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第04 讲特殊平行四边形常考问题精练
本讲目录
题型01 特殊平行四边形的折叠问题
题型02 特殊平行四边形的最值问题
(1)最小值问题
(2)最大值问题
题型03 中点四边形
题型04 与线段有关的探究问题
题型05 以尺规作图为背景的探究问题
题型06 正方形的常见模型
(1)一线三垂直模型
(2)45°角模型
(3)“十字架”模型
题型07 与特殊平行四边形有关的动点问题
题型08 一次函数与特殊平行四边形的综合问题
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题型01 特殊平行四边形的折叠问题
1.【问题情境】如图,在矩形����中,��= 4,��= 6.点F 是射线��上的一点,将矩形����沿直线��
折叠,点B 的对应点为点E.
【猜想证明】(1)当点E 落在边��上时,四边形����的形状为.
(2)当��平分∠���时,连接��,求�△���.
【能力提升】(3)在【问题情境】的条件下,是否存在点F,使点F,E,D 三点共线.若存在,请直接写
出��
的长;若不存在,请说明理由.
2.已知矩形纸片����,��= �,��= ��> �.如图1,将矩形纸片����沿过点�的直线折叠,使点�
落在��边上的点�'处,折痕��交边��于点�.再将图1 中的矩形纸片����沿过点�的直线折叠,使点�落
在��边上的点�'处,点�落在点�'处,折痕��交边��于点,连结��',如图2.
(1)求证:��' = �'�.
(2)若�= 8,�= 6,求折痕��的长.
(3)当��' = ��时,求出�,�之间应满足的数量关系.
3.综合与探究
【问题情境】圆圆与方方运用折叠纸片研究平行四边形.
【操作判断】如图1,将▱����沿着对角线��折叠,若此时点A 与点C 恰好重合,证明:��= ��.
【类比探究】如图2,在▱����的一边��上取一点E,沿着��折叠△���,点A 的对称点�'恰好落在对角
3
线��上,若点�'与点C,E 共线,��= 1,求�'�的长.
【问题解决】如图3,在▱����的一边��上取一点E,沿着��折叠△���,点A 的对称点�'恰好落在��
的中点处,若��= 1,求��的长.
4.在数学活动课中,老师组织学生开展“如何通过折,剪、叠得到一个菱形”的探究活动.
【动手操作】
第一小组:如图,将一张矩形的纸片对折,再对折,然后沿着虚线剪下,打开,即可得一个菱形.
第二小组:如图,把矩形纸片����沿着对角线��折叠,沿着边��、��剪下两个三角形,展开后得四边形
����.
第三小组:如图,将两块矩形纸片叠在一起,其中重叠的部分为菱形.
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【过程思考】
(1)第一小组得到的四边形是菱形的理由是____________;
(2)第二小组经过上述的操作,认为四边形����即为菱形,请你判断第二小组的结论是否正确,并说明
理由;
【拓展探究】
(3)第三小组通过操作还发现,将两张矩形纸片沿着对角线按如图2 的方式叠放,得到的菱形面积最大,
已知矩形卡片的长为8,宽为6,请求出此时菱形的面积.
5.【探究发现】如果我们身旁没有量角器或三角尺,又需要作60°,30°,15°等大小的角,可以采用下面的
方法取一张矩形的纸进行折叠,如图1,具体操作过程如下:
操作一:先把矩形����对折,折痕为��;
操作二:在��上选一点�,沿��折叠,使点�落在矩形内部点�处,连接��,��.观察所得到的∠���,
∠���,∠���,这三个角有什么关系?你能证明吗?
【类比应用】
小明将矩形纸片换成边长为4cm 的正方形纸片,继续探究,过程如下:
将正方形纸片����按照(1)中的方式操作,并延长��交��于点�,连接��.
①如图2,当点�在��上时,∠���=
∘,��= ;
②改变点�在��上的位置(点�不与点�,�重合),如图3,试判断∠���的度数是否为定值,并说明理由.
【拓展延伸】在(2)的探究中,当��= 1cm 时,请直接写出
....��的长.
6.【模型建立】如图1,正方形����中,点E,F 分别在边��,��上,��⊥��,��与��相交于点P.线
段��,��的关系是______.
