1
第01 讲菱形的性质与判定
课程标准
学习目标
1
理解菱形的概念，以及它与平行四边形之间的关
系；
2
探索并证明菱形的性质定理:菱形的四条边相
等，对角线互相垂直。
3
探索并证明菱形的判定定理：四边相等的四边形
是菱形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
1. 菱形的定义
2. 菱形的性质
3. 会求菱形的面积
4. 菱形的判定．
知识点一：菱形的定义
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
2
要点：菱形的定义的两个要素：①是平行四边形.②有一组邻边相等.即菱形是一个平行四边形，然后增加一
对邻边相等这个特殊条件.
知识点二：菱形的性质
菱形除了具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质：
1.菱形的四条边都相等；
2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.
3.菱形也是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线），对称轴的交点就是对称中心.
常用结论：
（1）菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可将菱形分成完全全等的两部分.
（2）菱形的面积由两种计算方法：一种是平行四边形的面积公式：底×高；另一种是两条对角线乘积的一
半（即四个小直角三角形面积之和）.实际上，任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘
积的一半.
（3）菱形可以用来证明线段相等，角相等，直线平行，垂直及有关计算问题.
知识点三：菱形的判定
1.定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
3.四条边相等的四边形是菱形.
要点：前两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形，后一种方法是在四边形的基础上
加上四条边相等.
题型01
用菱形的性质求角度
1．如图，在菱形ABCD中，连接AC 、BD ，若
70
CDB
，则
ACD
的度数为（
）
A．40
B．30
C．20
D．50
3
【答案】C
【分析】本题主要考查了菱形的性质，以及求余角，设AC 、BD 相交于点O，由菱形的性质可得出
90
COD
，
在利用余角的定义即可求出答案．
【详解】解：设AC 、BD 相交于点O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BD
AC
，
∴
90
COD
，
∵
70
CDB
，
∴
90
20
ACD
CDB
，
故选：C．
2．如图，在Rt
ABC
△
中，
90
ABC
．以点A 为圆心，AB 长为半径画弧，交AC 于点D ；分别以点B ，
D 为圆心，AB 长为半径画弧，两弧相交于点P ，连接PB ，PA ，PD ．若
25
APB
，则
C
的大小为（
）
A．30
B．35
C．40
D．50
【答案】C
【分析】本题考查了菱形的性质，直角三角形中两个锐角互余，根据作图可得四边形ABPD 是菱形，进而
得出
2
50
CAB
APB
，即可求解．
【详解】解：根据作图可得AB
BP
DP
AD
，
∴四边形ABPD 是菱形，
∴
DPB
DAB
，
1
2
APB
DPB
，
∵
25
APB
，
∴
2
50
CAB
CAP
PAB
APB
，
4
∵Rt
ABC
△
中，
90
ABC
，
∴
90
50
40
C
．
故选：C．
3．如图，菱形ABCD中，AC 交BD 于O，CE
AB
于E ，连接OE ，若
110
DAB
，则
OEC
的度数
为
°．
【答案】35
【分析】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，掌握菱形的性质是解题的关键．由
菱形的性质可得
1 180
70
55
2
CAB
ACB
，由直角三角形的性质可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，
110
DAB
，AB
BC
，
∴
70
ABC
，
∴
1 180
70
55
2
CAB
ACB
，AO
CO
，
∵CE
AB
，
∴OE
OA
OC
，
90
AEC
，
∴
55
OEA
OAE
，
∴
90
55
35
OEC
，
故答案为：25．
4．如图，将菱形纸片ABCD折叠，使点B 落在AD 边的点F 处，折痕为CE ，若
80
D
，则
BCF
的度
数是
．
【答案】80/80 度
【分析】此题考查了菱形的性质，折叠的性质，等边对等角和平行线的性质，
5
首先根据平行的性质得到BC
CD
，由折叠得BC
CF
，然后求出CF
CD
，然后根据等边对等角和平行
线的性质求解即可．
【详解】∵四边形ABCD是菱形
∴BC
CD
由折叠可得，BC
CF
∴CF
CD
∴
80
CFD
D
∵四边形ABCD是菱形
∴AD
BC
∥
∴
80
BCF
DFC
．
故答案为：80．
题型02
用菱形的性质求线段长
1．如图，在菱形ABCD中，点E ，F 分别是AB ，AC 的中点．若
3
EF ，则菱形ABCD的周长是（
）
A．12
B．16
C．20
D．24
【答案】D
【分析】本题考查三角形的中位线和菱形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．利用三角形的中位
线定理以及菱形的性质进行计算即可．
【详解】解：∵E、F 分别是AB
AC
、
的中点，
∴EF 是ABC
的中位线，
∴
2
6
BC
EF
，
∴菱形的周长为：
24
4
6
，
故选：D．
2．如图，菱形ABCD的对角线
6
8
AC
BD
AE
BC
，
，
于点E ，则AE 的长是（
）
6
