可以写成分数形式的数称为有理数；②有理数不是正数就是负数；③非负数就是正
数和0；④0 是最小的整数．其中正确的个数是（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
【例10】下列说法正确的是（
）
A．正整数和负整数统称为整数
B．整数和分数统称为有理数
8 / 13
C．非负有理数就是正有理数
D．零表示不存在，所以零不是有理数
【技巧归纳】
有理数是整数和分数的统称，可化为
ݍ（q≠0）形式。判断时，整数、有限小数、无限循环小数均为有理数；
无限不循环小数（如π 不是。注意带根号且能开尽的也是有理数。
【变式5-1】下列说法中正确的是（
）
A．最小的有理数是0
B．正整数集合与负整数集合合在一起就构成整数集合
C．分数分为正分数和负分数
D．非负整数即为正整数
【变式5-2】下列说法中正确的是（
）
A．0 不是有理数
B．在有理数中有最小的数
C．有理数不是整数就是分数
D．若a 是有理数，则a
一定是负数
题型6 对0 的理解
【例11】下列说法正确的是（
）
A．0 既是正数，也是负数
B．0 表示没有
C．0 既不是正数，也不是负数
D．0 比负数小
【例12】下列说法正确的是（
）
A．0.5
是负分数
B．1
是负数，但不是整数
C．0 是正数
D．
1
2 是分数但不是正数
【技巧归纳】
1. 分界与中性：0 既非正也非负，是正负分界点。
2. 运算特征：加0 不变、乘0 得0、0 不能作除数。
3. 意义：表示“没有”或“起点”（如数轴原点、温度零度）。
【变式6-1】下列叙述中，正确的是（
）
A．0 既不是正数也不是负数
B．0 是正数
C．0 是负数
D．0 不是整数
【变式6-2】下列对“0”的说法正确的个数是（
）
9 / 13
①0 是正数与负数的分界；②0 只表示“什么也没有”；③0 可以表示特定的意义，如0℃；④0 是正数．
A．1
B．2
C．3
D．4
题型7 有理数的分类
【例13】把下列各数的序号填在相应的集合里：
①35
，②0.2，③
4
7
，④0，⑤
1
2 2
，⑥，⑦
2.3
-
，⑧320
．
整数集合：{ __________________ }；
负分数集合：{ __________________ }；
正有理数集合：{ __________________ }．
【例14】将下列各数填入相应的集合中．0.6，3
，2
，10% ，0，8
，1.2
，
π
2
，0.3．
自然数集合：{
…}；负整数集合：{
…}；
正分数集合：{
…}；有理数集合：{
…}．
【技巧归纳】
有理数按定义分为整数（正整数、0、负整数）和分数（正分数、负分数）。按性质分为正有理数、0、负
有理数。分类时注意：有限小数和无限循环小数归属分数，百分数化成分数形式后判断。
【变式7-1】把下列各数填在相应的大括号里：
1
2
，8 ，7
，3.2
，0.16 ，2.8 ，9.1
，0 ，1．
正整数集合：{
L }；
负整数集合：{
L }；
正分数集合：{
L }；
负分数集合：{
L }．
【变式7-2】把下面的有理数填在相对应的集合内：1
2
，30
7 2.
