文档文本内容
第12 讲函数
内容导航
01 预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向
02 教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理
03 题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解
题型1 函数的概念及图象识别
题型2 函数的三种表示方法之列表法
题型3 函数的三种表示方法之解析式
题型4 函数的三种表示方法之图象法
题型5 求自变量的取值范围
题型6 求自变量的值或函数值
题型7 动点问题画函数图象
题型8 从函数的图象获取信息
04 过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固
关键词
学习目标导航
函数、变量、对应关系、
唯一性、表示方法、函
数值、变化与对应。
1. 理解函数的概念，掌握函数定义的三个要素（两个变量、对应关系、唯一
性）。
2. 能判断两个变量之间是否具有函数关系，并能举出具体实例。
3. 掌握函数的三种表示方法（列表法、解析式法、图象法），并能根据实际
情况选择合适的方法。
4. 能根据函数关系式求出函数值，经历从具体情境中抽象出函数模型的过程，
体会变化与对应的思想。
学习重点：函数的概念及其三个要素，能判断两个变量之间是否存在函数关系。
学习难点：理解函数概念中“对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与之对应”的含义，特
别是“唯一性”的判断。
知｜识｜框｜架
知｜识｜精｜讲
知识点01 函数的概念
函数的概念：一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x 和y，并且对于变量x 的每一个值，变量y 都有
唯一的值与它对应，那么我们称y 是x 的函数。其中x 是自变量，y 是因变量。
函数值：y 是x 的函数，如果当x ＝a时y ＝b ，那么b 叫做当自变量为a时的函数值.
【易错提醒】
函数概念易错警示：对自变量x 的每一个值，因变量y 都有唯一确定的值与之对应。注意：y2=x 不是函数
（一个x 对应两个y）。自变量取值范围需使式子有意义（如分母非零、开方非负）。
即时即练1．下列图形中不能表示y 是x 的函数的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【知识点】函数图象识别
【分析】本题考查了函数函数的概念，熟悉掌握函数的概念是解题的关键．
根据函数的概念逐一判断图象即可．
【详解】解：根据函数的定义：当x 每取一个值时，y 都有一个值和x 一一对应．
∵
这三个图象当x 每取一个值时，y 都有一个值和x 一一
对应，
∴这三个图象能表示为y 是x 的函数；
∵
此图象当
0
x
时，x 的取值会有两个y 与其对应，
∴此图不能表示为y 是x 的函数；
故选：D．
2．下列y 与x 的关系中，y 不是x 的函数关系的是
．（填序号）
①
2
1
y
x
；②
2
y
x
；③
2y
x
；④
2
y
x
；⑤
2
y
x
；⑥
2
1
y
x
=
+ ．
【答案】②③
【知识点】函数的概念
【分析】本题考查函数定义，解题的关键是理解掌握自变量x 在一定的范围内取一个值，因变量y 有唯一
确定的值与之对应，则y 叫x 的函数．根据函数的定义，自变量x 在一定的范围内取一个值，因变量y 有唯
一确定的值与之对应，则y 叫x 的函数，即可得出答案．
【详解】解：根据题意得①、④、⑤和⑥满足取一个x 的值，有唯一确定的y 值和它对应，y 是x 的函数，
而②和③对一个x 的值，与之对应的可能有两个y 的值，故②和③y 不是x 的函数，
故答案为：②③．
知识点02 函数的三种表示方法
①列表法：自变量与应变量的值可直接读取，不易看出自变量与应变量之间规律；对应关系明确、实用，
但数据有限，规律不明显。
②解析法：能完整反映变化过程，但对应数值需要计算；全面、准确，但较抽象。
③图象法：只能表示函数关系，不能确切得出函数；直观、形象、规律明显，但不精确。
【微点拨】
1.判断两个变量之间是否是函数关系，应考虑以下三点：（1）有两个变量；（2）一个变量的变化随另一个
变量的变化而变化；（3）自变量每确定一个值，因变量都有唯一的值与之对应。
2.对于每个确定的自变量值，函数值是唯一的，但反过来，可以不唯一，即一个函数值对应的自变量可以是
多个.比如：
2
y
x
中，当y 的值为4 时，x 的值为±2.
【易错提醒】
函数三种表示法（解析式、列表法、图象法）易错警示：解析式要注明自变量范围；列表对应值不能重复
或遗漏；图象需描点连线，注意实际意义中端点（空心/实心）与增减趋势。三者可互相转化。
即时即练1．一辆汽车油箱内有油48 升，从某地出发，每行1 千米，耗油0.6 升，如果设剩油量为y（升），
行驶路程为x （千米）
(1)上述变化过程中，哪个量是自变量，哪个量是因变量；
(2)用含x 的代数式表示y ；（写出自变量的取值范围）
(3)当
10
x
时，y 是多少？当
24
y
时，x 是多少？
【答案】(1)行驶路程，剩油量
(2)
48
0.6
0
80
y
x
x
(3)42，40
【知识点】求自变量的取值范围、求自变量的值或函数值、用关系式表示变量间的关系
【分析】本题考查了自变量及因变量的定义以及一次函数的简单应用，穿插了函数值及函数关系式的知识．
（1）根据自变量及因变量的定义结合题意可得出答案；
（2）根据题意所述结合（1）所判断的自变量与因变量即可列出函数关系式；
（3）分别令
10
x
，及
24
y
代入即可得出答案．
【详解】（1）由题意得：自变量是行驶路程，因变量是剩油量，
故答案为：行驶路程，剩油量；
（2）根据每行1 千米，耗油0.6 升及总油量为48 升可得：
48
0.6
y
x
，
由题意可得
0
0
y
x
，
∴
48
0.6
0
0
x
x
，解得0
80
x
故答案为：
48
0.6
0
80
y
x
x
；
（3）当
10
x
时，
2
48
0.6
48
6
4
0.
40
y
x
；
当
24
y
时，
4
48
0.
2
6
y
x
，解得
40
x
；
故答案为：42，40．
2．一个装有进水管与出水管的容器，从某时刻开始的4 min 内只进水不出水，在随后的14 min 内既进水又
出水，在第18 min 后只出水不进水，每分钟的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量）（单位：L ）
与时间x（单位：min ）之间的关系如图所示．
请根据图中提供的信息，解答下列问题：
(1)每分钟的进水量为_____ L，每分钟的出水量为_____ L；
(2)求m 的值；
(3)若在某一时间x（
18
x
）min 时，容器内水量恰好为30 L，直接写出此时x 的值为_____．
【答案】(1)5,3.75
(2)
28
m
(3) 20
【知识点】从函数的图象获取信息
【分析】本题考查通过图象求信息．
（1）通过图象先求出每分钟进水量，再求出每分钟出水量即可；
（2）通过图象先求出第18min 时容器内的水量，继而求出m 的值；
（3）先用第18min 时容器内的水量减去某一时间x 时容器内水量恰好为30 L，结果除以每分钟出水量，后
加上18即可得到x 的值．
【详解】（1）解：由图可知，
∵从某时刻开始的4 min 内只进水不出水，
∴每分钟进水量为：20
4
5L
，
∵在随后的14 min 内既进水又出水，
∴每分钟出水量为：[5 (12
4)
(30
20)]
(12
4)
3.75L
，
故答案为：5,3.75 ；
（2）解：由图可得，
∵第18min 时容器内的水量有：20
(5
3.75) (18
4)
37.5L
，
∴
18
37.5 3.75
28
m
，
∴m 的值为28 ；
（3）解：∵在第18 min 后只出水不进水，每分钟的进水量和出水量是两个常数，
∵第18min 时容器内的水量有：20
(5
3.75) (18
4)
37.5L
，
∴由题意得：
18
(37.5
30)
3.75
20
x
，
故答案为：20 ．
观察下列图形，其中是三角形的是（
）
题型1 函数的概念及图象识别
【例1】下列表达式中，y 不是x 的函数的是（
）
A．
3
2
y
x
B．
1
y
x
C．
2
y
x
=
D．y
x
【答案】D
【分析】本题考查函数的定义，根据函数定义逐项判断即可．
【详解】解：ABC：对于式子有意义的任意一个x，有且仅有一个确定的y 的值与之对应，符合函数的定义；
D：y
x
可化为y
x
，当
0
x
时，对x 的一个取值，有2 个y 的值与之对应，不符合函数的定义，