【迁移应用】如图2,请仅用无刻度的直尺画图(保留作图痕迹,不用证明)
(1)以��为边画正方形����;
(2)取��中点E,连接��;
(3)在��上找点G,连接��,使��= ��.
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【拓展提升】如图3,正方形����中,点E,F 分别在边��,��上,将正方形沿��折叠,点A,D 的对应
点分别为�',�',使得点�'始终落在边��上,�'�'与��相交于点G,
(1)若��= 5,��' = 2,求��的长度=______;
(2)点E,F 在边��,��上运动时,连接��,求∠�'��的度数.
7.数学活动课上,张老师出示了一个问题:如图1,在▱����中,��⊥��,垂足为E,F 为��的中点,
连接��,��,求证:��= ��.
①小芳同学由已知条件中点想到了如图2 的辅助线.
②小琳同学由已知条件中点想到了如图3 的方法.
(1)请你选择一名同学的解题思路,写出证明过程;
【类别分析】
(2)小迪同学受此问题启发,将▱����沿着��(F 为��的中点)所在直线折叠,如图4,点C 的对应点
为点�',连接��'并延长交��于点K,在此基础上,小芮同学想:线段��与��之间会有怎样的数量关系呢?
请你判断,并证明;
【学以致用】
6
(3)小怡同学突发奇想,将▱����沿着过点B 的直线折叠,如图5,点A 的对应点为点�'使�'�⊥��于点
H,折痕交��于点M,�'�交��于点N.小怡提出一个问题:若▱����的面积为20,��= 5,��= 2 5,
请直接写出△���的面积与△��'�的面积的比.
题型02 特殊平行四边形的最值问题
(1)最小值问题
8.如图,正方形����的边长为2,点�是��的中点,点�是��上的动点,则��+ ��的最小值为(
)
A.5
B.2
C.4
D.2 5
9.如图,菱形����的边长为4,∠�= 60°,点E 在线段��上,以��为边在��左侧构造菱形����,使G
在��的延长线上,连接��、��,分别取��, ��的中点H,O,连接��, ��,则��=
;当点E
在��边上运动(不含A,D)时,��的最小值为
.
10.如图,已知正方形����的边长为6,动点�从点A 出发在边��上运动,同时动点�从点�出发以同样的
速度在边��上运动.分别连接��、��,��与��相交于点�,连接��,则线段��的最小值为
.
7
11.如图,在矩形����中,��= 6,��= 8,�是对角线��上的一动点,作��⊥��,垂足为�,作��⊥��,
垂足为�,连接��.
(1)当�是��的中点时,线段��的长度是
.
(2)线段��长度的最小值是
.
12.如图,在矩形����中,��= 2,∠���= 30°,P 是边��上一个动点,过点P 作��⊥��,垂足为G,
连接��,取��中点E,连接��,则线段��的最小值为
.
13.如图,边长为3 的菱形����中,∠���= 60°,点P 是对角线��上任意一点(P 不与B、D 重合),以
��和��为边作平行四边形����,则��的最小值为
.
8
14.如图,在正方形����中,��= 8,对角线��上的有一动点�(点�不与点�、点�重合),以��为边作
正方形����.若�是��的中点,连接��,则��的最小值为
.
(2)最大值问题
15.如图,在Rt △���中,∠���= 90°,��= 2,以��,��为边向外作正方形����与正方形����,作��⊥
��,��的反向延长线与��交于点�,连接��,则��的最大值为(
)
A.2 + 1
B.
3+ 2
2
C.
4+ 2
2
D.2 2
16.菱形����中,��= 6,∠���= 60°,点�在边��上,且��= 4.将线段��绕点�旋转,得到线段��,
连接��,�是线段��的中点,连接��,则旋转一周的过程中线段��的最大值是
.
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17.如图,∠���= 90°,矩形����的顶点A、B 分别在边��、��上,当B 在边��上运动时,A 随之在��
上运动,矩形����的形状保持不变,其中��= 6,��= 2.运动过程中点D 到点O 的最大距离
是
.
解:如图:取线段��的中点E,连接��,��,��,
∵∠���= 90°,矩形����,��= 6,��= 2,
∴��= ��=
1
2 ��= 3, ��= ��= 2, ∠���= 90°,
∴��=
��2 + ��2 =
13,
∵��≤��+ ��,
∴当点D,点E,点O 共线时,��的长度最大.
