文档文本内容
第02 讲一定是直角三角形吗
内容导航
01 预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向
02 教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理
03 题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解
题型1 勾股树（数）的判定
题型2 判断三边能否构成直角三角形
题型3 在网格中判断直角三角形
题型4 利用勾股定理的逆定理求解
题型5 勾股定理逆定理的实际应用
题型6 勾股定理逆定理的拓展问题
04 过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固
关键词
学习目标导航
勾股定理逆定理、勾股
数、直角三角形判定、
三边关系、数形结合。
1. 掌握勾股定理的逆定理：如果三角形三边长a、b、c 满足a²+b²=c²，那么
这个三角形是直角三角形。
2. 理解勾股数的概念，能识别常见的勾股数（如3,4,5；5,12,13 等）。
3. 能运用逆定理由三边之长判断一个三角形是否为直角三角形，并解决简单
实际问题。
4. 经历“观察—归纳—猜想—验证”的探索过程，发展推理能力和数形结合
思想。
学习重点：通过三角形三边长度关系（a²+b²=c²）判断其是否为直角三角形，掌握几组常见的勾股数。
学习难点：证明“若三角形的三边长满足a²+b²=c²，则它是直角三角形”的推理过程（几何论证），
以及灵活运用逆定理解决实际问题。
知｜识｜框｜架
知｜识｜精｜讲
知识点01 勾股数
像15，8，17 这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数.
勾股数满足两个条件：①满足勾股定理
②三个正整数
【易错提醒】
勾股数是满足a2+b2=c2 的三个正整数。注意：一组勾股数扩大相同整数倍后仍是勾股数。勿将含无理数或
分数的数组称为勾股数。
即时即练1．下列数组中，是勾股数的是（
）
A．5，12，13
B．1，1，1
C．0.3 0.4 0.5
,
,
D．
6 ，8 ，10
2．下列各组数中，是勾股数的是（
）
A．9，40，41
B．5，12，15
C．1.5，2，2.5
D．13，14，15
知识点02
勾股定理逆定理
1.定义：如果三角形的三条边长a
b
c
，，，满足
2
2
2
a
b
c
，那么这个三角形是直角三角形.
注意：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.
（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.
2.如何判定一个三角形是否是直角三角形
（1）首先确定最大边（如c ）.
（2）验证
2c 与
2
2
a
b
是否具有相等关系.若
2
2
2
c
a
b
，则△ABC 是∠C＝90°的直角三角形；若
2
2
2
c
a
b
，则△ABC 不是直角三角形.
注意：当
2
2
2
a
b
c
时，此三角形为钝角三角形；当
2
2
2
a
b
c
时，此三角形为锐角三角形，其中c 为
三角形的最大边.
【易错提醒】
先找最长边确定斜边c，再验证a²+b²=c²，缺一不可。勿忘记c 需为最大边，否则易错判直角位置。
即时即练1．在
ABC
中，BC
a
AB
c
AC
b
，
，
，则下列不能作为判定△ABC 是直角三角形的条件是
（
）
A．
B
A
C
∠
∠
∠
B．
2
2
2
a
c
b
C．
3 4 5
a b c
＝
D．
2
2
2
3
4
5
a
b
c
，
，
2．如图，在
ABC
中，
15
AC
，
25
BC
，点D 在边BC 上，且AD
BC
，
12
AD
．
(1)求AB 的长；
(2)判断
ABC
的形状，并说明理由．
题型1 勾股树（数）的判定
【例1】下列各组数中，是勾股数的是（
）
A．7，8，10
B．8，24，25
C．5，12，13
D．5，10，13
【例2】下列几组数中，为勾股数的是（
）
A．3，4，5
B．6，8，12
C．8，10，12
D．5，12，17
【技巧归纳】
1. 核心结构：以直角三角形三边为边向外作正方形，重复于两小正方形外侧。
2. 面积关系：两小正方形面积和等于大正方形面积（a2+b2=c2）。
3. 识别生成规则：每层所有正方形面积总和等于底层大正方形面积乘层数。
【变式1-1】下列各组数中，不是勾股数的一组是（
）
A．7，24，25
B．4，5，6
C．5，12，13
D．8，15，17
【变式1-2】下列各组数中不是勾股数的是（
）
A．6，8，10
B．1，2 ，
3
C．5，12，13
D．33，44，55
题型2 判断三边能否构成直角三角形
【例3】已知a ，b ，c 是