故选：D．
【例2】下列各图给出了y 与自变量x 之间的对应关系，其中能表示y 是x 的函数的是（
）
A．②④
B．①③
C．①④
D．③④
【答案】C
【分析】本题考查了函数的概念，函数图象的识别，根据函数的概念，对于自变量x 的每一个值，因变量y
都有唯一的值与它对应，即可解答．
【详解】解：①对于自变量x 的每一个值，因变量y 都有唯一的值与它对应，所以y 是x 的函数，故①符合
题意；
②对于自变量x 的每一个值，因变量y 不是都有唯一的值与它对应，所以y 不是x 的函数，故②不符合题意；
③对于自变量x 的每一个值，因变量y 不是都有唯一的值与它对应，所以y 不是x 的函数，故③不符合题意；
④对于自变量x 的每一个值，因变量y 都有唯一的值与它对应，所以y 是x 的函数，故④符合题意；
故选：C．
【技巧归纳】
函数：对于自变量x 的每一个值，y 都有唯一确定的值与之对应。判断时，一个x 对应多个y 则不是函数。
图象识别：用竖线法（垂直于x 轴的直线与图象最多一个交点）。注意定义域与值域。列解析式或表格验
证。
【变式1-1】有下列6 个等式：①
3
1
y
x
=
+
；②
2
2
1
y
x
；③
|
|
y
x
；④y
x
；⑤
2
|
| 3
1
y
x
；⑥y
x
．其
中表示“ y 是x 的函数有（
）
A．2 个
B．3 个
C．4 个
D．5 个
【答案】B
【分析】本题主要考查函数的概念，根据函数的概念，对于自变量x 的每一个值，y 都有唯一的值与它对应，
据此判断即可．
【详解】解：在下列6 个等式：①
3
1
y
x
=
+
；②
2
2
1
y
x
；③
|
|
y
x
；④y
x
；⑤
2
|
| 3
1
y
x
；⑥y
x
．其
中表示“ y 是x 的函数有①
3
1
y
x
=
+
；③
|
|
y
x
；⑥y
x
，共3 个．
故选：B．
【变式1-2】下列图象中，表示y 是x 的函数的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了函数的概念，对于两个变量x、y，若对于x 的一个值，y 都有唯一的值与之对应，
则y 是x 的函数，据此结合函数图象逐一判断即可．
【详解】解：A、对于x 的一个值，y 都有两个值与之对应，故y 不是x 的函数，不符合题意；
B、对于部分x 的值，y 都有两个值与之对应，故y 不是x 的函数，不符合题意；
C、对于x 的一个值，y 都有唯一的值与之对应，故y 是x 的函数，符合题意；
D、对于部分x 的值，y 都有两个值或三个值与之对应，故y 不是x 的函数，不符合题意；
故选：C．
题型2 函数的三种表示方法之列表法
【例3】课外科技小组研制了一种航模飞机，通过实验，收集了飞机飞行高度h（米）随飞行时间t（秒）
变化的规律如下表所示．
t/秒
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
…
h/米
1.8
7.3
11.8
15.3
17.8
19.3
19.8
19.3
17.8
15.3
…
下列说法正确的是（
）
A．飞行时间t 每增加0.5 秒，飞行高度h 就增加5.5 米
B．飞行时间t 每增加0.5 秒，飞行高度h 就减少5.5 米
C．飞行时间t 为2 秒和4 秒时，飞行高度h 相同
D．从0 秒到2 秒飞机飞行的高度是15 米
【答案】C
【知识点】函数的三种表示方法
【分析】本题考查函数的表示方法，根据表格中飞机飞行高度h（米）随飞行时间t（秒）变化的规律进行
逐一判断即可求解．
【详解】解：由表格数据可得，0
3
秒过程中，随着飞行时间的增加，飞行高度增加，从3 秒后，随着飞
行时间的增加，飞行高度减小，故A、B 不符合题意；
由表格可得，飞行时间t 为2 秒和4 秒时，飞行高度h 相同，故C 符合题意；
由表格可得，从0 秒到2 秒飞机飞行的高度是17.8 1.8
16
（米），故D 不符合题意；
故选：C．
【例4】李强一家自驾车到离家500km 的九寨沟旅游，出发前将油箱加满油．下表记录了轿车行驶的路程
(km)
x
与油箱剩余油量(L)
y
之间的部分数据：
轿车行驶的路程/km
x
0
100
200
300
400
…
油箱剩余油量
/ L
y
50
42
34
26
18
…
下列说法不正确的是（
）
A．该车的油箱容量为50L
B．该车每行驶100km 耗油8L
C．油箱剩余油量(L)
y
与行驶的路程(km)
x
之间的关系式为
50
8
y
x
D．当李强一家到达九寨沟时，油箱中剩余10L 油
【答案】C
【知识点】函数的三种表示方法
【分析】根据表格中信息逐一判断即可．
【详解】解：A、由表格知：行驶路程为0km 时，油箱余油量为50L ，故A 正确，不符合题意；
B、0 100km
时，耗油量为
50
42
8L ；100——200km 时，耗油量为37
29
8L
；故B 正确，不符
合题意；
C、有表格知：该车每行驶50km 耗油4L ，则
4
50
50
y
x
，故C 错误，符合题意；
D、当
500
x
时，
4
50
500
10 L
50
y
，故D 正确，不符合题意．
故选：C．
【技巧归纳】
列表法：用表格列出自变量与函数的对应值。解题时，通过观察表中数据变化趋势，判断函数关系（如一
次函数差固定，反比例乘积固定）。也可用表中数据求解析式（待定系数法）。注意自变量范围。
【变式2-1】行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的作用，还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称
为“刹车距离”．为了测定某种型号汽车的刹车性能（车速不超过120km / h ，对这种型号的汽车进行了测试，
测得的数据如下表：
刹车时车速（km/h）
0
10
20
30
40
50
……
刹车距离（m）
0
2.5
5
7.5
10
12.5
……
下列说法中错误的是（
）
A．自变量是刹车时的车速，因变量是刹车距离
B．刹车时的车速每增加10千米，刹车距离就增加2.5m
C．当刹车距离为15m 时，刹车时的车速为70km / h
D．当刹车时的车速为80km / h 时，与其前方距离为28m 的车辆不会追尾
【答案】C
【知识点】求自变量的值或函数值、函数解析式、函数的三种表示方法
【分析】根据函数的表达式特点判定，结合变量关系判定，确定函数的解析式表达方式判定即可．
【详解】A、根据函数表达方式的特点，自变量是刹车时的车速，因变量是刹车距离，正确，不符合题意；
B、根据表格，刹车时的车速每增加10千米，刹车距离就增加2.5m，正确，不符合题意；
C、根据函数表达方式的特点，转化为解析式表达方式为
0.25
y
v
，当
15m
y
，得到
15
0.25v
，解得
60
v
，不正确，符合题意；
D、根据函数表达方式的特点，转化为解析式表达方式为
0.25
y
v
，当
80
v
，得到
0.25 80
20
28
y
＜
，正确，不符合题意；
故选C．
【变式2-2】梦想从学习开始，事业从实践起步．近来，每天登录“学习强国” APP ，学精神增能量、看文化
长见识已经成为一种学习新风尚．下面是爸爸上周“学习强国”周积分与学习天数的有数据，则下列说法错误
的是（
）
学习天数n（天）
1
2
3
4
5
6
7
周积分w（分）
55
110
160
200
254
300
350
A．在这个变化过程中，学习天数是自变量，周积分是因变量
B．周积分随学习天数的增加而增加
C．从第3天到第4 天，周积分的增长量为50 分
D．天数每增加1天，周积分的增长量不一定相同
【答案】C
【知识点】函数的三种表示方法
【分析】根据表格中两个变量的变化的对应值，逐项进行判断即可．
【详解】解：A、在这个变化过程中，有两个变量，学习的天数和周积分，周积分随着学习时间的变化而变
化，因此学习天数是自变量，周积分是因变量，故选项A 不符合题意；
B、从表格是的数据可知，周积分随学习天数的增加而增加，因此选项B 不符合题意；
C、从第3 天到第4 天，周积分的增长量为40 分，因此选项C 符合题意；
D、天数每增加1 天，周积分的增长量不一定相同，有40 分、46 分，50分的不等，因此选项D 不符合题意；
故选：C．
题型3 函数的三种表示方法之解析式
【例5】某校一课外小组准备进行“绿色环保”的宣传活动，需要制作宣传单，校园附近有一家印刷社，收费
y （元）与印刷数量x （张）之间的关系如表：
印刷数量x （张）
100
200
300
400
收费y （元）
15
30
45
60
...
(1)上表反映了和之间的关系，自变量是，因变量是;
(2)从上表可知：收费y （元）随印刷数量x （张）的增加而;
(3)若要印制1000 张宣传单，收费元.
