文档文本内容
1
第20 讲反比例函数的应用
课程标准
学习目标
反比例函数解决简单的实际问题．
1. 能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式，并
能结合图象加深对问题的理解．
2．根据条件求出函数解析式，运用学过的函数知识解决反
比例函数的应用问题，体会数学与现实生活的紧密联系，
增强应用意识．
知识点一：反比例函数在实际问题中的应用
（1）题意找出自变量与因变量之间的乘积关系；
（2）设出函数表达式；
（3）依题意求解函数表达式；
（4）根据反比例函数的表达式或性质解决相关问题.
2
知识点二：反比例函数的实际应用
常见函数关系：当圆柱体的体积一定时，圆柱的底面积是高的反比例函数；
当工程总量一定时，做工时间是做工速度的反比例函数；
在使用杠杆时，如果阻力和阻力臂不变，则动力是动力臂的反比例函数；
电压一定，输出功率是电路中电阻的反比例函数.
题型01
实际问题中反比例函数图象
1．在化学课上，老师教同学们配制食盐溶液，若有食盐60g ，则溶液的浓度y 与加水后溶液质量x 之间的
函数图象大致是（
）
A．
B．
C．
D．
2．密闭容器内有一定质量的气体，当容器的体积y（单位：
3
m ）变化时，气体的密度（单位：
3
kg / m ）
随之变化．已知密度p 与体积y 是反比例函数关系，它的图象如图所示．则下列说法正确的是（
）
A．函数解析式为
7
v
3
B．容器内气体密度随着气体的体积v 的增大而增大
C．当
3
8kg / m
时，
3
1.25m
v
D．当
3
4kg / m
时，
3
3m
v
3．在一次物理实验中，小明同学用一固定电压为12V 的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完
成控制灯泡L（灯丝的阻值
L
R 是定值）亮度的实验（如图1）．已知串联电路中，电流与电阻R、
L
R 之间关
系为
0
L
U
I
R
R
R
，图2 是I 关于R 的函数图象，则下列说法中错误的是（
）
A．灯丝的阻值
L
R 为2
B．用含R 的代数式表示I 为
12
0
2
I
R
R
C．当滑动变阻器的电阻为2时，串联电路电流为3A
D．要使通过灯泡的电流不低2A ，则调节滑动变阻器电阻的范围为
4
R
4．如图①所示的家用扫地机器人，其底部安装有滚刷，内置集尘器，机器人在除尘时先“脱灰”（滚刷将灰
尘从地面上脱离附着），后“吸灰”（将脱附的灰尘转移进集尘器）．研究滚刷滚速对“脱灰”效果的影响，小静
在保持扫地机器人“吸灰”效果一定的情况下，对除尘过程中滚刷的滚速与除尘能力C（在地面撒灰后，清扫
10 次所减少的灰占所撒的灰总质量的比）进行了试验，得到如图②所示的关系图，规定除尘能力C 超过36.5%
即为及格．则下列说法正确的是（
）
A．除尘能力关于滚刷的滚速的图象是反比例函数图象的一部分
B．随着滚刷滚速的增加，除尘能力增加得越来越快
C．当滚速为1300 转/分时，除尘能力为及格
D．除尘能力C 的数值越大，表示除尘能力越强
4
题型02
反比例函数的实际应用问题
5．已知某品牌电动车电池的电压为定值，某校物理小组的同学发现使用该电池时，电流I（单位：A ）与
电阻R（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．
(1)求该品牌电动车电池的电压；
(2)该物理小组通过询问经销商得知该电动车以最高速度行驶时，工作电压为电池的电压，工作电流在
7.2 A
8 A
的范围，请帮该小组确定这时电阻值的范围．
6．世界的面食之根就在山西．山西面食是中华民族饮食文化中的重要组成部分．如图，厨师将一定质量的
面团做成拉面时，面条的总长度
m
y
．是面条横截面面积
2
mm
S
的反比例函数，其图象经过
2,64
A
，
,100
B m
两点．
(1)求y 与S 之间的函数关系式；
(2)求m 的值，并解释它的实际意义．
7．某校科技小组在一次野外考察中遇到一片烂泥湿地．为了安全、迅速通过这片湿地，他们沿着前进路线
铺了若干块木板，构筑成一条临时近道．每块木板对地面的压强
Pa
P
是木板面积
