文档文本内容
第12 讲 整式
内容导航
01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向
02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理
03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解
题型1 单项式的判断
题型2 单项式的系数、次数
题型3 写出满足某些特征的单项式
题型4 单项式规律题
题型5 多项式的判断
题型6 多项式的项、项数或次数
题型7 多项式系数、指数中字母求值
题型8 将多项式按某个字母升幂(降幂)排列
题型9 整式的判断
题型10 单项式、多项式、整式的分类
04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固
关键词
学习目标导航
单项式、多项式、整
式、系数、次数、升
幂排列、降幂排列。
1. 理解单项式、多项式、整式的概念，能准确区分整式与分式。
2. 掌握单项式的系数、次数，多项式的项、常数项、次数等核心概念，并能
准确指出。
3. 能将一个多项式按某一字母的升幂或降幂排列，培养规范整理的数学习
惯。
4. 经历从具体数到字母表示数的抽象过程，体会用整式刻画数量关系的简洁
性与一般性。
学习重点：单项式与多项式的相关概念（系数、次数、项），以及整式的识别。
学习难点：准确确定单项式的系数与次数（特别是含字母系数、指数为1 或0 的情况），以及多项式
的次数（多项式中次数最高项的次数）和项的确定（注意符号）。
知｜识｜框｜架
知识点
01
单项式的概念、系数与次数
1.单项式的概念
如
，
，0，它们都是数与字母的积，像这样的式子叫单项式，单独的一个数或一个字母也
是单项式．
【注意】（1）单项式包括三种类型：①数字与字母相乘或字母与字母相乘组成的式子；②单独的一个
数；③单独的一个字母．
（2）单项式中不能含有加减运算，但可以含有除法运算．如：
可以写成
。但若分母中含有字
母，如
就不是单项式，因为它无法写成数字与字母的乘积．
2.单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数．
（1）确定单项式的系数时，最好先将单项式写成数与字母的乘积的形式，再确定其系数；
（2）圆周率π 是常数．单项式中出现π 时，应看作系数；
（3）当一个单项式的系数是1 或-1 时，“1”通常省略不写；
（4）单项式的系数是带分数时，通常写成假分数.
3.单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数．单项式的次数是计算单项
式中所有字母的指数和得到的，计算时要注意以下两点：
（1）没有写指数的字母，实际上其指数是1，计算时不能将其遗漏；
（2）不能将数字的指数一同计算．
知｜识｜精｜讲
【易错提醒】
单项式易错警示：数字与字母乘积（单独数或字母也是）。系数指数字因数，带符号（如-3x 系数-3）。次
数是所有字母指数和（如x2y 次数3）。注意：π 是数字非字母，指数不计数；常数次数为0。
即时即练1．在代数式
，
，
，
，a，0，
，
中，单项式的个数是（）
A．4
B．5
C．6
D．7
【答案】C
【分析】根据单项式的定义，逐个判断给定代数式，统计符合定义的单项式个数即可得到答案，用到的定
义为，数或字母的积组成的代数式是单项式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式．
【详解】解：∵
是两个单项式的和，属于多项式，不是单项式；
∵
是单独的常数，是单项式；
∵
是单项式；
∵
是数与字母的积，是单项式；
∵
是单独的字母，是单项式；
∵0是单独的数，是单项式；
∵
，是两个单项式的和，属于多项式，不是单项式；
∵
，是单独的数，是单项式；
∴符合定义的单项式共6 个．
2．你来确定单项式
的系数是________，次数是________．
【答案】
3
【分析】先根据单项式系数的定义提取数字因数(含π)，再根据次数定义计算所有字母的指数和．
【详解】解：单项式的系数是指单项式中的数字因数，在
中，π是常数，属于数字因数的一部分，
该单项式的系数为
；
字母
的指数为1，字母
的指数为2，则该单项式的次数为1+2=3．
知识点
02
多项式的概念、系数与次数
1.多项式的概念：几个单项式的和叫做多项式．
2. 多项式的项：每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项．
【注意】（1）多项式的每一项包括它前面的符号．
（2）一个多项式含有几项，就叫几项式，如：
是一个三项式．
3. 多项式的次数：多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数．
【注意】（1）多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中次数最高的单项式的次数．
