1
第20 讲反比例函数的应用
课程标准
学习目标
反比例函数解决简单的实际问题．
1. 能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式，并
能结合图象加深对问题的理解．
2．根据条件求出函数解析式，运用学过的函数知识解决反
比例函数的应用问题，体会数学与现实生活的紧密联系，
增强应用意识．
知识点一：反比例函数在实际问题中的应用
（1）题意找出自变量与因变量之间的乘积关系；
（2）设出函数表达式；
（3）依题意求解函数表达式；
（4）根据反比例函数的表达式或性质解决相关问题.
2
知识点二：反比例函数的实际应用
常见函数关系：
当圆柱体的体积一定时，圆柱的底面积是高的反比例函数；
当工程总量一定时，做工时间是做工速度的反比例函数；
在使用杠杆时，如果阻力和阻力臂不变，则动力是动力臂的反比例函数；
电压一定，输出功率是电路中电阻的反比例函数.
题型01
实际问题中反比例函数图象
1．在化学课上，老师教同学们配制食盐溶液，若有食盐60g ，则溶液的浓度y 与加水后溶液质量x 之间的
函数图象大致是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】本题考查反比例函数的图象，根据题意求出y 与x 的函数解析式，即可判断其图象．
【详解】解∶根据题意，得
60
xy
，即
60
0,
0
y
x
y
x
．
∴函数图象为双曲线在第一象限的部分．
故答案：C．
2．密闭容器内有一定质量的气体，当容器的体积y（单位：
3
m ）变化时，气体的密度（单位：
3
kg / m ）
3
随之变化．已知密度p 与体积y 是反比例函数关系，它的图象如图所示．则下列说法正确的是（
）
A．函数解析式为
7
v
B．容器内气体密度随着气体的体积v 的增大而增大
C．当
3
8kg / m
时，
3
1.25m
v
D．当
3
4kg / m
时，
3
3m
v
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是根据题意确定反比例函数的解析式，难度不大．利
用待定系数法确定反比例函数的解析式，再逐一判定即可．
【详解】解：设
0
k k
v
，
将
2,5 代入
k
v
得5
2
k
，
解得
10
k
，
10
v
，故A 选项错误，不符合题意；
容器内气体密度随着气体的体积v 的增大而减小，故B 选项说法错误，不符合题意；
将
8
代入
10
8
得
10
8
v
，解得：
1.25
v
，
当
3
8kg/m
时，
3
1.25m
v
，故C 选项正确，符合题意；
将
3
4kg/m
代入
10
v
得
10
4
v
，解得
3
2.5m
v
，故D 选项错误，不符合题意．
故选：C．
3．在一次物理实验中，小明同学用一固定电压为12V 的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完
成控制灯泡L（灯丝的阻值
L
R 是定值）亮度的实验（如图1）．已知串联电路中，电流与电阻R、
L
R 之间关
系为
0
L
U
I
R
R
R
，图2 是I 关于R 的函数图象，则下列说法中错误的是（
）
4
A．灯丝的阻值
L
R 为2
B．用含R 的代数式表示I 为
12
0
2
I
R
R
C．当滑动变阻器的电阻为2时，串联电路电流为3A
D．要使通过灯泡的电流不低2A ，则调节滑动变阻器电阻的范围为
4
R
【答案】D
【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用．观察图象得：当
0
R
时，
6
I
，可得
12
0
2
I
R
R
，
再根据反比例函数的性质解答，即可求解．
【详解】解：观察图象得：当
0
R
时，
6
I
，
∴6
0
12
L
R
，解得：
2
L
R
，
即灯丝的阻值
L
R 为2，故A 选项正确，不符合题意；
∴用含R 的代数式表示I 为
12
0
2
I
R
R
，故B 选项正确，不符合题意；
当
2
R
时，
12
3
2
2
I
，
即当滑动变阻器的电阻为2时，串联电路电流为3A ，故C 选项正确，不符合题意；
∵通过灯泡的电流不低2A ，
∴12
2
2
R
，解得：
4
R
，
即要使通过灯泡的电流不低2A ，则调节滑动变阻器电阻的范围为
4
R ，故D 选项错误，符合题意；
故选：D
4．如图①所示的家用扫地机器人，其底部安装有滚刷，内置集尘器，机器人在除尘时先“脱灰”（滚刷将灰
尘从地面上脱离附着），后“吸灰”（将脱附的灰尘转移进集尘器）．研究滚刷滚速对“脱灰”效果的影响，小静
在保持扫地机器人“吸灰”效果一定的情况下，对除尘过程中滚刷的滚速与除尘能力C（在地面撒灰后，清扫
10 次所减少的灰占所撒的灰总质量的比）进行了试验，得到如图②所示的关系图，规定除尘能力C 超过36.5%
即为及格．则下列说法正确的是（
）
5
A．除尘能力关于滚刷的滚速的图象是反比例函数图象的一部分
B．随着滚刷滚速的增加，除尘能力增加得越来越快
C．当滚速为1300 转/分时，除尘能力为及格
D．除尘能力C 的数值越大，表示除尘能力越强
【答案】D
【分析】本题考查函数图象的应用，根据函数图象提供的信息及题干描述信息逐项判断即可得出答案．
【详解】解：由图象知，函数图象经过点
1200,34 ，
1300,35.5 ，由1200
34
1300
35.5
可知除尘能力关于滚
刷的滚速的图象不是反比例函数图象的一部分，故A 选项说法错误，不合题意；
由图象知，随着滚刷滚速的增加，除尘能力增加得越来越慢，故B 选项说法错误，不合题意；
当滚速为1300 转/分时，除尘能力C 值为35.5%，不及格，故C 选项说法错误，不合题意；
由题意知，除尘能力C 的数值越大，表示除尘能力越强，故D 选项说法正确，符合题意；
故选D．
题型02
反比例函数的实际应用问题
5．已知某品牌电动车电池的电压为定值，某校物理小组的同学发现使用该电池时，电流I（单位：A ）与
电阻R（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．
(1)求该品牌电动车电池的电压；
(2)该物理小组通过询问经销商得知该电动车以最高速度行驶时，工作电压为电池的电压，工作电流在
7.2 A
8 A
的范围，请帮该小组确定这时电阻值的范围．
【答案】(1)48V
6
(2)
2
6
6 3
【分析】本题主要考查反比例函数的应用，理解题意得出反比例函数的解析式是解题关键．
（1）设
U
I
R
，将点
3,16 代入即可求解；
（2）将
7.2A
I
和
8A
I
代入解析式，求得R ，即可得出结果．
【详解】（1）解：设
U
I
R
，把
3,16 代入，
得16
3
U
，解得
48
U
，
∴该品牌电动车电池的电压为48V ．
（2）解：由(1)知
48
I
R
，
当
7.2A
I
时，
20
2
6
3
3
R
，
当
8A
I
时，
=6Ω
R
，
∴电阻值的范围是
2
6
6 3
．
6．世界的面食之根就在山西．山西面食是中华民族饮食文化中的重要组成部分．如图，厨师将一定质量的
面团做成拉面时，面条的总长度
m
y
．是面条横截面面积
2
mm
S
的反比例函数，其图象经过
2,64
A
，
,100
B m
两点．
(1)求y 与S 之间的函数关系式；
(2)求m 的值，并解释它的实际意义．
【答案】(1)
128
0
y
S
S
(2)
1.28
m
，且其表示的实际意义为面条的总长度为100m 时，其横截面积为
2
1.28mm
【分析】本题考查了反比例函数的应用：正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）运用待定系数法求反比例函数，即可作答；
7
（2）依题意，把
100
y
代入
128
0
y
S
S
进行计算，即可作答．
【详解】（1）解：设y 与S 之间的函数表达式为：
0
k
y
S
S
，
将
2,64
A
代入可得：
2 64
128
k
，
y
与S 之间的函数表达式为
128
:
0
y
S
S
；
（2）解：点
,100
B m
在反比例函数
128
0
y
S
S
上，
128
100
m
，
解得：
1.28
m
，
1.28
m
，
且其表示的实际意义为面条的总长度为100m 时，其横截面积为
2
1.28mm ．
7．某校科技小组在一次野外考察中遇到一片烂泥湿地．为了安全、迅速通过这片湿地，他们沿着前进路线
铺了若干块木板，构筑成一条临时近道．每块木板对地面的压强
Pa
P
是木板面积
2
m
S
的反比例函数，
其图象如图所示．
(1)求P 于S 的函数关系式；
(2)求当
2
0.25m
S
时，物体所受的压强；
(3)当1000
4000
P
时，求受力面积S 的变化范围．
【答案】(1)
100
=
0
P
S
S
(2)400Pa
(3)0.025
0.1
S
【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用：
8
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）根据（1）所求把
2
0.25m
S
代入
100
=
0
P
S
S
中求出P 的值即可；
（3）分别求出
4000
P
和
1000
P
时S 的值即可得到答案．
【详解】（1）设
k
P
S
，
∵点
0.1,1000 在这个函数的图象上，
∴1000
0 1
k
.
