文档文本内容
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第17 讲角
内容导航
01 预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向
02 教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理
03 题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解
题型1 角的概念和表示
题型2 角的单位与角度制
题型3 钟面角
题型4 与方位角有关的计算题
题型5 角的比较
题型6 三角板中角度计算问题
题型7 角平分线的有关计算
题型8 角n 等分线的有关计算
04 过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固
关键词
学习目标导航
角、顶点、边、表示方
法、度分秒换算、角平
分线、角度计算。
1. 理解角的两种定义（静态：有公共端点的两条射线；动态：一条射线绕端
点旋转），能说出角的构成要素。
2. 掌握角的四种表示方法（三字母、单字母、数字、希腊字母），能根据图
形选择合适的方法规范表示。
3. 掌握角的度量单位（度、分、秒）及其换算（60 进制），能正确使用量角
器度量角的大小。
4. 理解角平分线的概念，掌握其符号语言表示，能运用角平分线进行简单的
角度计算。
学习重点：角的概念及四种表示方法，度、分、秒之间的换算，角平分线的概念与应用。
学习难点：根据不同情境正确选择角的表示方法（特别是在顶点处有多个角时），以及度、分、秒的
换算与角度计算（含和差倍分），运用角平分线进行推理计算。
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知｜识｜框｜架
知｜识｜精｜讲
知识点01 角的概念
1.角的定义：
（1）定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两
条边．如图1 所示，角的顶点是点O，边是射线OA、OB．
（2）定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部．如图2
所示，射线OA 绕它的端点O 旋转到OB 的位置时，形成的图形叫做角，起始位置OA 是角的始边，终止位
置OB 是角的终边．
注意：（1）两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关．
（2）平角与周角：如图1 所示射线OA 绕点O 旋转，当终止位置OB 和起始位置OA 成一条直线时，所形
成的角叫做平角，如图2 所示继续旋转，OB 和OA 重合时，所形成的角叫做周角．
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2.角的表示法：角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种：
注意：用数字或小写希腊字母表示角时，要在靠近角的顶点处加上弧线，且注上阿拉伯数字或小写希腊字
母．
3.角的画法
（1）用三角板可以画出30°、45°、60°、90°等特殊角．
（2）用量角器可以画出任意给定度数的角．
（3）利用尺规作图可以画一个角等于已知角．
【易错提醒】
角的概念易错警示：角由两条有公共端点的射线组成。注意：角的表示（∠AOB，顶点字母在中间）。角
的大小与边的长短无关，只与两条射线张开的程度有关。一周角=2 平角=4 直角。0°<锐角<90°<钝角<180°。
勿混淆角与射线方向。
即时即练1．在下列四个图形中，能用
AOB
，
O
，
1
三种方法表示同一个角的图形是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了角的概念．角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示．角还可以
用一个希腊字母表示，或用阿拉伯数字表示．
【详解】解：能用
AOB
，
O
，
1
三种方法表示同一个角的图形是选项B 中的图，
选项A，C，D 中的图都不能用
AOB
，
O
，
1
三种方法表示同一个角的图形，
故选：B．
2．如图，用三个大写字母表示所标记的各角．
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（1）
1
可以表示为
；
（2）
2
可以表示为
；
（3）
3
可以表示为
．
【答案】
COD
（或
DOC
）
BOC
（或
COB
）
AOB
（或
BOA
）
【分析】本题考查角的表示，根据角的表示方法直接求解即可得到答案，熟记角的表示方法是解决问题的
关键．
【详解】解：（1）
1
可以表示为
COD
或
DOC
；
（2）
2
可以表示为
BOC
或
COB
；
（3）
3
可以表示为
AOB
或
BOA
；
故答案为：（1）
COD
（或
DOC
）；（2）
BOC
（或
COB
）；（3）
AOB
（或
BOA
）．
知识点02 角度制及其换算
角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成360 等份，每一份就是1°的角，1°的1
60
为1 分，记作
“1′”，1′的1
60
为1 秒，记作“1″”．这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制．
1 周角＝360°，1 平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″．
注意：在进行有关度分秒的计算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减，不够除的要借位，
从高一位借的单位要化为低位的单位后再进行运算，在相乘或相加时，当低位得数大于60 时要向高一位进
位．
【易错提醒】
角度制换算易错警示：1°=60′，1′=60″。换算时乘60 或除60，注意借位（如化小单位用乘法，化大单位用
除法）。计算时度、分、秒分别运算，满60 进1，不够借1 变60。勿与时间进制（60）混淆，但进制相同，
注意单位符号。
即时即练1．1.16
′
″；45 57 18
【答案】
1
9
36
45.995
【分析】本题考查了度、分、秒之间的换算．度、分、秒之间是60 进制，将高级单位化为低级单位时，乘
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以60，反之，将低级单位转化为高级单位时除以60．
【详解】解：①∵0.16
0.16 60
9.6
，0.6
0.6 60
36
，
∴1.16
1 9 36
；
②∵18
18
60
0.3
，57.3
57.3 60
0.995
，
∴45 57 18
45.995
；
故答案为：1，9，36；45.995 ．
知识点03 钟表上有关夹角问题
钟表中共有12 个大格，把周角12 等分、每个大格对应30°的角，分针1 分钟转6°，时针每小时转30°，
时针1 分钟转0.5°，利用这些关系，可帮助我们解决钟表中角度的计算问题．
【易错提醒】
钟表夹角易错警示：分针每分钟走6°，时针每分钟走0.5°。计算夹角时，先求两针与12 点方向夹角，再相
减取绝对值（若>180°则用360°-）。注意：时针位置要考虑小时和分钟（如3:30 时针在3 和4 中间）。勿
忽略分针影响时针。
即时即练1．小明每天下午5 20
：放学，此时钟面上时针和分针的夹角是
．
【答案】40/40 度
【分析】根据每2 个数字之间相隔30 度和时针1 分钟走0.5 度可得夹角度数．考查钟面角的计算；用到的