（2）一个多项式中的最高次项有时不止一个，在确定最高次项时，都应写出．
【易错提醒】
多项式易错警示：几个单项式的和。次数指最高次项的次数（如x2y+3x 次数3）。项要带符号（如第二项
是-2x）。常数项没有字母，次数为0。勿将单项式系数（数字因数）与多项式次数混淆。
即时即练1．在式子
，−1，
，
，
，
，4 x中，多项式有（）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】C
【分析】本题考查了多项式的识别，根据多项式是几个单项式的和一一判断即可．
【详解】解：
是两个单项式的和，是多项式；−1是常数，为单项式，不是多项式；
是两个单
项式的和，是多项式；
是常数，为单项式，不是多项式；
可化为
，是两个单项式的和，是多
项式；
分母含有字母，不是整式，因此不是多项式；4 x是单项式，不是多项式．
所以多项式有
、
、
，共3 个．
故选：C．
2．把多项式
按
的降幂排列为： _______；这个多项式的次数为______；项数是
_______．
【答案】
三 四
【分析】本题考查了多项式的项数和次数，多项式的项数为组成多项式的单项式的个数，多项式的次数为
组成多项式的单项式中最高项的次数，根据概念即可作答．
【详解】解：把多项式
按
的降幂排列为：
；
多项式
的次数为三；项数为四．
故答案为：
，三，四．
知识点
03
整式
整式的概念：单项式与多项式统称为整式．
【注意】（1）单项式、多项式、整式这三者之间的关系如图所示．即单项式、多项式必是整式，但反过
来就不一定成立．
（2）分母中含有字母的式子一定不是整式．
【易错提醒】
整式易错警示：单项式与多项式统称整式。分母中含字母的式子（如1
x 不是整式，属于分式。注意：π 是
数字，含π 的式子是整式。判断时要看字母是否在分母或根号内。
即时即练1．式子：
，
，
，
，
，0 中，是整式的有（ ）个
A．6
B．5
C．4
D．3
【答案】C
【分析】本题考查整式的判断，判断每个式子是否为整式，再统计整式的个数．整式包含单项式与多项式，
分母含有字母的式子不属于整式．
【详解】解：∵整式是单项式和多项式的统称，且分母中含有字母的式子不是整式．
∴
是多项式，属于整式．
分母含字母，不是整式．
是多项式，属于整式．
是单项式，属于整式．
分母含字母，不是整式．
0 是单独的数，属于单项式，即整式．
∴整式共有4 个．
故选：C
2．把下列代数式：
，0，
填入相应的大括号内．
单项式：{ …}；
多项式：{ …}；
整式：{ …}．
【答案】见解析
【分析】本题考查了整式的定义，单项式和多项式统称整式．
根据单项式与多项式的定义进行分类即可．
【详解】解：单项式：
；
多项式：
；
整式：
．
题型1 单项式的判断
【例1】下列各式：2a，
，
，
，
，
，
，
中，是单项式的有（ ）
A．7个
B．
个
C．5个
D．
个
【答案】D
【分析】根据单项式定义逐个判断即可，注意
是常数不是字母，分母含字母的式子不是单项式，多项式
不属于单项式．
【详解】解：根据单项式的定义：由数与字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也
叫做单项式，
∵ 2a是数与字母的积，∴是单项式；
∵
分母含有字母
，∴不是单项式；
∵
展开后为
，是两个单项式的和，属于多项式，∴不是单项式；
∵
是常数，
是常数与字母的积，∴是单项式；
∵
整理后为
，是两个单项式的和，属于多项式，∴不是单项式；
∵
分母含有字母
，∴不是单项式；
∵
是常数，
是单独的常数，∴是单项式；
∵
是单独的常数，∴是单项式；
综上，符合要求的单项式共有
个．
【例2】代数式
，
，
，
，
，
，
中，单项式的个数为（ ）
A．
个
B．个
C．
个
D．个
【答案】A
【分析】本题考查单项式的判断，解题的关键是掌握单项式的定义：只含有数与字母的积的式子叫做单项
式，单独的一个数或一个字母也是单项式．据此逐个判断所给的代数式是否为单项式，统计单项式个数后
即可得出答案．
【详解】解：
中的分子是和的形式，不是单项式；
是数与字母的积，是单项式；
中
是常数，该式是数与字母的积，是单项式；
中的分母含字母，不是单项式；
是单独的一个数，是单项式；
是单独的一个字母，是单项式；
是三个单项式的和，不是单项式；
综上所述，单项式有
、
、
、
，共
个．
故选：A．
【技巧归纳】
单项式：数与字母的积（分母不含字母）。单独一个数或字母也是单项式。判断要点：不含有加减运算，
分母中无字母。如 3x、-5、a ² 是；x/y、2x+1 不是。注意π 是数字，不是字母。
【变式1-1】下列代数式中，单项式有：（ ）
①
；②
；③
；④
；⑤
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】B
【分析】本题考查了单项式的定义，熟记数字与字母的乘积或单独的数字或字母，叫做单项式，是解题的
关键．
根据单项式的定义，逐个判断各代数式是否为单项式即可得出答案．
【详解】解：①
是单项式，
②
不是单项式，