ABC
的三条边，则下列条件能判定
ABC
为直角三角形的是（
）
A．
:
:
1: 2 :3
a b c
B．
2
2
2
2
a
b
a
b
c
C．
:
:
2 :3: 4
A
B
C
D．
2
A
B
C
【例4】已知
ABC
，AB
c
，AC
b
，BC
a
，则下列条件不能判定
ABC
是直角三角形的是（
）
A．
: :
3: 4:5
a b c
B．
A
B
C
+
C．
2
a
，
2
b
，
3
c
D．
1 2 3
A
B
C
:
:
: :
【技巧归纳】
1. 排序：三边从小到大排序为a ≤b ≤c。
2. 验勾股：计算a2+b2 是否等于c2，相等则直角。
3. 先判三角形成立：满足两边和大于第三边。
【变式2-1】下列条件中，不能
．．判定
ABC
为直角三角形是（
）
A．
2
3
a
，
2
4
b
，
2
7
c
B．
: :
3: 4:5
a b c
C．
A
B
C
+
D．
:
:
3: 4 :5
A
B
C
【变式2-2】满足下列条件的
ABC
，不是直角三角形的是（
）
A．
: :
3: 4:5
a b c
B．
:
:
9 :12 :15
A
B
C
C．
C
A
B
D．
2
2
2
b
a
c
题型3 在网格中判断直角三角形
【例5】如图，在边长为1 的小正方形网格中，点A ，B ，C 均在网格的格点上，下列结论不正确
．．．的是（
）
A．
5
BC
B．
5
AB
C．
90
ACB
D．
10
ABC
S
△
【例6】如图，小正方形的边长均为1，A 、B 、C 在小正方形的格点上，连接AB ，BC ，AC ，则
ACB
的度数是（
）
A．45
B．30
C．90
D．60
【技巧归纳】
1. 算三边平方：利用格点间横纵距离求各边平方。
2. 验勾股：若较小两平方和等于最大平方，则为直角三角形。
3. 也可看垂直：检查是否有边水平、竖直，或利用斜率乘积为-1。
【变式3-1】如图，在4 4
的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A ，B ，C 都在格点上，则下列结论
错误的是（
）
A．
2
20
AB
B．
90
BAC
C．
ABC
的面积为10
D．点A 到直线BC 的距离是2
【变式3-2】如图所示的网格是正方形网格，点A 、B 、C 、D 、E 都是网格线交点，则
ACB
DCE
（
）
A．30
B．45
C．60
D．90
题型4 利用勾股定理的逆定理求解
【例7】如图，在四边形ABCD 中，
5
AB
，
3
BC ，
5
3
AD
，
13
3
DC
，AC
BC
，判断AC 与AD 的
位置关系，并说明理由．
【例8】用一根长为24m 的绳子围成
ABC
，已知
10m,
6m
AB
BC
．
(1) AC 的长为_____ m．
(2)求点A 到BC 的距离．
【技巧归纳】
1. 排序：三边a≤b≤c，验证a2+b2 是否等于c2。
2. 列方程：已知某两边关系设未知数，利用等式求边长或参数。
3. 得直角：满足则c 边对角为90°，用于证垂直或角度。
【变式4-1】如图，在
ABC
中，CD
AB
于点D，已知
25
AB
，
15
BC
，
9
DB
．
(1)求AC ，CD 的长；
(2)求证：
ABC
是直角三角形．
【变式4-2】如图，在四边形ABCD 中，
9
12
17
8
90
AB
BC
CD
AD
B
，
，
，
，
．
(1)连接AC ，求AC 的长；
(2)求四边形ABCD 的面积．
题型5 勾股定理逆定理的实际应用
【例9】如图，一架无人机旋停在空中点A 处，点A 与地面上点B 之间的距离
20
AB
米，点A 与地面上
点C（点B，C 处于同一水平面上）的距离
25
AC
米，且
15
BC
米．
(1)求
ABC
的度数；
(2)现这架无人机沿AB 所在直线向下飞行至点D 处，若点D 恰好在边AC 的垂直平分线上，连接CD ，求这
架无人机向下飞行的距离（AD 的长）．
【例10】劳动教育能够提升学生的创造力，强壮学生的体格．实验中学为了给学生提供合适的劳动教育场
地，在校园规划了一片劳动基地（四边形ABCD）用来种植蔬菜和花卉．如图，花卉区和蔬菜区之间用一
条小路AC 隔开（小路的宽度忽略不计）．经测量，花卉区
ABC
的AB 边长为24 米，BC 边长为7 米，蔬
菜区ACD
的AD 边长为20 米，CD 边长为15 米，
90
B
．
(1)求小路AC 的长；
(2)求
D
的度数和蔬菜区ACD
的面积．
【技巧归纳】
1. 构造三角形：测量三边长度，判断是否为直角三角形。
2. 判定垂直：若三边满足勾股定理，则边c 所对角为90°。
3. 选材定位：用于建直角、测距、方位判断等实际问题。
【变式5-1】如图，某景区内有一个露营区C ，湖边AB 上原有两个观景台A 和B ，且AB
BC
，为了方便
