文档文本内容
第09 讲二次根式的加减法
内容导航
01 预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向
02 教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理
03 题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解
题型1 最简二次根式的判断
题型2 化为最简二次根式
题型3 已知最简二次根式求参数
题型4 同类二次根式的判断
题型5 求同类二次根式中的参数
题型6 二次根式加减运算
题型7 二次根式加减乘除混合运算
题型8 二次根式的混合运算中的新定义型问题
04 过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固
关键词
学习目标导航
同类二次根式、化简、
最简二次根式、合并、
加减运算、类比。
1. 理解同类二次根式的概念，能识别并合并同类二次根式（类比合并同类项）。
2. 掌握将二次根式化为最简二次根式的方法，为加减运算做准备。
3. 能熟练进行二次根式的加减运算，先化简，再合并同类二次根式。
4. 能综合运用二次根式的加减乘除法则进行混合运算，体会类比思想。
学习重点:将二次根式化为最简二次根式，并判断同类二次根式，再进行合并运算。
学习难点:准确识别并合并同类二次根式（特别是根号内被开方数不同但化简后相同的情况），以及混
合运算中运算顺序与化简的结合。
知｜识｜框｜架
知｜识｜精｜讲
知识点01 最简二次根式
最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母，（2）被开方数中不含能开方开得尽得因数或因式
【易错提醒】
最简二次根式易错警示：需满足（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式。
化简时注意：分母有理化要彻底，平方因子要完全移出根号。勿遗漏条件。
即时即练下列二次根式中，是最简二次根式的是（
）
A．
1
2
B．15
C．1.1
D．8
【答案】B
【知识点】最简二次根式的判断
【分析】本题考查了最简二次根式的定义，掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
根据最简二次根式的定义逐一判断即可．
【详解】解：A、
1
2
2
2
，可以进行分母有理化，不是最简二次根式，故选项不符合题意；
B、15 ，被开方数，不含能开得尽方的因数，是最简二次根式，故选项符合题意；
C、
11
110
1.1
10
10
=
=
，可以进行分母有理化，不是最简二次根式，故选项不符合题意；
D、8
2 2
，含能开得尽方的因数4，不是最简二次根式，故选项不符合题意；
故选：B．
知识点02
同类二次根式
1.同类二次根式概念：化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。
2.合并同类二次根式的方法：把根号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合并的依据式乘法分
配律，如
)
0
(
)
(
m
a
a
n
m
a
n
a
【易错提醒】
同类二次根式易错警示：必须化为最简后，被开方数**相同**的二次根式才是同类。注意：2与8是同类
（因为8=2\ 2），3与2不是。仅系数不同可合并。
即时即练下列各组二次根式中，属于同类二次根式的是（
）．
A．a a 与9a
B．
4a 与
4
2a
C．
2
a b 与
2
ab
D．1
32
7
与
2
5
【答案】A
【知识点】利用二次根式的性质化简、同类二次根式
【分析】本题主要考查了同类二次根式的定义，一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们
的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式，据此进行逐项分析，即可作答．．
【详解】解：A、
9
3
a
a
=
，a a 与3 a 是同类二次根式，故该选项符合题意；
B、
4
2
a
a
，
4
2
2
2
a
a
，2 a 与
2
2
a
不是同类二次根式，故该选项不符合题意；
C、
2
a b
a
b
，
2
ab
b
a
，a
b 与b
a 不是同类二次根式，故该选项不符合题意；
D、1
4
32
2
7
7
，
2
10
5
5
，4
2
7
与
10
5
不是同类二次根式，故该选项不符合题意；
故选：A．
知识点03
二次根式的加减法
1.二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。
2.二次根式加减运算的步骤：
①化：将各个二次根式化成最简二次根式；
②找：找出化简后被开方数相同的二次根式；
③合：合并被开方数相同的二次根式——将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变。