A．4.8
B．9.6
C．9.2
D．10
【答案】A
【分析】本题主要考查菱形的性质，勾股定理的运用，掌握菱形的性质，勾股定理的运算是解题的关键．
根据菱形的性质得出BO
CO
，
的长，在Rt BOC
中求出BC ，利用菱形面积等于对角线乘积的一半，也等于
BC
AE
，可得出AE 的长度．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴
1
3
2
CO
AC
，
1
4
2
BO
BD
，AO
BO
，
∴
2
2
5
BC
OB
OC
，
∴
1
1 6 8
24
2
2
ABCD
S
AC BD
菱形
，
∵
ABCD
S
BC
AE
菱形
，
∴
24
BC
AE
，
∴
4.8
AE
．
故选A
3．如图，菱形ABCD的对角线AC ，BD 相交于点O．若
60
ACB
，则BD
AC （
）
A．
2
B．3
C．
3
D．3 3
2
【答案】C
【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，先证ABC
是等边三角形，根据等
边三角形的性质和勾股定理即可求解．
【详解】解：四边形ABCD是菱形，
AB
BC
，
1
2
BO
DO
BD
，AC
BD
，
1
2
AO
CO
AC
，
∵
60
ACB
，
7
∴ABC
是等边三角形，
AC
BC
AB
，
设AB
AC
x
，则
1
2
AO
x
，
根据勾股定理得：
2
2
3
2
BO
AB
AO
x
，
∴
3
BD
x
，
3
3
BD
x
AC
x
，
故选：C．
4．在菱形ABCD中，对角线AC
BD
、
相交于O，若
6
AB
，
4
AC
，那么BD
．
【答案】8 2
【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，其中菱形的性质是关键．根据题意画出图形，由菱形的性质，
得
1
2
2
2
OA
AC
BD
OB
，
，由勾股定理求得OB 即可．
【详解】解：如图，在菱形ABCD中，AC
BD
，
1
2
2
2
OA
AC
BD
OB
，
，
由鑀得
2
2
36
4
4 2
OB
AB
OA
，
则
2
8 2
BD
OB
；
故答案为：8 2 ．
题型03
用菱形的性质求面积
1．如图，在菱形ABCD中，
4
AB
，
60
DAB
，则菱形的面积为（
）
A．
3
2
B．1
C．
3
D．8 3
8
【答案】D
【分析】本题考查了菱形的性质、含30角的直角三角形的性质“30所对直角边等于斜边的一半”以及勾股
定理等知识，熟练掌握菱形的性质“菱形的四条边都相等，菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线
平分一组对角”和勾股定理“在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方”是
解题的关键．
由菱形的性质得
,
30 ,
OA
OC
BAO
AC
BD
，再由含30角的直角三角形的性质得
2
OB
，然后由勾股
定理求出OA的长，即可解决问题．
【详解】如图，BD 交AC 于点O，
∵四边形ABCD是菱形，
60
DAB
，
∴
1
,
,
30 ,
2
OA
OC OB
OD
BAO
DAB
AC
BD
，
∴
90
AOB
，
∴
1
2
2
OB
AB
，
∴
2
2
2
2
4
2
2 3
OA
AB
OB
，
∴
2
4 3
AC
OA
，
4
BD
，
∴菱形的面积为∶1
4 4 3
8 3
2
．
故选D．
2．如图，菱形ABCD的对角线AC 、BD 相交于点O，过点D 作DH
BC
于点H，连接OH ，若
4,
3
OA
OH
，
则
ABCD
S菱形
为（
）
9
A．6
B．8
C．12
D．24
【答案】D
【分析】本题主要考查菱形的性质、直角三角形斜边上的中线的性质，掌握相关性质并灵活应用是解题的
关键．
根据菱形的性质可知
8
AC
，由DH
BC
，可得
2
6
BD
OH
，从而即可求菱形的面积．
【详解】解：∵ABCD是菱形，
∴
2
8
AC
OA
，
2
2
BD
BO
DO
，
又∵DH
BC
，
∴
2
6
BD
OH
，
∴
1
1
6 8
24
2
2
ABCD
S
AC BD
菱形
，
故选D
3．菱形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知点A，B 的坐标分别为
5,0
和
0, 1
，点C，
D 在坐标轴上，则菱形ABCD的面积为
．
【答案】2 5
【分析】本题考查了菱形的性质，菱形的面积，熟练掌握菱形的性质是解决本题的关键．
根据菱形的对角线互相垂直且平分得到
2 5,
2
AC
BD
，再由菱形面积等于对角线乘积的一半求解即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴
1
1
,
2
2
OA
AC OB
BD
，
∵点A，B 的坐标分别为
5,0
和
0, 1
，
∴
5,
1
OA
OB
，
∴
2 5,
2
AC
BD
，
∴
1
1
2 5
2
2 5
2
2
ABCD
S
AC
BD
菱形
，
10
故答案为：2 5 ．
4．菱形的周长为4 5 cm ，一条对角线长为4cm ，则菱形的面积是
2
cm ．
【答案】4
【分析】本题考查了菱形的面积公式：两条对角线的积的一半，根据菱形的性质可知边长和另一条对角线
的长，然后利用菱形的面积计算公式可解．
【详解】作菱形ABCD，AC
BD
，则
5cm
AB
BC
CD
AD
，
一条对角线长为4cm ，
令
4cm
AC
，则
2cm
AO
，
由勾股定理得
2
2
2
2
5
2
1
BO
AB
AO
cm
，
2cm
DB
，
2
1
4
2
4cm
2
S
菱形
，
故答案为：4．
题型04
用菱形的性质证明
1．如图，在菱形ABCD中，点E 是边AD 上一点，延长AB 至点F，使BF
AE
，连接BE 、CF ．求证：BE
CF
．
【答案】证明见解析
