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专项训练01 与绝对值有关的化简
【知识点1 绝对值的定义】
定义：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值，例如+2 的绝对值等于2，记作|+2|
=2；-3 的绝对值等于3，记作|-3|=3．
要点分析：
（1）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是
0．即对于任何有理数a 都有：
(
0)
|
|
0
(
0)
(
0)
a
a
a
a
a
a
（2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对
值越大；离原点的距离越近，绝对值越小．
（3）一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的．
【知识点2 绝对值的性质】
性质：（1）0 除外，绝对值为一正数的数有两个，它们互为相反数．
（2）互为相反数的两个数（0 除外）的绝对值相等.
（3）绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0．
【题型1 绝对值的非负性】
1．（1）若
，则
______，
_______．
（2）若
，则
_____，
_____．
【答案】 0 0 6 0
【详解】解：（1）∵
，
，
，
∴
，
∴
；
（2）∵
，
，
，
∴
，
∴
∴
．
2．（1）根据
是非负数，且非负数中最小的数是0，解答下列问题．
①x 满足______时，式子
的值最______，为______；
②x 满足______时，式子
的值最______，为______；
（2）已知若
，则
，即
，若
，则
，即
，如果x、y、z 是有理
数，且
，
时，直接写出
的值为______．
【答案】（1）①
，小，
；②
，大，5；（2）或
【分析】本题考查了绝对值的非负性质，绝对值的意义，分类讨论等知识与方法，掌握这些知识与方法是
解题的关键；
（1）
由绝对值的非负性质即可求解；
①
由绝对值的非负性质即可求解；
②
（2）由
可得
，则原式可化为
；不妨假设
，分两种情况：
；
，即可求解．
【详解】解：（1）
由于
①
，则
，
当
时，
，
此时当
时，
的值最小，最小值为
；
故答案为：
，小，
；
由于
②
，则
，
，
当
时，
，
此时当
时，
的值最大，最大值为；
故答案为：
，大，5；
（2）由
，得
，
原式
；
不妨假设
，
由于
，则
，
，
分两种情况：
当
时；
原式
；
当
时，
原式
；
综上，
的值为或
．
【题型2 利用数轴化简绝对值】
3．已知有理数
，
在数轴上对应位置如图．
(1)用“
或
”
“
填空：
”
______0，
______0；
(2)比较
，
，
，
的大小(用“
把它们连接起来
”
)，填写在横线上______；
(3)化简：
．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了根据数轴判断式子的符号，根据数轴比较有理数的大小，化简绝对值，整式的加减．
（1）根据数轴上点的位置可得
，进而可得
，
；
（2）根据数轴可得
，进而在数轴上表示出
，再根据数轴比较大小，即可求解；
（3）根据数轴可得
，
，
，进而化简绝对值，再根据整式的加减化简，即可求解．
【详解】（1）解：根据数轴可得
，
∴
，
故答案为：
．
（2）解：根据数轴可得
∴
如图
∴
（3）解：∵
，
，
，
∴
4．已知
，
是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示．
(1)
______0，
______0，
______0（填“
或
”
“
）
”
(2)用“
将
”
，
，
，
连接起来：______．
