1
第03 讲正方形的性质与判定
课程标准
学习目标
1
理解正方形的概念以及它与其它四边形
之间的关系；
2
正方形既是矩形，又是菱形;理解矩
形、菱形、正方形之间的包含关系．
1. 正方形的定义；
2. 正方形的性质；
3. 正方形的判定；
知识点一：正方形的定义
四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.
补充：既是矩形又是菱形的四边形是正方形，它是特殊的菱形，又是特殊的矩形，更为特殊的平行四边形，
正方形是有一组邻边相等的矩形，还是有一个角是直角的菱形.
【即学即练】
1．矩形、菱形、正方形都具有的性质是（
）
2
A．对角线互相平分
B．对角线互相垂直
C．对角线相等
D．对角线互相垂直平分且相等
【答案】A
【分析】本题主要考查了正方形、矩形、菱形的性质，矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，因而
平行四边形的性质就是四个图形都具有的性质．
【详解】解：矩形、菱形、正方形都是平行四边形，都具有的性质是：对角线互相平分．
故选：A．
2．在复习特殊的平行四边形时，某小组同学画出了如下关系图，组内一名同学在箭头处填写了它们之间
转换的条件，其中填写错误的是（
）
A．①有一个角是直角
B．②有一组邻边相等
C．③对角线互相垂直
D．④对角线互相平分
【答案】D
【分析】本题考查矩形，菱形，正方形的判定，由矩形，菱形，正方形的判定，即可判断．
【详解】解：A、有一个角是直角的平行四边形是矩形，正确，故A 不符合题意；
B、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，正确，故B 不符合题意；
C、对角线互相垂直的矩形是正方形，正确，故C 不符合题意；
D、对角线互相平分在菱形不是正方形，故D 错误，符合题意，
故选：D．
知识点二：正方形的性质
正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质.
1.边——四边相等、邻边垂直、对边平行；
2.角——四个角都是直角；
3.对角线——①相等，②互相垂直平分，③每条对角线平分一组对角；
4.是轴对称图形，有4 条对称轴；又是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心.
【即学即练】
3．已知正方形ABCD中，
2cm
AC
，则AB 的长为（
）
A．1cm
B．2cm
C．
2cm
D．3cm
【答案】C
3
【分析】利用正方形的性质可得AB
BC
，
90
ABC
，再利用勾股定理进行计算即可．
【详解】解：∵正方形ABCD中，
2cm
AC
，
∴AB
BC
，
90
ABC
，
∴
2
2
2
2
2
4
AB
BC
AB
AC
，
解得：
2
AB
，（负根舍去）
故选C
【点睛】本题考查的是正方形的性质，勾股定理的应用，熟记勾股定理的含义是解本题的关键．
4．如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，
AOB
的度数是
．
【答案】90/90 度
【分析】本题考查了正方形的性质，熟悉掌握正方形的性质是解题的关键．
根据正方形对角线相互垂直的特点求解即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AC
BD
，
∴
90
AOB
；
故答案为：90．
5．如图，已知正方形ABCD的边长为4cm ，则图中阴影部分的面积为
2
cm ．
【答案】8
【分析】根据正方形的面积公式求出结果即可．
【详解】解：∵图中阴影部分的面积之和正好等于正方形面积的一半，且正方形的边长为4cm ，
∴图中阴影部分的面积为：
2
2
1
4
8 cm
2
S
．
4
故答案为：8．
【点睛】本题主要考查了正方形面积的计算，根据图形得出阴影部分的面积正好为正方形面积的一半，是
解题的关键．
6．正方形的一条边长是4，那么它的面积是
，对角线长是
．
【答案】
16
4 2
【分析】（1）利用正方形面积等于边长的平方求解；
（2）利用勾股定理求对角线长．
【详解】解：如图，
在正方形ABCD 中，
4
AB
BC
CD
DA
，
90
DAB
，
因此它的面积为：4 4
16
，
对角线长为：
2
2
2
2
4
4
4 2
BD
AB
AD
，
故答案为：16，4 2 ．
【点睛】本题考查正方形的性质及勾股定理，熟练应用勾股定理是解题的关键．
知识点三：正方形的判定
正方形的判定除定义外，判定思路有两条：或先证四边形是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等
（即矩形）；或先证四边形是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直（即菱形）.
【即学即练】
7．已知在四边形ABCD中，AC 与BD 相交于点O，那么下列条件中能判定这个四边形是正方形的是
（
）
A．AC
BD
，AB
CD
，AB
CD
B．AD
BC
∥
，
A
C
C．AO
BO
CO
DO
，AC
BD
D．AO
CO
，BO
DO
，AB
BC
【答案】C
【分析】本题考查的知识点是正方形的判定，解题关键是熟练掌握正方形的判定方法．
根据正方形的判定：对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形进行分析从而得到最后的答案．
【详解】解：A 选项，不能，只能判定为矩形，A 选项错误；
B 选项，不能，只能判定为平行四边形，B 选项错误；
C 选项，能，可判定为正方形，C 选项正确；
5
D 选项，不能，只能判定为菱形，D 选项错误．
故选：C ．
8．四边形ABCD 中，AC、BD 相交于点O，能判别这个四边形是正方形的条件是（
）
A．OA＝OB＝OC＝OD，AC⊥BD
B．AB∥CD，AC＝BD
C．AD∥BC，∠A＝∠C
D．OA＝OC，OB＝OD，AB＝BC
【答案】A
【分析】根据正方形的性质以及判定定理对各项进行分析即可．
【详解】A. OA＝OB＝OC＝OD，AC⊥BD，能判定；
B. AB∥CD，AC＝BD，不能判定；
C. AD∥BC，∠A＝∠C，不能判定；
D. OA＝OC，OB＝OD，AB＝BC，不能判定；
故答案为：A．
【点睛】本题考查了正方形的判定问题，掌握正方形的性质以及判定定理是解题的关键．
9．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC
BD
、
相交于点O，
2
AC
BO
，且BD 为
ABC
的平分线，
求证：平行四边形ABCD为正方形．
【答案】详见解析
【分析】先证明
90
ABC
，则平行四边形ABCD为矩形，再证明BC
CD
，即可得到结论．
【详解】证明：四边形ABCD为平行四边行，
AB
CD
∥
，
2
2
AC
AO
CO
，
ABD
CDB
，
∵
2
AC
BO
，
∴AO
BO
CO
，
∴
,
BAO
ABO
BCO
OBC
，
∴
1
1 180
90
2
2
ABC
ABO
OBC
ABO
OBC
BAO
BCO
，
平行四边形ABCD为矩形，
BD
为
ABC
的平分线，
6
ABD
DBC
，
∴
CDB
DBC
，
BC
CD
，
∴平行四边形ABCD为正方形
【点睛】此题考查了平行四边形的性质、矩形的判定、正方形的判定、等角对等边等知识，熟练掌握正方
形的判定是解题的关键．
题型01 用正方形的性质求角度
例：如图，点E 在正方形ABCD的内部，且在对角线BD 的上方，连接AE 、DE ，若
BAE
ADE
，则
AED
的度数为（
）
A．80
B．85
C．90
D．95
【答案】C
【分析】本题考查正方形的性质，根据正方的性质，同角的余角，进行求解即可．
【详解】解：∵正方形ABCD，
∴
90
BAD
，
∴
90
BAE
DAE
，
∵
BAE
ADE
，
∴
90
ADE
DAE
，
∴
90
AED
；
故选C．
【变式训练】
11．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边
ADE
，则
BAE
为（
）
7
A．145
B．150
C．155
D．160
【答案】B
【分析】本题题主要考查了正方形和等边三角形的性质，由四边形ABCD是正方形，
ADE
是正三角形可
得
90 ,
60
BAD
DAE
，即可得答案．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴
90
BAD
，
又∵
ADE
是正三角形，
∴
60
DAE
，
∴
90
60
150
BAE
．
故选：B．
12．如图正方形ABCD 中以CD 为边向外作等边三角形CDE，连接AE、AC，则∠CAE 度数为(
)
A．15°
B．30°
C．45°
D．20°
【答案】B
【分析】由正方形的性质可知∠CAD 的度数,由等边三角形的性质可知∠CDE 的度数,由角度变形求出∠
DAE 的度数即可求出∠CAE．
【详解】∵四边形ABCD 为正方形,
∴DA=DC,∠CAD=45°,∠ADC=90°．
∵△CDE 为等边三角形,
∴DE=DC,∠CDE=60°,
∴DA=DE,∠ADE=90°+60°=150°,
∴∠DAE=∠DEA,∴∠DAE=
1
2 (180°﹣150°)=15°,
∴∠CAE=45°﹣15°=30°．
8
故选：B．
【点睛】本题考查正方形和等边三角形的性质,关键在于角度的推导和变化．
13．如图，在正方形ABCD内作等边三角形AED ，连接BE
CE
，
，则
BEC
的度数为（
）
A．150
B．175
C．120
D．135
【答案】A
【分析】本题考查了正方形、等边三角形的性质以及等腰三角形的性质等知识，先根据正方形、等边三角
形的性质得出AB
AD
AE
，
90
BAD
ABC
，
60
DAE
，从而可求出
BAE
的度数，然后利用
等边对等角和三角形内角和定理可求出
ABE
的度数，最后根据角的和差关系求解即可.