∴点D 到点O 的最大距离��= ��+ ��= 3 +
13,
故答案为:3 +
13.
18.如图1,在△���中,∠���= 90°, �是边��上一点,过点�作��⊥��交��的延长线于点�,以��, ��
为边作▱����.延长��交��于点�,连接��.
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(1)求证:��⊥��;
(2)当��= ��时,求证:四边形����是平行四边形;
(3)如图2,延长��交��于点�,取��的中点�,连接��.若��= 6,��= 8,求��的最大值.
题型03 中点四边形
19.如图,点A,B,C 为平面内不在同一直线上的三点.点�为平面内一个动点,线段��,��,��,��
的中点分别为M,N,P,Q,在点�的运动过程中,有下列结论:
①存在无数个中点四边形����是平行四边形;
②存在无数个中点四边形����是菱形;
③存在无数个中点四边形����是矩形;
④存在无数个中点四边形����是正方形.
其中,所有正确的有(
)
A.①②③
B.②③④
C.①②④
D.①③④
20.如图,在矩形����中,��= 12, ��= 9,顺次连结各边中点得到菱形�1�1�1�1,再顺次连接菱形
�1�1�1�1各边中点,得到矩形�2�2�2�2,再顺次连接矩形�2�2�2�2各边中点,得到菱形�3�3�3�3�3, …,
如此下去,四边形�2024�2024�2024�2024�2024的面积等于(
)
11
A.
27
22024
B.
27
2023
C.
27
22022
D.
27
2021
21.阅读理解,我们把依次连接任意一个四边形各边中点得到的四边形叫中点四边形,如图1,在四边形����
中,�,�,�,�分别是边��,��,��,��的中点,依次连接各边中点得到中点四边形����.
(1)这个中点四边形����的形状是
;
(2)如图2,在四边形����中,点�在��上且△���和△���为等边三角形,�,�,�,�分别为
��、��、��、��的中点,试判断四边形����的形状并证明.
22.定义:对于一个四边形,我们把依次连结它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”,
如果原四边形的中点四边形是个正方形,那么我们把原四边形叫做“中方四边形”.
(1)下列四边形中一定是“中方四边形”的是________;
A.平行四边形
B.矩形
C.菱形
D.正方形
(2)如图1,以锐角△���的两边��, ��为边长,分别向外侧作正方形����和正方形����,连结��, ��, ��,
求证:四边形����是“中方四边形”;
(3)如图2,四边形����是“中方四边形”,若��2的值为32,则��+ ��的最小值是________.(不需要解答
过程)
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23.综合与探究:如图1,四边形����中,�、�、�、�分别是��、��、��、��的中点,顺次连接�、�、
�、�.
(1)猜想四边形����的形状是________(直接回答,不必说明理由).
(2)如图2,�在四边形����内一点,使��= ��,��= ��,∠���= ∠���,其他条件不变,试探究四边
形����的形状,并说明理由.
(3)在(2)的条件下,��= 6,��= 2 3,∠���= ∠���= 60°,∠���= 90°,求四边形����的面积.
题型04 与线段有关的探究问题
24.矩形����第一次沿��折叠得到四边形����,展开后第二次沿��折叠,使得点C 与点F 重合.若��=
12,��= 8,则��=
.
25.在四边形����中,对角线��上有一点�,��延长线上有一点�,连接��交��于点�,且��= ��.
(1)如图1,若四边形����是正方形.
①求证:��= ��;
②求∠���的度数;
(2)如图2,若四边形����是菱形,其他条件不变,当∠���= 60°时,连接��,试探究线段��与线段��
的数量关系,并说明理由.
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26.正方形����,E 是��的中点,F 为射线��上一点(不与点B,C 重合),连接��并延长到点G,使得��= ��,
连接��.过点C 作��的垂线交直线��于点H.
(1)如图①,当点F 在线段��上时,求证:��= ��;
(2)如图②,当点F 在线段��上时,试说明��, ��, ��之间的数量关系;
(3)如图③当点F 在��的延长线上时,直接写出线段��, ��, ��之间的数量关系:______.
