1
第14 讲相似三角形的判定定理与应用
课程标准
学习目标
①了解相似三角形的判定定理:两角分别相
等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相
等的两个三角形相似；三边成比例的两个三
角形相似．
②*了解相似三角形判定定理的证明．
1、经历相似多边形概念的形成过程，了解相似多边形
的含义．
2.在探索相似多边形本质特征的过程中，进一步发展学
生观察、操作、归纳、类比、反思、交流等多方面的能
力,提高学生的数学思维水平，体会反例的作用．
知识点一：两角对应相等的两个三角形相似(AA).
如图，若∠A＝∠D，∠B＝∠E，则△ABC∽△DEF.
2
知识点二：两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似（SAS）．
如图，若∠A＝∠D，AC
AB
DF
DE
，则△ABC∽△DEF.
知识点三：三边对应成比例的两个三角形相似（SSS）．
如图，若AB
AC
BC
DE
DF
EF
，则△ABC∽△DEF.
题型01
用合适的方法判定相似三角形
1．已知在Rt
ABC
△
和Rt A B C
中，
90
C
C
，则不能使两直角三角形相似的条件为（
）
A．
A
A
B．AC
BC
A C
B C
C．AC
A C
AB
A B
D．AC
B C
AB
A C
【答案】D
【分析】本题考查直角三角形相似的判定定理，根据题中条件，由各个选项中添加的条件，利用两个直角
三角形相似的判定定理验证即可得到答案，熟记直角三角形相似的判定定理是解决问题的关键．
【详解】解：A、由
90
C
C
，加上
A
A
，利用两个三角形相似的判定定理：两个角对应相等的
两个三角形相似确定Rt
ABC
△
和Rt A B C
相似，不符合题意；
B、由
90
C
C
，加上AC
BC
A C
B C
，利用两个三角形相似的判定定理：两边对应成比例且夹角相等的
两个三角形相似确定Rt
ABC
△
和Rt A B C
相似，不符合题意；
C、在Rt
ABC
△
和Rt A B C
中，由
90
C
C
，确定AB 、A B
为两个直角三角形的斜边，利用两个直
3
角三角形相似的判定定理：直角边及斜边对应成比例的两个直角三角形相似确定Rt
ABC
△
和Rt A B C
相似，
不符合题意；
D、根据两个直角三角形相似的判定定理，添加AC
B C
AB
A C
，无法确定Rt
ABC
△
和Rt A B C
相似，符合题
意；
故选：D．
2．已知P 是ABC
的边AC 上一点，连接BP ，则下列不能判定ABP
ACB
∽
的是（
）
A．
ABP
C
B．
APB
ABC
C．AB
AC
AP
AB
D．AB
AC
BP
BC
=
【答案】D
【分析】本题考查了相似三角形的性质．解题的关键是掌握有两角对应相等的三角形相似与两边对应成比
例且夹角相等的三角形相似定理的应用．根据题意画出草图，结合相似三角形的判定定理（①有两角分别
相等的两三角形相似，②有两边的比相等，并且它们的夹角也相等的两三角形相似）逐个进行判断即可．
【详解】解：根据题意作图如下：
A、
A
A
，
ABP
C
，
ABP
ACB
∽
，不符合题意；
B、
A
A
，
APB
ABC
，
ABP
ACB
∽
，不符合题意；
C、
A
A
，AB
AC
AP
AB
，
ABP
ACB
∽
，不符合题意；
D、根据
A
A
和AB
AC
BP
BC
=
不能判断ABP
ACB
∽
，符合题意；
故选：D．
3．下列条件中，不能判定
ACD
ABC
△
∽△
的是（）
4
A．
ACD
B
B．AD
CD
AC
BC
C．
ADC
ACB
D．AC
AB
AD
AC
【答案】B
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，相似三角形的判定方法有：“两角对应相等，两三角形相似”，
“两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似”，“三边对应成比例，两三角形相似”，熟练掌握相似三角形的
判定方法是解题的关键．
根据相似三角形的判定方法依次判断即可．
【详解】解：A、∵
,
B
A
CD
A
A
，
∴
ACD
ABC
△
∽△
，故A 能判定
ACD
ABC
△
∽△
；
B、根据
, AD
CD
AC
BC
A
A
不能证明
ACD
ABC
△
∽△
，故B 不能判定
ACD
ABC
△
∽△
；
C、∵
,
A
A
ADC
ACB
，
∴
ACD
ABC
△
∽△
，故C 能判定
ACD
ABC
△
∽△
；
D、∵
,
A
AC
AB
AD
C
A
A
．
∴
ACD
ABC
△
∽△
，故D 能判定
ACD
ABC
△
∽△
；
故选：B．
4．如图，下列条件中能判定DAC
ABC
∽
的是（
）
A．
2
AC
BC CD
B．
2
CD
AD DB
C．AC
AB
CD
BC
D．CD
BC
DA
AC
【答案】A
【分析】本题主要考查添加条件式三角形相似，根据已知相似三角形的逐一判断选项是否符合条件即可．
【详解】解：A ．若
2
AC
BC CD
，则AC
CD
BC
AC
，
∵
ACB
ACD
，
∴DAC
ABC
∽
，该选项正确，符合题意；
B ．若
2
CD
AD DB
，无法得出
DAC
△
和ABC
对应边成比例，该选项错误，不符合题意；
5
C ．若AC
AB
CD
BC
，无
DAC
△
和ABC
对应边成比例，选项错误，不符合题意；
D ．若CD
BC
DA
AC
，无
DAC
△
和ABC
对应边成比例，该选项错误，不符合题意；
故选：A．
5．如图，已知
1
2
，那么添加下列一个条件后，仍无法判定
ABC
ADE
∽
△
△
的是（
）
A．
C
E
B．
B
ADE
C．AB
AC
AD
AE
D．AB
BC
AD
DE
【答案】D
【分析】本题考查了相似三角形的判定，先求出两三角形的一对相等的角
BAC
DAE
是确定其他条件的
关键，再根据相似三角形的几种判定方法逐一判断即可．
【详解】解：
1
2
，
BAC
DAE
，
A、添加
C
E
，可用两角法判定
ABC
ADE
∽
△
△
，故本选项错误；
B、添加
B
ADE
，可用两角法判定
ABC
ADE
∽
△
△
，故本选项错误；
C、添加AB
AC
AD
AE
，可用两边及其夹角法判定
ABC
ADE
∽
△
△
，故本选项错误；
D、添加AB
BC
AD
DE
，不能判定
ABC
ADE
∽
△
△
，故本选项正确；
故选：D．
6．如图，点P 在ABC
的边AC 上，添加一个条件可判定ABP
ACB
∽
，其中添加不正确的是(
)
A．
ABP
C
B．
APB
ABC
C．AP
AB
AB
AC