(3)化简
．
【答案】(1)
，
，
(2)
(3)
【分析】本题考查数轴表示数的意义和方法，理解绝对值、相反数的意义是正确解答的关键．
（1）根据有理数a、b 在数轴上的对应点的位置，得出
，且
进而解答即可；
（2）根据
，且
，进而解答即可；
（3）根据绝对值，相反数的意义化简，再根据整式的加减进行计算即可求解．
【详解】（1）解：根据有理数a、b 在数轴上的对应点的位置可知，
，且
，
，
故答案为：
，
．
（2）解：
，且
，
．
（3）解：
，且
，
，
．
【题型3 分类讨论化简绝对值】
5．在学习一个数的绝对值过程中，化简
时，可以这样分类：当
时，
，当
时，
；
当
时，
．请用这种方法解决下列问题．
(1)当
时，则
_____；当
时，则
_____．
(2)已知
，
是有理数，当
时，试求
的值．
(3)已知
，
，是非零有理数．满足
且
，求
的值．
【答案】(1)1，
(2)2 或
(3)
【分析】此题主要考查了绝对值的意义和有理数的混合运算，解题的关键是掌握绝对值的几何意义．
（1）根据绝对值的几何意义求解即可；
（2）分类进行讨论，根据绝对值的几何意义求解
（3）根据给出的条件得出
中有2 个正数，1 个负数，然后根据绝对值的几何意义进行求解即可．
【详解】（1）解：当
时，则
；
当
时，则
；
故答案为：1，
；
（2）解：当
时，
或
，
当
时，
；
当
时，
；
∴
的值为2 或
；
（3）解：由
，
，是非零有理数，
且
得，
中有2 个正数，1 个负数，
∴
，
∴
．
6．在数学学习中，常用到分类讨论的数学方法，以化简
为例．当
时，
；当
时，
；
当
时，
．
知识储备：在小学学过一个非零数字除以它本身等于1，我们学习了用字母表示数，这句话可以表示为
求解下列问题：
(1)当
时，
值为_____，当
时，
的值为_____，当
为不等于0 的有理数时，
的值为_____；
(2)已知
，求
的值；
(3)已知：
，这
个数都是不等于0 的有理数，若这
个数中有
个正数，
，则
的值为_____．（请用含n 的式子表示）．
【答案】(1)1，
，
(2)
或3
(3)
【分析】本题主要考查了绝对值的性质、代数式求值等知识，理解题意，熟练运用分类讨论的数学方法分
析问题是解题关键．
（1）结合题意，根据绝对值的性质化简求值即可；
（2）首先将原式化简，然后结合题意，分“x 为正数，y，z 为负数
，
”
“y 为正数，x，z 为负数
，
”
“z
为正数，x，y 为负数
三种情况逐一分析计算即可；
”
（3）根据题意，这
个数中有n 个正数，有
个负数，然后整理化简即可获得答案．
【详解】（1）解：当
时，
，
当
时，
，
当
为不等于0 的有理数时，
若
，则
；
若
，则
．
即
的值为
．
故答案为：1，
，
；
（2）解：
，
，
，
．
．
，
，y，z 的正负性可能为：
当为x 正数，y，z 为负数时，原式
；
当为y 正数，x，z 为负数时，原式
；
当为z 正数，x，y 为负数时，原式
．
综上所示，原式的值为
或3；
（3）解：根据题意，这
个数中有n 个正数，有
个负数，
即
中有n 个1，有
个
．
．
故答案为：
．
【题型4 几何意义化简绝对值】
7．如图，已知数轴上有A，B 两个点，分别表示有理数－6，4．若x 表示一个有理数．
(1)数轴上点A 到点B 的距离为______；数轴上到点A、B 的距离相等的点表示的有理数为______；
(2)若
，则
______；
(3)式子
的最小值为______，此时x 的取值范围是______；
(4)式子
有最大值么？若有，请直接写出最大值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
；
(2)6 或2
(3)8，
(4)
【知识点】带有字母的绝对值化简问题、绝对值的几何意义、数轴上两点之间的距离
【分析】本题考查了数轴、两点之间的距离公式和中点公式、列代数式、绝对值的定义，理解绝对值的几