③
不是单项式，
④
不是单项式，
⑤
是单项式，
综上，单项式有2 个．
故选：B．
【变式1-2】在以下的
个代数式：
，
，
，
，
，
中，单项式有（ ）个．
A．
B．
C．5
D．
【答案】A
【分析】本题考查了单项式的识别，根据单项式的定义判断即可求解，掌握单项式的定义是解题的关键．
【详解】解：
是常数，属于单项式；
是单独的字母，属于单项式；
是数字与字母的积，属于单项式；
含有加法运算，是多项式，不是单项式；
分母中含有字母，不是单项式；
含有加法运算，是多项式，不是单项式；
∴单项式有
、
、
，共个，
故选：
．
题型2 单项式的系数、次数
【例3】单项式
的系数是______ ，次数是______ ．
【答案】
3
【分析】根据单项式系数与次数的定义求解，单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中，所
有字母的指数的和叫做单项式的次数．
【详解】解：单项式
的数字因数是
，因此它的系数是
，
单项式中字母
的指数为
，字母
的指数为，所有字母的指数和为2+1=3，因此它的次数是．
【例4】单项式
的系数是________，次数是________．
【答案】
4
【分析】单项式中数字因数叫单项式的系数，所有字母的指数的和称为单项式的次数．
的系数是
，次数是4．
【详解】解：单项式
的系数是：
，次数是：
．
【技巧归纳】
系数：单项式中的数字因数（带符号）。次数：所有字母指数之和。如-3x ² y 系数-3，次数3。单独数字
（如5）次数0，常数项系数本身。π 视为数字，含π 的项系数含π。注意指数为1 时省略。
【变式2-1】单项式
的系数是____________，次数是____________．
【答案】
【分析】根据单项式中的数字因数叫做单项式的系数，单项式的次数是单项式中所有字母的指数和求解即
可．
【详解】解：单项式
的数字因数为
，因此单项式的系数为
，
单项式中所有字母的指数和为
，因此单项式的次数为
．
【变式2-2】单项式
的系数是______，次数是______．
【答案】
/
3
【分析】本题考查单项式的系数和次数的概念，熟练掌握单项式的系数和次数的概念是解题的关键．
根据单项式的系数和次数的概念，即可求解．
【详解】解：
单项式
，
系数是
，次数是2+1=3次，
故答案为：
， 3．
题型3 写出满足某些特征的单项式
【例5】请写出一个只含字母x，y 的五次单项式
【答案】
（答案不唯一）
【知识点】写出满足某些特征的单项式、单项式的系数、次数
【分析】本题考查了单项式，根据单项式的有关概念即可得出答案，确定单项式的系数和次数的关键．
【详解】解：依题意，这个只含字母x，y 的五次单项式为
，
故答案为：
（答案不唯一）．
【例6】请写出一个含有字母
和
，且次数为3 的单项式 ．
【答案】
(答案不唯一)
【知识点】写出满足某些特征的单项式
【分析】本题考查了单项式的定义．解答此题关键是构造单项式的系数和次数，把一个单项式分解成数字
因数和字母因式的积，是找准单项式的系数和次数的关键．
根据单项式系数、次数的定义来求解，单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个
单项式的次数．
【详解】解：先构造系数，例如为2，然后使a、b 的指数和是3．
则如：
(答案不唯一)．
故答案为：
(答案不唯一)．
【技巧归纳】
根据系数和次数要求构造，系数是数字（可为分数），次数由各字母指数和决定。如系数为-2，次数为
3，可写-2x ³或-2xy ²。注意可含多个字母，但不含加减符号。结合题意，确保分母无字母。
【变式3-1】请写出一个只含有
、
两个字母，系数是
，次数是5 的单项式 ．
【答案】
（答案不唯一）
【知识点】写出满足某些特征的单项式
【分析】本题考查单项式定义：数与字母的积叫单项式，根据题意，结合单项式定义即可得到答案，熟记
单项式定义是解决问题的关键．
【详解】解：由单项式定义可得，该单项式可以是
（答案不唯一），
故答案为：
（答案不唯一）．
【变式3-2】系数为
，只含字母
的所有三次单项式是 ．
【答案】
，
．
【分析】本题主要考查了单项式，根据单项式的系数、次数，可得答案．
【详解】解：系数为
，只含字母
的三次单项式有2 个，
它们是
，
，
故答案为：
，
．
题型4 单项式规律题
【例7】有一列按照一定规律写出的单项式：0，3 x
2，
，
，
，…．这列单项式中的第25 个单
项式是__________．
【答案】
【分析】通过观察系数和次数的变化，归纳第
个单项式为
，即可求解．
【详解】解：观察已知单项式，
第1 个单项式：
，
第2 个单项式：
，
第3 个单项式：
，
第4 个单项式：
，
．．．
可得第
个单项式为
，
当
时，
．
【例8】一列单项式按以下规律排列：
，
，
，
，
，
，
，⋯，则第20 个单项
式是________．
【答案】
【分析】分别从系数的符号、系数的绝对值、
的指数三个方面，找出单项式随项数变化的规律，再将项
数n=20代入规律计算即可.