【易错提醒】
二次根式加减法易错警示：先将各根式化为最简，再合并同类二次根式（系数相加减，根号不变）。注意：
不是同类二次根式不能合并（如2+ 3) 无法简化）。勿盲目去根号。
即时即练计算：
(1) 12
27
48
(2)
1
( 45
27)
1
125
3
(3)
2
3
1
5
40
10
5
10
【答案】(1) 5 3
(2)11 3
2 5
3
(3) 8 5
19 10
5
10
【知识点】利用二次根式的性质化简、二次根式的加减运算
【分析】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式．
（1）化简二次根式，然后合并即可；
（2）去括号，化简二次根式，然后合并同类二次根式即可；
（3）化简二次根式，然后合并同类二次根式即可．
【详解】（1）解：原式
2 3
3 3
4 3
5 3
；
（2）解：原式
2 3
3 5
3 3
5 5
3
11 3
2 5
3
；
（3）解：原式
10
3 5
10
5
2 10
5
5
10
8 5
19 10
5
10
．
题型1 最简二次根式的判断
【例1】下列式子中，是最简二次根式的是（
）
A．0.2
B．
3
C．
9
D．12
【答案】B
【分析】本题主要考查了二次根式的化简，判定最简二次根式等知识点，解题的关键是掌握最简二次根式
的形式．
根据最简二次根式的定义，需满足：①被开方数的因数是整数，且不含能开得尽方的因数或因式；②被开
方数不含分母．
【详解】解：选项A：
0.2 ，被开方数为0.2 ，即1
5 ，分母含非整数，可化为
5
5
，不符合最简条件，故不
符合题意；
选项B：
3 ，被开方数3是质数，无平方因数，且不含分母，符合最简条件，故符合题意；
选项C：
9 ，被开方数9是完全平方数（
23 ），可化简为3，不符合最简条件，故不符合题意；
选项D：12 ，被开方数12
4 3
，其中4 是平方数，可化简为2 3 ，不符合最简条件，故不符合题意；
故选：B．
【例2】下列根式是最简二次根式的是（
）
A．15
B．12
C．8
D．3 5
【答案】A
【分析】本题考查了最简二次根式“1、被开方数的因数是整数，字母因式是整式；2、被开方数不含能开得
尽方的因数或因式”，熟记最简二次根式的定义是解题关键．根据最简二次根式的定义逐项判断即可得．
【详解】解：A、15 是最简二次根式，则此项符合题意；
B、12
2 3
，不是最简二次根式，则此项不符合题意；
C、8
2 2
，不是最简二次根式，则此项不符合题意；
D、3 5 不是二次根式，则此项不符合题意；
故选：A．
【技巧归纳】
最简二次根式：被开方数不含能开得尽方的因子，不含分母，分母中不含根号。检查时，先化简根号内，
如18=3 2不是最简；
1
2=
2
2 也不是，需有理化。
【变式1-1】下列二次根式中，是最简二次根式的是（
）
A．1
3
B．
1
3
C．
0.3
D．30
【答案】D
【分析】本题主要考查了最简二次根式的定义，掌握最简二次根式必须满足①被开方数的因数不含能开得
尽方的数；②被开方数不含分母．
根据二次根式必须满足的条件逐项判断即可．
【详解】解：A．1
3 分母含根号，需有理化为
3
3
，不符合最简二次根式条件；
B．
1
3
，被开方数为分数，需化为
3
3
，不符合最简二次根式条件；
C．
3
0.3
10
被开方数含分母10，需化为
30
10
，不符合最简二次根式条件；
D．30 ，被开方数30 分解质因数为2
3 5
，无平方数因子且不含分母，符合最简二次根式条件．
故选D．
【变式1-2】在
2
2
a
b
，4 6a ，
3
2a ，
9
2
，
27 ，
3
c 中，最简二次根式的个数是（）
A．4 个
B．3 个
C．2 个
D．1 个
【答案】C
【分析】最简二次根式是指：满足被开方数不含分母，且被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次
根式，逐个判断即可．
【详解】解：∵
2
2
a
b
的被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因式，
∴
2
2
a
b
是最简二次根式；
∵4 6a 的被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，
∴4 6a 是最简二次根式；
∵
3
2
2
2 ·
2
a
a a
a
a
，含能开得尽方的因式，
∴
3
2a 不是最简二次根式；
∵
9
2
中9 的被开方数9是能开得尽方的平方数，
∴
9
2
不是最简二次根式；
∵
27
9 3
3 3
，含能开得尽方的因数9，
∴
27 不是最简二次根式；
∵
3
c 的被开方数含分母，
∴
3
c 不是最简二次根式；
综上，符合条件的最简二次根式共2 个．
题型2 化为最简二次根式
【例3】把
9
2
化成最简二次根式为
．
【答案】3 2
2
/ 3
2
2
【分析】此题考查了最简二次根式，利用二次根式性质化简即可得到结果．
【详解】解：
9
9
3
3 2