【分析】本题主要考查了菱形的性质，三角形全等的判定和性质，根据菱形的性质，证明
SAS
ABE
BCF
≌
，
得出BE
CF
即可．
【详解】证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD
BC
∥
，AB
BC
，
11
∴
A
CBF
，
在ABE
和
BCF
△
中，
AE
BF
A
CBF
AB
BC
，
∴
SAS
ABE
BCF
≌
，
∴BE
CF
．
2．如图，BD 是菱形ABCD的对角线，P 为边AB 上的点，过点P 作PQ
AD
∥
，交BD 于点M ，交CD 边于
点Q ．求证：CQ
PM
．
【答案】见解析
【分析】本题考查了菱形的性质．首先判定四边形BPCQ 是平行四边形，得到BP
CQ
，然后利用等角对
等边得到PM
PB
，从而证得结论．
【详解】证明：四边形ABCD是菱形，
∴AB
CD
∥
，AD
BC
∥
，
∵PQ
AD
∥
，
∴PQ
BC
∥
，
四边形BPQC 是平行四边形，
BP
CQ
，
CBM
BMP
，
ABC
CBD
，
ABM
PMB
，
PB
PM
，
CQ
PM
．
3．如图，在菱形ABCD中，P 为对角线BD 上一点，点E 在边AD 上，连接PA ，PC ，PE ，且EP
AP
．求
证：CP
EP
．
12
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，
利用菱形的性质可得AD
CD
，
ADP
CDP
，再证明
ADP
CDP
△
≌△
，问题随之得证．
【详解】证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD
CD
，
ADP
CDP
，
在
ADP
△
和
CDP
△
中，
AD
CD
，
ADP
CDP
，DP
DP
，
∴
ADP
CDP
△
≌△
SAS ，
∴AP
CP
，
∵EP
AP
，
∴CP
EP
．
题型05
菱形的判定与证明
1．已知，如图：在四边形ABCD中，如果AB
CD
BC
DA
，
，“华益必胜”，那么四边形ABCD是菱形．在
以上真命题中，“华益必胜”可以表示的条件是（
）
A．
A
C
B．AD
BC
∥
C．AB
BC
D．AB
DC
【答案】C
【分析】本题考查了真命题，菱形的判定等知识．熟练掌握真命题，菱形的判定是解题的关键．
由AB
CD
BC
DA
，
，可证四边形ABCD是平行四边形，由AB
BC
，可证四边形ABCD是菱形，然后判
断作答即可．
【详解】解：∵AB
CD
BC
DA
，
，
∴四边形ABCD是平行四边形，
13
∵AB
BC
，
∴四边形ABCD是菱形，
∴“华益必胜”可以表示的条件是AB
BC
，故C 符合要求；
∵
A
C
，AD
BC
∥
，AB
DC
，均无法证明四边形ABCD是菱形，
∴A、B、D 均不符合要求；
故选：C．
2．已知：在四边形ABCD中，AB
BC
CD
DA
，如图，求证，四边形ABCD是菱形．
证明：
AB
CD
，BC
DA
，
四边形ABCD是平行四边形，
又…………，
四边形ABCD是菱形
在以上证明过程中，“…………”可以表示的是（
）
A．
A
C
B．AD
BC
∥
C．AB
BC
D．AB
DC
【答案】C
【分析】根据菱形的定义判定即可，“有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形”，熟练掌握菱形的定义是解
题的关键．
【详解】根据“有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形”，可得“…………”可以表示的是AB
BC
．
故选C．
3．如图，在菱形ABCD中，E、F 是对角线AC 上的两点，连接DE 、DF ，请你添加一个条件，使
DAE
DCF
≌
．（不再添加辅助线和字母）
(1)你添加的条件是______；
(2)添加条件后，请证明DAE
DCF
≌
．
14
【答案】(1) AE
CF
(2)证明见解析
【分析】本题考查的是菱形的性质，全等三角形的判定与性质，熟记菱形的性质是解本题的关键；
（1）根据菱形的性质可得AD
CD
，
DAC
DCA
，再结合全等三角形的判定方法选择添加条件即可；
（2）证明AD
CD
，
DAC
DCA
，再结合添加的条件可得结论．
【详解】（1）解：添加的条件是：AE
CF
，
故答案为：AE
CF
；
（2）∵菱形ABCD，
∴AD
CD
，
∴
DAC
DCA
，
在DAE
与DCF
中，
DA
DC
DAE
DCF
AE
CF
，
∴
SAS
DAE
DCF
≌
．
题型05
菱形的性质与判定的综合应用
1．如图，以点A 为圆心，适当的长为半径画弧，交
A
两边于点M，N，再分别以M、N 为圆心，AM 的
长为半径画弧，两弧交于点B，连接MB
NB
，
．若
40
A
，则
MBN
（
）
A．40
B．50
C．60
D．140
【答案】A
【分析】本题考查了菱形的判定和性质．证明四边形AMBN 是菱形，即可求解．
【详解】解：由作图知AM
AN
BM
BN
，
∴四边形AMBN 是菱形，
∵
40
A
，
∴
40
MBN
A
，
故选：A．
15
2．如图，四边形ABCD中，AB
BC
CD
DA
，
80
B
，连接AC ，那么
ACD
的度数为（
）
A．45
B．50
C．55
D．60
【答案】B
【分析】先证明四边形ABCD是菱形，得到
1
2
AB
CD
ACD
BCD
∥
，∠
∠
，再求出
180
100
BCD
B
∠
∠
即可得到答案．
【详解】解：∵四边形ABCD中，AB
BC
CD
DA
，
∴四边形ABCD是菱形，
∴
1
2
AB
CD
ACD
BCD
∥
，∠
∠
，
∴
180
100
BCD
B
∠
∠
，
∴
1
50
2
ACD
BCD
，
故选B．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质与判定，熟知菱形的性质与判定条件是解题的关键．
3．如图，已知
AOB