【详解】解：观察这列单项式：
，
，
，
，
，
，
，⋯，
可得第
个单项式的规律：系数的符号：奇数项为正，偶数项为负，可表示为
；
系数的绝对值：是从开始的连续奇数，可表示为
；
的指数：等于项数
，可表示为
；
因此第
个单项式可写为
，
将n=20代入得：
.
【技巧归纳】
观察序号与系数、字母指数的变化规律。系数多为等差或等比，指数常与序号有关。写通项时用n 表示序
号，注意符号交替用(-1)n。如第n 个单项式：(-1)n·n·xn。代入验证前几项是否正确。
【变式4-1】一组按规律排列的代数式为：a
2，
，
，
，
，⋯，第
个代数式为____．
【答案】
【分析】分别观察已知代数式中分母和字母次数的变化规律，归纳得到一般结论
【详解】解：观察已知代数式可得：
第个代数式为
，
第
个代数式为
，
第个代数式为
，
...
由此归纳可得，第
个代数式中，
的次数为
，分母为
，
因此第
个代数式为
【变式4-2】按一定规律排列的一组代数式：
，
，
，
，
，…，则第n 个
式子是_______________．
【答案】
【分析】分别分析每个式子中第一项、第二项的变化规律，即可得到第n 个式子的表达式
【详解】解：观察已知代数式，
第一项的系数依次为：
，
可得第n 个式子第一项的系数为
，即第一项为
.
第二项中
的指数依次为：
，
可得第n 个式子中
的指数为
，即第二项为
.
因此第n 个式子为
.
题型5 多项式的判断
【例9】下列代数式中，是多项式的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】本题考查单项式与多项式的定义，明确“多项式是几个单项式的和”这一概念，据此区分单项式
与多项式．
【详解】解：A：2a
2是数与字母的积，属于单项式；
B：
是两个单项式
与
的和，属于多项式；
C：
是数与字母的积，属于单项式；
D：
是数与字母的积，属于单项式；
故选：B．
【例10】在代数式
、
、
、5、
、
中，多项式有（ ）
A．2 个
B．3 个
C．4 个
D．5 个
【答案】B
【分析】本题考查多项式的判断，根据多项式的定义，几个单项式的和的形式，进行判断即可．
【详解】解：在代数式
、
、
、5、
、
中，多项式有
、
、
，共3 个；
故选B．
【技巧归纳】
多项式：由几个单项式相加或相减组成。判断标准：含加减运算，分母中不含字母。如3x ²-2x+1 是；
1/(x+1)不是。注意可以合并同类项后看项数，如x ²+3x-x ²=3x 是单项式。所有整式都是单项式或多项式。
【变式5-1】在代数式
中，多项式的个数是（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】B
【分析】本题主要考查多项式的定义，熟练掌握多项式的定义是解题的关键．根据多项式的定义即可得到
答案．
【详解】解：根据多项式的定义，几个单项式的和称为多项式，
故在代数式
中，多项式有a+b，a
2−b
2，
共3 个．
故选：B．
【变式5-2】在下列式子中：
、
、
、
、
、
，多项式有（ ）个．
A．2 个
B．3 个
C．4 个
D．5 个
【答案】B
【分析】本题考查了多项式的定义，根据多项式的定义（几个单项式的和），判断每个式子是否为多项式
即可
【详解】解：
多项式是几个单项式的和，
是单项式，不是多项式；
分母含变量，不是整式，不是多项式；
是两个单项式的和，是
多项式；2 是单项式，不是多项式；
是两个单项式的和（分母5 是常数），是多项式；
是两
个单项式的和（
是常数），是多项式，
多项式有3 个，
故选：B
题型6 多项式的项、项数或次数
【例11】多项式
的最高次项的系数为_____，常数项为_____．
【答案】
2
【分析】根据多项式的相关概念，确定多项式各项的次数，找出最高次项，进而得到最高次项的系数和常
数项.
【详解】解：多项式
中，
的次数为3+1= 4，
的次数为
，因此最高次项为
，其系数为
，多项式中不含字母的项是
，因此常数项为
.