【详解】解：∵在正方形ABCD内作等边三角形AED ，
∴AB
AD
AE
，
90
BAD
ABC
，
60
DAE
，
∴
30
BAE
BAD
DAE
∠
∠
∠
，
∵AB
AE
，
∴
180
75
2
BAE
ABE
AEB
，
∴
360
75
75
60
150
BEC
，
故选：A．
题型02 用正方形的性质求面积
例：如图，正方形ABCD的面积为4，点E ，F ，G ，H 分别为边AB ，BC ，CD ，AD 的中点，则四边
形EFGH 的面积为
．
【答案】2
【分析】本题考查正方形性质，线段中点的性质，根据正方形性质和线段中点的性质得到
1
HD
DG
，
进而得到
DGH
S
，同理可得
1
2
AHE
EFB
CGF
S
S
S
，最后利用四边形EFGH 的面积正方形ABCD的面积
9
4
个小三角形面积求解，即可解题．
【详解】解：正方形ABCD的面积为4，
2
AB
BC
CD
AD
，
90
D
Ð
=
°，
点E ，F ，G ，H 分别为边AB ，BC ，CD ，AD 的中点，
1
HD
DG
，
1
1
1 1
2
2
DGH
S
，
同理可得
1
2
AHE
EFB
CGF
S
S
S
，
四边形EFGH 的面积为
1
1
1
1
4
2
2
2
2
2
．
故答案为：2．
【变式训练】
15．如图，E ，F 是正方形ABCD的对角线AC 上的两点，
8
AC
，
2
AE
CF
，则四边形BEDF 的面
积是
．
【答案】16
【分析】本题考查了正方形的性质，菱形的判定，菱形的面积，解题的关键是连接BD，根据对角线互相
平分证明四边形BEDF 是平行四边形．连接BD 交AC 于点O，则可证得OE
OF
，OD
OB
，可证四边形
BEDF 为平行四边形，且BD
EF
，可证得四边形BEDF 为菱形．
【详解】解：如图，连接BD 交AC 于点O，
四边形ABCD为正方形，
BD
AC
，OD
OB
OA
OC
，
10
2
AE
CF
，
OA
AE
OC
CF
，即OE
OF
，
四边形BEDF 为平行四边形，且BD
EF
，
四边形BEDF 为菱形，
DE
DF
BE
BF
，
8
AC
BD
，
8
2
2
4
EF
AC
AE
CF
，
菱形BEDF 的面积
1
1
4 8
16
2
2
EF
BD
，
故答案为：16．
16．如图，正方形中有一个由若干个长方形组成的对称图案，其中正方形边长是80cm ，则图中阴影图形
的周长是（
）
A．440cm
B．320cm
C．280cm
D．160cm
【答案】A
【分析】本题考查平移的性质，利用平移的性质将阴影部分的周长转化为边长是80cm 的正方形的周长加
上边长是80cm 的正方形的两条边长再减去2 20cm
，由此解答即可．
【详解】解：由图可得：阴影部分的周长为边长是80cm 的正方形的周长加上边长是80cm 的正方形的两条
边长再减去2 20cm
，
阴影图形的周长是：4 80
2 80
2 20
440cm
，
故选：A．
17．如图，阴影部分是两个正方形，其他三个图形是一个正方形和两个直角三角形，则阴影部分的面积之
和为（
）
11
A．36
B．42
C．55
D．25
【答案】D
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用以及根据正方形的性质求面积，设阴影部分的小正方形边长为a，
阴影部分的大正方形边长为b，白色正方形的边长为C．根据题意有
2
2
2
a
b
c ，又
2
2
2
13
12
25
c
，
即可得出答案．
【详解】解：设阴影部分的小正方形边长为a，阴影部分的大正方形边长为b，白色正方形的边长为C．
则阴影部分的面积为：
2
2
a
b
,
根据题意有：
2
2
2
a
b
c ，
又∵
2
2
2
13
12
25
c
，
∴
2
2
2
25
a
b
c
，
故阴影部分的面积之和为：25 ．
故选：D．
18．将两个边长为a 的小正方形放置在边长为b 的大正方形内，三个正方形均重叠部分的面积记为
1S ，无
重叠部分的面积记为
2S ，如图所示，若a 和b 分别是一等腰直角三角形的一条直角边和斜边的长，则
1S 与
2S 的大小关系是（
）
A．
1S ＝
2S
B．
1S ＜
2S
C．
1S ＞
2S
D．无法确定
【答案】A
【分析】求出
1
(2
)
S
a
a
b
，
2
(
)
S
b b
a
，而
2
b
a
，故
2
2
1
(2
2 )
2
2
S
a
a
a
a
a
，
2
2
2
2 ( 2
)
2
2
S
a
a
a
a
a
，即得
1
2
S
S
=
．本题考查正方形的性质，解题的关键是用含a 的代数式表示
1S ，
2S ．
【详解】解：由图可知，
1
(2
)
S
a
a
b
，
2
(
)
S
b b
a
，
a
和b 分别是一等腰直角三角形的一条直角边和斜边的长，
12
2
2
2
b
a
a
a
，
2
2
1
(2
)
(2
2 )
2
2
S
a
a
b
a
a
a
a
a
，
2
2
2
(
)
2 ( 2
)
2
2
S
b b
a
a
a
a
a
a
，
1
2
S
S
；
故选：A．
19．如图，正方形ABCD的边长为4，则图中阴影部分的面积之和为
．
【答案】8
【分析】本题考查正方形的性质，轴对称的性质，将阴影面积转化为三角形面积是解题的关键，学会利用
转化的思想思考问题．根据正方形的轴对称的性质可得阴影部分的面积等于正方形的面积的一半，然后列
式进行计算即可得解．
【详解】解：由图可知：阴影部分的面积之和
1
1
4 4
8
2
2
ABCD
S
正方形
；
故答案为：8．
题型03 用正方形的性质求线段长
例：如图，正方形ABCD的边长为4cm ，将该正方形沿AC 方向平移
2 cm，得到正方形A B C D
，A D
交CD 于点E ，A B
交BC 于点F ，则A E
的长为
cm．
【答案】3
【分析】本题考查了平移的性质，正方形的性质，勾股定理．连接DD，则DD
AC
A C
∥
∥
，得出
D DE
是等腰直角三角形，进而即可求解．
【详解】解：如图所示，连接DD，则DD
AC
A C
∥
∥
，
13
∴
45
EDD
ED D
ACD
，
∴D DE
是等腰直角三角形，
依题意，
2
DD
，
1
DE
D E
，
又
4
A D
AD
，
∴
4 1
3 cm
A E
A D
D E
，
故答案为：3 ．
【变式训练】
21．如图，边长为4 的正方形ABCD中，E，F 分别为边AD ，AB 上的点，连接BE ，CF ．若DE
BF
，
则BE
CF
的最小值是
．
【答案】4 5
【分析】本题考查了正方形的性质，轴对称最短路径问题，勾股定理，全等三角形的性质与判定，正确作
出辅助线是解题的关键．
如图所示，作D 关于直线AB 的对称点D¢，连接D F
，DF ，先证明ABE
ADF
≌
得到BE
DF
，则
BE
D F
，从而推出当C、F、D¢三点共线时，CF
D F
有最小值，即BE
CF
有最小值，最小值为CD，
由此求解即可．
【详解】解：如图所示，作D 关于直线AB 的对称点D¢，连接D F
，DF ，
14
∴DF
D F
，AD
AD
，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB
AD
CD
，
90
ADC
，
∵DE
BF
，
∴AE
AF
，
∵
FAD
EAB
，
∴
SAS
ABE
ADF
≌
，
∴BE
DF
，
∴BE
D F
，
∴BE
CF
CF
D F
，
∴当C、F、D¢三点共线时，CF
D F
有最小值，即BE
CF
有最小值，最小值为CD，
在Rt
D DC
△
中，
2
2
4 5
CD
DD
CD
．
故答案为：4 5 ．
22．在平面直角坐标系中放置了一个边长为
5 的正方形，如图所示，点B 在y 轴上，且坐标是
0,2 ，点
C 在x 轴上，则点C 的坐标为
；点D 的坐标为
．
【答案】
1,0
(3,1)
【分析】本题考查了坐标与图形性质，勾股定理，正方形的性质，全等三角形的判定和性质；
求出
1
OC ，过点D 作DE
x
轴于点E ，证明
AAS
OBC
ECD
≌
，得到
1
DE
OC
，
2
CE
OB
，
求出
3
OE 即可解决问题．
15
【详解】解：∵
5
BC
，
0,3
B
，
∴
2
OB
，
∴
2
2
1
OC
BC
OB
，
∴
1,0
C
，
如图，过点D 作DE
x
轴于点E ；
四边形ABCD为正方形，
90
BCD
，BC
CD
，而
90
BOC
，
90
OBC
OCB
OCB
DCE
，
OBC
DCE
；
在
OBC
△
与ECD
中，
90
OBC
ECD
BOC
CED
BC
CD
，
AAS
OBC
ECD
≌
，
1
DE