，以点O为圆心，适当长为半径作圆弧，与角的两边分别交于C ，D 两点，分别以
点C ，D 为圆心，大于1
2 CD 长为半径作圆弧，两条圆弧交于
AOB
内一点E ，作射线OE ．以点C 为圆心，
CO 长为半径作圆弧，恰好经点D ，与射线OE 交于点F ，连接CF ，DF ．若
4 3
OF
，则四边形COFD的
面积为
．
【答案】8 3
【分析】连接CD 交OF 于点T ，由作图易知OCD
是等边三角形，OE 平分
COD
，先证明四边形CODF 是
16
菱形，求出CD 的长度，再根据“菱形的面积等于对角线乘积的一半”可得结论．
【详解】解：如图，连接CD 交OF 于点T ．
由作图可知OC
OD
CD
，
OCD
△
是等边三角形，
60
COD
，
由作图可知OE 平分
COD
，
30
COF
DOF
，
CO
CF
，
CFO
COF
DOF
，
CF
OD
∥
，
CF
OD
，
四边形OCFD 是平行四边形，
CO
CF
，
四边形OCFD 是菱形，
OF
CD
，
1
2 3
2
OT
FT
OF
，
3
tan 30
2 3
2
3
CT
DT
OT
，
4
CD
，
菱形CODF 的面积
1
1
4 3
4
8 3
2
2
OF CD
．
故答案为：8 3 ．
【点睛】本题考查了基本尺规作图，菱形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和
性质，解题的关键是理解题意，灵活运用相关知识解决问题．
4．如图，在ABC
中，D，E 分别是AB
AC
，
的中点．
2
BE
DE
，延长DE 到点F，使得EF
BE
，连接CF ．
17
(1)求证：四边形BCFE 是菱形；
(2)若
4
120
CE
BCF
，
，求菱形BCFE 的面积．
【答案】(1)见解析；
(2)
8 3
BCFE
S
菱形
．
【分析】本题考查菱形的判定和性质以及三角形中位线定理，以及菱形的面积的计算等知识点，掌握相关
知识是解题的关键．
（1）从所给的条件可知，DE 是ABC
中位线，所以DE
BC
∥
且2DE
BC
，所以BC 和EF 平行且相等，所
以四边形BCFE 是平行四边形，又因为BE
FE
，所以是菱形；
（2）
120
BCF
，所以
60
EBC
，所以菱形的边长也为4，求出菱形的高面积就可求．
【详解】（1）证明：∵D、E 分别是AB
AC
、
的中点，
∴DE
BC
∥
，且
2
BC
DE
，
又∵
2
BE
DE
EF
BE
，
，
∴EF
BC
EF
BC
，
∥
，
∴四边形BCFE 是平行四边形，
又∵BE
FE
，
∴四边形BCFE 是菱形．
（2）解：在菱形BCFE 中，
120
BCF
BEF
BE
BC
，
，
∴
180
120
60
EBC
，
∴EBC
是等边三角形．
∴
4
BE
BC
CE
，
过点E 作EG
BC
于点G，如图：
18
∴
2
BG ．
∴
2
2
2
2
4
2
2 3
EG
BE
BG
，
∴
4 2 3
8 3
BCFE
S
BC EG
菱形
．
（测试时间45 分钟）
1．在
ABCD
中，AC 、BD 是对角线，补充一个条件使得四边形ABCD为菱形，这个条件可以是（
）
A．AC
BD
B．AC
BD
C．AB
AC
D．
90
ABC
【答案】B
【分析】本题考查了菱形的判定．根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可判断．
【详解】解：添加一个条件为AC
BD
，理由如下：
四边形ABCD是平行四边形，AC
BD
，
平行四边形ABCD是菱形．
故选：B．
2．如图，剪两张对边平行且宽度相同的纸条随意交叉叠放在一起，转动其中一张，重合部分构成一个四边
形，则下列结论中不一定成立的是（
）
A．
ABC
ADC
，
BAD
BCD
B．AB
BC
C．AB
CD
，AD
BC
D．
180
DAB
BCD
【答案】D
19
【分析】本题考查了菱形的判定与性质．注意：“邻边相等的平行四边形是菱形”，而非“邻边相等的四边形
是菱形”．首先可判断重叠部分为平行四边形，且两条纸条宽度相同；再由平行四边形的等积转换可得邻边
相等，则四边形ABCD为菱形．所以根据菱形的性质进行判断．
【详解】解四边形ABCD是用两张等宽的纸条交叉重叠地放在一起而组成的图形，
∴AB
CD
∥
，AD
BC
∥
，
四边形ABCD是平行四边形（对边相互平行的四边形是平行四边形）；
过点A 分别作BC ，CD 边上的高为AE ，AF ．则
AE
AF
（两纸条相同，纸条宽度相同）；
平行四边形ABCD中，
ABC
ACD
S
S
，即
BC
AE
CD
AF ，
BC
CD
，即AB
BC
．故B 正确；
平行四边形ABCD为菱形（邻边相等的平行四边形是菱形）．
ABC
ADC
，
BAD
BCD
（菱形的对角相等），故A 正确；
AB
CD
，AD
BC
（平行四边形的对边相等），故C 正确；
如果四边形ABCD是矩形时，该等式成立．故D 不一定正确．
故选：D．
【点睛】
3．如图，在菱形ABCD中，作FE 垂直平分AB ，垂足为E ，交AC 于点F ，连接DF ，若
CDF
，则
CAB
等于（
）
A．2
B．45
C．30
2
D．60
3
【答案】D
【分析】本题考查了菱形的性质和线段的垂直平分线的性质，根据菱形的性质求出
20
2
DAB
DAC
AD
CD
，
；再根据垂直平分线的性质得出AF
DF
，利用三角形内角和定理可以求得
3
180
CAD
CDF
，从而得到
DAC
的度数，即可求解．
【详解】解：如图，连接BD
BF
、
，
，
∵四边形ABCD是菱形，
AD
CD
，
DAC
DCA
，
EF
垂直平分AB
AC
，
垂直平分BD ，
AF
BF
BF
DF
，
，
AF
DF
，
FAD
FDA
，
180
DAC
ADF
DCA
CDF
，即3
180
DAC
CDF
，
CDF
，
3
180
DAC
，则
60
3
DAC
，
60
3
DA
C
C
AB
，
故选：D．