27.四边形����是凸四边形,若线段��,��(可以重合)满足∠���= ∠���,则称线段��,��是����
关于点A 的等角线段组.
(1)若四边形����是平行四边形,��= 2,点M,N 分别在线段��,��上.
(均不与端点重合),线段��,��
是����关于点A 的等角线段组.
①证明:∠���= ∠���;
②写出一个��的值,使得∠���= ∠���,并证明;
(2)凸四边形����中,��= 1,��= 2,��> ��,点E 在线段��上,且��⊥��,若线段��,��是����
关于点A 的等角线段组,线段��,��是����关于点C 的等角线段组,求��−��的值.
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28.在正方形����中,��= 4,点O 为对角线��的中点,动点E 在射线��上,连接��,过点E 作��⊥��
交射线��于点F.当点E 与A 重合时,��= 4;当点E 与�重合时,��= 0(点F 与A 重合).
(1)如图1,当点E 在线段��上时,求证:��= ��;
(2)如图2,当点E 在线段��上时,请补全图形,探究线段��,��,��之间的数量关系,并说明理由;
(3)如图3,若点P、C 在直线��的异侧,且��= 4 2,动点E 沿着��从点P 向点C 运动,请直接写出伴随
动点F 的运动路径的长为______.
29.【问题呈现】如图1,∠���的顶点在正方形����两条对角线的交点处,∠���= 90°,将∠���绕点P
旋转,旋转过程中,∠���的两边分别与正方形����的边��和��交于点E、F(点F 与点C,D 不重合).探
索线段��、��、��之间的数量关系.
(1)【问题初探】爱动脑筋的小悦发现,通过证明两个三角形全等,可以得到结论.请你写出线段��、��、��
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之间的数量关系,并说明理由;
(2)【问题引申】如图2,将图1 中的正方形����改为∠���= 120°的菱形,∠���= 60°,其他条件不变,
请你帮小悦得出此时线段��、��、��之间的数量关系,并说明理由;
(3)【问题解决】如图3,在(2)的条件下,当菱形的边长为8,点P 运动至与A 点距离恰好为7 的位置,
且∠���旋转至��= 1 时,求��的长度.
30.如图1,在正方形����中,点E,F 分别是边��,��上的点,且��= ��.连接��,过点E 作��⊥��,
使��= ��,连接��,��.
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(1)请判断:��与��的数量关系是______,位置关系是_____;
(2)如图2,若点E,F 分别是边��,��延长线上的点,其它条件不变,(1)中结论是否仍然成立?请作出
判断并给予证明;
(3)如图3,若点E,F 分别是边��,��延长线上的点,其它条件不变,(1)中结论是否仍然成立?请直接
写出你的判断.
31.综合与实践:如图1,在正方形����中,连接对角线��,点O 是��的中点,点E 是线段��上任意一
点(不与点A,O 重合),连接��、��.过点E 作��⊥��交直线��于点F.
(1)如图1,试猜想线段��与��的数量关系,并说明理由;
(2)如图1,求证:2��= ��+ ��;
(3)如图2,当E 在线段��上时(不与点C,O 重合),��交��延长线于点F,保持其余条件不变,直接写
出线段��、��、��之间的数量关系.
题型05 以尺规作图为背景的探究问题
32.如图,在Rt △���中,��≠��,∠���= 90°,��平分∠���交��于点D,按下列步骤作图:①分别
以点C,D 为圆心,大于
1
2 ��的长为半径作弧,两弧相交于P,Q 两点;②作直线��,分别交��,��,��
于点E,O,F;③连接��,��.根据以上作图步骤,则下列结论错误的是(
)
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A.��与��互相垂直且平分
B.图中等腰直角三角形有8 个
C.四边形����为正方形
D.若��= 6,��= 12,则��= 3
33.如图,已知∠���,以点�为圆心,适当长为半径作圆弧,与角的两边分别交于�,�两点,分别以点�,
�为圆心,大于
1
2 ��长为半径作圆弧,两条圆弧交于∠���内一点�,作射线��.以点�为圆心,CO 长为半
径作圆弧,恰好经点�,与射线��交于点�,连接��,��.若��= 4 3,则四边形����的面积为
.
