文档文本内容
1
第02 讲矩形的性质与判定
课程标准
学习目标
①探索并证明矩形的性质定理；
②探索并证明矩形的判定定理；
③理解矩形、菱形、正方形之间的包含关系．
1. 矩形的定义；
2. 矩形的性质；
3. 矩形的判定；
4. 斜边的中线等于斜边的一半．
知识点一：矩形的定义
2
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
知识点二：矩形的性质
矩形的性质包括四个方面：
1.矩形具有平行四边形的所有性质；
2.矩形的对角线相等；
3.矩形的四个角都是直角；
4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴.
结论：
（1）矩形是特殊的平行四边形，因而也是中心对称图形.过中心的任意直线可将矩形分成完全全等的两部
分.
（2）矩形也是轴对称图形，有两条对称轴（分别通过对边中点的直线）.对称轴的交点就是对角线的交点
（即对称中心）.
（3）矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质，从而矩形的性质可以归结为从三个方面
看：从边看，矩形对边平行且相等；从角看，矩形四个角都是直角；从对角线看，矩形的对角线互相平分
且相等.
知识点三：矩形的判定
矩形的判定有三种方法：
1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
2.对角线相等的平行四边形是矩形.
3.有三个角是直角的四边形是矩形.
结论：在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判定平行四边形是矩形.
题型01
用矩形的性质求角度
1．如图，在矩形ABCD中，E 是AD 边上的一点，且BC
BE
，
40
ABE
，求
ECD
的度数．
2．如图，延长矩形ABCD的边BC 至点E ，使CE
BD
，连结AE ，若
60
ADB
，则
E
．
3．如图，矩形ABCD的对角线AC
BD
、
交于点O，点E 在线段BC 上，若BO
BE
，
128
AOD
，则
OEC
的度数为
．
3
4．如图，矩形ABCD的对角线AC 与BD相交于点O，过点O作OE
BD
，交CD 于点E ，连接BE ．若
20
COE
，则
ABD
度．
题型02
用矩形的性质求线段长
5．如图，矩形ABCD的对角线
,
AC BD 交于点O，若
60 ,
3
AOB
AB
，则AC 的长为（
）
A．3
B．4
C．5
D．6
6．如图，矩形ABCD的对角线AC ，BD 交于点O，
8
AB
，
6
BC
，过点O 作OE
AC
，交AB 于点E，
过点E 作EF
BD
，垂足为点F，则OE
EF
的值为（
）
A．12
5
B．24
5
C．32
5
D．48
5
7．如图，在矩形ABCD中，
4
AB
，
6
BC
，M 为BC 中点，连接AM ，过D 作DE
AM
于E ，则DE 的
长度为
．
4
8．如图，矩形ABCD中，
6
AB
，
8
AD
，对角线AC 、BD 相交于点O，点P 是线段AD 上任意一点，且
PE
AC
于点E ，PF
BD
于点F ，则PE
PF
的值是
．
题型03
用矩形的性质求面积
9．已知矩形的一边是其对角线的一半，对角线长为6cm，则此矩形的面积为（
）
A．
2
18cm
B．
2
36cm
C．
2
18 3cm
D．
2
9 3cm
10．如图，矩形ABCD和矩形BDEF ，点A 在EF 上，设矩形ABCD的面积为
1S ，矩形BDEF 的面积为
2S ，
则
1S 和
2S 的大小关系是（
）
A．
1
2
S
S
=
B．
1
2
S
S
C．
1
2
S
S
D．
1
2
3
2
S
S
11．数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边
的直线，则所容两长方形面积相等（如图）”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了《海
岛算经》九题古证，下列结论一定成立的是（
）
①
ABC
ADC
S
S
△
△
；②
AEF
ANF
S
S
△
△
；③
NFGD
EFMB
S
S
矩形
矩形
；④
AEF
NFGD
S
S
矩形
A．②③④
B．①②④
C．①②③
D．①②③④