．
∴
100
k
．
∴P 与S 的函数关系式为
100
=
0
P
S
S
．
（2）解：当
0.25
S
m2 时，
a
0.2
0
5
100
40 P
P
．
（3）解：令
1000
P
，
100
0.1
1000
S
，
令
4000
P
，
100
0.025
4000
S
，
∵在
100
=
0
P
S
S
中，100
0
，
∴P 随S 增大而减小，
∴当1000
4000
P
时，0.025
0.1
S
．
题型03
反比例函数图象与一次函数图象的综合问题
8．当
0
k
时，函数y
kx
k
与
k
y
x
在同一坐标系中的图象大致是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】本题考查的是一次函数与反比例函数图象的特点，熟知一次函数与反比例函数的性质是解答此题
的关键．因为k 的符号不确定，所以应根据k 的符号及一次函数与反比例函数图象的性质解答．
【详解】解：当
0
k
时，反比例函数
k
y
x
的图象在二，四象限，一次函数y
kx
k
的图象过二、三、四
象限，无符合选项；
9
当
0
k
时，反比例函数
k
y
x
的图象在一、三象限，一次函数y
kx
k
的图象过一、二、三象限，选项D
符合．
故选：D．
9．在同一平面直角坐标系中，反比例函数
k
y
x
与一次函数
1
y
kx
(k 为常数，且
0
k
)的图象大致是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】本题考查的是反比例函数及一次函数图象，解题的关键是先根据反比例函数所在的象限判断出k 的
符号，再根据一次函数的性质进行解答．分别根据反比例函数及一次函数图象的特点对四个选项进行逐一
分析即可．
【详解】解：A．由反比例函数的图象在二、四象限可知，
0
k
，一次函数
1
y
kx
的图象应该经过二、
三、四象限，故本选项不符合题意；
B．由反比例函数的图象在一、三象限可知，
0
k
，一次函数
1
y
kx
的图象应该经过一、三、四象限，
故本选项符合题意；
C．由反比例函数的图象在一、三象限可知，
0
k
，一次函数
1
y
kx
的图象应该经过一、三、四象限，
故本选项不符合题意；
D．由反比例函数的图象在一、三象限可知，
0
k
，一次函数
1
y
kx
的图象应该经过一、三、四象限，
故本选项不符合题意；
故选：B．
10．已知函数y
kx
，y 随x 的增大而减小，另有函数
k
y
x
，两个函数在同一平面直角坐标系内的大致图
象可能是（
）
A．
B．
10
C．
D．
【答案】B
【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的图象与系数间的关系，解题的关键是熟练掌握函数的性质．
先由函数y
kx
中y 随x 的增大而减小得到
0
k
，且函数的图象经过第二、四象限，然后可知函数
k
y
x
的
反比例系数大于零，从而得知反比例函数图象经过第一、三象限，即可得到结果．
【详解】解：函数y
kx
中y 随x 的增大而减小，
0
k
，且函数的图象经过第二、四象限，
函数
k
y
x
的反比例系数大于零，
反比例函数图象经过第一、三象限，
故选：B．
11．在同一坐标系中，函数
1
y
kx
与函数
(
0)
k
y
k
x
的图象大致是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系以及反比例函数的图象，分
0
k
及
0
k
两种情况寻找函数
图象是解题的关键．分析当
0
k
及
0
k
时，两函数图象经过的象限，对照四个选项即可得出结论．
【详解】解：当
0
k
时，一次函数
1
y
kx
的图象经过第一、三、四象限，反比例函数
k
y
x
的图象在第一、
三象限；
当
0
k
时，一次函数
1
y
kx
的图象经过第二、三、四象限，反比例函数
k
y
x
的图象在第二、四象限．
故选：C
12．函数
2
y
x
与函数
3
y
x
在同一坐标系中的图象大致是（）
11
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了反比例函数的图象性质和正比例函数的图象性质，关键是由k 的取值确定函数所在
的象限．根据正比例函数与反比例函数图象的性质解答即可．
【详解】
解：
正比例函数
2
y
x
中，
2
0
k
，
故其图象过一、三象限，
反比例函数
3
y
x
中，3
0
，
故其图象在一、三象限，
选项A 符合；
故选：A.
13．如图，直线
1
y
k x
b
与双曲线
2k
y
x
交于
2,
A
m ，
4,
B
n 两点，则不等式
2
1
k
k x
b
x
的解为（
）
A．2
4
x
B．4
2
x
C．<
4
x
或
2
x
D．4
2
x
或
0
x
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题的应用，找出一次函数图象位于反比例函数图象下
方时x 的范围，根据交点的横坐标结合图象得出答案即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：直线y
kx
b
关于原点对称的直线的解析式为
y
kx
b
即y
kx
b
，
12
∵直线y
kx
b
与双曲线
2k
y
x
交于
2,
A
m ，
4,
B
n 两点，
∴直线y
kx
b
与双曲线
2k
y
x
交于点
2,
m
，
4,
n
两点，
观察图象可知，
当4
2
x
或
0
x
时，直线y
kx
b
在反比例函数图象的下方，
∴不等式
2
1
k
k x
b
x
的解为是4
2
x
或
0
x
，
故选：D ．
题型04
反比例函数与一次函数综合问题
14．一次函数y
kx
b
的图象与反比例函数
m
y
x
的图象交于
2,1
A
、
1,
B
n 两点，当
时，
m
kx
b
x
（写出x 的取值范围）
【答案】
2
x 或0
1
x
【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数的图象，不等式的解集等知识点，熟练运用数形结合思想
是解题的关键．
利用数形结合思想，观察函数图象即可发现，一次函数图象在反比例函数图象上方时x 的取值范围，即为不
等式的解集．
【详解】解：观察函数图象即可发现，在直线
2
x 左侧以及y 轴和直线
1
x 之间时，一次函数的图象在
反比例函数图象的上方，即
m
kx
b
x
，
13
当
2
x 或0
1
x
时，
m
kx
b
x
，
故答案为：
2
x 或0
1
x
．
15．如图，反比例函数
3
y
x
的图象与一次函数y
kx
b
的图象相交于点A
B
、，过点A 作AD
y
轴于点D ，
点C 是一次函数y
kx
b
的图象与x 轴的交点，则ADC
的面积是
．
【答案】3
2
【分析】本题考查了反比例函数与几何图形面积的综合，掌握反比例函数的性质是解题的关键．
根据题意，设
3
,
A m
m
，根据
1
·
2
ADC
S
AD AE
即可求解．
【详解】解：∵反比例函数
3
y
x
与一次函数y
kx
b
交于点A
B
，，
∴设
3
,
A m
m
，
如图所示，过点A 作AE
x
轴，且AD
y
轴，则
3
AD
m
AE
m
，
，
∴
1
1
3
3
·
2
2
2
ADC
S
AD AE
m
m
，
故答案为：3
2 ．
16．函数
1
k
y
x
的图象与直线
2
y
x
没有交点，那么k 的取值范围是
．
14
【答案】
1
k /1
k
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，联立两函数解析式得到对应的一元二次方程，根据
函数无交点即对应的一元二次方程无解进行求解即可．
【详解】解：联立
1
2
k
y
x
y
x
得
2
2
1
0
x
k
，
∵函数
1
k
y
x
的图象与直线
2
y
x
没有交点，
∴方程
2
2
1
0
x
k
没有解，
∴
0
4
1
0
k
，
∴
1
k ，
故答案为：
1
k ．
17．已知一次函数
1y
kx
b
与反比例函
2
2
k
y
x
在同一直角坐标系中的图象如图所示，则当
1
2
y
y
时，x
的取值范围是
【答案】−1＜x
0
＜或x
3
＞
【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题．解答此题时，采用了“数形结合”的数学思想．根
据图象知，两个函数的图象的交点是
1,3
，
3, 1
．由图象可以直接写出当
1
2
y
y
时所对应的x 的取值范
围．
【详解】解：根据图象知，一次函数
1y
kx
b
与反比例函
2
2
k
y
x
的交点是
1,3
，
3, 1
，
∴当
1
2
y
y
时，−1＜x
0
＜或x
3.
＞
故答案为：−1＜x
0
＜或x
3
＞．
18．如图，直线
4
y
x
与y 轴交于点A，与反比例函数
0
k
y
k
x
的图象交于点C，过点C 作CB
x
轴
于点B，
4
AO
BO
，则k 的值为
．
15
【答案】5
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，确定点C 坐标是解题的关键．先求出A 点坐标，
进而求出B 点坐标，得到C 点坐标，即可得出结论．
【详解】∵直线
4
y
x
与y 轴交于点A ，与反比例函数
0
k
y
k
x
的图像交于点C ，
∴
0,4
A
，
∴
4
OA
，
∵
4
AO
BO
，
∴
1
OB ，
∴
10
B ,
，
∴
1
x 时，
4
5
y
x
，
故
1,5
C
，
∴
1 5
5
k
，
故答案为：5．
19．如图，在平面直角坐标系中，点A 在反比例函数
0
k
y
k
x
第一象限的图像上，直线OA的解析式为
3
2
y
x
，若点A 的横坐标是2，则k
．
【答案】6
【分析】本题考查了求反比例函数的解析式，先求出一次函数与反比例函数图象交点，再代入表达式求出
即可．
【详解】解：∵直线OA的解析式为
3
2
y
x
，点A 的横坐标是2，
16
∴点A 的纵坐标是
3
y ，
∴
2 3
A
，，
∵点A 在反比例函数
0
k
y
k
x
第一象限的图象上，
∴
2 3
6
k
，
故答案为：6．
20．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点．反比例函数
(
0,
0)
k
y
k
x
x
与一次函数
2
y
x
m
的
图象交于点
( 1,4)
A
，BC
y
轴于点D ，分别交反比例函数与一次函数的图象于点B 、C ．
(1)求k 、m 的值；
(2)当
1
OD 时，求线段BC 的长．
【答案】(1)
4
k ，
2
m
(2) 9
2
【分析】本题考查一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征；
（1）利用待定系数法即可求解；
（2）根据题意得出BC
x
∥，再分别求得B
C
、
的坐标，据此即可求解．
【详解】（1）解：将
( 1,4)
A
分别代入
k
y
x
与
2
y
x
m
中，
1 4
4
k
，
4
2
( 1)
m
，
2
m
．
（2）BC
y
轴，