【答案】(1)印刷收费；印刷数量；印刷数量；印刷收费
(2)增加
(3)150
【知识点】求自变量的值或函数值、用表格表示变量间的关系、函数的三种表示方法
【分析】本题考查常量与变量，函数的表示方法，理解常量与变量的意义，得出印刷收费的单价是解决问
题的关键．
（1）由表格中数据变化可得答案；
（2）由表格中，印刷收费与印刷数量的变化关系得出答案；
（3）求出印刷的单价，即每张的印刷收费，再求出1000 张印刷收费即可．
【详解】（1）解：根据表格中的数据变化可得：
上表反映了印刷收费和印刷数量之间的关系，其中印刷数量自变量，因变量是印刷收费，
故答案为：印刷收费；印刷数量；印刷数量；印刷收费；
（2）解：从上表可知：收费y （元）随印刷数量x （张）的增加而增加，
故答案为：增加；
（3）由表格中数据的变化情况可知，每张的印刷收费为15 100
0.15
（元），
所以印刷1000 张的费用为：0.15 1000
150
（元），
故答案为：150．
【例6】某兴趣小组通过实验估算某液体的沸点，经过测量，气压为标准大气压，并得到几组对应的数据如
下：
加热时间/ s
t
0
10
20
30
液体温度
/
y ℃
8
18
28
38
(1)兴趣小组发现液体沸腾前，液体温度与加热时间之间满足关系：随着加热时间t 的变化，液体温度y 的值
也随之变化，直接写出y 与t 之间的关系式，并指出在这个变化中，哪个是自变量？哪个是因变量？
(2)当加热3min 时该液体沸腾，求该液体的沸点．
【答案】(1)
8
y
t
，加热时间t 是自变量，液体温度y 是因变量
(2)188℃
【知识点】函数解析式、求自变量的值或函数值、函数的概念、函数的三种表示方法
【分析】本题考查的是函数的应用，函数的定义，理解题意是关键；
（1）由加热时间每增加10s ，液体温度升高10℃，可得则每秒液体升高的温度为
10 10
1
℃，从而可得
解析式；
（2）直接根据每秒液体升高的温度为1℃，再列式计算即可；
【详解】（1）解：由表格可知，加热时间t 是自变量，液体温度y 是因变量；
加热时间每增加10s ，液体温度升高10℃，
则每秒液体升高的温度为
10 10
1
℃，得
8
y
t
，
∴y 与t 之间的关系式是
8
y
t
，加热时间t 是自变量，液体温度y 是因变量．
（2）解：3min
180s
，
当
180
t
时，
180
8
188
y
，
∴该液体的沸点是188℃．
【技巧归纳】
解析式法：用等式表示函数关系。解题时，根据条件列方程求系数（待定系数法），并注明自变量取值范
围。注意实际意义限制（如时间>0）。求函数值直接代入，求自变量则解方程。注意分式分母不为0。
【变式3-1】春天来了，小颖要用总长为12m 的篱笆围一个长方形花圃，其一边靠墙(墙长9m) ，另外三边是
篱笆，其中BC 不超过9m设垂直于墙的两边
,
AB CD 的长均为m
x
，长方形花圃的面积为
2
m
y
．
(1)判断
1
x 是否符合题意，并说明理由;
(2)求y 与x 之间的关系式;
(3)根据关系式补充表格：
/ m
x
...
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
...
2
/ m
y
...
13.5
16
17 5.
17 5.
13.5
...
观察表中数据，写出y 随x 变化的一个特征：．
【答案】(1)
1
x 不符合题意，理由见详解
(2)
2
2
12
y
x
x
(3)18，16，y 随x 的增大先增大后减小
【知识点】函数解析式、求自变量的值或函数值、函数的三种表示方法
【分析】本题主要考查函数关系式及求函数值，根据题意正确表示出花圃的长是解题关键．
（1）根据
12
AB
BC
CD
，且AB
DC
x
，可得BC ，再将
1
x 代入求值后与墙长9 米比较可得；
（2）根据长方形的面积公式即可得y 关于x 的函数关系式；
（3）将
3
x
、
4
x
代入求值可完善表格，由表格中y 随x 的增减性可得．
【详解】（1）解：
1
x 不符合题意，
由题意得，
12
2
BC
x
，
当
1
x 时，
12
2
10
9
BC
，
1
x
不符合题意；
（2）解：
2
(12
2 )
2
12
y
AB BC
x
x
x
x
；
（3）解：当
3
x
时，
2
2 3
12 3
18
y
，
当
4
x
时，
2
2 4
12 4
16
y
，
完成表格如下：
x （米）
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
y （米2 ）
13.5
16
17.5
18
17.5
16
13.5
由表可知，y 随x 的增大先增大后减小，
故答案为：y 随x 的增大先增大后减小．
【变式3-2】小明家住佛山，周末想要去广州动物园玩，爸爸带着小明开车上高速，一路上给小明科普：由
于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”．某
机构对某型号的小型载客汽车的刹车性能（车速不超过140km/h ）进行了测试，测得的数据如下表：
刹车时车速(km/h)
v
0
10
20
30
40
50
．．．
刹车距离(m)
s
0
2.5
5
7.5
10
12.5
．．．
请回答下列问题：
(1)在这个变化过程中，自变量是，因变量是；
(2)当刹车时车速为80km/h 时，刹车距离是；
(3)根据上表反映的规律写出该型号汽车s 与v 之间的关系式：；
(4)该型号汽车在高速公路上发生了一次交通事故，现场测得刹车距离为32m，推测事故发生时，汽车是超
速行驶还是正常行驶?（高速公路上行驶的小型载客汽车最高车速不得超过每小时120 公里）
【答案】(1)刹车时车速，刹车距离
(2)20 米
(3)
0.25 (
0)
S
v v
(4)汽车是超速行驶，理由见解析
【知识点】求自变量的值或函数值、函数的三种表示方法
【分析】本题考查了函数的表示方法以及函数的定义，理清刹车时车速与刹车距离的关系是解答本题的关
键．
（1）根据函数的定义解答即可；
（2）根据表格数据可得答案；
（3）根据刹车时车速每增加10km/h ，刹车距离增加2.5 m，可得答案；
（4）结合（3）的结论得出可得车速为128km/h ，进而得出答案．
【详解】（1）解：由题意得，自变量是刹车时车速，因变量是刹车距离．
故答案为：刹车时车速；刹车距离；
（2）解：由表格可知，刹车时车速每增加10km/h，刹车距离增加2.5m，
当刹车时车速为80km/h 时，刹车距离是20m；
故答案为：20；
（3）解：由表格可知，刹车时车速每增加10km/h，刹车距离增加2.5m，
s
与v 之间的关系式为：
0.25
0
s
v v
，
故答案为：
0.25
0
s
v v
；
（4）解：当
32
s
时，32
0.25v
，
128
v
，
120
128
，
答：推测刹车时车速是128km/h ，所以事故发生时，汽车是超速行驶．
题型4 函数的三种表示方法之图象法
【例7】小明的速度与时间的函数关系如图所示，下列情境与之较为相符的是（
）
A．小明坐在门口，然后跑去看邻居家的小狗，随后坐着逗小狗玩
B．小明攀岩至高处，然后顺着杆子滑下来，随后躺在沙地上休息
C．小明跑去接电话，然后坐下来电话聊天，随后步行至另一个房间
D．小明步行去朋友家，敲门发现朋友不在家，随后步行回家
【答案】C
【知识点】从函数的图象获取信息
【分析】本题考查了函数图象，读懂函数图象，从图象中获取必要的信息是解决本题的关键．
根据函数图象分析即可．
【详解】解：由图象可知速度先随时间的增大而增大，然后直接降为0，过段时间速度增大，然后匀速运动，
则小明跑去接电话，然后坐下来电话聊天，随后步行至另一个房间，符合题意．
故选：C．
【例8】将一盛有部分水的圆柱形小水杯放入事先没有水的大圆柱形容器内，现用一个注水管沿大容器内壁
匀速注水，如图所示，则小水杯水面的高度
cm
h
与注水时间
min
t
的图象大致为图中的（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【知识点】从函数的图象获取信息
【分析】本题考查了函数的图象．根据将一盛有部分水的圆柱形小玻璃杯放入事先没有水的大圆柱形容器
内，现用一注水管沿大容器内壁匀速注水，即可求出小水杯内水面的高度
cm
h
与注水时间
min
t
的函数
图象．
【详解】解：将一盛有部分水的圆柱形小玻璃杯放入事先没有水的大圆柱形容器内，小玻璃杯内的水原来
的高度一定大于0，则可以判断A 、D 一定错误；
用一注水管沿大容器内壁匀速注水，水开始时不会流入小玻璃杯，因而这段时间h 不变，
当大杯中的水面与小杯水平时，开始向小杯中流水，h 随t 的增大而增大，当水注满小杯后，小杯内水面的