12．如图，点O是矩形ABCD的对称中心，E ，F 分别是边AB ，CD 上的点，且BE
DF
，已知矩形ABCD
的面积是32，那么图中阴影部分的面积为
．
5
题型04
用矩形的性质证明
13．如图，在矩形ABCD中，对角线AC 、BD相交于点O，过点D 作
∥
DE
AC ，交BC 的延长线于点E．求
证：BD
DE
．
14．如图，已知矩形ABCD，过点C 作CE
BD
∥
交AB 的延长线于点E ．求证：AC
EC
．
15．如图，菱形ABCD对角线交于点O，BE
AC
AE
BD
∥
，
∥
，EO与AB 交于点F．
(1)试判断四边形AEBO 的形状，并说明你的理由；
(2)求证：EO
DC
．
16．如图，在矩形ABCD中，
6cm
AB
，
8cm
BC
，E 、F 是对角线AC 上两个动点，分别从A、C 同时
出发相向而行，速度均为2cm / 秒，运动时间为t 秒，0
5
t
．
(1)若G 、H 分别是AB 、CD 的中点，当0
2.5
t
时，求证：四边形EGFH 是平行四边形；
(2)若G 、H 分别是AB 、CD 的中点，当t _________时；四边形EGFH 是矩形；
(3)若G 、H 分别是折线A
B
C
，C
D
A
上的动点，以与E 、F 相同的速度分别从A、C 和E 、F 同时
6
出发，当t _________时；四边形EGFH 是菱形；
题型05
平面直角坐标系中的矩形
17．如图，四边形OABC 为矩形，点A，C 分别在x 轴和y 轴上，连接AC，点B 的坐标为(4,3) ，∠CAO
的平分线与y 轴相交于点D，则点D 的坐标为（
）
A．
5
0, 2
B．(0,2)
C．
3
0, 2
D．
4
0, 3
18．如图，矩形ABCD的顶点( )
1,0
A
，
0,2
D
，
5,2
B
，将矩形以原点为旋转中心，顺时针旋转75°之后
点C 的坐标为（
）
A．
4, 2
B．
4
2, 2
2
C．
4
2, 2
D．
2 6, 2 2
19．如图，在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的顶点
2,1
A
，
2,4
C
，点B 在y 轴上，则点B 的坐标
为
．
20．如图，在矩形OACB 中，点A 、B 分别在x 轴、y 轴正半轴上，点C 在第一象限，
8
OA ，
6
OB
．点F
在BC 上，连接AF ，把
ACF
△
沿着AF 折叠，点C 刚好与线段AB 上一点C重合．
7
(1)请直接写出点C 的坐标．
(2)求线段CF 的长度．
题型06
矩形的折叠
21．将一张矩形纸片ABCD如图所示折叠，使顶点C 落在C点．已知
2
AB
，
30
DEC
，则折痕DE 的
长为（
）
A．2
B．2
3
C．4
D．1
22．如图，在矩形ABCD中，对角线AC ，BD交于点O，E 是BC 上一点，沿DE 折叠，点C 恰好落在点O
处，则
DBC
的度数为（
）
A．15
B．22.5
C．30
D．45
23．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的边CO，OA分别在x 轴，y 轴上，点E 在边BC 上，将该矩
形沿AE 折叠，点B 恰好落在边OC 上的F 处．若
8
OA ，
4
CF
，则点E 的坐标是（
）
8
A．( 10,3)
B．( 9,3)
C．( 10,2.5)
D．( 9,2.5)
24．如图，已知BD 是矩形ABCD的对角线，
6
AB
，
8
BC ，点E，F 分别在边AD ，BC 上，连接BE ，DF ．将
ABE
沿BE 翻折，将DCF
沿DF 翻折，若翻折后，点A，C 分别落在对角线BD上的点G，H 处，连接GF ．则
HG
．
题型07
直角三角形斜边上的中线
25．如图，在ABC
中，
90 ,
BAC
D
是边BC 的中点，若
6,
10
AC
BC
，则AD 的长是（
）
A．4
B．5
C．6
D．8
26．如图，一根长5 米的梯子AB 斜靠在与地面OC 垂直的墙上，点P 为AB 的中点，当梯子的一端A 沿墙面
AO 向下移动，另一端B 沿OC 向右移动时，OP 的长（
）
9
A．逐渐增大
B．逐渐减小
C．不变
D．先增大，后减小
27．如图所示，DE 为ABC
的中位线，点F 在DE 上，且
90
AFB
，若
6
AB
，
8
BC ，则EF 的长为
．
28．如图，在Rt