2
m
S
的反比例函数，
其图象如图所示．
5
(1)求P 于S 的函数关系式；
(2)求当
2
0.25m
S
时，物体所受的压强；
(3)当1000
4000
P
时，求受力面积S 的变化范围．
题型03
反比例函数图象与一次函数图象的综合问题
8．当
0
k
时，函数y
kx
k
与
k
y
x
在同一坐标系中的图象大致是（
）
A．
B．
C．
D．
9．在同一平面直角坐标系中，反比例函数
k
y
x
与一次函数
1
y
kx
(k 为常数，且
0
k
)的图象大致是（
）
A．
B．
C．
D．
10．已知函数y
kx
，y 随x 的增大而减小，另有函数
k
y
x
，两个函数在同一平面直角坐标系内的大致图
象可能是（
）
A．
B．
6
C．
D．
11．在同一坐标系中，函数
1
y
kx
与函数
(
0)
k
y
k
x
的图象大致是（
）
A．
B．
C．
D．
12．函数
2
y
x
与函数
3
y
x
在同一坐标系中的图象大致是（）
A．
B．
C．
D．
解：
正比例函数
2
y
x
中，
2
0
k
，
13．如图，直线
1
y
k x
b
与双曲线
2k
y
x
交于
2,
A
m ，
4,
B
n 两点，则不等式
2
1
k
k x
b
x
的解为（
）
A．2
4
x
B．4
2
x
C．<
4
x
或
2
x
D．4
2
x
或
0
x
7
题型04
反比例函数与一次函数综合问题
14．一次函数y
kx
b
的图象与反比例函数
m
y
x
的图象交于
2,1
A
、
1,
B
n 两点，当
时，
m
kx
b
x
（写出x 的取值范围）
15．如图，反比例函数
3
y
x
的图象与一次函数y
kx
b
的图象相交于点A
B
、，过点A 作AD
y
轴于点D ，
点C 是一次函数y
kx
b
的图象与x 轴的交点，则ADC
的面积是
．
16．函数
1
k
y
x
的图象与直线
2
y
x
没有交点，那么k 的取值范围是
．
17．已知一次函数
1y
kx
b
与反比例函
2
2
k
y
x
在同一直角坐标系中的图象如图所示，则当
1
2
y
y
时，x
的取值范围是
8
18．如图，直线
4
y
x
与y 轴交于点A，与反比例函数
0
k
y
k
x
的图象交于点C，过点C 作CB
x
轴
于点B，
4
AO
BO
，则k 的值为
．
19．如图，在平面直角坐标系中，点A 在反比例函数
0
k
y
k
x
第一象限的图像上，直线OA的解析式为
3
2
y
x
，若点A 的横坐标是2，则k
．
20．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点．反比例函数
(
0,
0)
k
y
k
x
x
与一次函数
2
y
x
m
的
图象交于点
( 1,4)
A
，BC
y
轴于点D ，分别交反比例函数与一次函数的图象于点B 、C ．
(1)求k 、m 的值；
(2)当
1
OD 时，求线段BC 的长．
9
21．如图，一次函数
1y
x
m
与反比例函数
2
k
y
x
相交于点A 和点
4, 1
B
．
(1)求m 的值和反比例函数解析式；
(2)求出点A 的坐标；
(3)当
1
2
y
y
时，直接写出x 的取值范围．
22．反比例函数
a
y
x
的图象经过点
2, 2
A
，一次函数y
kx
b
的图象经过点A 且与反比例函数图象的
另一个交点为
1,
B
n ．
(1)求一次函数与反比例函数的解析式，并在图中画出该一次函数的图象．
(2)结合图象，直接写出不等式组1
a
kx
b
x
的解集．
(3)把y
kx
b
的图象向下平移4 个单位长度，平移后的直线与反比例函数的图象在第三象限交于点C，求
三角形ABC 的面积
23．如图所示，直线y
ax
b
与双曲线
k
y
x
交于A 、B 两点，已知点A 坐标为
4,2
，点B 的纵坐标
6
，直线与y 轴交于点D．
10
(1)求直线 AB 的解析式和反比例函数解析式；
(2)直接写出不等式
k
ax
b
x
的解集；
(3)若点P 是反比例函数图象上的一点，OCP
的面积是ODB
的面积的2 倍，求点P 的坐标．
题型05
实际背景下反比例函数与一次函数的综合问题