BC
x
∥
轴．
1
OD ，
点B 、C 的纵坐标为1．
17
4
4
1
B
x
，
1
2
1
2
2
C
x
．
1
9
( 4)
2
2
BC
．
21．如图，一次函数
1y
x
m
与反比例函数
2
k
y
x
相交于点A 和点
4, 1
B
．
(1)求m 的值和反比例函数解析式；
(2)求出点A 的坐标；
(3)当
1
2
y
y
时，直接写出x 的取值范围．
【答案】(1)3，
2
4
y
x
；
(2)
1,4
A
(3)
1
x 或0
4
x
．
【分析】本题考查一次函数与反比例函数图象的交点问题：
（1）待定系数法进行求解即可；
（2）联立解析式，求出A 点坐标即可；
（3）图象法确定不等式的解集即可．
【详解】（1）解：将点
4, 1
B
的坐标代入两个函数表达式得：
1
4
1
4
m
k
，解得：
3
4
m
k
，
则一次函数的表达式为：
1
3
y
x
，反比例函数的表达式为：
2
4
y
x
；
（2）联立两个函数表达式得：
4
3
x
x
，
解得：
4
x
或
1
x= ，
当
1
x= 时，
4
4
1
y
，
18
∴点
1,4
A
；
（3）观察函数图象知，当
1
2
y
y
时，x 的取值范围为：
1
x 或0
4
x
．
22．反比例函数
a
y
x
的图象经过点
2, 2
A
，一次函数y
kx
b
的图象经过点A 且与反比例函数图象的
另一个交点为
1,
B
n ．
(1)求一次函数与反比例函数的解析式，并在图中画出该一次函数的图象．
(2)结合图象，直接写出不等式组1
a
kx
b
x
的解集．
(3)把y
kx
b
的图象向下平移4 个单位长度，平移后的直线与反比例函数的图象在第三象限交于点C，求
三角形ABC 的面积
【答案】(1)
4
y
x
，
2
2
y
x
，图象见解析；
(2)1
4
x
；
(3)6．
【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可得到答案，然后作出图象即可；
（2）不等式组1
a
kx
b
x
的解集，数形结合，是指直线图象在反比例函数图象上方的部分对应的自变量
的取值范围；
（3）根据函数图象平移，得到直线解析式，求出点C 的坐标，再由平面直角坐标系中三角形面积求法求解
即可得到答案．
【详解】（1）解：∵反比例函数
a
y
x
的图象经过点
2, 2
A
，
19
∴
2
2
4
a
，
∴反比例函数解析式为
4
y
x
，
当
1
x 时，
4
y
，
∴点
1,4
B
，
把
2, 2
A
，
1,4
B
代入y
kx
b
得：
2
2
4
k
b
k
b
，解得：
2
2
k
b
，
∴一次函数的解析式为
2
2
y
x
；
画出函数图象，如下图：
（2）解：对于
4
y
x
，当
1
y 时，
4
x
，
如图，
不等式组1
a
kx
b
x
的解集为1
4
x
，
（3）解：如图，设直线AB 与x 轴交于点M，则点M 的坐标为
1,0
，
20
把y
kx
b
的图象向下平移4 个单位长度，平移后的直线的解析式为
2
2
y
x
，
联立得：
2
2
4
y
x
y
x
解得：
1
4
x
y
或
2
2
x
y
，
∴点C 的坐标为
1, 4
，
∴
4
CM
，
∴
1
1
4 3
6
2
2
ABC
A
B
S
CM
x
x
．
【点睛】本题考查一次函数与反比例函数综合，涉及待定系数法确定函数关系式、利用函数图象解不等式、
平面直角坐标系中求三角形面积等，熟练掌握一次函数与反比例函数图象与性质是解决问题的关键．
23．如图所示，直线y
ax
b
与双曲线
k
y
x
交于A 、B 两点，已知点A 坐标为
4,2
，点B 的纵坐标
6
，直线与y 轴交于点D．
(1)求直线 AB 的解析式和反比例函数解析式；
(2)直接写出不等式
k
ax
b
x
的解集；
(3)若点P 是反比例函数图象上的一点，OCP
的面积是ODB
的面积的2 倍，求点P 的坐标．
【答案】(1)
3
4
2
y
x
，
8
y
x
21
(2) 4
0
x
或
4
3
x
(3)
2,4
P
或
2, 4
P
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，掌握待定系数法是解题关键．
（1）由点A
4,2
在反比例函数
k
y
x
上，可求得
8
y
x
，进而可得点B 坐标为4 , 6
3
；设直线AB 的
解析式为：y
k x
b
，根据A
4,2
、B 4 , 6
3
即可求解；（2）找到一次函数图象在反比例函数图象下方的
部分即可；
（3）连接
,
,
,
OB DB CP OP ，根据
3
4
2
y
x
求出
0, 4
D
，
8 ,0
3
C
，即可求解；
【详解】（1）解：∵点A
4,2
在反比例函数
k
y
x
上，
∴2
4
k
，
故：
8
k ，
8
y
x
；
∵点B 的纵坐标6
，点B 在反比例函数
8
y
x
上，
∴
8
6
x
故：
4
3
x
∴点B 坐标为4 , 6
3
设直线AB 的解析式为：y
k x
b
，
则
4
2
4
6
3
k
b
k
b
，
解得：
4
3
2
b
k
，
∴直线AB 的解析式为：
3
4
2
y
x
，
（2）解：由图象可知：当4
0
x
或
4
3
x
时，
k
ax
b
x
（3）解：连接
,
,
,
OB DB CP OP ，如图所示：
22
令
3
4
2
y
x
中
0
x
，得
4
y ，
令
3
4
2
y
x
中
0
y
，得
8
3
x
，
∴
0, 4
D
，
8 ,0
3
C
则
1
4
8
4
2
3
3
ODB
S
，
设点��, �，
则
1
8
8
2
2
3
3
COP
S
y
，
解得：
4
y
∴
4
y
∴
8
4
x
或
8
4
x
，
解得：
2
x 或
2
x
∴
2,4
P
或
2, 4
P
题型05
实际背景下反比例函数与一次函数的综合问题
24．学校的自动饮水机，开机加热时水温每分钟上升10 C
，加热到100 C
，停止加热，水温开始下降．此时
水温
C
y
与通电时间
min
x
成反比例．当水温降至20 C
时，饮水机再自动加热．若水温在20 C
时接通电
源，水温y 与通电时间x 之间的关系如图所示，则下列说法正确的是（
）
23
A．水温从20 C
加热到100 C
，需要7min
B．水温下降过程中，y 与x 的函数关系式是
400
y
x
C．水温从100 C
降至20 C
，所需时间为40min
D．水温不低于30 C
的时间为77 min
3
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的应用，数形结合是解决本题的关键．先利用待定系数法求函
数的解析式，再利用解析式求得对应信息．
【详解】∵开机加热时水温每分钟上升10 C
，
∴水温从20 C
加热到100 C
，需要8min ，故A 选项错误；
∴设反比例函数的解析式为
k
y
x
，将点
8,100 代入，可=得
800
k
，
∴水温下降过程中，y 与x 的函数关系式是
800
y
x
，故B 选项错误；
将
20
y
代入
800
y
x
得，
800
20
x
解得
40
x
∴
40
8
32 min
∴水温从100 C
降至20 C
，所需时间为32min ，故C 选项错误；
∵开机加热时水温每分钟上升10 C
，
∴水温从30 C
加热到100 C
，需要7min ，
将
30
y
代入
800
y
x
得，
800
30
x
解得
80
3
x
∴水温不低于30 C
的时间为
80
77
7
8
3
3
，故D 选项正确．
故选：D．
25．饮水机接通电源会自动加热，加热时水温每分钟上升10 C
，温度到100 C
停止加热．然后水温开始下降，
24
此时水温
y ℃与时间
min
x
成反比例函数关系，水温降至30 C
时，饮水机重复上述程序开始加热，加热
时水温
y ℃与时间
min
x
的关系如图所示．水温从30 C
开始加热至100 C
，然后下降至30 C
这一过程中，
水温不低于50 C
的时间为
min ．
【答案】12
【分析】本题考查了一次函数，反比例函数的应用．首先求得两个函数的解析式，然后将
50
y
代入两个函
数求得两个时间相减即可确定答案．
【详解】解：设一次函数关系式为：
1
y
k x
b
，
将(0,30) ，(7,100)代入
1
y
k x
b
，得
1
30
7
100
b
k
b
，
解得
1
30
10
b
k
，
10
30 0
7
y
x
x
，
设反比例函数关系式为：
k
y
x
，
将(7,100)代入，得
700
k
，
700
y
x
，
10
30 0
7
y
x
x
中，
令
50
y
，解得
2
x
；
反比例函数
700
y
x
中，令
50
y
，解得：
14
x
，
14
2
12
（min），
水温不低于50 C
的时间为12min．
故答案为：12．
26．为了响应“绿水青山就是金山银山”的号召，建设生态文明，某工厂自2019 年1 月开始限产进行治污改
25
造，其月利润y（万元）与月份x 之间的变化如图所示，治污完成前是反比例函数图象的一部分，治污完成
后是一次函数图象的一部分，下列结论正确的是
．（填写编号即可）
①4 月份的利润为50 万元
②治污改造完成后每月利润比前一个月增加30 万元
③治污改造完成前后共有4 个月的利润低于100 万元
④9 月份该厂利润达到200 万元
【答案】①②④
【分析】此题主要考查了一次函数与反比函数的应用，正确得出函数解析是解题关键．直接利用已知点求
出一次函数与反比例函数的解析式进而分别分析得出答案即可．
【详解】解：①、设反比例函数的解析式为
k
y
x
，
把
1,200 代入得，
200
k
，
∴反比例函数的解析式为：
200
y
x
，
当
4
x
时，
50
y
，
∴4 月份的利润为50 万元，故正确，符合题意；
②、治污改造完成后，从4 月到6 月，利润从50 万到110 万，故每月利润比前一个月增加30 万元，故正
确，符合题意；
③、当
100
y
时，则200
100
x
，
解得：
2
x
，
则只有3 月，4 月，5 月共3 个月的利润低于100 万元，故错误，不符合题意．
④、设一次函数解析式为：y
kx
b
，
则
4
50
6
110
k
b
k
b
＝
＝
，
26
解得：
30
70
k
b
＝
＝
，
故一次函数解析式为：
30
70
y
x
，
故
9
x
时，
200
y
，
则9 月份该厂利润达到200 万元，故正确，符合题意．
故答案为：①②④．
27．紫外线杀菌灯的电阻(kΩ)
y
随温度
C
(
)
x
的变化的大致图象如图所示．通电后温度由室温10 C
上升到
30 C
时，电阻与温度成反比的函数关系．且在温度达到30 C
时，电阻下降到最小值，随后电阻随温度升高
而增加，温度每上升1 C
，电阻增加4 kΩ
15
．
(1)当时10
30
x
时，求y 与x 之间的关系式．
(2)紫外线杀菌灯在使用过程中，温度x 在什么范围内时，电阻不超过6kΩ ．
【答案】(1)
60
y
x
(2)10
45
x
【分析】（1）设关系为
m
y
x
，将(10,6) 代入求k ；
（2）将
5
y
代入函数关系式求出x 的值．
【详解】（1）解：设
m
y