D．AB
AC
AP
CB
【答案】D
【分析】本题主要考查相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键，即在两个三角形中，
满足三边对应成比例、两边对应成比例且夹角相等或两组角对应相等，则这两个三角形相似．根据相似三
6
角形的判定方法，逐项判断即可．
【详解】解：∵在ABP
和
ACB
△
中，
BAP
CAB
，
∴当
ABP
C
时，满足两组角对应相等，可判断ABP
ACB
∽
，故A 不符合题意；
当
APB
ABC
时，满足两组角对应相等，可判断ABP
ACB
∽
，故B 不符合题意；
当AP
AB
AB
AC
时，满足两边对应成比例且夹角相等，可判断ABP
ACB
∽
，故C 不符合题意；
当AB
AC
AP
CB
时，不能判断ABP
ACB
∽
，故D 符合题意；
故选：D．
7．如图，下列条件不能判定
ABC
ADE
△
△
∽
的是（
）
A．1
2
，
B
D
B．AB
AC
BC
AD
AE
DE
C．
1
2
，AB
BC
AD
DE
D．
1
2
，AB
AC
AD
AE
【答案】C
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，三边对应成比例的两三角形相似，有两组角对应相等的两三
角形相似，两组边对应成比例，且它们的夹角相等的两三角形相似，据此逐一判断即可，
【详解】解：A、由
1
2
可得
BAC
DAE
，再由
B
D
，可证
ABC
ADE
△
△
∽
，故A 不符合题
意；
B、由AB
AC
BC
AD
AE
DE
，可证明
ABC
ADE
△
△
∽
，可得故B 不符合题意；
C、由
1
2
可得
BAC
DAE
，再由AB
BC
AD
DE
，不能证明
ABC
ADE
△
△
∽
，故C 符合题意；
D、由
1
2
可得
BAC
DAE
，再由AB
AC
AD
AE
，可证明
ABC
ADE
△
△
∽
，故D 不符合题意；
故选：C．
8．如图，点D 在ABC
的边AC 上，添加一个条件，使得ADB
ABC
∽
．以下是天翼和往琛的做法．下列
说法不正确的是（
）
7
天冀的做法：添加条件
ABD
C
．
证明：∵
ABD
C
，
A
A
．
∴ADB
ABC
∽
（两组角对应相等的两个三
角形相似）
往琛的做法：添加条件AB
BD
AC
CB
．
证明：∵
A
A
, AB
BD
AC
CB
．
∴ADB
ABC
∽
（两组对应边成比例及一组对应角相等的两
个三角形相似）
A．天翼的做法证明过程没有问题
B．往琛的做法证明过程没有问题
C．天翼的做法添加的条件没有问题
D．往琛的做法添加的条件有问题
【答案】B
【分析】根据题意已知
A
A
，故添加两组对应边成比例夹角为
A
或者添加一组对应角相等，即可求
解．本题考查了相似三角形的判定，正确记忆相关知识点是解题关键．
【详解】解：依题意，
A
A
，添加一组对应角相等，可以使得ADB
ABC
∽
，故天翼的做法以及过程
没有问题，往琛的做法添加的条件有问题，应为AD
AB
AB
AC
，证明过程中用到两组对应边成比例夹角相等，
故B 选项符合题意，
故选：B．
题型02
补充条件判定相似三角形
9．如图，线段BE
CD
、
相交于点A ，连接DE
BC
、
，请添加一个条件，使
ADE
与ABC
相似，且点B 的
对应点为点D ，这个条件可以是
．（写出一个条件即可）
【答案】
B
D
（或
E
C
或AD
AE
AB
AC
）
【分析】本题考查了相似三角形的判定方法，根据图形结合相似三角形的判定方法即可得出答案．
【详解】解：∵
DAE
BAC
，且点B 的对应点为点D ，
∴根据三角形相似的判定方法，可以有两组角对应相等或一组角相等，且这组角的两边对应成比例都可以
证明两三角形相似，
8
∴可以添加
B
D
或
E
C
或AD
AE
AB
AC
，
故答案为：
B
D
（或
E
C
或AD
AE
AB
AC
）．
10．如图，点D 是边AB 上一点，
A
E
，连接BE ．若添加一个条件使得ABC
与BDE
相似，你添加
的条件是
．（只填写一个你认为正确的答案）
【答案】BC
ED
∥
（答案不唯一）
【分析】根据三角形相似的判定定理，选择适当的条件即可．
本题考查了三角形相似的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键．
【详解】∵BC
ED
∥
，
∴
EDB
ABC
，
∵
A
E
，
∴
EDB
ABC
△
∽△
，
故可以添加如下条件：BC
ED
∥
，
故答案为：BC
ED
∥
．
11．如图，AB
BC
BD
CD
，
，要使ABC
CDB
∽
，需添加的一个条件是
．
【答案】
CAB
BCD
（答案不唯一）
【分析】根据三角形相似的判定定理，选择条件即可．
本题考查了三角形相似的判定，熟练掌握相似的判定定理是解题的关键．
【详解】∵AB
BC
BD
CD
，
∴
90
ABC
CDB
，
当
CAB
BCD
，
故ABC
CDB
∽
，
故答案为：
CAB
BCD
．
9
12．如图，在ABC
中，点D，E 分别在AB
AC
，
边上，要使
ABC
AED
∽
△
△
，则需要添加的一个条件
是
．（写出一个即可）
【答案】
AED
B
（答案不唯一）
【分析】此题考查了相似三角形的判定．此题比较简单，注意熟记判定定理是解此题的关键．
由
A
是公共角，根据相似三角形的判定定理求解即可求得答案．
【详解】解：∵
A
是公共角，
∴当
AED
B
或
:
:
AD AC
AE AB
等时，ADE
ABC
∽
．
故答案为：
AED
B
(答案不唯一)．
13．如图，点B，F，C，E 在同一条直线上，AB
DE
∥
，若使
ABC
DEF
∽
△
△
，则还需添加一个条件
是
．（只需填一个）
【答案】
A
D
（答案不唯一）
【分析】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定，属于中考常考题型．
根据两角对应相等两三角形相似判断即可．
【详解】解：若添加：
A
D
．
又∵AB
DE
∥
，
∴
B
E
，
∴
ABC
DEF
∽
△
△
．
故答案为：
A
D
（答案不唯一）．
14．如图，已知
CAE
BAD
，添加一个条件使ABC
ADE
∽
，你添加的条件是
．(写出一个
即可)
10
【答案】
B
D
（答案不唯一）
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，利用相似三角形的判定方法即可解答本题，熟练掌握相似三
角形的判定方法是解决此题的关键．
【详解】∵
CAE
BAD
，
∴
CAE
B
A
AE
AE
B D
B
，
∴
BAC
DAE
，