何意义是解本题的关键．
（1）根据两点之间的距离公式和中点公式，计算即可；
（2）根据绝对值的性质，列出方程即可求解；
（3）根据绝对值的几何意义，结合图形，即可解答；
（4）把问题转化为式子
，当
最小时，代数式的值最大，根据绝对值的几
何意义分析，得出当x 在
与3 之间时，有最小值8，然后把
的最小值8 代入代数式，计算即
可得出代数式的最大值．
【详解】（1）数轴上有
∵
两个点，分别表示有理数
，
数轴上点
∴
到点
的距离为
；
数轴上到点
∴
的距离相等的点的位置表示的有理数为
；
故答案为：
；
（2）根据题意，
，
解得：
或
故答案为：6 或2
（3）∵
表示数轴上x 到3 两点之间的距离，
表示数轴上x 到
两点之间的距离，
由图可知，
当
或
时，
，
当
时，
式子
∴
的最小值为8，此时x 的取值范围为
；
故答案为：8，
（4）
，
当式子
的最小值为8 时，
有最大值；
此时
的最大值为
8．【阅读】若点
，
在数轴上分别表示有理数
，
，
，
两点之间的距离表示为
，则
，即
表示为5 与3 两数在数轴上所对应的两点之间的距离．
（1）点
，
表示的数分别为
，2，则
_______；
（2）若
，则
_________；
【应用】
（3）如图，数轴上表示数
的点，问
是否有最小值？如果有，直接写出最小值；如果没有，
说明理由．
（4）由以上的探索猜想，对于任意有理数
，
是否有最小值？如果有，直接写出最小
值，并写出此时x 的值；如果没有，说明理由．
【答案】（1）9；（2）1 或
；（3）有，5；（4）有，最小值为7，
【知识点】绝对值的几何意义、带有字母的绝对值化简问题、数轴上两点之间的距离
【分析】本题考查了数轴、有理数、绝对值，熟练掌握绝对值几何意义是关键．
（1）根据绝对值几何意义计算即可；
（2）根据绝对值几何意义计算即可；
（3）根据
的几何意义解答即可；
（4）利用绝对值几何意义，分析出当
时有最小值解答即可．
【详解】解：（1）
点
，
表示的数分别为
，2，则
，
故答案为：9；
（2）
数轴上与表示
的点相距3 个单位的点表示的数为1 或
，
若
，则
或
，
故答案为：1 或
；
（3）有最小值，理由如下：
表示数轴上有理数
所对的点到
和2 所对的两点距离之和，
当
时，
有最小值，
此时最小值为
；
（4）有最小值，理由如下：
若
表示一个有理数，则
有最小值，
表示到
，
和1 距离
的和，
若想和的值最小，则当
表示
时，到三点的距离和最小，
当
时，
的最小值为7．
1．若
，则
一定是（ ）．
A．正数
B．负数
C．正数或零
D．负数或零
【答案】D
【分析】本题考查绝对值的知识，根据一个数的绝对值是非负数，即可求解．
【详解】解：∵
∴
,
∴
，即
一定是负数或零
故选：D．
2．若
与
互为相反数，则
的值为（ ）
A．3
B．
C．0
D．3 或
【答案】A
【分析】本题重点考查了绝对值的非负性，属于基础题，记住
几个非负数之和等于
“
0，则每个非负数都
等于0”是解题关键．根据相反数的定义可得
，再通过
几个非负数之和等于
“
0，则每个非
负数都等于0”，计算出a 和b 的值，即可得出结果．
【详解】解：∵
与
互为相反数，
∴
，
，
，
∴
，
故选：A．
3．实数a，b 在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】此题考查了数轴与绝对值，有理数的运算，弄清数轴上点的位置是解本题的关键．根据数轴上点
的位置判断
，且
，再进一步分析即可．
【详解】解：由数轴上的点位置得：
，且
，
∴
，
，
，
，
故选：B．
4．已知
，则
的最大值为（ ）
A．6
B．5
C．4
D．3
【答案】C
【分析】本题考查有理数的运算，根据
，得到
的符号为2 正1 负，或者2 负1 正，根据绝
对值的意义，以及式子的特点得到
，
时，式子的值最大，进行求解即可．
【详解】解：∵
，
∴