24．学校的自动饮水机，开机加热时水温每分钟上升10 C
，加热到100 C
，停止加热，水温开始下降．此时
水温
C
y
与通电时间
min
x
成反比例．当水温降至20 C
时，饮水机再自动加热．若水温在20 C
时接通电
源，水温y 与通电时间x 之间的关系如图所示，则下列说法正确的是（
）
A．水温从20 C
加热到100 C
，需要7min
B．水温下降过程中，y 与x 的函数关系式是
400
y
x
C．水温从100 C
降至20 C
，所需时间为40min
D．水温不低于30 C
的时间为77 min
3
25．饮水机接通电源会自动加热，加热时水温每分钟上升10 C
，温度到100 C
停止加热．然后水温开始下降，
此时水温
y ℃与时间
min
x
成反比例函数关系，水温降至30 C
时，饮水机重复上述程序开始加热，加热
时水温
y ℃与时间
min
x
的关系如图所示．水温从30 C
开始加热至100 C
，然后下降至30 C
这一过程中，
水温不低于50 C
的时间为
min ．
11
26．为了响应“绿水青山就是金山银山”的号召，建设生态文明，某工厂自2019 年1 月开始限产进行治污改
造，其月利润y（万元）与月份x 之间的变化如图所示，治污完成前是反比例函数图象的一部分，治污完成
后是一次函数图象的一部分，下列结论正确的是
．（填写编号即可）
①4 月份的利润为50 万元
②治污改造完成后每月利润比前一个月增加30 万元
③治污改造完成前后共有4 个月的利润低于100 万元
④9 月份该厂利润达到200 万元
27．紫外线杀菌灯的电阻(kΩ)
y
随温度
C
(
)
x
的变化的大致图象如图所示．通电后温度由室温10 C
上升到
30 C
时，电阻与温度成反比的函数关系．且在温度达到30 C
时，电阻下降到最小值，随后电阻随温度升高
而增加，温度每上升1 C
，电阻增加4 kΩ
15
．
(1)当时10
30
x
时，求y 与x 之间的关系式．
(2)紫外线杀菌灯在使用过程中，温度x 在什么范围内时，电阻不超过6kΩ ．
28．通过试验研究发现：一节40 分钟的课堂，初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，
上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．如图，学生注意
12
力指标y 随时间x（分钟）变化的函数图象，当0
10
x
和10
20
x
时，图象是线段；当20
40
x
时，
图象是反比例函数的一部分．
(1)求反比例函数解析式和点A、D 的坐标；
(2)陈老师在一节课上讲解一道数学综合题需要16 分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的
讲解时，注意力指标都不低于32？请说明理由．
29．已知某消毒药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（微克）与时间x（小时）成正比例，药物熄
灭后，y（微克）与x（小时）成反比例，如图所示，现测得药物4 小时燃毕，此时室内空气每立方米的含
药量为6 微克，请你根据题中提供的信息，解答下列问题：
(1)分别求出药物燃烧时和药物熄灭后y 关于x 的函数关系式；
(2)研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3 微克且持续时间不低于10 小时时，才能杀灭空气中的毒，
那么这次消毒是否有效？为什么？
题型06
反比例函数与几何图形的综合问题
30．如图，在以O 为坐标原点的直角坐标系中，矩形OABC 的两边OA
OC
、
分别在x 轴和y 轴的正半轴上，
将反比例函数
(
0)
k
y
k
x
的图像向下平移n 个单位长度后，恰好同时经过矩形对角线交点和顶点A，且图
像与BC 边交于点D，则CD
CB 的值是（
）
13
A．1
3
B．
2
4
C．
3
3
D．
3
4
31．如图，正方形ABCD 的顶点A ，B 在x 轴上，反比例函数
0
k
y
k
x
的图象经过点D 和BC 的中点E .