高度h 不再变化．
故选：B．
【技巧归纳】
图象法：用平面直角坐标系中曲线表示函数。解题：通过图象读交点、最值、增减性、取值范围。画图时
列表描点连线，注意定义域。图象上的点满足解析式，利用图象可直观比较函数值大小，解不等式。
【变式4-1】温度的变化是人们常谈论的话题．如图是某地某天温度变化的情况．
(1)上午8 时的温度是多少？16 时呢？
(2)这一天的最高温度是多少？是在几时达到的？最低温度呢？
(3)这一天的温差是多少？从最低温度到最高温度经过了多长时间？
(4)在什么时间范围内温度在上升？在什么时间范围内温度在下降？
(5)图中的点A 表示的是什么？点B 呢？
【答案】(1)上午8 时的温度是5 C
，16 时的温度是7 C
(2)这一天的最高温度是8 C,
是在14 时达到的；最低温度为10 C
，是在4 时达到的
(3)这一天的温差为8 C
(
10 C)=18 C
，经过了14
4
10(h)
(4)4 时到14 时温度在上升，0 时到4 时和14 时到24 时温度在下降
(5)点A 表示0 时温度为6 C
，点B 表示16 时温度为7 C
；
【知识点】从函数的图象获取信息
【分析】本题考查了函数的图象，解题的关键是读懂函数图象，从函数图象中获得有关信息．
（1）根据图象求解即可；
（2）根据图象求解即可；
（3）用最高点表示的温度减去最低点的温度即可求出温差；用最高点表示的时间减去最低点的时间求解即
可；
（4）根据图象的变化趋势求解即可；
（5）根据横坐标，纵坐标的含义求解即可；
【详解】（1）解：上午8 时的温度是5 C
，16 时的温度是7 C
；
（2）解：这一天的最高温度是8 C
，是在14 时达到的；最低温度为10 C
，是在4 时达到的；
（3）解：这一天的温差为8 C
(
10 C)
18 C
，经过了14
4
10(h)
；
（4）解：4 时到14 时温度在上升，0 时到4 时和14 时到24 时温度在下降；
（5）解：点A 表示0 时温度为6 C
，点B 表示16 时温度为7 C
；
【变式4-2】如图，圆柱形容器B 底部固定圆柱形容器A，两容器顶部开口，壁厚不计．容器A 底面积为
2
50cm ，
底部有一小孔与容器B 连通．第一次从某一时刻开始向容器B 均匀注水，容器A 中水位高度注水随时间变
化图像如右图．
(1)注水速度为，容器A 高度为．
(2)请计算容器B 的底面积是多少？
(3)将两容器水清空，第二次以同样速度向容器A 均匀注水，问将容器A 注满水需要多长时间？
(4)请在右图将第一次注水过程中容器B 水位随时间变化图像．
【答案】(1)
3
250cm /s ，40cm
(2)容器B 的底面积是
2
100cm
(3)将容器A 注满水需要10s
(4)见解析
【知识点】从函数的图象获取信息、用图象表示变量间的关系
【分析】本题考查从函数图象获取信息，用图象表示函数关系；结合图形，由函数图象可得当0
10
t
时，
容器A 由底部小孔慢慢进水，在
10
t
时达到容器A 顶部，当10
16
t
时，水漫过容器A 顶部，容器A 高
度增速加快，当16
20
t
时容器A 装满水，直到
20
t
时容器B 装满水；
（1）根据在
10
t
时达到容器A 顶部根据10
16
t
时，水漫过容器A 顶部，此时水全部进入容器A 顶，求
注水速度和容器A 高度，；
（2）根据
10
t
时注水总量为
3
250 10=2500 cm
，设容器B 的底面积是
2
cm
x
，根据注水总量列方程求解
即可；
（3）根据当0
10
t
时，容器A 由底部小孔慢慢进水，求出小孔注水速度，再计算将容器A 注满水需要时
间即可；
（4）分析不同时间段容器B 水位变化情况即可．
【详解】（1）结合图形，由函数图象可得当0
10
t
时，容器A 由底部小孔慢慢进水，在
10
t
时达到容
器A 顶部，当10
16
t
时，水漫过容器A 顶部，容器A 高度增速加快，当16
20
t
时容器A 装满水，直
到
20
t
时容器B 装满水，
∴当10
16
t
时，水漫过容器A 顶部，此时水全部进入容器A 顶，这段时间注水量为
3
40 10
50
1500 cm
，容器A 高度为40cm ，
∴注水速度为
3
1500
16 10 =250 cm /s
故答案为：
3
250cm /s ，40cm ；
（2）
10
t
时注水总量为
3
250 10=2500 cm
，
设容器B 的底面积是
2
cm
x
，
由题意可得：
50 10+40
50 =2500
x
解得
100
x
，
∴容器B 的底面积是
2
100cm ；
（3）当0
10
t
时，容器A 高进水量为
3
10 50
500 cm
，
∴小孔注水速度为
3
500 10
50 cm /s
，
∵将两容器水清空，第二次以同样速度向容器A 均匀注水，此时水会从小孔流入容器B，
∴将容器A 注满水需要时间为
40 50
250
50
10 s
；
（4）当
10
t
时，水深达到容器A 顶部，此时达到容器B 水面高度为40cm ，
当10
16
t
时，水漫过容器A 顶部，所有水都进入容器A 中，容器B 水面高度不变，
当16
20
t
时容器A 装满水，容器B 水面高度上升，
直到
20
t
时容器B 装满水，此时水深
250 20 100
50 cm
，
故函数图象为：
题型5 求自变量的取值范围
【例9】汽车油箱内有油40L ，每行驶100km耗油10L ，若不再加油，则行驶过程中油箱内剩余油量
L
Q
与
行驶路程
km
s
之间的函数关系式为
，自变量s 的取值范围是
．
【答案】
40
0.1
Q
s
0
400
s
【分析】本题考查用关系式表示变量之间的关系，理解数量关系是得出关系式的前提．求出1km 的耗油量，
再根据余油量=原有油量耗油量，从而得出关系式．
【详解】解：每行驶100km耗油10L ，则每行驶1km 耗油为：
10 100
0.1 L / km
，由余油量=原有油量耗
油量得，
40
0.1
Q
s
，
40L 油可行驶40
0.1
400km
，
∴自变量的取值范围为0
400
s
，
故答案为：
40
0.1
Q
s
，0
400
s
．
【例10】若函数
6
y
x
在实数范围内有意义，则自变量x 的取值范围是
．
【答案】
6
x
【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，解题的关键是掌握二次根式有意义的范围：二次根式的被开
方数是非负数．
利用二次根式有意义的条件得到
6
0
x
，然后解不等式即可．
【详解】解；根据题意得
6
0
x
，
所以
6
x
．
故答案为：
6
x
．
【技巧归纳】
使解析式有意义：分母≠0，偶次根式被开方数≥0，零次幂底数≠0，实际意义（如长度>0）。多个条件取交
集。如y=√(x-2)/(x-3)，则x≥2 且x≠3。注意隐含条件，如实际问题中时间非负。最后用区间表示。
【变式5-1】已知等腰三角形周长为16，则底边长y 关于腰长x 的函数解析式为
（x 为自变量）；
自变量的取值范围
；
【答案】
2
16
y
x
4
8
x
【分析】本题主要考查了列函数关系式，求自变量的取值范围，三角形三边关系；
根据周长等于三边之和可得出y 和x 的关系式，再由三角形的三边关系可得出x 的取值范围．
【详解】解：∵
2
16
y
x
，
∴
2
16
y
x
，
又∵
0
2
16
0
2
16
2
x
x
x
x
，
解得：4
8
x
，
故答案为：
2
16
y
x
；4
8
x
．
【变式5-2】如图，在长方形ABCD 中，
6,
4
AB
AD
，P 是边CD 上的动点，且不与点C ，D 重合．设DP
x
，
梯形ABCP 的面积为y ，则y 与x 之间的关系式是
．（写出自变量x 的取值范围）
【答案】
24
2
0
6
y
x
x
【分析】本题考查一次函数的实际应用，熟知梯形的面积等于上底加下底乘高除以2 是解答的关键．根据
ABCD 是长方形知
6
AB
CD
，
4
AD
BC
，BC
AB
，若设DP
x
，则
6
CP
x
，在梯形ABCP 中，
上底为
6
CP
x
，下底为
6
AB
，高为
4
BC
，根据梯形的面积计算公式即可得到答案，并根据P 不与C 、
D 重合求出x 的范围．
【详解】解：∵四边形ABCD 是长方形，
∴
6
AB
CD
，
4
AD
BC
，BC
AB
，
∵DP
x
，∴
6
CP
x
，
∴
1
1 6
6
4
24
2
2
2
y
CP
AB
BC
x
x
0
6
x
．
故答案为：
24
2
0
6
y
x
x
．
题型6 求自变量的值或函数值
【例11】同一温度的华氏度数
y ℉与摄氏度数
x ℃之间的函数关系是
9
32
5
y
x
．如果某一温度的摄氏
度数是25℃，那么它的华氏度数是