34.如图,在▱����中,以点A 为圆心、��长为半径画弧交��边于点E,连接��,再分别以点B、E 为
圆心、相同的长为半轻(大于
1
2 ��)画弧交于点F,作射线��,交��边于点G.若��= 5, ��= 6,则
��=
.
35.如图,正方形����中,点P 是线段��上的动点(不与端点重合),连接��.
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(1)仅用无刻度的直尺和圆规在直线��上作点E,使得∠���= 90°(保留作图痕迹,不写作法);
(2)在(1)的条件下,若正方形����的边长为1,��= �,��= �,求y 关于x 的函数解析式.
36.如图,已知▱������> ��,连接��.
(1)请用无刻度的直尺和圆规作图(保留作图痕迹,不写作法)
作��的垂直平分线��,分别交��, ��, ��于点M,N,O,连接��和��;
(2)在(1)的条件下,若四边形����的周长为16,求��的长.
37.如图,已知矩形����,点�是��中点,连接��.
(1)尺规作图:求作与△���关于直线��对称的△���,点�、�是对应点;(不写作法,保留作图痕迹)
(2)在(1)条件下,连接��,��,延长��交��于�,当�恰为��中点时,试判断△���的形状,并证明你
的结论.
38.情境图1 是由正方形纸片去掉一个以中心O 为顶点的等腰直角三角形后得到的.
该纸片通过裁剪,可拼接为图2 所示的钻石型五边形,数据如图所示.
(说明:纸片不折叠,拼接不重叠无缝隙无剩余)
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操作嘉嘉将图1 所示的纸片通过裁剪,拼成了钻石型五边形.
如图3,嘉嘉沿虚线��,��裁剪,将该纸片剪成①,②,③三块,再按照图4 所示进行拼接.根据嘉嘉的
剪拼过程,解答问题:
(1)直接写出线段��的长;
(2)直接写出图3 中所有与线段��相等的线段,并计算��的长.
探究淇淇说:将图1 所示纸片沿直线裁剪,剪成两块,就可以拼成钻石型五边形.
请你按照淇淇的说法设计一种方案:在图5 所示纸片的��边上找一点P(可以借助刻度尺或圆规),画出裁
剪线(线段��)的位置,并直接写出��的长.
题型06 正方形的常见模型
(1)一线三垂直模型
39.(1)数学活动课上,老师出示了一个问题:如图1,在矩形����中,E 是边��上一点,��⊥��于点
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F,��⊥��, ��⊥��, ��= ��,试猜想四边形����的形状,并说明理由;
(2)小明受此问题启发,逆向思考并提出新的问题:如图2,在正方形����中,E 是边��上一点,��⊥��
于点F,��⊥��于点H,��⊥��,交��于点G,可以用等式表示线段��, ��, ��的数量关系,请你思
考并解答这个问题.
40.下面图片是八年级教科书中的一道题.
如图,四边形����是正方形,点�是边��边上一点,∠���= 90
∘,且��交正方形外角的平分线��于点�.求
证��= ��.(提示:在��上取点�,使��= ��,连接��.)
(1)请你思考题中“提示”,并进行证明;
(2)如图1,连接��、��交于�,判断��与��的数量关系,并证明你的结论;
(3)若正方形����的边长为4,��交��于�,直接写出��的最小值:.
41.如图,四边形����是正方形,点�是线段��的延长线上一点,点�是线段��上一点,连接��,以点�
为直角顶点作��⊥��交∠���的角平分线于�,过点�作��//��交��于�,连接��,��,��.
(1)求证:��= ��.
(2)求证:��//��.
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(3)若��= 1,��= 3 2,求��的长.
(2)45°角模型
42.如图,在正方形����中,△���的顶点�,�分别在��,��边上,高��与正方形的边长相等,连接��
分别交��,��于点�,�,下列说法:
①∠���= 45°;
②连接��,��,则△���为直角三角形;
③△���∽△���;
④若��= 2,��= 3,则��的长为
5
2
2.其中正确结论的个数是(
)
A.4
B.3
C.2
D.1
43.通过类比联想,引申拓展研究典型题目,可达到解一题知一类的目的,下面是一个案例,请补充完整.原
题:如图1,点E、F 分别在正方形����的边��、��上,∠���= 45°,连接��,试猜想��、��、��之间
的数量关系.