∴当
C
E
，
B
D
或AB
AC
AD
AE
时，
ABC
ADE
△
△
∽
，
故答案为：
B
D
（答案不唯一）．
15．如图，AB 与CD 相交于点O，连接AC ，BD ，添加一个条件，使
ACO
BDO
△
∽△
．你添加的条件
是
．
【答案】
A
B
（答案不唯一）
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定等知识点，由图可知
AOC
BOD
，所以要使
ACO
BDO
△
∽△
，
只需再添加一个对应角相等或其对应边成比例即可得解，熟练掌握相似三角形的判定定理是解决此题的关
键．
【详解】∵
AOC
BOD
（对顶角相等），
∴要使
ACO
BDO
△
∽△
，只需再添加一个对应角相等或其对应边成比例即可，
∴可以添加
A
B
，
故答案为：
A
B
（答案不唯一）．
16．如图，
ADE
、ABC
和3 张都标注一个条件的卡片．从这3 张卡片中随机一次性抽取2 张的结果，能
判断
ADE
ABC
△
△
∽
的概率为
．
11
【答案】2
3
【分析】本题考查了相似三角形的判定，概率等知识．利用相似三角形的判定方法依次判断可求解．
【详解】解：若1
2
，
D
B
，则
ADE
ABC
△
△
∽
；
若1
2
，AD
AE
AB
AC
，则
ADE
ABC
△
△
∽
；
若
D
B
，AD
AE
AB
AC
，则无法证明
ADE
ABC
△
△
∽
；
从这3 张卡片中随机一次性抽取2 张有3 种等可能结果，其中能判断
ADE
ABC
△
△
∽
的有两种，
能判断
ADE
ABC
△
△
∽
的概率为2
3 ，
故答案为：2
3 ．
题型03
用SSS 判定三角形相似
17．如图，在3 2
的正方形网格中，ABC
和EDF
的顶点都在正方形的格点处，则ABC
与EDF
的周长
之比是（
）
A．11：
B．1
2
：
C．1 2
：
D．
2
5
：
【答案】B
【分析】本题考查了勾股定理与网格问题，相似三角形的判定；根据勾股定理求得各边长，根据三边对应
成比例的两个三角形相似，即可求解．
【详解】解：设每个正方形网格的边长都为1，
则在ABC
中，
2
2
2
1
5
AB
，
2
2
1
1
2
AC
，
1
BC ，
12
在EDF
中，
2
2
1
1
2
DF
，
2
2
3
1
10
DE
，
2
EF
，
5
2
2
10
AB
DE
，
1
2
2
2
BC
DF
，
2
2
AC
DE
，
∴
2
2
AB
BC
AC
DE
DF
DE
，
∴
ABC
EDF
∽
△
△
，
ABC
与EDF
的周长之比为：1
2
：，
故选：B ．
18．如图，在4×4 的正方形网格中，是相似三角形的是（
）
A．①和②
B．②和③
C．①和③
D．无法确定
【答案】C
【分析】此题考查的是相似三角形的判定，掌握其判定定理是解决此题的关键．
根据两三角形相似的判定定理，三边对应成比例的两个三角形相似，即可解答．
【详解】解：设网格中每个小正方形的边长为1，
①中的三角形的各边长分别为2，
2 ，10 ，
③中的三角形的各边长分别为2 2 ，2，2 5 ，
2
2
10
2
2 2
2 5
，
这两个三角形的三边对应成比例
①中的三角形和③中的三角形相似，
故选C.
19．如图，小正方形的边长都为1，则图形中的阴影三角形相似的序号为
．
13
【答案】①②
【分析】本题是考查了三边对应成比例的两个三角形相似，掌握“三边对应成比例的两个三角形相似”这一知
识点是解决本题的关键．
分别求出每个三角形的三边长，若两个三角形的三边对应成比例，则这两个三角形相似．
【详解】解：①三边分别为：
2,2, 10 ，
②三边分别为：1,
2, 5 ，
③三边分别为：
2, 5,3，
④三边分别为：1, 5,2 2 ，
⑤三边分别为：2, 5, 13 ，
2
2
10
2
1
2
5
，
图形中的阴影三角形相似的序号为①②．
故答案为：①②．
20．如图，已知AB
AD
AC
AE
，下列添加的条件不能使
ABC
ADE
△
△
∽
的是（
）
A．
BAD
CAE
B．AB
AD
BC
DE
C．AB
AD
BD
CE
D．
ABD
ACE
【答案】D
【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质，熟记相似三角形的判定与性质是解题的关键．根据相似三
14
角形的判定定理判断求解即可．
【详解】解：∵
BAD
CAE
，
∴
BAC
DAE
，
∵AB
AD
AC
AE
，
∴AB
AC
AD
AE
，
∴
ABC
ADE
△
△
∽
，
故A 不符合题意；
∵AB
AD
BC
CE
，
∴AB
BC
AD
CE
，
∵AB
AC
AD
AE
，
∴AB
AC
BC
AD
AE
CE
，
∴
ABC
ADE
△
△
∽
，
故B 不符合题意；
∵AB
AD
BD
CE
，
∴AB
BD
AD
CE
，
∵AB
AC
AD
AE
，
∴AB
AC
BD
AD
AE
CE
，
∴ABD
ACE
∽
，
∴
BAD
CAE
，
∴
BAC
DAE
，
又AB
AC
AD
AE
，
∴
ABC
ADE
△
△
∽
，
故C 不符合题意；
15
由AB
AD
AC
AE
，
ABD
ACE
，不能判定
ABC
ADE
△
△
∽
，
故D 符合题意；
故选：D．
21．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，ABC
和
EFD
△
的顶点都在格
点上，则ABC
与
EFD
△
相似吗？请说明理由．
【答案】ABC
与
EFD
△
相似；理由见解析
【分析】本题主要考查了勾股定理，三角形相似的判定，解题的关键是熟练掌握三边对应成比例的两个三
角形相似．
【详解】解：ABC
与
EFD
△
相似，理由如下：
由勾股定理可得：
2
2
1
2
5
AB
，
2
2
2
4
2 5
AC
，
2
2
3
4
5
BC
，
2
2
1
1
2
EF
，
2
2
2
2
2 2
ED
，
2
2
3
1
10
DF
，
10
2
AB
AC
BC
EF
DE
DF
，
ABC
EFD
△
∽△
．
16
题型04
用SAS 判定三角形相似
22．如图，小正方形的边长均为1，则图中三角形（阴影部分）与ABC
相似的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】此题考查了相似三角形的判定以及勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定方法是解本题的关键．根
据网格中的数据求出
,
,
AB AC BC 的长，
135
ACB
，求出
:
2 : 2
BC AC
，利用两边对应成比例且夹角