4．如图是由5 个边长为1，且一个内角为60的小菱形拼成的图形，P 是其中4 个小菱形的公共顶点．佳佳
想到：“一条直线经过平行四边形对角线的交点，则这条直线平分该平行四边形的面积”就将该图形沿着过点
P 的某条直线剪一刀，把这五个菱形组成纸片剪成了面积相等的两部分，则剪痕的长度是（）
A．
3
B．13
C．13
3
D．2 7
3
【答案】B
【分析】本题考查了图形的剪拼，中心对称的性质，勾股定理的应用，熟练掌握中心对称的性质是解题的
21
关键．根据中心对称的性质即可作出剪痕，由三角形全等的性质即可证得QF
AP
=
，利用勾股定理即可求
得．
【详解】解：如图，连接最左侧菱形的对角线交于点O，作直线OP ，交CB 延长线于点A，交最左侧菱形
对边分别于点
,
Q N ，交最右侧上方菱形一边于点F，过点P 作PG
CD
，垂足为G，
菱形是中心对称图形，
经过P、O 的直线则把它剪成了面积相等的两部分，
由中心对称图形可知
,
MNP
EFP
MNO
BQO
≌
≌
，
BQ
MN
，
MP
AC
∥
，
A
MPN
，
180
60
120
ABQ
PMN
Ð
= Ð
=
°-
°=
°
，
MNP
BQA
≌
，
MNP
BQA
EFP
≌
≌
，
∴
,
1
AQ
PF AB
PE
=
=
= ，
∴QF
AP
=
，
90
30
CPG
PCD
Ð
=
°-Ð
=
°，
1
1
2
2
CG
CP
\
=
=
，
2
2
3
2
PG
CP
CG
\
=
-
=
，
7
2
AG
2
2
2
2
7
3
13
2
2
AP
AG
PG
，
∴
13
QF =
，
故选：B．
5．如图，
ABCD
的对角线AC
BD
，
相交于点O，点E 为边BC 的中点，连接EO并延长交边AD 于点F，
60
ABC
，
2
BC
AB
．下列结论错误的是（
）
22
A．AB
AC
B．
4
AD
OE
C．四边形AECF 为菱形
D．
BOE
ABC
S
S
【答案】D
【分析】通过判定ABE
为等边三角形求得
60
∠BAE
，利用等腰三角形的性质求得
30
EAC
，从而判
断①；利用有一组邻边相等的平行四边形是菱形判断③，然后结合菱形的性质和含30直角三角形的性质判
断②；根据三角形中线的性质判断④．
【详解】解：点E 为边BC 的中点，
2
2
BC
BE
CE
，
又
2
BC
AB
，
AB
BE
，
60
ABC
，
ABE
为等边三角形，
60
BAE
BEA
，AE
BE
CE
，
30
EAC
ECA
，
90
BAC
BAE
EAC
，
即AB
AC
，故选项A 正确；
在
ABCD
中，AD
BC
∥
，AO
CO
，
CAD
ACB
，
在AOF
和COE
中，
CAD
ACB
OA
OC
AOF
COE
，
ASA
AOF
COE
≌
AF
CE
，
四边形AECF 为平行四边形，
23
AE
CE
，
四边形AECF 为菱形，故选项C 正确；
AC
EF
，
在Rt
COE
△
中，
30
ECA
，
1
1
1
2
4
4
OE
CE
BC
AD
=
=
=
，
4
AD
OE
，故选项B 正确；
在
ABCD
中，AO
CO
，
又点E 为边BC 的中点，
1
1
2
4
BOE
BOC
ABC
S
S
S
，故选项D 错误，
故选：D．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，含30角的直角三角
形的性质，三角形的中线性质，掌握菱形的判定是解题关键．
6．如图1，在菱形ABCD中，对角线AC
BD
，
交于点O，
=60
ACB
，
1
1
3
AM
AN
AB
，点P 沿BD 从
点B 匀速运动到点D．设点P 的运动距离为x，PM
PN
y
，图2 是点P 运动时y 随x 变化的函数关系图
象，则图2 中最低点的横坐标a 的值为（
）
A．2 3
B．3
2
C．3 3
2
D．3
【答案】C
【分析】本题主要考查菱形的性质、勾股定理、等边三角形的性质等，作点N 关于BD 的对称点N，连接MN
交BD 于点P，连接NN
PN
MN
，
，
，由菱形的性质可知，点N 与点N关于BD 对称，根据两点之间线段最
短可知，当M、P、N三点共线时，PM
PN
的最小值为MN，再根据勾股定理即可求解．
【详解】解：如图，作点N 关于BD 的对称点N，连接MN交BD 于点P，连接NN
PN
MN
，
，
，
24
∵四边形ABCD为菱形，
=60
ACB
，
1
1
3
AM
AN
AB
，
∴
ACB
△
是等边三角形，
3
AC
BC
AB
，
3
2
AO
OC
，
∵四边形ABCD为菱形，
∴点N在CD 上，AC
BD
，
∴BD 垂直平分NN，
∴PN
PN
NN
AC
＝
，
∥
，
∴PM
PN
PM
PN
=
，
∴当M、P、N三点共线时，PM
PN
的最小值为MN，此时点P
O
、
重合，
在Rt
BCO
△
中，
2
2
3 3
2
BO
BC
OC
，
即
3 3
2
a
．
故选：C．
7．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC 的顶点A 的坐标是
3,1 ．若顶点B 在第一象限的角平分线上，
则点B 的坐标是
．
【答案】
4,4
【分析】此题考查了菱形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质，过点B 作BE
x
⊥轴于点E，过点A
作AD
x
轴于点D，过点A 作AF
BE
⊥
于点F，则四边形ADEF 是矩形，得到
1,
AD
EF
AF
DE
x
，
勾股定理得到
10
AB
OA
，则
3
BE
OE
x
，得到
2
BF
BE
EF
x
，在Rt ABF
中，由勾股定理
25
得到
2
2
2
2
10
x
x
，求出
1
AF
DE
，则
3 1
4
OE
BE
OD
DE
，即可得到点B 的坐标．
【详解】解：过点B 作BE
x
⊥轴于点E，过点A 作AD
x
轴于点D，过点A 作AF
BE
⊥
于点F，
∵点A 的坐标是
3,1
∴
1,
3
AD
OD
，
∴
2
2