游客观赏，现计划在湖边新建一个观景台P （A 、P 、B 在同一直线上），并铺设了步道CP ，同时测量了
260m
AC
，
100m
AP
，
240m
CP
，请解决以下问题：
(1)试判断步道CP是否是露营区C 到湖边AB 的最短路径，并说明理由；
(2)求观景台P 与观景台B 之间距离PB 的长．
【变式5-2】如图，四边形ABCD为某工厂的平面图，经测量
80m
AB
BC
AD
，
80 3m
CD
，且
90
ABC
．
(1)求
DAB
的度数．
(2)若直线AB 为工厂的车辆进出道路（道路的宽度忽略不计），工作人员想要在点D 处安装一个摄像头观
察车辆进出工厂的情况，已知摄像头能监控的最远距离为80m ，求被监控到的道路长度为多少米？（精确
到1m，参考数据
2
1.414
，
3
1.732
）
题型6 勾股定理逆定理的拓展问题
【例11】阅读下列内容：
设a ，b ，c 是一个三角形的三条边的长，且a 是最长边，我们可以利用a ，b ，c 三边长间的关系来判断这
个三角形的形状：①若
2
2
2
a
b
c
，则该三角形是直角三角形；②若
2
2
2
a
b
c
，则该三角形是钝角三角
形；③若
2
2
2
a
b
c
，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是4 ，5 ，6 ，则最长
边是6 ，由于
2
2
2
6
36
4
5
，由结论③可知该三角形是锐角三角形．请解答以下问题：
(1)若一个三角形的三边长分别是6 ，7 ，8 ，则该三角形是________三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）；
(2)若一个三角形的三边长分别是5 ，12，x ，且这个三角形是直角三角形，则x 的值为________．
【例12】定义：如图，点M，N（点M 在N 的左侧）把线段AB 分割成AM，MN，NB．若以AM，MN，
NB 为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N 是线段AB 的勾股分割．
(1)已知M、N 把线段AB 分割成AM，MN，BN，若
1.5
AM
，
2.5
MN
，
2.0
BN
，则点M、N 是线段
AB 的勾股分割点吗？请说明理由；
(2)已知点M、N 是线段AB 的勾股分割点，且AM 为直角边，若
30
AB
，
5
AM
，求BN 的长．
【技巧归纳】
1. 分数或根号边：三边平方后化为整数再比较。
2. 非整数比：若a:b:c = m:n:p，验证m2+n2=p2 即为直角。
3. 多条件：结合面积或周长列方程组，用逆定理列等式求参数。
【变式6-1】定义：a，b，c 为正整数，若
2
2
2
c
a
b
，则称c 为“完美勾股数”，a，b 为c 的“伴侣勾股数”．如
2
2
2
13
5
12
，则13 是“完美勾股数”，5，12 是13 的“伴侣勾股数”．
(1)数10________“完美勾股数”（填“是”或“不是”）；
(2)已知
ABC
的三边a，b，c 满足
2
2
2
6
8
10
50
0
a
b
c
a
b
c
．求证：c 是“完美勾股数”．
(3)已知m，
0
n
且m
n
，
2
2
2
2
2
c
m
mn
n
，
2
2
4
a
m
mn
n
，
3
b
m
n
，c 为“完美勾股数”，a，
b 为c 的“伴侣勾股数”．多项式
3
2
3
x
x
p
有一个因式x
m
n
，求该多项式的另一个因式．
【变式6-2】在
ABC
中，
,
,
BC
a AC
b AB
c
，设c 为最长边，当
2
2
2
a
b
c
时，
ABC
是直角三角形；
当
2
2
2
a
b
c
时，利用代数式
2
2
a
b
和
2c 的大小关系，探究
ABC
的形状（按角分类）．
(1)当
ABC
三边分别为6、8、9 时，
ABC
为________三角形；当
ABC
三边分别为6、8、11 时，
ABC
为________三角形；
(2)猜想：当
2
2
a
b
________
2c 时，
ABC
为锐角三角形；当
2
2
a
b
________
2c 时，
ABC
为钝角三角形；
（填“>”或“<”或“=”）
(3)判断：当
5,
12
a
b
时，
当
ABC
为直角三角形时，则c 的取值为________；
当
ABC
为锐角三角形时，则c 的取值范围________；
当
ABC
为钝角三角形时，则c 的取值范围________．
一、单选题
1．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组
数中，是“勾股数”的是（
）
A．0.3，0.4，0.5
B．1，3，2
C．4，5，6
D．9，40，41
