第14 讲一次函数的图象
内容导航
01 预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向
02 教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理
03 题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解
题型1 正比例函数的图象和性质
题型2 画正比例函数的图象
题型3 一次函数的图象和性质
题型4 比较一次函数值的大小
题型5 根据一次函数的性质判定经过的象限
题型6 利用一次函数增减性求值
题型7 根据一次函数增减性求参数
题型8 一次函数图象与坐标轴的交点问题
题型9 一次函数图象的平移问题
题型10 两个一次函数图象共存问题
题型11 一次函数中的规律探究问题
题型12 两个一次函数图象共存问题
04 过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固
关键词
学习目标导航
一次函数图象、直线、
k、b、增减性、截距、
数形结合。
1. 掌握用描点法画一次函数图象的步骤，知道一次函数的图象是一条直线。
2. 理解一次函数y = kx + b 中，k 决定直线的倾斜方向和增减性，b 决定直
线与y 轴的交点位置。
3. 掌握正比例函数y = kx 的图象是过原点的一条直线，能根据图象说出函数
的性质。
4. 体会数形结合思想，能根据图象信息解决简单问题（如判断函数值的大小）。
学习重点：一次函数图象的画法，以及k 和b 对图象位置和形状的影响。
学习难点：理解k 的几何意义（倾斜程度）和b 的几何意义（纵截距），以及k 与一次函数增减性的
关系。
知｜识｜框｜架
知｜识｜精｜讲
知识点01 正比例函数的图象与性质
1）一次函数图象是一条直线；
2）已知一点可以作图，也可求出解析式；
3）交y 轴于点（0，0），交x 轴于点（0，0）；
4）过象限、增减性
y=kx
过原点（0,0）的一条直线
k 值
0
k
0
k
大致图象
经过象限
经过第一、三象限
经过第二、四象限
增减性
y 随x 的增大而增大
y 随x 的增大而减小
5）函数图象大小比较：函数图象上的点是由适合函数解析式的一对x、y 的值组成的（x、y），x 的值是点
的横坐标，纵坐标就是与这个x 的值相对应的y 的值，因此，观察x 或y 的值就是看函数图象上点的横、纵
坐标的值，比较函数值的大小就是比较同一个x 的对应点的纵坐标的大小，也就是函数图象上的点的位置
的高低.
【易错提醒】
正比例函数y=kx 图象性质易错警示：图象是过原点的直线。k>0 过一三象限，y 随x 增大而增大；k<0 过二
四象限，y 随x 增大而减小。注意：|k|越大越陡，勿与一次函数截距混淆。
即时即练1.关于正比例函数
3
y
x
，下列结论正确的是（
）
A．图象必经过点
3,1
B．图象经过第二、四象限
C．y 随x 的增大而增大
D．不论x 取何值，总有
0
y
知识点02 一次函数的图象与性质
1）一次函数图象是一条直线；
2）已知两点可以作图，也可求出解析式；
3）交y 轴于点（0，b），交x 轴于点（
b
k
，0）；
4）过象限、增减性
0
b
（过一、二象限）
0
b
（过三、四象限）
0
b
（过原点）
0
k
（过一、三象限）
y 随x 的增大而增大
经过第一、二、三象限
经过第一、三、四象限
经过第一、三象限
0
k
（过二、四象限）
y 随x 的增大而减小
经过第一、二、四象限
经过第二、三、四象限
经过第二、四象限
5）函数图象大小比较：函数图象上的点是由适合函数解析式的一对x、y 的值组成的（x、y），x 的值是点
的横坐标，纵坐标就是与这个x 的值相对应的y 的值，因此，观察x 或y 的值就是看函数图象上点的横、纵
坐标的值，比较函数值的大小就是比较同一个x 的对应点的纵坐标的大小，也就是函数图象上的点的位置
的高低.