x
．
过点(10,6) ，
10
6
60
m
xy
．
当10
30
x
时，y 与x 的关系式为：
60
y
x
；
（2）将
30 C
x
代入上式中得：
60
30
y
，
2
y
．
温度在30 C
时，电阻
2(kΩ)
y
．
在温度达到30 C
时，电阻下降到最小值；随后电阻随温度升高而增加，温度每上升1 C
，电阻增加4 kΩ
15
，
27
当
30
x
时，
4
4
2
(
30)
6
15
15
y
x
x
，
把
5
y
代入
60
y
x
，
得
12
x
；
把
6
y
时代入
4
6
15
y
x
，
得
45
x
；
答：当12
45
x
时，电阻不超过6kΩ ．
【点睛】此题主要考查了反比例函数的应用．解题的关键是根据实际意义列出函数关系式，从实际意义中
找到对应的变量的值，利用待定系数法求出函数解析式，再根据自变量的值求算对应的函数值．
28．通过试验研究发现：一节40 分钟的课堂，初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，
上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．如图，学生注意
力指标y 随时间x（分钟）变化的函数图象，当0
10
x
和10
20
x
时，图象是线段；当20
40
x
时，
图象是反比例函数的一部分．
(1)求反比例函数解析式和点A、D 的坐标；
(2)陈老师在一节课上讲解一道数学综合题需要16 分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的
讲解时，注意力指标都不低于32？请说明理由．
【答案】(1)反比例函数的解析式为
800
y
x
，
0,20
A
，
40,20
D
(2)陈老师能经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于32，理由见解析
【分析】本题主要考查了反比例函数和一次函数的实际应用：
（1）设反比例函数的解析式为
k
y
x
，由
20,40
C
求出k ，可得D 坐标，从而求出A 的坐标；
（2）求出AB 解析式，得到
32
y
时，
6
x
，由反比例函数
800
y
x
可得
32
y
时，
25
x
，根据25
6
19
16
，
28
即可得到答案．
【详解】（1）解：设当20
40
x
时，反比例函数的解析式为
k
y
x
，将
20,40
C
代入得：
40
20
k
，解得
800
k
，
反比例函数的解析式为
800
y
x
，
当
40
x
时，
800
20
40
y
，
40,20
D
，
0,20
A
；
（2）解：陈老师能经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于32，理由如下：
设当0
10
x
时，AB 的解析式为y
mx
n
，将
0,20
A
、
10,40
B
代入得：
20
40
10
n
m
n
，
解得
2
20
m
n
，
AB
的解析式为
2
20
y
x
，
在
2
20
y
x
中，当
2
20
32
y
x
时，
6
x
，
在
800
y
x
中，当
32
y
时，
25
x
，
6
25
x
时，注意力指标都不低于32，
∵25
6
19
16
，
陈老师能经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于32．
29．已知某消毒药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（微克）与时间x（小时）成正比例，药物熄
灭后，y（微克）与x（小时）成反比例，如图所示，现测得药物4 小时燃毕，此时室内空气每立方米的含
药量为6 微克，请你根据题中提供的信息，解答下列问题：
29
(1)分别求出药物燃烧时和药物熄灭后y 关于x 的函数关系式；
(2)研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3 微克且持续时间不低于10 小时时，才能杀灭空气中的毒，
那么这次消毒是否有效？为什么？
【答案】(1)药物燃烧时的函数解析式为
3
2
y
x
；药物燃烧时的函数解析式为
24
y
x
；
(2)没有效，见解析
【分析】（1）利用待定系数法求解析式即可；
（2）利用
3
y 时分别代入求出答案．
【详解】（1）解：设药物燃烧时的函数解析式为y
kx
，
将点
4,6 代入，得4
6
k
，
解得
3
2
k =
，
∴药物燃烧时的函数解析式为
3
2
y
x
；
设药物熄灭后y 关于x 的函数关系式是
m
y
x
，
将点
4,6 代入，得6
4
m
，
解得
24
m
，
∴药物燃烧时的函数解析式为
24
y
x
；
（2）当
3
y 时，3
3
2 x
，解得
2
x
；
当
3
y 时，24
3
x
，解得
8
x
，
∵8
2
6
10
，
∴这次消毒没有效．
【点睛】此题考查了反比例函数和一次函数的实际应用，正确求出函数解析式是解题的关键．
题型06
反比例函数与几何图形的综合问题
30．如图，在以O 为坐标原点的直角坐标系中，矩形OABC 的两边OA
OC
、
分别在x 轴和y 轴的正半轴上，
将反比例函数
(
0)
k
y
k
x
的图像向下平移n 个单位长度后，恰好同时经过矩形对角线交点和顶点A，且图
像与BC 边交于点D，则CD
CB 的值是（
）
30
A．1
3
B．
2
4
C．
3
3
D．
3
4
【答案】A
【分析】设
( ,0)
A a
，( , )
B a b ，则对角线交点的坐标为(2
a ，
)
2
b ，反比例函数
(
0)
k
y
k
x
的图象向下平移n 个
单位长度后的表达式为
k
y
n
x
，分别将A ，B 点的坐标代入上面解析式，即可求出k ，n 的代数式，再将D
的坐标代入即可求出点D 的横坐标，最后代入即可得出答案．
本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是用字母表示出各个点的坐标．
【详解】解：设
( ,0)
A a
，
( , )
B a b ，
则对角线交点的坐标为(2
a ，
)
2
b ，
反比例函数
(
0)
k
y
k
x
的图象向下平移n 个单位长度后的表达式为
k
y
n
x
，
由已知得，
2
2
0
b
k
n
a
k
n
a
，
解得：
2
2
ab
k
b
n
，
反比例函数
(
0)
k
y
k
x
的图象向下平移n 个单位长度后的表达式为
2
2
ab
b
y
x
，
设
( , )
D c b ，
则
2
2
ab
b
b
c
，
3
a
c
，
(3
a
D
，)
b ，
1
3
3
a
CD
CB
a
．
31
故选：A
31．如图，正方形ABCD 的顶点A ，B 在x 轴上，反比例函数
0
k
y
k
x
的图象经过点D 和BC 的中点E .
若
3
AB ，则k 的值是
．
【答案】9
【分析】题目主要考查了反比例函数与几何综合，正方形的性质，根据题意设
,3
3
k
D
，则
3
,0 ,
3
3
3
3
k
k
B
C
，，进而得到
3
3
, 2
3
k
E
，再把
3
3
, 2
3
k
E
代入反比例函数解析式中进行求解即可．
【详解】解：∵正方形ABCD ，
3
AB ，
∴设
,3
3
k
D
，则
3
,0 ,
3
3
3
3
k
k
B
C
，，
∵点E 是BC 的中点，
∴
3
3
, 2
3
k
E
，
把
3
3
, 2
3
k
E
代入
k
y
x
中得：
3
2
3
3
k
k
，
解得
9
k
，
故答案为：9．
32．在平面直角坐标系中，有反比例函数
1
y
x
与
1
y
x
的图象和正方形ABCD ，原点O 与对角线AC ，BD
的交点重叠，且如图所示的阴影部分面积为8，则AB
32
【答案】4
【分析】本题主要考查了反比例函数的图象，正方形的性质，将不规则图形的面积转化为正方形的面积的
一半，再求出解即可．
【详解】由图象可知反比例函数
1
y
x
与
1
y
x
的图象和正方形ABCD 具有中心对称性，
可知图中y 轴左侧正方形内部非阴影等于右侧正方形内阴影部分的面积，
所以正方形ABCD 的面积
2
AB
2
=2 8
阴影部分面积
，
解得
4
AB
．
故答案为：4．
33．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD 的顶点A，反比例函数
k
y
x
（
0
0
k
x
，
）的图象经过顶点
D，分别与对角线AC ，边BC 交于点E，F，连接EF
AF
，
，若E 为AC 的中点，AEF
的面积为1，则k
的值为（
）
A．12
5
B．3
2
C．2
D．3
【答案】D
【分析】本题考查反比例函数图象与几何综合，用字母表示出D
E
C
F
、、、
的坐标是关键；
设
0
A a，，则
k
D a a
，，
2
2
k
E
a
a
，
，
3
k
C
a a
，
，
3
3
k
F
a
a
，
，结合
AEF
△
的面积为1，AE
EC
，即可求
解．
33
【详解】设
0
A a，，
∵矩形ABCD ，
∴
k
D a a
，，
∵矩形ABCD ，E 为AC 的中点，
则E 也为BD 的中点，
∵点B 在x 轴上，
∴E 的纵坐标为2
k
a ，
∴
2
2
k
E
a
a
，
，
∵E 为AC 的中点，
∴点
3
k
C
a a
，
，
∴点
3
3
k
F
a
a
，
，
∵
AEF
△
的面积为1，
=
AE EC ，
∴
2
ACF
S
，
∴1
2
2
2
3
k
k
a
a
a
，
解得：
3
k
．
故选：D．
34．如图，在矩形ABCD 中，点A，B 在y 轴上，BC
x
∥轴，对角线AC
BD
，
相交于点P，
3
2
BC
CD
，
，
若点B 的纵坐标为m，解答下列问题．
(1)点A 的坐标是______，点C 的坐标是______．（用含m 的代数式表示）
(2)若反比例函数
0
k
y
x
x
经过P，C 两点，求k 的值．
【答案】(1)
0,
2
m
；
3,m
(2)3
34
【分析】本题主要考查了矩形的性质，反比例函数与几何综合，坐标与图形：
（1）根据矩形的性质得到
2
AB
CD
BC
OB
，
⊥
，再根据点B 的纵坐标为m 即可求出答案；
（2）先由矩形的性质得到点P 是对角线AC 的中点，再根据中点坐标公式得到
3 ,1
2
P
m
，最后根据反比
例函数图象经过P、C 两点进行求解即可．
【详解】（1）解：∵四边形ABCD 是矩形，
∴
2
AB
CD
BC
OB
，
⊥
，
∵点B 的纵坐标为m，
∴OB
m
，
∴
2
OA
m
，
∴
0,
2
3,
A
m
C
m
，
，
故答案为：
0,
2
m
；
3,m ；
（2）解：∵四边形ABCD 是矩形，
∴点P 是对角线AC 的中点．
由（1）可知
0,
2
A
m
，
3,
C
m ，
∴
3 ,1
2
P
m
．
∵反比例函数
0
k
y
x
x
经过P，C 两点，
∴
3 1
3
2
k
xy
m
m
，
解得
1
m ，
∴
3 1
3
k
．
35．如图，矩形ABCD 的顶点A，B 分别在x 轴，y 轴上，
4,
3,
10
OB
OA
AD
，将矩形ABCD 绕点O顺