ABC
△
中，
90
ABC
，D 、E 、F 分别为AB 、BC 、CA 的中点，若
3
DE ，则BF
．
题型08 矩形的判定与证明
29．如图，在
ABCD
中，AC ，BD 是两条对角线，如果添如一个条件，可推出
ABCD
是矩形，那么这
个条件可以是（
）
A．AB
CD
B．AC
BD
C．AC
BD
D．AB
BD
30．在平行四边形ABCD中，添加下列条件，不能使四边形ABCD为矩形的是（
）
A．
90
A
B．AC
BD
C．
A
B
D．
A
C
31．如图，已知
ABED
，延长AD 到C ，使得AD
DC
，若AB
BC
，连接BC 、CE ，BC 交DE 于点F ．
求证：四边形BECD 是矩形；
10
32．如图，将
ABCD
的边DC 延长到点E ，使CE
DC
，连接AE ，交BC 于点F ，连接AC 、BE ．
(1)求证：四边形ABEC 是平行四边形；
(2)若AE
AD
，求证：四边形ABEC 是矩形．
题型09 矩形的性质与判定的综合应用
33．如图，D 是ABC
内部一点，AC
BD
，且
8
AC
，
6
BD
，依次取AB ，BC ，CD ，AD 的中点，
并顺次连接得到四边形MNPQ，则四边形MNPQ的面积是（
）
A．12
B．16
C．24
D．48
34．在ABC
中，
26
AB
AC
，
20
BC
，点D 在ABC
内，且BD
CD
，
=90
BDC
，E
F
G
H
、、、
分
别是AB
AC
BD
CD
、
、
、
的中点，则四边形EFHG 的面积为
．
11
35．如图，在梯形ABCD中，
,
90
AB
DC
BCD
∥
，F 为DC 上一点，且FC
AB
，E 为AD 上一点，EC
交AF 于点G．
(1)求证：四边形ABCF 是矩形；
(2)若ED
EC
，求证：EA
EG
．
36．如图，在
ABCD
中，AE
BC
于点E，延长BC 至点F，使CF
BE
，连接DF ，AF 与DE 交于点O．
(1)求证：四边形AEFD 为矩形；
(2)若
3
AB ，
2
OE
，
5
BF ，求DF 的长．
37．如图，矩形ABCD中，
6
AB
，
4
AD
，E 为CD 边的中点，F 为线段AE 上一点，若
CFE
DAE
，
则EF 的长为（
）
A．6
5
B．7
5
C．8
5
D．2
12
38．在矩形ABCD中，E，F，G，H 分别是边AB ，BC ，CD ，DA 上的点（不与端点重合），对于任意矩
形ABCD．①存在无数个四边形EFGH 是平行四边形；②存在无数个四边形EFGH 是矩形；③有且仅有一
个四边形EFGH 是菱形．结论中正确的是（
）
A．①②
B．②③
C．①③
D．①②③
39．如图，在矩形ABCD中，
3
AB ，
4
BC
，连接BD ，将ABE
沿BE 折叠，使点A 对应点G 落在BD上，
将CDF
沿DF 折叠，使C 对应点H 也落在BD上，连接EH ，FG ，则四边形EHFG 面积为（
）
A．1
B．1.5
C．2
D．2.5
40．如图，矩形ABCD中，
3
AB ，
4
BC
，连接BD．按以下步骤作图：①以点B 为圆心，以BC 的长为
半径作弧，交BD于点E，连接CE 交AD 于点E；②以点B 为圆心，适当长为半径画弧，分别交BD，BC 于
点M，N，再分别以点M，N 为圆心，大于1
2 MN 长为半径画弧交于点Q，作射线BQ 交CD 于点H，则线段
CF 的长为（
）
A．10
B．11
C．2 3
D．4
41．在矩形ABCD中，对角线AC
BD
、
相交于点O，AE 平分
BAD
交BC 于点E ，
15
CAE
，连接OE ，
则下面的结论中正确的有（
）
①
DOC
△
是等边三角形；②
BOE
△
是等腰三角形；③
3
BC
AB
；④
135
AOE
；⑤
AOE
BOE
S
S
△
△
．
13
A．2 个
B．3 个
C．4 个
D．5 个
42．如图，在矩形ABCD中，
3
AB ，点E 在AD 上，
1
DE ．若EC 平分
BED
，则BC 的长为
．
43．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点B 的坐标为
3, 1
，则对角线AC 的长为
．
44．如图，矩形ABCD中，
1
AB ，以点B 为圆心，BC 的长为半径画弧，交AD 于点F，交BA 的延长线于
点E，若点F 是弧CE 的中点，则图中阴影部分的面积为
