文档文本内容
1
第13 讲相似多边形
课程标准
学习目标
通过具体实例认识图形的相似。了解相似多
边形和相似比。．
1、经历相似多边形概念的形成过程，了解相似多边形
的含义．
2.在探索相似多边形本质特征的过程中，进一步发展学
生观察、操作、归纳、类比、反思、交流等多方面的能
力,提高学生的数学思维水平，体会反例的作用．
知识点一：相似图形
(1)相似图形
我们把形状相同的图形称为相似图形；
(2)相似图形在现实生活中应用非常广泛，对于相似图形，应注意：
①相似图形的形状必须完全相同；
2
②相似图形的大小不一定相同；
③两个物体形状相同、大小相同时它们是全等的，全等是相似的一种特殊情况；
(3)相似三角形
对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形；
知识点二：相似多边形的性质
(1)如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形；
(2)相似多边形对应边的比叫做相似比；
(3)全等多边形的相似比为1 或相似比为1 的相似多边形是全等形；
(4)相似多边形的性质为：
①对应角相等；
②对应边的比相等；
题型01
相似图形
1．如图，用放大镜将贺兰山旅游图标放大，这两个图形之间属于以下哪种图形变换（
）
A．相似
B．平移
C．轴对称
D．旋转
【答案】A
【分析】本题考查数学知识解决实际问题，理解相似、平移、轴对称和旋转的定义及性质是解决问题的关
键．根据题意可知，将图标放大，图形大小发生了变化，结合平移、轴对称和旋转不改变图形大小可以确
定，这两个图是相似关系，从而得到答案．
【详解】解：根据相似的定义及性质可知，用放大镜将石阡旅游图标放大，两个图形的形状相同，大小不
同，因此这两个图形的关系是相似，
故选：A．
3
2．下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的为（
）
A．甲和乙
B．乙和丁
C．甲和丙
D．甲和丁
【答案】D
【分析】本题考查相似图形，根据对应角相等，对应边对应成比例的图形是相似图形结合正方形的性质，
进行判断即可．
【详解】解：由图可知，只有选项甲和丁中的对应角相等，且对应边对应成比例，它们的形状相同，大小
不同，是相似形．
故选D．
3．下列说法不正确的是（
）
A．C929客机模型与C929客机相似
B．用放大镜看到的图形与原图形相似
C．亮亮4 岁时的照片与16 岁时的照片相似
D．一棵树与它在水中的倒影相似
【答案】C
【分析】本题考查相似图形，解题的关键是理解相似图形的定义，属于中考常考题型．根据相似图形的定
义判断即可．
【详解】解：A．
929
C
客机模型与
929
C
客机相似，正确；
B．用放大镜看到的图形与原图形相似，正确；
C．因为亮亮4 岁和16 岁的长相是不完全相同的，所以不是相似图形，故不正确；
D．一棵树与它在水中的倒影相似，正确；
故选C．
4．下面几对图形中，相似的是（
）
A．
B．
C．
4
D．
【答案】C
【分析】本题主要考查的是相似图形的判断，掌握相似图形的概念及特征是解决此题的关键；
根据形状相同对应角相等、对应边成比例的图形为相似图形，对各组图形逐一进行分析，即可得到结果；
【详解】根据题意得：C 选项的两个图象，形状相同、对应角相等、对应边成比例，为相似图形，
故选：C．
5．观察图中①～⑨的图形，其中哪些图形分别与(1)，(2)，(3)，(4)相似？
【答案】与(1)相似的图形是⑥；与(2)相似的图形是①⑦；与(3)相似的图形是②④；与(4)相似的图形是⑨
【分析】本题考查相似图形，解题的关键是理解相似图形的定义，属于中考常考题型．根据相似图形的定
义判断即可．
【详解】解：与(1)相似的图形是⑥；与(2)相似的图形是①⑦；与(3)相似的图形是②④；与(4)相似的图形是
⑨．
题型02
相似多边形的判定
6．下列说法正确的是（
）
A．所有的菱形都是相似形
B．对应边成比例的两个多边形相似
C．对应角相等的两个多边形相似
D．所有的正方形都是相似形
【答案】D
【分析】此题主要考查了相似图形的判定，熟练应用判定方法是解题关键．利用相似图形的判定方法分别
5
判断得出即可．
【详解】解：A、所有的菱形不一定是相似形，对应角不一定相等，故此选项错误；
B、对应边成比例的两个多边形不一定相似，对应角不一定相等，故此选项错误；
C、对应角相等的两个多边形不一定相似，对应边的比值不一定相等，故此选项错误；
D、所有的正方形都是相似形，对应边成比例且对应角相等，故此选项正确；
故选：D
7．下列图形中不一定是相似图形的是（
）
A．两个正方形
B．两个等边三角形
C．两个等腰直角三角形
D．两个矩形
【答案】D
【分析】本题考查的是相似多边形的判定，利用边对应成比例，角对应相等的两个多边形相似逐一判断即
可.
