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2.3.2二次根式的加减法-北师大版(2025)数学八年级上册
一、选择题
1．（2025八上·福田期末）下列计算正确的是（ ）
√6
A．√2×√3=√6 B．3√3−2√3=1 C．√2+√3=√5 D． =√3
2
【答案】A
【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、根据二次根式乘法法则√a×√b=√ab(a≥0,b≥0)，则
√2×√3=√2×3=√6，该选项正确．
B、根据二次根式减法法则，3√3−2√3=(3−2)√3=√3≠1，该选项错误．
C、√2与√3不是同类二次根式，不能直接相加，即√2+√3≠√5，该选项错误．
√6
D、 ≠√3，该选项错误．
2
故答案为：A．
【分析】利用二次根式的乘法，减法，加法，除法法则逐项判断解题．
2．（2020八上·昌图期末）下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
√1 √4
A．√2 B．√9 C． D．
2 7
【答案】A
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A： √2 是最简二次根式，符合题意；
B： √9=3 ，不符合题意；
√1 √2
C： = ，不符合题意；
2 2
√4 2√7
D： = ，不符合题意；
7 7
故答案为：A．
【分析】根据最简二次根式的定义逐项判断即可。
3．（2023八上·沙坪坝期中）下列计算正确的是（ ）
A．−(a3b) 2=a6b2 B．a9÷a3=a3
C．√2+√3=√5 D．√2×√3=√6
1 / 16【答案】D
【知识点】同底数幂的除法；二次根式的乘除法；二次根式的加减法；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、−(a3b) 2=-a6b2，故不符合题意；
B、 a9÷a3=a6， 故不符合题意；
C、√2与√3不是同类二次根式，不能合并，故不符合题意；
D、 √2×√3=√6 ， 正确，故符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据积的乘方、同底数幂的除法、二次根式的加减分别计算，再判断即可.
4．（2019八上·高邑期中）已知 5+√11 的整数部分为 a ， 5−√11 的小数部分为b，则a+b的值
为（ ）
A．10 B．2√11 C．√11−12 D．12−√11
【答案】D
【知识点】无理数的估值；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：∵3<√11<4 ，
∴8<5+√11<9，1<5−√11<2 ，
∴5+√11 的整数部分为a=8， 5−√11 的整数部分为1，
5−√11 的小数部分为b： 5−√11−1=4−√11 ，
∴a+b= 12−√11 ，
故答案为：D．
【分析】首先得出 √11 的取值范围，进而分别得出a，b的值进而得出答案．
5．（2024八上·兰州新期末）若式子√8−x是最简二次根式，则x的值可能为（ ）
A．0 B．−4 C．2 D．4
【答案】C
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、当x=0时，√8−x=√8−0=√8=2√2，不是最简二次根式，∴A不符合题
意；
B、当x=−4时，√8−x=√8−(−4)=√12=2√3，不是最简二次根式，∴B不符合题意；
C、当x=2时，√8−x=√8−2=√6，是最简二次根式，∴C符合题意；
D、当x=4时，√8−x=√8−4=√4=2，不是最简二次根式，∴D不符合题意；
故答案为：C．
【分析】将各选项分别代入√8−x，再利用最简二次根式的定义逐项分析判断即可.
2 / 166．（2024八上·上海市月考）在下列式子中等号能成立的式子共有（ ）
①√0.9x2=0.3x；②√32+22=3+2=5；③√(−5) 2=±5；④√3+√2=√5；⑤√9x2+3=3√x+3．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】A
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：①√0.9x2=0.3|x|√10≠0.3x，不成立，故不符合题意；
②√32+22=√13≠5，不成立，故不符合题意；
③√(−5) 2=5，不成立，故不符合题意；
④√3与√2不是同类二次根式，不能合并，故不符合题意；
⑤√9x2+3是最简二次根式，不能化简，不成立，故不符合题意；
∴成立的个数为0，
故选：A．
【分析】利用二次根式的性质，二次根式的加减分别计算，再判断即可．
7．（2020八上·新田期末）计算 √8+√18 的结果是（ ）
A．√26 B．2√5 C．5√2 D．7√2
【答案】C
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【解答】原式= 2√2+3√2 =5√2 ．
故答案为：C．
【分析】先利用二次根式化简，再进行相加。
8．（2021八上·松江期中）下列计算中，正确的是（ ）
1
A．√2+√3=√5 B．√3×√6=3√2 C． =3+√2 D．√a2=a
3−√2
【答案】B
【知识点】二次根式的乘除法；分母有理化；二次根式的加减法
【解析】【解答】A. √2+√3 不能计算，故不符合题意；
B. √3×√6=√18=3√2 ，符合题意；
3 / 161 3+√2 3+√2
C. = = ，故不符合题意
3−√2 (3−√2)(3+√2) 7
D. √a2=|a| ，故不符合题意
故答案为：B．
【分析】利用二次根式的加减、二次根式的乘法、二次根式的性质及分母有理化逐项判断即可。
二、填空题
9．（2020八上·黄浦期中）化简： √48 ＝ ．
【答案】4√3
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】√48=√16×3=√16×√3=4√3
故答案为： 4√3 ．
【分析】利用二次根式的乘法法则，把 √48 化为最简的二次根式即可。
10．（2024八上·河北期末）（√3-√2）0+√27= ．
【答案】1+3√3
【知识点】零指数幂；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：（√3-√2）0+√27=1+3√3
故答案为：1+3√3 .