相等的两三角形相似判断即可．
【详解】解：根据题意可得：
2
2
3
1
10,
2,
2
AB
BC
AC
，
135
ACB
；
:
2 : 2
BC AC
A．三角形中没有135角，图中的三角形（阴影部分）与ABC
不相似．
B．夹135的两边之比为：1:
2
2 : 2
，图中的三角形（阴影部分）与ABC
相似．
C．三角形中没有135角，图中的三角形（阴影部分）与ABC
不相似．
D．三角形中没有135角，图中的三角形（阴影部分）与ABC
不相似．
故答案为：B．
23．如图，在ABC
中，
80
A
，
8
AB
，
6
AC
，将ABC
沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形
与ABC
不相似的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】本题主要考查图形的相似，熟练掌握三角形相似的条件是解题的关键．根据题意分别判定即可．
【详解】解：两角分别相等的两个三角形相似，故选项A 中剪下的阴影三角形与ABC
相似，故选项A 不
17
符合题意；
两角分别相等的两个三角形相似，故选项B 中剪下的阴影三角形与ABC
相似，故选项B 不符合题意；
选项C 中剪下的阴影三角形与ABC
不相似，故选项C 符合题意；
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，故选项D 中剪下的阴影三角形与ABC
相似，故选项D 不符合
题意；
故选C．
24．如图，已知ABC
，
=60
B
，
6
AB
，
8
BC ．将ABC
沿图中的DE 剪开，剪下的阴影三角形与ABC
不相似的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．根据相似三角形
的判定逐一判断即可．
【详解】解：A、
C
C
，
60
DEC
B
，
DEC
ABC
∽
，
故A 不符合题意；
B、
C
C
，
CDE
B
，
CDE
CBA
∽
，
故B 不符合题意；
C、由图形可知，
6
2
4
BE
AB
AE
，
8
5
3
BD
BC
CD
，
4
1
8
2
BE
BC
，
3
1
6
2
BD
AB
，
BE
BD
BC
BA
，
18
又
B
B
，
BDE
BAC
∽
△
△
，
故C 不符合题意；
D、由已知条件无法证明
ADE
与ABC
相似，
故D 符合题意，
故选：D．
25．下列各组条件中，不能判定三角形ABC 与三角形A B C
相似的是（
）
A．
A
A
，
C
C
B．
A
A
，AB
BC
A B
B C
C．
90
A
A
，AB
BC
A B
B C
D．AB
BC
AC
A B
B C
AC
【答案】B
【分析】本题考查了相似三角形的判定．根据有两组角对应相等的两个三角形相似对A 进行判断；根据两
组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似对B 进行判断；根据直角三角形相似的判定方法对C
进行判断；根据三组对应边的比相等的两个三角形相似对D 进行判断．
【详解】解：A、
A
A
，
C
C
，能判定
ABC
A B C
∽
△
△
，本选项不符合题意；
B、
A
A
，AB
BC
A B
B C
，不能判定
ABC
A B C
∽
△
△
，本选项符合题意；
C、
90
A
A
，BC
AB
B C
A B
，能判定
ABC
A B C
∽
△
△
，本选项不符合题意；
D、AB
BC
AC
A B
B C
AC
，能判定
ABC
A B C
∽
△
△
，本选项不符合题意；
故选：B．
26．如图，点E ，F 分别在正方形ABCD的边BC ，CD 上，
3
BE
，
6
EC
，
2
CF
．求证：
ABE
ECF
△
△
∽
．
【答案】见解析
【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解题关键．根据正
方形的性质，得出
90
B
C
，
9
AB
CB
，进而得出AB
BE
EC
CF
，根据两边成比例且夹角相等的两个三角
形相似即可证明．
【详解】解：
3
BE
，
6
EC
，
19
9
BC
，
四边形ABCD是正方形，
9
AB
CB
，
90
B
C
，
9
3
6
2
AB
EC
，
3
2
BE
CF
，
AB
BE
EC
CF
又
90
B
C
，
ABE
ECF
∽
．
27．如图，点D 为ABC
边AB 上一点，
2
AD
，
6
BD
，
4
AC
．求证：
ACD
ABC
△
△
∽
．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定条件是解题关键．根据“如果两个
三角形的两组对应边成比例，并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似”证明结论即可．
【详解】解：∵
2
AD
，
6
BD
，
∴
8
AB
AD
BD
，
∴
2
1
4
2
AD
AC
，
4
1
8
2
AC
AB
，
∴AD
AC
AC
AB
，
又∵
A
A
，
∴
ACD
ABC
△
△
∽
．
28．如图，在平面直角坐标系内有两点
2,0
A
，
1 ,0
2
B
，CB 所在直线的方程为
2
y
x
b
，连接AC ．
20
(1)求b 的值；
(2)求证：
AOC
COB
△
∽△
．
【答案】(1)
1
b = - ；
(2)证明见解析．
【分析】（1）把
1 ,0
2
B
代入
2
y
x
b
即可求解；
（2 ）由
1
b = - 得直线的方程为
2
1
y
x
，求出
0, 1
C
，从而得
1
OC ，
2
OA
，
1
2
OB
，然后根据“两
组对边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”即可求证；
本题考查了待定系数法求一次函数解析式，相似三角形的判定，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】（1）∵
1 ,0
2
B
在直线
2
y
x
b
上，
∴
1
0
2
2
b
，
解得：
1
b = - ；
（2）由（1）得
1
b = - ，
∴CB 所在直线的方程为
2
1
y
x
，
当
0
x
时，
1
b = - ，
∴
0, 1
C
，
∵
2,0
A
，
1 ,0
2
B
，
∴
1
OC ，
2
OA
，
1
2
OB
，
∴
:
:
2:1
OC OB
OA OC
，
又
90
AOC
COB
，
∴
AOC
COB
△
∽△
．
题型05
用AA 判定三角形相似