2
2
2
2
，
故答案为：3 2
2
．
【例4】将18 化成最简二次根式为
．
【答案】3 2
【分析】本题考查的是最简二次根式，熟练运用二次根式的性质是解题的关键．直接利用二次根式性质化
简即可．
【详解】解：
2
18
3
2
3 2
，
故答案为：3 2 ．
【技巧归纳】
分解质因数，将完全平方因子开方到根号外。分数化去分母：分子分母同乘分母使分母为完全平方数或使
用
�
�=
�
�再有理化。系数处理：小数化分数，带分数化假分数。
【变式2-1】将
1
12
化为最简二次根式为___________．
【答案】
3
6
【详解】解：
1
12
1 3
12 3
3
36
3
6
．
【变式2-2】将108 化成最简二次根式的结果为
．
【答案】6 3
【分析】本题考查了二次根式的性质，根据二次根式的性质化为最简二次根式，即可求解．
【详解】解：108
3 36
6 3
，
故答案为：6 3 ．
题型3 已知最简二次根式求参数
【例5】若3
6
m
是最简二次根式，则整数m 的最小值为
．
【答案】3
【分析】本题考查最简二次根式，根据最简二次根式的定义，被开方数不含能开方开的尽的因式或因数，
不含分母，进行求解即可．
【详解】解：∵3
6
0
m
，
∴
2
m≥
，
∵3
6
m
是最简二次根式，且m 为整数，
∴当
2
m
时，3
6
0
0
m
，不符合题意；
当
3
m
时，3
6
3
m
，符合题意；
故答案为：3．
【例6】若
3
4
m
是最简二次根式，且m 为整数，则m 的最小值是
．
【答案】2
【分析】本题考查最简二次根式的定义．让被开方数为非负数列式求得m 的取值范围，找到最小的整数解
即可．
【详解】解：二次根式
3
4
m
有意义，
3
4
0
m
，
解得：
4
3
m
，
当
2
m
时，二次根式的值为2 ，是最简二次根式，符合题意，
若二次根式
3
4
m
是最简二次根式，则整数m 的最小值是2 ．
故答案为：2 ．
【技巧归纳】
根据最简条件：被开方数不含能开得尽方的因子，且不含分母。列出参数方程或不等式，如18�最简则a
不含2 的奇次幂。系数不为0，被开方数为整数。解出参数，注意检验合理性。
【变式3-1】若最简二次根式
a 与
75 能合并，则a 的值为__________．
【答案】3
【详解】先化简
75 得：
75
25 3
5 3
，
最简二次根式
a 与75 能合并，
a 与5 3 是同类二次根式，
根据同类二次根式的定义，可得二者被开方数相同，
3
a
．
【变式3-2】若
3
n
a 是最简二次根式，则自然数n
．
【答案】0 或1
【分析】本题考查了最简二次根式．熟练掌握最简二次根式是解题的关键．
由
3
n
a 是最简二次根式，可得
2
n ，由n 是自然数，作答即可．
【详解】解：∵
3
n
a 是最简二次根式，
∴
2
n ，
又∵n 是自然数，
∴
0
n
或1，
故答案为：0 或1．
题型4 同类二次根式的判断
【例7】下列根式和2 是同类二次根式的是（
）
A．12
B．
0.2
C．
1
8
D．
27
【答案】C
【分析】本题考查了二次根式的化简，同类二次根式，正确理解同类二次根式的定义是解题关键．先根据
二次根式的性质化简个选项根式，再根据含有相同的被开方数的最简二次根式是同类二次根式判断即可．
【详解】解：A、12
2 3
，和
2 不是同类二次根式，不符合题意；
B、
1
5
0.2
5
5
，和
2 不是同类二次根式，不符合题意；
C、
1
8
2 2
2
8
8
8
4
，和2 是同类二次根式，符合题意；
D、
27
3 3
，和2 不是同类二次根式，不符合题意；
故选：C．
【例8】下列各式中，与10 是同类二次根式的是（
）
A．
40
B．
60
C．80
D．
1
5
【答案】A
【分析】本题考查同类二次根式，一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相
同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式，据此进行判断即可．
【详解】解：A 、
40
4 10
4
10
2 10
，与10 是同类二次根式，故A 选项符合题意；
B 、
60
4 15
4
15
2 15
，与10 不是同类二次根式，故B 选项不符合题意；
C 、80
16 5
16
5
4 5
，与10 不是同类二次根式，故C 选项不符合题意；
D 、
1
1
1
5
5
5
5
5
，与10 不是同类二次根式，故D 选项不符合题意．
故选：A．
【技巧归纳】
先化为最简二次根式，再比较被开方数是否相同。相同则为同类，系数可不同。如3 2与−
�是同类，与3
不是。注意先化简再判断，避免直接看原式被开方数。
【变式4-1】下列各组二次根式中，是同类二次根式的为（
）
A．
3 和9
B．
a 和
2a
C．12 和
1
3
D．
2
a b 和
2
ab
【答案】C
【分析】本题考查同类二次根式，二次根式的化简，正确理解同类二次根式的概念是解题的关键．判断同