【易错提醒】
一次函数y=kx+b 图象性质易错警示：k 决定增减性(k>0 增，k<0 减）和倾斜度；b 决定与y 轴交点(0,b)。k
相同则平行。注意象限判断需结合k,b 符号，可画草图验证，勿死记。
即时即练1．已知点
1,
,
2,
A
m
B
n 均在一次函数
2
1
y
x
的图象上，点
,
C m n ，则下列说法正确的是
（
）
A．函数图象经过二、三、四象限
B．点
( , )
C m n 在第二象限
C．m
n
D．与x 轴的交点坐标为0,1
2．在直角坐标系中画出一次函数
2
4
y
x
的图象，并完成下列问题：
(1)此函数图象与坐标轴围成的三角形的面积是；
(2)观察图象，当0
4
x
时，y 的取值范围是；
(3)将直线
2
4
y
x
沿y 轴平移3 个单位长度，请直接写出平移后的直线关系式．
题型1 正比例函数的图象和性质
【例1】关于正比例函数
2
y
x
的图象，下列叙述错误的是（
）
A．点(1,2) 在这个图象上
B．函数值y 随自变量x 的增大而减小
C．当x 增加1 时，y 增加2
D．图象经过一、三象限
【例2】已知正比例函数
1
2
y
x
，下列结论正确的是（
）
A．图象是一条射线
B．y 随x 的增大而减小
C．图象必经过点
2,1
D．图象经过第二、三、四象限
【技巧归纳】
正比例函数y=kx 图象过原点，k>0 在一三象限且y 随x 增大而增大；k<0 在二四且减小。|k|越大越陡。注
意图象关于原点对称。求k 可由一点坐标（非原点）代入。实际应用如速度一定时的路程时间图象。
【变式1-1】关于正比例函数
3
y
x
，下列结论正确的是（
）
A．图象必经过点
1, 3
B．图象经过第一、三象限
C．y 随x 的增大而减小
D．不论x 取何值，总有
0
y
【变式1-2】关于正比例函数
3
y
x
，下列结论正确的是（
）
A．函数图象过点
1,3
B．函数图象经过第二、四象限
C．y 随x 的增大而增大
D．不论x 为何值，总有
0
y
题型2 画正比例函数的图象
【例3】已知正比例函数�= ��的图象经过点
2, 4
．
(1)求这个函数的解析式；
(2)在如图所示的平面直角坐标系中画出这个函数的图象；
(3)判断点
4, 2
A
，是否在这个函数的图象上．
【例4】已知正比例函数�= ��的图象经过点
2, 4
．
(1)求这个函数的解析式，并写出y 的值随x 值的变化情况；
(2)用你认为最简单的方法，在如图所示的平面直角坐标系中画出这个函数的图象；
(3)判断点
4, 2
A
，
1.5,3
B
是否在这个函数的图象上．
【技巧归纳】
正比例函数y=kx 图象是过原点的直线。只需再找一点（如x=1，y=k），连线即可。若k 为分数，取x 为
分母倍数避免小数。注意标明坐标轴、原点及解析式。k>0 上升，k<0 下降。直线穿过象限与k 符号一致。
【变式2-1】已知�与�之间成正比例关系，且图象经过点
2,6
A
．
(1)求�与�之间的函数解析式．
(2)画出该函数的图象．
(3)图像上有两点��1, �1 ，��2, �2 ，如果�1 > �2，则�1______�2．
【变式2-2】已知正比例函数�= ��的图象经过点(2, 6)
．
(1)求这个函数表达式；
(2)判断点
( 1,3)
A
是否在这个函数图象上；
(3)图象上的两点
1
1
2
2
( ,
),
(
,
)
C x y
D x
y
，如果�1 > �2，比较�1与�2的大小．
题型3 一次函数的图象和性质
【例5】对于一次函数
2
6
y
x
，下列说法不正确的是（
）
A．图像不经过第三象限
B．点
2,2 在直线
2
6
y
x
上
C．图像与直线
2
y
x
平行
D．若点
1
1, y
，
2
2, y
在该函数图像上，则
1
2
y
y
【例6】将一次函数
2
1
y
x
的图象向下平移2 个单位后，下列对得到的新图象描述正确的是（
）
A．y 随x 的增大而减小
B．图象与直线
2
y
x
平行
C．点
1, 1
在函数图象上
D．图象经过第一、二、三象限
【技巧归纳】
一次函数y=kx+b 图象是直线，k 定倾斜方向（k>0 增，k<0 减），b 定y 轴截距。与x 轴交点为(-b/k,0)。
过定点（0,b）。|k|越大越陡。利用增减性比较函数值。平移变换：b 改变上下。注意截距可为正负。
【变式3-1】对于函数
2
2
y
x
，下列结论正确的是（
）
A．它的图像经过点(1,2)
B．y 的值随x 值的增大而增大
C．它的图像经过第一、二、四象限
D．它的图像与x 轴交点(0,2)
【变式3-2】对于函数
3
1
y
x
，下列结论正确的是（
）
A．它的图象必经过
1,4
B．它的图象经过第一、二、三象限
C．y 的值随x 值的增大而增大