若
3
AB ，则k 的值是
．
32．在平面直角坐标系中，有反比例函数
1
y
x
与
1
y
x
的图象和正方形ABCD ，原点O 与对角线AC ，BD
的交点重叠，且如图所示的阴影部分面积为8，则AB
33．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD 的顶点A，反比例函数
k
y
x
（
0
0
k
x
，
）的图象经过顶点
D，分别与对角线AC ，边BC 交于点E，F，连接EF
AF
，
，若E 为AC 的中点，AEF
的面积为1，则k
的值为（
）
14
A．12
5
B．3
2
C．2
D．3
34．如图，在矩形ABCD 中，点A，B 在y 轴上，BC
x
∥轴，对角线AC
BD
，
相交于点P，
3
2
BC
CD
，
，
若点B 的纵坐标为m，解答下列问题．
(1)点A 的坐标是______，点C 的坐标是______．（用含m 的代数式表示）
(2)若反比例函数
0
k
y
x
x
经过P，C 两点，求k 的值．
35．如图，矩形ABCD 的顶点A，B 分别在x 轴，y 轴上，
4,
3,
10
OB
OA
AD
，将矩形ABCD 绕点O顺
时针旋转90，若点D 正好落在反比例函数
(
0)
k
y
k
x
的图象上，则k
．
36．如图，一次函数
1y
kx
b
与反比例函数
2
c
y
x
的图象交于A，B 两点，则不等式
c
kx
b
x
的解集是（
）
15
A．3
2
x
B．
3
x 或
2
x
C．3
0
x
或
2
x
D．0
2
x
37．两个反比例函数
k
y
x
和
1
y
x
在第一象限内的图象如图所示，点P 在
k
y
x
的图象上，PC
x
轴于点C ，
交
1
y
x
的图象于点A ，PD
y
轴于点D ，交
1
y
x
的图象于点B ，当点P 在
k
y
x
的图象上运动时，以下结
论其中一定正确的是（
）
①
ODB
△
与OCA
的面积相等；②四边形PAOB 的面积不会发生变化；③PA 与PB 始终相等；④当点A 是PC
的中点时，点B 一定是PD 的中点．
A．①②③
B．②③④
C．①②④
D．①③④
38．如图，在直角坐标系内，正方形OABC 的顶点O 与原点重合，点A 在第二象限，点B，C 在第一象限
内，对角线OB 的中点为D，且点D，C 在反比例函数
1(
1)
k
y
k
x
的图象上，若点B 的纵坐标为4，则k
的值为（
）
A．1
5
B．3
5
C．2 5
1
D．2 5
2
16
39．如图，正方形
1
1 1
2
A B PP 的顶点
1
2
P
P
、
在反比例函数
1
y
x
（
0
x
）图象上，顶点
1
,0
A m
在x 轴的负半
轴上，顶点
1 0,
B
n 在y 轴的正半轴上，再在其左侧作正方形
2
3
2
2
P P A B ，顶点
3P 在反比例函数
1
y
x
（
0
x
）
的图象上，顶点
2
A 在x 轴的负半轴上，则点
3P 的坐标是
．
40．如图，在平面直角坐标系中，点
1,0
C
在线段AB 上，点A 的横坐标为1
，且
2
3
AC
BC
．若函数
2
0
y
x
x
和
0
k
y
x
x
的图象分别经过A，B 两点，则
（1）点A 的坐标为
．
（2）k 的值为
．
41．某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压
kPa
p
是气体体积
3
m
V
的反比
例函数，其图象如图所示．
(1)求该函数的表达式；
(2)当气球内的气压大于140kPa 时，气球将爆炸，为了安全起见，气体的体积应不小于多少？（精确到
3
0.01m ）
42．如图，小明想要用撬棍撬动一块大石头，已知阻力为1200N，阻力臂长为0.5m ．设动力为
N
y
，动力
17
臂长为
m
x