类二次根式需将各选项化简为最简二次根式后，检查被开方数是否相同，根据同类二次根式的概念逐个判
断即可．
【详解】A：
3 已是最简形式，9
3
是整数，不是二次根式，故该选项不符合题意；
B：
a 和
2a 的最简形式分别为
a 和
2a ，被开方数不同，故该选项不符合题意；
C：12
4
3
2 3
，
1
3
1
3
3
3
3
，两者化简后均为
3 的倍数，被开方数均为3，是同类二次根式，
故该选项符合题意；
D：
2
a b
a b
，
2
ab
b a
，被开方数分别为b 和a ，不同，故该选项不符合题意；
故选：C．
【变式4-2】下列各组二次根式中，不是同类二次根式的是（
）．
A．8 与
1
32
B．
0.1
与
40
C．12b 与
2
3
3a b
D．
ab 与
2
a b
【答案】D
【分析】先将各二次根式化简为最简二次根式，再比较被开方数，被开方数相同的即为同类二次根式．
【详解】解：A 选项，
8
2 2
，
1
2
32
8
，化简后被开方数都是2 ，
∴是同类二次根式，故A 不符合题意；
B 选项，
1
10
0.1
10
10
，
40
2 10
，化简后被开方数都是10，
∴是同类二次根式，故B 不符合题意；
C 选项，12
2 3
b
b
，
2
3
3
3
a b
a b
b
，化简后被开方数都是3b ，
∴是同类二次根式，故C 不符合题意；
D 选项，
ab 是最简二次根式，被开方数为ab ，
2
a b
a
b
，被开方数为b ，ab
b
，
∴不是同类二次根式，故D 符合题意．
题型5 求同类二次根式中的参数
【例9】若
3 与最简二次根式
2
1
m 是同类二次根式，则m
．
【答案】1
【分析】此题考查了同类二次根式，被开方数相同的最简二次根式叫做同类二次根式．据此列方程进行解
答即可．
【详解】解：∵
3 与最简二次根式
2
1
m 是同类二次根式，
∴2
1
3
m ，
移项、合并同类项，得2
2
m
，
解得：
1
m ．
故答案为：1．
【例10】若12 与最简二次根式
2
1
x 是同类二次根式，则x
．
【答案】2
【分析】本题考查了同类二次根式，最简二次根式，先化简12
2 3
，再根据同类二次根式的定义得出
2
1
3
x
，即可求出x 的值．
【详解】解：12
2 3
，
2 3
与最简二次根式
2
1
x 是同类二次根式，
2
1
3
x
，
2
x
，
故答案为：2 ．
【技巧归纳】
先将各二次根式化为最简形式，根据同类条件：被开方数相同，列方程或不等式。注意被开方数为非负，
系数可为任意实数。解出参数后，代入原式验证是否为最简，且有意义。可能有多种情况，需分类讨论。
【变式5-1】
28 与最简二次根式5
1
x 为同类二次根式，则x
．
【答案】8
【分析】本题考查了同类二次根式，最简二次根式，掌握同类二次根式定义，最简二次根式定义是解题的
关键．化成最简二次根式后，根据被开方数相等解答即可．
【详解】解：
28
2 7
，
28
与最简二次根式5
1
x 为同类二次根式，
1
7
x
，
8
x
．
故答案为：8．
【变式5-2】
27 与最简二次根式
1
1
n
m
是同类二次根式，则mn 为____________．
【答案】6
【分析】先将
27 化为最简二次根式，再根据同类二次根式的定义，得到根指数与被开方数的关系，求出m ，
n 的值，最后计算mn 即可.
【详解】解：
27
3 3
，
∵
1
1
n
m
是最简二次根式，且与
27 是同类二次根式，
∴
1
2
n
，
1
3
m ，
解得
3
n
，
2
m
，
∴
2 3
6
mn
.
题型6 二次根式加减运算
【例11】计算：
1
12
3
48
27
3
．
【答案】0
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
先化简各二次根式，再按顺序进行加减运算即可．
【详解】解：
1
12
3
48
27
3
2 3
3
4 3
3 3
0
．
【例12】计算：
(1) 2 2
3 2
4 2
；
(2)
1
2 12
6
3 48
3
．
【答案】(1) 2
(2)14 3
【分析】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键．
（1）根据二次根式的加减运算法则计算即可得；
（2）先化简二次根式，再计算二次根式的乘法，然后计算二次根式的加减法即可得．
【详解】（1）解：原式
5 2
4 2
2
．
（2）解：原式
3
2
2 3
6
3 4 3
3
4 3
2 3
12 3
2 3
12 3
14 3
．
【技巧归纳】
先化为最简二次根式，再合并同类二次根式（系数相加减）。不同类根式保留原样。运算结果也需最简。
注意括号和去括号规则，减法时整体变号。不能合并的根式不可强行计算。
【变式6-1】计算：
(1)
1
12
2
(2 3
18)
2
；
(2)
2
( 2
3)
(2 3
3 5)(2 3
3 5)
．
【答案】(1) 4 2
(2)38
2 6
【分析】（1）括号后合并同类二次根式即可；
（2）利用完全平方公式和平方差公式展开后，再合并同类项得到结果.