【分析】运用零指数幂和二次根式的加减运算，即可解答。
11．（2019八上·上海月考）已知最简二次根式 √4a+3b 与 b+ √12a−b+6 可以合并，则 a+b 的值
为 .
【答案】2
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】由题意得： b+1=2 ， 4a+3b=2a−b+6 ；解得 b=1 ， a=1 ；所以
a+b=2
所以答案为2
【分析】两个最简二次根式能够合并，则说明二者是同类二次根式，所以其被开方数、根指数相同，
依此建立方程组求解，再进一步代入求值即可
12．（2020八上·普陀期中）化简： √8x3 y2 (y>0)= ．
【答案】2xy√2x
【知识点】最简二次根式
4 / 16【解析】【解答】解： √8x3y2=2x|y|√2x ，
∵y>0 ，
∴√8x3 y2=2xy√2x ；
故答案为 2xy√2x ．
【分析】根据二次根式的乘法法则化简求值即可。
13．（2024八上·上海市月考）计算：√−a2+√a+1−√7−2a+√−(a−7)= ．
【答案】1
【知识点】二次根式有意义的条件；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：根据二次根式有意义的条件可知：−a2≥0，
∴a=0，
把a=0代入√−a2+√a+1−√7−2a+√−(a−7)得：
原式=0+1−√7+√7=1．
故答案为：1．
【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，可得−a2≥0，可求a=0，再把a=0代入
√−a2+√a+1−√7−2a+√−(a−7)中并计算即可．
1 1 1
14．（2024八上·通道期末）观察： =√3−√2， =2−√3， =√5−2，⋯⋯
√3+√2 2+√3 √5+2
1 1 1 1 1
计算：1+ + + + +⋅⋅⋅+ = ．
√2+1 √3+√2 2+√3 √5+2 √2024+√2023
【答案】2√506
【知识点】分母有理化；二次根式的加减法
1 1 1
【解析】【解答】解：∵ =√3−√2， =2−√3， =√5−2，
√3+√2 2+√3 √5+2
1 1 1 1 1
∴1+ + + + +⋅⋅⋅+ ，
√2+1 √3+√2 2+√3 √5+2 √2024+√2023
=1+√2−1+√3−√2+2−√3+√5−2+⋅⋅⋅+√2024−√2023，
=√2024，
=2√506，
故答案为：2√506
【分析】根据二次根式的加减运算结合题意进行运算即可求解。
5 / 16三、计算题
15．（2025八上·龙岗期末）计算：
（1）√32−√8；
√1
（2）|√3−2|+3 ；
3
√45−√5
（3） +(2−√3)(2+√3)。
√5
【答案】（1）解：√32−√8
=4√2−2√2
=2√2.
√1
（2）解：|√3−2|+3
3
√3
=2−√3+3×
3
=2−√3+√3
=2
√45−√5
（3）解： +(2−√3)(2+√3)
√5
=√9−1+[22 −(√3) 2 ]
❑ ❑
=3−1+(4−3)
=3
【知识点】平方差公式及应用；二次根式的加减法；化简含绝对值有理数
【解析】【分析】（1）先化简为最简二次根式，再合并即可求出答案.
（2）根据绝对值的性质去绝对值，再化简合并即可求出答案.
（3）结合平方差公式，二次根式的除法先化简，再合并即可求出答案.