D．当
1
3
x
时，
0
y
题型4 比较一次函数值的大小
【例7】已知点
1,
M
m
，
2,
N
n 在直线
2
y
x
上，则m，n 的大小关系
．
【例8】已知一次函数
2
3
y
x
图像上有三个点
1
2
3
2,
, 3,
,
1,
y
y
y
则
1
2
3
,
,
y y
y 大小关系
．
【技巧归纳】
若k>0，x 越大y 越大；若k<0，x 越大y 越小。也可直接代入x 值计算比较。已知函数值比较自变量：根
据k 符号解不等式。图象法：上方点函数值大。注意“一定大于”需考虑k 符号或联立差值判断。
【变式4-1】已知点
1
1,
A m
y
和点
2
1,
B m
y
在一次函数
2
1
y
n
x
b
的图象上，则
1y
2y ．（填“ ”，“ ”或“”）
【变式4-2】设点( 3,
)
m
和点(2, )
n 是直线
2
(
1)
(0
1)
y
k
x
b
k
上的两个点，则
,
m n 的大小关系
是
．
题型5 根据一次函数的性质判定经过的象限
【例9】一次函数
2
1
y
x
的图象经过第
象限．
【例10】当
0
k
时，一次函数y
kx
k
的图象不经过第
象限．
【技巧归纳】
由k、b 符号判定：k>0 过一三象限，k<0 过二四；b>0 与y 轴交于正半轴，b<0 交负半轴。组合得：k>0,b>0
过一二三；k>0,b<0 过一三四；k<0,b>0 过一二四；k<0,b<0 过二三四。正比例过原点。结合图形记忆。
【变式5-1】在平面直角坐标系中，一次函数
2025
2025
y
x
的图象不经过第
象限．
【变式5-2】正比例函数y
kx
的图象经过原点和第一、三象限，则直线
3
y
kx
经过第
象限．
题型6 利用一次函数增减性求值
【例11】已知函数
1
4
3
y
x
，当3
3
x
≤≤时，y 的最大值是
．
【例12】已知
2
1
y
x
，若
3
x
，则y 的取值范围是
．
【技巧归纳】
根据k 的符号判断增减：k>0，y 随x 增大而增大；k<0 则减小。利用增减性可比较函数值大小，或确定取
值范围。如已知函数值范围求自变量范围，先找端点对应x 值，再结合增减性写出区间。注意端点是否取
等。
【变式6-1】已知函数
2
y
x
．当1
1
x
时，y 的取值范围是
【变式6-2】已知一次函数
3
1
y
x
，当1
5
x
时，函数y 的最大值是
．
题型7 根据一次函数增减性求参数
【例13】一次函数
2
4
y
m
x
的函数值y 随x 的增大而减小，则m 的取值范围是
．
【例14】若一次函数
2
3
2
y
m x
的函数值y 随x 的增大而增大，则m 的取值范围是
．
【技巧归纳】
一次函数y=kx+b 中，k 决定增减性：k>0 增，k<0 减。若含参数，列不等式（如增大则k>0）。注意b 不
影响增减。若题目给出函数值随x 增大而减小，则k<0。解出参数范围，注意k≠0。若还要求过象限，需
结合b。
【变式7-1】一次函数
3
1
5
y
a
x
图象上有两点
1
1
,
A x y
、
2
2
,
B x
y
，当
1
2
x
x
时，有
1
2
y
y
，那么a 的
取值范围是
．
【变式7-2】直线
3
1
y
m
x
m
，函数y 随x 的增大而增大，且图象经过一，三，四象限，则m 的取值
范围是
．
题型8 一次函数图象与坐标轴的交点问题
【例15】直线
2
2
y
x
与x 轴的交点坐标为
．与y 轴的交点坐标为
．
【例16】一次函数
2
6
y
x
的图象与x 轴的交点坐标为
，与y 轴的交点坐标为
，与坐标轴
围成的三角形的面积为
．
【技巧归纳】
与y 轴交点：令x=0 得(0,b)。与x 轴交点：令y=0 得(-b/k,0)。若k 不存在（垂直x 轴）不是一次函数。利
用交点可求截距，求三角形面积（底乘高/2）。注意交点坐标符号由k、b 决定。也可由已知交点求解析式。
【变式8-1】在平面直角坐标系xOy 中，直线
2
6
y
x
与x 轴的交点坐标为
，与两坐标轴围成的三角
形的面积为
．
【变式8-2】如图，一次函数
4
8
3
y
x
的图象与x 轴、y 轴的交点分别为A、B，则AB 的长为
．
题型9 一次函数图象的平移问题
【例17】在平面直角坐标系中，若将一次函数
3
y
x
n
的图象向上平移2 个单位长度后，得到一个正比例
函数的图象，则n 的值为
．
【例18】直线
2
2
y
x
向下平移1 个单位长度得到的直线的解析式是
．
【技巧归纳】
平移规律：上下平移，b 变（上加下减）；左右平移，x 变（左加右减）。如y=kx+b 向左平移m 得y=k(x+m)+b。
注意一次函数左右平移时，斜率k 不变，仅改变截距。也可直接看直线与y 轴交点变化。口诀“左加右减，
上加下减”。