【详解】（1）解：
1
12
2
2 3
18
2
2
2 3
2
2 3
3 2
2
2 3
2
2 3
3 2
4 2
（2）解：
2
2
3
2 3
3 5
2 3
3 5
2
2
2
2
[( 2)
2 2
3
( 3)
(2 3)
3 5)
2
2 6
3
12
45
5
2 6
33
38
2 6
【变式6-2】计算：
(1)
1
20
10
45
5
；
(2)
3
2
3
2
2
1
．
【答案】(1)3 5
(2)2
2
【详解】（1）解：原式
5
2 5
10
3 5
5
2 5
2 5
3 5
3 5
（2）解：原式
3
2
2
1
1
2
1
2
2
题型7 二次根式加减乘除混合运算
【例13】计算：
(1)
1
6
3
8
2
；
(2)
2
6
2
6
2
( 2
1)
．
【答案】(1)3
2
4
(2)2
2
1
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是根据运算法则来计算．
（1）根据二次根式混合运算的运算法则进行计算；
（2）根据二次根式混合运算的运算法则进行计算．
【详解】（1）解：
1
6
3
8
2
2
3 2
8
2
3 2
4
；
（2）解：
2
6
2
6
2
( 2
1)
6
4
2 2 2 1
=
-
-
+
-
2 2
1
．
【例14】计算：
(1)
18
32
8
2
(2)
1
6
8
12
6
6
【答案】(1) 6 2
(2) 4 6
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，掌握相关运算法则是解题关键．
（1）先根据二次根式的性质化简，再计算加减法即可；
（2）先计算二次根式乘法，再计算加减法即可．
【详解】（1）解：
18
32
8
2
3 2
4 2
2 2
2
6 2
；
（2）解：
1
6
8
12
6
6
6
6
6
96
6
6
4 6
6
4 6
【技巧归纳】
先乘除后加减，有括号先括号内。将每个根式化为最简，再进行乘除�⋅
�= ��，最后合并同类二次根式。
注意除法转化为乘法（乘倒数），分母有理化。运算结果化为最简形式。
【变式7-1】计算：
(1)
3
2
3
2
12
3
(2)
1
27
12
3
【答案】(1)1
(2)14
3
3
【分析】本题主要考查了二次根式的性质、二次根式的混合运算、二次根式的加减运算、平方差公式等知
识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键．
（1）先运用平方差公式、二次根式的除法法则计算，然后再计算即可；
（2）先运用二次根式的性质化简，然后再合并同类二次根式即可．
【详解】（1）解：
3
2
3
2
12
3
3
4
4
3
4
2
1
．
（2）解：
1
27
12
3
3
3 3
2 3
3
14
3
3
．
【变式7-2】计算：
(1)2 5
20
45
；
(2)
3
12
10
5
2
；
(3)
2
2 3
1 2 3
1
2
．
【答案】(1)3 5
(2) 2 2
(3)9
【详解】【小题1】2 5
20
45
2 5
2 5
3 5
3 5
；
【小题2】
3
12
10
5
2
3
12
10
5
2
18
2
3 2
2
2 2
；
【小题3】
2
2 3
1
2 3
1
2
2
2
2 3
1
2
12 1
2
9
．
题型8 二次根式的混合运算中的新定义型问题
【例15】对于任意的整数a ，b ，定义运算“☆”为：
a
b a
b
a
b
a
b a
b
☆
．
求：
3
2
8
12
☆
☆
的值．
【答案】2
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，正确理解新运算法则是解题的关键．
先根据新运算法则计算3
2
☆与8
12
☆
，再计算乘法即可．
【详解】解：3
2
3
2
☆
，
8
12
8
12
2 2
2 3
☆
，
所以
3
2
8
12
☆
☆
3
2
2 2
2 3
2
．
故答案为：2．
【例16】定义新运算：对于任意实数a
b
、，都有
1
a
b
a a
b
，例如
2
5
2
2
5
1
5
．
(1)求
7
3
7
1
的值；
(2)求
3
1
3
1
的值．
【答案】(1) 2 7
7
(2)12
7 3
【分析】本题考查新定义实数运算，涉及二次根式混合运算法则等知识，读懂题意，理解新定义运算公式，