(1)把△���绕点�逆时针旋转90°至△���,可使��与��重合,由∠���= ∠�= 90°,得,∠���= 180°,
即点F、D、G 共线,易证△���≌__________,故��、��、��之间的数量关系为__________.
(2)如图2,点E、F 分别在正方形����的边��、��的延长线上,∠���= 45°.连接��,试猜想��、��、
��之间的数量关系为__________,并给出证明.
(3)如图3,在△���中,∠���= 90°,��= ��,点D、E 均在边��上,且∠���+ ∠���= 45°.若��= 2,
��= 2 3,直接写出��2的值和��的长.
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44.已知正方形����,∠���= 45°,∠���绕点A 顺时针旋转,它的两边分别交��、��于点M、N,��⊥��
于点H.
(1)如图①,当��= ��时,可以通过证明△���≌△���,得到��与��的数量关系,这个数量关系是
___________;
(2)如图②,当��≠��时,(1)中发现的��与��的数量关系还成立吗?说明理由;
(3)如图③,已知△���中,∠���= 45°,��⊥��于点H,��= 3,��= 7,求��的长.
45.已知四边形ABCD 是正方形,一个等腰直角三角板的一个锐角顶点与A 点重合,将此三角板绕A 点旋
转时,两边分别交直线BC,CD 于M,N.
(1)如图1,当M,N 分别在边BC,CD 上时,求证:BM+DN=MN
(2)如图2,当M,N 分别在边BC,CD 的延长线上时,请直接写出线段BM,DN,MN 之间的数量关系
(3)如图3,直线AN 与BC 交于P 点,MN=10,CN=6,MC=8,求CP 的长.
46.如图1,已知正方形����,��= 3,�是边��上的一个动点(不与点�,�重合),连接��,点�关于
直线��的对称点为�,连接��并延长交��于点�,连接��,��.
23
(1)求∠���的度数;
(2)如图2,连接��,若��∥��,求线段��的长;
(3)如图3,在点�运动过程中,作∠���的平分线��交��延长线于�,若�△���: �△���= 4: 1,求线段��的
长.
(3)“十字架”模型
47.综合与实践
数学课上,老师提出了这样一个问题:如图1,在正方形����中,已知��⊥��,求证:��= ��.
甲小组同学的证明思路如下:
由同角的余角相等可得∠���= ∠���.再由��= ��,∠���= ∠�= 90°,证得△���≌△���(依据:
________),从而得��= ��.
乙小组的同学猜想,其他条件不变,若已知��= ��,同样可证得��⊥��,证明思路如下:
由��= ��,��= ��可证得Rt △���≌Rt △���HL ,可得∠���= ∠���,再根据角的等量代换即可
证得��⊥��.
完成任务:
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(1)填空:上述材料中的依据是________(填“SAS”或“AAS”或“ASA”或“HL”)
【发现问题】
同学们通过交流后发现,已知��⊥��可证得��= ��,已知��= ��同样可证得��⊥��,为了验证这个
结论是否具有一般性,又进行了如下探究.
【迁移探究】
(2)在正方形����中,点E 在��上,点M,N 分别在��, ��上,连接��, ��交于点P.甲小组同学根据
��⊥��画出图形如图2 所示,乙小组同学根据��= ��画出图形如图3 所示.甲小组同学发现已知��⊥
��仍能证明��= ��,乙小组同学发现已知��= ��无法证明��⊥��一定成立.
①在图2 中,已知��⊥��,求证:��= ��;
②在图3 中,若∠���= �,则∠���的度数为多少?
【拓展应用】
(3)如图4,在正方形����中,��= 3,点E 在边��上,点M 在边��上,且��= ��= 1,点F,N 分
别在直线��,��上,若��= ��,当直线��与直线��所夹较小角的度数为30°时,请直接写出��的长.
48.如图1,在正方形����中,�为��上一点,连接��,过点�作��⊥��于点�,交��于点G.
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(1)求证:��= ��;
(2)如图2,连接��、��,点M、N、P、Q 分别是��、��、��、��的中点,试判断四边形����的形状,
并说明理由;
(3)如图3,点F、R 分别在正方形����的边��、��上,把正方形沿直线��翻折,使得��的对应边�'�'恰好
经过点�,过点�作��⊥��于点�,若��' = 1,正方形的边长为3,求线段��的长.