℉．
【答案】77
【分析】本题主要考查了求函数值．把
25
x
代入
9
32
5
y
x
计算即可．
【详解】解：当
25
x
时，
9
25
32
77
5
y
，
即它的华氏度数是77℉．
故答案为：77
【例12】在函数
2
y
x
=
中，当
3
x
时，函数值为
；当函数值为4 时，自变量x 的值为
．
【答案】
9
2
【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数上点的坐标特征，分别将
3
x
和
4
y
代入函数解析式求解
即可．
【详解】解：当
3
x
时，
23
9
y
，
∴当
3
x
时，函数的值为9；
当
4
y
时，即
2
4
x
，
解得
2
x ，
∴当函数值为4 时，自变量x 的值为2
．
故答案为：9；2
．
【技巧归纳】
已知x 求y：直接代入解析式计算。已知y 求x：解方程（注意取舍：需在定义域内）。若图象已知，读取
对应点的坐标。实际问题中解可能不唯一（如二次函数），要结合自变量的取值范围筛选。注意单位。
【变式6-1】地表以下岩层的温度y（C
）随着所处深度x（km ）的变化而变化，在某个地点y 与x 之间的
关系可以近似地用关系式
35
20
y
x
来表示，当
20km
x
时，y
C
．
【答案】720
【分析】本题主要考查了利用自变量的值求函数值的计算，把自变量的值代入函数关系式中求出相应的函
数值是解题的关键；
把
20
x =
代入关系式
35
20
y
x
计算，可得结果．
【详解】由题知，当
20km
x
时，
35 20
20
720 C
y
．
故答案为：720 ．
【变式6-2】物体的位置s（米）与时间t（秒）的关系式为
2
3
2
1
s
t
t
，则当
5
t
秒时，该物体的位置s
为
米．
【答案】86
【分析】本题考查了函数值，此题是通过代入法求得s 的值，属于基础题．把
5
t
代入关系式求得相应的s
的值即可．
【详解】解：把
5
t
代入关系式
2
3
2
1
s
t
t
，得
2
3 5
2 5 1
75 10
1
86
s
，
故答案为：86 ．
题型7 动点问题画函数图象
【例13】已知动点P 以每秒3cm 的速度沿图甲的边框按B
C
D
E
F
A
的路径移动，相应的面
积S 与时间t 之间的关系如图乙中的图象表示．若
9cm
AB
，则图甲中的图形面积是
平方厘米．
【答案】135
【分析】本题考函数图像的应用，解题的关键是理解掌握路程、速度、时间三者之间的关系及应用，长方
形的面积公式及应用．通过观察折线统计图可知，点P 从B 点移动到C 点用4 秒，点P 从C 点移动到D 点用
2 秒，点P 从D 点移动到E 点用3 秒，根据路程速度×时间，分别求出BC
CD
DE
、
、
的距离，根据长方形
的面积公式，把数据代入公式求出长方形ABGF 的面积与长方形CDEG的面积差即可．
【详解】解：观察图像可得：
BC 的长：3 4
12
（厘米），
CD 的长：
3
6
4
6
（厘米），
DE 的长：
3
9
6
9
（厘米）
图甲中的图形面积是：
12
9
9
9 6
135
（平方厘米）．
答：图中甲的面积是135 平方厘米．
故答案为：135．
【例14】如图1，在
ABC
中，AB
AC
．动点P 从
ABC
的顶点A 出发，以2cm/s的速度沿A
B
C
A
匀速运动回到点A ．图2 是点P 运动过程中，线段AP 的长度y （单位：cm）随时间t （单位：s ）变化的
图象，其中点Q 为曲线部分的最低点．则图2 中m 的值为
．
【答案】2 5
6
【分析】本题考查动点的函数图象，勾股定理，等腰三角形的性质，二次根式，根据图象可知，
2 3
6
AB
AC
，当点P 在BC 上，且
AP
BC 时，
4
AP
，勾股定理求出BP 的长，三线合一，求出BC
的长，求出三角形的周长，再除以点P 的移动速度，进行求解即可．
【详解】解：由图象可知，当
3
t
时，点P 与点B 重合，
∴
2 3
6
AB
AC
，
当点P 在BC 上，且
AP
BC 时，AP 最小，对应图象上的点Q ，此时
4
AP
，
在Rt APB
中，
2
2
2 5
BP
AB
AP
，
∵AB
AC
，
AP
BC ，
∴
2
4 5
BC
BP
，
∴
ABC
的周长为：6
4 5
6
12
4 5
，
∴
12
4 5
2
6
2 5
m
；
故答案为：2 5
6
．
【技巧归纳】
按动点运动阶段分段，每段根据几何关系建立函数式（面积或长度）。分别画出各段图象，注意端点是否
重合（连续），定义域为时间范围。常为折线或抛物线。先找关键转折点（如到达顶点、边界），再描点
连线。
【变式7-1】如图1，在
ABC
中，高为CG ，动点P 从点A 出发沿折线AB
BC
CA
匀速运动至点A 后停
止．设点P 的运动路程为x ，线段AP 的长度为y ，图2 是y 与x 的函数关系的大致图象，其中点F 为曲线DE
的最低点，结合图形与图象解答：
(1) AB ______，BC ______；
(2)当P 在BC 上时，求AP 的最小值；
(3)求CG 的长．
【答案】(1)10，9
(2)8
(3)7.2
【分析】本题考查了动点运动的函数图象，垂线段最短，勾股定理等知识．从图象中获取正确的信息是解
题的关键．
（1）观察图象得：当
10
x
时，点P 到达点B 处，当
19
x
时，点P 到达点C 处，即可求解；
（2）过A 作AQ
BC
，如图，当P 与Q 重合时，AP 最小，此时BQ
16
10
6
，再由勾股定理求出BQ ，
即可求解；
（3）根据
1
1
2
2
ABC
S
AB CG
AQ BC
，即可求解．
【详解】（1）解：观察图象得：当
10
x
时，点P 到达点B 处，当
19
x
时，点P 到达点C 处，
∴
10,
19 10
9
AB
BC
；
故答案为：10；9
（2）解：过A 作AQ
BC
，如图，当P 与Q 重合时，AP 最小，此时BQ
16
10
6
．
在Rt ABQ
中，由勾股定理得，
2
2
10
6
8
AQ
．
所以AP 的最小值为8；
（3）解：
1
1
2
2
ABC
S
AB CG
AQ BC
△
，
9 8
7.2
10
AQ BC
CG
AB
．
【变式7-2】如图①，长方形ABCD 的边AB 的长为5cm ，动点H 以1cm / s 的速度从点A 出发沿折线ABCD
匀速运动到终点D，设点H 的运动时间为s
t
，
HAD
△
的面积为S
2
cm ，S 与t 之间的关系如图②所示．
(1)图②中反映了两个变量之间的关系，其中自变量是_________，因变量是_________．
(2) BC _________cm，a _________；
(3)点H 的运动时间为5
9s
时，求
HAD
△
的面积b．
【答案】(1)H 的运动时间为t ，
HAD
△
的面积为S
(2)4，14
(3)
10
b
【分析】本题主要考查动点问题的函数图象，理解题意是解题的关键．
（1）根据题意及函数的定义即可作答；
（2）根据三角形的面积及图象即可得出答案；
（3）根据题意确定三角形的底和高即可求面积．
【详解】（1）解：由图象可知，
HAD
△
的面积S 随着时间t 的改变而改变．
所以自变量为：H 的运动时间t；因变量为：
HAD
△
的面积S．
故答案为：H 的运动时间t；
HAD
△
的面积S；
（2）解：
5
AB
，
9
5
4
BC
，则
5
CD
，
9
5
14
a
，
故答案为：4，14；
（3）解：∵动点H 按从A
B
C
D
的路径匀速运动，
由题意可知，点H 在BC 上运动时
HAD
△
的面积不变，
1
1
4
5
10
2
2
b
AD AB
，
题型8 从函数的图象获取信息
【例15】如图所示是某物体做直线运动时的路程随时间变化的图象，由图象判断下列说法错误的是（
）
A．5s 时，物体通过的路程为2.5m
B．在整个20s时间内，物体运动的平均速度为0.2m/s
C．物体运动的总路程为2.5m
4m
6.5m
D．物体在0 ~ 5s 内的速度比10
20s
内的速度大
【答案】C
【分析】本题考查路程—时间图象的识别，根据图象，按照路程速度时间即可逐项判断．
【详解】解：A：由题图知，5s 时，物体通过的路程为2.5m,A 说法正确，不符合题意．
B：整个20s 时间内，物体通过的路程为4m ，则物体的平均速度
4m
0.2m / s
20s
s
v
t
，B 说法正确，不符合
题意．
C：由图可知，物体通过的总路程为4m ，故C 说法错误，符合题意；
D：0
5s
内物体速度
1
1
1
2.5m
0.5m / s
5s
s
v
t
，
10
20s
内物体速度
2
2
2
4m
2.5m
0.15m / s
10s
s
v
t
，
故物体在0
5s