，
，2
2 3 ，10
11
，6 ，0 ，2.1，5
，302
，
10
正数集合：｛
… ｝
负数集合：｛
… ｝
整数集合：｛
… ｝
分数集合：｛
… ｝
10 / 13
题型8 带“非”字的有理数
【例15】把下列各数分别填在相应的集合内：
1
、5.7 、1、3.9
、3、3.1415926、
3
5
-
、0 、23，
正数集合{____________________________}
负分数集合{____________________________}
非负整数集合{___________________________}
【例16】把下列各数填入相应的集合中：
3.14
，2π，
1
3
，0.618，22
7 ，0，1
，6% ，3
．
正数集合：{
…}；
分数集合：{
…}；
非负整数集合：{
…}．
【技巧归纳】
“非”字表示否定，如非负数即正数和0，非正整数即0 和负整数。解题时先明确否定范围，用数轴画出对
应区域，注意端点是否包含。转化时去掉“非”字，补充相反情况，避免遗漏0。
【变式8-1】把下列各数填在相应的表示集合的大括号里．
1
2 ，3.15
，6，7
，0，50%
正有理数集合{
…}；
负有理数集合{
…}；
整数集合{
…}；
非负整数集合{
…}．
【变式8-2】请把下面的有理数填在相应的集合内：
1，0.0708，700
，3.88
，0，3.14，
7
23
，0.23．
正有理数集合：{____________________________…}．
负整数集合：{______________________________…}．
正分数集合：{______________________________…}．
非负整数集合：{____________________________…}．
11 / 13
一、单选题
1．我国古代的《九章算术》在世界数学史上首次正式引入负数．若气温零上1℃记作1
℃，则气温零下10℃
记作（
）
A．10
℃
B．1
℃
C．1
℃
D．10
℃
2．在3
，0，1，
4
5
，0.2
，7，π中，负数有（
）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
3．下列说法：①0 是最小的整数；②有理数不是正数就是负数；③非负数就是正数；④正数中没有最小的
数，负数中没有最大的数．其中正确的结论有（
）个
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．3 个
4．在1，40
，0，3
，13
9 ，
7
8
，2025，0.6 中，非负数有（
）个．
A．2 个
B．3 个
C．4 个
D．5 个
5．中国古代用算筹来记数，算筹的摆放有纵横两种形式（如下表）：
当表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的算筹需要纵、
横相间：个位、百位、万位数用纵式表示，十位、千位、十万位数用横式表示，“0”用空位来代替，以此类
推．在个位数算筹上面斜着放一支算筹表示负数．例如：“
”表示＋238，“
”表示
7023
．由此可知“
”表示的数是（
）
A．6028
B．6028
C．6208
D．6208
二、填空题
6．在3.14
，22
7 ，0，中，有理数有_____个．
7．如盈利记为正，则亏本记为负，3000
元表示______，240
元表示_______．
8．在＋8，0，
3
7
，
4
5
，2023，5
，0.26，11 中，非正整数有________个．
9．下列各数：3，
1
5,
2
，0，2，0.97 ，0.21, 60%
，9，2
2 3 ，85，1．其中正数有_______个，负数有_______
个
12 / 13
10．在下列各数，1
，3.141559
，2，1
3 ，13，0，
1
2 ，5%
，3
4 中，整数有__________，负分数有
____________________．
三、解答题
11．把下列各数的序号填在相应的数集内：①π；②
3
5
-
；③3.2
；④0；⑤1
3 ；⑥6.5
；⑦108
；⑧4
．
(1)整数集合{____________________________________}；
(2)正有理数集合{______________________________}；
(3)负有理数集合{________________________________}．
12．某百货商店的每个月的营业成本是12 万元，去年上半年月收入分别是：
1 月：13 万元，2 月：16 万元，3 月：11 万元，4 月：17 万元，5 月：12 万元，6 月：10 万元
(1)你会用正负数表示百货商店的盈亏情况吗？
月份
一月
二月
三月
四月
五月
六月
盈亏情况（万元）
(2)哪个月的营业状况最好？哪个月的营业状况最差？
月份
一月
二月
三月
四月
五月
六月
盈亏情况（万元）
1
4
1
5
0
2
13．请把下列各数分别填入相应的圈内：
2
3
，
3
4
，0.618，15
，1
3 ，0.3
，2
9 ，12
．
14．将下列各数填入相应的大括号里．
1
6
,0.618, 3.14,260, 2,
, 0.010010001
,0,0.3.
3
7
正分数集合：{
}；
非正整数集合：{
}；
正数集合：{
}；
有理数集合：{
}．
15．小王师傅是一名出租车司机．一天下午，他在一条东西走向的马路上连续接送8 次乘客，并把每个乘
13 / 13
客的行程记录如下：
2
，5
，1
，8
，3
，2
，4
，7
．
（注：向西记作“ ”，向东记作“+”，单位是千米）请同学们思考并回答下列问题：
(1)小王师傅在A 处接上第一名乘客出发，将最后一名乘客送到目的地时，他此时在出发地A 处什么方向？
距A 处多远？
(2)公司规定每趟车的起步价是10元，且每趟车3 千米以内（含3 千米）只收起步价；若超过3 千米，除收
起步价外，超过的每千米还需收2 元钱，小王师傅接送8 次乘客共收车费多少元？