【例12】多项式
是_____ 次_____ 项式，最高次项是_____ ．
【答案】 三 四
【分析】此题考查的是多项式的定义，多项式中每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高次数，
就是这个多项式的次数．
多项式中每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数，根据这个定义
即可判定．
【详解】解：多项式
是三次四项式，最高次项是
，
故答案为：三，四，
．
【技巧归纳】
项：多项式中的每个单项式（包括符号）。项数：项的个数。次数：所有项中次数最高项的次数。如
3x ² y-2x+1：项分别为3x ² y、-2x、1，项数3，最高次项3x ² y 次数3。常数项次数0。找准符号。
【变式6-1】多项式
的最高次项是______，第二项的系数是______，第二项的次数是______．
【答案】
/
3
【分析】本题考查了多项式的项、项数或次数等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解．
根据多项式的概念，最高次项是次数最高的项，系数是项中的数字因数（包括符号和常数），次数是项中
所有变量的指数之和．
【详解】解：多项式
有三项：
第一项
的次数为
，
第二项
的次数为2+1=3，
第三项是常数项，次数为
．
因此最高次项是
．
第二项是
，
其系数为
，
次数为．
故答案为：
，
，3．
【变式6-2】多项式
是由单项式_______，_______，_______的和组成的，它的次数为_______．
【答案】
2
【分析】本题考查了多项式：几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的
项叫做常数项．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数．
【详解】解：项式
是由单项式
，
，的和组成的，它的次数为2．
故答案为：
，
，，2．
题型7 多项式系数、指数中字母求值
【例13】若多项式
是关于x 的五次二项式，则
．
【答案】4
【知识点】多项式系数、指数中字母求值
【分析】此题考查了多项式的次数，项数的定义，利用多项式的定义求参数．根据五次二项式的定义得到
，计算即可．
【详解】解：由题意得
，
∴
，
故答案为：4．
【例14】已知关于x 的多项式
是二次三项式，则
.
【答案】
【知识点】多项式系数、指数中字母求值
【分析】本题考查多项式的次数问题，由多项式次数为
，为此知没有次项，由此知
，这时最
高次项是
，可知
的值问题得以解决．
【详解】解：∵关于
的多项式
是二次多项式，
∴该多项式没有次项，由此知
，
，
，
∴
，
故答案为：
．
【技巧归纳】
根据多项式次数或项数条件列方程。如多项式xm+1-3x+2 为二次三项式，则m+1=2 得m=1。若某项不存
在，则其系数为0（如无xy 项，则系数=0）。注意合并同类项后再判断，防止被表面项数误导。
【变式7-1】若多项式
是关于
的三次多项式，则多项式
的值为 ．
【答案】3 或5 或1
【知识点】多项式系数、指数中字母求值
【分析】本题考查了多项式的定义．分类讨论，根据多项式的次数为三次，超过三次的项的系数为0，即
可求得
的值，进而即可求解．
【详解】解：∵多项式
是关于
的三次多项式，
当
时，
，此时
或6，则
，
∴
，
∴
或1；
当
，
，此时
，则
，
∴
，
∴
；
故答案为：3 或5 或1．
【变式7-2】若多项式
是关于a，b 的五次二项式，则
的值为 ．
【答案】或
【知识点】多项式系数、指数中字母求值
【分析】本题考查了多项式的次数，项数的定义，利用多项式的定义求参数，正确掌握多项式的定义是解
题的关键．根据五次二项式的定义得到
，且
，计算求解，即可解题．
【详解】解：
多项式
是关于a，b 的五次二项式，
，且
，
解得
，
当
时，
或
，
此时
或
，
故答案为：或
．
题型8 将多项式按某个字母升幂(降幂)排列
【例15】将整式
按x 降幂排列为 ．
【答案】
【知识点】将多项式按某个字母升幂（降幂）排列
【分析】本题主要考查了多项式，掌握多项式的有关定义是解题关键．先分清各项，再根据多项式幂的排
列的定义解答．
【详解】解：
按x 降幂排列：
．
故答案为：
．
【例16】将多项式
按x 的降幂排列的结果为 ．
【答案】
【知识点】将多项式按某个字母升幂（降幂）排列
【分析】本题考查了多项式的降幂排列，弄清多项式各项的次数是解题的关键．先确定各项中x 的次数，
再按从高到低的顺序排列即可．
【详解】解：将多项式
按x 的降幂排列的结果为
．
故答案为：
．
【技巧归纳】
选定字母，按该字母指数从小到大（升幂）或从大到小（降幂）排列。常数项视为指数0。每项保持符
号，移项时注意正负号也跟它一起移动。合并同类项后可简化。如x ²-2x+1 按x 降幂仍是原式。
【变式8-1】把多项式
按x 的降幂排列: ．
【答案】
【知识点】将多项式按某个字母升幂（降幂）排列
【分析】本题考查了多项式按某一字母的排列－降幂或升幂排列；把多项式中的项按x 指数从高到低进行
排列即可．
【详解】解：
；
故答案为：
．