代值后由二次根式混合运算求解是解决问题的关键．
（1）根据新定义的实数运算
1
a
b
a a
b
，代值求解即可得到答案；
（2）先计算
3
1
，再根据新定义的实数运算
1
a
b
a a
b
，代值求解即可得到答案．
【详解】（1）解：
7
3
7
1
7
3
7
3
7
1
1
2
7
3
1
2 7
7
；
（2）解：
3
1
3
3
1
1
3
3
1
4
3
，
3
1
3
1
3
1
4
3
3
1
3
1
4
3
1
3
1
2 3
5
1
12
7 3
．
【技巧归纳】
先理解新运算规则（如a⨀b= �2 + �2），将自定义式转化为常规二次根式运算。注意运算顺序，括号优先。
按二次根式化简、乘除、加减法则计算。结果化为最简，检验被开方数非负。可代特殊值验证理解。
【变式8-1】定义：对于两个正实数x 和y，如果存在整数k，使得
x
y
k
，则称x 与y 是关于k 的“整
积数”．
(1)已知
2
x＝，y
m
，且x 与y 是关于整数2 的整积数，求m 的值；
(2)已知
6
2
2
x
，
6
2
2
y
，判断x 与y 是否为整积数？若是，求出对应的k 值；若不是，说明理由．
【答案】(1)
2
m＝
(2)x 与y 是整积数，
1
k＝
【分析】（1）把
2
x
，y
m
，
2
k
代入
x
y
k
，可得m 的方程，求出m 即可；
（2）先计算x y
再将结果开平方即可判断x 与y 是否为整积数．
【详解】（1）解：
x
与y 是关于整数2 的整积数，
∴
2
x
y
，
∵x＝2，y＝m，
∴
2
2
m
，
2
4
m
＝，
2
m
＝．
（2）解：x 与y 是整积数
理由：
6
2
6
2
2
2
xy
2
2
2
6
2
2
2
2
1
，
∴
·
1
1
x
y
xy
∵1 是整数,
∴x 与y 是整积数,对应的
1
k＝．
【变式8-2】对于实数a，b 定义一种新运算“”，规定
2
2
a b
a
b
，如
2
3 2
3
2
2
9
2 2
．
(1)求(
6)
2
的值；
(2)若10 (
1)
8
x
，求x 的值．
【答案】(1)4
(2)x 的值为
2
1
【分析】本题考查了实数的运算和解一元一次方程，二次根式的混合运算，解题关键是掌握实数运算的方
法和解一元一次方程的步骤．
（1）直接利用新运算的规定列出算式运算即可；
（2）先将左边根据规定变形，再解方程即可．
【详解】（1）解：
2
6
2
6
2
2
4
，
∴(
6)
2
的值为4．
（2）解：∵10 (
1)
8
x
，
∴
2
10
2
1
8
x
，
10
2
2
8
x
，
∴
2
2
2
x
，
∴
2
1
x
，
∴x 的值为
2
1
．
一、单选题
1．下列二次根式中属于最简二次根式的是（
）
A．2
B．
0.5
C．
1
3
D．8
【答案】A
【分析】最简二次根式的定义，最简二次根式需满足两个条件，一是被开方数不含分母，二是被开方数中
不含能开得尽方的因数或因式，据此对各选项逐一判断即可．
【详解】解：A、2 满足最简二次根式的两个条件，因此是最简二次根式；
B、
1
0.5
2
，被开方数含分母，不是最简二次根式；
C、
1
3 ，被开方数含分母，不是最简二次根式；
D、8
2 2
，被开方数含能开得尽方的因数4，不是最简二次根式．
2．下列各组二次根式中，化简后是同类二次根式的是（
）
A．8 与3
B．
2 与12
C．
4
3
与
27
D．7 与14
【答案】C
【分析】先将各选项的二次根式化为最简二次根式，再根据同类二次根式的定义判断，同类二次根式指化
简后被开方数相同的二次根式．
【详解】解：选项A：8
2 2
，与
3 化简后被开方数不同，A 不符合要求；
选项B：12
2 3
，与2 化简后被开方数不同，B 不符合要求；
选项C：
4
2 3
3
3
，
27
3 3
，化简后被开方数都是3，C 符合要求；
选项D：
7 与14 都是最简二次根式，被开方数不同，D 不符合要求．
3．下列计算正确的是（
）
A．4 3
3 3
1
B．
2
( 3)
3
C．8
2
4
D．
27
3
9
【答案】C
【分析】根据二次根式的相关运算法则分别计算各选项，即可得到正确结果。
【详解】解：选项A，∵
4 3
3 3
4
3
3
3
1
，∴A 错误；
选项B，∵
2
( 3)
9
3
3
，∴B 错误；
选项C，∵
8
2
8 2
16
4
，∴C 正确；
选项D，∵
27
3
27
3
9
3
9
，∴D 错误.