10
OA
AD
OD
∵
90
ADE
BED
AFE
，
∴四边形ADEF 是矩形，
∴
1,
AD
EF
AF
DE
x
，
∵四边形OABC 是菱形，
∴
10
AB
OA
∵顶点B 在第一象限的角平分线上，
∴
45
BOE
，
∴
BOE
△
是等腰直角三角形，
∴
3
BE
OE
x
，
∴
2
BF
BE
EF
x
，
在Rt ABF
中，
2
2
2
AF
BF
AB
，
即
2
2
2
2
10
x
x
，
解得
1
2
1,
3
x
x
（不合题意舍去）
∴
1
AF
DE
，
∴
3 1
4
OE
BE
OD
DE
，
∴点B 的坐标为
4,4 ，
故答案为：
4,4
26
8．如图，在菱形ABCD中，点E，F，G 分别在AC ，BC ，AB 上，EF
AB
∥
，EG
BC
∥
．若菱形ABCD
的边长为6，则EF
EG
的长为
．
【答案】6
【分析】本题考查了菱形的性质、等腰三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质，由菱形的性质得
出AB
BC
，由等边对等角得出
BAC
BCA
，证明四边形BFEG 为平行四边形，
AEG
ACB
，得出
EF
BG
，
GAE
GEA
，从而推出GE
AG
，即可得解．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴
6
AB
BC
，
∴
BAC
BCA
，
∵EF
AB
，EG
BC
，
∴四边形BFEG 为平行四边形，
AEG
ACB
，
∴EF
BG
，
GAE
GEA
，
∴GE
AG
，
∴
6
EF
EG
BG
AG
AB
，
故答案为：6 ．
9．如图，在边长为2 的菱形ABCD中，
120
B
，点M 是AD 的中点，连接MC ，将菱形ABCD翻折，使
点A 落在线段CM 上的点E 处，折痕交AB 于点N，则线段EC 的长为
．
【答案】
7
1
【分析】过点M 作MF
DC
，交CD 于点F，解直角三角形得出
,
MF FD 的长，再根据勾股定理求得MC ，
即可解答．
【详解】解：如图所示，过点M 作MF
DC
，交CD 于点F，
27
∵在边长为2 的菱形ABCD中，
120
ABC
，
120
ADC
，
60
FDM
，
30
FMD
，
MF
FD
，点M 为AD 的中点，
∴
1
1
1
2
2
MD
AD
CD
，
∴
1
1
2
2
FD
MD
，
∴
2
2
3
2
FM
MD
FD
，
∴
2
2
2
2
5
3
7
2
2
MC
FC
FM
，
将菱形ABCD翻折，使点A 的对应点E 落在MC 上，
1
ME
AM
，
∴
7
1
EC
MC
ME
．
故答案为：
7
1
．
【点睛】本题考查了含有30角的直角三角形的性质，菱形的性质，勾股定理，翻折的性质等知识，正确画
出辅助线是解题的关键．
10．如图，四边形ABCD是边长为2 的菱形，
120
B
，将菱形ABCD绕点A 逆时针旋转，使点B 的对应
点B落在对角线AC 上，则
DAB
，B C
交CD 于点E，则四边形DAB E
的面积等于
．
【答案】
30
3
3
/
3
3
28
【分析】本题考查菱形的性质，旋转的性质，根据菱形的对角线平分一组对角，即可得出
DAB
的度数，
利用
ADC
△
的面积减去CEB
的面积求出四边形DAB E
的面积即可．
【详解】解：连接BD ，交AC 于点O，
∵四边形ABCD是边长为2 的菱形，
120
B
，
∴
1
,
,
2
AD
BC
DAC
DAB AC
BD
∥
，
∴
60
DAB
，
∴
30
DAC
，
60
BCD
，
30
DCA
，
ABD
△
为等边三角形，
∴
2
BD
AB
，
∴
2
2
1,
3
BO
OA
AB
OB
，
∴
2 3
AC
，
∵将菱形ABCD绕点A 逆时针旋转，使点B 的对应点B落在对角线AC 上，
∴
30
DAB
DAC
，
2
AB
AB
，
120
AB C
∴
60 ,
2 3
2
CB E
B C
AC
AB
，
∵
30
DCA
，
∴
90
B EC
，
∴
1
3 1
2
B E
B C
，
3
3
3
CE
B E
，
∴四边形DAB E
的面积等于
1
1
2 3 1
3
1 3
3
3
2 3
3
3
3
2
2
ADC
B EC
S
S
；
故答案为：30；3
3
．
11．如图，点E ，F 分别在菱形ABCD的边BC ，CD上，连接AE 、AF ．请从以下两个选项中①BE
DF
；
②
AEB
AFD
，选择一个合适的选项作为已知条件，使
BAE
DAF
．
29
(1)你添加的条件是________；（填序号，填一个即可）
(2)根据你添加的条件进行证明．
【答案】(1)①或②(2)见解析
【分析】本题主要考查了菱形的性质及全等三角形的判定及性质，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解
题的关键．
（1）根据菱形的性质以及全等三角形的判定及性质选择即可；
（2 ）选择①，证明
SAS
ABE
ADF
≌
，可得
BAE
DAF
．选择②，证明
AAS
ABE
ADF
≌
，可得
BAE
DAF
．
【详解】（1）解：∵选①或②都可得
BAE
DAF
，
∴可选①或②，
故答案为：①或②；
（2）证明：选择①，
四边形ABCD是菱形，
B
D
，AB
AD
，
在ABE
和
ADF
△
中，AB
AD
，
B
D
，BE
DF
，
SAS
ABE
ADF
≌
，
BAE
DAF
．
选择②，
四边形ABCD是菱形，
B
D
，AB
AD
，
在ABE
和
ADF
△
中，AB
AD
，
B
D
，
AEB
AFD
，
AAS
ABE
ADF
≌
，
BAE
DAF
．
12．如图，已知
ABCD AD
AB
，连接AC ．
30
(1)请用无刻度的直尺和圆规作图（保留作图痕迹，不写作法）
作AC 的垂直平分线
,
MN 分别交
,
,
AD BC AC于点M，N，O，连接CM 和AN ；
(2)在（1）的条件下，若四边形AMCN 的周长为16，求AM 的长．