时针旋转90，若点D 正好落在反比例函数
(
0)
k
y
k
x
的图象上，则k
．
35
【答案】30
【分析】作DE
x
轴，垂足为E ，可证明AOB
EDA
∽
，得到AO
OB
AB
DE
AE
AD
，代入数据求出
6
DE ，
8
AE ，
据此得到点D 坐标，再根据旋转性质得到旋转后的点D 坐标，根据反比例函数图象上点的坐标特征得到k 值
即可．本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征及旋转性质，熟练掌握旋转性质是关键．
【详解】解：如图，作DE
x
轴，垂足为E ，
90
BAD
Q
，
OAB
EDA
，
DEA
AOB
，
∴AOB
EDA
∽
，
AO
OB
AB
DE
AE
AD
，即3
4
5
10
DE
AE
，
6
DE
，
8
AE ，
8
3
5
OE
，
( 5,6)
D
，
根据性质性质，三角形ODE 绕点O顺时针旋转90后，点D 落在第一象限，且坐标为(6,5) ，
点(6,5) 在反比例函数图象上，
6
5
30
k
．
故答案为：30．
36．如图，一次函数
1y
kx
b
与反比例函数
2
c
y
x
的图象交于A，B 两点，则不等式
c
kx
b
x
的解集是
36
（
）
A．3
2
x
B．
3
x 或
2
x
C．3
0
x
或
2
x
D．0
2
x
【答案】C
【分析】本题考查一次函数与反比例函数图象的交点问题，利用图象法确定不等式的解集即可．
【详解】解：由图象可知，
c
kx
b
x
的解集为：3
0
x
或
2
x
；
故选C．
37．两个反比例函数
k
y
x
和
1
y
x
在第一象限内的图象如图所示，点P 在
k
y
x
的图象上，PC
x
轴于点C ，
交
1
y
x
的图象于点A ，PD
y
轴于点D ，交
1
y
x
的图象于点B ，当点P 在
k
y
x
的图象上运动时，以下结
论其中一定正确的是（
）
①
ODB
△
与OCA
的面积相等；②四边形PAOB 的面积不会发生变化；③PA 与PB 始终相等；④当点A 是PC
的中点时，点B 一定是PD的中点．
A．①②③
B．②③④
C．①②④
D．①③④
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数系数k 的几何意义、反比例函数的图象等知识点，熟练掌握反比例函数的图
象与性质是解题关键．
由点
,
A B 均在反比例函数
1
y
x
的图象上，利用反比例函数系数k 的几何意义即可得出
ODB
OCA
S
S
△
△
，即可
37
判断①正确；利用分割图形求面积法即可得出四边形PAOB 的面积为
1
k ，即可判断②正确；设点P 的坐标
为
, k
m m
，则点B 的坐标为
,
m k
k m
，点A 的坐标为
1
,
A m m
，求出
,
PA PB 的长度，可得出PA 与PB 的关
系无法确定，即可判断③错误；连接OP ，由点A 是PC 的中点可得
OAC
OAP
S
S
，结合
ODP
OCP
S
S
，
ODB
OCA
S
S
△
△
可得
OBP
OAP
S
S
，从而可得
OBP
OBD
S
S
，即可判断④正确．
【详解】解：∵点
,
A B 均在反比例函数
1
y
x
的图象上，且BD
y
轴，AC
x
轴，
∴
1
2
ODB
S
，
1
2
OCA
S
，
∴
ODB
OCA
S
S
△
△
，结论①正确；
∵点P 在反比例函数
k
y
x
的图象上，且PC
x
轴，PD
y
轴，
∴
OCPD
S
k
，
∴
1
OCPD
ODB
OCA
PAOB
S
S
S
S
k
四边形
，
即四边形PAOB 的面积不会发生变化，结论②正确；
设点P 的坐标为
, k
m m
，则点B 的坐标为
,
m k
k m
，点A 的坐标为
1
,
A m m
，
1
1
k
k
PA
m
m
m
，
1
m k
m
PB
m
k
k
，
PA
与PB的关系无法确定，结论③错误；
如图，连接OP ，
点A 是PC 的中点，
OAC
OAP
S
S
，
2
ODP
OCP
S
S
k
，
1
2
ODB
OCA
S
S
，
ODP
ODB
OCP
OCA
S
S
S
S
，即
OBP
OAP
S
S
，
OBP
OAC
ODB
S
S
S
，
38
∴点B 一定是PD的中点，结论④正确；
综上，正确的结论有①②④，
故选：C．
38．如图，在直角坐标系内，正方形OABC 的顶点O 与原点重合，点A 在第二象限，点B，C 在第一象限
内，对角线OB 的中点为D，且点D，C 在反比例函数
1(
1)
k
y
k
x
的图象上，若点B 的纵坐标为4，则k
的值为（
）
A．1
5
B．3
5
C．2 5
1
D．2 5
2
【答案】C
【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，反比例函数的图像和性质，构造全等
三角形是解题的关键．作AE
x
轴于点E ，过C 作CF
x
轴于F ，设
( , )
C a b ，证明
(AAS)
OAE
COF
≌
，
求出各点坐标，得到
1
2
2
a
b a
b
k
ab
即可得到答案．
【详解】解：作AE
x
轴于点E ，过C 作CF
x
轴于F ，
设
( , )
C a b ，则
,
OF
a CF
b
，
四边形OABC 是正方形，
,
90
OA
OC
AOC
，
90
AOE
COF
，
AE
x
Q
轴，
90
AOE
OEA
，
OEA
COF
，
在
OAE
△
和COF
中，
90
OAE
COF
AEO
OFC
OA
CO
，
(AAS)
OAE
COF
≌
，
39
,
AE
OF
a OE
CF
b
，
(
, )
A
b a
，
D
是OB 的中点，
D
也是AC 中点，
(
,
)
2
2
a
b a
b
D
，
点D，C 在反比例函数
1(
1)
k
y
k
x
的图象上，
1
2
2
a
b a
b
k
ab
，
即
2
2
4
a
b
ab
，
点B 的纵坐标为4，
2
2
a
b
，即
4
a
b
，
联立方程组
2
2
4
4
a
b
ab
a
b
，
解得
1
5
3
5
a
b
或
1
5
0
3
5
a
b
（舍去），
1
2 5
2
k
ab
，
2 5
1
k
．
故选C．
39．如图，正方形
1
1 1
2
A B PP 的顶点
1
2
P
P
、
在反比例函数
1
y
x
（
0
x
）图象上，顶点
1
,0
A m
在x 轴的负半
轴上，顶点
1 0,
B
n 在y 轴的正半轴上，再在其左侧作正方形
2
3
2
2
P P A B ，顶点
3P 在反比例函数
1
y
x
（
0
x
）
的图象上，顶点
2A 在x 轴的负半轴上，则点
3P 的坐标是
．
40
【答案】
2
6
2
6
,
2
2
【分析】此题考查了反比例函数的图象和性质、正方形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，作
1PC
y
轴于点C，作
2P D
x
轴于点D，作
3P E
x
轴于点E，作
3
2
P F
P D
轴于点F，证明
1
1
1
1 AAS
PCB
B OA
≌
，
则
1
1
,
PC
B O
1
1
A O
B C
同理可证，
1
2
1
1 AAS
A DP
B OA
≌
，则
1
1
,
A D
B O
1
2
A O
P D
，得到
1
1
2
A O
B C
P D
，
则
1
1
1
A D
B O
PC
n
，得到
1
1
,
P
n n
，
2P 的坐标为
1 1
,
n
n n
，由
1 1
1
n
n n
得到
2
2
n
，则
2P 的
坐标为
2
2, 2
，设
3P 的坐标为
1 ,b
b
，则
1
OE
b
，同上可证，
3
2
3
2 AAS
P EA
P FP
≌
，则
3
3
P E
P F
DE
b
，得到
2
OE
OD
DE
b
，则
1
2
b
b
，解得
2
6
2
b
，即可得到答案．
【详解】解：作
1PC
y
轴于点C，作
2P D
x
轴于点D，作
3P E
x
轴于点E，作
3
2
P F
P D
轴于点F，
∵
1
1 1
2
A B PP 是正方形，
∴
1
1
1
90
A B P
，
1
1
1
1
A B
P B
，
∴
1
1
1
1
90
CB P
OB A
，
41
∵
1
1
1
1
90
CB P
CP B
，
∴
1
1
1
1
OB A
CP B
，
∵
1
1
1
1
90
PCB
B OA
，
∴
1
1
1
1 AAS
PCB
B OA
≌
∴
1
1
,
PC
B O
1
1
A O
B C
同理可证，
1
2
1
1 AAS
A DP
B OA
≌
∴
1
1
,
A D
B O
1
2
A O
P D
∴
1
1
2
A O
B C
P D
∵
1 0,
B
n
∴
1
1
1
A D
B O
PC
n
，
∴
1
1
,
P
n n
，
∴
1
1
2
1
A O
B C
P D
n
n
，
∴
1
1
DO
n
n
n
n
，
∴
2P 的坐标为
1 1
,
n
n n
，
∴
1 1
1
n
n n
，
解得
1
2
2
n
，
2
2
2
n
（不合题意，舍去）
∴
2
2
n
∴
2P 的坐标为
2
2, 2
，
设
3P 的坐标为
1 ,b
b
，则
1
OE
b
∵四边形
2
3
2
2
P P A B 是正方形，
同上可证，
3
2
3
2 AAS
P EA
P FP
≌
∴
3
3
P E
P F
DE
b
，
42
∴
2
OE
OD
DE
b
，
∴
1
2
b
b
解得
1
2
6
2
b
，
2
2
6
2
b
（不合题意，舍去）
∴
2
6
2
b
，
∴点
3P 的坐标为
2
6
2
6
,
2
2
，
故答案为：
2
6
2
6
,
2
2
40．如图，在平面直角坐标系中，点
1,0
C
在线段AB 上，点A 的横坐标为1
，且
2
3
AC
BC
．若函数
2
0
y
x
x
和
0
k
y
x
x
的图象分别经过A，B 两点，则
（1）点A 的坐标为
．
（2）k 的值为
．
【答案】
1,2
12
【分析】分别过点A、B 作AD
x
轴于D，BE
x
⊥轴于E，则AD
BE
，根据反比例函数图像的性质即可
求出点A 的坐标，根据相似三角形的判定与性质以及坐标与图形求得CE 和BD ，求出点B 坐标即可．
【详解】解：如图，分别过点A、B 作AD
x
轴于D，BE
x
⊥轴于E，则AD
BE
，
∴ADC
BEC
∽
，
∴
2
3
AD
CD
AC
BE
CE
BC
，
43
∵A 点横坐标为1
，反比例函数
2 (
0)
y
x
x
经过A 点，
将
1
x 代入
2
2
y
x
∴点A 坐标为
1,2
，
又∵
1,0
C
，
∴
2
AD
，
2
CD
，
∴2
2
2
3
BE
CE
，
∴
3
BE
，
3
CE
，
∴点B 坐标为
4, 3
，
∵
(
0)
k
y
x
x
的图象经过B 两点，
∴
4
3
12
k
，
故答案为：
1,2
，12
．
【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定与性质、坐标与图形，熟练掌握相
似三角形的性质是解答的关键．