16．（2024八上·坪山期末）化简：
√1
（1）√8−2 +√32
2
（2）(3+√2)(3−√2)−√24÷√6
√1
【答案】（1）解：√8−2 +√32
2
√2
=2√2−2× +4√2
2
=2√2−√2+4√2
6 / 16=5√2；
（2）解：(3+√2)(3−√2)−√24÷√6
=9−2−√4
=9−2−2
=5．
【知识点】二次根式的加减法；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）先利用二次根式的性质，分别化成最简二次根式，再计算加减即可求解；
（2）先利用平方差公式将括号去掉，再计算除法，计算求解即可．
17．（2024八上·深圳期中）计算
（1）√2+√8−2√32；
(5 √1)
（2） √18−√50+ ÷√5
3 5
（3）|1−√3|+ ( − 1) −2 −(√3−π) 0 ；
3
1
（4）(√7+√3)(√7−√3)−(2+√5) 2+ ．
√5+2
【答案】（1）解：√2+√8−2√32
=√2+2√2−8√2
=−5√2；
(5 √1)
（2）解： √18−√50+ ÷√5
3 5
( √5)
= 5√2−5√2+ ÷√5
5
√5
= ÷√5
5
1
= ；
5
（3）解：|1−√3|+ ( − 1) −2 −(√3−π) 0
3
=√3−1+9−1
=√3+7；
7 / 161
（4）解：(√7+√3)(√7−√3)−(2+√5) 2+
√5+2
=7−3−4−4√5−5+√5−2
=−3√5−7；
【知识点】二次根式的加减法；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）先化简成最简二次根式，再合并同类二次根式即可；
（2）先将括号内各项化成最简二次根式，并合并同类二次根式，再计算除法运算即可；
（3）先化简绝对值，求解零指数幂与负整数指数幂，再合并即可；
（4）先计算平方差公式和完全平方根式作二次根式的乘法运算，作分母有理化，再合并即可．
（1）解：√2+√8−2√32
=√2+2√2−8√2
=−5√2；
(5 √1) ( √5)
（2） √18−√50+ ÷√5= 5√2−5√2+ ÷√5
3 5 5
√5
= ÷√5
5
1
= ；
5
（3）|1−√3|+ ( − 1) −2 −(√3−π) 0 =√3−1+9−1
3
=√3+7；
1
（4）(√7+√3)(√7−√3)−(2+√5) 2+ =7−3−4−4√5−5+√5−2
√5+2
=−3√5−7；
18．（2024八上·宝安期中）计算：
1
（1）√32− √8+√18
2
√36+√48
（2） −2√2×√6
√3
1
【答案】（1）解：原式=4√2− ×2√2+3√2
2
=6√2
（2）解：原式= √12+√16−2√12
=2√3+4−4√3
8 / 16=4−2√3
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的加减法；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）先化简二次根式，进而根据二次根式的混合运算即可求解；
（2）先化简，再根据二次根式的混合运算进行计算即可求解。
四、解答题
19．（2023八上·承德期末）已知一块长为7dm，宽为5dm的长方形木板，如图．
（1）与这块长方形木板面积相等的正方形木板的边长为______dm；
（2）采用如图的方式，能否在这块木板上截出两个面积分别为8dm2和18dm2的正方形木板？试
说明理由．
【答案】（1）√35
（2）解：不能截出，理由：
若能截出，则两个正方形的边长分别为：√8和√18，
∵√8+√18=2√2+3√2=5√2=√50>7，
∴两个小正方形的边长之和大于木板的长，所以不能截出．
【知识点】无理数的估值；二次根式的加减法；算术平方根的实际应用
【解析】【解答】（1）解：设正方形的边长为xdm，
∴x2=5×7，而x>0，
∴x=√35，
∴正方形的边长为√35dm；
【分析】（1）设正方形的边长为xdm，可得x2=5×7，解方程即可求出答案.
（2）由两个正方形的边长分别为：√8和√18，再用两个正方形的边长之和与7作比较即可得出结论．
（1）解：设正方形的边长为xdm，
∴x2=5×7，而x>0，
∴x=√35，
∴正方形的边长为√35dm；
（2）不能截出，理由：
若能截出，则两个正方形的边长分别为：√8和√18，
∵√8+√18=2√2+3√2=5√2=√50>7，
9 / 16∴两个小正方形的边长之和大于木板的长，所以不能截出．
20．（2024八上·天元期末）阅读下面的文字，解答问题.