4．在下列算式中：①
2
5
7
；②5
2
3
x
x
x
；③
18
8
9
4
5
2
；④
9
4
a
a
a
，
其中正确的是（
）
A．①③
B．②④
C．③④
D．①④
【答案】B
【分析】只有同类二次根式才能合并，合并时系数相加减，被开方数不变，逐一计算四个式子即可判断正
误．
【详解】解：①
2 与
5 不是同类二次根式，不能直接合并，∴①错误；
②5
2
3
x
x
x
，∴②正确；
③
18
8
3 2
2 2
5 2
5
2
2
2
，∴③错误；
④
9
3
4
a
a
a
a
a
，∴④正确；
综上，正确的是②④．
5．如图，这是一个程序框图．若输入x 的值为12，则输出y 的值为（
）
A．3
6
B．3
5
C．9
6
D．4 6
【答案】A
【分析】依据运算程序列出算式，按顺序进行计算即可．
【详解】解：由题意，得
12
3
2
3
24
36
6
9
2 6
6
6
3
6
3
．
二、填空题
6．化简：
27
4 ________；
【答案】3 3
2
/ 3
3
2
【详解】解：根据二次根式的除法性质可得，
27
27
9 3
3 3
4
2
4
4
故答案为3 3
2
．
7．请写出一个正整数a 的值：___________，使
3
1
a 是最简二次根式．
【答案】2（答案不唯一）
【分析】本题考查最简二次根式的概念，最简二次根式要求被开方数不含分母，且被开方数中不含能开得
尽方的因数或因式，根据概念结合a 是正整数解答即可．
【详解】解：∵
3
1
a 是最简二次根式，且a 为正整数，
∴3
1
a 不能含有能开得尽方的因数，
当
2
a
时，3
1
3 2 1
7
a
，
7 是最简二次根式，符合要求，故答案为2（答案不唯一）．
8．若最简二次根式
2
9
m
与
5
m
可以合并，则
3
6
m
的值是______．
【答案】4 3
【分析】由最简二次根式
2
9
m
与
5
m
可以合并，可知二者是同类二次根式，据此建立方程求出m 的
值，再代入
3
6
m
化简即可得到结果．
【详解】解：最简二次根式
2
9
m
与
5
m
可以合并，
2
9
m
与
5
m
是同类二次根式，
∴2
9
5
m
m
，
解得：
14
m
，
将
14
m
代入
3
6
m
得：
3
6
3 14
6
48
4 3
m
．
9．若b，c 分别为直角三角形两条直角边，且b，c 满足
4 3
4
2
3
3
2
b
c
（其中b，c 为有理数），
则该直角三角形的斜边长为______．
【答案】10
【分析】先对等式左边进行分母有理化，整理后根据,b c 为有理数得到对应系数相等，解方程组求出两条直
角边的长，再利用勾股定理计算斜边长即可．
【详解】解：
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
b
b
b
b
b
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
c
c
c
c
c
将上述结果代入原等式得：
2
3
2
3
4
4 3
b
b
c
c
整理得：
2
2
3
4
4 3
b
c
b
c
因为,b c 为有理数，
3 为无理数，
因此等式两边对应系数相等，可得方程组：
2
2
4
4
b
c
b
c
化简第一个方程得
2
b
c
，
将该式与
4
b
c
相加得2
6
b
，
解得
3
b
，
将
3
b
代入
4
b
c
，
解得
1
c ，
因为,b c 是直角三角形的两条直角边，根据勾股定理，斜边长为：
2
2
2
2
3
1
10
b
c
10．定义：我们将
a
b
与
a
b
称为一对“对偶式”．因为
2
2
a
b
a
b
a
b
a
b
，
可以有效的去掉根号，所以有一些题可以通过构造“对偶式”来解决．例如：
2
2
15
3
15
3
15
3
15
3
12
x
x
x
x
x
x
x
x
，所以15
3
x
x
与
15
3
x
x
互为“对偶式”．则
7
2
的“对偶式”是________．
【答案】
7
2
【详解】解：根据定义，
a
b
与
a
b
称为一对“对偶式”，
已知所求式子为
7
2
，其中
7
a
，
2
b
，
可得它的“对偶式”为
7
2
．
三、解答题
11．计算：
(1)
1
48
3 6
2
6 3
(2)