41．某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压
kPa
p
是气体体积
3
m
V
的反比
例函数，其图象如图所示．
(1)求该函数的表达式；
(2)当气球内的气压大于140kPa 时，气球将爆炸，为了安全起见，气体的体积应不小于多少？（精确到
3
0.01m ）
【答案】(1)
96
p
V
(2)
3
0.69m
【分析】本题主要考查了求反比例函数关系式，应用反比例函数解决实际问题，理解气压和气球体积的关
44
系是解题的关键．
（1）设反比例函数关系式，再将点A 的坐标代入即可得出答案；
（2）将
140kPa
p
代入关系式，求出解，再判断即可．
【详解】（1）设
0
k
p
k
V
，
将
0.8,120
A
代入，得120
0.8
k ，解得
96
k
，
∴所求函数的表达式为
96
p
V
；
（2）∵96
0
，
∴在第一象限内，p 随V 的增大而减小．
当
140kPa
p
时，
3
96
0.69 m
140
V
．
∴为了安全起见，气体的体积应不小于
3
0.69m ．
42．如图，小明想要用撬棍撬动一块大石头，已知阻力为1200N ，阻力臂长为0.5m ．设动力为
N
y
，动力
臂长为
m
x
．（杠杆平衡时，动力动力臂阻力阻力臂，图中撬棍本身所受的重力略去不计．）
(1)求y 关于x 的函数表达式．
(2)当动力臂长为1.5m 时，撬动石头至少需要多大的力？
(3)小明若想使动力不超过300N ，在动力臂最大为1.8m 的条件下，他能否撬动这块石头？请说明理由．
【答案】(1)
600
0
y
x
x
(2)400N
(3)不能，见解析
【分析】本题主要考查反比例函数的应用，正确的根据反比例函数得出y 与x 之间的关系是解题的关键．
（1）根据动力动力臂阻力阻力臂，即可得出y 关于x 的函数表达式；
（2）将
1.5
x
代入（1）中所求解析式，即可得出y 的值；
45
（3）根据0
1.8
x
以及（1）中所求解析式，可得出y 的范围，进而与300 进行比较即可求解．
【详解】（1）解：由题意可得：
1200 0.5
xy
，
则
600
0
y
x
x
，
即y 关于x 的函数表达式为
600
0
y
x
x
；
（2）解：∵
600
y
x
，
∴当
1.5
x
时，代入
600
y
x
得
600
400
1.5
y
故当动力臂长为1.5m 时，撬动石头至少需要400N的力；
（3）解：他不能撬动这块石头，理由如下：
∵
600
y
x
，
∴
600
x
y
，
∵0
1.8
x
∴
600
0
1.8
y
，
∴
1
3333
y
，
∵
1
333
300
3
，
∴他不能撬动这块石头．
43．阅读与思考
下面是小明同学的一篇数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务．今天是2024 年3 月28 日（星期四），在
下午数学活动课上，我们数学兴趣小组的同学参加了一次“探索压力一定时，压强p 与受力面积S 函数关系
的数学活动”．
第一步，如图，将一长方体A 放置于一水平玻璃桌面上，按不同的方式摆放，相应的记录桌面所受压强p
（Pa）与受力面积S（m2）．
第二步，数据整理，收集记录的数据如下：
第一组
第二组
第三组
第四组
第五组
第六组
46
受力面积
2
S/m
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.4
桌面所受的压强p/Pa
600
400
300
250
200
150
第三步，数据分析，以S 的数值为横坐标，p 的数值为纵坐标建立平面直角坐标系，在该坐标系中描出以表
中数对为坐标的各点，并用光滑的曲线顺次连接这些点．
数据分析中，我发现一组数据可能有明显错误，重新实验，证明了我的猜想正确，并对数据进行了修改，
实验结束后，大家有很多收获，每人都撰写了数学日记．
任务：
(1)你认为表中哪组数据是明显错误的；并直接写出p 关于S 的函数表达式．
(2)在平面直角坐标系中，画出此函数的图象．
(3)结合图象，如果要求压强不超过100Pa ，那么长方体A 的受力面积至少为
2
m ．
【答案】(1)第四组的压强250 错了，p 关于S 的函数表达式为
60 (
0)
p
S
S
；
(2)见解析
(3)0.6
【分析】本题主要考查了反比例函数，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
（1）计算每组的压强判断出第四组错了；
（2）将格点在坐标系中描点，再连线作图；
（3）代入
100
P
，即可求出S ，解答此题．
【详解】（1）解：通过数据发现：S 与p 的积都是定值60 ，第四组的压强250 错了，
设
F
P
S
，
把(0.1,600) 代入得，
60
F
，
故p 关于S 的函数表达式为
60 (
0)
p
S
S
；
（2）解：根据数据描点，连线即可；
47
（3）解：令
100
P
代入关系中，
.0 6
S
，
长方体A 的受力面积至少为
2
0.6m ．
44．如图，在左边托盘A （固定）中放置一个重物，在右边托盘B （可左右移动）中放置一定质量的砝码，
可使得仪器左右平衡．改变托盘B 与点O的距离，记录相应的托盘B 中的砝码质量，得到如表：
托盘B 与点O的距离/cm
x
10
15
20
25
30
托盘B 中的砝码质量/g
y
30
20
15
12
10
(1)把表中x 、y 的各组对应值作为点的坐标，在如图所示的平面直角坐标系中描出这些点，并用一条光滑
曲线连接起来；
(2)观察所画的图象，猜测y 与x 之间的函数关系，求出该函数表达式；
(3)当砝码质量为24g 时，求托盘B 与点O的距离；
(4)当托盘B 向左移动（不能移动到点O）时，应往托盘B 中添加砝码还是减少砝码？为什么？
【答案】(1)见解析
(2)猜测y 是关于x 的反比例函数，
300
y
x
(3)当砝码质量为24g 时，托盘B 与点O的距离为12.5cm
48
(4)应往托盘B 中添加砝码，理由见解析
【分析】本题考查了反比例函数的应用、描点法画函数图象，正确得出反比例函数解析式是解此题的关键．
（1）根据表格中的数据，描点，连线即可；
（2）根据图象可得y 是关于x 的反比例函数，利用待定系数法求解即可；
（3）当
24
y
时，300
24
x
，求解即可；
（4）利用反比例函数的性质即可得出答案．
【详解】（1）解：画出图象如图所示：
（2）解：根据图象，猜测y 是关于x 的反比例函数，
设
k
y
x
，
将
10,30 代入函数解析式得：
30
10
k
，
解得：
300
k
，
∴
300
y
x
；
验证：当
15
x
时
20
y
；
当�= 30 时，
10
y
，故猜想成立；
（3）解：当
24
y
时，300
24
x
，
解得
12.5
x
，
∴当砝码质量为24g 时，托盘B 与点O的距离为12.5cm ；
（4）解：应往托盘B 中添加砝码，
理由如下：∵y 是关于x 的反比例函数，
∴当托盘B 向左移动（不能移动到点O）时，相当于B 与点O的距离在逐渐变小，
49
∴应往托盘B 中添加砝码．
45．如图，一次函数
4
0
y
kx
k k
的图象与反比例函数
1
1
0
m
y
m
x
的图象交于点C，与x 轴交
于点A，过点C 作CB
y
轴，垂足为B，连接
,
OC AB ．已知四边形ABCO是平行四边形，且其面积是12．
(1)求点A 的坐标及m 和k 的值．
(2)①求一次函数图象与反比例函数图象的另一个交点坐标；②请结合图象，直接写出不等式
1
4
m
kx
k
x
的解集．
(3)若直线y
x
t
与四边形ABCO有交点时，直接写出t 的取值范围．
【答案】(1)
4,0
A
，
11
m
，
3
8
k
(2)①
3
8,
2
；②4
0
x
或
8
x
(3) 4
7
t
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的交点问题，平行四边形的性质：
（1）令
0
y
，可得
4,0
A
，再由平行四边形ABCO的面积是12，可得
4,3
C
，进而得到
11
m
，
3
8
k
，
即可；
（2）①联立两函数解析式，即可求解；②直接观察图象，即可求解；
（3）分别求出直线y
x
t
过点C，A 时t 的值，即可求解．
【详解】（1）解：令
0
y
，则
4
0
kx
k
，
∴
4
x
，
∴
4,0
A
，
∴
4
OA
，
∵四边形ABCO为平行四边形，
∴
4
BC
OA
，
50
∵CB
y
轴，
∴设
4,
C
b
，
∵平行四边形ABCO的面积是12，
∴4
12
b
，即
3
b
，
∴
4,3
C
，
1
4 3
12
m
，即
11
m
，
∵点C 在直线
4
y
kx
k
上，
∴3
4
4
k
k
，
3
8
k
；
（2）解：①由（1）知，
3 ,
8
k
∴直线AC 的解析式为
3
3
8
2
y
x
由（1）知，
11
m
，
∴反比例函数的解析式为
12
y
x
，
联立得：
3
3
8
2
12
y
x
y
x
，解得：
4
3
x
y
或
8
3
2
x
y
，
∴一次函数图象与反比例函数图象的另一个交点坐标为
3
8,
2
；
②由图可得，当4
0
x
或
8
x
时，反比例函数
1
1
0
m
y
m
x
的图象在一次函数
4
0
y
kx
k k
的图象上方或两图象相交，
∴不等式
1
4
m
kx
k
x
的解集为：4
0
x
或
8
x
；
（3）解：如图所示，当直线y
x
t
经过点C 时，t 取最大值，当直线y
x
t
经过点A 时，t 取最
小值，
51
将点
4,3
C
代入y
x
t
，得：
3
4
t
，解得
7
t
；
将点
4,0
A
代入y
x
t
，得：
0
4
t
，解得
4
t ，
∴若直线y
x
t
与四边形ABCO有交点时，t 的取值范围为4
7
t
．
46．某蓄水池员工对一蓄水池进行排水，该蓄水池每小时的排水量
3
m / h
V
与排完水池中的水所用的时间
h
t
之间的函数关系如图所示．
(1)求V 与t 的函数表达式；
(2)若每小时排水量不超过
3
2000m ，则排完水池中的水至少需要______h；
(3)由于该蓄水池员工有其他任务，为了提前2h 排完水池中的水，需将原计划每小时的排水量增加25% ，求
原计划每小时的排水量是多少
3
m ？
【答案】(1)
18000
V
t
(2)9
(3)
3
1800m
【分析】本题考查用待定系数法求反比例函数解析式、反比例函数的应用、分式方程的应用，
（1）利用待定系数法求反比例函数解析式即可；
（2）把
2000
V
代入
18000
V
t
求得
9
t
，再根据反比例函数的性质求解即可；
（3）设原计划每小时的排水量是
3
m
a
，则实际每小时的排水量为
3
1 25%
m
a
，根据题意列方程求解即可．
【详解】（1）解：由图可得，蓄水池每小时的排水量
3
m / h
V
与排完水池中的水所用的时间
h
t
之间成反
比例函数关系，
52
设V 与t 的函数表达式为
k
V
t
，
把
6,3000 代入得，
= 6 3000 = 18000
k
，
∴V 与t 的函数表达式为
18000
V
t
；
（2）解：把
2000
V
代入
18000
V
t
得，
18000
=