的符号为2 正1 负，或者2 负1 正，
∴
，
，
为2 个1，1 个
或1 个，2 个
∵
最大，
∴
，
，
∴
的最大值为
；
故选C．
5．已知a，b 为有理数，下列式子：①
；②
；③
；④
．其中一定能够表示
a，b 异号的有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】B
【分析】本题考查有理数的乘除法，加法运算法则和化简绝对值，根据有理数的乘除法运算，加法法则，
与化简绝对值的方法逐项判断即可．
【详解】①
，则
，（否则
，可推出
，矛盾），即a 与b 异号，符合题意；
②
， a 与b 异号，符合题意；
③
，若
成立，a 与b 不一定异号，不符合题意；
④
，当
时成立，不符合题意；
则其中一定能够表示a、b 异号的有2 个．
故选：B．
6．代数式
有最小值是 ．
【答案】3
【分析】本题主要考查了绝对值的非负性，熟练掌握绝对值的非负性是解题的关键．
根据绝对值的非负性，可得
，即可求解．
【详解】解：∵
，
∴
，
代数式
∴
的最小值是3．
故答案为：3．
7．当
时，
的值最大．
【答案】
【分析】本题考查了绝对值的意义，根据
，若使
有最大值，则
应为
即可．
【详解】解：
，
要使得
的值最大，则需满足
，即
．
故答案为：
．
8．已知有理数
、
满足
，则
．
【答案】2 或
或0
【分析】本题主要考查了有理数的绝对值和有理数的加法运算，属于常考题型，全面分类、掌握解答的方
法是解题关键．
分a、b 同号与a、b 异号两种情况，根据绝对值的意义和有理数的加法法则解答即可．
【详解】解：∵
，
∴
，
，
若a、b 同号，
当
，
时，
；
当
，
时，
；
若a、b 异号，
当
，
时，
；
当
，
时，
；
综上分析可知，
的值为2，
，0．
故答案为2 或
或0．
9．点
，
在数轴上的位置如图所示，其对应的数分别是
和
，对于以下结论：①
；②
；
③
；④
．其中正确的是 （填序号）
【答案】②④/④②
【分析】本题考查了绝对值的意义，比较两个数大小的方法，有理数的运算．由数轴得，
，
然后绝对值意义，用理数的加法、除法法则判断两数的和、差、商的符号即可．
【详解】解：
由数轴得，
，
∴
，故
错误，不符合题意；
由数轴得，
，
∴
，故
正确，符合题意；
由数轴得，
，
∴
，故
不符合题意；
由数轴得，
，
∴
，故
正确，符合题意．
故答案为：
．
②④
10．已知a，b 为实数，下列说法：
若
①
，且a，b 互为相反数，则
；
若
②
，则
是正数；
若
③
，则
；
若
④
，
，且
，则
，
其中正确的是 ．（填序号，填不全得1 分，不填或有错误答案均得0 分）．
【答案】②④/④②
【分析】本题主要考查了相反数定义，有理数的运算，绝对值意义，解题的关键是熟练掌握绝对值意义，
有理数运算法则．
根据
①
得出定a、b 异号，不能判断
，即可判断
错误；
①
根据
②
，分
，
时，
，
时，
，
时，
，
时，进行讨论，即可判
断
正确；
②
根据
③
，得出
，求出
，即可判断
错误；
③
根据
④
，
，得出
，
，得出
，根据
，得出
，根据
，
得出要使
成立必须使
，根据
，得出
，即可判断
正确．
④
【详解】解：
若
①
，只能判定a、b 异号，不能判断
，且c，b 互为相反数与
没有关系，故
错误；
①
若
②
，
当
，
时，
，
，
∴
；
当
，
时，
，
，
∴
；
当
，
时，
，
，
∴
；
当
，
时，
，
，
∴
；
若
∴
，则
是正数，故
正确；
②
③∵
，
∴
，
∴
，
∴
，故
错误；
③
④∵
，
，
∴
，
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，
要使
∴
成立必须使
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，故
正确；
④
综上分析可知，正确的有
．
②④
故答案为：