知识点为：钟面上每2 个数字之间相隔30 度；时针1 分钟走0.5 度．
【详解】解：时针20 分所走的度数为20
0.5
10
，5:20时，分针指着4，4 与5 之间的夹角为30，
30
10
40
答：此时钟面上时针和分针的夹角是40．
故答案为：40．
知识点04 方位角
在航行和测绘等工作中，经常要用到表示方向的角．例如，图中射线OA 的方向是北偏东60°；射线OB
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的方向是南偏西30°．这里的“北偏东60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方位角．
注意：（1）正东，正西，正南，正北4 个方向不需要用角度来表示．
（2）方位角必须以正北和正南方向作为“基准”，“北偏东60°”一般不说成“东偏北30°” ．
（3）在同一问题中观察点可能不止一个，在不同的观测点都要画出表示方向的“十字线”，确定其观察点的
正东、正西、正南、正北的方向．
（4）图中的点O 是观测点，所有方向线(射线)都必须以O 为端点．
【易错提醒】
方位角易错警示：以正北或正南为基准，描述为“北偏东×°”或“南偏西×°”。注意：要先标出方向线（上北下
南），再量角度。如“北偏东30°”指从正北向东转30°。勿与“东偏北”混淆（基准不同）。方位角通常小于
90°。注意参照点。
即时即练1．如图是依依家到学校的行走路线图．
(1)小公园在依依家的偏米处．
(2)小公园在银行的偏米处．
(3)学校西偏南20，距离250m 处是超市，请用★标出超市的位置．（1cm表示100m ）
【答案】(1)北；西20；距离80．
(2)南；西30；距离100
(3)见解析
【分析】本题主要考查了方位角的表示，解题的关键是熟练掌握方位角的定义．
（1）根据方位角的定义进行解答即可；
（2）根据方位角的定义进行解答即可；
（3）根据学校西偏南20，距离250m 处是超市，进行解答即可．
【详解】（1）解：小公园在依依家的北偏西20距离80 米处．
故答案为：北；西20；80．
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（2）解：∵银行在小公园的北偏东30距离100 米处；
∴小公园在银行的南偏西30距离100 米处．
故答案为：南；西30；距离100．
（3）解：如图所示：
知识点05 角平分线
从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，OC 是∠AOB
的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，∠AOC＝∠BOC = 1
2
∠AOB．
注意：由角平分线的概念产生的合情推理其思维框架与线段中点的思维框架一样．
【易错提醒】
角平分线易错警示：从角的顶点出发的一条射线，把角分成两个相等的角。注意：角平分线是**射线**，
不是线段或直线。用尺规作图时需保留痕迹。若点P 在角平分线上，则到角两边距离相等（可用于计算）。
勿与中线混淆。
即时即练1．如图，已知OC 是
AOB
内部任意的一条射线，OM 、ON 分别是
AOC
，
BOC
的平分线．
(1)若
20 ,
30
AOM
BON
，求
MON
的度数；
(2)若
120
AOB
，则
MON
；若
AOB
，则
MON
．
【答案】(1)50
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(2)60，1
2
【分析】本题主要考查角平分线的定义，角的和差计算，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键．
（1）根据角平分线的定义可知
20
MOC
AOM
，
30
NOC
BON
，再根据
MON
MOC
NOC
计算，即得答案；
（2）根据角平分线定义可知
1
2
MOC
AOC
，
1
2
NOC
BOC
，，再根据
MON
MOC
NOC
计
算，即得答案．
【详解】（1）解：
OM
Q
、ON 分别是
AOC
，
BOC
的平分线，
20
MOC
AOM
，
30
NOC
BON
，
20
30
50
MON
MOC
NOC
；
（2）解：
OM
Q
、ON 分别是
AOC
，
BOC
的平分线，
1
2
MOC
AOC
，
1
2
NOC
BOC
，
1
1
1
2
2
2
MON
MOC
NOC
AOC
BOC
AOB
，
120
AOB
Q
，
1 120
60
2
MON
．
同理：
AOB
Q
，
1
2
MON
．
知识点06 角的运算
如图所示，∠AOB 是∠1 与∠2 的和，记作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1 是∠AOB 与∠2 的差，记作：∠1＝∠AOB-
∠2．
注意：(1)用量角器量角和画角的一般步骤：①对中(角的顶点与量角器的中心对齐)；②重合(一边与刻度
尺上的零度线重合)；③读数(读出另一边所在线的度数)．
(2) 利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根据角的和、差关系，还可以画出15°，75°，
105°，120°，135°，150°，165°的角．
【易错提醒】
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角的运算易错警示：度分秒加减时，低位满60 进1，不够借1 当60。乘法时度分秒分别乘，满60 进位；
除法从度开始除，余数化分再除。注意：单位统一，结果要化简到度分秒形式（如\(1°=60'=3600''\)）。勿
用十进制直接加减。
即时即练1．如图，已知OC 是
AOB
内部的一条射线，图中有三个角：
AOB
，
AOC
和
BOC
，当
其中一个角是另一个角的两倍时，称射线OC 为
AOB
的“巧分线”．如果
72
MPN
，PQ是
MPN
的“巧
分线”，则
MPQ
的度数为
．
【答案】24或36或48
【分析】本题考查了角的定义和巧分线定义，正确理解“巧分线”的定义是解题的关键．
分3 种情况，根据巧分线定义即可求解．
【详解】解：∵
72
MPN
，PQ是
MPN
的“巧分线”，
则由“巧分线”的定义可知有三种情况符合题意：
①
2
NPQ
MPQ
，此时
2
1
3
4
M
MPQ
PN
；
②
2
MPN
MPQ
，此时
3
1
2
6
M
MPQ
PN
；
③
2
MPQ
NPQ
，此时
4
2
3
8
M
MPQ
PN
；
∴
MPQ
的度数为24或36或48．
故答案为：24或36或48．
知识点07 角的比较
角的大小比较与线段的大小比较相类似，方法有两种：
方法1：度量比较法．先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小．
方法2：叠合比较法．把其中的一个角移到另一个角上作比较．
如比较∠AOB 和∠A′O′B′的大小：如下图，由图（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由图(2)可得∠AOB
＝∠A′O′B′；由图(3)可得∠AOB＞∠A′O′B′．
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【易错提醒】
角的比较易错警示：可用度量法（用量角器）或叠合法（顶点和一边重合，看另一边位置）。注意：角的
大小与边长短无关，只与张开程度有关。叠合法时需确保顶点及一边重合，单位统一。钝角>直角>锐角。
勿仅凭视觉判断。
即时即练1．已知
1
76 24
，
2
76.24
，
3
76.4
，下列说法正确的是（
）
A．