【详解】解：A、两个正方形的形状相同，是相似图形，故选项A 不符合题意；
B、两个等边三角形形状相同，是相似图形，故选项B 不符合题意；
C、两个等腰直角三角形形状相同，是相似图形，故选项C 不符合题意；
D、两个矩形的对应边不一定成比例，不一定是相似图形，故选项D 符合题意；
故选：D．
8．如图，两个菱形，两个等边三角形，两个矩形，两个等腰直角三角形各成一组．每组中的一个图形在另
一个图形的内部，对应边平行，且对应边之间的距离都相等，则两个图形对应边不成比例的一组是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了相似多边形的性质及判定，根据相似多边形的性质及判定：对应角相等，对应边
成比例，即可判断．
【详解】解：由题意得，B、C 中三角形对应角相等，对应边成比例，两三角形相似；
A 中菱形四条边均相等，所以对应边成比例，又角也相等，所以正方形，菱形相似；
而D 中矩形四个角相等，但对应边不一定成比例，所以D 中矩形不是相似多边形
故选：D．
9．已知矩形的长与宽分别为4 和3，下列矩形与它相似的是（
）
6
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据相似图形的定义：所有的对应边对应成比例，所有的对应角相等，进行判断即可．
【详解】解：因为矩形的所有内角均为90°，
∴所有矩形的对应角均相等，
∴当两个矩形相似时，长比长等于宽比宽，
∴满足题意的只有C 选项，
故选C．
【点睛】本题考查相似图形．熟练掌握相似图形的定义，是解题的关键．
10．如图，有甲、乙、丙三个矩形，其中相似的是（
）
A．三个矩形都不相似B．乙与丙
C．甲与乙
D．甲与丙
【答案】D
【分析】本题主要考查相似多边形的判定，根据图形得到对应边的比值，进而问题可求解．
【详解】解：甲图矩形的长宽之比为6: 4
3: 2
，乙图矩形的长宽之比为2:1.5
4:3
，丙图矩形的长宽之比
为3: 2 ，
∴甲与丙是相似矩形；
故选D．
11．如图，平行于正多边形一边的直线，将正多边形分割成两部分，则阴影部分多边形与原多边形相似的
是（
）
A．
B．
C．
D．
7
【答案】A
【分析】根据相似多边形的定义逐项进行判断即可．
【详解】解：A、阴影三角形与原三角形的对应角相等、对应边的比相等，符合相似多边形的定义，符合题
意；
B、阴影矩形与原矩形的对应角相等，但对应边的比不相等，不符合相似多边形的定义，不符合题意；
C、阴影五边形与原五边形的对应角相等，但对应边的比不相等，不符合相似多边形的定义，不符合题意；
D、阴影六边形与原六边形的对应角相等，但对应边的比不相等，不符合相似多边形的定义，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题主要考查了相似多边形的判定，熟练掌握相似多边形的定义，是解题的关键．
12．两个大小不一的五边形ABCDE 和五边形FBCHG 如图所示放置，点F 在线段AB 上，点H 在线段CD 上，
对应连接并延长AF
EG
DH
，
，
刚好交于一点O，则这两个五边形的关系是（
）
A．一定相似
B．一定不相似
C．不一定相似
D．不能确定
【答案】B
【分析】根据相似多边形的定义即可解答．
【详解】解：∵两个大小不一的五边形ABCDE 和五边形FBCHG 对应边不成比例
∴五边形ABCDE 和五边形FBCHG 一定不相似．
故选B．
【点睛】本题考查了相似多边形的定义，掌握对应边成比例的多边形是相似三角形成为解答本题的关键．
题型03
相似多边形的性质
13．一个四边形ABCD各边长为2，3，4，5，另一个和它相似的四边形
1
1
1
1
D
C
B
A
最短边为8．则四边形
1
1
1
1
D
C
B
A
的最长边长为（
）
A．12
B．14
C．16
D．20
【答案】D
【分析】考查了相似多边形的性质，理解并掌握相似多边形的性质是解题的关键．设四边形
1
1
1
1
D
C
B
A
最长边
长为x，根据相似多边形的性质列得2:8
5: x
，从而求出x．
8
【详解】解：设四边形
1
1
1
1
D
C
B
A
最长边长为x，
∵四边形ABCD相似四边形
1
1
1
1
D
C
B
A
，
∴2 :8
5: x
，
解得
20
x =
，
故选：D．
14．如图，在矩形ABCD中，
4
AB
，
6
BC
，点E，F 分别在AD ，BC 上，且EF
AB
∥
，矩形ABCD与
矩形BFEA相似，则矩形BFEA的面积为（
）
A．16
B．40
3
C．32
3
D．16
3
【答案】C
【分析】本题主要考查相似图形的性质，相似图形的对应边成比例，面积比等于相似比的平方．证明
2
2
4
4
6
9
ABEF
BCDA
S
AB
S
BC
矩形
矩形
，从而可得答案．
【详解】解：∵矩形ABFE∽矩形BCDA，
4
AB
，
6
BC
，
∴
2
2
4
4
6
9
ABEF
BCDA
S
AB
S
BC
矩形
矩形
，
4 6
24
ABCD
S
矩形
，
∴
32
3
ABEF
S
矩形
，
故选：C．
15．小明在研究梯形的相似分割问题，即如何用一条直线将一个梯形分割成两个相似的图形．他先从等腰
梯形开始进行探究，得到下面两个结论．结论1：存在与上、下底边相交的直线，能将等腰梯形分割成两个
相似的图形；结论2：不存在与两腰相交的直线，能将等腰梯形分割成两个相似的图形．对这两个结论，你
认为（
）
A．结论1、结论2 都正确
B．结论1 正确、结论2 不正确；
C．结论1 不正确、结论2 正确
D．结论1、结论2 都不正确．
【答案】B
【分析】本题主要考查图形的相似和垂直平分线的性质，分别作上下底的垂直平分线即可判定结论1 正确；
9
连接两腰与其垂直平分线的交点即可判定结论2 错误．
【详解】解：如图，存在与上、下底边相交的直线，将等腰梯形分割成两个相似的图形，则结论1 正确；