OC
，
2
CE
OB
∴
3
OE
OC
CE
，
点D 的坐标为
3,1 ，
故答案为：
1,0 ；
3,1 ．
23．如图，设四边形ABCD是边长为1 的正方形，以对角线AC 为边作第二个正方ACEF 再以对角线AE 为
边作第三个正方形AEGH ，如此下去，则第n 个正方形的边长为
．
16
【答案】
1
( 2)n
【分析】首先求出AC 、AE 、HE 的长度，然后归纳命题中隐含的数学规律，即可解决问题．本题主要考
查图形的变化规律，利用勾股定理找出
na 的规律是解题的关键．
【详解】解：四边形ABCD是正方形，
1
AB
BC
，
90
B
Ð
=
°，
2
2
2
AC
AB
BC
，
即
2
2
1
1
2
AC
，
同理可求：
2
( 2)
AE
，
3
( 2)
HE
，
..．
第n个正方形的边长为
1
( 2)n
na
，
故答案为：
1
( 2)n．
题型04 用正方形的性质证明
例：如图，四边形ABCD、DEFG 都是正方形，连接AE 、CG ．求证：
(1) AE
CG
；
(2) AE
CG
．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形内角和定理的应用，解题的关
键是根据三角形全等的判定方法，证明ADE
CDG
≌
．
（1）利用正方形的性质得AD
CD
，GD
ED
，再利用SAS 得ADE
CDG
≌
，即可证明AE
CG
；
17
（2）由（1）知
CGD
AED
，再结合条件证得
90
GNM
，即AE
CG
．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD、DEFG 都是正方形，
∴AD
CD
，GD
ED
，
∵
90
CDG
ADG
，
90
ADE
ADG
，
∴
CDG
ADE
，
在
ADE
和CDG
中，
AD
CD
ADE
CDG
DE
GD
，
∴
SAS
ADE
CDG
≌
，
∴AE
CG
；
（2）解：设AE 与DG 相交于点M ，AE 与CG 相交于点N ，
∵ADE
CDG
≌
，
∴
CGD
AED
，
又∵
GMN
DME
，
∴
90
GNM
MDE
，
∴AE
CG
．
【变式训练】
25．如图，在正方形ABCD中，点E ，F 在对角线AC 上，且AE
CF
，连接ED ，DF ，以及BE ，
BF ．求证：四边形BEDF 为菱形．
【答案】见详解
18
【分析】本题考查正方形的性质，平行四边形的判定，菱形的判定．连接BD交AC 于点O，由四边形
ABCD是正方形得
,
OB
OD OA
OC
，由AE
CF
得OE
OF
，故四边形BEDF 是平行四边形，再由对角
线互相垂直即可．
【详解】证明：如图，连接BD交AC 于点O，
四边形ABCD是正方形
,
OB
OD OA
OC
AE
CF
OE
OF
四边形BEDF 是平行四边形
四边形ABCD是正方形
AC
BD
平行四边形BEDF 是菱形．
26．如图，在正方形ABCD中，点E 在BC 上，连接AE ．
(1)用尺规完成以下基本作图：过点B 作AE 的垂线，分别与AE
CD
，
交于点F，G．（不写作法和证明，保
留作图痕迹）
(2)在（1）所作的图形中，求证：AE
BG
．
【答案】(1)详见解析
(2)详见解析
【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，垂线的尺规作图：
（1）根据垂线的尺规作图方法作图即可；
（2）只需要证明ABE
BCG
≌
即可证明结论．
【详解】（1）如图所示，BG 即为所求；
19
（2）证明∶∵四边形ABCD是正方形，
90
ABC
BCD
AB
BC
，
．
90
ABC
，
90
BAE
AEB
．
BF
AE
，
90
BFE
，
90
CBG
AEB
，
BAE
CBG
．
在ABE
和BCG
中．
ABE
BCG
AB
BC
BAE
CBG
，
，
，
∴
ASA
ABE
BCG
≌
，
∴AE
BG
．
27．已知：如图，ABC
中，
90
ABC
，BD 是
ABC
的平分线，DE
AB
于点E，DF
BC
于点
F．求证：四边形DEBF 是正方形．
【答案】见解析
【分析】本题考查了矩形的判定，正方形的判定，角平分线的性质，解题关键是掌握正方形的判定方法，
并利用角平分线的性质证得DE
DF
＝
．由DE
AB
，DF
BC
得
90
DEB
DFB
，结合已知
90
ABC
，根据矩形的判定“有三个角是直角的四边形是矩形”，可得四边形BEDF 为矩形，再根据角平
分线的性质“角平分线上的点到角的两边的距离相等”，可得DE
DF
＝
，然后根据正方形的判定“一组邻边相
20
等的矩形是正方形”，即可证得结论．
【详解】证明：∵DE
AB
，DF
BC
，
∴
90
DEB
DFB
，
又∵
90
ABC
，
∴四边形BEDF 为矩形，
∵BD 是
ABC
的平分线，且DE
AB
，DF
BC
，
∴DE
DF
，
∴矩形BEDF 为正方形．
题型05 正方形的判定
例：如图，在四边形ABCD中，对角线AC
BD
、
相交于点O
AB
CD
BAC
ACD
，
，
，延长BC 至点E，
使CE
BC
，连接DE ．
(1)当AC
BD
时，求证：
2
BE
CD
；
(2)当AC
BC
，且
2
CE
CO
时，求证：四边形ACED是正方形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查平行线的判定，特殊四边形的判定和性质，掌握特殊四边形的判定定理和性质定理是解
题关键．
（1）根据平行线的性质可证BA
CD
∥
，结合题意可证四边形ABCD为菱形，即得出BC
CD
，再结合
CE
BC
，即得出
2
BE
CD
；
（2）由（1）可知四边形ABCD为平行四边形，即得出OA
OC
，AD
BE
，AD
BC
．再结合题意即证
明四边形ACED是正方形．
【详解】（1）证明：∵
BAC
ACD
，
∴BA
CD
∥
．
∵AB
CD
，
∴四边形ABCD为平行四边形．
∵AC
BD
，
21
∴平行四边形ABCD为菱形，
∴BC
CD
．
∵CE
BC
，
∴
2
BE
CD
；
（2）证明：如图，AC
BC
，
2
CE
CO
，
由（1）可知四边形ABCD为平行四边形，
∴OA
OC
，AD
BE
，AD
BC
．
∵CE
BC
，
∴AD
CE
，
∴四边形ADEC 为平行四边形．
∵
2
CE
CO
，
∴CE
AC
，
∴平行四边形ACED为菱形．
∵AC
BC
，
∴
90
ACE
，
∴菱形ACED为正方形．
【变式训练】
28．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列说法正确的是（
）
A．若AB
BC
，则▱ABCD是菱形
B．若AC
BD
，则▱ABCD是正方形
C．若AC
BD
，则▱ABCD是矩形
D．若AB
AD
，则▱ABCD是正方形
【答案】C
22
【分析】此题考查了菱形，矩形，正方形的判定方法，对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形．
根据已知及各个特殊四边形的判定方法对各个选项进行分析从而得到最后答案．
【详解】解：A 、错误，有一个角为90的平行四边形是矩形；
B、错误，对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
C、正确，对角线相等的平行四边形是矩形；
D、错误，一组邻边相等的平行四边形是菱形；
故选：C．
29．在矩形ABCD中，对角线AC 与BD 交于点Q，请添加一个条件：
使得矩形ABCD是正方形．（只写
一个）
【答案】AB
BC
（答案不唯一）
【分析】本题考查正方形的判定，根据有一组邻边相等或对角线互相垂直的矩形是正方形添加条件．
【详解】解：根据有一组邻边相等或对角线互相垂直的矩形是正方形，得到应该添加的条件为：AB
BC
或BC
CD
或CD
DA
或DA
AB
或AC
BD
，
故答案为：AB
BC
（答案不唯一）．
30．如图，在
ABCD
中，E、M 分别为AD
AB
、
的中点，DB
AD
，延长ME 交CD 的延长线于点N，连
接AN ．
(1)证明：四边形AMDN 是菱形；
(2)当DAB
满足什么条件时，四边形AMDN 是正方形，说明理由．
【答案】(1)见解析
(2) DAB
是等腰直角三角形时，四边形AMDN 是正方形，理由见解析
【分析】（1）由平行四边形的性质可得DC
AB
，可得
DAM
NDA
，可证NED
MEA
≌
，可得
AM
ND
，可证四边形AMDN 是平行四边形，由直角三角形的性质可得AM
MD
，可得四边形AMDN
是菱形；
（2）由菱形的性质可得