1
2
B．
1
3
C．
1
2
D．
2
3
【答案】B
【知识点】角的度数大小比较、角的单位与角度制
【分析】本题考查了度分秒之间的换算，属于基础题，注意两者之间的进位关系．将各角的单位统一，继
而可得出答案．
【详解】解：
1
76 24
，
2
76.24
76 14 24
，
3
76.4
76 24
，
∴
2
3
1
，
故选B．
题型1 角的概念和表示
【例1】下列说法正确的是（
）
A．角是由一条线段绕着它的一个端点旋转而形成的图形
B．角的大小和角的开口大小无关
C．由两条具有公共端点的射线组成的图形叫作角
D．角的两边越长，角就越大
【答案】C
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【分析】本题考查了角的相关概念，根据角的相关定义逐项分析即可得解，熟练掌握角的相关定义是解此
题的关键．
【详解】解：A、角是由一条射线绕着它的一个端点旋转而形成的图形，故原说法错误，不符合题意；
B、角的大小和角的开口大小有关，故原说法错误，不符合题意；
C、由两条具有公共端点的射线组成的图形叫作角，故原说法正确，符合题意；
D、角的大小与两边的长短没有关系，故原说法错误，不符合题意；
故选：C．
【例2】下列语句中，不正确的个数是（
）
①由两条射线组成的图形叫做角；②角可以看作由一条射线绕着其端点从一个位置旋转到另一个位置所形
成的图形；③大于90的角是钝角；④钝角的一半是锐角．
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【分析】根据角的概念以及分类来判断即可．
【详解】解：①角是由公共端点的两条射线组成的图形，故①错误；
②角是由一条射线绕端点旋转形成的图形，故②正确；
③大于90且小于180的角是钝角，故③错误；
④大于90且小于180的角是钝角，设钝角为，则90
180 ,
则45
90
2
，则钝角的一半是锐角，
故④正确；
故不正确的个数是2 个．
故选：B．
【点睛】本题考查了角的概念以及角的分类，解决问题的关键是注意角是由公共端点的两条射线组成的图
形以及角的分类．
【技巧归纳】
角由两条有公共端点的射线组成，顶点为公共端点。表示：∠AOB（顶点在中间）或∠O（若仅一个角）。
注意写法顺序，射线OA 到OB。也可用数字或希腊字母。
【变式1-1】图中能用
1
ACB
C
，
，
三种方法表示同一个角的是（
）
12 / 41
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】本题考查了角的概念和角的表示方法的理解和掌握．角的表示方法有三种：（1）用三个字母及符
号“ ”来表示．中间的字母表示顶点，其它两个字母分别表示角的两边上的点．（2）用一个数字表示一个
角．（3）用一个字母表示一个角．具体用哪种方法，要根据角的情况进行具体分析，总之表示要明确，不
能使人产生误解．
【详解】解：在选项A、B、D 中，以点C 为顶点的角不只有一个，如果用
C
表示，容易使人产生歧义，
无法让人明确到底表示哪个角；
只有选项C 能用
1
，
ACB
，
C
三种方法表示同一个角，不会使人产生歧义．
故选：C．
【变式1-2】下列四个图中，能用
1
，
AOB
，
O
三种方法表示同一个角的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】本题考查了角的表示方法，根据角的表示方法并结合图形，逐项分析即可得解，熟练掌握角的表
示方法是解此题的关键．
【详解】解：A、
1
和
AOB
表示同一个角，
O
表示不同的角，故不符合题意；
B、
1
，
AOB
，
O
三种方法表示的都是同一个角，故符合题意；
C、
AOB
和
O
表示同一个角，
1
表示不同的角，故不符合题意；
D、
AOB
和
1
表示不同的角，故不符合题意；
故选：B．
题型2 角的单位与角度制
【例3】35.15
'
"；12 15 36
．
【答案】
35
9
0
12.26
【分析】根据度分秒的进制，根据1
60
，1
60
进行计算即可解答．
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【详解】解：35.15
35
0.15 60
35
9
35 9
，
36
36
60
0.6
，
15.6
15.6
60
0.26
，
12 15 36
12
0.26
12.26
，
故答案为：35，9，0，12.26．
【例4】（1）34.37
'
"；
（2）62.125
'
"．
【答案】
34
22
12
62
7
30
【分析】本题考查了度分秒的换算，熟练掌握1
60 ,1
60
的换算是解题的关键．
根据度分秒的转换规律求解即可．
【详解】（1）
0.37
0.37 60
22.2
，0.2
0.2 60
12
，
34.37
34 22 12
．
故答案为34；22；12．
（2）
0.125
0.125 60
7.5
，0.5
0.5 60
30
，
62.125
62 7 30
．
故答案为：62；7；30．
【技巧归纳】
角度制：1°=60′，1′=60″。换算时，大化小乘60，小化大除以60。如1.2°=1°12′，则0.2×60=12′。反向：
35′≈0.583°。计算角度加减时，度分秒分别运算，满60 进1，不够借1。注意进制为60，与十进制不同。
可用小数表示角度简化运算。常见于钟表问题。
【变式2-1】单位换算：
（1）4.5
' ；
（2）4680ⅱ=
；
（3）52.36
'
'' ；
（4）49 31 21
．
【答案】
270
1.3
52
21
36
49.5225
【分析】本题考查了度、分、秒的换算，熟练掌握度、分、秒的进率及换算方法是解题的关键．
（1）根据
'
1
60
，用4.5 60
换算即可；
（2）根据
'
1
60
，
''
1
60
，用4680
60 60
逆向换算即可；
（3）根据
'
1
60
，
''
1
60
，先将0.36换算成21.6，再将0.6换算成
''
36 ，即可得解；
（4）根据
'
1
60
，
''
1
60
，先将
''
21 换算成
'
0.35 ，再将
'
31.35 换算成0.5225，即可得解．
14 / 41
【详解】解：（1）
'
'
4.5
4.5 60
270
；
故答案为：270 ；
（2）
''
4680
4680
1.3
60 60
；
故答案为：1.3；
（3）
'
0.36
0.36 60
21.6
，
''
''
0.6
0.6 60
36
，
'
''
52.36
52 2136
；
故答案为：52；21；36；
（4）
'
''
'
21
21
0.35
60
，
'
'
'
0.35
31
31.35
，
'
31.35
31.35
0.5225
60
，
''
49 31 21
49.5225
．
故答案为：49.5225 ．
【变式2-2】计算（用度、分、秒表示）：
（1）103.3
176 42
98.34
．
（2）24 22 36
3
．
（3）147 45
5
．
（4）180
18 15
6
．
【答案】
181 39 36
73 7 48
29 33
70 30
【分析】（1）根据度分秒的加法，相同单位相加，满60 向上一单位进1，可得答案；
（2）根据度分秒的乘法，从小单位乘，满60 向上一单位进1，可得答案；
（3）根据度分秒的除法，从大单位算起，余数化成下单位再除，可得答案；
（4）根据度分秒的乘法，从小单位乘，满60 向上一单位进1，再算减法，可得答案．
【详解】解：（1）原式＝103.3
176 42
98.34
103.3
176.7
98.34
181.66
181 39 36
＝
（2）原式
72 66 108
73 7 48
＝
＝
（3）原式
29
165
5 29 33
