第11 讲轴对称与坐标变换
内容导航
01 预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向
02 教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理
03 题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解
题型1 求点关于x 轴的对称点的坐标
题型2 求点关于y 轴的对称点的坐标
题型3 求点关于某直线的对称点的坐标
题型4 利用轴对称求平面直角坐标系中线段和最小值问题
题型5 坐标与图形变换--轴对称
题型6 轴对称的几何变换综合题
04 过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固
关键词
学习目标导航
轴对称、坐标变换、关
于x 轴对称、关于y 轴
对称、数形结合。
1. 经历图形坐标变化与轴对称之间关系的探索过程，掌握点关于x 轴、y 轴对
称的坐标变化规律。
2. 能在坐标系中，根据一个图形顶点坐标，写出其关于坐标轴对称的图形顶
点坐标。
3. 能根据坐标变化，判断新图形与原图形的位置关系，并体会“数”与“形”
之间的转换。
4. 经历观察、归纳、验证等数学活动，发展数形结合意识和空间观念。
学习重点：经历图形坐标变化与图形轴对称之间关系的探索过程，明确图形坐标变化与图形轴对称之
间的关系。
学习难点：由坐标的变化探索新旧图形之间的变化过程，发展形象思维能力和数形结合意识，实现“数”
与“形”之间的自由转换。
知｜识｜框｜架
知｜识｜精｜讲
知识点01 坐标系中的轴对称
（1）点
( , )
P a b 关于x 轴的对称点是
( ,
)
P' a
b
，即横坐标不变，纵坐标互为相反数．
（2）点
( , )
P a b 关于y 轴的对称点是
(
, )
P'
a b
，即纵坐标不变，横坐标互为相反数．
总结：点关于哪条坐标轴对称则哪个坐标不变，另外一个坐标变为原来的相反数．
（3）点
( , )
P a b 关于坐标原点的对称点是
(
,
)
P'
a
b
，即横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数．
（4）点
( , )
P a b 关于点
( , )
Q m n 的对称点是
(2
, 2
)
P'
m
a
n
b
．
（5）点
( , )
P a b 关于x
m
的对称点是
(2
, )
P'
m
a b
．
（6）点
( , )
P a b 关于y
n
的对称点是
( , 2
)
P' a
n
b
．
（7）点( ,
)
x y 关于一三象限的平分线的对称点为( , )
y x ．
（8）点( ,
)
x y 关于二四象限的平分线的对称点为(
,
)
y
x
．
【易错提醒】
坐标系对称易错警示：关于x 轴对称，横坐标不变，纵坐标变相反数(x,-y)；关于y 轴对称，纵坐标不变，
横坐标变相反数(-x,y)；关于原点对称，横纵坐标均变相反数(-x,-y)。勿混淆对称规律。
即时即练1．点
2,3
P
关于x 轴的对称点的坐标是
．
2．若点
1
,1
P
m
n
与点
4,3
Q
关于y 轴对称，则m
n
的值是
．
3．已知：如图，
ABC
三个点的坐标分别为
(0, 2)
A
，
(2, 4)
B
，
(4, 1)
C
．
(1)画出
ABC
关于y 轴对称的图形
1
1
1
A B C
△
；写出
1
1
1
A B C
△
各顶点坐标；
(2)求
ABC
的面积．
(3)在x 轴上找一点P，使得它到点A 和点C 的距离和最小（不要求写作法，保留作图痕迹）
题型1 求点关于x 轴的对称点的坐标
【例1】点
4, 3
P
关于x 轴对称的点P的坐标为
．
【例2】在平面直角坐标系中，点
2, 6
A
关于x 轴的对称点为
,
A x y
，则x
y
的值为
．
【技巧归纳】
点关于x 轴对称：横坐标不变，纵坐标变为相反数，即P(a,b)→P'(a,-b)。如(2,-3)关于x 轴对称得(2,3)。口
诀：横不变，纵相反。注意原点对称是横纵都变号，不要混淆。应用于图形轴对称问题。
【变式1-1】在平面直角坐标系中，若点
7,6
A
与点
,
B a b 关于x 轴对称，则a
b
．