2．五根小木棒的长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，下列图形正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
3．如图是5 5
的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．已知点A 和点B 在格点上，在网格中的格点
上另找一点C，使A，B，C 三点构成一个直角三角形，则这样的点C 共有（
）
A．5 个
B．4 个
C．3 个
D．2 个
4．已知
ABC
的三边长分别为a ，b ，c ，且满足
2
2
(
15)
17
(
8)
0
a
b
c
，则
ABC
是（
）
A．以a 为斜边的直角三角形
B．以b 为斜边的直角三角形
C．以c 为斜边的直角三角形
D．非直角三角形
5．已知a、b、c 是
ABC
的三边长，则下列说法中不成立的一项是（
）．
A．若
2
2
2
a
c
b
，则
ABC
一定是直角三角形
B．若
2
2
2
a
b
c
，则
ABC
一定是钝角三角形
C．若
2
2
2
a
b
c
，则
ABC
一定是锐角三角形
D．若
2
2
2
a
b
c
，则
ABC
可能是直角三角形
二、填空题
6．给出下列几组数据：①3，4，5；②1，3，4；③4，4，6；④6，8，10；⑤5，7，2；⑥13，5，12；⑦7，
25，24．以每组数据为三边长，可构成三角形的有____________；可构成直角三角形的有____________．（填
序号）
7．如图，在正方形网格中有两条直线AC 与BC ，则
BAC
的度数为__________．
8．如图，
4
AB
，
3
BC ，
12
DC
，
13
AD
，
90
B
Ð
=
°，则四边形DABC 的面积是______．
9．若ABC
的三边长分别为a，b，c，且满足
2
7
24
1
0
a
b
c
b
，则ABC
的面积为___．
10．阅读下列内容，设a ，b ，c 是一个三角形的三条边的长，且a 是最长边，我们可以利用a ，b ，c 三边
长间的关系来判断这个三角形的形状：①若
2
2
2
a
b
c
，则该三角形是直角三角形；②若
2
2
2
a
b
c
，则该
三角形是钝角三角形；若③
2
2
2
a
b
c
，则该三角形是锐角三角形．
例如：若一个三角形的三边长分别是4 ，5 ，6 则最长边是6 ，由于
2
2
2
6
36
4
5
，故由上面③可知该三
角形是锐角三角形，请解答以下问题．
（1）若一个三角形的三条边长分别是6 ，7 ，8 则该三角形是_____三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）；
（2）若一个三角形的三条边长分别是5 ，12，x 且这个三角形是直角三角形，则x 的值为_____．
三、解答题
11．如图，在
ABC
中，AD
BC
，
12
AD
，
16
BD
，
9
CD
．求：
(1)
ABC
的周长；
(2)判断
ABC
是否是直角三角形？为什么？
12．如图，在四边形ABCD 中，
90
B
Ð
=
°，AC 为四边形ABCD 的对角线，已知
8
AB
，
6
BC
，
2 15
CD
，
2 10
AD
．
(1)请判断ACD
的形状，并说明理由；
(2)过点D 作DE
AC
于点E ，求线段CE 的长．
13．为增加趣味性，某科技馆计划展出一款恐龙互动模型（图1），为避免在互动过程中模型出现关节卡顿、
失衡等风险，该模型一条大腿支架AB 与小腿支架BC 需满足互相垂直的条件，设计人员计划利用现有支架
实施固定，其示意图如图2 所示，实际测得数据如下：
8dm,
6dm,
10dm
AB
BC
AC
，
90
CAD
．
(1) AB 与BC 垂直吗？请说明理由；
(2)据设计人员介绍，支架的CD 比AD 长2dm ，求支架AD 的长度．
14．已知a 、b 、c 为直角三角形三边，且c 为斜边，h 为斜边上的高．
(1)下列说法正确的是_________．
A．
2
a 、
2
b 、
2c 能组成三角形；B．
a 、b 、
c 能组成直角三角形三边；
C．a
b
、c
h
、h 能组成直角三角形三边；D．
2
1
a 、
2
1
b 、
2
1
c 能组成直角三角形三边．
(2)请选择一个正确选项进行证明．
15．如图1，在三角形ABC 中，AD 为BC 边上的高．
(1)若
2
CD
，
4
AD
，
8
BD
，求证：AB
AC
；
(2)根据（1）中的结论，小明发现：当满足
2
AD
BD CD
时，
ABC
一定为直角三角形．小明的判断正确
吗？为什么？
(3)如图2 是某木质房梁的侧面图，其整体结构关于竖梁成轴对称，将其一侧抽象成如图3 所示的图形，已
知斜梁BD
AC
于点D．经测量，斜梁
5m
AC
，
2.4m
BD
，横梁
4m
BC
．若横梁BC 与竖梁AB 垂直
则为安全房梁．请判断该房梁是否安全，并说明理由．