＝
＋
＝
（4）原式＝180
109 30'
179 60' 109 30'
70 30'
故答案为：①181 39 36
②73 7 48
③29 33
④70 30
．
题型3 钟面角
【例5】2 时20 分时，钟面上时针与分针所成的角是
．
15 / 41
【答案】50
【分析】本题考查了钟面角，由时针每小时转动30，时针每分钟转动0.5进行求解即可．
【详解】解：因为时针每小时转动30，时针每分钟转动0.5，
所以分针在2 时20 分时与12时的刻度线夹角为30
4
120
，
时针在2 时20 分时与12时的刻度线夹角为30
2
20 0.5
70
，
所以2 时20 分时，钟面上时针与分针所成的角：
120
70
50
；
故答案为：50．
【例6】在9 时40 分这一刻，时针和分针的夹角为
度．
【答案】50
【分析】本题考查时针与分针的夹角问题，掌握知识点是解题的关键．
先求出时针每小时走30 度每分钟走0 5
．度，分针每小时走360 度每分钟走6 度，继而得到9 点40 时分针与
9 点的夹角是30 度，时针与9 点的夹角是0.5
40
20
（度），则20
30
50
（度），即可解答．
【详解】解：∵360 12
30
（度），一格30 度，时针每小时走30 度每分钟走0 5
．度，分针每小时走360
度每分钟走6 度，
∴9 点40 时分针与9 点的夹角是30 度，时针与9 点的夹角是0.5
40
20
（度），
∴20
30
50
（度）．
故答案为：50．
【技巧归纳】
钟面一圈360°，每大格30°，每小格6°。时针速度0.5°/分，分针6°/分。求某时刻两针夹角：先算分针角度
=6m，时针=30h+0.5m（h 为小时，m 为分钟）。夹角=两者差取绝对值，若>180°则取360°-差。夹角不大
于180°。注意整点时刻，如3:00 夹角90°。审清时刻。
【变式3-1】如图，在地面上有一个钟，钟面的12 个粗线段刻度是整点时针（短针）所指的位置，根据图
中时针与分针（长针）所指的位置，该钟面所显示的时刻是
时
分．
【答案】
9
12
【分析】本题主要考查了钟表时间的推理，解题的关键是掌握钟表时针和分针的特征．
根据钟表时针和分针的特征进行合理的推理即可．
【详解】解：根据时针和分针所指刻度得，
16 / 41
时针走一个大格是60 分钟，走一个小格是60
5
12
（分钟），
此时，分针从12 点的刻度走了12 个小格，
∴分针刚走过的刻度为2，
∴现在的时刻是9 时12 分，
故答案为：9，12．
【变式3-2】每天上午9:35 “阳光大课间”都如约而至，此时时针与分针所夹的角为
．
【答案】77.5
【分析】本题考查了钟面角的有关知识，解题关键是得出钟表上从1 到12 一共有12 格，每个大格30．根
据时针一分钟旋转30
60
0.5
，得到从9 点到9:35 ，经过了35 分钟，时针旋转了35 0.5
17.5
，分针
在7 上，进而求解即可．
【详解】解：∵钟表上从1 到12 一共有12 格，每个大格30，
∴时针一分钟旋转30
60
0.5
∴从9 点到9:35 ，经过了35 分钟，在这期间时针旋转了35 0.5
17.5
，分针在7 上，
∴分针与时针的夹角是17.5
30
2
77.5
．
故答案为：77.5．
题型4 与方位角有关的计算题
【例7】如图，OA方向是北偏东
，
AOB
．
【答案】
60/60 度
105/105 度
【分析】本题考查方向角及平角的概念，熟练掌握方向角的概念及平角为180是解题的关键．
根据图中所给角即方向的概念可得出OA方向是北偏东60，利用平角为180求
AOB
即可．
【详解】解：由图知，OA与正东方向夹角为30，
所以OA方向是北偏东60；
又
30
45
180
AOB
，所以
105
AOB
．
故答案为：60；105．
【例8】如图，OA的方向是北偏东21，OB 的方向是北偏西27．若
2
AOC
AOB
，则OC 的方向
17 / 41
是
．
【答案】南偏东63
【分析】本题考查了角的计算，方向角，利用图形求得
NOC
的大小即可得出结论．
【详解】解：设表示南北的直线为MN ，如图，
由题意得：
27
BOM
，
21
MOA
，
48
AOB
BOM
AOM
．
2
AOC
AOB
，
96
AOC
．
117
MOC
AOM
AOC
．
180
180
117
63
NOC
MOC
，
OC
的方向为：南偏东63．
故答案为：南偏东63．
【技巧归纳】
方位角从正北顺时针度量，范围0°~360°。表示：北偏东30°即方位角30°，南偏西60°即240°。计算两方位
角夹角：先化为同一参考，差绝对值，若>180°则用360°-差。实际中常画方位图，用南北方向作基准。如A
在B 北偏东40°，B 在A 南偏西40°。注意互余、互补关系。
【变式4-1】如图，早上李老师开车从家出发去学校，以60 千米/小时的速度沿南偏东30方向行驶20 分钟
到达学校．下班后李老师沿同一路线回家，则李老师行驶的方向是
，路程是
千米．
18 / 41
【答案】
北偏西30
20
【分析】本题考查了方向角，熟练掌握方向角的定义是解题的关键．根据方向角的定义即可得出答案．
【详解】解：根据题意，可知李老师行驶的方向是北偏西30，路程是
20
60
20(
60
千米)．
故答案为：北偏西30，20．
【变式4-2】如图，某海域有三个小岛A
B
O
，，
，在小岛O处观测到小岛A 在它北偏东58的方向上，观测
到小岛B 在它南偏东42的方向上，则
AOB
的度数大小是
．
【答案】80/80 度
【分析】本题考查了方位角及角的计算，根据方位角的描述和平角的定义求解即可．
【详解】解：由题意得，
180
42
58
80
AOB
，
故答案为：80．
题型5 角的比较
【例9】比较大小：
'
38 15
38.15．（填“>”、“<”或“=”）
【答案】>
【分析】本题考查的度分秒的换算以及角的大小比较，解题的关键是将角的度数换算成度分秒的形式．将
角的度数换算成度分秒的形式，再进行比较即可得出结论．
【详解】解：依题意，38.15
38
0.15 60
38 9
，
∴
9
3
>38
8 15
，
∴38 15
38.15
．
故答案为：．
19 / 41
【例10】若
10.2
，
10 2
，则
．（填“ ”“”或“ ”）
【答案】
【分析】本题考查了角的大小比较，度分秒的换算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
根据度分秒的进制进行计算比较，即可解答．
【详解】解：∵
'
1
60
，
∴
'
0.2
12
，
∴
'
10.2
10 12
，
∵
10 2
，
∴
，
故答案为：．
【技巧归纳】
角的大小比较：度量法（用量角器）、叠合法（将顶点及一边重合，看另一边位置）。注意角的大小与边
长短无关。也可估算：锐角<90°，直角=90°，钝角>90°。计算差：大角减小角。若用度数表示，直接比较
数值。如30°<60°。在图形中，可通过全等或相似判断。常用估测。
【变式5-1】若
30.4
A
，
'
30 22
B
，则
A
B
．（填“>”“<”或“=”）
【答案】>
【分析】本题考查了角的大小比较和度分秒的换算，关键是能正确进行度分秒之间的换算．
先换算
30.4
30 24
A
，再和
B
的度数比较即可．
【详解】解：∵
30.4
30 24
A
，
'
30 22
B
，
∴
A
B
，
故答案为：．
【变式5-2】若
50 20
A
，
50.5
B
，则
A
(
B
填“ ”“ ”或“”).
【答案】
【分析】本题主要考查角的大小比较及度分秒的换算，先统一单位，再进行比较，即可得出答案．
【详解】解：
0.5
0.5 60
30
，
50.5
50 30
B
，
50 20
50 30
，
.
A
B
故答案为：
.