29．在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：
甲：将边长为6、8、10 的三角形按图1 的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三
角形与原三角形相似．
乙：将邻边为6 和10 的矩形按图2 的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形
与原矩形也相似．
21
对于两人的观点，下列说法正确的是（
）
A．甲对，乙不对
B．甲不对，乙对
C．两人都对
D．两人都不对
【答案】A
【分析】本题考查相似三角形的判定、相似多边形的判定，根据题意得，A B
AB
∥
，A C
AC
∥
，B C
BC
∥
，
可得
A
A
，
B
B
，即可证得
ABC
A B C
∽
△
△
；再根据题意得
=
= 8
A B
C D
，
=
= 12
A D
B C
，
可得AB
AD
A B
A D
，可知新矩形与原矩形不相似，即可求解．
【详解】解：甲：根据题意得，A B
AB
∥
，A C
AC
∥
，B C
BC
∥
，
∴
A
A
，
B
B
，
∴
ABC
A B C
∽
△
△
，
∴甲说法正确；
乙：根据题意得，
6
AB
DC
，
10
AD
BC
，则
=
= 6
2 = 8
A B
C D
，
=
=10
2 =12
A D
B C
，
∴
6
3
=
=
=
8
4
AB
CD
A B
C D
，
10
5
=
=
=
12
6
AD
BC
A D
B C
，
∴AB
AD
A B
A D
，
∴新矩形与原矩形不相似，
∴乙说法不正确；
故选：A．
30．如图，在
ABCD
中，E 为AB 边上一点，连接
,
CE F 为CE 上一点，连接DF ，且
DFE
A
．求证：
DCF
CEB
△
∽△
．
22
【答案】见解析
【分析】本题考查相似三角形的判定和平行四边形的性质，由平行四边形的性质得DC
AB
∥
，
180
A
B
，
得到
DCF
BEC
，然后由
DFE
A
，
180
DFE
DFC
得到
DFC
B
，然后根据相似三角形
的判定可得结论．
【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC
AB
∥
，
180
A
B
，
∴
DCF
BEC
，
∵
DFE
A
，
180
DFE
DFC
，
∴
DFC
B
，
∴
DCF
CEB
△
∽△
．
31．如图，在Rt
ABC
△
中，
90
ACB
，CD
AB
，垂足为D ，E 为BC 上一点，连接AE ，作EF
AE
交AB 于F ．求证：
AGC
EFB
△
∽△
．
【答案】证明见解析．
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，由CD
AB
，EF
AE
得到
90
FDG
FEG
，求出
BFE
DGE
，根据相似三角形的判定得到结论即可，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．
【详解】∵CD
AB
，EF
AE
，
∴
90
FDG
FEG
，
∴
360
90
90
180
DGE
DFE
，
∵
180
BFE
DFE
，
∴
BFE
DGE
，
又
DGE
AGC
，
∴
AGC
BFE
，
23
又
90
ACB
FEG
，
∴
180
90
90
AEC
BEF
90
AEC
EAC
，
∴
EAC
BEF
，
∴
AGC
EFB
△
∽△
．
32．如图，AC 为平行四边形ABCD的对角线，且AC 平分
BCD
；点E 在AC 的延长线上，
E
ABC
．
(1)求证：四边形ABCD是菱形．
(2)求证：ACD
BAE
∽
．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据角平分线的定义及平行线的性质得
BCA
DCA
BAC
，BC
BA
，从而即可得证；
（2）由菱形的性质可得，
DAC
BAE
ABC
D
，
．则
D
E
．由
DAC
BAE
，
D
E
，证
明三角形相似即可．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD
AB
∥
，
∴
BAC
DCA
，
∵AC 平分
BCD
，
∴
BCA
DCA
BAC
，
∴BC
BA
，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴
DAC
BAE
ABC
D
，
，
∵
E
ABC
，
∴
D
E
，
∵
DAC
BAE
，
D
E
，
∴
ACD
ABE
∽
△
△
．
24
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等角对等边，菱形的判定及性质，相似三角形的判定．解题的关
键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
33．如图，四边形ABCD是正方形，点G 为边CD 上一点，连接AG 并延长，交BC 的延长线于点F，连接BD
交AF 于点E，连接EC ．求证：
(1)
DAE
DCE
；
(2)
EGC
ECF
△
∽△
．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定．
（1）证明
ADE
CDE
≌
△
△
，即可；
（2）根据平行得到
F
DAE
DCE
，再根据
CEG
CEF
，即可得证．
掌握正方形的性质，证明三角形全等和相似，是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵正方形ABCD，
∴
,
45
AD
CD
ADB
CDE
，
又DE
DE
，
∴
ADE
CDE
≌
△
△
，
∴
DAE
DCE
；
（2）∵正方形ABCD，
∴AD
BC
∥
，
∴
F
DAE
DCE
，
又
CEG
CEF
，
∴
EGC
ECF
△
∽△
．
34．如图，ABC
和DEF
是两个全等的等腰直角三角形，
90
BAC
EDF
，DEF
的顶点E 与ABC
的斜边BC 的中点重合，将DEF
绕点E 旋转，旋转过程中，线段DE 与线段AB 相交于点P ，线段EF 与射
线CA 相交于点Q ．
25
(1)如图①，当点Q 在线段AC 上，且AP
AQ
时，求证：
BPE
CQE
△
≌△
；
(2)如图②，当点Q 在线段CA 的延长线上时，求证：
BPE
CEQ
△
∽△
．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定、三角形的外
角性质．
（1）由ABC
是等腰直角三角形，易得
45