大家知道√2是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此√2的小数部分我们不可能完全地写出来，
于是小明用√2−1来表示√2的小数部分，你同意小明的表示方法吗?事实上，小明的表示方法是有道
理的，因为的整数部分是1，用这个数减去其整数部分，差就是小数部分.请解答下列问题：
（1）求出√3+2的整数部分和小数部分；
（2）已知：10+√5=x+ y，其中x是整数，且0√n+2022+√n+2020>0
2 2
∴ <
√n+2024+√n+2022 √n+2022+√n+2020
∴√n+2024−√n+2022<√n+2022−√n+2020
【知识点】分母有理化；二次根式的加减法
【解析】【分析】（1）子分母有理化即可求解；
（2）分母有理化，再就加减即可；
（3）分母有理化后比较大小，即可求解．
9(√6−√3) 9(√6−√3)
（1）解：①原式= = =3(√6−√3)=3√6−3√3
(√6+√3)(√6−√3) 6−3
√2(2√3+3√2) 2√6+6 2√6+6 √6+3
②原式= = = =−
(2√3−3√2)(2√3+3√2) 12−18 −6 3
√4−√2 √6−√4 √8−√6 √2024−√2022
（2）解：原式= + + +...+
2 2 2 2
√4−√2+√6−√4+√8−√6+...+√2024−√2022
=
2
√2024−√2 2√506−√2
= = .
2 2
2
（3）解：√n+2024−√n+2022=
√n+2024+√n+2022
2
√n+2022−√n+2020=
√n+2022+√n+2020
∵√n+2024+√n+2022>√n+2022+√n+2020>0
2 2
∴ <
√n+2024+√n+2022 √n+2022+√n+2020
∴√n+2024−√n+2022<√n+2022−√n+2020
12 / 16五、实践探究题
23．（2024八上·遂川期末）阅读下列解题过程：
1 1×(√5−√4) √5−√4
= = =√5−√4，
√5+√4 (√5+√4)(√5−√4) (√5) 2−(√4) 2
1 1×(√6−√5) √6−√5
= = =√6−√5，
√6+√5 (√6+√5)(√6−√5) (√6) 2−(√5) 2
请回答下列问题：
1
（1）观察上面的解答过程，请写出 = ；
√100+√99
（2）请你用含n（n 为正整数）的关系式表示上述各式子的变形规律；
（3）利用上面的解法，请化简：
1 1 1 1 1
+ + +......+ +
1+√2 √2+√3 √3+√4 √98+√99 √99+√100
【答案】（1）10−3√11
1
（2）解：观察前面例子的过程和结果得： =√n+1−√n
√n+1+√n
1
（3）解：反复运用 =√n+1−√n得
√n+1+√n
1 1 1 1 1
+ + +......+ +
1+√2 √2+√3 √3+√4 √98+√99 √99+√100
=√2−√1+√3−√2+√4−√3+......+√100−√99
=−√1+√2−√2+√3−√3+√4−√4+......−√99+√100
=−1+√100=-1+10=9．
【知识点】分母有理化；二次根式的加减法；探索数与式的规律
【解析】【解答】（1）解：根据题意
1 √100-√99 √100-√99
= = =√100-√99=10-3√11
√100+√99 (√100+√99)(√100-√99) 100-99
故第一空填：10−3√11
【分析】（1）仿照例子，分母进行有理化，分子分母同时乘以不为0的式子，由平方差公式可得分
母为1，结果化到最简；
13 / 161
（2）仿照例子和（1），把代数式有理化，即可得到变形规律； =√n+1−√n （n为正整
√n+1+√n
数）；
（3）把式子中的每一项都按照变形规律，都变成两项差的形式，可发现新的式子中，从第二项开始，
前后两项可以抵消，即中间项的代数和都为0，最后可得第一项和最后-项相加，故简化后可得9.
24．（2024八上·河北期末）已知a，b，m都是实数，若a+b=2，则称a与b是关于l的“平衡数”．
（1）4与 是关于l的“平衡数”，3-√2与 是关于l的“平衡数”；
（2）若（m+√3）（1-√3）=-2，判断m+√3与2-√3是否是关于l的“平衡数”，并说明理
由．
【答案】（1）-2；√2-1
（2）解：（m+√3）（1-√3）=-2，
整理得：（1-√3）m=1-√3，
解得：m=1，
则1+√3+2-√3=3≠2，不是关于l的“平衡数”
【知识点】二次根式的加减法；定义新运算
【解析】【解答】解：(1) 2-4=-2，2-(3-√2)=2-3+√2=√2-1， 所以4与-2是关于l的“平衡数”，
3-√2与√2-1 是关于l的“平衡数.