【变式8-2】把
按
降幂排列 ．
【答案】
【分析】本题考查多项式按某字母升（或降）幂排列，熟练掌握升（或降）幂排列定义是解题的关键．
根据y 的次数从大到小排列即可．
【详解】解：把多项式
按y 的降幂排列为：
．
故答案为：
．
题型9 整式的判断
【例17】代数式
，
，x + y，
，
中，是整式的有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】D
【分析】本题主要考查了整式的定义，表示数或字母的积的式子叫做单项式，单独的一个数或一个字母也
是单项式，几个单项式的和的形式叫做多项式，而整式是单项式和多项式的统称，据此可得答案．
【详解】解：代数式
，
，x + y，
，
中，整式有
，x + y，
，
，共4 个，
故选：D．
【例18】在代数式
，
中，整式有（ ）
A．7 个
B．6 个
C．5 个
D．4 个
【答案】C
【分析】本题主要考查了整式的定义，熟练掌握整式的定义（分母中不含字母）是解题的关键．本题需根
据整式的定义（整式为单项式和多项式的统称，分母中不含字母），逐一判断每个代数式是否为整式，统
计符合条件的个数即可．
【详解】解：整式是单项式与多项式的统称，且整式的分母中不含字母，
对各代数式判断如下：
是多项式，属于整式；
是多项式，属于整式；
是单独的常数，属于单项式，是整式；
分母含字母，不是整式；
中
分母含字母，不是整式；
是单独的常数，属于单项式，是整式；
是单项式，属于整式；
综上，整式共有5 个．
故选：C．
【技巧归纳】
整式：单项式与多项式的统称，分母中不含字母。判断标准：式子由数、字母通过乘除（除数可为字母？
注意：分母含字母则不是整式）和加减运算组成，不含除法分母字母。
【变式9-1】在式子10，
，
，
，
中，整式的个数为（ ）
A．
B．
C．5
D．
【答案】B
【分析】本题考查了整式的定义，整式包含单项式与多项式，单独的数、数和字母的积是单项式，几个单
项式的和是多项式，等式不属于整式，据此判断各式子是否为整式即可，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：∵整式是单项式和多项式的统称，单独的数、数与字母的积为单项式，几个单项式的和为多
项式，等式不是整式，
∴在给出的式子中，10是单独的数，属于单项式（整式）；
是数与字母的积，属于单项式（整式）；
是两个单项式的和，属于多项式（整式）；
是等式，不是整式；
是数与字母的积，属于单项式（整式），
∴整式的个数有
个，
故选：
．
【变式9-2】在代数式
，
，
，
，
，
中，整式有（ ）．
A．5 个
B．4 个
C．3 个
D．2 个
【答案】B
【分析】本题考查整式的辨认，掌握好整式的定义是关键．
根据整式的定义（整式包含单项式与多项式，且分母中不含字母），逐个判断所给代数式是否为整式，统
计符合条件的个数即可．
【详解】解：∵整式是分母不含字母的单项式和多项式，
∴对各代数式逐一判断：①
可化为
，是多项式，属于整式；②
是单项式，属于整式；③
中π是常数，该式是多项式，属于整式；④
分母含字母
，是分式，不属于整式；⑤
是单独的
常数，属于单项式，是整式；⑥
分母含字母
，是分式，不属于整式；
综上，整式共有4 个．
故选：B．
题型10 单项式、多项式、整式的分类
【例19】将下列代数式的序号填在相应的横线上．
①
；②
；③
；④0；⑤
；⑥
；⑦
；⑧
；⑨x
2．
(1)单项式：________．
(2)多项式：________．
(3)整式：________．
【答案】(1)③④⑨
(2)①②⑤
(3)①②③④⑤⑨
【分析】此题主要考查了多项式、单项式以及整式的定义，正确把握相关定义是解题关键．
根据数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式；几个单项式的和叫做多项式；
单项式和多项式统称为整式即可．
【详解】（1）解：单项式：③④⑨；
（2）多项式：①②⑤；
（3）整式：①②③④⑤⑨．
【例20】把下列各式分别填在相应的大括号里：
4，1
x +2，
，
，
，2 x−3，
，
单项式：{ …}；
多项式：{ …}；
整式：{ …}
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了整式的分类，解题的关键是熟练掌握单项式和多项式的定义．根据整式的分类，
单项式和多项式的定义进行判断即可．
【详解】解：单项式：4，
；
多项式：
，
，2 x−3，
；
整式：4，
，
，
，2 x−3，
．
【技巧归纳】
整式包含单项式和多项式。单项式：无加减号；多项式：有加减号。判断时先看分母有无字母，无则是整
式。再按有无加减号区分单项式/多项式。常数也是单项式。含根号字母的式子一般不是整式。
【变式10-1】把下列代数式分别填在相应的大括号内：
，
，
，
，
，
，
．
单项式：{ …}；
多项式：{ …}；
二次二项式：{ …}；
整式：{ …}．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了整式，根据单项式，多项式，整式的定义解答即可.
【详解】单项式：
；
多项式：
；
二次三项式：
；
整式：
.