题型6 三角板中角度计算问题
20 / 41
【例11】如图，将一副三角尺的两个锐角（45角和60角）的顶点叠放在一起，没有重叠的部分分别记作
1
和
2
，若
1
23
，则
2
的度数为
．
【答案】38/38 度
【分析】本题考查了三角板中的角度计算，熟练掌握角的运算是解题关键．如图（见解析），根据题意可
得
1
3
45
，
2
3
60
，则可得
3
22
，代入计算即可得．
【详解】解：如图，由题意得：
1
3
45
，
2
3
60
，
∵
1
23
，
∴
3
45
23
22
，
∴
2
60
3
60
22
38
，
故答案为：38．
【例12】如图，将一个直角三角板的30角的顶点与另一个直角三角板的直角顶点重合若
1
20 30
，则
EAB
．
【答案】80 30
【分析】本题考查了三角板中的角度计算，熟练掌握度分秒的进制是解题的关键．
根据
30
BAC
，
1
20 30
，可得
BAD
的度数，即可求解．
【详解】解：∵
30
BAC
，
1
20 30
，
∴
0
30
1
20 30
9 3
D
B C
BA
A
，
21 / 41
∵
=90
DAE
，
∴
0
9
0
0
9 3
80 3
EA
A
B
B D
E
A
D
．
故答案为：80 30
【技巧归纳】
常用三角板角度：45°-45°-90°和30°-60°-90°。拼角时，角度相加减可得15°的整数倍（如30+45=75，45-30=15）。
求组合角时，直接相加或相减。注意三角板平行边可产生同位角、内错角。若重叠，用已知角减重叠角。
可画出示意图辅助计算。拼图时考虑公共边。
【变式6-1】如图，将一个三角板60角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，若DA 平分
BAC
，则
CAE
的度数是
．
【答案】60
【分析】本题考查角了角的和差和角平分线的相关计算．根据，可若DA 平分
BAC
计算出
CAD
的度数，
再由
90
EAD
，即可得出答案．
【详解】解：∵DA 平分
BAC
，
60
BAC
，
∴
1
30
2
BAD
CAD
CAB
∵
90
EAD
，
∴
90
30
60
CAE
EAD
CAD
，
故答案为：60
【变式6-2】一副三角板按如图方式摆放，点
,
,
B C D 在同一条直线上，
45 ,
30
A
E
．现将三角板DCE
绕点C 逆时针旋转一周，当AC 所在直线恰好平分
DCE
时，三角板DCE 转过的角度为
．
【答案】105或285
22 / 41
【分析】本题考查了三角板中角度计算问题以及角平分线的有关计算，正确掌握相关性质内容是解题的关
键．先认真读题干，然后进行分类讨论，逐个情况作图，运用角之间的和差关系分别列式计算，即可作答．
【详解】解：∵
45 ,
30
A
E
，
∴
60
45
ECD
ACB
,
，
∴
180
45
135
ACD
，
135
60
75
ACE
，
如图所示：
∵AC 平分
1
1
E CD
，
∴
1
1
1
1
1
30
2
2
ACD
E CD
ECD
,
∴
1
1
135
30
105
D CD
ACD
ACD
，
此时三角板DCE 转过的角度为105；
当AC 的延长线CG 平分
1
1
E CD
，如图所示：
∴
1
1
1
1
1
30
2
2
GCE
E CD
ECD
,
则
1
1
180
180
75
30
75
ECE
ACE
GCE
故360
75
285
，
此时三角板DCE 转过的角度为285；
故答案为：105或285．
题型7 角平分线的有关计算
【例13】如图，点O在直线AB 上，OC
OD
．
23 / 41
(1)若OC 平分
BOE
，
25
BOD
，则
AOE
________．
(2)若
BOD
为锐角，
2
AOE
BOD
，请说明OC 平分
BOE
．
【答案】(1)50
(2)见解析
【分析】本题考查了垂直的定义，角平分线的定义，角的和差，解题的关键是掌握相关知识．
（1）根据垂直的定义和
25
BOD
，可得
65
BOC
，再根据角平分线的定义求出
130
BOE
，最后
根据
180
AOE
BOE
，即可求解；
（2）由垂直的定义可得：
90
BOC
BOD
，由平角的定义可得
180
BOE
AOE
，结合
2
AOE
BOD
，即可证明．
【详解】（1）解：
OC
OD
，
90
COD
，
25
BOD
，
90
25
65
BOC
COD
BOD
Ð
= Ð
-Ð
=
°-
°=
°，
OC 平分BOE ，
2
130
BOE
BOC
Ð
= Ð
=
°，
180
180
130
50
AOE
BOE
，
故答案为：50；
（2）解：
OC
OD
，
90
COD
，
COB
COD
BOD
，
90
BOC
BOD
，
BOE
AOB
AOE
，
180
BOE
AOE
，
2
AOE
BOD
，
(
)
180
2
2 90
2
BOE
BOD
BOD
BOC
Ð
=
°- Ð
=
°-Ð
= Ð
，
OC 平分BOE ．
【例14】如图，OC 是
AOD
的平分线，OE 是
BOD
的平分线，
130
AOB
．
24 / 41
(1)求
COE
的度数是多少？
(2)如果
20
COD
，求BOE 的度数．
【答案】(1)65
(2)45
【分析】本题考查的是角平分线的定义，熟知各角之间的和、差及倍数关系是解答此题的关键．
（1）根据角平分线的定义得出
1
2
COD
AOD
，
1
2
EOD
BOD
，那么
1
65
2
COE
COD
EOD
AOB
；
（2）先根据
20
COD
求出
40
AOD
，然后求出
90
BOD
，根据角平分线的定义即可得出
45
BOE
结论．
【详解】（1）解：∵OC 是
AOD
的平分线，OE 是
BOD
的平分线，
∴
1
2
COD
AOD
，
1
2
EOD
BOD
，
∴
COE
COD
EOD
1
1
2
2
AOD
BOD
1
1
2
2
AOD
BOD
AOB
，
∵
130
AOB
，
∴
1
1 130
65
2
2
COE
AOB
，
∴
COE
的度数为：65；
（2）∵OC 是
AOD
的平分线，
20
COD
，
∴
2
40
AOD
COD
，
∵
130
AOB
，
∴
130
40
90
BOD
AOB
AOD
，
∵OE 是
BOD
的平分线，
∴
1
1
90
45
2
2
BOE
BOD
，
∴
BOE
的度数为：45．
25 / 41
【技巧归纳】
角平分线将角分成两个相等角，OC 平分∠AOB，则∠AOC=∠COB=½∠AOB。若给出角平分线，可用倍数关
系求角。多个角平分线时，设未知数列方程。如OC、OD 分别平分∠AOB 和∠BOC，则∠AOD=¾∠AOB。
注意角平分线的定义，常用于几何证明。设x 表示部分角更简便。
【变式7-1】已知OC 是过点O的一条射线，OD
OE
，
分别平分
AOC
BOC
，
．
(1)当射线OC 在
AOB
的内部时
①如图①，若
80
AOB
，则
DOE
_________；
②如图②，若
AOB
x
，求
DOE
的度数（用含x 的式子表示）；
(2)当射线OC 在
AOB
的外部时，
AOB
x
，请借助备用图探究
DOE
的度数是________（直接写出答
案）
【答案】(1)①40；②1
2 x
(2) 1
2 x或
1
180
2 x
【分析】本题考查了几何图形中角的计算，角平分线的定义，分情况确定射线的位置是解题的关键．
（1）①由
1
2
AOB
AOC
BOC
DOE
AOB
，
，求角度即可；
②借助①的角的数量关系即可求得
DOE
的度数；
（2）分情况讨论射线OC 的位置，在（1）的基础上求
DOE
的度数即可．
【详解】（1）解：①
OD
OE
，
分别平分
AOC
BOC
，
，
1
1
2
2
COD
AOC
COE
BOC
，
，
DOE
COD
COE
，
1
1
1
2
2
2
DOE
AOC
BOC
AOC
BOC
，
AOB