故答案为：-2；√2-1.【分析】掌握二次根式的加减运算，并理解题述“平衡数的概念”
（1）利用“平衡数”的定义计算即可；
（2）利用“平衡数”的定义计算即可。
25．（2024八上·吉安期中）有这样一类题目：将√a±2√b化简，如果你能找到两个数m、n，使
m2+n2=a且mn=√b，a±2√b将变成m2+n2±2mn，即变成(m±n) 2，从而使√a±2√b得以化简．
（1）例如，∵5+2√6=3+2+2√6=(√3) 2+(√2) 2+2√2×√3=(√3+√2) 2 ，
∴√5+2√6=√ (√3+√2) 2=______，请完成填空．
（2）仿照上面的例子，请化简√4−2√3；
（3）利用上面的方法，设A=√6+4√2，B=√3−√5，求A＋B的值．
【答案】（1）√3+√2
（2）∵4−2√3=3+1−2√3=(√3) 2+1−2√3=(√3−1) 2∴√4−2√3=√ (√3−1) 2=√3−1．
14 / 16（3）∵A=6+4√2=4+2+4√2=(√4) 2+(√2) 2+2×√4×√2=(2+√2) 2∴A=√6+4√2=2+√2
6−2√5 5+1−2√5 (√5)
2+12−2×1×√5
(√5−1)
2
∵B=3−√5= = = =
2 2 2 2
√(√5−1) 2 √5−1 √10−√2 1 1
∴B=√3−√5= = = = √10− √2
2 √2 2 2 2
∴把A式和B式的值代入A＋B中，得：
1 1 1 √2
A+B=2+√2+ √10− √2=2+ √10+
2 2 2 2
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的性质与化简；二次根式的加减法；二次根式的化简求值
【解析】【解答】（1）∵5+2√6=2+3+2√6=(√2) 2+(√3) 2+2×√2×√3=(√2+√3) 2
∴√5+2√6=√ (√3+√2) 2=√3+√2
故答案为：√3+√2
【分析】本题考查二次根式的化简求值问题，完全平方公式.
（1）先进行变形可得：5+2√6=(√2) 2+(√3) 2+2×√2×√3，利用完全平方公式进行变形可得：
{
a(a>0)
5+2√6=(√2+√3) 2 ，再利用二次根式的性质： √a2=|a|= 0(a=0) 进行化简可求出答案．
−a(a<0)
（2）先进行变形可得：4−2√3=(√3) 2+1−2√3 ，利用完全平方公式进行变形可得：
{
a(a>0)
4−2√3=(√3−1) 2 ，再利用二次根式的性质： √a2=|a|= 0(a=0) 进行化简可求出答案．
−a(a<0)
（3）先将A式和B式分别转化为完全平方公式的结构形式，再根据二次根式的性质
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a(a>0)
√a2=|a|=
0(a=0) ，把A式和B式的结果分别算出，再将A式和B式再代入A＋B可得：
−a(a<0)
1 1
A+B=2+√2+ √10− √2，再进行合并同类项可求出A＋B的值．
2 2
（1）∵5+2√6=2+3+2√6=(√2) 2+(√3) 2+2×√2×√3=(√2+√3) 2
∴√5+2√6=√ (√3+√2) 2=√3+√2
故答案为：√3+√2
（2）∵4−2√3=3+1−2√3=(√3) 2+1−2√3=(√3−1) 2
∴√4−2√3=√ (√3−1) 2=√3−1．
（3）∵A=6+4√2=4+2+4√2=(√4) 2+(√2) 2+2×√4×√2=(2+√2) 2
∴A=√6+4√2=2+√2
6−2√5 5+1−2√5 (√5)
2+12−2×1×√5
(√5−1)
2
∵B=3−√5= = = =
2 2 2 2
√(√5−1) 2 √5−1 √10−√2 1 1
∴B=√3−√5= = = = √10− √2
2 √2 2 2 2
∴把A式和B式的值代入A＋B中，得：
1 1 1 √2
A+B=2+√2+ √10− √2=2+ √10+
2 2 2 2
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