题型07 与特殊平行四边形有关的动点问题
49.如图,在矩形����中,O 为对角线��的中点,∠���= 60°,动点E 在线段��上,动点F 在线段��
上,点E,F 同时从点O 出发,分别向终点B,D 运动,且始终保持��= ��,点E 关于��,��的对称点
为�1,�2;点F 关于��,��的对称点为�1,�2,在整个过程中.四边形�1�2�1�2形状的变化依次是(
)
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A.菱形→平行四边形→矩形→平行四边形→菱形
B.菱形→平行四边形→正方形→平行四边形→菱形
C.平行四边形→矩形→平行四边形→矩形→平行四边形
D.平行四边形→菱形→正方形→菱形→平行四边形
50.如图,在矩形����中,��= 8cm,��= 16cm,点P 与点Q 同时出发,点P 从点D 出发向点A 运动,
运动到点A 停止,点Q 从点B 出发向点C 运动,运动到点C 停止,点P,Q 的速度都是1cm/s,连接��,��,��,
设点P,Q 的运动时间为�s.
(1)求当t 为何值时,四边形����是正方形;
(2)求当t 为何值时,��⊥��;
(3)当四边形����的面积为80cm2时,求矩形����的周长与四边形����的周长的比值.
51.如图,平行四边形����的顶点O 为坐标原点,A 点在�轴正半轴上,∠���= 60°,��= 10cm,��= 4cm,
点P 从C 点出发沿��方向,以1cm/s 的速度向点B 运动;点Q 从A 点同时出发沿��方向,以3cm/s 的速
度向原点运动,其中一个动点达到终点时,另一个动点也随之停止运动.
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(1)求点C,B 的坐标(结果用根号表示)
(2)从运动开始,经过多少时间,四边形����是平行四边形;
(3)在点P、Q 运动过程中,四边形����有可能成为菱形吗?若能,求出运动时间;若不能,请说明理由.
52.在矩形����中,��= 9,��= 12,E,F 是对角线��上的两个动点,点E,F 分别从点A,C 同时出
发,相向而行,速度均为每秒1 个单位长度,运动时间为�0 ≤�≤15 秒,G,H 分别是��,��的中点,
连接��,��,��,��.
(1)四边形����的形状一定是______(点E,F 相遇时除外).
(2)当四边形����为矩形时,请求出t 的值.
(3)若点G 向点D 运动,点H 向点B 运动,且与点E,F 以相同的速度同时出发,当四边形����为菱形时,
请直接写出t 的值.
53.综合实践
【问题】小张、小王、小袁在《解析与检测》中发现这样一道题:如图1,在矩形����中,�为对角线��
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的中点,∠���= 60°,动点�在线段��上,动点�在线段��上,点�, �同时从点�出发,分别向终点�, �运
动,且始终保持��= ��.点�关于��, ��的对称点为�1, �2;点�关于��, ��的对称点为�1, �2,在整个过
程中,四边形�1�2�1�2形状的变化依次是什么?
【探究】(1)小张觉得在点�, �运动的过程中,四边形�1�2�1�2的两组对边分别相等,所以四边形�1�2�1�2
形状必定为______;
(2)小王觉得小张说的不全面,于是三人继续探索:
①小王看到四边形�1�2�1�2的四边分别经过了原矩形的四个顶点,并说道:在图1 中,连接��1和��2,只
要能说明∠�1��2为180°即可,其余三条边都可以用这个方法证明.请你根据小王的说法,证明边�1�2经过
点�.
②小王发现,点�, �在点�时,四边形�1�2�1�2为菱形;点�, �分别运动到终点�, �时,四边形�1�2�1�2为
菱形;并猜想点�, �在运动过程中,四边形�1�2�1�2能为矩形.请你利用图2 判段点�, �在运动过程中,四
边形�1�2�1�2否能为矩形?若能请找到点�的位置并证明此时四边形�1�2�1�2为矩形;若不能,也请说明
理由.
【应用】(3)经过探索,三人得出了四边形�1�2�1�2形状的变化依次是菱形、平行四边形、矩形、平行四
边形、菱形的结论.如图3,在原题的基础上,将条件∠���= 60°变为��= 6,��= 8,其余条件不变,
小袁发现在点�, �运动过程中,四边形�1�2�1�2依然能够形成矩形和菱形,请你直接分别写出形成的菱形和
矩形的周长.