如图，存在与两腰相交的直线，将等腰梯形分割成两个相似的图形，则结论2 不正确；
故选：B．
16．两个相似的五边形，如果一组对应边的长分别为3cm ，4cm ，且它们面积的差为28
2
cm ，则较大的五
边形的面积为（
）
A．44.8
2
cm
B．45
2
cm
C．64
2
cm
D．54
2
cm
【答案】C
【分析】本题考查了相似多边形的性质；设较大的五边形的面积为x
2
cm ，根据相似多边形的面积比等于相
似比的平方列出方程，解方程，即可求解．
【详解】解：设较大的五边形的面积为x
2
cm ，
依题意，得
2
28
3
4
x
x
，
解得：
64
x
，
即较大的六边形的面积为
2
64cm ．
故选：C．
17．如图所示，一般书本的纸张是在原纸张多次对开得到，矩形ABCD沿EF 对开（
,
E F 分别为
,
AD BC 的
中点）后，再把矩形EFCD 沿MN 对开，依次类推，若各种开本的矩形都相似，那么AD
AB 等于（
）
10
A．
2
2
B．
2
C．0.618
D．
5
1
2
【答案】B
【分析】本题考查相似多边形的性质，矩形ABCD的面积是矩形ABFE 面积的2 倍，根据相似图形面积比
等于相似比的平方，可得AD
AB 的值．
【详解】解：∵矩形ABCD的面积是矩形ABFE 面积的2 倍，各种开本的矩形都相似，
∴
2
2
AD
AB
，
∴
2
AD
AB
．
故选B．
18．五边形ABCDE∽五边形A B C D E
，相似比为13：，若
2
AB
，则A B
．
【答案】6
【分析】本题考查的是相似多边形的性质，熟记相似多边形的对应边的比即为相似比是解本题的关键．利
用相似五边形的对应边之比等于相似比求解即可．
【详解】解：五边形ABCDE∽五边形A B C D E
相似比为1:3．
1
3
AB
A B
，
2
AB
，
6
A B
．
故答案为：6
19．如果两个相似多边形的面积比为4:9，那么它们的周长比为
．
【答案】2:3
【分析】根据相似多边形的性质，两个相似多边形的面积比等于相似比的平方，因为两个相似多边形的面
积比为4:9，所以得到两个相似多边形的相似比为2:3；再结合两个相似多边形周长的比等于相似比即可得
到答案．
【详解】解：∵两个相似多边形的面积比为4:9，
11
∴这两个相似多边形的相似比为2:3，
∴这两个相似多边形的周长比等于相似比2:3，
故答案为：2:3．
20．一个六边形六边长分别为3，4，5，6，7，8，另一个与它相似的六边形的最短边为6，则其周长为
．
【答案】66
【分析】本题主要考查了相似多边形的性质，根据相似多边形的周长之比等于相似比进行求解即可得到答
案．
【详解】解：∵一个六边形六边长分别为3，4，5，6，7，8，另一个与它相似的六边形的最短边为6，
∴两个相似多边形的相似比3
1
6
2
，
∴两个相似多边形的周长比为
1
2 ，
∴另一个与它相似的六边形的最短边为6，其周长为
2
3
4
5
6
7
8
66
，
故答案为：66．
21．已知矩形ABCD中，
1
AD ，在BC 上取一点E，沿AE 将ABE
向上折叠，使B 点落在AD 上的F 点，
若四边形EFDC 与矩形ABCD相似，则AB
．
【答案】
1
5
2
【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），相似多边形的性质，由四边形EFDC 与矩形ABCD相似，根据
相似多边形对应边的比相等列出比例式，求解即可．
【详解】解：由折叠的性质可知，AB
AF
，
∵矩形EFDC 与矩形ABCD相似，
∴FD
CD
AB
AD
，即1
1
AF
AF
AF
，
整理得，
2
1
0
AF
AF
，
∴
1
5
2
AF
（负值舍去），
由题意得，
1
5
2
AB
AF
，
12
故答案为：1
5
2
．
22．书籍开本指书刊幅面的规格大小．如图，将一张矩形印刷用纸对折后可以得到2 开纸，再对折得到4
开纸，以此类推，可以得到8 开纸、16 开纸……这些开本都是相似图形，我们所用的数学课本是16 开本，
有些图书是32 开本，16 开的纸和32 开的纸的相似比是
．
【答案】
2 :1
【分析】设32 开的纸的长为a，宽为b，则16 开的纸的长为2b ，宽为a，根据相似多边形的性质得到2
a
b
b
a
，
然后整理求解即可．
【详解】设32 开的纸的长为a，宽为b，则16 开的纸的长为2b ，宽为a，
∵这两种长方形相似，
∴2
a
b
b
a
，
∴
2
2
2
a
b
，
∴
2
2
2
a
b
，
∴
2
a
b
，或
2
（舍去），
∴16 开的纸和32 开的纸的相似比是
2 :1．
故答案为：
2 :1．
【点睛】此题考查了相似多边形的性质，解题的关键是熟练掌握相似多边形的性质．
23．如图，四边形ABCD ∽四边形A B C D
，
12
9
AB
BC
，
，
6
4
B C
C D
，
．
95
136
60
A
D
B
，
，
13
(1)
C
___________；
(2)求边A B
CD
，
的长度．
【答案】(1)69
(2)
8
6
A B
CD
，
【分析】本题考查了相似多边形的性质；
（1）根据相似多边形的性质得出对应角相等，根据四边形内角和定理求得
C
；
（2）由四边形ABCD ∽四边形A B C D
，根据相似多边形对应边的比相等列出比例式AB
BC
CD
A B
B C
C D
，
将
12
9
AB
BC
，
，
6
4
B C
C D
，
代入，计算即可求出边A B
CD
，
的长．
【详解】（1）解：∵四边形ABCD ∽四边形A B C D
，
95
136
60
A
D
B
，
，
∴
95
136
A
D
，
∴
360
C
A
B
D
360
95
60
136
69
故答案为：69
（2）解：∵四边形ABCD ∽四边形A B C D
∴AB
BC