AOC
BOC
，
1
2
DOE
AOB
，
80
AOB
，
26 / 41
1
80
40
2
DOE
，
故答案为：40；
②由①知
1
2
DOE
AOB ，
AOB
x
Q
，
1
2
DOE
x
，
即
DOE
的度数为1
2 x；
（2）解：射线OC 在
AOB
的外部分两种情况，
如图③，
OD
OE
，
分别平分
AOC
BOC
，
，
1
1
2
2
COD
AOC
COE
BOC
，
，
DOE
COD
COE
，
1
1
1
2
2
2
DOE
AOC
BOC
AOC
BOC
，
AOB
AOC
BOC
，
1
2
DOE
AOB
，
AOB
x
Q
，
1
2
DOE
x
，
如图④，
DOE
COD
COE
，
1
1
1
2
2
2
DOE
AOC
BOC
AOC
BOC
，
360
AOC
BOC
AOB
，
1 360
2
DOE
AOB
，
AOB
x
Q
，
1
1
360
180
2
2
DOE
x
x
，
即
DOE
的度数为1
2 x或
1
180
2 x
故答案为：1
2 x或
1
180
2 x
27 / 41
【变式7-2】【问题背景】已知OC 是
AOB
内部的一条射线，且
3
AOB
AOC
．
【问题再现】（1）如图1，若
120
AOB
，OM 平分
AOC
，ON 平分
AOB
．求
MON
的度数；
【问题推广】
（2）如图2，
90
AOB
，从点O 出发在
BOC
内引射线OD，满足
BOC
AOC
COD
．若
OM 平分
COD
．求
BOM
的度数；
【拓展提升】（3）如图3，在
AOC
的内部作射线OP ，在
BOC
的内部作射线OQ ．若
1 2
COP
BOQ
：
= ：；
求
AOP
和COQ 的数量关系．
【答案】（1）40；（2）45；（3）
2
COQ
AOP
【分析】（1）根据角的平分线，角的和差计算即可．
（2）根据角的平分线，角的和差计算即可．
（3）由
1 2
COP
BOQ
：
= ：，设
COP
，则
2
BOQ
，根据角的平分线，角的和差计算即可．
本题考查了角的和差计算，角的平分线，熟练掌握角的平分线是解题的关键．
【详解】（1）解：∵
3
AOB
AOC
，
120
AOB
，
1 120
40
3
AOC
．
又∵OM 平分
AOC
，ON 平分
AOB
，
1
1
,
2
2
AOM
AOC
AON
AOB
．
40
2
20
AOM
，
120
2
60
AON
60
20
40
MON
AON
AOM
；
（2）解：∵
3
AOB
AOC
，
90
AOB
，
1
90
30
3
AOC
．
故
90 -30
60
BOC
∠
，
28 / 41
∴
60
30
30
COD
BOC
AOC
=
-
=
-
=
，
又∵OM 平分
COD
，
1
1
30
15
2
2
COM
COD
．
60
15
45
BOM
BOC
COM
．
（3）解：由
1 2
COP
BOQ
：
= ：，
设
COP
，则
2
BOQ
∵
3
AOB
AOC
，
∴
3
AOC
AOB
BOC
AOC
BOC
=
-
=
-
．
∴2 AOC
BOC
．
∴
2
AOP
COP
COQ
BOQ
+
=
+
，
∴
2
2
AOP
COQ
＋
，
∴
2
COQ
AOP
．
题型8 角n 等分线的有关计算
【例15】在
AOB
的内部作射线OC ，射线OC 把
AOB
分成两个角，分别为
AOC
和
BOC
，若
1
3
AOC
AOB
或
1
3
BOC
AOB
，则称射线OC 为
AOB
的三等分线．若
60
AOB
，射线OC 为
AOB
的三等分线，则
AOC
的度数为（
）
A．20
B．40
C．20或40
D．20或30
【答案】C
【知识点】角n 等分线的有关计算
【分析】根据题意得出
20
AOC
或
20
BOC
，再根据角之间的数量关系，得出
40
AOC
，综合即
可得出答案．
【详解】解：∵
60
AOB
，射线OC 为
AOB
的三等分线．
∴
1
20
3
AOC
AOB
或
1
20
3
BOC
AOB
，
∴
60
20
40
AOC
AOB
BOC
，
∴
AOC
的度数为20或40．
故选：C．
【技巧归纳】
n 等分线将角分成n 个相等角。若射线OC 是∠AOB 的m 等分线（从OA 起第m 条），则∠AOC=m/n·∠AOB。
29 / 41
已知比例可设每份角为x，列方程。注意等分线位置顺序。多个等分线时，依次累加。如三等分线：∠AOC=1/3
∠AOB，∠COD=1/3，∠DOB=1/3。常设份数求值。
【变式8-1】定义：从
AOB
的顶点出发，在角的内部引一条射线OC ，把
AOB
分成1: 2 的两部分，射线
OC 叫做
AOB
的三等分线．若在
MON
中，射线OP 是
MON
的三等分线，射线OQ 是
MOP
的三等分
线，设
MOQ
x
，则
MON
用含x 的代数式表示为
．
【答案】9
4 x 或9
2 x 或9x
【知识点】角n 等分线的有关计算
【分析】本题考查角的计算．解题关键是做出图形，列方程计算．注意要分类讨论．
【详解】如图，
∵射线OP 是
MON
的三等分线，
∴OP 把
MON
分成1: 2的两部分，
∴
3
MON
MOP
或
3
2
MON
MOP
，
∵射线OQ 是
MOP
的三等分线，
∴OQ 把
MOP
分成1: 2的两部分，
∴
3
MOP
MOQ
或
3
2
MOP
MOQ
，
∵
MOQ
x
，
∴
3
3
MOP
MOQ
x
或
3
3
2
2
MOP
MOQ
x
，
当
3
MOP
x
时，
3
9
MON
MOP
x
或
3
9
2
2
MON
MOP
x
，
当
3
2
MOP
x
时，
9
3
2
MON
MOP
x
或
3
9
2
4
MON
MOP
x
，
故答案为：9
4 x 或9
2 x 或9x ．
30 / 41
一、单选题
1．下列图形中，能用
1
，
ACB
，
C
三种方法表示同一个角的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】解：A、能用
1
，
ACB
表示，不能用
C
表示，故选项不符合题意；
B、能用
1
，
ACB
表示，不能用
C
表示，故选项不符合题意；
C、能用
1
，
ACB
，
C
表示同一个角，故选项符合题意；
D、
1
和
ACB
表示不同的角，故选项不符合题意．
2．下列换算中，正确的是（
）
A．83.5
83 50
B．57.28
57 16 48
C．19 5 24
19 9
．
D．0.25
1500
【答案】B
【分析】度、分、秒之间进率为60，即1
60
，1
60
，1
3600
，根据换算规则逐一计算各选项即可
得到答案．
【详解】解：对A 选项：
83.5
83
0.5 60
83 30
83 50
，故A 错误；
对B 选项：
57.28
57
0.28 60
57
16.8
'
57 16
0.8 60
57 16 48
，故B 正确；
对C 选项：19 5 24
19
5
24
60
19
5.4
19
5.4
60
31 / 41
19.09
19.9
，故C 错误；
对D 选项：0.25
0.25 3600
900
1500
，故D 错误．
3．将一副常规三角尺（厚度不计）如图摆放，那么
等于（
）
A．30
B．45
C．55
D．ܨι
【答案】D
【详解】解：由图可知，
90
30
60
，
故选：D．
4．如图，ܱܥ是
AOB
的平分线，ܱܦ是
BOC
的平分线，
140
AOB
度，则
AOD
的度数是（
）
A．145
B．160
C．75
D．105
【答案】D
【分析】根据角平分线的定义求出
,
AOC
BOC
的度数，进而求出
COD
的度数，角的和差关系即可得出
结果.
【详解】解：∵ܱܥ是
AOB
的平分线，ܱܦ是
BOC
的平分线，
140
AOB
度，
∴
1
70
2
AOC
BOC
AOB
，
1
35
2
COD
BOC
，
∴
105
AOD
AOC
COD
.