= 9
2000
t
，
∵18000
0
，
∴V 随着t 的增大而减小，
∴每小时排水量不超过
3
2000m ，则排完水池中的水所用的时间满足的条件是
9
t
，
故答案为：9；
（3）解：设原计划每小时的排水量是
3
m
a
，则实际每小时的排水量为
3
1 25%
m
a
，
由题意得，
18000
18000
2
1 0.25
a
a
，
解得
1800
a
，
经检验得，
1800
a
是原方程的解，
答：原计划每小时的排水量是
3
1800m ．
47．如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，一次函数
2
y
x
m
的图像与x 轴、y 轴交于
( 3,0)
A
、B
两点，与反比例函数
k
y
x
（
0
k
）的图像交于点
(1, )
C
n ．
(1)求m 和k 的值；
(2)已知四边形OBDE 是正方形，连接BE ，点P 在反比例函数
k
y
x
（
0
k
）的图像上．当OBP
的面积与
OBE
△
的面积相等时，直接写出点P 的坐标_________．
【答案】(1)
6
m
，
8
k =
53
(2)
4
6, 3
P
或
4
6,
3
P
【分析】本题考查一次函数和反比例函数的交点，三角形的面积，关键是用待定系数法求m 和k 的值；分两
种情况求P 的坐标．
（1）把A 的坐标代入
2
y
x
m
，即可求出
6
m
，把
(1, )
C
n 代入
2
6
y
x
，求出
8
n ，把
(1,8)
C
代入
k
y
x
，
求出
8
k =
；
（2）分两种情况，由三角形面积公式，即可求解．
【详解】（1）解：一次函数
2
y
x
m
的图象过
( 3,0)
A
，
2
( 3)
0
m
，
6
m
，
(1, )
C
n
在函数
2
6
y
x
的图象上，
2 1 6
8
n
，
(1,8)
C
在函数
k
y
x
图象上，
8
k
；
（2）解：当
0
x
时，
2
6
6
y
x
，
6
OB
，
四边形OEDB 是正方形，
6
OE
OB
，
当P 在反比例函数
(
0)
k
y
k
x
的图象右半支上，
设P 的坐标是
8
( ,
)
a a ，
OBP
的面积与OBE
的面积相等，
2
1
1
2
2
OB a
OB
，
6
a
OB
，
8
4
3
a
，
P
的坐标是
4
(6, )
3 ，
当P 在反比例函数
(
0)
k
y
k
x
的图象左半支上，
54
设P 的坐标是
8
( , )
b b ，
OBP
的面积与OBE
的面积相等，
2
1
1
(
)
2
2
OB
b
OB
，
6
b
OB
，
8
4
3
b
，
P
的坐标是
4
( 6,
)
3
，
综上P 的坐标为
4
(6, )
3 或
4
( 6,
)
3
．
48．如图，在平面直角坐标系中，直线
1
2
y
x
与反比例函数
0
k
y
k
x
在第二象限内的图象相交于点
,1
A m
．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)在第二象限内，根据图象直接写出
1
2
k
x
x
的解集；
(3)将直线
1
2
y
x
向上平移后与反比例函数图象在第二象限内交于点B ，与y 轴交于点C ，且ABO
的面积
为3
2 ，求直线BC 的解析式．
55
【答案】(1)y＝
2
x
(2)
2
x
(3)
1
3
2
2
y
x
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，一次函数与反比例函
数交点与一元一次不等式解集的关系，三角形的面积求法，以及一次函数与几何变换，熟练掌握待定系数
法是解题的关键．
（1）将A 点坐标代入直线
1
2
y
x
中求出m 的值，确定出A 的坐标，将A 的坐标代入反比例解析式中求出k
的值，即可确定出反比例函数的解析式；
（2）观查函数图象可知，当
2
x 时，反比例函数的图象不在一次函数图象的上方，即可求解；
（3）根据直线的平移规律设直线BC 的解析式为：
1
2
y
x
b
，由同底等高的两三角形面积相等可得
ACO
△
与ABO
面积相等，根据ABO
的面积为3
2 ，列出方程1
3
2
2
2
OC
，解出OC 的长，即b 的值，进而得出直
线BC 的解析式
【详解】（1）解：将点A 的坐标代入
1
2
y
x
得：
1
1
2 m
，解得
2
m ，
所以点A 的坐标为
2,1
．
将点A 坐标代入反比例函数解析式得，
2 1
2
k ，
所以反比例函数的解析式为
2
y
x
．
（2）解：由函数图象可知，
当
2
x 时，反比例函数的图象不在一次函数图象的上方，即
1
2
k
x
x
，
所以不等式
1
2
k
x
x
的解集为：
2
x ．
（3）连接AC ，
56
由平移可知，BC
AO
∥
，
所以
3
2
ACO
ABO
S
S
，
所以1
3
2
2
2
OC
，
解得
3
2
OC
，
所以点C 的坐标为
3
0, 2
，
令直线BC 的解析式为
1
2
y
x
b
，
将点C 坐标代入得，
3
2
b
，
所以直线BC 的函数解析式为
1
3
2
2
y
x
．
49．如图，Rt
ABC
△
的直角边AB 在x 轴上，
90
ABC
，边AC 交y 轴于点D ，点C 在反比例函数
k
y
x
第一象限的图象上，AC 所在直线的解析式为
4
y
ax
，其中点�−2,0 ，
1,0
B
．
57
(1)求反比例函数和AC 所在直线的解析式；
(2)将Rt
ABC
△
的边直角边BC 沿着x 轴正方向平移m 个单位长度得到线段B C
，线段B C
与反比例函数的
图象交于点E ，问当m 为何值时，四边形ODC E是平行四边形？
【答案】(1)
6
y
x
，
2
4
y
x
(2)2
【分析】此题考查了反比例函数的图象和性质、一次函数的图象和性质、图形的平移、平行四边形的判定
和性质等知识，数形结合是解题的关键．
（1）先求出AC 所在直线的解析式为
2
4
y
x
，再求出点
(1,6)
C
，由点C 在反比例函数
k
y
x
第一象限的图
象上即可得到反比例函数的解析式；
（2）求出
4
OD
，由平移的性质得到
(1
,6)
C
m
，
6
B C
BC
，得到当
4
EC
OD
时，四边形ODC E
是平行四边形，求得E 点的纵坐标为
6
1
m
，则利用
6
6
4
1
EC
B C
B E
m
求出m 的值即可．
【详解】（1）解：∵直线
4
y
ax
经过点
( 2,0)
A
，
∴2
4
0
a
，
∴
2
a
，
∴AC 所在直线的解析式为
2
4
y
x
，
∵
(1,0)
B
，
90
ABC
，
∴点C 的横坐标是1，当
1
x 时，
2 1 4
6
2
4
y
x
，
∴
(1,6)
C
，
∵点C 在反比例函数
k
y
x
第一象限的图象上，
∴
1 6
6
k
；
∴反比例函数的解析式为
6
y
x
.
（2）当
0
x
时，
2
4
4
y
x
，
58
∴
4
OD
，
由平移的性质得到
(1
,6)
C
m
，
6
B C
BC
，
由题意得OD
EC
∥
，
∴当
4
EC
OD
时，四边形ODC E是平行四边形，
由（1）知反比例函数的解析式为
6
y
x
，
E
点在反比例函数
6
y
x
第一象限的图象上，E 点的横坐标为1
m
，
E
点的纵坐标为
6
1
m
，
6
6
4
1
EC
B C
B E
m
，
解得
2
m
，
即当m 为2 时，四边形ODC E是平行四边形．
50．如图1，正方形ABCD 中，�−2,0 ，
0,3
D
．过A 点作AF
y
轴于F 点，过B 点作x 轴的垂线交过A
点的反比例函数的图象于E 点，交x 轴于G 点．
(1)求证：CDO
DAF
≌
；
(2)求反比例函数的表达式及点E 的坐标；
(3)如图2，过点C 作直线l
AE
∥
，点P 是直线l 上的一点，在平面内是否存在点Q，使得以点A
C
P
Q
、、、
四
个点为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点Q的横坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)见解析
59
(2)(
)
5,3
(3)点Q的横坐标为
25
4
或3 或3
13
或3
13
【分析】此题属于反比例函数的综合题．考查了反比例函数图象上点的坐标特征、直角三角形的性质、正
方形的性质、三角形全等的判定与性质、菱形的性质等．
（1）由正方形性质可得AD
CD
，
90
ADC
，利用同角的余角相等得出
ADF
DCO
，再利用AAS
即可证得结论；
（2）先求得
( 3,5)
A
，代入
(
0)
k
y
k
x
，求得
15
k
，可得
15
y
x
，当
5
x 时，
3
y ，即可求得答案；
（3）利用待定系数法可得直线AE 的解析式为
8
y
x
，进而可得直线l 的解析式为
2
y
x
，设
( ,
2)
P m m
，
( , )
Q t s ，分三种情况：当AC 、PQ为对角线时，当CP 、AQ 为对角线时，当AP 、CQ为对角线时，分别列
方程组求解即可求得答案．
【详解】（1）如图1，四边形ABCD 是正方形，
AD
CD
，
90
ADC
，
90
ADF
CDO
，
AF
y
轴，
90
AFD
DOC
，
90
CDO
DCO
，
ADF
DCO
，
在CDO
和
DAF
△
中，
COD
DFA
DCO
ADF
CD
AD
，
(AAS)
CDO
DAF
≌
；
（2）
( 2,0)
C
，
(0,3)
D
，
60
2
OC
，
3
OD ，
CDO
DAF
≌
，
2
DF
OC
，
3
AF
OD
，
3
2
5
OF
OD
DF
，
∴
3,5
A
同理可证BCG
CDO
≌
，
∴
3
GC
OD
，
∴
3
2
5
GO
GC
CO
，
∴点E 的横坐标为5
，
设反比例函数的表达式为
(
0)
k
y
k
x
，
把
( 3,5)
A
代入，得
15
k
，
15
y
x
，
当
5
x 时，
15
3
5
y
，
点E 的坐标为(
)
5,3
；
（3）在平面内存在点Q，使得点A 、C 、P 、Q四个点依次连接构成的四边形是菱形．理由如下：
设直线AE 的解析式为
1
y
k x
b
，把
( 3,5)
A
，
( 5,3)
E
代入，
得
1
1
3
5
5
3
k
b
k
b
，
解得：
1
1
8
k
b
，
直线AE 的解析式为
8
y
x
，
直线l
AE
∥
，
设直线l 的解析式为
1
y
x
b
，把
( 2,0)
C
代入得
1
2
0
b
，
解得：
1
2
b
，
直线l 的解析式为
2
y
x
，
点P 是直线l 上的一点，点Q是平面内一点，
设
( ,
2)
P m m
，
( , )
Q t s ，
61
又
( 3,5)
A
，
( 2,0)
C
，
当AC 、PQ为对角线时，
2
2
2
2
(
3)
(
2
5)
(
2)
(
2)
3
2
2
5
0
m
m
m
m
t
m
s
m
，
解得：
5
4
25
4
7
4
m
t
s
，
25
(
4
Q
，7)
4 ；
当CP 、AQ 为对角线时，
2
2
2
2
(
3)
(
3)
( 3
2)
5
3
2
5
2
m
m
t
m
s
m
，
解得：
2