B
C
∠
，AB
AC
，又由AP
AQ
，E 是BC 的中点，利用
SAS ，可证得：
BPE
CQE
△
≌△
；
（2）由ABC
和DEF
是两个全等的等腰直角三角形，易得
45
B
C
DEF
，然后利用三角形的外
角的性质，即可得
BEP
EQC
，则可证得：
BPE
CEQ
△
∽△
．
【详解】（1）证明：
ABC
是等腰直角三角形，
45
B
C
，AB
AC
，
AP
AQ
，
BP
CQ
，
E
是BC 的中点，
BE
CE
，
在BPE
和
CQE
△
中，
BE
CE
B
C
BP
CQ
，
SAS
BPE
CQE
≌
；
（2）证明：
ABC
和DEF
是两个全等的等腰直角三角形，
45
B
C
DEF
，
26
BEQ
EQC
C
，
即
BEP
DEF
EQC
C
，
45
45
BEP
EQC
，
BEP
EQC
，
BPE
CEQ
∽
．
1．如图，ABC
的高BD 、CE 相交于H ，连结DE ，则图中相似三角形的对数是（
）
A．5 对
B．6 对
C．7 对
D．8 对
【答案】D
【分析】本题考查了相似三角形的判定，圆的有关知识，用相似三角形的判定方法可判定
ABD
ACE
HBE
HCD
∽
∽
∽
．DEH
CBH
∽
，
ADE
ABC
△
△
∽
，即可求解
【详解】解：∵ABC
的高BD 、CE 相交于点O，
∴
90
BEC
BDC
，
∵
=
BHE
CHD
，
∴
ABD
ACE
，
∵
A
A
，
∴
ABD
ACE
∽
△
△
∵
ABD
HBE
，
BEH
BDA
，
∴
HBE
ABD
∽
．
同理可得HCD
ACE
∽
，
∴ABD
ACE
HBE
HCD
∽
∽
∽
共6 对，
∵
BEC
BDC
，
∴点B，点C，点D，点E 四点共圆∶
27
∴
EDH
BCH
，
DEC
DBC
，
180
ACB
BED
∴DEH
CBH
∽
，
∵
180
BED
AED
，
∴
ACB
AED
，
又∵
A
A
，
∴
ADE
ABC
△
△
∽
故选D．
2．如图，在Rt ABC
中，
90
ABC
E
F
，、
分别为AC
BC
、
的中点，连接EF
H
，
为AE 的中点，过点H
作HD
AC
，交BC 于点D，连接DE ，则与ABC
相似（不含ABC
）的三角形个数为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【分析】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
由三角形中位线定理可得EF
AB
∥
，可得
CEF
CAB
∽
△
△
，由有两组角对应相等的两个三角形相似可证
CAB
CDH
∽
，可得结论．
【详解】解：∵E 、F 分别为AC 、BC 的中点，
∴EF
AB
∥
，
∴
CEF
CAB
∽
△
△
，
∵HD
AC
，
∴
90
DHC
ABC
，
又∵
C
C
，
∴CAB
CDH
∽
，
故选：B．
3．如图，在Rt ABC
中，
90
ABC
，E、F 分别为AC 、BC 的中点，连接EF ，H 为AE 的中点，过点H
作HD
AC
，交BC 于点D，连接DE ，则与ABC
相似(不含ABC
)的三角形个数为（
）
28
A．1
B．4
C．8
D．2
【答案】D
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定等知识点，由三角形中位线定理可得EF
AB
∥
，可得
CEF
CAB
∽
△
△
，由有两组角对应相等的两个三角形相似可证CAB
CDH
∽
，可得结论，掌握相似三角形
的判定方法是解题的关键．
【详解】∵E、F 分别为AC 、BC 的中点，
∴EF
AB
∥
，
∴
CEF
CAB
∽
△
△
，
∵HD
AC
，
∴
90
DHC
ABC
，
又∵
C
C
，
∴CAB
CDH
∽
，
故选：D．
4．如图，八个完全相同的小长方形拼成一个正方形网格，连结小长方形的顶点所得的四个三角形中是相似
三角形的是（
）
A．①与③
B．①与④
C．②与③
D．②与④
【答案】B
【分析】本题考查相似三角形的判定，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．设小长方形的
29
长为2a ，宽为a．利用勾股定理求出三角形的三边长即可判断．
【详解】由题意可知：小长方形的长是宽的2 倍，
设小长方形的宽为a，则长为2a ，
∴图①中的三角形三边长分别为2a 、
2
2
2
2
(2 )
(2 )
2 2 , (2 )
(4 )
2 5
a
a
a
a
a
a
；
图②中的三角形三边长分别为2a ，
2
2
2
2
(2 )
(3 )
13 ,
(3 )
(4 )
5
a
a
a
a
a
a
；
图③中的三角形三边长分别为2a ，
2
2
2
2
(2 )
(4 )
2 5 , (4 )
(4 )
4 2
a
a
a
a
a
a
；
图④中的三角形三边长分别为
2
2
2
2
(2 )
( )
5 ,
( )
(3 )
10
a
a
a
a
a
a
、
2
2
(3 )
(4 )
5
a
a
a
，
∴①和②图中三角形不相似；
∵2
13
5
2
2 5
4 2
a
a
a
a
a
a
∴②和③图中三角形不相似；
∵2
2 2
2 5
2
2 5
4 2
a
a
a
a
a
a
∴①和③图中三角形不相似；
∵2
2 2
2 5
2 5
5
5
5
10
a
a
a
a
a
a
∴①和④图中三角形相似．
故选：B
5．如图，在ABC
中，点D、E 分别在边AB
AC
、
上，则下列条件中：①
B
AED
；②DE
BC
∥
；③AD
AE
AC
AB
；
④AD BC
DE AC
，能使得以A，D，E 为顶点的三角形与ABC
相似的条件有（
）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】C
30
【分析】本题考查的是相似三角形的判定．根据相似三角形的判定定理对各条件进行逐一判断即可．
【详解】解：①
B
AED
A
A
，
，则ADE
ACB
∽
，故①符合题意；
②DE
BC
∥
，则
ADE
ABC
△
△
∽
，故②符合题意；
③AD
AE
AC
AB
，且夹角
A
A
＝
，则ADE
ACB
∽
，故③符合题意；
④由AD BC
DE AC
可得AD
DE
AC
BC
，此时不确定
ADE
ACB
=
，故④不符合题意，
故选：C．
6．如图，点P 、Q 分别是等边三角形ABC 的两边AC 、BC 上两点，AQ 、BP 相交于点O，连结OC ．若
AP
CQ
，则下列结论错误的是(
)
A．
2
OQ
OA
B．ABP≌CAQ
C．
60
BOQ
D．AOP∽BAP
【答案】A