．
②④
11．有理数
在数轴上的位置如图所示．
(1)用“
”“
或
”
“
填空：
”
_________0，
_________0，
_________0；
(2)化简：
．
【答案】(1)
；
；
(2)
【分析】本题考查了数轴以及绝对值的计算：
（1）先根据数轴取得
之间的关系，然后再确定所求代数式的正负；
（2）根据（1）的结论去绝对值，再合并同类项．
【详解】（1）解：
，
，
，
，
，
．
故答案为：
；
；
．
（2）解：结合（1）的结论，可得：
．
12．根据
这一性质，解答下列问题：
(1)当
时，
有最小值，此时最小值为 ；
(2)当a 取何值时，
有最小值？这个最小值是多少？
(3)当a 取何值时，
有最大值？这个最大值是多少？
【答案】(1)4，0
(2)
，3
(3)
，4
【分析】本题考查了整式的绝对值的求解能力，对绝对值的性质的理解和掌握是解题的关键．
（1）根据绝对值的性质，可知0 的绝对值最小，为0，则可得
时，
有最小值，由此即可求解；
（2）要使
有最小值，则
要取最小，即
，由此即可求解；
（3）要使
有最大值，则
取最小值，结合
即可求解．
【详解】（1）因为
，所以当
时，
有最小值，这个最小值是0．
故答案为：4，0
（2）因为
，所以当
时，
有最小值，这个最小值是3．
（3）因为
，所以
，所以当
时，
有最大值，这个最大值是4．
13．有理数
在数轴上的位置如图：
(1)
______
，
______
，
______0；填（“
或
”
“
）
”
(2)如果
互为相反数，则
______；
(3)计算：
．
【答案】(1)
，
，
；
(2)
；
(3) ．
【分析】（1）根据
、
、在数轴上的位置即可求解；
（
）根据相反数的定义即可求解；
（）结合数轴，根据绝对值性质去绝对值符号，再合并即可求解；
本题考查了数轴，绝对值的性质，相反数的定义，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】（1）解：由数轴可知：
，
，
∴
，
，
，
故答案为：
，
，
；
（2）解：∵
互为相反数，
∴
，即
，
∴
，
故答案为：
；
（3）解：由数轴可知：
，
∴
．
14．我们知道，
是指数轴上表示数
的点到原点的距离．这是绝对值的几何意义．进一步地，如果数轴
上点
分别对应数
，那么
两点间的距离为
．
(1)如图，点
在数轴上对应的数为
，点
对应的数为
，则
_____
，
_____
，
_____
；
(2)若
，则
_____；
(3)已知
三个数在数轴上的位置如图
所示，化简：
．
【答案】(1)
，
，
(2)
或
(3)
【分析】（）根据数轴解答即可求解；
（
）由
可得式子
表示数
对应的点到
对应的点与到
对应
点的距离之和，根据
可得数
不可能在
与
之间，再分
在
左侧和
在
右侧两种情况
解答即可求解；
（）由数轴可得
，
，进而得到
，
，
，
，再根据绝对值
的性质化简合并即可；
本题考查了绝对值的意义，数轴上两点间距离，有理数与数轴，理解绝对值的意义是解题的关键．
【详解】（1）解：由数轴可得，
，
，
，
∴
，
故答案为：
，
，
；
（2）解：∵
，
式子
∴
表示数
对应的点到
对应的点与到
对应点的距离之和，
∵
，
数
∴
不可能在
与
之间，
当
在
左侧时，则
，
解得
；
当
在
右侧时，则
，
解得
；
∴
或
，
故答案为：
或；
（3）解：由数轴可得，
，
，
∴
，
，
，
，
原式
∴
．
1．有理数a，b，c 在数轴上的对应点的位置如图所示，已知
，有如下四个结论：①
；②
；③
；④
．上述结论正确的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【分析】根据
，表示a，b 互为相反数，从而在数轴上标出原点，结合数轴得
，
，据此进行判断各结论，得到结果．本题考查了根据点在数轴的位置判断式子的正负，正确掌握相