内的速度比10
20s
内的速度大，D 说法正确，不符合题意．
故选：C．
【例16】端午假期，小林约琪琪开车出去游玩．小林从家出发后，加速行驶了一段时间后匀速行驶，到达
琪琪家减速停车，琪琪上车后，小林又加速行驶了一段时间，再转为匀速行驶．下列图象能近似刻画出在
这段时间内小林开车速度变化情况的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】本题考查了函数的图象，找到速度变化的规律是解题的关键．根据加速、匀速、减速时、速度随
时间的变化情况即可求解．
【详解】解：由题意得：刚开始加速行驶一段时间，则速度从0 开始增加，然后再匀速行驶，则此段时间
速度不再增加，过了一段时间到达琪琪家减速停车，则速度减少到0，琪琪上车后，小林开车加速行驶，速
度从0 开始增加，一段时间后又开始匀速行驶，此段时间速度不再增加，
能近似的刻画出在这段时间内小林开车速度变化情况的是D 选项．
故选：D．
【技巧归纳】
读图要点：看横纵轴意义，找特殊点（交点、端点、极值点），分析增减性、变化趋势。从图象获取函数
值、取值范围、交点坐标。注意分段函数时不同区间对应不同变化。结合实际问题背景，解释图象转折含
义（如速度变化）。
【变式8-1】小强、小林从学校出发，沿着笔直的道路去少年宫参加书法比赛，小强步行去少年宫一段时间
后，小林骑自行车去少年宫，两人均匀速前行．他们两人之间的距离s（米）与小强出发时间t（分）之间的函
数关系如图．
结合图象信息，小成给出如下说法：
①小林先到达少年宫；②小林的速度是小强速度的2.5 倍；③小强出发24 分钟时到达少年宫；④小强出
发19分钟时，小林还需要继续行进480 米才能到达少年宫．
其中正确的说法是（
）
A．①②
B．②④
C．①③④
D．①②④
【答案】A
【分析】此题主要考查了函数图象及其应用，利用数形结合得出小林的运动速度是解题关键．
根据小强步行720 米，需要9分钟，进而得出小强的运动速度，利用图象得出小林的运动时间以及运动距离
进而分别判断得出答案．
【详解】解：由图象得出小强步行720 米，需要9分钟，
所以小强的运动速度为：720
9
80 m /
（
分），
当第15分钟时，小林运动15
9
6
（分钟），
运动距离为：15 80
1200 m
（），
小林的运动速度为：1200
6
200 m /
（
分），
200
80
2.5,
（故②正确）；
当第19分钟以后两人之间距离越来越近，说明小林已经到达终点，则小林先到达少年宫，故①正确；
此时小林运动19
9
10
（分钟），
运动总距离为：10 200
2000 m
（），
小强运动时间为：2000 80
25
（分钟），
小强出发25 分钟时到达少年宫，故③错误；
由①知小林先到达少年宫，故④错误；
综上，正确的结论有①②，
故选：A．
【变式8-2】光合作用和呼吸作用是植物生命活动中至关重要的两个过程，光合作用产氧速率与呼吸作用耗
氧速率相差越大，植物生长越快．某机构在水资源及光照充分的条件下，研究温度（单位：℃）对某品种
草莓光合作用产氧速率和呼吸作用耗氧速率的影响，得到如图所示的图象，根据图象分析，下列四个结论
中不正确的是（
）
A．草莓的光合作用产氧速率随温度升高先增大后减小
B．当温度为45℃时，草莓的呼吸作用耗氧速率最大
C．草莓的光合作用产氧速率比呼吸作用耗氧速率大
D．草莓生长最快时的温度约为35℃
【答案】C
【分析】本题考查了函数图象，解题的关键是能够从函数图象中获得相应的信息．根据统计图获得相应的
信息，进行判断即可得．
【详解】解：由图象，可知草莓的光合作用产氧速率随温度升高先增大后减小，故选项A 正确；
由图象，当温度为45℃时，草莓的呼吸作用耗氧速率曲线达到最高点，草莓的呼吸作用耗氧速率最大，故
选项B 正确；
由图象，可知光合作用产氧速率不总是大于呼吸作用耗氧速率，故选项C 不正确；
由图象，当温度约为35℃时，光合作用产氧速率与呼吸作用耗氧速率相差最大，结合题意可知此时草莓生
长最快，故选项D 正确；
故选：C．
一、单选题
1．下列各图中，能表示变量y 是x 的函数的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】解：A 选项，当自变量x 取定一个值时，对应的函数值y 不唯一，不符合题意；
B 选项，当自变量x 取定一个值时，对应的函数值y 不唯一，不符合题意；
C 选项，当自变量x 取定一个值时，对应的函数值y 不唯一，不符合题意；
D 选项，当自变量x 取定一个值时，对应的函数值y 唯一确定，符合题意．
2．函数
0
9
2
y
x
x
中，自变量�的取值范围是（
）
A．�≥2
B．�≥2 且
9
x
C．
9
x
D．2
9
x
【答案】B
【详解】解：根据题意得
9
0
x
且
2
0
x
，
解得
9
x
且
2
x
，
∴自变量�的取值范围是
2
x
且
9
x
．
3．小阳同学将温度计从热水杯中取出后立即放入一杯凉水中，每隔5 s记录一次温度计上显示的度数，记
录结果如表：
时间�（s）
5
10
15
20
25
30
35
温度计上的度数（°C）
49
31
22
16
14
12
12
下列说法中不正确的是（）
A．当
25 s
t
时，温度计上的度数是14 C
B．这个表中时间�是自变量，温度计上的度数是时间�的函数
C．温度计上的度数随时间的增加逐渐减小，最后保持不变
D．当温度计的度数为25°C 时，经过的时间可能是18s
【答案】D
【分析】根据表格中的数据，结合变量、函数的定义逐项判断即可．
【详解】解：A、由表格数据可得，当
25s
t
时，温度计上的度数是14℃，说法正确，本选项不符合题意；
B、时间�主动变化，对每一个确定的�，都有唯一确定的温度计度数与之对应，因此时间�是自变量，温度计
上的度数是�的函数，说法正确，本选项不符合题意；
C、观察表格数据，温度计度数从49℃逐渐下降到12℃，之后保持12℃不变，因此温度计上的度数随时间的
增加逐渐减小，最后保持不变，说法正确，本选项不符合题意；
D、
10s
时温度为31℃，15s 时温度为22℃，温度随时间增加持续下降，
25
℃对应的时间在10s 到15s 之
间，18s
15s
，此时温度低于22℃，不可能为25℃，说法错误，本选项符合题意．
4．匀速地向一个容器内注水，最后把容器注满，在注水过程中，水面高度ℎ随时间�的变化规律如图所示（图
中OA
AB
BC
是一条折线）．则这个容器的形状可能是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据图象斜率的大小判断水面上升速度的快慢，进而推断容器横截面积的变化情况．
【详解】解：向容器内匀速注水，图象的斜率越大，水面上升越快，说明容器的横截面积越小；图象的斜
率越小，水面上升越慢，说明容器的横截面积越大，
由图象可知，BC 段最陡峭，��段次之，AB 段最平缓，
则水面上升的速度关系为：
BC
OA
AB
v
v
v
，
可知容器对应部分的横截面积关系为：S
S
S
下
上
中，
即容器的形状从下到上依次为：较细、最粗、最细，选项A 符合．
5．一辆快车从A 地匀速驶向B 地，一辆慢车从B 地匀速驶向A 地，两车同时出发，各自到达目的地后停
止．两车之间的距离(km)
s
与行驶时间(h)
t
之间的函数关系如图所示，下列结论正确的是（
）
A．快车和慢车相遇时，快车距离B 地70km
B．相遇后，快车再行驶7 h
2
到达B 地
C．快车比慢车早7 h
6
到达目的地
D．快车的速度为80km / h ，慢车的速度为70km / h
【答案】C
【分析】先函数图像可知A，B 两地相距280km，快车出发7 h
2
到达目的地，慢车出发14 h
3
到达目的进而可
得出快车比慢车早14
7
7h
3
2
6
到达目的地，同时也可求出快车和慢车的速度，再由函数图象可知两车出发
2h 后相遇，进而可求出相遇后，快车再行驶7
3
2
h
2
2
到达B 地，快车距离B 地280
2 80
120km
．
【详解】解：∵�= 0 时，
280
s
，
∴A，B 两地相距280km，
由函数图象可得快车出发7 h
2
到达目的地，慢车出发14 h
3
到达目的地，
∴快车比慢车早14
7
7 h
3
2
6
到达目的地，故C 结论正确，符合题意；
7
280
80km / h
2
，
14
280
60km / h
3
，
∴快车的速度为80km/h ，慢车的速度为60km/h ，故D 结论错误，不符合题意；
∵
2
t
时，
0
s
，
∴两车出发2h 后相遇，
∴相遇后，快车再行驶7
3
2
h
2
2
到达B 地，故B 结论错误，不符合题意；
快车和慢车相遇时，快车距离B 地280
2 80
120km
，故A 错误．不符合题意.
