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2.3.2二次根式的加减法-北师大版(2025)数学八年级上册
一、选择题
1．（2025八上·福田期末）下列计算正确的是（ ）
√6
A．√2×√3=√6 B．3√3−2√3=1 C．√2+√3=√5 D． =√3
2
2．（2020八上·昌图期末）下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
√1 √4
A．√2 B．√9 C． D．
2 7
3．（2023八上·沙坪坝期中）下列计算正确的是（ ）
A．−(a3b) 2=a6b2 B．a9÷a3=a3
C．√2+√3=√5 D．√2×√3=√6
4．（2019八上·高邑期中）已知 5+√11 的整数部分为 a ， 5−√11 的小数部分为b，则a+b的值
为（ ）
A．10 B．2√11 C．√11−12 D．12−√11
5．（2024八上·兰州新期末）若式子√8−x是最简二次根式，则x的值可能为（ ）
A．0 B．−4 C．2 D．4
6．（2024八上·上海市月考）在下列式子中等号能成立的式子共有（ ）
①√0.9x2=0.3x；②√32+22=3+2=5；③√(−5) 2=±5；④√3+√2=√5；⑤√9x2+3=3√x+3．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
7．（2020八上·新田期末）计算 √8+√18 的结果是（ ）
A．√26 B．2√5 C．5√2 D．7√2
8．（2021八上·松江期中）下列计算中，正确的是（ ）
1
A．√2+√3=√5 B．√3×√6=3√2 C． =3+√2 D．√a2=a
3−√2
二、填空题
9．（2020八上·黄浦期中）化简： √48 ＝ ．
10．（2024八上·河北期末）（√3-√2）0+√27= ．
11．（2019八上·上海月考）已知最简二次根式 √4a+3b 与 b+ √12a−b+6 可以合并，则 a+b 的值
为 .
12．（2020八上·普陀期中）化简： √8x3 y2 (y>0)= ．
1 / 1713．（2024八上·上海市月考）计算：√−a2+√a+1−√7−2a+√−(a−7)= ．
1 1 1
14．（2024八上·通道期末）观察： =√3−√2， =2−√3， =√5−2，⋯⋯
√3+√2 2+√3 √5+2
1 1 1 1 1
计算：1+ + + + +⋅⋅⋅+ = ．
√2+1 √3+√2 2+√3 √5+2 √2024+√2023
三、计算题
15．（2025八上·龙岗期末）计算：
（1）√32−√8；
√1
（2）|√3−2|+3 ；
3
√45−√5
（3） +(2−√3)(2+√3)。
√5
16．（2024八上·坪山期末）化简：
√1
（1）√8−2 +√32
2
（2）(3+√2)(3−√2)−√24÷√6
17．（2024八上·深圳期中）计算
（1）√2+√8−2√32；
(5 √1)
（2） √18−√50+ ÷√5
3 5
（3）|1−√3|+ ( − 1) −2 −(√3−π) 0 ；
3
1
（4）(√7+√3)(√7−√3)−(2+√5) 2+ ．
√5+2
18．（2024八上·宝安期中）计算：
1
（1）√32− √8+√18
2
√36+√48
（2） −2√2×√6
√3
四、解答题
19．（2023八上·承德期末）已知一块长为7dm，宽为5dm的长方形木板，如图．
2 / 17（1）与这块长方形木板面积相等的正方形木板的边长为______dm；
（2）采用如图的方式，能否在这块木板上截出两个面积分别为8dm2和18dm2的正方形木板？试
说明理由．
20．（2024八上·天元期末）阅读下面的文字，解答问题.
大家知道√2是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此√2的小数部分我们不可能完全地写出来，
于是小明用√2−1来表示√2的小数部分，你同意小明的表示方法吗?事实上，小明的表示方法是有道
理的，因为的整数部分是1，用这个数减去其整数部分，差就是小数部分.请解答下列问题：
（1）求出√3+2的整数部分和小数部分；
（2）已知：10+√5=x+ y，其中x是整数，且00 ，
∴√8x3 y2=2xy√2x ；
故答案为 2xy√2x ．
【分析】根据二次根式的乘法法则化简求值即可。
13．【答案】1
【知识点】二次根式有意义的条件；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：根据二次根式有意义的条件可知：−a2≥0，
∴a=0，
把a=0代入√−a2+√a+1−√7−2a+√−(a−7)得：
原式=0+1−√7+√7=1．
故答案为：1．
【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，可得−a2≥0，可求a=0，再把a=0代入
√−a2+√a+1−√7−2a+√−(a−7)中并计算即可．
14．【答案】2√506
【知识点】分母有理化；二次根式的加减法
1 1 1
【解析】【解答】解：∵ =√3−√2， =2−√3， =√5−2，
√3+√2 2+√3 √5+2
1 1 1 1 1
∴1+ + + + +⋅⋅⋅+ ，
√2+1 √3+√2 2+√3 √5+2 √2024+√2023
=1+√2−1+√3−√2+2−√3+√5−2+⋅⋅⋅+√2024−√2023，
=√2024，
=2√506，
故答案为：2√506
【分析】根据二次根式的加减运算结合题意进行运算即可求解。
15．【答案】（1）解：√32−√8
=4√2−2√2
=2√2.