关性质内容是解题的关键．
【详解】解：∵
，
数轴上的原点在表示
∴
a，b 两点的中间，a，b 互为相反数，
∴
，
，
∴
，结论
错误，不符合题意；
①
∴
，结论
错误，不符合题意；
②
∴
，结论
正确，符合题意；
③
∴
，结论
正确，符合题意，
④
则正确的结论有2 个，
故选：B．
2．下列说法：
若
①
，则
为负数；
若
②
不是负数，则
为非正数；③
；
若
④
，
，则
．其中正确的结论有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】C
【分析】本题主要考查了绝对值的性质，理解绝对值的性质是解题关键．
根据绝对值的性质
逐个分析判断即可得解．
【详解】解：若
，
，
．
的说法错误；
①
若
不是负数，
，
，即
为非正数．
的说法正确；
②
，
，
．
的说法正确；
③
若
，
，
，
．
的说法正确．
④
综上所述，正确的结论有
，共
②③④
3 个正确结论．
故选：C．
3．已知有理数
、
、在数轴上的对应点如图所示，且
，则
，
，
，
，化简
【答案】
【分析】本题主要考查了根据点在数轴的位置判断式子的正负，化简绝对值等知识点，熟练掌握根据点在
数轴的位置判断式子的正负是解题的关键．
根据数轴上各点的位置可得
，
，据此即可判定式子的符号，然后结合绝对值的性质
化简即可．
【详解】解：根据数轴上有理数
、
、的位置可得：
，
，
∴
，
，
，
，
∴
，
，
，
，
∴
，
故答案为：
，
，
，
，
．
4．电影《哈利波特》中，小哈利波特穿越墙进入
•
“
站台
的镜头（如示意图的
”
Q 站台），构思奇妙，
给观众留下深刻的印象．若
站台分别位于
，
处，若P 站台到A 站台的距离是到B 站台距离的2
倍，则P 站台用类似电影的方法可称为“ 站台
．
”
【答案】
或6
【分析】本题主要考查了数轴，解题关键是用几何方法借助数轴来求解．先根据两点间的距离公式得到
的长度，再根据
求得
的长度，再用
加上该长度即为所求．
【详解】
站台分别位于
，
处
A 站台与B 站台之间的距离
，
A 站台与P 站台之间的距离
，
P 站台是
；
或A 站台与P 站台之间的距离
，
P 站台是
．
故P 站台用类似电影的方法可称为“
或6 站台
．
”
故答案为：
或6．
5．阅读下列材料：
经过有理数运算的学习，我们知道
可以表示5 与3 之差的绝对值，同时根据绝对值的几何意义，也可
以理解为5 与3 两个数在数轴上所对应的两点之间的距离．
可以表示5 与
之差的绝对值．也可
以理解为5 与
两个数在数轴上所对应的两点之间的距离．
(1)
表示数轴上4 与___________所对应的两点之间的距离．
(2)
表示数轴上有理数
所对应的点到___________所对应的点之间的距离，
表示数轴上有理数
所对应的点到___________所对应的点之间的距离．
(3)利用绝对值的几何意义，请找出有符合条件的整数
，使得
请直接写出这样的整数
的
值：_________________________________．
(4)利用绝对值的几何意义，求出
的最小值．
【答案】(1)1
(2)5，
(3)
，
，0，1
(4)5
【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，绝对值的性质，掌握以上知识是解题的关键；
（1）根据数轴上的两点距离可直接判断；
（2）根据数轴上的两点距离可直接进行求解；
（3）根据绝对值的几何意义，得出该式表示数轴上有理数
所对应的点到
的距离和到1 的距离的和为
3，进而求解；
（4）利用绝对值的几何意义，写出
的最小值；
【详解】（1）解：由题意得：
表示数轴上4 与1 所对应的两点之间的距离；
故答案为：1；
（2）解：
表示数轴上有理数
所对应的点到5 所对应点之间的距离；
表示数轴上有理数
到
所对应点之间的距离．
故答案为：5，
；
（3）解：由题意得：
表示数轴上有理数
所对应的点到