【变式1-2】若点
2
,3
1
P
m m
在y 轴上，点Q 与点P 关于x 轴对称，则点Q 的坐标是
．
题型2 求点关于y 轴的对称点的坐标
【例3】平面直角坐标系中，与点
2, 3
M
关于y 轴对称的点的坐标为
．
【例4】点
1, 5
A x
，
2
2,
B
y
，若A ，B 关于x 轴对称，则
1x
，
2y
；若A ，B 关
于y 轴对称，则
1x
，
2y
．
【技巧归纳】
点关于y 轴对称：纵坐标不变，横坐标变为相反数，即P(a,b)→P'(-a,b)。如(-3,4)关于y 轴对称得(3,4)。口
诀：纵不变，横相反。关于坐标轴对称仅改变对应的坐标符号，与关于原点对称不同（都变）。
【变式2-1】已知点
,3
A x
和
4,
B
y 关于y 轴对称，则
2025
x
y
的值为
．
【变式2-2】若点
(2
1,
3)
P
m
m
在x 轴上，则点P 关于y 轴对称的点Q 坐标是
．
题型3 求点关于某直线的对称点的坐标
【例5】点
2, 3
P
关于直线
1
x 对称的点的坐标是
．
【例6】点(3,4) 关于直线
2
y
对称的点的坐标为
．
【技巧归纳】
关于直线y=x 对称：交换横纵坐标，即(a,b)→(b,a)。关于直线y=-x 对称：横纵坐标都变相反数并交换，即(a,b)
→(-b,-a)。若直线平行坐标轴，可先平移再对称。注意对称点与已知点中点在该直线上，连线垂直。
【变式3-1】已知点
2,3
A
和点B 是坐标平面内的两个点，它们关于直线
1
x 对称
．
【变式3-2】点
1,2 关于第一象限角平分线的对称点的坐标为
．
题型4 利用轴对称求平面直角坐标系中线段和最小值问题
【例7】坐标平面上点
3,2
A
，点
0,4
B
，点C 在x 轴上，则AC
BC
最小值为
．
【例8】如图，平面直角坐标系中，
, ,
A B P 三点的坐标分别为
4,0 ，
0,3 ，
0, 2
，AB
PB
，点M，N
是x 轴，线段AB 上的动点，则PM
MN
的最小值为
．
【技巧归纳】
将军饮马型：作某点关于对称轴的对称点，连接对称点与另一点，与对称轴交点即为所求。最小值即为对
称后两点间距离（用勾股计算）。若对称轴为x 轴或y 轴，直接变符号求对称点。注意区分轴对称与平移。
【变式4-1】如图，在平面直角坐标系中，
3,3
A
，
1,0
B
，点C 是y 轴上一点，连接AB
AC
BC
，
，
，则
ABC
周长的最小值为
．
【变式4-2】如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知
(5,0)
A
，
(0,4)
B
，过点B 作y 轴的垂线l，P 为直线l 上
一动点，连接PO，PA ，则PO
PA
的最小值为
．
题型5 坐标与图形变换--轴对称
【例9】如图，在平面直角坐标系中，
ABC
的三个顶点坐标为
3 4 ,
1 2 ,
51
A
B
C
，
，
，．
(1)画出
ABC
关于y 轴对称的
1
1
1
A B C
△
，并写出点
1
B 的坐标；
(2)求
ABC
的面积；
(3)x 轴上找一点P，使三角形PBC 周长最小，x 轴上画出P 点位置．
【例10】如图，在由边长为1 个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系xOy ，格点（网格
线的交点）
, ,
A B C 的坐标分别为( 2,3)
，(1,3)，(2,0) ．
(1)画出
ABC
关于x 轴对称的
1
1
1
A B C
△
（点
, ,
A B C 的对应点分别为
1
1
1
,
,
A B C ）．
(2)连接
1
AB ，直接写出
1
AB C
△
的面积．
(3)在（1）的条件下，在线段AC 上找出点D，使得
1
AB D
△
的面积是
1
AB C
△
的面积的
1
2 ．
【技巧归纳】
图形关于x 轴、y 轴或直线y=±x 对称时，找对应点坐标变化规律（横/纵变号或交换）。先求关键点对称坐
标，再连接成图形。注意对称前后图形全等，对应点连线被对称轴垂直平分。坐标系中画图更直观。
【变式5-1】在如图所示的平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1 个单位长度的正方形，
ABC
的顶
点在格点上.