【变式10-2】把下列代数式的序号填入相应的横线上：
①
；③
；④
；⑤0；⑥
；⑦
；⑧
；⑨
；⑩x
2 ．
(1)单项式：_______；
(2)多项式：_______；
(3)整式：_______；
(4)二项式：_______．
【答案】(1)④⑤⑩
(2)①③⑥
(3)①③④⑤⑥⑩
(4)③⑥
【分析】根据单项式，多项式，整式，二项式的定义即可求解．
【详解】（1）解：单项式：④⑤⑩，
故答案为：④⑤⑩；
（2）多项式：①③⑥，
故答案为：①③⑥；
（3）整式：①③④⑤⑥⑩，
故答案为：①③④⑤⑥⑩；
（4）二项式：③⑥，
故答案为：③⑥；
一、单选题
1．在代数式
，
，
，
中，单项式的个数是（ ）
A．个
B．
个
C．个
D．
个
【答案】C
【详解】解：
是单独的数，属于单项式；
是两个单项式的差，不属于单项式；
是字母的积，属于
单项式；
是数与字母的积，属于单项式，
∴单项式的个数是个．
2．一个单项式的系数是2，次数是3，则下列符合条件的单项式是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】本题考查单项式的系数与次数的定义，需根据定义分析各选项，判断系数是否为2、次数是否为
3 即可．
【详解】解：∵单项式的系数是指单项式中的数字因数，次数是指单项式中所有字母的指数和．
∴对各选项分析如下：
A 选项：系数为
，次数为3，不符合系数为2 的要求，不符合题意．
B 选项：系数为2，次数为2，不符合次数为3 的要求，不符合题意．
C 选项：系数为2，次数为3，符合题意．
D 选项：系数为
，次数为2，均不符合要求，不符合题意．
故选：C．
3．下列结论正确的是（ ）
A．单项式
的系数是
B．单项式
的次数是6
C．单项式
没有系数
D．多项式
是二次三项式
【答案】D
【分析】根据单项式系数为单项式的数字因数，单项式次数为所有字母的指数和，注意
是常数不是字母，
多项式的次数为最高次项的次数，项数为单项式的个数，逐一判断选项即可．
【详解】解：A、单项式
的系数是
，不是
，结论错误；
B、单项式
中字母
的指数是，
的指数是，总次数为
，不是
，结论错误；
C、单项式
的系数是
，不是没有系数，结论错误；
D、多项式
有
、
、
共三项，最高次项
的次数是
，是二次三项式，结论正确．
4．多项式
是关于x 的二次三项式，则m 的值是（ ）
A．
B．
C．2
D．2 或
【答案】C
【分析】二次三项式即多项式的最高次项的次数为2，且多项式含3 个非零项，据此列条件计算即可．
【详解】解：∵多项式
是关于x 的二次三项式，
∴
，
解得
．
5．观察下列单项式：
，
，
，
，
，…，则第
个单项式是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】分别从单项式的符号、系数绝对值、字母的次数三个部分寻找规律，整合得到第
个单项式的表
达式．
【详解】解：我们分三部分找规律：
符号部分：由奇数项为负、偶数项为正，可得符号规律为
；
系数绝对值部分：取系数的绝对值，为
，可得规律为
；
字母次数部分：字母部分是
，可得规律为
；
综上所述，第
个单项式为
．
二、填空题
6．单项式
的系数是_______．
【答案】6
【详解】解：单项式
的数字因数为
，即系数是
．
7．把多项式
按字母
的降幂排列是__________．
【答案】
【分析】根据降幂排列的定义，只需找出多项式的各项，按字母
的指数从大到小的顺序排列即可．
【详解】解：把多项式
按字母
的降幂排列是
．
8．
；
；
；
；
；
；0；
其中单项式有________个，多项式有________个．
【答案】 4 3
【分析】由数与字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式；几个单项式
的和叫做多项式．
【详解】解：其中单项式有
，
，
，0，共4 个；
多项式有
，
，
，共3 个．
9．若多项式
是关于x，y 的三次多项式，则
______．
【答案】或
【分析】本题考查多项式的次数的概念，解题关键是根据多项式次数要求，令高于三次的项系数为
，再
求解最高次项的次数得到参数的值．
【详解】解：
多项式
是关于
，
的三次多项式，
次数为
的项
的系数必须为
，且最高次项
的次数为，
可得
，
由
得
，
将
代入
得
，
即
或
，
解得
或
，
当
，
时，
，
当
，
时，
．
10．我国古代的天元式可以用来表示多项式，在未知数的一次项旁标注“元”字，未知数的其他幂由与
“元”的相对位置确定，高次幂在上，低次幂在下．如图1 中的天元式表示多项式
，
则图2 表示的多项式的一次项系数为__________．
【答案】248
【分析】本题考查数学常识．据此解答即可．
【详解】解：根据“天元式”规定的意义，图2 表示的多项式是：
，
∴一次项系数为248，