的距离和到1 的距离的和为
3，
又∵
，
∴
，
又∵
为整数，
∴
表示的数为：
，
，0，1．
故答案为：
，
，0，1．
（4）解：由题意得：当
时，
有最小值，最小值为：
．
6．在解决数学问题的过程中，我们常用到
分类讨论
的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解
“
”
决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题．
【提出问题】三个有理数a，b，c 满足
，求
的值．
【解决问题】解：由题意得，a，b，c 三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数．
若
①
a，b，c 都是正数，即
，
，
时，则
；
若
②
a，b，c 中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设
，
，
，
，
综上所述，
的值为3 或
．
【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题：
(1)三个有理数a，b，c 满足
，求
的值；
(2)若a，b，c 为三个不为0 的有理数，且
，求
的值．
【答案】(1)
或1
(2)
【分析】（1）根据有理数乘法运算法则判断a，b，c 的符号，然后根据绝对值的意义进行化简，注意分情
况讨论；
（2）由题意得，a，b，c 中有2 个负数，1 个正数，则
，利用绝对值的意义可得结论．
【详解】（1）解：由题意得，a，b，c 三个有理数都为负数或其中一个为负数，另两个为正数．
若
①
a，b，c 都是负数，即
，
，
时，
；
若
②
a，b，c 中有一个为负数，另两个为正数时，
不妨设
，
，
，
则
，
综上所述，
的值为
或1；
（2）解：∵a，b，c 为三个不为0 的有理数，且
，
∴a，b，c 有2 个负数，1 个正数，
∴
，
∴
．
7．【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．
(1)【问题情境】如图，探究数轴上任意两点之间与两点的对应数的关系：
点
①
和点
之间的距离为______，
点
②
到点
的距离为______；
点
③
和点
之间的距离为______，
点
④
到点
的距离为______；
(2)【发现新知】如果数轴上点
对应的数是
，点
对应的数是
，那么点
和点
之间的距离可表示为
______．（用含
，
的式子表示）
(3)【综合运用】
数轴上表示
①
和
的两点
，
之间的距离是10，求
的值．
式子
②
的最小值是______．
【答案】(1)①4 ②2 ③3 ④4；
(2)
；
(3)①
或
；
式子
②
的最小值是8．
【分析】本题考查了列代数式、数轴，两点间距离，解决本题的关键是绝对值的意义的运用．
（1）观察数轴运用有理数减法即可求解；
（2）根据（1）中所观察规律即可得结论；
（3）
根据（
①
2）中得到的结论列出等式
，求解即可；
分
②
，
，
，
，
五种情况讨论，可得答案．
【详解】（1）解：观察数轴，可得
点
①
D 与点A 的距离为
，
故答案为：4；
点
②
D 与点G 的距离为
；
故答案为：2；
点
③
C 与点A 的距离为
，
故答案为：3；
点
④
C 与点F 的距离为
；
故答案为：4；
（2）解：如果点P 对应的数是a，点Q 对应的数是b，那么点P 与点Q 之间的距离可表示为
．
故答案为：
；
（3）解：
根据（
①
2），得：
，
，
即
或
，
解得：
或
．
分五种情况：
②
当
时，
，
此时，当
时，最小值是12；
当
时，
，
此时，当
时，最小值是8；
当
时，
；
当
时，
，
此时，当
时，最小值是8；
当
时，
，
此时，当
时，最小值是12；
综上，当式子
取最小值时，相应的x 的取值范围是
，
即
=8，
∴
最小值是8．
故答案为：8．