【答案】(1)详见解析2)4
【分析】此题考查了菱形的性质和判定，线段垂直平分线的作图和性质，全等三角形的判定和性质，证明
四边形AMCN 是菱形是解题的关键．
（1）按照垂直平分线的作图方法作图即可；
（2）证明
AAS
AOM
CON
≌
，则AM
CN
．又由AM
CN
∥
即可证明四边形AMCN 是平行四边形．由
MN 垂直平分线段AC 得到AM
CM
，即可证明四边形AMCN 是菱形，根据菱形的周长即可求出AM 的长．
【详解】（1）如图所示：
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD
CB
AO
OC
，
．
∴
AMO
CNO
．
又∵
AOM
CON
，
∴
AAS
AOM
CON
≌
，
∴AM
CN
．
又∵AM
CN
∥
，
∴四边形AMCN 是平行四边形．
∵MN 垂直平分线段AC ，
∴AM
CM
．
∴四边形AMCN 是菱形，
∴四边形AMCN 的周长
4
16
AM
．
31
∴
4
AM
．
13．如图，在
ABCD
中，CE 平分
BCD
，交AD 于点E，DF 平分
ADC
，交BC 于点F，CE 与DF 交
于点P，连接EF ．
(1)求证：四边形CDEF 是菱形；
(2)若
60
DCE
，
2
EC
，求菱形CDEF 的面积．
【答案】(1)证明见解析
(2)2 3
【分析】本题主要考查了菱形的性质与判定，平行四边形的性质，等角对等边，勾股定理等等：
（1）利用平行四边形的性质和角平分线的定义可求得CF
CD
DE
，可证得结论；
（2）利用菱形的性质得到CE
DF
，
1
2
1
2
DF
DP
PE
CE
，
，再由含30 度角的直角三角形的性质得到
2
2
DE
PE
，则
2
2
3
PD
DE
PE
，即可得到
2
2 3
DF
PD
，则
1
2 3
2
CDEF
S
CE DF
菱形
．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD
BC
∥
，
∴
EDF
DFC
=
，
∵DF 平分
ADC
，
∴
EDF
CDF
，
∴
DFC
CDF
，
∴CD
CF
，
同理可得CD
DE
，
∴CF
DE
，且CF
DE
∥
，
∴四边形CDEF 为平行四边形；
∵CD
DE
，
∴四边形CDEF 为菱形；
（2）解：∵四边形CDEF 为菱形，
32
∴CE
DF
，
1
2
1
2
DF
DP
PE
CE
，
，
∵
60
DCE
，
∴
30
EDP
，
∴
2
2
DE
PE
，
∴
2
2
3
PD
DE
PE
，
∴
2
2 3
DF
PD
，
∴
1
2 3
2
CDEF
S
CE DF
菱形
．
14．如图1，AE
BF
∥
，AC 平分
BAD
，且交BF 于点C ，BD 平分
ABC
，且交AE 于点D ，连接CD
(1)求证：四边形ABCD是菱形；
(2)如图2，若DM
BF
交BF 于点M ，且
6
AC
，
4
OM
，求菱形的边长．
【答案】(1)见解析(2)5
【分析】本题考查了菱形的判定与性质，勾股定理，直角三角形斜边上中线的性质，熟练掌握菱形的性质
是解题的关键．
（1）由平行线的性质及角平分线的定义证出AD
BC
，得出四边形ABCD是平行四边形，根据菱形的判定
定理可得出结论；
（2）由直角三角形的性质
4
OD
，由勾股定理可得出答案．
【详解】（1）证明：
AC
平分
BAD
，
BAC
DAC
，
又
AE
BF
∥
，
DAC
ACB
BAC
，
AB
BC
，
同理，BD 平分
ABC
，
ABD
CBD
，
又
AE
BF
∥
，
33
CBD
ADB
ABD
，
AB
AD
，
AB
BC
，AB
AD
，
AD
BC
，
AD
BC
，
四边形ABCD是平行四边形，
AB
AD
，
四边形ABCD是菱形；
（2）解：菱形ABCD中，
6
AC
，
4
OM
，DM
BF
，
OD
OC
，
3
OC
，
4
OB
OD
OM
，
2
2
2
2
3
4
5
CD
OD
OC
．
15．如图1，两个全等的直角三角形ABC 和DEF 的斜边AC 和DF 在同一直线上，AB
DE
，将DEF
沿
直线AC 平移，并连结AE ，BD ．
(1)【基础巩固】
求证：在DEF
沿直线AC 平移过程中，四边形ABDE 是平行四边形；
(2)【操作思考】
如图2，已知
4
AB
，
2
BC
，当DEF
沿AC 平移到某一个位置时，四边形ABDE 为菱形，求此时AF 的
长；
(3)【拓展探究】
如图3，连结BE ，若四边形ABDE 为菱形，且BE
CD
，求
BAC
的度数．
【答案】(1)见解析
(2) 6 5
5
(3)22.5
【分析】（1）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可解决问题；
34
（2）设
2
AF
DC
x
，根据勾股定理，建立方程求解即可；
（3）延长BC 交DE 于点H ，证明
(AAS)
CDH
EBH
△
≌△
，得DH
BH
，所以
BDH
△
是等腰直角三角形，然
后根据菱形的性质即可解决问题．
【详解】（1）证明：
ABC
DEF
≌
，
AB
DE
，
BAC
EDF
，
AB
DE
，
四边形ABDE 是平行四边形；
（2）解：
90
ABC
，
4
AB
，
2
BC
，
2
2
2
2
4
2
2 5
AC
AB
BC
，
如图2，连接BE 交AD 于点O，
四边形ABDE 是菱形，
4
AE
AB
，AD
BE
，
1
2
AO
AD
，
1
1
2
2
ABC
S
AC OB
AB BC
△
，
2 5
4
2
OB
，
4 5
5
OB
，
设
2
AF
DC
x
，
2 5
2
AD
AC
CD
x
，
1
5
2
AO
AD
x
，
90
AOB
，
2
2
2
AB
OB
AO
，
2
2
2
4 5
4
(
)
( 5
)
5
x
，
整理得
2
64
2 5
5
5
x
x
，
35
解得：
3 5
5
x
或
11 5
5
x