(1)画出
ABC
关于y 轴对称的A B C
；并写出A；B；C的坐标.
(2)求
ABC
的面积.
(3)在y 轴上找出点Q ，使
QAC
△
的周长最小.
【变式5-2】如图，在平面直角坐标系中，规定在网格内（包括边界）横、纵坐标都是整数的点称为格点，
已知
ABC
的三个顶点都是格点．
(1)
ABC
的顶点坐标分别是A______，B______，C______；
(2)
ABC
与A B C
关于x 轴对称，A，B，C 的对应点分别是
,
,
A B C
，则C______；
(3)点D 是格点，且以点A，B，C，D 为顶点的四边形是轴对称图形，则所有符合条件的点D 坐标为______．
题型6 轴对称的几何变换综合题
【例11】在平面直角坐标系中，点��, 0 ，
0,
B
b ，a，b 满足
3
5 0
a
b
，点C 与点A 关于y 轴对
称．
(1)直接写出B，C 两点的坐标；
(2)如图，分别以��，��为直角边向右侧作等腰Rt BAD
和等腰Rt BCE
，求出D，E 两点的坐标．
【例12】阅读下列一段文字，回答问题．
【材料阅读】平面内两点
1
1
2
2
M x
y
N x
y
，
，
，
，则由勾股定理可得，这两点间的距离
2
2
1
2
1
2
MN
x
x
y
y
．例如．如图1，
31
1
2
M
N
，，
，
，则
2
2
3 1
1 2
13
MN
．
【直接应用】
(1)已知
2
3
13
P
Q
，
，
，，求P、Q 两点间的距离；
(2)如图2，在平面直角坐标系中的两点
1, 3 ,
1, 1
A
B
，P 为x 轴上任一点，求PA
PB
的最小值；
(3)利用上述两点间的距离公式，求代数式
2
2
2
2
2
3
1
x
y
x
y
的最小值是多少？
【技巧归纳】
综合题结合折叠、旋转、最值等。先确定对称轴，找对应点坐标关系。利用轴对称性质：对应点连线被对
称轴垂直平分，距离相等。设未知点坐标，列方程求解。注意多情况讨论（如对称轴位置不定）。数形结
合。
【变式6-1】在平面直角坐标系中，已知长方形ACDB ，其中点
2,4
A
，点
(6, 1)
D
．
(1)填空：点�的坐标为______，点�的坐标为______；
(2)若点�是�轴上的动点，连接��．
①如图1，当点�在�轴正半轴时，线段��与线段��相交于点�，用等式表示三角形PEC 的面积与三角形ECD
的面积之间的关系，并说明理由；
②当��将四边形ACDB 分成面积相等的两部分时，求点�的坐标．
【变式6-2】如图，在平面直角坐标系中，已知点��, 0 、��, 0 和�0,3 ，
2
1
4
0
a
b
，将线段��
平移到��的位置．
(1)求点�的坐标；
(2)点�为�轴正半轴上一动点，连接��，��．
①当点�在线段��上时，求证：
DPB
PDC
PBA
；
②当
3
5
PBD
ABDC
S
S
四边形
时，求点�的坐标，此时
DPB
、
PDC
和
PBA
有何数量关系？请直接写出它们的
关系，不需证明．
一、单选题
1．点
3,2
A
关于y 轴对称的点�′的坐标是（
）
A．
3,2
B．
3,2
C．
3, 2
D．
3, 2
2．在平面直角坐标系中，点
3,2
A
与点
, 2
B m
关于�轴对称，则�的值为（
）
A．2
B．−3
C．2
D．3
3．已知平面内不同的两点，点
,
A a b ，点
,
B a
b
，关于直线��叙述一定正确的是（
）
A．直线��∥�轴
B．直线��⊥�轴
C．直线AB
y
∥
轴
D．直线AB
y
轴
4．如图，剪纸艺术是中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美．如图，蝴蝶剪纸是一幅轴
对称图形，将其放在平面直角坐标系中，若图中点F 的坐标为
,2
n
，其关于�轴的对称点E 坐标为
4,2
n
，
则3 1
n
值为（
）
A．1
B．3 2
C．3 3
D．1
5．如图，在平面直角坐标系中，对△���进行循环往复的轴对称变换，若原来点�的坐标是
,
m n ，经过