CD
A B
B C
C D
∵
12
9
AB
BC
，
，
6
4
B C
C D
，
∴12
9
6
4
CD
A B
解得：
8
6
A B
CD
，
24．如图，四边形ABCD是一张矩形纸片．将其按如图所示的方式折叠：使DA 边落在DC 边上，点A 落在
点H 处，折痕为DE ；使CB 边落在CD 边上，点B 落在点G 处，折痕为CF ．若矩形HEFG 与原矩形ABCD
相似，
1
HG ，则AD 的长为
．
【答案】
2
1
/1
2
【分析】本题考查矩形的折叠问题，相似多边形的性质．先根据折叠的性质与矩形性质，得DH
CG
，设AD
的长为x，则
1
2
CD
x
，再根据相似多边形性质得出EH
HG
CD
AD
，即
1
1 2
x
x
x
，求解即可．
14
【详解】解：由折叠可得：DH
AD
，CG
BC
，
∵矩形ABCD中，设AD 的长为x，则
1
2
CD
x
，
∵矩形HEFG ，
∴EH
AD
x
，
∵矩形HEFG 与原矩形ABCD相似，
∴EH
HG
CD
AD
，即
1
1 2
x
x
x
，
解得：
2
1
x
（负值不符合题意，舍去）
∴
2
1
AD
，
故答案为：
2
1
．
25．已知五边形ABCDE∽五边形MNOPQ ，
:
3: 4
AB MN
，则下列说法中错误的是（
）
A．
D
P
B．3
4
CD
OP
C．五边形ABCDE 的周长是五边形MNOPQ 周长的0.75倍
D．
:
9:16
ABCDE
MOPQ
S
S
五边形
五边形
【答案】B
【分析】本题考查相似多边形的性质：如果两个多边形相似，则其对应边成比例，根据相似形对应边的比
相等，就可以求出．
【详解】解：A、∵五边形ABCDE∽五边形MNOPQ ，
∴
D
P
，故选项不符合题意；
B、∵
3
4
AB
CD
MN
OP
，
∴4
3
CD
OP
，故选项符合题意；
C、五边形ABCDE 的周长是五边形MNOPQ 周长
3
0.75
4
，故选项不符合题间；
D、
:
9:16
ABCDE
MOPQ
S
S
五边形
五边形
，故选项符合题意；
故选：B．
26．如图所示，矩形纸片ABCD被分割成六个小矩形，其中矩形EBHK ∽矩形GKLI ，若已知BDK
的面积，
15
则一定能求出（
）
A．矩形ABCD的面积B．矩形AEKG 的面积C．矩形LJCF 的面积D．矩形ILFD 的面积
【答案】C
【分析】本题主要考查了相似多边形的性质，矩形的性质，设BC
AD
a
AB
b
，
，AG
c
GI
x
，
，BDK
的面积为S，根据
ABD
BEK
BDK
DGK
AEKG
S
S
S
S
S
△
△
△
△
矩形
，推出2S
ab
bc
ad
，再由相似多边形的性质
得到BE
EK
GK
GI
，即b
d
c
d
x
，则
cd
x
b
d
，据此证明
KHJL
AEKG
S
S
矩形
矩形
，再由
2
ABCD
ABHG
AEFD
S
ab
bc
ad
S
S
S
矩形
矩形
矩形
可以推出2
LJCF
S
S
矩形
，据此可得答案．
【详解】解：设BC
AD
a
AB
b
，
，
,
AG
c
GI
x AE
d
，
，BDK
的面积为S，
∵
ABD
BEK
BDK
DGK
AEKG
S
S
S
S
S
△
△
△
△
矩形
，
∴
1
1
1
2
2
2
ab
c b
d
S
cd
d a
c
，
∴
2
2
ab
bc
cd
S
cd
ad
cd
，
∴2S
ab
bc
ad
，
∵矩形EBHK ∽矩形GKLI ，
∴BE
EK
GK
GI
，即b
d
c
d
x
，
∴
cd
x
b
d
，
∴
KHJL
AEKG
S
KH KL
x b
d
cd
S
矩形
矩形
，
∴2S
ab
bc
ad
ABCD
ABHG
AEFD
S
S
S
矩形
矩形
矩形
ABCD
AEKG
EBHK
AEFD
S
S
S
S
矩形
矩形
矩形
矩形
ABCD
KHJL
EBHK
AEFD
S
S
S
S
矩形
矩形
矩形
矩形
LJCF
S
矩形
，
∴已知BDK
的面积，则一定能求出矩形LJCF 的面积，
16
故选：C．
27．如图，在矩形ABCD中，
3,
4
AB
AD
，连接AC ，以对角线AC 为边，按顺时针方向作矩形ABCD的
相似矩形
1
1
AB C C ；再连接
1
AC ，以对角线
1
AC 为边，按顺时针方向作矩形
1
1
AB C C 的相似矩形
2
2
1
AB C C 依
次类推，则矩形
1
n
n
n
AB C C - 的面积为（
）
A．
2
2
1
3 5
4
n
n
B．
2
1
2
3 5
4
n
n
C．
1
3 5
4
n
n
D．
1
3 5
4
n
n
【答案】A
【分析】本题考查的是相似多边形的性质、图形的变化规律，掌握相似多边形的面积比等于相似比的平方
是解题的关键．
根据勾股定理求出AC ，根据相似三角形的性质求出矩形
1
1
AB C C 的面积，总结规律，根据规律解答．
【详解】解：矩形ABCD的面积
3 4
12
，
由勾股定理得，
2
2
4
3
5
AC
，
则矩形ABCD与矩形
1
1
AB C C 的相似比为4 5：，
∵矩形ABCD ∽矩形
1
1
AB C C ，
∴矩形
1
1
AB C C 的面积
2
2
4
75
3 5
12
5
4
4
，
同理，矩形
2
2
1
AB C C 的面积
2
2
2
3
3
5
75
4
75 25
4
5
64
4
，
矩形
3
3
2
AB C C 的面积
3
2
2
5
3
5
75 25
4
64
5
4
，
17
……
则矩形
1
n
n
n
AB C C - 的面积为
2
2
1
3 5
4
n
n
，
故答案为：A．
28．如图，四边形ABCD是一张矩形纸片．折叠该矩形纸片，使AB 边落在AD 边上，点B 的对应点为点F，
折痕为AE ，展平后连接EF ；继续折叠该纸片，使FD落在FE 上，点D 的对应点为点H，折痕为FG ，展