【分析】本题考查了全等三角形出的性质与判定，等边三角形的性质，相似三角形的判定；先证明
SAS
ABP
ACQ
≌
，根据全等三角形的性质，以及三角形的外角的性质即可得出
BOQ
的度数是60，进
而根据
60
,
AOP
BOQ
BAP
APO
BPA
，证明
APO
BPA
△
∽△
，即可求解．
【详解】如图，在等边ABC
中，AB
AC
，
60
BAC
C
，
在ABP
与CAQ
中，
AB
AC
BAP
CAQ
AP
CQ
，
SAS
ABP
ACQ
≌
；故B 选项正确
ABP
CAQ
，
60
BOQ
ABO
BAQ
CAQ
BAQ
BAC
，
即
BOQ
的度数是60，故C 选项正确，
60
,
AOP
BOQ
BAP
APO
BPA
，
APO
BPA
△
∽△
，故D 选项正确，
31
无法判断
2
OQ
OA
，故A 选项错误
故选：A．
7．数学课上，老师提出下面的问题：如图，在ABC
中，
90
ABC
，请用直尺和圆规在AC 上确定点D，
使
ABD
△
与ABC
相似．下面是四个学生的不同作法，根据作图痕迹可以判断，作法正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】本题考查尺规作图、相似三角形的判定．
根据作图痕迹判断即可．
【详解】若使
ABD
△
与ABC
相似，
则
90
ADB
BDC
ABC
，
即BD 是AC 的垂线，
故选：C．
8．已知在ABC
与A B C
中，点D
D
、
分别在边BC
B C
、
上，
（点D 不与点B
C
、
重合，点D¢不与点B
C
、
重合）．如果
ADC
△
与
A D C
△
相似，点A
D
、
分别对应点A
、D ，那么添加下列条件可以证明ABC
与
A B C
相似的是（
）
①AD
A D
、
分别是ABC
与A B C
的角平分线；
②AD
A D
、
分别是ABC
与A B C
的中线；
③AD
A D
、
分别是ABC
与A B C
的高．
A．①②
B．②③
C．①③
D．①②③
【答案】A
【分析】本题考查添加条件证明三角形相似，根据
ADC
△
与
A D C
△
相似，可得
C
C
，DAC
D A C
，
AC
DC
A C
D C
，再根据相似三角形的判定方法逐项判断即可．
【详解】解：
ADC
△
与
A D C
△
相似，点A
D
、
分别对应点A
、D ，
32
C
C
，
DAC
D A C
，AC
DC
A C
D C
，
①AD
A D
、
分别是ABC
与A B C
的角平分线时：
2
BAC
DAC
，
2
B A C
D A C
，
BAC
B AC
，
又
C
C
，
ABC
A B C
∽
；故①正确；
②AD
A D
、
分别是ABC
与A B C
的中线时，
2
BC
DC
，
2
B C
D C
，
BC
DC
B C
D C
，
AC
BC
A C
B C
，
又
C
C
，
ABC
A B C
∽
；故②正确；
③AD
A D
、
分别是ABC
与A B C
的高时，现有条件不足以证明ABC
A B C
∽
，故③错误；
综上可知，添加①或②时，可以证明ABC
与A B C
相似
故选A．
9．要在已知ABC
上用直尺和圆规截取出一个新的三角形，使之与原ABC
相似．以下是甲、乙两人的作
法：
甲：如图1，分别以点A，C 为圆心，同样长度为半径画弧，交
,
,
AB BC AC 于点F，D，E；以F 点为圆心，
以D、E 间的距离为半径画弧，与先画的弧交于点G；作射线AG ，交BC 边与点H．则HBA
即为所求；
乙：如图2，分别以点A，B，C 为圆心，大于1
2
AC 的同样长度为半径画弧，所画弧分别交于点D，E，F，
G；分别作直线DE 和FG ，直线DE 和FG 分别交
,
AB AC 于点M，N；连接MN ．则AMN
即为所求．对于
甲、乙两人的作法，下列判断正确的是（
）
A．甲、乙两人的作法都正确
B．甲、乙两人的作法都错误
C．甲的作法正确，乙的作法错误
D．甲的作法错误，乙的作法正确
【答案】A
【分析】本题考查了尺规作一个角等于已知角，作线段垂直平分线，相似三角形的判定；
33
由甲作图可知
BAH
C
，结合
B
B
可得HBA
ABC
∽
；由乙作图可得
1
2
AM
AN
AB
AC
，结合
A
A
可得HBA
ABC
∽
．
【详解】解：由甲作图可知
BAH
C
，
∵
B
B
，
∴HBA
ABC
∽
；
由乙作图可知DE 垂直平分AB ，FG 垂直平分AC ，
∴
1
2
AM
AN
AB
AC
，
又∵
A
A
，
∴
AMN
ABC
△
∽△
；
∴甲、乙两人的作法都正确，
故选：A．
10．如图，在ABC
中，点E 在AB 边上，已知AC
BD
∥
，添加一个条件，使BDE
ABC
∽
．你添加的条
件是
．
【答案】
D
ABC
（答案不唯一）
【分析】此题考查了本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法．已知
AC
BD
∥
，得到
BAC
ABD
，则可以再添加
D
ABC
从而利用有两组角对应相等的两个三角形相似
来判定或添加夹此角的两边对应成比例也可以判定．
【详解】解：添加的条件是
D
ABC
，
AC
BD
∥
，
BAC
ABD
，
D
ABC
，
BDE
ABC
∽
，
故答案为：
D
ABC
（答案不唯一）．
11．如图，在等腰直角ABC
中，
4
AB
BC
，D 为BC 上一点，E 为BC 延长线上一点，且
45
DAE
∠
，
2
AE
AD
，则BD
．
34
【答案】4
2 2
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，添加辅助
线，构造相似三角形是解题的关键．过点E 作EH
AC
，交AC 的延长线于点H，先证明BAD
HAE
∽
，
得到
8
AH
，
2
HE
BD
，同时计算
4 2
AC
，因此得到
8
4 2
CH
，再证明
8
4 2
HE
CH
，即可
得到答案．
【详解】过点E 作EH
AC
，交AC 的延长线于点H，
90
B
，
4
AB
BC
，
45
ABC
ACB
，
2
4 2
AC
AB
，
45
DAE
，
BAD
HAE
∠
，
90
B
H
，
BAD
HAE
∽
，
AB
BD
AD
AH
HE
AE
，
2
AE
AD
，
2
8
AH
AB
，
2
HE
BD
，
8
4 2
CH
AH
AC
，
45
ECH
ACB
，
45
CEH
ECH
∠
，
8
4 2
HE
CH
，
1 (8
4 2)
4
2 2
2
BD
．
故答案为：4
2 2
．
12．如图，在ABC
中，D 为边AB 上任意一点，利用尺规作图法，在边AC 上找一点E ，使得DEA
BCA
∽
.