8 / 17√1
（2）解：|√3−2|+3
3
√3
=2−√3+3×
3
=2−√3+√3
=2
√45−√5
（3）解： +(2−√3)(2+√3)
√5
=√9−1+[22 −(√3) 2 ]
❑ ❑
=3−1+(4−3)
=3
【知识点】平方差公式及应用；二次根式的加减法；化简含绝对值有理数
【解析】【分析】（1）先化简为最简二次根式，再合并即可求出答案.
（2）根据绝对值的性质去绝对值，再化简合并即可求出答案.
（3）结合平方差公式，二次根式的除法先化简，再合并即可求出答案.
√1
16．【答案】（1）解：√8−2 +√32
2
√2
=2√2−2× +4√2
2
=2√2−√2+4√2
=5√2；
（2）解：(3+√2)(3−√2)−√24÷√6
=9−2−√4
=9−2−2
=5．
【知识点】二次根式的加减法；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）先利用二次根式的性质，分别化成最简二次根式，再计算加减即可求解；
（2）先利用平方差公式将括号去掉，再计算除法，计算求解即可．
17．【答案】（1）解：√2+√8−2√32
=√2+2√2−8√2
=−5√2；
(5 √1)
（2）解： √18−√50+ ÷√5
3 5
9 / 17( √5)
= 5√2−5√2+ ÷√5
5
√5
= ÷√5
5
1
= ；
5
（3）解：|1−√3|+ ( − 1) −2 −(√3−π) 0
3
=√3−1+9−1
=√3+7；
1
（4）解：(√7+√3)(√7−√3)−(2+√5) 2+
√5+2
=7−3−4−4√5−5+√5−2
=−3√5−7；
【知识点】二次根式的加减法；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）先化简成最简二次根式，再合并同类二次根式即可；
（2）先将括号内各项化成最简二次根式，并合并同类二次根式，再计算除法运算即可；
（3）先化简绝对值，求解零指数幂与负整数指数幂，再合并即可；
（4）先计算平方差公式和完全平方根式作二次根式的乘法运算，作分母有理化，再合并即可．
（1）解：√2+√8−2√32
=√2+2√2−8√2
=−5√2；
(5 √1) ( √5)
（2） √18−√50+ ÷√5= 5√2−5√2+ ÷√5
3 5 5
√5
= ÷√5
5
1
= ；
5
（3）|1−√3|+ ( − 1) −2 −(√3−π) 0 =√3−1+9−1
3
=√3+7；
1
（4）(√7+√3)(√7−√3)−(2+√5) 2+ =7−3−4−4√5−5+√5−2
√5+2
10 / 17=−3√5−7；
1
18．【答案】（1）解：原式=4√2− ×2√2+3√2
2
=6√2
（2）解：原式= √12+√16−2√12
=2√3+4−4√3
=4−2√3
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的加减法；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）先化简二次根式，进而根据二次根式的混合运算即可求解；
（2）先化简，再根据二次根式的混合运算进行计算即可求解。
19．【答案】（1）√35
（2）解：不能截出，理由：
若能截出，则两个正方形的边长分别为：√8和√18，
∵√8+√18=2√2+3√2=5√2=√50>7，
∴两个小正方形的边长之和大于木板的长，所以不能截出．
【知识点】无理数的估值；二次根式的加减法；算术平方根的实际应用
【解析】【解答】（1）解：设正方形的边长为xdm，
∴x2=5×7，而x>0，
∴x=√35，
∴正方形的边长为√35dm；
【分析】（1）设正方形的边长为xdm，可得x2=5×7，解方程即可求出答案.