45
DAB
ADM
，可得AM
DM
，则四边形AMDN 是正方形．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC
AB
，
23
∴
DAM
NDA
，
∵E 为AD 中点，
∴DE
AE
，
在NED
和MEA
中，
NDE
EAM
DE
AE
NED
MEA
，
∴
ASA
NED
MEA
≌
，
∴AM
ND
，
∵CD
AB
，
∴四边形AMDN 是平行四边形，
∵BD
AD
，M 为AB 的中点，
∴AM
DM
MB
，
∴四边形AMDN 是菱形；
（2）解：当DAB
是等腰直角三角形时，四边形AMDN 是正方形，理由如下：∵四边形AMDN 是菱形，
∴AM
DM
，
∵DAB
是等腰直角三角形，
∴
45
DAB
ADM
，
∴
AMD
90
，
∴菱形AMDN 是正方形．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，正方形的判定，直角三角形斜边中线
的性质，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键．
题型06 正方形性质与判定
例：如图，在矩形ABCD中，
BAD
的平分线AE 交BC 于点E，EF
AD
于点F，DG
AE
⊥
于点G，DG
与EF 交于点O．
24
(1)求证：四边形ABEF 是正方形；
(2)若AD
AE
，
2
AB
，
①求AG 的长；
②求OF 的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)①2；②2 2
2
【分析】（1）根据角平分线的性质证得EF
EB
，根据正方形的判定即可证得结论；
（2）①根据三角形全等的判定证得
AGD
ABE
≌△
△
，由全等三角形的性质即可得到结论；②由（1）知，
四边形ABEF 是正方形，得出
2
AF
AB
．由（2）（ⅰ）知，
AGD
ABE
≌△
△
，
2
DG
EB
AB
AF
AG
，求出
45
DAG
ADG
，勾股定理得出
2 2
AD
，得出
2 2
2
DF
．再证明
45
FDO
FOD
，即可得出
2 2
2
OF
DF
．
【详解】（1）证明：四边形ABCD是矩形，
90
BAF
ABE
．
EF
AD
，
四边形ABEF 是矩形．
AE
平分
BAD
，
EF
EB
，
四边形ABEF 的正方形．
（2）解：（ⅰ）
AE
平分
BAD
，
DAG
BAE
．
在
AGD
△
和ABE
中，
DAG
EAB
AGD
ABE
AD
AE
，
(AAS)
AGD
ABE
≌
△
△
，
AB
AG
，
2
AG
AB
．
（ⅱ）由（1）知，四边形ABEF 是正方形，
2
AF
AB
．
由（2）（ⅰ）知，
AGD
ABE
≌△
△
，
25
2
DG
EB
AB
AF
AG
，
2 2
AD
，
45
DAG
ADG
，
2 2
2
DF
．
EF
AD
，
45
FDO
FOD
，
2 2
2
OF
DF
．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，正方形的性质和判定，等腰直角三角形性质和判定，角平分线的性
质，勾股定理，掌握全等三角形和勾股定理是解决问题的关键．
【变式训练】
33．如图，在四边形ABCD中，
90
A
B
，
8
AB
BC
，
6
AD
，E 是边AB 上一点，且
45
DCE
，则DE 的长度是（
）
A．8
B．7.4
C．7
D．6.8
【答案】D
【分析】本题考查了正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，作CG
AD
于G ，延长
DG 至F ，使GF
BE
，证明四边形ABCG 为正方形，得出
8
AG
BC
，
90
BCG
，BC
CG
，证明
SAS
EBC
FGC
≌
以及
SAS
ECD
FCD
≌
，得出ED
DF
，设ED
x
，则
2
EB
FG
DF
DG
x
，
再由勾股定理计算即可得出答案．
【详解】解：如图，作CG
AD
于G ，延长DG 至F ，使GF
BE
，
∵
90
A
B
CGA
，AB
BC
，
∴四边形ABCG 为正方形，
26
∴
8
AG
BC
，
90
BCG
，BC
CG
，
∵
6
AD
，
∴
8
6
2
DG
AG
AD
，
∵BC
CG
，
B
CGF
，BE
FG
，
∴
SAS
EBC
FGC
≌
，
∴CE
CF
，
ECB
FCG
，
∵
45
DCE
，
∴
45
BCE
DCG
DCG
FCG
，
∴
DCE
DCF
，
∵CE
CF
，
DCF
DCE
，DC
DC
，
∴
SAS
ECD
FCD
≌
，
∴ED
DF
，
设ED
x
，则
2
EB
FG
DF
DG
x
，
∴
8
2
10
AE
AB
BE
x
x
，
在Rt
AED
△
中，
2
2
2
AE
AD
DE
，
∴
2
2
2
10
6
x
x
，
解得：
6.8
x
，
∴
6.8
DE
，
故选：D．
34．矩形ABCD第一次沿AE 折叠得到四边形ABEF ，展开后第二次沿MN 折叠，使得点C 与点F 重合．若
12
AD
，
8
AB
，则MB
．
【答案】2
【分析】本题考查矩形与折叠，勾股定理，根据矩形和折叠的性质，得到四边形ABEF 为正方形，求出
4,
8
DF
CE
EF
，设
CM
FM
x ，在Rt
FEM
△
中，利用勾股定理求出x 的值，进一步求出BM 的长
27
即可．
【详解】解：∵矩形ABCD第一次沿AE 折叠得到四边形ABEF ，
∴
12,
8,
90
AD
BC
AB
AF
BAF
ABE
AFE
，
∴四边形ABEF 为正方形，
∴
8
BE
EF
=
=
，
∴
4
DF
CE
AD
AF
，
∵第二次沿MN 折叠，使得点C 与点F 重合，
∴CM
CF
，
设
CM
FM
x ，则：
4
EM
CM
CE
x
，
在Rt
FEM
△
中，由勾股定理，得：
2
2
2
8
4
x
x
，
解得：
10
x
，
∴
10
CM
，
∴
2
MB
BC
CM
；
故答案为：2 ．
35．（1）数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在矩形ABCD中，E 是边AB 上一点，DF
CE
于
点F，
,
,
GD
DF AG
DG AG
CF
，试猜想四边形ABCD的形状，并说明理由；
（2）小明受此问题启发，逆向思考并提出新的问题：如图2，在正方形ABCD中，E 是边AB 上一点，
DF
CE
于点F，AH
CE
⊥
于点H，GD
DF
，交AH 于点G，可以用等式表示线段
,
,
FH AH CF 的数量关
系，请你思考并解答这个问题．
【答案】（1）四边形ABCD是正方形，证明见解析；（2）FH
AH
CF
【分析】（1）证明ADG
CDF
≌
，可得AD
CD
，从而可得结论；
（2）证明四边形DGHF 是矩形，可得
90
G
DFC
，同理可得：
ADG
CDF
，证明
ADG
CDF
≌
，DG
DF
，AG
CF
，证明四边形DGHF 是正方形，可得HG
HF
，从而可得结论．
28
【详解】解：（1）∵GD
DF
，DF
CE
，AG
DG
，
∴
90
G
DFC
，
90
ADG
ADF
，
∵矩形ABCD，
∴
90
ADC
ADF
CDF
，
∴
ADG
CDF
，
∵AG
CF
，
∴ADG
CDF
≌
，
∴AD
CD
，
∴矩形ABCD是正方形．
（2）∵DF
CE
，AH
CE
⊥
，GD
DF
，
∴
90
DFH
H
GDF
，
∴四边形DGHF 是矩形，
∴
90
G
DFC
，
同理可得：
ADG
CDF
，
∵正方形ABCD，
∴AD
CD
，
∴ADG
CDF
≌
，
∴DG
DF
，AG
CF
，
∴四边形DGHF 是正方形，
∴HG
HF
，
∴FH
HG
AH
AG
AH
CF
．
【点睛】本题考查的是矩形的判定与性质，正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，证明三角形
全等是解本题的关键．
36．综合与实践：在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动，将边长为
3 的正方形ABCDD 与边长
为
6 的正方形AEFG 按图1 位置放置，AD 与AE 在同一直线上，AB 与AG 在同一直线上．连接DG ，
BE ，易得DG
BE
且DG
BE
(不需要说明理由)．
29
(1)如下图，小明将正方形ABCD绕点A 逆时针旋转，旋转角为
(15
165 )
．
①连接DG ，BE ，判断DG 与BE 的数量关系和位置关系，并说明理由；