．（杠杆平衡时，动力动力臂阻力阻力臂，图中撬棍本身所受的重力略去不计．）
(1)求y 关于x 的函数表达式．
(2)当动力臂长为1.5m 时，撬动石头至少需要多大的力？
(3)小明若想使动力不超过300N ，在动力臂最大为1.8m 的条件下，他能否撬动这块石头？请说明理由．
43．阅读与思考
下面是小明同学的一篇数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务．今天是2024 年3 月28 日（星期四），在
下午数学活动课上，我们数学兴趣小组的同学参加了一次“探索压力一定时，压强p 与受力面积S 函数关系
的数学活动”．
第一步，如图，将一长方体A 放置于一水平玻璃桌面上，按不同的方式摆放，相应的记录桌面所受压强p
（Pa）与受力面积S（m2）．
第二步，数据整理，收集记录的数据如下：
第一组
第二组
第三组
第四组
第五组
第六组
受力面积
2
S/m
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.4
桌面所受的压强p/Pa
600
400
300
250
200
150
第三步，数据分析，以S 的数值为横坐标，p 的数值为纵坐标建立平面直角坐标系，在该坐标系中描出以表
中数对为坐标的各点，并用光滑的曲线顺次连接这些点．
数据分析中，我发现一组数据可能有明显错误，重新实验，证明了我的猜想正确，并对数据进行了修改，
实验结束后，大家有很多收获，每人都撰写了数学日记．
任务：
18
(1)你认为表中哪组数据是明显错误的；并直接写出p 关于S 的函数表达式．
(2)在平面直角坐标系中，画出此函数的图象．
(3)结合图象，如果要求压强不超过100Pa ，那么长方体A 的受力面积至少为
2
m ．
44．如图，在左边托盘A （固定）中放置一个重物，在右边托盘B （可左右移动）中放置一定质量的砝码，
可使得仪器左右平衡．改变托盘B 与点O的距离，记录相应的托盘B 中的砝码质量，得到如表：
托盘B 与点O的距离/cm
x
10
15
20
25
30
托盘B 中的砝码质量/g
y
30
20
15
12
10
(1)把表中x 、y 的各组对应值作为点的坐标，在如图所示的平面直角坐标系中描出这些点，并用一条光滑曲
线连接起来；
(2)观察所画的图象，猜测y 与x 之间的函数关系，求出该函数表达式；
(3)当砝码质量为24g 时，求托盘B 与点O的距离；
(4)当托盘B 向左移动（不能移动到点O）时，应往托盘B 中添加砝码还是减少砝码？为什么？
45．如图，一次函数
4
0
y
kx
k k
的图象与反比例函数
1
1
0
m
y
m
x
的图象交于点C，与x 轴交
于点A，过点C 作CB
y
轴，垂足为B，连接
,
OC AB ．已知四边形ABCO是平行四边形，且其面积是12．
19
(1)求点A 的坐标及m 和k 的值．
(2)①求一次函数图象与反比例函数图象的另一个交点坐标；②请结合图象，直接写出不等式
1
4
m
kx
k
x
的解集．
(3)若直线y
x
t
与四边形ABCO有交点时，直接写出t 的取值范围．
46．某蓄水池员工对一蓄水池进行排水，该蓄水池每小时的排水量
3
m / h
V
与排完水池中的水所用的时间
h
t
之间的函数关系如图所示．
(1)求V 与t 的函数表达式；
(2)若每小时排水量不超过
3
2000m ，则排完水池中的水至少需要______h；
(3)由于该蓄水池员工有其他任务，为了提前2h 排完水池中的水，需将原计划每小时的排水量增加25% ，求
原计划每小时的排水量是多少
3
m ？
47．如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，一次函数
2
y
x
m
的图像与x 轴、y 轴交于
( 3,0)
A
、B
两点，与反比例函数
k
y
x
（
0
k