2025 次变换后所得的点�的坐标是（
）
A．
,
m n
B．
,
m
n
C．
,
m
n
D．
,
m n
二、填空题
6．在平面直角坐标系���中，点
3, 5
P
关于y 轴对称的点的坐标为_____．
7．点
,2
A m
与点
3,
B
n 关于y 轴对称，则
2026
(
)
m
n
________．
8．如图，在平面直角坐标系中，△���与△�′�′�′关于x 轴对称，其中点A，B，C 的对应点分别为点�′，�′，
�′，若点
(3,2)
P
在△���的边上，则点P 在△�′�′�′上的对应点�′的坐标是________．
9．如图，在平面直角坐标系中，Rt △���的直角边��，��分别在x 轴和y 轴上，其中
12,0 ,
0,5 ,
0,0
A
B
O
，
E 是��上一点，将△���以��为轴翻折，点A 刚好落在y 轴的点D 处，则点E 的坐标是______．
10．如图，在平面直角坐标系���中，四边形����关于�轴对称，
60
AOC
，
90
2
ABC
OA
，
，将
四边形����沿直线�= �翻折后得到四边形
1
1
1
OA B C ，接着将四边形
1
1
1
OA B C 沿直线y
x
翻折后得到四边形
2
2
2
OA B C ，第三次将四边形
2
2
2
OA B C 沿直线�= �翻折后得到四边形
3
3
3
OA B C ，第四次将四边形
3
3
3
OA B C 沿直
线y
x
翻折后得到四边形
4
4
4
OA B C
依此方式
（1）点�1的坐标是___________，
（2）翻折2026 次得到四边形
2026
2026
2026
OA
B
C
，则点
2026
A
的坐标是___________
三、解答题
11．如图，在平面直角坐标系中，△���的三个顶点坐标分别为
(0,5)
A
、
( 3,2)
B
、
( 1,1)
C
．
(1)画出△���关于�轴对称的△��1�1，并写出�1的坐标；
(2)求△���的面积．
12．如图，在平面直角坐标系中，已知
1,4
A
，
4,2
B
，
2,1
C
．
(1)请画出△���关于�轴对称的△�1�1�1；并写出�1的坐标．
(2)若点P 为�轴上一点，连接BP
CP
，
，当BP
CP
最小时，请在图中画出点P 的位置．
13．如图，在平面直角坐标系���中，△���的顶点坐标分别为
1, 1
A
，
4,1
B
，
2,2
C
，��为��边上
的高．
(1)请画出△���关于y 轴的对称图形△�1�1�1；
(2)请填出下列线段的长度：
��= ，BC ，AC ，CD ．
14．如图，在长方形����中，O 为平面直角坐标系的原点，点A 的坐标为( ,0)
a
，点C 的坐标为(0, )
b ，且
a，b 满足
4
6
0
a
b
，点B 在第一象限内，点P 从原点出发，以每秒2 个单位长度的速度沿着
O
C
B
A
O
的线路移动．
(1)�= ________，�= ________，点B 的坐标为__________；
(2)当点P 移动4s时，点P 的坐标为_______________；
(3)在移动过程中，当点P 到x 轴的距离为4 个单位长度时，点P 移动的时间为________；
(4)在移动过程中，当三角形PAB 的面积等于6 时，求点P 的坐标．
15．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A 的坐标为(6,0) ，点B 是第一象限的点，且BA
x
轴，点B
到x 轴的距离是4，过点B 作x 轴的平行线a，与y 轴交于点C．动点P 从点B 出发，以2 个单位长度/s 的
速度沿直线a 向左移动，动点Q 从原点O 同时出发，以1 个单位长度/s 的速度沿x 轴向右移动．
(1)点B 的坐标为________；
(2)当
3
2
t
时，点P 的坐标为________，点Q 的坐标为________；
(3)当点P，Q 满足PQ
y
∥
轴时，求t 的值．
(4)当点P 移动到y 轴左侧，且四边形POQC 的面积为10 时，求点P 的坐标．