二、填空题
6．若定义某函数
2
4
f
x
x
x
，则
4
f
__________．
【答案】17
【详解】解：
2
4
4
4
1 16
17
4
f
．
7．有下列关于x 和y 的式子：①�= �2；②
2
1
y
x
；③
2
2 (
0)
y
x x
；④
2
(
0)
y
x x
．其中y 是x
的函数的是_____（填序号）．
【答案】
①②
【分析】根据函数的定义逐个判断即可，对于�的每一个确定值，�有唯一确定的值与之对应，则y 是x 的
函数，其中x 是自变量，y 是因变量．
【详解】解：根据函数的定义，逐一判断：
①�= �2：对于�的每一个确定值，�都有唯一确定的值与之对应，符合函数定义；
②
2
1
y
x
：对于�的每一个确定值，�都有唯一确定的值与之对应，符合函数定义；
③
2
2
0
y
x x
（
）：当�取一个正数时，�有两个值与之对应，不符合函数定义；
④
2
0
y
x x
（
）：当�取一个正数时，�有两个值与之对应，不符合函数定义．
因此�是�的函数的是①②．
8．一盒装冰激凌售价为18 元，内装6 支小冰激凌，请写出冰激凌售价�（元）与�（支）之间的函数解析
式________．
【答案】�= 3�
【分析】先计算冰激凌的单价，根据售价=单价乘以支数计算即可；
【详解】解：一盒装冰激凌售价为18 元，内装6 支小冰激凌，
故冰激凌的单价为18
6
3
（元），
故冰激凌售价�（元）与�（支）之间的函数解析式为�= 3�．
9．甲、乙两车早上从�城车站出发匀速前往�城车站（两车到站后就停止不动），在整个行程中，两车离开
�城的距离�与时间�的对应关系如图所示．从乙车出发到甲车到达�城车站这一时间段，在哪些时间点两车
相距40km ？请写出所有的时间点：_____．
【答案】6 : 30 或8:30 或9: 20
【分析】先求出甲、乙两车的行驶速度，设乙车出发时间为�，再分情况列出一元一次方程，解方程即可得
出结果．
【详解】解：由图象可得，甲车从5:00到10 : 00行驶了300km ，用时5 小时；乙车从6 : 00到9: 00 行驶了300km ，
用时3 小时；
故甲车的行驶速度为：
300
5
60 km/h
；乙车的行驶速度为：
300
3
100 km/h
，
∵从乙车出发到甲车到达�城车站这一时间段，两车相距40km ，
∴设乙车出发时间为�，
当0 ≤�≤3，即两车都在运动时，
60
1
100
40
t
t
，
解得
0.5
t
或
2.5
t
，
当
0.5
t
时，此时时间为6:00
0.5 60
6:30
；当
2.5
t
时，此时时间为6:00
2.5 60
8:30
；
当3
4
t
时，乙车到达�城，甲车还在行驶，
60
3 1
60
3
40
300
t
，
解得�=
10
3 ，
此时时间为
10
6:00
60
9: 20
3
；
综上所述，所有的时间点为：6 : 30 或8:30 或9: 20 ．
10．如图1，在Rt
ABC
△
中，
90
C
，点�为��的中点，动点�从点�出发，沿着D
A
B
的路径以每
秒1 个单位长度的速度运动到点�，在此过程中线段��的长度�与运动时间�（单位：秒）之间的函数关系
图象如图2 所示（点�为曲线部分的最低点）．
则：（1）AC ______；
（2）点�的纵坐标�的值为______．
【答案】
6
4
【分析】（1）由题意可得
3
CD
，再由点�为��的中点，即可求得��；
（2）由图象可知，当运动时间
3
2 5
x
时，�最小，即��最小，此时��⊥��，可得
3
2 5
DA
AP
，
则
2 5
AP
，在Rt ACP
中，即可求解．
【详解】解：（1）∵动点�从点�出发，线段��的长度为�，运动时间为�，根据图象可知，当�= 0 时，�= 3，
∴
3
CD
，
∵点�为��的中点，
∴
2
6
AC
CD
．
（2）由图象可知，当运动时间
3
2 5
x
时，�最小，即��最小，
∴此时��⊥��，
∴如图所示，此时点P 运动的路程为
1
3
2 5
3
2 5
DA
AP
，
由（1）可知，
3
DA
CD
，
∴
3
2 5
3
2 5
AP
，
在Rt ACP
中，
2
2
2
26
2 5
4
CP
AC
AP
，即
4
m
．
三、解答题
11．下面是有关海拔与空气含氧量的一组数据：
海拔
/m
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
空气
含氧
量/
（
3
g/m
）
299.30
265.50
234.80
209.63
182.08
159.71
141.69
123.16
105.97
(1)上表反映了哪两个变量之间的关系？其中，哪个是自变量，哪个是因变量？
(2)在海拔0m 的地方空气含氧量是多少？在海拔4000m的地方空气含氧量是多少？
(3)你估计在海拔5500m 的地方空气含氧量是多少？
【答案】(1)
反映了海拔和空气含氧量两个变量之间的关系，自变量是海拔，因变量是空气含氧量.
(2)
海拔0m处空气含氧量为
3
299.30
/
g m ，海拔4000m处空气含氧量为
3
182.08 /
g m .
(3)
估计海拔5500m 处空气含氧量约为
3
150.70
/
g m ，合理即可.