3
1
m
t
s
或
2
1
5
m
t
s
（舍去），
(3, 1)
Q
；
当AP 、CQ为对角线时，
2
2
2
2
(
2)
(
2)
( 3
2)
5
2
3
2
5
m
m
t
m
s
m
，
解得：
2
13
3
13
5
13
m
t
s
或
2
13
3
13
5
13
m
t
s
，
( 3
13
Q
，5
13)
或( 3
13
，5
13)
；
综上所述，在平面内存在点Q，使得点A 、C 、P 、Q四个点依次连接构成的四边形是菱形，点Q的横坐标
为
25
4
或3 或3
13
或3
13
．
51．在平面直角坐标系xOy 中，点
,0
A m
，
,0
B m
a
0
a
m
的位置和函数
1
0
m
y
x
x
、
2
0
m
a
y
x
x
的图象如图所示．以AB 为边在x 轴上方作正方形ABCD ，AD 边与函数
1y 的图象相交于点
62
E，CD边与函数
1y 、
2y 的图象分别相交于点G、H，一次函数
3y 的图象经过点E、G，与y 轴相交于点P，
连接PH ．
(1)若
2
m
，
4
a
，
①求函数
3y 的表达式及
PGH
△
的面积；
②直接写出使
1
3
0
y
y
成立的x 的范围；
(2)当a、m 在满足
0
a
m
的条件下任意变化时，
PGH
△
的面积是否变化？请说明理由；
【答案】(1)①
3
2
5
y
x
，1
2 ；②
1
0
2
x
，
5
2
2
x
(2)当a、m 在满足
0
a
m
的条件下任意变化时，
PGH
△
的面积不变化，理由见解析
【分析】（1）①先确定E 、G 两个点的坐标，再利用待定系数法求出函数
3y 的表达式，进而求出点P 的坐
标，结合H 点求
PGH
△
的面积；
②结合图象，可求解；
（2）按（1）的思路求解；
【详解】（1）解：①
2
m
，
4
a
，
点
(2,0)
A
，
( 2,0)
B
，
1
2
y
x
，
2
2
y
x
，
∴
4
AB
AD
点
(2,1)
E
，
1 ,4
2
G
，
1 ,4
2
H
，
一次函数
3y 的图象经过点E 、G ，
设
3y
kx
b
，则
2
1
1
4
2
k
b
k
b
，
63
2
5
k
b
，
函数
3y 的表达式为
3
2
5
y
x
，
(0,5)
P
，
1
PM
OP
OM
，
1
1
1
1 1
2
2
2
PGH
S
HG PM
；
②当
0
y
时，则2
5
0
x
，即
5
2
x
，
当
1
0
2
x
或
5
2
2
x
时，
1
3
0
y
y
；
（2）解：
PGH
△
的面积不变化．理由如下：
点
( ,0)
A m
，
(
,0)
B m
a
，
1
m
y
x
，
2
m
a
y
x
，
点
( ,1)
E m
，
,
m
G
a
a
，
,
m
a
H
a
a
，
设
1
1
3
k x
b
y
，则
1
1
1
1
1
k m
b
k m
b
a
a
，
1
1
b
a
，
(0,
1)
P
a
，
1
PM
OP
OM
，
Δ
1
1
1
1
2
2
2
PGH
m
m
a
S
HG PM
a
a
．
当a 、m 在满足
0
a
m
的条件下任意变化时，
PGH
△
的面积不变化．
【点睛】本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法，反比例函数的性质和一次函数的性质，利用参数
表示点的坐标是解题的关键．
64
52．如图，已知反比例函数
4
>0
y
x
x
的图象与一次函数y
kx
b
的图象交于点
,4
A m
，B 两点，一次函
数与x 轴交于点C，若AB
BC
．
(1)求一次函数的解析式．
(2)将一次函数y
kx
b
的图象沿x 轴负方向平移
>0
a a
个单位长度得到新图象，求这个新图象与函数
4
>0
y
x
x
的图象只有一个交点M 时，求a 的值及交点M 的坐标．
【答案】(1)
2
6
y
x
(2)
3
2 2
a
，
2,2 2
M
【分析】（1）过点A 作AD
x
轴于点D，过点B 作BE
x
⊥轴于点E，根据题意，
1,4
A
，得到
4
AD
，结
合AB
BC
，得到
1
2
2
BE
AD
，继而得到
2,2
B
，利用待定系数法求一次函数的解析式即可．
（2）根据将一次函数
2
6
y
x
的图象沿x 轴负方向平移
>0
a a
个单位长度得到新图象，其解析式为
2
6
2
6
2
y
x
a
x
a
，联立
4
2
6
2
y
x
y
x
a
，整理得到一元二次方程，令判别式等于零，计算解
答即可．
【详解】（1）解：过点A 作AD
x
轴于点D，过点B 作BE
x
⊥轴于点E，
根据题意，反比例函数
4
>0
y
x
x
的图象与一次函数y
kx
b
的图象交于点
,4
A m
，B 两点，
65
∴
1,4
A
，
∴
4
AD
，
∵AB
BC
，AD
BE
，
∴
1
AB
DE
BC
EC
，
∴
1
2
2
BE
AD
，
∴
2,2
B
，
由直线AB 的解析式为y
kx
b
，
根据题意，得
2
2
4
k
b
k
b
，
解得
2
6
k
b
，
∴
2
6
y
x
．
（2）解：∵一次函数
2
6
y
x
的图象沿x 轴负方向平移
>0
a a
个单位长度得到新图象，
∴解析式为
2
6
2
6
2
y
x
a
x
a
，
根据题意，得
4
2
6
2
y
x
y
x
a
，
整理得
2
3
2
0
x
a
x
，
∵新图象与函数
4
>0
y
x
x
的图象只有一个交点M，
∴
2
3
4 1 2
0
a
，
解得
3
2 2,
3
2 2
a
a
，
∵交点在第一象限内，
66
∴
3
2 2
a
舍去，
∴
3
2 2
a
，
∴
2
2 2
2
0
x
x
，
∴
2
2
2 2
2
0
x
x
，
∴
2
2
0
x
，
解得
2
x
，
∴
4
2 2
2
y
，
∴
2,2 2
M
．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，三角形中位线定理，反比例函数，待定系数法求一次函数
解析式，一元二次方程根的判别式，熟练掌握平行线分线段成比例定理，三角形中位线定理，根的判别式
是解题的关键．
53．如图，一次函数
4
2
3
3
y
x
的图象与反比例函数
0
k
y
x
x
的图象交于点
,2
A a
，与x 轴交于点B，
与y 轴交于点C，连接AO ．
(1)求反比例函数的表达式及点B 的坐标；
(2)将直线AB 向下平移
0
m m
个单位长度得到直线l：
4
2
3
3
y
x
m
，设直线l 与反比例函数
0
k
y
x
x
的图象交于点P，与x 轴交于点D．
①连接AP ，BP ，若
3
ABP
AOC
S
S
△
△
，求m 的值；
②连接AD ，CD ，当ACD
是等腰三角形时，请直接写出点D 到直线AB 的距离．
【答案】(1)反比例函数的表达式为
2
0
y
x
x
，点B 的坐标为
1 ,0
2
(2)①
4
3
m
；②当ACD
是等腰三角形时，点D 到直线AB 的距离为20
9 或4 21
2
15
5
【分析】本题主要考查一次函数与反比例函数的图像和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握性质定
67
理是解题的关键．
（1）求出
1,2
A
，代入反比例函数即可求出答案；
（2）①过点P 作PQ
y
∥
轴交直线AB 于点Q，设点
2
,
0
P a
a
a
，将各线段分别表示出来，根据等量关
系列出方程求解即可．
②分类讨论，当DA
DC
时，如图2，过点D 作DE
AC
于点E，过点E 作EM
x
轴于点M，过点A 作
AN
EM
，交ME 的延长线于点N；当CD
CA
时，由于直线l 是由直线AB 向下平移
0
m m
个单位长度
得到．分别进行求解即可．
【详解】（1）解：一次函数
4
2
3
3
y
x
的图象与反比例函数
0
k
y
x
x
的图象交于点
,2
A a
，
4
2
2
3
3
a
．解得
1
a ．
1,2
A
．
将
1,2
A
代入
k
y
x
，得2
1
k
．解得
2
k
．
反比例函数的表达式为
2
0
y
x
x
．
对于一次函数
4
2
3
3
y
x
，令
0
y
，则4
2
0
3
3
x
．
解得
1
2
x
．
点B 的坐标为
1 ,0
2
．
（2）解：①如图1，过点P 作PQ
y
∥
轴交直线AB 于点Q，设点
2
,
0
P a
a
a
，
则点
4
2
, 3
3
Q a
a
．
4
2
2
3
3
PQ
a
a
．
1
1
1
2
2
2
ABP
BPQ
APQ
P
B
P
A
A
B
S
S
S
PQ
x
x
PQ
x
x
PQ
x
x
68
1
4
2
2
1
1
3
1
2
3
3
2
2
2
a
a
a
a
．
一次函数
4
2
3
3
y
x
的图象与y 轴交于点C，
2
0, 3
C
．
1
1
2
1
1
2
2
3
3
AOC
A
S
OC
x
△
．
3
ABP
AOC
S
S
△
△
，
1
3
1
3
2
2
3
a
a
．整理，得
2
2
3
0
a
a
．
解得
1
3
2
a
，
2
1
a （舍去）．
3 4
,
2 3
P
．
将
3 4
,
2 3
P
代入
4
2
3
3
y
x
m
，得4
3
2
4
3
2
3
3
m
．
解得
4
3
m
．
②20
9 或4 21
2
15
5
．
1,2
A
，
2
0, 3
C
，
1 ,0
2
B
，
1
2
OB
，
2
2
2
5
1 0
2
3
3
AC
，
2
2
1
2
5
0
0
2
3
6
BC
．
（ⅰ）当DA
DC
时，如图2，过点D 作DE
AC
于点E，过点E 作EM
x
轴于点M，过点A 作AN
EM
，
交ME 的延长线于点N．
DA
DC
，DE
AC
，
1
5
2
6
AE
CE
AC
．
1,2
A
，
2
0, 3
C
，
E 是AC 中点，
69
1 4
,
2 3
E
．
1 ,0
2
M
，
1 ,2
2
N
．
1
2
AN
，
2
3
NE
，
4
3
EM
．
90
ANE
EMD
DE
AC
90 ,
90
NAE
NEA
NEA
DEM
NAE
DEM
ANE
EMD
NAE
DEM
ANE
EMD
∽
△
△
，
AN
AE
EM
ED
，即
5
1
6
4
4
3
ED
．
解得
20
9
ED
．
（ⅱ）当CD
CA
时，由于直线l 是由直线AB 向下平移
0
m m
个单位长度得到，
∴此时点D 在x 轴正半轴．如图3，过点D 作DF
AC
于点F，过点D 作DG
y
∥
轴交直线AB 于点G．
5
3
AC
．
5
3
CD
．
2
2
2
2
5
2
21
3
3
3
OD
CD
CO
．
21 ,0
3
D
．将
21 ,0
3
D
代入
4
2
3
3
y
x
m
，得4
21
2
0
3
3
3
m
．解得
4 21
2
9
3
m
．
DG
y
∥
轴，
DGF
OCB
．
sin
sin
DGF
OCB
．
DF
BO
DG
BC
．
由平移可知，
4 21
2
9
3
DG
m
．
70
1
2
5
4 21
2
6
9
3
DF
，
解得
4 21
2
15
5
DF
．
综上所述，当ACD
是等腰三角形时，点D 到直线AB 的距离为20
9 或4 21
2
15
5
．