（2）由两个正方形的边长分别为：√8和√18，再用两个正方形的边长之和与7作比较即可得出结论．
（1）解：设正方形的边长为xdm，
∴x2=5×7，而x>0，
∴x=√35，
∴正方形的边长为√35dm；
（2）不能截出，理由：
若能截出，则两个正方形的边长分别为：√8和√18，
∵√8+√18=2√2+3√2=5√2=√50>7，
∴两个小正方形的边长之和大于木板的长，所以不能截出．
20．【答案】（1）解：√3+2 的小数部分为√3−1，整数部分为3
（2）解：-（x-y）=14−√5
【知识点】无理数的估值；二次根式的加减法；实数的相反数
11 / 17【解析】【解答】解：(1)∵1＜√3＜2，
∴3＜√3+2＜4，
∴√3+2的整数部分是1+2=3，
√3 +2的小数部分是√3﹣1；
(2)∵2＜√5＜3，
∴12＜10+√5＜13，
∴10+√5的整数部分是12，10+√5的小数部分是10+√5﹣12=√5﹣2，
即x=12，y=√5﹣2，
∴x﹣y=12﹣(√5﹣2)
=12﹣√5+2
=14﹣√5，
则x﹣y的相反数是√5﹣14．
【分析】（1）先根据题意估算√3的大小，进而即可得到√3+2的大小，再结合题意即可求解；
（2）先根据题意得到10+√5的整数部分是12，10+√5的小数部分是10+√5﹣12=√5﹣2，进而即可得
到x和y，再根据二次根式的减法结合题意即可求解。
21．【答案】（1）解：因为a=√3+√2，b=√3−√2，
所以a+b=√3+√2+√3−√2=2√3，
a √3+√2 (√3+√2) 2
= = =5+2√6．
b √3−√2 (√3+√2)(√3−√2)
（2）解：因为a=√3+√2，b=√3−√2，可得a−b=√3+√2−√3+√2=2√2，
则a2−2ab+b2=(a−b) 2=(2√2) 2=8．
【知识点】二次根式的乘除法；分母有理化；二次根式的加减法
【解析】【分析】（1）利用二次根式的加减运算法则，结合二次根式的加法运算和分母有理化的法
则，准确计算，即可求解；
（2）根据题意，先计算a−b的值，结合完全平方公式进行计算，即可求解.
（1）解：∵a=√3+√2，b=√3−√2，
∴a+b=√3+√2+√3−√2=2√3，
a √3+√2 (√3+√2) 2
= = =5+2√6．
b √3−√2 (√3+√2)(√3−√2)
（2）∵a=√3+√2，b=√3−√2，
12 / 17∴a−b=√3+√2−√3+√2=2√2，
∴a2−2ab+b2=(a−b) 2=(2√2) 2=8．
9(√6−√3) 9(√6−√3)
22．【答案】（1）解：①原式= = =3(√6−√3)=3√6−3√3
(√6+√3)(√6−√3) 6−3
√2(2√3+3√2) 2√6+6 2√6+6 √6+3
②原式= = = =−
(2√3−3√2)(2√3+3√2) 12−18 −6 3
√4−√2 √6−√4 √8−√6 √2024−√2022
（2）解：原式= + + +...+
2 2 2 2
√4−√2+√6−√4+√8−√6+...+√2024−√2022
=
2
√2024−√2 2√506−√2
= = .
2 2
2
（3）解：√n+2024−√n+2022=
√n+2024+√n+2022
2
√n+2022−√n+2020=
√n+2022+√n+2020
∵√n+2024+√n+2022>√n+2022+√n+2020>0
2 2
∴ <
√n+2024+√n+2022 √n+2022+√n+2020
∴√n+2024−√n+2022<√n+2022−√n+2020
【知识点】分母有理化；二次根式的加减法
【解析】【分析】（1）子分母有理化即可求解；
（2）分母有理化，再就加减即可；
（3）分母有理化后比较大小，即可求解．
9(√6−√3) 9(√6−√3)
（1）解：①原式= = =3(√6−√3)=3√6−3√3
(√6+√3)(√6−√3) 6−3
√2(2√3+3√2) 2√6+6 2√6+6 √6+3
②原式= = = =−
(2√3−3√2)(2√3+3√2) 12−18 −6 3
√4−√2 √6−√4 √8−√6 √2024−√2022
（2）解：原式= + + +...+
2 2 2 2
√4−√2+√6−√4+√8−√6+...+√2024−√2022
=
2
13 / 17√2024−√2 2√506−√2
= = .
2 2
2
（3）解：√n+2024−√n+2022=
√n+2024+√n+2022
2
√n+2022−√n+2020=
√n+2022+√n+2020
∵√n+2024+√n+2022>√n+2022+√n+2020>0
2 2
∴ <
√n+2024+√n+2022 √n+2022+√n+2020
∴√n+2024−√n+2022<√n+2022−√n+2020
23．【答案】（1）10−3√11
1
（2）解：观察前面例子的过程和结果得： =√n+1−√n
√n+1+√n
1
（3）解：反复运用 =√n+1−√n得
√n+1+√n
1 1 1 1 1
+ + +......+ +
1+√2 √2+√3 √3+√4 √98+√99 √99+√100
=√2−√1+√3−√2+√4−√3+......+√100−√99
=−√1+√2−√2+√3−√3+√4−√4+......−√99+√100
=−1+√100=-1+10=9．
【知识点】分母有理化；二次根式的加减法；探索数与式的规律
【解析】【解答】（1）解：根据题意
1 √100-√99 √100-√99
= = =√100-√99=10-3√11
√100+√99 (√100+√99)(√100-√99) 100-99
故第一空填：10−3√11
【分析】（1）仿照例子，分母进行有理化，分子分母同时乘以不为0的式子，由平方差公式可得分
母为1，结果化到最简；
1
（2）仿照例子和（1），把代数式有理化，即可得到变形规律； =√n+1−√n （n为正整
√n+1+√n
数）；
（3）把式子中的每一项都按照变形规律，都变成两项差的形式，可发现新的式子中，从第二项开始，
前后两项可以抵消，即中间项的代数和都为0，最后可得第一项和最后-项相加，故简化后可得9.