【分析】（1）根据自变量、因变量的定义即可求解；
（2）直接读取表格数据回答；
（3）根据相邻海拔的含氧量变化规律估算得到结果．
【详解】（1）解：由表格可知，存在两个变化的量：海拔和空气含氧量. 海拔主动发生变化，空气含氧量
随海拔的变化而变化，因此反映了海拔和空气含氧量两个变量之间的关系，自变量是海拔，因变量是空气
含氧量；
（2）解：读取表格对应数据可得，在海拔0m的地方，空气含氧量是
3
299.30
/
g m ，在海拔4000m 的地方，
空气含氧量是
3
182.08 /
g m
（3）解：读取表格可得，海拔5000m处空气含氧量为
3
159.71 /
g m ，海拔6000m 处空气含氧量为
3
141.69 /
g m ，
5500m是5000m和6000m 的中间值，
取两者平均值估算，得
3
159.71 141.69
150.70
/
2
g m
，
因此估计海拔5500m处的空气含氧量约为
3
150.70
/
g m
．
12．数学学习小组准备利用一根弹簧制作一个简易弹簧秤（用于称物体的质量），需在刻度盘上标注刻度．经
过试验与测量，得到弹簧的长度�（cm）与所挂物体的质量�（kg ）（0
10
x
）之间的对应关系如下表：
物体的质量
x/ kg
0
1
2
3
4
弹簧的长度
y/cm
8
10
12
14
16
根据上表，解决下列问题．
(1)在弹性限度内，直接写出y 关于x 的函数解析式；
(2)当所挂物体的质量为5.5kg 时，弹簧的长度为多少cm？
(3)学习小组观察弹簧挂物体后的长度为26cm ，此时弹簧所挂物体质量为多少kg ？
【答案】(1)
2
8 (0
10)
y
x
x
(2)19cm
(3)9kg
【分析】（1）由表可知弹簧原长为8cm ，所挂物体每增加1kg 弹簧伸长2cm，故可求出y 关于x 的函数关
系式；
（2）令
5.5
x
时，求出y 的值即可；
（3）令
26
y
时，求出x 的值即可．
【详解】（1）解：由表可知，弹簧原长为8cm ，所挂物体每增加1kg 弹簧伸长2cm，
∴y 关于x 的函数解析式
2
8 (0
10)
y
x
x
．
（2）解：当
5.5
x
时，
2 5.5
8
19
y
，
∴当所挂物体的质量为5.5kg 时，弹簧的长度为19cm；
（3）解：当
26
y
时，则2
8
26
x
，
解得�= 9，
∴此时弹簧所挂物体质量为9kg ．
13．如图1，在直角梯形����中，∠�= 90°，动点�从�点出发，沿B→C→D→A 匀速运动，设点�运动的
路程为�，△���的面积为�，图象如图2 所示．
(1)在这个变化中，自变量是；
(2)当点�运动的路程
4
x 时，△���的面积为y ；
(3)求AB 的长和梯形����的面积．
【答案】(1)�
(2)16
(3)��= 8，26
【分析】本题考查动点问题的函数图象解读，自变量的概念，函数图象与几何图形的关系，以及直角梯形
的面积计算．
（1）根据函数的定义和自变量的概念即可得到答案．
（2）根据函数图象与几何图形的关系，找到
4
x 时，对应�的值即为答案．
（3）根据函数图象与几何图形的关系，得到��= 8，
5
DC
，继而根据直角梯形的面积计算公式计算即
可．
【详解】（1）解：∵点�运动的路程为�，△���的面积为�，
∴根据图象可知，△���的面积�是关于点�运动的路程�的函数，
∴自变量为�，
故答案为：�；
（2）解：根据图象可知，点�运动的路程
4
x
时，△���的面积为
16
y
，
故答案为：16；
（3）解：根据图象可得：��= 4，此时△���为16，
∴1
16
2 AB
BC
，即1
4
16
2 AB
，解得：��= 8，
由图象可得：
9
4
5
DC
，
则
1
1
4
5
8
26
2
2
ABCD
S
BC
DC
AB
梯形
．
14．2026 年4 月19 日，在北京亦庄举办了“人形机器人半程马拉松”赛事，冠军机器人“闪电”以50 分26 秒
夺冠，超越了人类男子半马的世界纪录．某科技公司为测试甲、乙两款机器人的性能，在100m 的直线跑道
上进行测试．甲、乙两款机器人匀速从起点出发到100m 处的终点，甲出发2s后，乙沿同一路线出发，甲、
乙两款机器人与起点的距离y甲，
m
y乙
与甲出发时间s
t
的函数图象（如图）．根据图象回答下列问题：
(1)甲行走的速度为______m/s；乙行走的速度是______ m/s；
(2)图中点�表示的实际意义为______；
(3)当甲出发多少秒时，甲、乙相距6m．
【答案】(1)2，2.5
(2)甲、乙两个机器人在距离起点20 米处相遇
(3)当甲出发22 秒或47 秒时，甲、乙相距6m
【分析】（1）由函数图象即可解答；
（2）先分别求出甲、乙的函数表达式，再联立即可求解点�表示的实际意义；
（3）分类讨论，列方程求解即可．
【详解】（1）解：甲行走的速度为100
50
2m/s
，乙行走的速度是
100
42
2 =2.5m/s
（2）解：由甲乙的速度可得，
2
y
t
甲
，
2.5
2
y
t
乙
当y
y
甲
乙时，则
2
2.5
2
t
t
，
解得
10
t
，
此时
2 10
20m
y
y
甲
乙
∴图中点�表示的实际意义为：甲、乙两个机器人在距离起点20 米处相遇；
（3）解：当
2
t
时，甲机器人走了2 2
4m
6m
∴0
2
t
时，甲、乙不可能相距6m；
当2
42
t
时，则
2
2.5
2
6
t
t
，
解得
22
t
或
2
t （舍去）；
当42
50
t
时，2
100
6
t
，
解得
47
t
或
53
t
（舍去）
综上：当甲出发22 秒或47 秒时，甲、乙相距6m．
15．图1 中的摩天轮可抽象成一个圆，圆上一点�离地面的高度(m)
y
与旋转时间(min)
x
之间的关系如图2，
根据图中的信息回答下列问题．
(1)①由图2，当
8min
x
时，y _______m；摩天轮转一圈需要______min；
②在3 到6 分钟时，随着时间的增加，摩天轮上点�离地面高度的变化趋势是_________（填“增大”或“减小”）；
(2)求出摩天轮的半径为_______m；
【答案】(1)①54，6；②减小
(2)32.5
【分析】（1）根据图象求解即可；
（2）根据离地面最短距离与距地面最大距离即可求解．
【详解】（1）由图象得，①由图2，当
8min
x
时，
54
y
m
；摩天轮转一圈需要6min ；
故答案为：54，6；
②在3 到6 分钟时，随着时间的增加，摩天轮上点�离地面高度的变化趋势是减小；
故答案为：减小；
（2）由图可知，点�离地面的高度�的最大值为70，最小值为5
∴半径为
70
5
2
32.5 m
；
16．如图1，在长方形����中，
12cm
AB
，
10cm
BC
，点P 从点A 出发，沿�→�→�→�路线运动，
到点D 停止；点Q 从点D 出发，沿D
C
B
A
运动，到点A 停止．若点P，Q 同时出发，点P 的速
度为1cm/s ，点Q 的速度为2cm/s ，运动a 秒后，点P，Q 同时改变速度，点P 的速度变为6cm/s ，点Q 的
速度变为cm/s
b
．图2 是点P 出发x 秒后，
APD
△
的面积
2
1(cm )
S
与(s)
x
的函数关系图象；图3 是点Q 出发
x 秒后AQD
的面积
2
2(cm )
S
与(s)
x
的函数关系图象．
(1)动点P 在线段_____上运动时，
1S 保持不变；动点Q 到达点A 时，x 的值为_____；
(2)求a，b 的值；
(3)若
1S 与
2
S 的和为
2
60cm ，请求出满足条件的x 的取值范围；
(4)当P、Q 两个动点所走过的路程比为1: 2时，直接写出x 的取值范围．
【答案】(1) BC ，28
(2)
= 6
a
，
1
b
(3) 32
16
3
x
或
4
x
(4)0
6
x
或
10.5
x
【分析】（1）根据平行线间距离处处相等，同底等高，可知P 在BC 上时，面积不变，由图3 可得出动点
Q 到达点A 所用时间；
（2）由图2 得出P 到B 所用时间，由图3 得出点Q 从点C 到点A 所用时间，根据时间、路程、速度之间
关系即可求解；
（3）根据题意得出两个动点到达各拐点所用时间，结合图2，图3 即可求解；
（4）分情况讨论：�> 6 和0
6
x
两种情况．
【详解】（1）解：∵长方形����中，
12cm
AB
，
10cm
BC
，
∴
10cm
AD
BC
，
当动点P 在线段BC 上运动时，
2
1
1
1 10 12
60 cm
2
2
S
AD AB
，保持不变；
由图3 知，动点Q 到达点A 时，x 的值为28；
（2）解：由图2 得，点P 到达点B 所用时间为：
32
12
10
7 s
3
6
，
∴
6 7
12
a
a
，
解得
= 6
a
；
由图3 得，点Q 从点C 到点A 所用时间为：
28
6
22 s
，
∴22
10 12
b
，
解得
1
b ；
（3）解：由题意知，当�= 7 时，点P 到达点B，
10
26
7
6
3
x
时，点P 到达点C，
32
3
x
时，点P 到达
点D，
当
6
x
时，点Q 到达点C，
10
6
16
1
x
时，点Q 到达点B，
28
x
时，点Q 到达点A，
结合图2，3，可得：
当0
6
x
时，
1
1 10
5
2
S
x
x
，
2
1 10
2
10
2
S
x
x
，
令
1
2
60
S
S
，得：5
10
60
x
x
，
解得
4
x
；
当32
16
3
x
时，
1
0
S
，
2
60
S
，
满足
1
2
60
S
S
，
综上可得，x 的取值范围为32
16
3
x
或
4
x
；
（4）解：设动点P，Q 走过的路程为
P
y ，
Q
y ，
当0
6
x
时，
1
P
y
x
x
，
2
2
Q
y
x
x
，
∴
:
:2
1:2
P
Q
y
y
x
x
；
当�> 6 时，
6 1 6
6
6
30
P
y
x
x
，
6 2 1
6
6
Q
y
x
x
，
当
:
1: 2
P
Q
y
y
时，
6
30 :
6
1: 2
x
x
，
解得
6
x
（舍去），
当
:
1:2
Q
P
y
y
时，
6 : 6
30
1: 2
x
x
，
解得
10.5
x
，
综上可得，当0
6
x
或
10.5
x
时，P、Q 两个动点所走过的路程比为1: 2．