平后连接HG ．若矩形HECG∽矩形ABCD，
1
AD ，则CD 的长为（
）．
A．0.5
B．3 1
C．
5
1
2
D．
5
1
2
【答案】C
【分析】本题考查的是矩形的性质、翻折的性质及相似多边形性质，熟练应用矩形和相似多边形性质是解
题关键，设CD
x
，则
(
)
1
,
1
EC
x CG
x
x
= -
=
-
-
，根据两矩形相似求出即可．
【详解】解：在矩形ABCD中，设CD
x
，
则AB
CD
x
，
1
AD
BC
，
由翻折得
,
90
AB
AF
x
AFE
B
BAF
=
=
Ð
= Ð
= Ð
=
°，
四边形ABEF 是正方形，
同理，四边形DFHG 是正方形，
,
1
BE
AB
x DF
DG
x
\
=
=
=
= -
，
(
)
1
,
1
2
1
CE
x CG
x
x
x
\
= -
=
-
-
=
- ，
矩形HECG∽矩形ABCD，
EC
CG
BC
CD
\
=
，即1
2
1
1
x
x
x
-
-
=
，
解得：
5
1
2
x
（负值舍去），
经检验，
5
1
2
x
是原方程的解，
5
1
2
CD
18
故选：C．
29．某同学对“两个相似的四边形”进行探究．四边形ABCD和四边形
1
1
1
1
D
C
B
A
是相似的图形，点A 与点
1A 、
点B 与点
1
B 、点C 与点
1
C 、点D 与点
1
D 分别是对应顶点，已知
1
1
AB
k
A B
．该同学得到以下两个结论：①四
边形ABCD和四边形
1
1
1
1
D
C
B
A
的面积比等于
2
k ；②四边形ABCD和四边形
1
1
1
1
D
C
B
A
的两条对角线的和之比等
于k．对于结论①和②，下列说法正确的是（）
A．①正确，②错误
B．①错误，②正确
C．①和②都错误
D．①和②都正确
【答案】D
【分析】本题考查的是相似多边形的性质，熟记相似多边形的对角线的比等于相似比、面积比等于相似比
的平方是解题的关键；
根据相似多边形的对角线的比等于相似比、面积比等于相似比的平方解答即可．
【详解】∵四边形ABCD和四边形
1
1
1
1
D
C
B
A
是相似的图形，
1
1
AB
k
A B
，
∴四边形ABCD和四边形
1
1
1
1
D
C
B
A
是相似比为k ，
∴四边形ABCD和四边形
1
1
1
1
D
C
B
A
的面积比等于
2
k ，四边形ABCD和四边形
1
1
1
1
D
C
B
A
的两条对角线之比等于
k ，
∴四边形ABCD和四边形
1
1
1
1
D
C
B
A
的两条对角线的和之比等于k ，则①和②都正确，
故选：D．
30．如图，正方形ABCD，点M 在对角线BD 上，
2
BM
DM
，MN
MG
分别交AB 、BC 于点N 、G ，
若随机向正方形ABCD内投一粒米，则落在阴影部分的概率是（
）
A．3
5
B．4
9
C．2
3
D．9
25
【答案】B
【分析】证明四边形EBFM 是正方形，EMN
FMG
≌
，进而可得阴影部分面积等于正方形EBFM 的面积，
根据相似图形的性质，即可求解．
【详解】解：如图所示，连接BM ，过M 作ME
AB
于点E ，MF
BC
于点F ，则四边形EBFM 是矩形，
19
∵四边形ABCD是正方形，点M 在BD 的对角线上，
∴
ABM
CBM
∠
∠
，ME
MF
，
∴四边形EBFM 是正方形，
∵
90
EMF
，MN
MG
，
∴
EMN
FMG
，
在EMN
与FMG
中，
EMN
FMG
ME
MF
MEN
MFG
，
∴EMN
FMG
≌
，
∴阴影部分面积等于正方形EBFM 的面积，
又∵正方形ABCD与正方形EBFM 相似，
2
BM
DM
，
∴
2
3
BM
BD
,
∴阴影部分面积与正方形ABCD的面积比
2
2
4
3
9
，
故选：B．
【点睛】本题考查了几何概率，正方形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，相似图形的性质，熟练
掌握以上知识是解题的关键．
31．一个大矩形按如图方式分割成五个小矩形后仍是中心对称图形，且矩形ABCD 矩形BEFG ．设矩形
ABCD与矩形AHIE 的面积分别为m 和n，则这个大矩形的面积一定可以表示为（
）
20
A．4m
B．2
3
m
n
C．
3
m
n
D．3m
n
【答案】D
【分析】设
,
,
,
BC
a CD
b AE
c IE
d
，根据题意得到
,
ab
m cd
n
，由矩形ABCD 矩形BEFG 可得
BG
BE
BC
CD
，代入整理可得
2
ac
bd
ab
，最后表示出大长方形的周长，代入化简即可求得．
【详解】解：设
,
,
,
BC
a CD
b AE
c IE
d
，
则
,
ab
m cd
n
，
依题意得：
,
BG
a
d BE
c
b
，
矩形ABCD 矩形BEFG ，
BG
BE
BC
CD
，
a
d
c
b
a
b
，
整理得
2
ac
bd
ab
，
这个大矩形的面积为：
a
d
b
c
ab
cd
ac
bd
ab
cd
ac
bd
2
ab
cd
ab
3ab
cd
3m
n
故选：D．
【点睛】本题考查了多边形相似的性质和矩形面积；解题的关键是利用相似的性质找到等量关系．
32．如图，E ，F ，G ，H 分别是矩形ABCD四条边上的点，连接EF ，GH 相交于点I ，且GH
AD
∥
，EF
AB
∥
，
矩形BFIG 矩形EIHD ，连接AC 交GH ，EF 于点P ，Q ，下列一定能求出
DPQ
面积的条件是（
）
A．矩形BFIG 和矩形EIHD 的面积之差
B．矩形ABCD与矩形BFIG 的面积之差
C．矩形BFIG 和矩形FCHI 的面积之差
D．矩形BFIG 和矩形EIGA的面积之差
21
【答案】A
【分析】设BF
a
，BG
b
，AG
kb
=
，根据AGP
ABC
∽
，AGP