故答案为：248．
三、解答题
11．请把下列整式分类填入下表，并完成表格．
，
，
，
，
，
，
，
．
单项式
系数
次数
多项式
次数
项数
常数项
【答案】见详解
【分析】本题考查整式的分类，需要识别每个整式是单项式还是多项式，区分单项式和多项式．单项式是
由数字与字母的积组成的代数式，单独一个数字或字母也是单项式；多项式是几个单项式的和．对于单项
式，系数是数字因数（包括符号），次数是所有字母的指数之和． 对于多项式，次数是最高次项的次数，
项数是组成多项式的单项式的个数，常数项是不含字母的项，对此一一区分并填写即可．
【详解】解：表格填写如下：
单项式
系数
次数
多项式
次数
项数
常数项
1
1
2
1
5
2
2
3
0
3
2
2
0
0
2
3
12．将多项式
按下列要求进行排列：
(1)按a 的升幂排列；
(2)按b 的降幂排列．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查多项式的升降幂排列：
（1）按a 的升幂排列，即按照
的指数依次增大，进行排列即可；
（2）按b 的降幂排列，即按照
的指数依次减少，进行排列即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
13．已知关于x，y 的多项式
是五次四项式（m、n 为有理数），且单项式
的次数与该多项式相同．
(1)求m，n 的值．
(2)将这个多项式按x 的降幂排列．
【答案】(1)
，
(2)
【分析】本题考查多项式的项与次数，单项式的次数，求解代数式的值，熟练掌握基础概念是解题的关键．
（1）根据多项式的项数和次数的定义，可得
，再由单项式的次数与该多项式的次数相同，可
得
，再求解即可；
（2）按x 的指数从大到小排列即可．
【详解】（1）解：
关于x、y 的多项式
是五次四项式，且m，n 为有理数，
∴
，解得
，
又∵单项式
的次数与该多项式的次数相同，都是5，
∴
，而
，解得
，
答：
，
．
（2）解：当
，
时，
关于x，y 的多项式按x 的降幂排列是
．
14．代数式：①
；②
；③
；④
；⑤
；⑥
；⑦
．
(1)请把上述代数式的序号分别填在相应的圆圈内：
(2)其中次数最高的多项式是______次多项式；
(3)其中次数最高的单项式的次数是______，系数是______．
【答案】(1)见解析
(2)二
(3)4，
【分析】此题主要考查了多项式以及单项式的相关定义，正确把握相关定义是解题关键．
（1）直接利用多项式以及单项式定义分析即可；
（2）直接利用多项式的次数的定义分析得出答案；
（3）直接利用单项式的次数与系数的定义分析即可．
【详解】（1）解：根据多项式以及单项式定义可得：
（2）解：多项式
的次数为：2，
多项式
的次数为：1，
多项式
的次数为：1，
故次数最高的多项式是二次多项式；
（3）解：单项式
的次数为1 次，系数为
，
单项式
的次数为0 次，系数为
，
单项式
的次数为4 次，系数为
，
故次数最高的单项式的次数是4，系数为
．
15．把下列各代数式的序号分别填在相应的横线上：
下列代数式中哪些是单项式？哪些是多项式？哪些是整式？．分别将序号填入所属的横线上．
①7，②
，③
，④
，⑤
，⑥
，⑦
，⑧
，⑨
．
单项式：__________；
多项式：__________；
二次三项式：__________；
整式：__________；
【答案】单项式：
多项式：
二次三项式：
整式：
【分析】本题主要考查了单项式，多项式和整式的识别，解题的关键是掌握以上定义．
根据单项式，多项式和整式的定义进行判断即可．
【详解】解：∵①7 为单项式，②
为单项式，③
为多项式，且为一次二项式，④
为多项
式，且为三次二项式，⑤
为多项式，且为二次二项式，⑥
不是整式，⑦
为单项式，⑧
为多项式，且为二次三项式，⑨
为单项式；
单项式和多项式统称为整式；
∴单项式：
，
多项式：
，
二次三项式：
整式：
．
16．观察下列各单项式：
根据你发现的规律：
(1)请你写出第9 个单项式为 ，第n 个单项式为 ．
(2)请你求出当
时，第9 个单项式与第10 个单项式和的值．
【答案】(1)
，
(2)
【分析】本题主要考查单项式的变化规律，解答的关键是由所给的单项式总结出存在规律．
（1）根据题意得到所给单项式的系数，字母
的指数的规律，即可求解；
（2）由（1）中规律解答即可．
【详解】（1）解：根据题意得：所给单项式的系数依次为
，即
，
∴第
个单项式的系数为
，
∵单项式中字母
的指数依次为
，
∴第
个单项式中字母
的指数为
，
∴第
个单项式为
，
当
时，
，
∴第9 个单项式为
，
故答案为：
，
；
（2）解：由（1）得：第9 个单项式为
，
∴第10 个单项式为
，
当
时：
第9 个单项式：
，
第10 个单项式：
，
∴第9 个单项式与第10 个单项式和的值为
．