35
（不写作法，保留作图痕迹）
【答案】见解析
【分析】本题主要考查相似三角形，以点B 为圆心，任意长度为半径画弧，交AB 于M ，交BC 于N ，以点
D 为圆心，以相同的半径画弧，再以MN 为半径画弧，两弧交于点F ，连接DF 并延长，交AC 于E ，则
ADE
ABC
∠
∠
，结合
A
A
可得DEA
BCA
∽
．
【详解】解：如图，
ADE
即为所作，
．
13．如图，已知
A
A
，AB
BC
A B
B C
，
ABC
A B C
∽
△
△
吗？请说明理由．若不相似，请添加一个条件，
使这两个三角形一定相似．
【答案】不相似，
B
B
或
C
C
或AB
AC
A B
A C
【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，即可得出答案，
熟练掌握相似三角形的判定定理是解此题的关键．
【详解】解不一定相似，因为
A
，
A
不是成比例的两边的夹角，
可添加：
B
B
或
C
C
或AB
AC
A B
A C
．
14．如图，在由若干个小正方形组成的网格图中，ABC
的顶点均在格点上．请仅用无刻度的直尺完成以下
作图（保留作图痕迹，不写作法）．
36
(1)在图①中ABC
的外部作FEC
，使ABC
FEC
∽
；
(2)在图②中，作ABC
绕点A 顺时针旋转一定角度后，各个顶点仍在格点上的
AB C
△
．
【答案】(1)作图见解析；
(2)作图见解析．
【分析】（1）延长AC 至点E ，使得
2 2
EC
，延长BC 至点F ，使得
3 2
2
FC
，连接EF ，得到FEC
，
则FEC
即为所求；
（2 ）根据旋转的性质作图即可；
本题考查了作相似三角形，作旋转后的图形，掌握相似三角形的判定和旋转的性质是解题的关键．
【详解】（1）解：如图①所示，FEC
即为所求．
理由：∵
2 2
EC
，
3 2
2
FC
，
∴
2
BC
AC
EC
FC
，
又∵
ACB
ECF
，
∴ABC
FEC
∽
；
（2）解：如图②所示，
AB C
△
即为所求．
37
15．如图，在平行四边形ABCD中，过点A 作AE
BC
，垂足为E ，连接DE ，F 为线段DE 上一点，且
90
AFE
BAE
．
求证：
ADF
DEC
∽
△
△
．
【答案】证明见解析
【分析】本题考查了相似三角形的判定，平行四边形的性质，余角性质，由四边形ABCD为平行四边形得
到AD
BC
∥
，
BAD
C
，得到
180
B
BAD
°，
ADF
CED
，由AE
BC
得到
90
B
BAE
，
又由
90
AFE
BAE
得到
B
AFE
，进而可得到
BAD
AFD
，即可得到
AFD
C
，进而得到
ADF
DEC
∽
△
△
，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
【详解】证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD
BC
∥
，
BAD
C
，
∴
180
B
BAD
°，
ADF
CED
，
∵AE
BC
，
∴
90
AEB
，
∴
90
B
BAE
，
∵
90
AFE
BAE
，
∴
B
AFE
，
∵
180
AFE
AFD
，
∴
BAD
AFD
，
∴
AFD
C
，
∵
ADF
CED
，
AFD
C
，
38
∴
ADF
DEC
∽
△
△
．
16．如图，矩形ABCD中，
2
BC
AB
，点M 是BC 的中点，连接AM ．将ABM
沿着AM 折叠后得APM
，
延长AP 交CD 于E ，连接ME ．
(1)求证：ME 平分
PMC
．
(2)求证：EMC
MAB
∽
．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）可推出CM
BM
PM
，
90
C
B
APM
EPM
，进而推出PEM
CEM
≌
，从而得出
CME
PME
，从而ME 平分
PMC
；
（2）可推出
90
AMB
CEM
，
90
BAM
AMB
，从而
BAM
CME
，进一步得出结论．
【详解】（1）证明：四边形ABCD是矩形，
90
B
C
，
点M 是BC 的中点，
BM
CM
，
将ABM
沿着AM 折叠后得
APM
△
，
PM
BM
，
90
MPE
APM
B
，
PM
CM
，
MPE
C
，
EM
EM
，
(SAS)
PEM
CEM
≌
，
CME
PME
，
ME
平分
PMC
．
（2）证明：由折叠可得：
AMB
AMP
，
由（1）得：
CME
PME
，
180
AMB
AMP
PME
CME
，
39
90
AMB
CME
，
90
B
C
，
90
BAM
AMB
，
BAM
CME
，
EMC
MAB
∽
．
【点睛】本题考查了矩形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定，角平分
线等知识，解决问题的关键是转化条件和集中条件．
17．如图，在Rt
ABC
△
中，
90
ACB
，CD 是ABC
的中线，作AE
CD
于点E．
(1)求证：
ACE
BAC
∽
△
△
；
(2)若
5
AC
，
1
CE ，求CD 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
5
2
CD
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定、相似三角形的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的判定
与性质等知识点，证得
ACE
BAC
∽
△
△
是解题的关键．
（1）根据直角三角形斜边上中线等于斜边的一半可得AD
CD
，再根据等腰三角形的性质可得
CAD
ACD
；再说明
90
AEC
ACB
，最后根据两组对应角相等的三角形是相似三角形即可证明
结论；
（2）根据相似三角形的性质可得CA
CE
AB
AC
，进而得到
5
AB
，最后根据直角三角形斜边上中线等于斜边
的一半即可解答．
【详解】（1）证明：
CD
是ABC
的中线，
90
ACB
，
AD
CD
，即
CAD
ACD
，
AE
CD
，
90
AEC
ACB
，
ACE
BAC
∽
．
（2）解：
ACE
BAC
∽
△
△
，
40
CA
CE
AB
AC
，即
5
1
5
AB
，
5
AB
，
CD
是ABC
的中线，
1
5
2
2
CD
AB
．