ABC
∽
，分别用含a、b、k 的式子
表示出EP 、FQ ，利用割补法表示出
BPQ
面积，即可求解．
【详解】连接BP 、BQ ，
根据矩形的性质点B、D 到AC 的距离相等，
又∵PC
PC
，
∴
DPQ
BPQ
S
S
=
设BF
a
，BG
b
，AG
kb
=
，
∵GP
BC
∥
，
90
AGP
ABC
，
∴AGP
ABC
∽
，
∴
=
=
1
AE
EP
k
AB
BC
k ，
∴
(
)
1
1
1
k
k
GP
BC
k
a
ka
k
k
=
=
+
=
+
+
，
同理，FQC
ABC
∽
，
∴
=
=
1
FQ
FC
k
AB
BC
k ，
∴
(
)
1
1
1
k
k
FQ
BA
k
b
kb
k
k
=
=
+
=
+
+
，
∵
BPQ
ABC
ABP
BQC
S
S
S
S
△
△
△
△
(
) (
)
(
)
(
)
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
k
a k
b
k
b ka
k
a kb
=
+
+
-
+
-
+
(
)
2
1
1
2 ab
k
=
-
，
∵
2
BGIF
EIHD
S
ab
S
k ab
=
=
矩形
矩形
，
，
∴
BPQ
S
(
)
1
2
BGIF
EIHD
S
S
=
-
矩形
矩形
．
∴
(
)
1
2
DPQ
BPQ
BGIF
EIHD
S
S
S
S
=
=
-
矩形
矩形
故选：A
22
【点睛】本题为三角形相似知识的综合，综合性较强，根据题意设出参数，根据相似表示出相关线段，恰
当利用割补法进行转换是解题关键．
33．宽与长的比是
5
1
2
（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，我们可以
用这样的方法画出黄金矩形；作正方形ABCD，BC 的中点E，F，连接EF ，以FD为半径画弧，交BC 的
延长线于点G，交AD 的延长线于点H．则图中共有几个黄金矩形（
）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】B
【详解】本题主要考查了黄金分割，设正方形ABCD的边长为2a ，把AB 、BG
CG
、
分别用含a 的代数式
表示出来，再根据黄金分割的意义可得答案．解决问题的关键是掌握黄金矩形的概念．解题时注意，宽与
长的比是的矩形叫做黄金矩形．
【解答】解：设正方形ABCD的边长为2a ，则
2
BF
CF
a
DC
a
，
，
∴
2
2
4
5
FG
FD
a
a
a
，
∴
5
1
5
BG
a
a
a
2
AB
a
，
，
矩形ABGH 中，
2
5
1
2
1
5
AB
a
BG
a
，
矩形DCGH 中，
5
1
5
1
2
2
a
CG
GH
a
，
∴黄金矩形是矩形ABGH 和矩形DCGH ．
故选：B．
34．如图，矩形ABCD中，
4
AB
，
10
BC
．将矩形ABCD分成矩形ABNM 和矩形CDMN ．
（1）若矩形CDMN 与矩形ABCD相似，则DM 的长是
；
（2）若矩形ABNM 与矩形CDMN 相似（两矩形全等的情况除外），则DM 的长是
．
23
【答案】
8
5
2 或8
【分析】本题考查了矩形的性质，相似多边形的性质．根据相似写出比例关系是解题的关键．
（1）由矩形的性质可知
10
AD
BC
，
4
CD
AB
，设DM
x
，则
10
AM
AD
DM
x
，由矩形CDMN
与矩形ABCD相似，分当CD
DM
CD
AD
时，当CD
DM
AD
CD
时，两种情况求出满足要求的解即可；
（2）由矩形ABNM 与矩形CDMN 相似，可知AM
AB
CD
DM
，即10
4
4
x
x
，计算求出满足的解即可．
【详解】（1）解：∵矩形ABCD，
∴
10
AD
BC
，
4
CD
AB
，
设DM
x
，则
10
AM
AD
DM
x
，
∵矩形CDMN 与矩形ABCD相似，
∴当CD
DM
CD
AD
时，即4
4
10
x
，解得
10
x
（舍去）；
当CD
DM
AD
CD
时，即4
10
4
x
，解得
8
5
DM
；
综上，
8
5
DM
，
故答案为：8
5 ；
（2）解：∵矩形ABNM 与矩形CDMN 相似，
∴AM
AB
CD
DM
，即10
4
4
x
x
，整理得，
2
10
16
0
x
x
，解得
2
x
或
8
x
，
∴DM 的值为2 或8；
故答案为：2 或8．
35．将一张平行四边形
(
2
)
ABCD AD
AB
AD
纸片，以它的一边为边长剪去一个菱形，在余下的平行四边
形中，再以它的一边为边长剪去一个菱形．若剪去两个菱形后余下的平行四边形与原平行四边形ABCD相
似，则平行四边形ABCD的相邻两边AD 与AB 的比值是
．
【答案】
2
2
或
5
1
2
【分析】本题考查平行四边形的性质，菱形的性质，相似多边形的性质，根据题意，正确的画出图形，利
用数形结合和分类讨论的思想进行求解是解题的关键．分两种情况进行讨论进而根据相似多边形的性质进
行求解即可．
24
【详解】解：如图，设
,
AD
a AB
b
．
根据题意，AH
AD
，
∴HB
b
a
，
∵HB
FG
GC
，
∴
(
)
2
BG
a
b
a
a
b
，
∵剩下的平行四边形与原来平行四边形ABCD相似，
∴对应边成比例，
分两种情况讨论：
①AD
FG
AB
BG
，
∴
2
a
b
a
b
a
b
-
=
-
，
设
(
0)
a
t
t
b
，分子分母同时除以，得：
1
1
2
1
2
1
a
t
b
t
a
t
b
，
解得：
2
2
t
；
②AD
BG
AB
FG
，
2
a
a
b
b
b
a
，
设
(
0)
a
t
t
b
，则：
2
1
2
1
1
1
a
t
b
t
a
t
b
，
解得：
5
1
2
t
，
两个答案都满足
2
AD
AB
AD
，