．
45．如图，在矩形ABCD中，E 为对角线AC 上与A
C
，
不重合的一个动点，过点E 作EF
AB
与点F，EG
BC
于点G，连接DE
FG
，
，若
3
4
AB
BC
，
，则FG 的最小值
．
14
46．如图，在矩形ABCD中，点E 在BC 边上，且AE
AD
，过点D 作DF
AE
于点F．
(1)求证：DF
DC
；
(2)若
6
BE
，
4
CE
，求DF 的长．
47．如图，
ABCD
，AE 平分
BAC
交BC 于点E
(1)用无刻度的直尺作图：在AD 上找点F 使CF 平分
ACD
（保留作图痕迹，不写作法），并证明CF 平分
ACD
(2)在（1）的条件下，给ABC
添加一个条件，使四边形AECF 是矩形，你添加的条件是_____________
48．如图，四边形ABCD的对角线AC 与BD 相交于点O，AD
BC
∥
，
90
ABC
，有下列条件：
①AB
CD
∥
，②AD
BC
．
(1)请从以上①②中任选1 个作为条件，求证：四边形ABCD是矩形；
(2)在（1）的条件下，若
3
AB ，
5
AC
，求四边形ABCD的面积．
49．在
ABCD
中，E ，F 为BC 上的两点，且BE
CF
，AF
DE
．
15
(1)求证：
ABF
DCE
≌
△
△
；
(2)求证：
ABCD
是矩形；
(3)连接AE ，若AF 是
BAD
的平分线，
2
BE
，
30
AF
，求四边形ABCD的面积．
50．阅读材料，回答问题：
（1）中国古代数学著作《周髀算经》有着这样的记载：“勾广三，股修四，经隅五”．这句话的意思是：“如
果直角三角形两直角边为3 和4 时，那么斜边的长为5．”上述记载表明了：在在Rt ABC
中，如果
90
C
，
BC
a
，AC
b
，AB
c
，那么a，b，c 三者之间的数量关系是：_______________________；
利用此数量关系解决以下问题：
（2）我国古代的数学名著《九章算术》中有这样一道题目“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去
本八尺而索尽．问索长几何？”译文为“今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木
柱下垂后，堆在地面的部分尚有3 尺，牵索沿地面退行，在离木柱根部8 尺处时，绳索用尽．问绳索长是
多少？”示意图如图所示，设绳索AC 的长为x 尺，根据题意，可列方程为_____________________；
（3）如图，把矩形ABCD折叠，使点C 与点A 重合，折痕为EF ，如果
4
8
AB
BC
，
，求BE 的长．
16
51．【定义新知】
定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果
原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”．如图1，在四边形ABCD中，
对角线AC 与BD 垂直且相等，点E，F，G，H 分别为边AB
BC
CD
DA
，
，
，
的中点，则四边形ABCD为“中
方四边形”．
【概念理解】
（1）下列四边形中一定是“中方四边形”的是．
A．平行四边形；
B．矩形；
C．菱形；
D．正方形．
【问题解决】
（2）如图2，以锐角ABC
的两边AB
AC
，
为边长，分别向外侧作正方形ABDE 和正方形ACFG ，连接
BE
EG
GC
，
，
．求证：四边形BCGE 是“中方四边形”；
【拓展应用】
（3）如图3，已知四边形ABCD是“中方四边形”，M，N 分别是AB
CD
，
的中点．连接MN
BD
，
，试探索BD
与MN 的数量关系，并说明理由．
17
52．在矩形ABCD中，
9
AB
，
12
BC
，E，F 是对角线AC 上的两个动点，点E，F 分别从点A，C 同时
出发，相向而行，速度均为每秒1 个单位长度，运动时间为
0
15
t
t
秒，G，H 分别是AD ，BC 的中点，
连接GE ，GF ，HE ，HF ．
(1)四边形EGFH 的形状一定是______（点E，F 相遇时除外）．
(2)当四边形EGFH 为矩形时，请求出t 的值．
(3)若点G 向点D 运动，点H 向点B 运动，且与点E，F 以相同的速度同时出发，当四边形EGFH 为菱形时，
请直接写出t 的值．
18