5．如图，图中是某航海区域的情况，在灯塔ܱ
附近有A，B，C，D，E，F，6 座海轮，其中F 到灯塔的距
离为10km ，海轮F 在灯塔和海轮ܦ的中点处．且
42 30
AOD
，
78.5
DOE
AOC
．则下列说法正
确的是（
）
①若海轮F 的速度为30km / h ，则海轮F 抵达灯塔最少需要20 分钟；
②
43
EOC
；
③
59
BOE
；
④C 在灯塔的北偏东11 30
的方向上．
32 / 41
A．①④
B．①②
C．①③④
D．①②③④
【答案】C
【分析】本题考查了方向角的定义、度分秒的换算以及角的和差计算．根据路程、速度、时间的关系判断
①；利用角的和差关系及度分秒换算判断②③；根据方向角的定义判断④即可．
【详解】解：海轮F 到灯塔的距离为10km，速度为30km / h ，
抵达灯塔需要的时间为10
1
30
3
小时
20
分钟，
故①正确；
42 30
42.5
AOD
，
78.5
AOC
78.5
42.5
36
COD
AOC
AOD
78.5
DOE
78.5
36
42.5
43
EOC
DOE
COD
故②错误；
42.5
AOD
、
78.5
DOE
42.5
78.5
121
AOE
AOD
DOE
A，ܱ，ܤ在同一直线上，
180
180
121
59
BOE
AOE
故③正确；
0
78.5
78 3
AOC
，正北方向与OA夹角为90，
90
90
78 30
11 30
AOC
C
在灯塔的北偏东11 30
的方向上，
故④正确；
综上所述，说法正确的是①③④．
二、填空题
6．计算：36 25
42 56
_____________．
【答案】79 21
【分析】根据角的计算：把度和度相加，分和分相加，满
'
60 进一度．
33 / 41
【详解】解：
'
'
36 25
42 56
'
'
36
42
25
56
'
78
81
'
78
1
21
'
79
21
'
79 21
．
7．已知
10.5
，
'
10 20
，则
_______
（填“<”或“>”或“=”）．
【答案】
【分析】统一两个角的角度单位，将
化为度分表示后比较大小即可．
【详解】解：
'
1
60
，
'
'
10.5
10
0.5 60
10 30
，
'
10 20
，且
'
'
10 30
10 20
，
．
8．3：30 时，钟面上时针和分针组成的角是________角；_________时整或________时整，时针和分针的夹
角是直角．
【答案】
锐
3
9
【分析】根据钟面上各时间时针和分针的位置关系分别解答即可．
【详解】解：3：30 时，钟面上时针和分针组成的角是锐角；3 时整或9 时整，时针和分针的夹角是直角．
9．如图，已知
80
ABC
，射线BD 在
ABC
的内部，且
3
ABD
CBD
，射线ܤܧ是平面上绕点B 旋转
的一条动射线，BF 平分
DBE
．若
0
60
ABE
，则
CBF
的度数为______．（用含的式子
表示）
【答案】50
2
1
或
1
50
2
【分析】首先根据
80
ABC
及
3
ABD
CBD
求出סܣܤܦ和
CBD
的度数；然后根据射线ܤܧ的位置
分两种情况讨论：当射线ܤܧ在סܣܤܦ的内部时，当射线ܤܧ在סܣܤܦ的外部时；分别利用角平分线的定义
和角的和差关系求解即可．
【详解】解：
80
ABC
，
3
ABD
CBD
，
ABC
ABD
CBD
3
80
CBD
CBD
20
CBD
34 / 41
3 20
60
ABD
分两种情况讨论：①当射线ܤܧ在סܣܤܦ的内部时，
ABE
60
DBE
ABD
ABE
BF 平分
DBE
1
1
1
60
30
2
2
2
DBF
DBE
1
1
20
30
50
2
2
CBF
CBD
DBF
②当射线ܤܧ在סܣܤܦ的外部时，
ABE
60
DBE
ABD
ABE
BF 平分
DBE
1
1
1
60
30
2
2
2
DBF
DBE
1
1
20
30
50
2
2
CBF
CBD
DBF
综上所述，
CBF
的度数为50
2
1
或
1
50
2
．
10．定义：过角的顶点在角的内部作一条射线，得到三个角，若这三个角中有一个角是另外一个角的两倍，
则称这条射线为这个角的“二倍角线”．如图，
60
AOB
，射线ܱ
ܥ为
AOB
的“二倍角线”，则
AOC
______ ．
【答案】20或30或40
【分析】因为射线ܱ
ܥ是
AOB
的“二倍角线”，所以需分情况讨论三个角中存在的二倍关系：
35 / 41
①
2
2
AOB
AOC
BOC
；②
2
AOC
BOC
；③当
2
BOC
AOC
；
利用角的和差关系与二倍角的定义，通过分类讨论列方程或直接计算得到
AOC
的可能值．
【详解】解：①当
2
2
AOB
AOC
BOC
时，
60
AOB
，
30
AOC
；
②当
2
AOC
BOC
时，
60
AOB
，
2
40
3
AOC
AOB
；
③当
2
BOC
AOC
时，
60
AOB
，
1
20
3
AOC
AOB
；
综上，
20
AOC
或30或40．
三、解答题
11．计算：
(1)
'
'
'
'
85 16
18 47
35 22
26 52
．
(2)
'
''
'
''
53 4030
2
72 57 28
2
．
【答案】(1)
'
57 59
(2)
'
''
70 5216
【分析】根据角度的计算法则，及角度的换算：
'
1
60
，
''
1
60
计算即可．
【详解】（1）解：原式
'
'
'
66 29
8 30
57 59
；
（2）解：原式
'
'
''
'
''
107 21
36 2844
70 5216
．
12．如图，ܣ、ܱ、ܤ在一条直线上，已知ܱ
ܦ平分
BOC
，OE 是
COD
内部的一条射线．
(1)若
60
BOD
，
35
DOE
，求
COE
的度数；
(2)若
80
AOE
，
2
DOE
COE
，求
BOD
的度数．
【答案】(1)25
(2)ܨι
【分析】（1）根据角平分线的定义得
60
COD
BOD
，进而根据
COE
COD
DOE
，即可求解；
（2）根据设
COE
x
，则
2
DOE
x
，
3
COD
x
，根据角平分线的定义得
6
BOC
x
∠
，
3
BOD
x
，
36 / 41
由
80
AOE
得
80
AOC
x
Ð
=
°-
，根据
180
AOC
BOC
列方程，求出ݔ后即可求解．
【详解】（1）解：ܱ
ܦ平分
BOC
，
60
BOD
，
60
COD
BOD
，
又
35
DOE
，
60
35
25
COE
COD
DOE
；
（2）解：设
COE
x
，则
2
DOE
x
，
2
3
COD
COE
DOE
x
x
x
，ܱ
ܦ平分
BOC
，
2
6
BOC
COD
x
Ð
=
Ð
=
，
3
BOD
COD
x
Ð
= Ð
=
，
80
AOE
，
80
AOC
AOE
COE
x
Ð
= Ð
- Ð
=
°-
，
180
AOC
BOC
，
80
6
180
x
x
°-
+
=
°，
解得
20
x
，
3
60
BOD
x
．
13．解答下列问题：
(1)尺规作图，在
AOB
的外部
．．作
BOD
，使得
BOD
AOC
（要求只保留作图痕迹，不写作法）；
(2)
120
AOB
，设
AOC
x
，
①用x 表示
BOD
；
②求证：
120
COD
；
③探究
AOD
与
BOC
的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)如图：
BOD
即为所求．
(2)①
BOD
x
；
②证明：∵
BOD
AOC
x
，
∴
120
BOC
x
，
∴
120
120
COD
BOC
BOD
x
x
，
37 / 41
120
COD
；
③
AOD
与
BOC
的和等于240，理由如下：
∵
120
AOD
AOB
BOD
x
，
120
BOC
x
，
∴
120
120
240
AOD
BOC
x
x
．
【分析】（1）根据尺规作图作一个角的方法作图即可；
（2）①由（1）作图可知：
BOD
AOC
x
；
②根据
COD
BOC
BOD
计算即可；
③先求出
AOD
的值，再计算
AOD
BOC
即可．
【详解】（1）略；
（2）解：①由（1）作图可知：
BOD
AOC
x
；
②略；
③略．
14．已知
120
AOB
，过点O 作射线OC ，设
AOC
，将射线OC 逆时针旋转一定的角度得到射线ܱ
ܦ．
(1)如图1，若
60
0
60
COD
，
，求
AOD
BOC
的度数；
(2)如图2，若
60
60
120
COD
，
．
①求
BOD
的度数（用含α的式子表示）；
②若OE 平分
BOC
，试探究
DOE
与
AOC
的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)180
(2)①
60
BOD
；②
1
2
DOE
AOC
，理由见解析
【分析】（1）根据
AOD
BOC
AOD
BOD
COD
AOB
COD
计算求解即可；
（2）①根据
,
AOC
AOB
BOC
BOD
COD
BOC
,
AOC
BOD
AOB
BOC
COD
BOC
计算求解即可；②由题意可得
120
BOC
AOB
AOC
，由OE 平分
BOC
，可得
COE
BOC
DOE
COD
COE
，
，
求出
DOE
的值，然后可求
DOE
与
AOC
的数量关系.