②在旋转过程中，如下图，连接BG ，GE ，ED ，DB，求四边形BGED面积的最大值．
(2)如下图，分别取BG ，GE ，ED ，DB的中点M，N，P，Q，连接MN ，NP ，PQ ，QM ，则四边形
MNPQ的形状为______，四边形MNPQ面积的最大值是______．
【答案】(1)①DG
BE
，DG
BE
，理由见解析；②9
3 2
2
(2)正方形，9
3 2
4
2
【分析】（1）①由“SAS ”可证BAE
DAG
≌
，可得
AEB
AGD
，BE
DG
，可证BE
DG
；
②由“ AAS”可证ABH
ADN
≌
，可得DN
BH
，由面积和差关系可求解；
30
（2）根据正方形的判定可判断四边形MNPQ是正方形，其面积最大为AB
AG
时，根据三角形的中位线
定理可求出其边长，进一步求出其最大面积．
【详解】（1）解：（1）①DG
BE
，DG
BE
，理由如下：
如图2，设AG 与BE 的交点为O，
四边形ABCD和四边形AEFG 是正方形，
AB
AD
，AG
AE
，
90
GAE
BAD
，
BAE
DAG
，
(SAS)
BAE
DAG
△
≌△
，
AEB
AGD
，BE
DG
，
又
AOE
BOG
，
90
OAE
GBO
，
BE
DG
；
②如图3，过点B 作BH
AG
于H ，过点D 作DN 直线AE 于N ，
90
AHB
AND
BAD
GAN
，
DAN
BAG
，
又
AB
AD
，
(AAS)
ABH
ADN
≌
，
DN
BH
，
1
1
1
1
9
6
6
6
3
3
6
6
2
2
2
2
2
GAE
AED
ABD
ABG
BGED
S
S
S
S
S
DN
BH
BH
四边形
，
当BH 有最大值时，四边形BGED面积有最大值，
31
即当AB
BH
时，BH 有最大值为
3 ，
四边形BGED面积的最大值为9
3 2
2
；
（2）解：如图4，连接BE ，DG ，
点M ，N ，P ，Q 分别是BG ，GE ，ED，DB的中点，
MN
BE
∥
，
1
2
MN
BE
，NP
GD
∥
，
1
2
NP
GD
，QP
BE
∥
，
1
2
QP
BE
，MQ
GD
∥
，
1
2
MQ
GD
，
由（1）知，DG
BE
，
MN
NP
PQ
QM
，
四边形MNPQ为菱形，
由（1）知DG
BE
，
90
QMN
，
菱形MNPQ为正方形；
如图5，当G ，A ，D 三点在同一条直线上时，B ，A ，E 三点也在同一条直线上，
此时正方形MNPQ的面积最大，
1
1
3
6
2
2
MQ
GD
，
2
9
3 2
4
2
MNPQ
S
MQ
正方形
，
故答案为：正方形，9
3 2
4
2
．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质和判定，菱
形的判定，中位线性质等，解题关键是在图形的变化过程中要弄清所存在的不变量及关系．
32
（建议用时45 分钟）
37．下列说法：①矩形的对角线互相垂直平分；②四条边相等的四边形是菱形；③对角线相等，且互相垂
直的四边形是正方形；④平行四边形的两条对角线将平行四边形分成四个全等的三角形．其中正确的个数
是（
）．
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】A
【分析】本题主要考查了平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定及性质，根据平行四边形、矩形、菱形、
正方形的性质进行逐一判断即可．熟练掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：①矩形的对角线相等，故原说法错误；
②四条边相等的四边形是菱形，故原说法正确；
③对角线相等，且互相垂直的平行四边形是正方形，故原说法错误；
④正方形的两条对角线将正方形分成四个全等的三角形，故原说法错误．
综上，正确的只有②，共1 个，
故选：A．
38．如图，在平面直角坐标系中，动点A，B 分别在y，x 轴上，以AB 为边长在第一象限内作正方形
ABCD，连接OC ．若
4
AB
，则OC 的最大值是（
）
A．2
2 5
B．2
2 3
C．4 2
D．8
【答案】A
【分析】取AB 的中点E，连接OE
CE
、
，则
1
2
BE
AB
，根据正方形的性质及勾股定理得出
2 5
CE
，
1
2
2
OE
AB
，结合图形得出当点E 在线段OC 上时，线段OC 的长最大，即可求解．
【详解】解：如图，取AB 的中点E，连接OE
CE
、
，则
1
2
BE
AB
，
33
∵四边形ABCD是正方形，边长为4，
∴
90 ,
4
ABC
AB
BC
，则
1
2
2
BE
AB
，
在Rt
CEB
△
中，
90
CBE
，由勾股定理，得
2
2
2 5
CE
BC
BE
，
∵在Rt
AOB
△
中，
90
AOB
，点E 是斜边AB 的中点，
∴
1
2
2
OE
AB
，
由图可知：
OC
OE
EC ，当点E 在线段OC 上时，线段OC 的长最大，最大值是
2
2 5
OE
CE
，
故选A．
【点睛】本题主要考查正方形的性质，直角三角形斜边上中线的性质，勾股定理解三角形及三角形三边关
系，理解题意，熟练掌握运用这些知识点是解题关键．
39．如图，点E，F，G，H 分别是四边形ABCD的边
,
,
,
AB BC CD DA的中点，则下列说法中正确的个数是
（
）
①若四边形ABCD是平行四边形，则四边形EFGH 为矩形；
②四边形EFGH 为平行四边形；
③若四边形EFGH 是菱形，则四边形ABCD是菱形；
④若四边形中AC 与BD互相垂直且相等，则四边形EFGH 是正方形．
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【分析】本题考查中点四边形、平行四边形、矩形、菱形的判定等知识，解题的关键是记住一般四边形的
中点四边形是平行四边形，当对角线BD
AC
时，中点四边形是菱形，当对角线AC
BD
时，中点四边形
34
是矩形，当对角线AC
BD
，且AC
BD
时，中点四边形是正方形．
先证明一般四边形的中点四边形是平行四边形，当对角线BD
AC
时，中点四边形是菱形，当对角线
AC
BD
时，中点四边形是矩形，当对角线AC
BD
，且AC
BD
时，中点四边形是正方形，再逐一分
析各选项即可．
【详解】解：∵点E，F，G，H 分别是四边形ABCD的边
,
,
,
AB BC CD DA的中点，
∴
1
,
2
EF
AC EF
AC
∥
，
1
,
2
GH
AC GH
AC
∥
，
∴
,
EF
GH EF
GH
∥
，
∴四边形EFGH 是平行四边形，故②正确，但是证明不出四边形EFGH 是矩形，故①错误，
若四边形EFGH 是菱形，则EF
EH
，
同理可得
1
2
EH
BD
，而
1
2
EF
AC
∴AC
BD
，证明不出四边形ABCD是菱形，故③错误，
当AC 与BD 互相垂直且相等，如图：
∴EF
EH
，
∵四边形EFGH 是平行四边形，
∴四边形EFGH 是菱形，
∵AC
BD
，
∴
90
AOB
，
同上可知EH
BD
∥
，
∴
90
AME
AOB
，
∵EF
AC
∥
，
∴
90
HEF
AME
，
∴四边形EFGH 是正方形，故④正确，
故选：B．
40．如图，正方形ABCD的边长为2 ，点E 是AB 的中点，点P 是AC 上的动点，则PE
PB
的最小值为
35
（
）
A．
5
B．2
C．4
D．2 5
【答案】A
【分析】本题考查了轴对称——最短路线问题，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，连接PD，根
据ADP
ABP
≌
，即可得出PD
PB
，进而得到当D ，P ，E 在同一直线上时，BP
EP
的最小值等于线
段DE 的长，再根据勾股定理求得DE 的长，即可得出PE
PB
的最小值为
5 ，熟练掌握知识点的应用是
解题的关键．
【详解】如图所示，连接PD ，
∵四边形ABCD是正方形，
∴
DAP
BAP
，
2
AD
AB
，
又∵AP
AP
，
∴
SAS
ADP
ABP
≌
，
∴PD
PB
，
∴BP
EP
DP
EP
，当D ，P ，E 在同一直线上时，BP
EP
的最小值等于线段DE 的长，
∵点E 是AB 边的中点，
∴
1
AE
EB
，
在Rt
ADE
△
中，
2
2
2
2
2
1
5
DE
AD
AE
，
∴PE
PB
的最小值为
5 ，
故选：A ．
36
41．在
ABCD
□
中，对角线AC
BD
、
相交于点O，E 是近AB 上的一个动点（不与A、B 重合）连接EO并
延长，交CD 于点F，连接AF
CE
，