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54.如图,在Rt △���中,∠�= 90°,��= 5 3,∠�= 30°.点D 从点C 出发沿��方向以每秒2 个单位
长的速度向A 点匀速运动,同时点E 从点A 出发沿��方向以每秒1 个单位长的速度向点B 匀速运动,当其
中一个点到达终点时,另一个点也随之停止运动.设点D、E 运动的时间是t 秒�> 0 .过点D 作��⊥��
于点F,连接��、��.
(1)��的长是_______,��的长是_______.
(2)在D、E 的运动过程中,线段��与��的关系是否发生变化?若不变化,那么线段��与��是何关系,并
给予证明.若变化,请说明理由.
(3)四边形����能够成为菱形吗?如果能,求出相应的t 值;如果不能,说明理由.
(4)当t 为何值,△���的面积是2 3?
题型08 一次函数与特殊平行四边形的综合问题
55.如图,正方形����的顶点A,�分别在�轴,�轴上,点�3,2 在直线�:�= ��+ 11 上.将正方形����
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沿�轴正方向向右平移��> 0 个单位长度后,点�恰好落在直线�上.则�的值为
.
56.如图,在平面直角坐标系中,已知点�1,2 ,�1, −2 ,连接��,将��向右平移3 个单位得线段��,
其中点�的对应点为点�.
(1)请直接写出点�的坐标和长方形����的面积;
(2)点�是�轴上的动点,连接��.
①当点�在�轴正半轴时,线段��与线段��相交于点�,若三角形���的面积为1,请求出此时三角形���
的面积;
②当��将长方形����的面积分成相等的两部分时,连接��,画出图形,求点�的坐标.
57.如图,在平面直角坐标系中,直线�1:�=−
1
2 �+ 6 分别与x 轴,y 轴交于点A,点B,与直线�2:�= �
交于点C.
(1)求点A,B,C 的坐标;
(2)若点D 是线段��上一点,且△���的面积是△���面积的
1
4,求直线��的解析式;
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(3)点P 是直线�2上一点,点Q 是平面内任意一点,若以点O,B,P,Q 为顶点的四边形是菱形,请直接写
出点Q 的坐标.
58.如图,平面直角坐标系中,矩形����的顶点�0, �、顶点��, �,且b、c 满足�=
�−8 +
8 −�+ 10,
点�−6,0 .
(1)顶点C 的坐标为_______;线段��的长度是________;
(2)已知点E 是线段��上的动点,点F 是线段AC 上的动点,点�2,8 ,当��+ ��的值最小时,求F 点的
坐标;
(3)在第(2)问的条件下,点P 是坐标轴上的点,点Q 是平面内一点,请问存在以点A、F、P、Q 为顶点
的四边形是以AF 为边的矩形吗?若存在,求出点Q 的坐标;若不存在,请说明理由.
59.如图,四边形����是矩形,点A,C 别在x 轴,y 轴上,点B 的坐标是4,3 ,∠���的平分线与x 轴交
于点E.
(1)求线段��的长;
(2)求直线��的解析式;
(3)连接��,交��于点F,连接��,点N 是平面内任意一点;
①求出��所在直线的解析式及点F 坐标;
②在x 轴上是否存在点M,使得以O,F,M,N 为顶点且以��为边的四边形为菱形?若存在,请直接写出
点M 的坐标;若不存在,请说明理由.
60.在平面直角坐标系���中,如果点�,�为某个菱形一组对角的顶点,且点�,�在直线�= �上,那么称
该菱形为点�,�的“关联菱形”.例如,图1 中的四边形����为点�,�的“关联菱形”.
已知点�(1,1),点�(�, �).
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(1)当�= 3 时,
①在点�2,1 ,�(1,3),�( −1,5)中,点
能够成为点�,�的“关联菱形”的顶点;
②当点�,�的“关联菱形”����的面积为8 时,求点�的坐标;
(2)已知直线�=−2�+ �与�轴交于点�,与�轴交于点�,若线段��≤5,且点�是点�,�的“关联菱形”的
顶点,直接写出�的取值范围.