14 / 1724．【答案】（1）-2；√2-1
（2）解：（m+√3）（1-√3）=-2，
整理得：（1-√3）m=1-√3，
解得：m=1，
则1+√3+2-√3=3≠2，不是关于l的“平衡数”
【知识点】二次根式的加减法；定义新运算
【解析】【解答】解：(1) 2-4=-2，2-(3-√2)=2-3+√2=√2-1， 所以4与-2是关于l的“平衡数”，
3-√2与√2-1 是关于l的“平衡数.
故答案为：-2；√2-1.【分析】掌握二次根式的加减运算，并理解题述“平衡数的概念”
（1）利用“平衡数”的定义计算即可；
（2）利用“平衡数”的定义计算即可。
25．【答案】（1）√3+√2
（2）∵4−2√3=3+1−2√3=(√3) 2+1−2√3=(√3−1) 2∴√4−2√3=√ (√3−1) 2=√3−1．
（3）∵A=6+4√2=4+2+4√2=(√4) 2+(√2) 2+2×√4×√2=(2+√2) 2 ∴A=√6+4√2=2+√2
6−2√5 5+1−2√5 (√5)
2+12−2×1×√5
(√5−1)
2
∵B=3−√5= = = =
2 2 2 2
√(√5−1) 2 √5−1 √10−√2 1 1
∴B=√3−√5= = = = √10− √2
2 √2 2 2 2
∴把A式和B式的值代入A＋B中，得：
1 1 1 √2
A+B=2+√2+ √10− √2=2+ √10+
2 2 2 2
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的性质与化简；二次根式的加减法；二次根式的化简求值
【解析】【解答】（1）∵5+2√6=2+3+2√6=(√2) 2+(√3) 2+2×√2×√3=(√2+√3) 2
∴√5+2√6=√ (√3+√2) 2=√3+√2
故答案为：√3+√2
【分析】本题考查二次根式的化简求值问题，完全平方公式.
15 / 17（1）先进行变形可得：5+2√6=(√2) 2+(√3) 2+2×√2×√3，利用完全平方公式进行变形可得：
{
a(a>0)
5+2√6=(√2+√3) 2 ，再利用二次根式的性质： √a2=|a|= 0(a=0) 进行化简可求出答案．
−a(a<0)
（2）先进行变形可得：4−2√3=(√3) 2+1−2√3 ，利用完全平方公式进行变形可得：
{
a(a>0)
4−2√3=(√3−1) 2 ，再利用二次根式的性质： √a2=|a|= 0(a=0) 进行化简可求出答案．
−a(a<0)
（3）先将A式和B式分别转化为完全平方公式的结构形式，再根据二次根式的性质
{
a(a>0)
√a2=|a|=
0(a=0) ，把A式和B式的结果分别算出，再将A式和B式再代入A＋B可得：
−a(a<0)
1 1
A+B=2+√2+ √10− √2，再进行合并同类项可求出A＋B的值．
2 2
（1）∵5+2√6=2+3+2√6=(√2) 2+(√3) 2+2×√2×√3=(√2+√3) 2
∴√5+2√6=√ (√3+√2) 2=√3+√2
故答案为：√3+√2
（2）∵4−2√3=3+1−2√3=(√3) 2+1−2√3=(√3−1) 2
∴√4−2√3=√ (√3−1) 2=√3−1．
（3）∵A=6+4√2=4+2+4√2=(√4) 2+(√2) 2+2×√4×√2=(2+√2) 2
∴A=√6+4√2=2+√2
6−2√5 5+1−2√5 (√5)
2+12−2×1×√5
(√5−1)
2
∵B=3−√5= = = =
2 2 2 2
16 / 17√(√5−1) 2 √5−1 √10−√2 1 1
∴B=√3−√5= = = = √10− √2
2 √2 2 2 2
∴把A式和B式的值代入A＋B中，得：
1 1 1 √2
A+B=2+√2+ √10− √2=2+ √10+
2 2 2 2
17 / 17