，下列四个结论中：
甲：对于动点E，四边形AECF 始终是平行四边形；
乙：若
90
ABC
，则至少存在一个点E，使得四边形AECF 是矩形；
丙：若AB
AD
，则至少存在一个点E，使得四边形AECF 是菱形；
丁：若AB
AD
，
45
BAC
，则至少存在一个点E，使得四边形AECF 是正方形．以上所有正确说法的
序号是（
）
A．甲、丙、丁正确，乙错误
B．甲、乙、丙、丁都正确
C．甲、乙、丙正确，丁错误
D．甲、乙、丙错误，丁正确
【答案】A
【分析】本题主要考查平行四边形以及几种特殊平行四边形的判定．熟悉平行四边形、矩形、菱形、正方
形的判定方法是解答此题的关键．
由于EF 经过平行四边形ABCD的中心O，故四边形AECF 一定也是平行四边形，这可以通过证明BE 与
CF 相等来说明．然后只要让平行四边形AECF 再满足适当的特殊条件就可以变成对应的特殊平行四边形．
【详解】解：如图1，
∵四边形ABCD为平行四边形，对角线AC 与BD 交于点O，
∴
,
,
,
AB
DC AB
DC OA
OC OB
OD
∥
，
∴
OAE
OCF
，
∵
AOE
COF
，
∴
(
)
AOE
COF ASA
≌
△
△
，
∴AE
CF
，
又：∵AE
CF
∥
，
37
∴四边形AECF 为平行四边形，
即E 在AB 上任意位置(不与A 、B 重合)时，四边形AECF 形为平行四边形，故选项甲正确；
如图2，
如图3，
当CE
AB
时，点E 不在边AB 上，故选项乙错误．
当EF
AC
时，四边形AECF 为菱形，故选项丙正确．
由丙知，若AB
AD
，则至少存在一个点E ，使得四边形AECF 是菱形，
∵
45
BAC
，
∴
45
DAC
BAC
，
∴
90
DAB
，
∴若
,
45
AB
AD
BAC
，则至少存在一个点E ，使得四边形AECF 是正方形，故选项丁正确．
故选：A．
42．七巧板是一种开发智力的玩具，为提高学生的感知能力，老师投影演示如下：在正方形纸板ABCD中，
BD为对角线，E ，F 分别为BC ，CD 的中点，AP
EF
分别交BD，EF 于O，P 两点，M ，N 分别为
BO，DO 的中点，连接MP ，NF ，沿图中实线剪开即可得到一副七巧板．通过观察演示过程，
甲同学得出：图中的三角形都是等腰直角三角形；
乙同学得出：四边形MPEB 是菱形；
38
丙同学得出：四边形PFDM 的面积占正方形ABCD面积的1
4 ．
则正确的是（
）
A．只有甲答的对
B．甲、丙答案合在一起才完整
C．甲、乙答案合在一起才完整
D．三人答案合在一起才完整
【答案】B
【分析】本题主要考查了正方形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、三角形的中位线的性质、全等
三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识，正确识别图形是解题的关键．
先根据正方形的性质和三角形中位线的定义与性质证明图中所有三角形是等腰直角三角形，再证明四边形
MPEB 是平行四边形但不是菱形，最后再证明
1
4
D
COD
ABC
PFDM
S
S
S
正方形
四边形
△
即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴
45
ABD
ADB
CBD
BDC
Ð
= Ð
= Ð
= Ð
=
°，
90
BAD
BCD
，AB
BC
CD
AD
，
∴
ABD
△
、
BCD
△
是等腰直角三角形，
∵AP
EF
，
∴
90
APF
APE
Ð
= Ð
=
°，
∵E ，F 分别为BC ，CD 的中点，
∴EF 是
BCD
△
的中位线，
1
2
CE
BC
，
1
2
CF
CD
，
∴CE
CF
，EF
BD
∥
，
1
2
EF
BD
，
∴
90
APE
AOB
∠
∠
，
90
APF
AOD
Ð
= Ð
=
°，
又∵
90
C
，
∴
CEF
△
、ABO
、
ADO
△
是等腰直角三角形，
∴AO
BO
，AO
DO
，
∴BO
DO
，
∴点O是正方形ABCD的对称中心，
∴点A 、O、P 、C 在同一直线上，
∵M ，N 分别为BO，DO 的中点，
∴
1
2
OM
BM
BO
=
=
，
1
2
ON
ND
DO
=
=
，
∴OM
BM
ON
ND
=
=
=
，
如图，延长AP 到点C ，
39
∴NF 是CDO
的中位线，
∴NF
AC
∥
，
1
1
2
2
NF
OC
OD
ON
ND
=
=
=
=
，
∴
180
90
ONF
COD
Ð
=
°- Ð
=
°，
∴
90
NOP
OPF
ONF
Ð
= Ð
= Ð
=
°，
∴四边形FONP 是矩形，
∴四边形FONP 是正方形，
∴NF
ON
ND
OM
BM
OP
PF
PE
=
=
=
=
=
=
=
，
90
DNF
MOP
Ð
= Ð
=
°，
∴
DNF
△
、
MOP
△
是等腰直角三角形，
∴图中的三角形都是等腰直角三角形，故甲同学正确，
∵PE
BM
∥
，PE
BM
，
∴四边形MPEB 是平行四边形，
∵
1
2
BE
BC
，
1
2
BM
OB
，
在Rt
OBC
△
中，BC
OB
>
，
∴BE
BM
，
∴四边形MPEB 不是菱形，故乙同学错误，
∵OB
OC
，OM
OP
，
∴OB
OM
OC
OP
-
=
-
，即BM
PC
，
∴PC
OP
PF
OM
=
=
=
，
又∵
90
MOP
CPF
Ð
= Ð
=
°，
∴
SAS
MOP
CPF
≌
，
∴
MOP
PFDM
PFDO
S
S
S
△
四边形
四边形
CPF
PFDO
S
S
△
四边形
40
COD
S
△
1
4
ABCD
S
正方形
，
故丙同学正确，
综上所述，正确的是甲同学和丙同学，
故选：B．
二、填空题
43．如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，以O为顶点的正方形OEGF 的两边OE ，OF 分别变正方形
的边AB ，BC 于点M ，N ．记AOM
的面积为
1S ，CON
的面积为
2S ，若正方形的边长
10
AB
，
1
16
S
则
2S 的大小为
．
【答案】9
【分析】本题考查对正方形的性质，全等三角形的性质和判定等知识，根据正方形的性质得出OB
OC
，
45
OBA
OCB
，
90
BOC
EOF
，推出
EOB
COF
，证出OBM
OCN
≌
可得答案，证明
OBM
OCN
≌
是解此题的关键．
【详解】∵四边形ABCD和四边形OEGF 都是正方形，
∴OB
OC
，
45
OBA
OCB
，
90
BOC
EOF
，
∴
EOB
COF
，
在OBM
与OCN
中，
OBA
OCB
OB
OC
BOM
NOC
，
∴
SAS
OBM
OCN
≌
，
∴
1
2
1 10 10
25
4
OAB
S
S
S
，
41
∴
2
25 16
9
S
，
故答案为：9 ．
44．伸缩枪是孩子们喜欢的玩具，它巧妙运用了平行四边形的不稳定性．如图1 它由几个相同的菱形连续
组成．如图2 是对它抽象简化图，点A 是位于枪口内EF 垂直平分线的拉伸控制点．已知枪口宽
4cm
EF
，
菱形边长
5cm
AB
，当
90
DAB
时，AH
cm ；如图3 当点A 被向枪管更内侧拉至点A，且
60
D A B
时，点A 移动的长度AA
．
【答案】
10 2
2 3
2
【分析】①连接AH ，可知点A、C 和H 在同一条直线上，得到四边形ABCD为正方形，求得
5 2cm
AC
，
则
10 2
AH
；
②连接EF 和A C
交EF 于点M，可得
AEF
△
是等腰直角三角形和
A EF
△
是等边三角形，可知
30
EA C
，利用
1
2
AM
EM
EF
求得AM ，求得A M
，可得AA
A M
AM
即可．
【详解】解：①连接AH ，如图，
则点A、C 和H 在同一条直线上，
∵
90
DAB
，
∴四边形ABCD为正方形，
∵
5cm
AB
，
∴
5 2cm
AC
，
则
10 2
AH
；
故答案为：10 2 ．
②连接EF 和A C
交EF 于点M，如图，
42
∵点A 是位于枪口内EF 垂直平分线上一点，
90
DAB
，
60
D A B
，
∴
AEF
△
是等腰直角三角形、
A EF
△
是等边三角形，点A、A 和点C在同一条直线上，
∵
4cm
EF
，
∴
1
2
2
AM
EM
EF
，
∵
60
D A B
，
∴
30
EA C
，
∴
1
2
2
EM
EA
,
2
2
2 3
A M
EA
EM
,
则
2 3
2
AA
A M
AM
．
故答案为：2 3
2
．
【点睛】本题主要考查正方形的性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质和含30 度角的直角三角形的性