2
2
3
2
3
1
3
【答案】(1)3 3
(2)5
2 3
【详解】（1）解：
1
48
3 6
2
6 3
3
4 3
3 3
6
3
3
2 3
3 3
；
（2）解：
2
2
3
2
3
1
3
2
2
2
3
1
2 3
3
4
3
4
2 3
5
2 3
．
12．计算：
(1)
2
1
18
( 2)
6 2
(2)
20
5
1
12
3
5
【答案】(1) 2
(2)1
【详解】（1）解：原式
2
3 2
2
6
2
3 2
2
3 2
2
（2）解：原式
2 5
5
1 12
3
5
3 5
4
5
3
2
1
13．计算：
(1)
2
18
2
32
( 2)
(2)
0
1
48
(1
2)
4 6
2 3
3
【答案】(1)3 2
(2)3
2 2
【详解】（1）解：原式
1
3 2
2
4 2
4
2 2
2
3 2
；
（2）解：原式
16
1 2 2
4 1 2 2
3
2 2
14．定义：若两个二次根式a 、b 满足
*
a b
c
，且c 是有理数，则称a 与b 是关于c 的共轭二次根式．
(1)若a 与2 是关于4 的共轭二次根式，则a _____．
(2)若2
3
与4
3m
是关于2 的共轭二次根式，求m 的值．
【答案】(1) 2 2
(2)
2
m
【分析】（1）根据共轭二次根式的定义建立等式，即可得到答案；
（2）根据共轭二次根式的定义建立等式，即可得到答案．
【详解】（1）解：∵a 与2 是关于4 的共轭二次根式，
∴
2
4
a
，
∴
4
2 2
2
a
；
（2）解：∵2
3
与4
3m
是关于2 的共轭二次根式，
∴
2
3
4
3
2
m
．
∴
2 2
3
2
4
3
4
2 3
2
3
2
3
2
3
m
．
∴
2
m ．
15．阅读下列材料，然后解答问题：
材料：将
1
7
6
进行分母有理化，过程如下：
1
7
6
7
6
7
6
7
6
7
6
7
6
7
6
请利用上述方法解答下列问题：
(1)化简：
1
5
3
___________；
(2)计算：
1
1
2
1
3
2
___________；
(3)化简下列式子：
1
1
1
1
3
1
5
3
7
5
99
97
．
【答案】(1)
5
3
2
(2)
3
1
(3)
3 11 1
2
【分析】（１）将分式的分子分母同乘分母的有理化因式，利用平方差公式去掉分母的根号即可；
（2）先对两个分式分母有理化，再将两个结果相加即可；
（3）先对原式中每一项进行分母有理化，再将所有项相加即可．
【详解】（1）解：
1
5
3
5
3
5
3
5
3
2
5
3
5
3
5
3
；
（2）解：
1
1
2
1
3
2
2
1
3
2
2
1
2
1
3
2
3
2
2
1
3
2
3
1
；
（3）解：原式
3
1
5
3
7
5
99
97
2
2
2
2
3
1
5
3
7
5
99
97
2
99
1
2
3 11 1
2
．
16．定义：若
a
b
a
b
c
，c 是有理数，则称
a
b 与
a
b
是关于c 的“美好数”例如：
2
2
3
2
3
2
3
2
1
，则称
3
2
与
3
2
是关于1的“美好数”．
(1) 2
3
关于1的“美好数”是______；
(2)化简：
1
1
1
9
11
11
13
119
121
；
(3)若y 是5
1
关于4 的“美好数”，请求出
2
4
8
2026
y
y
的值．
【答案】(1)2
3
(2) 4
(3)2042
【分析】（1）根据定义进行解答即可；
（2）先利用新定义化简，再进行二次根式的加减法即可；
（3）根据新定义得到
5
1
y
，再代入变形后的代数式求解即可．
【详解】（1）解：由“美好数”的新定义可得，
则2
3
关于1的“美好数”是
1
2
3
2
3
，
故答案为：2
3
；
（2）解：
1
1
1
9
11
11
13
119
121
1
9
11
11
13
119
121
2
1
9
121
2
1
3 11
2
1
8
2
4
；
（3）解：y 是5
1
关于4 的“美好数”，
∴
4
5
1
4
5
1
4
5
1
4
5
1
5
1
5
1
y
∴
2
4
8
2026
y
y
2
4
2
1
2022
y
y
2
4
1
2022
y
2
4
5
1
1
2022
4 5
2022
2042