【详解】（1）解：∵
120
AOB
，
60
COD
，
∴
AOD
BOC
AOC
COD
BOC
AOB
COD
180
。
38 / 41
（2）解：①∵
120
AOB
，
AOC
，
60
COD
，
∴
BOD
AOD
AOB
AOC
COD
AOB
60
120
60
；
②∵OE 平分
BOC
，
120
BOC
AOB
AOC
，
∴
1
1
60
2
2
BOE
BOC
，
∵
60
BOD a
，
∴
1
2
DOE
BOD
BOE
，
∴
1
2
DOE
AOC
。
【点睛】平面内共顶点的角，若
180
AOB
COD
，则
180
AOD
BOC
．
15．【实践操作】三角尺中的数学实践活动课上，“奋进”小组将一副直角三角尺的直角顶点叠放在一起，
如图ͳ，使直角顶点重合于点C ．
【问题发现】
(1)①填空：如图ͳ，若
145
ACB
，则
ACE
的度数是_____，DCB
的度数_____，ECD
的度数是______．
②如图ͳ，你发现
ACE
与
DCB
的大小有何关系？
ACB
与
ECD
的大小又有何关系？请直接写出你发
现的结论．
【类比探究】
(2)如图2，当ACD与BCE 没有重合部分时，上述②中你发现的结论是否还依然成立？请说明理由．
【答案】(1)①55，55，35；②
ACE
BCD
，
180
ACB
ECD
(2)解：当ACD 与BCE 没有重合部分时，上述②中你发现的结论依然成立，理由如下：
∵
90
ACD
BCE
，
∴
ACD
ECD
BCE
ECD
，
39 / 41
∴
ACE
BCD
，
∵
90
ACD
BCE
，
∴
180
ACD
BCE
，
∵
360
ACD
ECD
BCE
ACB
，
∴
180
ACB
ECD
．
∴上述②中你发现的结论依然成立．
【分析】（1）①根据角的和差关系及直角的定义分别求解即可；
②根据余角的性质可得
ACE
BCD
，根据角的和差关系可得
180
ACB
ECD
；
（2）利用
ACD
BCE
可得
ACE
BCD
；利用周角定义得
360
ACD
ECD
BCE
ACB
，
根据
90
ACD
BCE
，即可得到
180
ACB
ECD
．
【详解】（1）解：①由题意可知，
90
ACD
BCE
，
∵
145
ACB
，
∴
145
90
55
ACE
ACB
BCE
，
145
90
55
DCB
ACB
ACD
，
∴
90
55
35
ECD
ACD
ACE
．
②
ACE
BCD
，
180
ACB
ECD
．理由如下：
∵
90
ACD
ACE
ECD
，
90
BCE
BCD
ECD
，
∴
ACE
ECD
BCD
ECD
，
∴
ACE
BCD
，
∵
90
ACB
ACD
BCD
BCD
，
90
BCD
BCE
ECD
ECD
，
∴
90
90
180
ACB
ECD
ECD
，
∴
180
ACB
ECD
．
（2）解：略
16．特例感知：
（1）如图1，已知线段
14
AB
，点C 为线段ܣܤ上的一个动点，点ܦ，ܧ分别是AC 和BC 的中点．
①若
4
AC
，则线段DE _________；
②若
14
AC
a a
，则线段DE _________；
知识迁移：
（2）我们发现角的很多规律和线段一样，如图2，若
130
AOB
，OC 是
AOB
内部的一条射线，射线OM
平分
AOC
，射线ON 平分
BOC
，
MON
_________；
40 / 41
拓展探究：
（3）如图3，已知
COD
在
AOB
内部，
180
AOB
，
28
COD
∠
，且
3
DOM
AOM
，
3
CON
BON
，求
MON
（用含的式子表示）．
综合提升：
（4）如图4，若
126
AOB
，
60
COD
，射线OE 、OF 分别在
AOC
和
BOD
内部，且
1
3
EOC
AOC
，
1
3
DOF
BOD
，
EOF
_________．（直接写出答案）
【答案】（1）①7；②7；（2）65；（3）3
7
4；（4）82
【分析】本题考查了两点间的距离，代数式，角的计算，关键是掌握线段中点、角平分线的定义．
（1）①已知
14
AB
，
4
AC
，可得BC 的长，因为点ܦ，ܧ分别是AC 和BC 的中点，可得ܥܦ、ܥܧ的长，
因为DE
CD
CE
，可得DE 的长；
②同①法求解即可；
（2）因为OC 是
AOB
内部的一条射线，射线OM 平分
AOC
，射线ON 平分
BOC
，所以
1
2
CON
BOC
，
1
2
COM
AOC
，已知
130
AOB
，
MON
CON
COM
可得
MON
的度数；
（3）已知
AOB
，
28
COD
∠
，可得
BOC
AOD
的度数，因为
3
DOM
AOM
，
3
CON
BON
，
可得
DOM
CON
的度数，因为
MON
COD
CON
DOM
，可得
MON
的度数；
（4）设
BOC
x
，可得
126
AOC
x
，
60
BOD
x
，从而得到
1
42
3
EOC
x
，
1
40
3
COF
x
，
即可求解．
【详解】解：（1）①
14
AB
，
4
AC
，
10
BC
，
点ܦ，ܧ分别是AC 和BC 的中点，
2
CD
，
5
CE
，
2
5
7
DE
CD
CE
；
②
14
AB
，
14
AC
a a
，
14
BC
a
，
点ܦ，ܧ分别是AC 和BC 的中点，
2
a
CD
，
7
2
a
CE
，
7
7
2
2
a
a
DE
CD
CE
；
（2）
OC 是
AOB
内部的一条射线，射线OM 平分
AOC
，射线ON 平分
BOC
，
41 / 41
1
2
CON
BOC
，
1
2
COM
AOC
，
130
AOB
，
1
1
65
2
2
MON
CON
COM
BOC
AOC
AOB
；
（3）
AOB
Q
，
28
COD
∠
，
28
BOC
AOD
，
3
DOM
AOM
，
3
CON
BON
，
(
)
21
4
4
3
3
DOM
CON
AOD
BOC
，
21
2
3
8
7
4
3
4
MON
COD
CON
DOM
；
（4）设
BOC
x
，
∵
126
AOB
，
60
COD
，
∴
126
AOC
AOB
BOC
x
，
60
BOD
COD
BOC
x
，
∵
1
3
EOC
AOC
，
1
3
DOF
BOD
，
∴
1
1
126
42
3
3
EOC
x
x
，
2
2
2
60
40
3
3
3
BOF
BOD
x
x
，
∴
1
40
3
COF
BOF
BOC
x
，
∴
1
1
42
40
82
3
3
C
x
x
EOF
OE
COF
．
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