质，解题的关键是找对对应的边角关系和变量之间的等式关系．
45．如图①，在正方形ABCD中，点E 是AB 的中点，点P 是对角线AC 上一动点，设PC
x
，
PE
PB
y
，图②是y 关于x 的函数图象，且图象上最低点Q 的纵坐标为3 5 ，则正方形ABCD的边长
为
．
【答案】6
【分析】根据正方形的性质，得到点B 与点D 关于直线AC 对称，连接DE ，交AC 于点Q，根据题意，
得此时PE
PB
y
取得最小值，且最小值为DE 的长，结合图象上最低点Q 的纵坐标为3 5 ，得到
3 5
DE
，设
2
AB
AD
m
，结合点E 是AB 的中点，得到AE
m
，利用勾股定理解答即可．
43
本题考查了正方形的性质，轴对称性质，勾股定理，熟练掌握正方形的性质，勾股定理是解题的关键．
【详解】根据正方形的性质，得到点B 与点D 关于直线AC 对称，连接DE ，交AC 于点Q，根据题意，
得此时PE
PB
y
取得最小值，且最小值为DE 的长，结合图象上最低点Q 的纵坐标为3 5 ，
∴
3 5
DE
，
设
2
AB
AD
m
，
∵点E 是AB 的中点，
∴AE
m
，
∴
2
2
2
2
3 5
m
m
，
解得
3,
3
m
m
（舍去），
故
2
6
AB
AD
m
，
故答案为：6．
46．如图正方形ABCD中，
12
AB
，点E 在CD 上，且
3
CD
DE
，将
ADE
沿AE 对折至
AFE
△
，延长EF
交BC 于点G，连接AG
CF
、
，则BG
．
【答案】6
【分析】由折叠的性质可得
ADE
AFE
△
≌△
，即可得到DE
EF
，利用翻折变换对应边关系得出AB
AF
，
90
B
AFG
，利用HL 定理得出
ABG
AFG
△
≌△
，得到BG
GF
，从而得到
EG
EF
FG
BG
DE
，由
12
AB
，
3
CD
DE
，得到
4,
8
DE
CE
，设BG
x
，则
12
CG
x
，
4
GE
x
，利用勾股定理得出
2
2
2
GE
CG
CE
，即可求出BG ．
【详解】解：在正方形ABCD中，
12
AD
AB
BC
CD
，
90
D
B
BCD
，
由折叠的性质可得
ADE
AFE
△
≌△
，
AD
AF
，DE
EF
，
90
D
AFE
，
AB
AF
，
90
B
AFG
，
又
AG
AG
，
HL
ABG
AFG
≌
，
44
BG
FG
，
3
12
CD
DE
AB
，
4,
8
DE
CE
，
设BG
x
，则
12
CG
x
，
4
GE
x
，
2
2
2
GE
CG
CE
，
2
2
2
4
12
8
x
x
，
6
x
，
故答案为：6．
【点睛】此题主要考查了勾股定理的综合应用以及翻折变换的性质，三角形全等的判定与性质，正方形的
性质，根据翻折变换的性质得出对应线段相等是解题的关键．
三、解答题
47．如图，在ABC
中，CD
AB
于点D，
20
AC
，
12
CD
，
9
BD
，CE 是
ACB
的角平分线
(1)求证：ABC
是直角三角形；
(2)求点D 到AC 、BC 的距离之和
(3)求线段CE 的长．
【答案】(1)见解析
(2)16.8
(3) 60
2
7
【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，角平分线的性质定理，正方形的判定和性质：
（1）用勾股定理解Rt BDC
，Rt ADC
求出
15
BC
，
16
AD
，再利用勾股定理的逆定理可判断ABC
是直角三角形；
（2）过点D 作DM
AC
，DN
BC
，利用三角形面积法求出DM ，DN ，相加即可；
（3）过点E 作EP A C ，EQ
BC
，由角平分线的性质定理可得PE
QE
，再证四边形PEQC 是正方形，
45
利用
ABC
AEC
BEC
S
S
S
求出PE ，即可求解．
【详解】（1）证明：∵CD
AB
，
∴
90
CDB
CDA
，
在Rt BDC
中，
2
2
2
CD
BD
BC
，即
2
2
2
12
9
BC
，
∴
15
BC
；
在Rt ADC
中，
2
2
2
CD
AD
AC
，即
2
2
2
12
20
AD
，
∴
16
AD
，
∵
20
AC
，
15
BC
，
25
AB
AD
BD
，
2
2
2
20
15
25
，
即
2
2
2
AC
BC
AB
，
∴ABC
是直角三角形；
（2）解：如图，过点D 作DM
AC
，DN
BC
，垂足分别为点M、N，
∵
1
1
2
2
ADC
S
AC DM
CD AD
，即1
1
20
12 16
2
2
DM
，
∴
9.6
DM
，
∵
1
1
2
2
BCD
S
BC DN
CD BD
，即1
1
15
12 9
2
2
DN
，
∴
7.2
DN
，
∴
9.6
7.2
16.8
DM
DN
．
（3）解：过点E 作EP A C ，EQ
BC
，垂足分别为点P、Q，
由（1）知ABC
是直角三角形，
90
ACB
，
EP A C ，EQ
BC
，
四边形PEQC 是矩形，
CE 是
ACB
的角平分线，EP A C ，EQ
BC
，
46
PE
QE
，
四边形PEQC 是正方形，
CPE
△
是等腰直角三角形；
ABC
AEC
BEC
S
S
S
，
1
1
1
1
2
2
2
2
AB AC
AC PE
BC QE
PE
AC
BC
，
即
1
1
20 15
20
15
2
2
PE
，
解得
60
7
PE
，
由勾股定理得，
60
2
7
CE
．
48．已知：BD 是ABC
的角平分线，点E 在AB 边上，BE
BC
＝
，过点E 作EF
AC
∥
，交BD于点F ，连
接CF
DE
，
．
(1)如图1，求证：四边形CDEF 是菱形；
(2)如图2，当
90
DEF
AC
BC
，
时，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2 中度数为
ABD
的度数2 倍的角．
【答案】(1)见解析
(2)度数为
ABD
的度数2 倍的角有：
A
,
ABC
，
FEB
，
FCB
【分析】（1）直接由SAS 得出BDE
BDC
≌
，得出DE
DC
，
BDE
BDC
．再由SAS 证明
BFE
BFC
≌
，得出EF
CF
．由EF
AC
∥
得出
EFD
BDC
，从而
EFD
BDE
，根据等角对等边
得出DE
EF
，从而DE
EF
CF
DC
，由菱形的判定可知四边形CDEF 是菱形；
（2）如图2，利用正方形的性质可得
45
EDF
，求得
135
ADB
，再求得
30
A
B
∠
∠
，然后利用三
角形的外角性质求得
30
FEB
FCB
，即可求解．
【详解】（1）证明：在
BDE
△
和BDC
中，
47
BE
BC
EBD
CBD
BD
BD
，
∴
SAS
BDE
BDC
≌
；
∴DE
DC
BDE
BDC
，
，
同理BFE
BFC
≌
，
∴EF
CF
，
∵EF
AC
∥
，
∴
EFD
BDC
，
∴
EFD
BDE
，
∴DE
EF
，
∴DE
EF
CF
DC
，
∴四边形CDEF 是菱形；
（2）解：由（1）知四边形CDEF 是菱形，
又∵
90
DEF
，
∴四边形CDEF 是正方形．
∴
45
EDF
，
∴
90
45
135
ADB
ADE
EDF
，
∵AC
BC
，
∴
2
A
CBE
ABD
，
∴
180
45
ABD
A
ADB
，
∴
30
A
；
∴
1
15
2
CBF
ABF
ABC
，
∵四边形CDEF 是正方形，
∴
45
DFE
DFC
，
由三角形的外角性质得：
30
FEB
FCB
，
∴度数为
ABD
的度数2 倍的角有：
A
,
ABC
，
FEB
，
FCB
．
【点睛】本题主要考查了全等三角形、菱形的判定，正方形的性质，三角形的外角性质等知识．关键是由
SAS 得出BDE
BDC
≌
．
48
49．如图，在ABC
中，O 是AC 上的任意一点（不与点A、C 重合），过点O 平行于BC 的直线l 分别与
BCA
、ABC
的外角
DCA
的平分线交于点E、F．
(1)OE 与OF 相等吗？证明你的结论；
(2)试确定点O 的位置，使四边形AECF 是矩形，并加以证明；
(3)在（2）的条件下，ABC
满足什么条件，四边形AECF 是正方形？证明你的结论．
【答案】(1)相等，理由见解析
(2)当点O 是AC 的中点时，四边形AECF 是矩形，证明过程见解析
(3) ABC
满足
90
ACB
时，四边形AECF 是正方形，证明过程见解析
【分析】（1）根据平行线性质和角平分线定义推出
OEC
OCE
OFC
OCF
，
，根据等腰三角形的
判定推出OE
OC
OF
OC
、
，然后运用等量代换即可解答；