（舍去），
3 5
6 5
2
2
5
5
AF
x
．
当
6 5
5
AF
时，四边形ABDE 能成为菱形；
（3）解：如图3，连结BE ，延长BC 交DE 于点H ，
四边形ABDE 为菱形，
AB
DE
，AD
BE
，
90
DHC
ABC
，
90
CDH
DEB
HBE
，
CD
BE
，
(AAS)
CDH
EBH
△
≌△
，
DH
BH
，
BDH
是等腰直角三角形，
45
BDH
，
四边形ABDE 为菱形，
1
22.5
2
BDA
BDH
，
22.5
BAC
BDA
．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的判定与性质，平移的性质，菱形的性质，全等三角形
的判定与性质，勾股定理，平行线的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
16．如图，在四边形ABCD中，AB
CD
∥
，AB
AD
，对角线AC ，BD 交于点O，AC 平分
BAD
，过点
C 作CE
AB
交AB 的延长线于点E ，连接OE ．
36
(1)求证：四边形ABCD是菱形；
(2)若
5
AB
，
2
BD ，求OE 的长；
(3)在（2）的条件下，已知点M 是线段AC 上一点，且
2
DM
，则CM 的长为_______．
【答案】(1)见解析
(2)2
(3)3 或1
【分析】此题主要考查了菱形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理；
（1）先判断出
OAB
DCA
，进而判断出
DCA
DAC
，得出CD
AD
AB
，即可得出结论；
（2）先判断出OE
OA
OC
，再求出
1
OB ，利用勾股定理求出OA ，即可得出结论；
（3）先根据勾股定理求出OM ，再结合图形即可求出CM ．
【详解】（1）证明：∵AB
CD
∥
，
OAB
DCA
，
AC
为
DAB
的平分线，
OAB
DAC
，
DCA
DAC
，
CD
AD
AB
，
∵AB
CD
∥
，
四边形ABCD是平行四边形，
AD
AB ，
平行四边形ABCD是菱形；
（2）解：四边形ABCD是菱形，
OA
OC
，BD
AC
，
CE
AB
，
OE
OA
OC
，
2
BD
，
37
1
1
2
OB
BD
，
在Rt
AOB
△
中，
5
AB
，
1
OB ，
2
2
5 1
2
OA
AB
OB
，
2
OE
OA
；
（3）解：如图，
在（2）的条件下，
1
1
2
OD
BD
，
2
OA
OC
∵
2
DM
，
∴
2
2
2
2
2
1
1
OM
DM
OD
，
∴
2 1
3
CM
OC
OM
或
2 1 1
CM
OC
OM
故答案为：3 或1．
17．如图，在Rt
ABC
△
中，
90
B
Ð
=
°，
5 3
BC
，
30
C
．点D 从点C 出发沿CA 方向以每秒2 个单位
长的速度向A 点匀速运动，同时点E 从点A 出发沿AB 方向以每秒1 个单位长的速度向点B 匀速运动，当
其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E 运动的时间是t 秒
0
t
．过点D 作DF
BC
于点F，连接DE
EF
、
．
(1) AC 的长是_______，AB 的长是_______．
(2)在D、E 的运动过程中，线段EF 与AD 的关系是否发生变化？若不变化，那么线段EF 与AD 是何关系，
并给予证明．若变化，请说明理由．
(3)四边形AEFD 能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t 值；如果不能，说明理由．
(4)当t 为何值，CDF
的面积是2 3 ？
【答案】(1)10，5
38
(2)不变化，EF 与AD 平行且相等；
(3)能，当
10
3
t
秒时，四边形AEFD 为菱形；
(4)当
2
t
秒时，CDF
的面积是2 3 ．
【分析】（1）根据直角三角形的性质可得
2
10
AC
AB
，再由勾股定理，即可求解；
（2）根据直角三角形的性质可得
1
2
DF
CD
t
，再证明四边形AEFD 为平行四边形，即可求解；
（3）根据菱形的判定可得当AE
AD
时，平行四边形AEFD 为菱形，得到关于t 的方程，即可求解；
（4）由
2
DC
t
，
30
C
，求得DF
t
，
3
CF
t
，利用三角形面积公式列式计算即可求解．
【详解】（1）解：∵
90
B
Ð
=
°，
5 3
BC
，
30
C
，
∴
2
AC
AB
，
由勾股定理得：
2
2
2
2
2
2
2
5 3
C
A
B
AC
B
AB
AB
；
解得
5
AB
，
10
AC
，
故答案为：10，5；
（2）解：EF 与AD 平行且相等．
证明：由题意得：
2 ,
DC
t AE
t
，
在
DFC
△
中，
90
30
DFC
C
，
，
∴
1
2
DF
CD
t
．
又∵AE
t
，
∴AE
DF
，
∵
,
AB
BC DF
BC
，
∴AE
DF
∥
，
∴四边形AEFD 为平行四边形，
∴EF 与AD 平行且相等；
（3）解：四边形AEFD 能够成为菱形．理由如下：
由（2）知：四边形AEFD 为平行四边形，
∵
10
2
AC
DC
t
，
，
∴
10
2
AD
AC
DC
t
．
当AE
AD
时，平行四边形AEFD 为菱形，
39
即
10
2
t
t
，
解得：
10
3
t
．
即当
10
3
t
秒时，四边形AEFD 为菱形；
（4）解：∵
2
DC
t
，
30
C
，
∴DF
t
，
3
CF
t
，
由题意得1
2 3
2 DF
CF
，即1
3
2 3
2 t
t
，
解得
2
t （舍去负值），
∴当
2
t
秒时，CDF
的面积是2 3 ．
【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，菱形的判定，平行四边形的判定和性质，勾股定理，熟练掌
握直角三角形的性质，菱形的判定，平行四边形的判定和性质是解题的关键．