）的图像交于点
(1, )
C
n ．
20
(1)求m 和k 的值；
(2)已知四边形OBDE 是正方形，连接BE ，点P 在反比例函数
k
y
x
（
0
k
）的图像上．当OBP
的面积与
OBE
△
的面积相等时，直接写出点P 的坐标_________．
48．如图，在平面直角坐标系中，直线
1
2
y
x
与反比例函数
0
k
y
k
x
在第二象限内的图象相交于点
,1
A m
．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)在第二象限内，根据图象直接写出
1
2
k
x
x
的解集；
(3)将直线
1
2
y
x
向上平移后与反比例函数图象在第二象限内交于点B ，与y 轴交于点C ，且ABO
的面积
为3
2 ，求直线BC 的解析式．
49．如图，Rt
ABC
△
的直角边AB 在x 轴上，
90
ABC
，边AC 交y 轴于点D ，点C 在反比例函数
k
y
x
第一象限的图象上，AC 所在直线的解析式为
4
y
ax
，其中点�−2,0 ，
1,0
B
．
21
(1)求反比例函数和AC 所在直线的解析式；
(2)将Rt
ABC
△
的边直角边BC 沿着x 轴正方向平移m 个单位长度得到线段B C
，线段B C
与反比例函数的
图象交于点E ，问当m 为何值时，四边形ODC E是平行四边形？
50．如图1，正方形ABCD 中，�−2,0 ，
0,3
D
．过A 点作AF
y
轴于F 点，过B 点作x 轴的垂线交过A
点的反比例函数的图象于E 点，交x 轴于G 点．
(1)求证：CDO
DAF
≌
；
(2)求反比例函数的表达式及点E 的坐标；
(3)如图2，过点C 作直线l
AE
∥
，点P 是直线l 上的一点，在平面内是否存在点Q ，使得以点A
C
P
Q
、、、
四
个点为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点Q 的横坐标，若不存在，请说明理由．
51．在平面直角坐标系xOy 中，点
,0
A m
，
,0
B m
a
0
a
m
的位置和函数
1
0
m
y
x
x
、
2
0
m
a
y
x
x
的图象如图所示．以AB 为边在x 轴上方作正方形ABCD ，AD 边与函数
1y 的图象相交于点
E，CD 边与函数
1y 、
2y 的图象分别相交于点G、H，一次函数
3y 的图象经过点E、G，与y 轴相交于点P，
22
连接PH ．
(1)若
2
m
，
4
a
，
①求函数
3y 的表达式及
PGH
△
的面积；
②直接写出使
1
3
0
y
y
成立的x 的范围；
(2)当a、m 在满足
0
a
m
的条件下任意变化时，
PGH
△
的面积是否变化？请说明理由；
52．如图，已知反比例函数
4
>0
y
x
x
的图象与一次函数y
kx
b
的图象交于点
,4
A m
，B 两点，一次函
数与x 轴交于点C，若AB
BC
．
(1)求一次函数的解析式．
(2)将一次函数y
kx
b
的图象沿x 轴负方向平移
>0
a a
个单位长度得到新图象，求这个新图象与函数
4
>0
y
x
x
的图象只有一个交点M 时，求a 的值及交点M 的坐标．
53．如图，一次函数
4
2
3
3
y
x
的图象与反比例函数
0
k
y
x
x
的图象交于点
,2
A a
，与x 轴交于点B，
23
与y 轴交于点C，连接AO ．
(1)求反比例函数的表达式及点B 的坐标；
(2)将直线AB 向下平移
0
m m
个单位长度得到直线l：
4
2
3
3
y
x
m
，设直线l 与反比例函数
0
k
y
x
x
的图象交于点P，与x 轴交于点D．
①连接AP ，BP ，若
3
ABP
AOC
S
S
△
△
，求m 的值；
②连接AD ，CD ，当ACD
是等腰三角形时，请直接写出点D 到直线AB 的距离．