（2）根据平行四边形的判定得出平行四边形AECF ，根据对角线相等的平行四边形是矩形推出即可解答；
（3）令
90
ACB
，证明四边形AECF 是菱形，再结合四边形AECF 是矩形，即可证明．
【详解】（1）解：OE
EF
，理由如下：
∵直线l ∥BC ，
∴
OEC
ECB
，
∵CE 平分
ACB
，
∴
OCE
BCE
，
∴
OEC
OCE
，
∴OE
OC
，
同理：OF
OC
，
∴OE
OF
．
（2）解：当O 在AC 的中点上时，四边形AECF 是矩形，证明如下：
∵OA
OC
OE
OF
，
，
∴四边形AECF 是平行四边形，
∵OE
OF
OC
OA
，
49
∴AC
EF
，
∴平行四边形AECF 是矩形．
（3）ABC
满足
90
ACB
时，四边形AECF 是正方形，
证明：∵l
BC
，
∴
AOE
ACB
．
∵
90
ACB
，
∴
90
AOE
．
∴AC
EF
．
∴平行四边形AECF 是菱形．
∵平行四边形AECF 是矩形，
∴四边形AECF 是正方形．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质和判定、矩形的判定与性质、菱形的判定与性质，正方形的判
定等知识点，灵活应用相关性质、判定定理是解答本题的关键．
50．【问题一】如图①，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O 又是正方形
1
1
1
A B C O 的一个顶点，交AB
于点E，交BC 于点F，则AE 与BF 的数量关系为______；
【问题二】受图①启发，兴趣小组画出了图②：直线m、n 经过正方形ABCD的对称中心O，直线m 分别
与AD
BC
、
交于点E、F，直线n 分别与
、
AB
CD 交于点G、H，且，若正方形ABCD边长为8，求四边形
OEAG 的面积；
【问题三】在图②中，连接E、G、F、H 四点，请证明四边形EGFH 是正方形．
【答案】【问题一】AE
BF
；【问题二】16；【问题三】证明见解析
【分析】本题考查正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，菱形的判定与性质等．
问题一：证明
OAE
OBF
△
≌△
，即可得到结论；
问题二：连接OA
OB
，
，由正方形的性质可得，
1
16
4
AOB
ABCD
S
S
△
正方形
，由（1）中结论可得
50
AOE
BOG
S
S
△
△
，等量代换即可得到
OEAG
S四边形
；
问题三：先证明四边形EGFH 是菱形，再证明
90
EGF
，即可得证．
【详解】问题一：AE
BF
，
证明如下：在
OAE
△
和OBF
中，
因为
90
AOE
AOB
EOB
EOB
，
且
90
BOF
EOF
EOB
EOB
，
所以
AOE
BOF
，又因为AO
BO
，
45
EAO
FBO
，
所以
OAE
OBF
△
≌△
，所以AE
BF
；
问题二：
如图，连接OA
OB
，
，
因为点O 是正方形ABCD的中心，所以
1
16
4
AOB
ABCD
S
S
△
正方形
，
又由问题一可知，AOE
BOG
≌
，所以
AOE
BOG
S
S
△
△
，
所以
16
AOE
AOG
BOG
AOG
OEAG
S
S
S
S
S
△
△
△
△
四边形
；
问题三：四边形EGFH 是正方形，
证明如下：由问题一知，AE
GB
FC
HD
，所以AG
BF
CH
DE
，
所以由勾股定理知EG
GF
FH
HE
，所以四边形EGFH 是菱形，
又因为在
EAG
△
和GBF
中，对应边均相等，所以两个三角形全等，所以
EGA
GFB
，
所以
90
EGA
FGB
，所以
90
EGF
，所以四边形EGFH 是正方形．
51
51．下面图片是八年级教科书中的一道题．
如图，四边形ABCD是正方形，点E 是边BC边上一点，
90
AEF
，且EF 交正方形外角的平分线CF
于点F ．求证AE
EF
．（提示：在AB 上取点G ，使BG
BE
，连接EG ．）
(1)请你思考题中“提示”，并进行证明；
(2)如图1，连接BD
AF
、
交于P ，判断AP 与FP 的数量关系，并证明你的结论；
(3)若正方形ABCD的边长为4，AE 交BD于Q ，直接写出PQ的最小值：．
【答案】(1)证明过程见详解
(2) AP
FP
，证明过程见详解
(3)8
4 2
【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质，角平分线的性质，中位线知识，熟练掌握三角形全等的判
定和性质是解题的关键．
（1）根据题中条件证明
AAS
AGE
ECF
≌
，从而证明AE
EF
；
（2）作辅助线，连接PE ，证明
HL
AEP
FEP
≌
，从而判断AP 与FP 的数量关系；
（3）作
APQ
△
的外接圆，圆心为O，作AR
BD
交BD于R，作OH
BD
交BD 于H，先根据圆周角定理
得到
90
POQ
，设圆O 半径为r，得到AO
OH
AR
，再根据正方形的性质求出
2 2
AR
，列出不
等式
2
2 2
2
r
r
，求出
4 2
4
r
，最后根据
2
PQ
r
作答即可．
【详解】（1）证明：
BG
BE
，
45
BGE
BEG
，
BG
BE
，
AB
BG
BC
BE
，
AG
EC
，
180
180
45
135
AGE
BGE
，
52
CF
为正方形外角角平分线，
90
90
45
135
ECF
FCD
，
AGE
ECF
90
AEF
，
90
AEB
FEC
，
90
AEB
BAE
Ð
+ Ð
=
°
，
BAE
FEC
在AGE
和
ECF
△
中，
AGE
ECF
，
BAE
FEC
，AG
EC
，
AAS
AGE
ECF
≌
，
AE
EF
（2）连接PE ，如图所示：
由（1）得AE
EF
，
90
AEF
AEF
△
为等腰直角三角形，
AE
EF
，PE
PE
，
HL
AEP
FEP
≌
，
AP
FP
（3）如图，作
APQ
△
的外接圆，圆心为O，作AR
BD
交BD 于R，作OH
BD
交BD于H，
53
∵
90
AEF
，AE
EF
，
∴
45
EAF
，
∴
90
POQ
，
设圆O 半径为r，则
2
PQ
r
，
2
2
OH
QH
PH
r
，
由图可知，AO
OH
AR
，
∵正方形ABCD的边长为4，
∴
2 2
AR
，
∴
2
2 2
2
r
r
，
解得：
4 2
4
r
，
∴PQ的最小值
2
8
4 2
r
．
故答案为：8
4 2
52．如图1，点E 为正方形ABCD内一点，
2
AE
，
4
BE
，
90
AEB
，将直角三角形ABE 绕点A 逆
时针方向旋转度（0
180
）点B、E 的对应点分别为点B、E．
【感知】如图2，在旋转的过程中，点B落在了AC 上，求此时CB的长；
【探究】若
90
，如图3，得到
ADE
△
（此时B与D 重合），延长BE 交DE于点F，试判断四边形
AEFE的形状，并说明理由；
【应用】在直角三角形ABE 绕点A 逆时针方向旋转过程中，直接写出线段CE长度的取值范围．
【答案】【感知】
2 10
2 5
CB
；【探究】四边形AEFE是正方形，理由见解析；【应用】
2 5
2 10
2
CE
【分析】本题考查了旋转的性质、正方形的判定与性质、勾股定理等知识点，掌握相关结论是解题关键.
【感知】根据
2
2
AB
AE
BE
求出AB ，进而求出AC ，结合
2 5
AB
AB
即可求解；【探究】由旋转
的性质得AE
AE
，
90
EAE
，
90
AE D
AEB
，即可求解；【应用】当
0
时，E与E
54
重合，CE最短；
当E落在CA 的延长线上时，CE最长．据此即可求解；
【详解】解：【感知】∵
2
AE
，
4
BE
，
90
AEB
，
∴
2
2
2
2
2
4
2 5
AB
AE
BE
，
∵四边形ABCD是正方形，
∴
2 5
BC
AB
，
90
ABC
，
∴
2
2 10
AC
AB
，
由旋转的性质得：
2 5
AB
AB
，
∴
2 10
2 5
CB
AC
AB
；
【探究】四边形AEFE是正方形，理由如下：
由旋转的性质得：AE
AE
，
90
EAE
，
90
AE D
AEB
，
∵
180
90
90
AEF
，
∴四边形AEFE是矩形，
又∵AE
AE
，
∴四边形AEFE是正方形；
图3
【应用】∵直角三角形ABE 绕点A 逆时针方向旋转度（0
180
），
点B、E 的对应点分别为点B、E，
∴当
0
时，E与E 重合，CE最短
2 5
；
当E落在CA的延长线上时，
2
AE
AE
，CE最长
2 10
2
AC
AE
，
∴线段CE长度的取值范围是2 5
2 10
2
CE
．