综上：平行四边形ABCD的相邻两边AD 与AB 的比值是
2
2
或
5
1
2
．
故答案为：
2
2
或
5
1
2
．
36．如图，一个矩形广场的长
120
AB
米，宽
60
AD
米，广场内两条纵向的小路宽为a 米，横向的两条小
25
路宽为b 米，矩形ABCD 矩形EFGH．
(1)求
:
a b 的值；
(2)若
4
a
，求矩形EFGH 的面积．
【答案】(1)a：b＝2：1
(2)6272 米2
【分析】（1）根据题意可得HE＝（60﹣2b）米，EF＝（120﹣2a）米，根据矩形ABCD∽矩形EFGH．可
得HE
EF
AD
AB
，进而可以解决问题；
（2）由（1）得2b＝a，根据矩形EFGH 的面积＝EF•HE，即可解决问题．
【详解】（1）根据题意可知：HE＝（60﹣2b）米，EF＝（120﹣2a）米，
∵矩形ABCD∽矩形EFGH．
∴HE
EF
AD
AB
，
∴60
2
120
2
60
120
b
a
，
整理，得2b＝a，
∴a：b＝2：1；
（2）∵a＝4，2b＝a，
∴b＝2，
∴矩形EFGH 的面积
＝EF•HE
＝（120﹣2a）•（60﹣2b）
＝（120﹣8）（60﹣4）
＝112×56
＝6272（米2）．
答：矩形EFGH 的面积为6272 米2．
【点睛】本题考查了相似多边形的应用，列代数式，解决本题的关键是掌握相似多边形的性质．
26
37．在
30m
20m
AB
AD
，
的矩形花坛四周修筑小路．
(1)如图①，如果四周小路的宽均相等，且宽度为x，那么矩形A B C D
和矩形ABCD相似吗？请说明理由；
(2)如图②，如果互相平行的两条小路的宽相等，且宽度分别为
x
y y
x
，
，试问：当两条小路的宽x 与y
的比值为多少时，矩形A B C D
和矩形ABCD相似？请说明理由．
【答案】(1)不相似，见解析
(2) 2
3 ，见解析
【分析】此题考查了相似多边形的判定．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．
（1）首先设四周的小路的宽为x，易得30
2
20
2
30
20
x
x
，则可判定：小路四周所围成的矩形A B C D
和矩
形ABCD不相似；
（2）由相似多边形的性质可得：当30
2
20
2
30
20
y
y
时，小路四周所围成的矩形A B C D
和矩形ABCD相
似，继而求得答案．
【详解】（1）解：不相似，理由如下：
如果四周的小路的宽均相等，那么小路四周所围成的矩形A B C D
和矩形ABCD不相似；
设四周的小路的宽为x，
∵30
2
15
30
15
x
x
，20
2
10
20
10
x
x
，
∴30
2
20
2
30
20
x
x
，
∴小路四周所围成的矩形A B C D
和矩形ABCD不相似；
（2）解：当小路的宽x 与y 的比值为2
3 时，
矩形A B C D
和矩形ABCD相似．
理由如下：
当矩形A B C D
和矩形ABCD相似时30
2
20
2
30
20
y
y
，解得
2
3
x
y
27
所以当小路的宽x 与y 的比值为2
3 时，矩形A B C D
和矩形ABCD相似．
38．向阳中学有一块正方形的空地，边长为40m ，学校计划将空地分为五部分，并给两位同学每人一张边
长为20cm 的正方形硬纸板模型用来设计，下面是小明和小芳的设计方案．
小明：如图1，它是由四个矩形和中间一个小正方形组成的，在该图案中矩形①与矩形②为相似矩形，中间
小正方形的边长为4cm ．
小芳：如图2 ，它是由四个全等的直角三角形以及一个小正方形组成的，其中小正方形与大正方形的相似比
为1:5．
(1)求小明的方案中矩形①的面积．
(2)求小芳设计的方案中，每个小直角三角形部分在学校空地的实际周长是多少米？
【答案】(1)
2
24cm
(2)96m
【分析】（1）设矩形①的长为cm
x
，宽为cm
y
．根据矩形①与矩形②为相似矩形，相似比为1:3，得到矩形
②的长为3 cm
x
，宽为3 cm
y
，解方程即可得到结论；
（2）根据小正方形与大正方形的相似比为1:5，且大正方形边长为20cm ，得到正方形EFGH 的边长为4cm ，
设BE
a
，AE
b
，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】（1）解：设矩形①的长为cm
x
，宽为cm
y
．
矩形①与矩形②为相似矩形，相似比为1:3，
矩形②的长为3 cm
x
，宽为3 cm
y
，
由图可知，
3
4
20
x
x
，
3
4
20
y
y
，
解得
6
x
，
4
y
，
矩形①的面积为4 6
24
2
cm ；
（2）小正方形与大正方形的相似比为1:5，且大正方形边长为20cm ，
正方形EFGH 的边长为4cm ，
28
设BE
a
，AE
b
，
2
2
400
a
b
，
4
a
b
，
2
2
4
400
a
a
，
整理可得
2
2
196
a
，
解得
1
16
a
，
2
12
a
( 负数舍去) ，
12cm
b
，
小直角三角形的周长是
16 12
20
48 cm
．
每个小三角形的实际周长为
0.48
40
0.2
96 m
．
【点睛】本题考查了相似多边形的性质，矩形的性质，二元一次方程组的应用，勾股定理，解一元二次方
程，综合运用以上知识是解题的关键．
39．数学实践课上，老师要求同学们先制作一个透明的菱形塑料板，然后在纸上画一个与透明的菱形相似
的菱形AEFG ．把透明的菱形放在上面记作菱形ABCD，它们的锐角顶点A 重合，且
BAD
EAG
，连接
BE ，DG ．
(1)如图1，当边AD 在边AE 所在的射线上，直接写出BE 与DG 的数量关系；
(2)如图2，将菱形ABCD绕点A 按逆时针方向旋转，使点D 落在EF 边上，连接BE 和DG ．你认为（1）中
的结论是否还成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
(3)如图3，在（2）的条件下，当
90
BAD
EAG
时，探究并说明线段BE 和DG 的数量关系和位置关系．
29
【答案】(1) BE
DG
(2)仍然成立，理由见解析
(3) BE
DG
，BE
DG
【分析】（1）证明BAE
DAG
，从而得出BE
DG
；
（2）由
90
BAD
EAG
得出
BAE
DAG
，进而证明BAE
DAG
，从而得出BE
DG
；
（3）由（2）得BAE
DAG
，从而得出BE
DG
，
AEB
AGD
，进一步求得位置关系．
【详解】（1）解：∵菱形ABCD相似于菱形AEFG ，
∴
BAD
EAG
，
∵四边形ABCD是菱形，四边形AEFG 是菱形，
∴AB
AD
，AE
AG
，
在BAE
和DAG
中，
AB
AD
BAD
EAF
AE
AG
，
∴BAE
DAG
≌
，
∴BE
DG
；
（2）解：仍然成立，理由如下：
由（1）得：
BAD
EAG
，AB
AD
，AE
AG
，
∴
BAD
DAE
EAG
DAE
∠
∠
∠
∠
即
BAE
DAG
，
在BAE
和DAG
中，
AB
AD
BAE
DAG
AE
AG
，
∴BAE
DAG
≌
，
∴BE
DG
；
（3）解：数量关系是：BE
DG
，位置关系是：BE
DG
，理由如下：
延长BE ，GD ，交于点H，如图，
30
由（2）得：BAE
DAG
≌
，
∴BE
DG
，
AEB
AGD
，
∵四边形ABCD是正方形，
∴
90
AEF
，
∴
90
AEB
DEH
，
∵四边形AEFG 是正方形，
∴AG
EF
，
∴
AGD
EDG
，
∴
EDH
AEB
，
∴
90
EDH
DEH
，
∴
90
EHD
，
即BE
DG
．
【点睛】本题考查了菱形和正方形性质，全等三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握“手
拉手”模型．
40．形状相同（即长与宽之比相等）的矩形是相似矩形，已知一个矩形长为
1
a a
，宽为1．
一分为二
（1）如图1，将矩形分割为一个正方形（阴影部分）和小矩形，小矩形恰与原矩形相似，则a 的值为______．
（2）如图2，将矩形分割为两个矩形，使每个小矩形均与原矩形相似，则a 的值为______．
一分为多
（3）有同学说“无论a 为何值，该矩形总可以分割为几个小矩形，这几个小矩形都与原矩形相似”，你同意
这个说法吗？若同意，在图3 中画出一种可行的分割方案；若不同意，举出反例．
一分为三
31
（4）将矩形分割为三个矩形，使每个小矩形均与原矩形相似．画出所有可能的分割方案的示意图，并在每
个示意图下方直接写出对应的a 的值．
【答案】（1）
5
1
2
；（2）
2 ；（3）同意，见解析；（4）见详解
【分析】（1）先求得小长方形的长和宽，再根据小矩形与原矩形长宽比相等列方程求解即可；
（2）由小矩形的长以及长宽比求得小矩形的宽，再根据两个小矩形的宽之和为a 列方程求解即可；
（3）通过连接矩形的四条边的中点可将矩形分为4 个一样的小矩形，再求小矩形的长宽比便可验证；
（4）分四种情况：①沿原矩形的长3 等分为三个矩形，②先将矩形分割为两个小矩形，再将右边矩形两等
分使宽都为
1
2 ，③先将矩形分割为两个小矩形，再将右边矩形两等分使长都为
1
2 ，④先将矩形分割为两个
小矩形，再将右边矩形分割为两个小矩形使两个矩形的长与宽的和为1；根据相似矩形的长宽比，利用原矩
形的长和宽建立方程求解即可；
【详解】解：（1）由图可知阴影正方形的边长为1，
∴小长方形的宽为
1
a
，长为1，
∵小矩形与原矩形相似，
∴
1
1
a
a
，
∴
2
1
0
a
a
，
解得：
1
5
2
a
或
1
5
2
a
-
=
（边长不能为负舍去），
∴
1
5
2
a
；
（2）∵两小矩形的长都为1，且与原矩形的长宽比相同，
∴1
1
a
a
a
，
∴
2
2
a
，
解得：
2
a
或
2
a
（舍去），
∴
2
a
；
（3）同意，如下图连接矩形的四条边的中点，将矩形分为4 个小矩形，
四个小矩形的长和宽都为2
a 和
1
2 ，长宽比为
1
1
2 2
a
a
与原矩形长宽比相同；
32
（4）共有四种情况：
①如下图沿原矩形的长3 等分，
小矩形和原矩形的长宽比都为a，
小矩形的长为1，则宽为1
a ，
∴1
1
1
a
a
a
a
，
∴
2
3
a ，
解得：
3
a
或
3
a
（舍去），
∴
3
a
；
②如下图先将矩形分割为两个小矩形，再将右边矩形两等分使宽都为
1
2 ，
根据原矩形的长宽比可得：
左边矩形的宽为1
a ，右边矩形的长为2
a ，
∴1
2
a
a
a
，
∴
2
2
a
，
解得：
2
a
或
2
a
（舍去），
∴
2
a
；
③如下图先将矩形分割为两个小矩形，再将右边矩形两等分使长都为
1
2 ，
根据原矩形的长宽比可得：
左边矩形的宽为1
a ，右边矩形的宽为1
2a ，
33
∴∴1
1
2
a
a
a
，
∴
2
3
2
a
，
解得：
6
2
a
或
6
2
a
（舍去），
∴
6
2
a
；
④如下图先将矩形分割为两个小矩形，再将右边矩形分割为两个小矩形使两个矩形的长与宽的和为1，
根据原矩形的长宽比可得：
左边矩形的宽为1
a ，
∴右边两矩形的宽和长为
1
a
a
，
∴右上矩形的长为
2
1
1
a a
a
a
，右下矩形的宽为
2
1
1
1
1
a
a
a
a
，
∴
2
2
1
1
1
1
a
a
，
∴
2
2
1
1
a
a
，
设
2
a
x
，则
1
1
x
x
，
∴
2
1
0
x
x
，
解得：
1
5
2
x
或
1
5
2
x
（舍去），
∴
1
5
2
x
，
∴
1
5
2
2 5
2
2
a
；
【点睛】本题考查了相似矩形，一元二次方程，分情况要按照先一分为二，再将其中一个一分为二的思路
来讨论．