【变式9-1】直线
2
3
y
x
向下平移4 个单位可得直线y
，再向左平移2 个单位可得直线y
【变式9-2】已知直线y
kx
b
平行于直线
7
4
y
x
，且在y 轴上的截距为1
，那么该直线的解析式
是
．
题型10 两个一次函数图象共存问题
【例19】在平面直角坐标系中，一次函数
2
3
y
x
的图象大致是（
）
A．
B．
C．
D．
【例20】一次函数y
ax
a
（a 为常数，
0
a
）的图象可能是（
）
A．
B．
C．
D．
【技巧归纳】
分别分析各直线的k、b 符号，判断它们是否可能同时出现在同一坐标系中。先根据假设确定一个的符号范
围，再验证另一个是否矛盾。常通过排除法：如一条斜率正且截距负（过一三四），另一条斜率负且截距
正（过一二四）可能共存。注意b=0 时过原点。
【变式10-1】下列表示一次函数y
kx
b
（,k b 是常数，且
0
kb
）的图象与正比例函数y
bx
的图象可能
的是（
）
A．
B．
C．
D．
【变式10-2】若一次函数
1
1
1
y
k x
b
与
2
2
2
y
k x
b
，满足
1
2
b
b ，且已知
1 2
k k 没有意义，则能大致表示这
两个函数图象的是（）
A．
B．
C．
D．
题型11 一次函数中的规律探究问题
【例21】如图，直线
2
y
x
与y 轴相交于点
0
A ，过点
0
A 作x 轴的平行线交直线
0.5
1
y
x
=
+ 于点
1B ，过点
1B
作y 轴的平行线交直线
2
y
x
于点
1A ，再过点
1A 作x 轴的平行线交直线
0.5
1
y
x
=
+ 于点
2
B ，过点
2
B 作y 轴
的平行线交直线
2
y
x
于点
2
A ，…，依此类推，得到直线
2
y
x
上的点
1A 、2
A ，
3
A ，…，与直线
0.5
1
y
x
=
+
上的点
1
B ，
2
B ，
3
B ，…，则
7
8
A B 的长为
．
【例22】如图，已知直线a：y
x
，直线b：
1
2
y
x
和点
1,0
P
，过点P 作y 轴的平行线交直线a 于点
1P ，
过点
1P 作x 轴的平行线交直线b 于点
2P ，过点
2P 作y 轴的平行线交直线a 于点
3P ，过点
3P 作x 轴的平行线
交直线b 于点
4P ……按此作法进行下去，则点
100
P 的横坐标为
．
【技巧归纳】
观察直线族中k 或b 按等差、等比变化，写出通项公式。如直线y=nx+n²，研究其过定点或交点规律。也
可结合坐标变化，找横纵坐标关系。先算前几项，归纳一般式，再代入验证。注意系数中的n 为参数，分
类讨论。
【变式11-1】正方形
1
1
1
A B C O ，
2
2
2
1
A B C C ，
3
3
3
2
A B C C L 按如图的方式放置，
1A ，
2
A ，
3A 和点
1
C ，
2
C ，
3
C
分别在直线
2
y
x
和x 轴上，则点
2023
C
的横坐标是
．
【变式11-2】如图，已知直线:
2
l y
x
，分别过x 轴上的点
1
2
1,0
2,0
,0
n
A
A
A
n
、
、、
，作垂直于x 轴的
直线交l 于点
1
2
n
B
B
B
、
、、
，将
1
1
OA B
，四边形
1
2
2
1
A A B B
、、四边形
n 1
n
n
n 1
A
A B B
的面积依次记为
1
2
n
S
S
S
、、、
，则
n
S
．
题型12 画一次函数的图象
【例23】在平面直角坐标系中，一次函数
4
y
x
的图象与y 轴交于点A ．
(1)求点A 的坐标；
(2)在图中画出该一次函数的图象．
【例24】如图，在平面直角坐标系xOy 中，函数
3
y
x
的图象与x 轴交于点A，与y 轴交于点B，直线y
kx
与
3
y
x
的图象交于第一象限某一点C．
(1)请在平面直角坐标系内画出函数
3
y
x
的图象；
(2)若
3
AOB
BOC
S
S
△
△
，求k 的值；
【技巧归纳】
一次函数图象是直线，用两点法：取x=0 得(0,b)，取y=0 得(-b/k,0)。若b=0，取(0,0)和(1,k)。连线并向两
端延长，注意标明坐标轴、解析式。k 决定倾斜方向，b 决定上下位置。实际画图选刻度合适，使直线完整。
【变式12-1】已知一次函数
2
2
y
x
．
x
0
_______
y
_______
0
(1)请完成下列表格，并在如图所示平面直角坐标系中画出这个函数的图象；
(2)请根据函数图象直接写出当
2
y 时，x 的取值范围．
【变式12-2】画出函数
2
1
y
x
的图象．
x
…
1
0
1
…
y
…
a
1
1
…
(1)根据列表，a ．
(2)根据列表，在如图所示的平面直角坐标系中描点并连接．
(3)点
3, 5
A
，
2, 3
B
，
3,5
C
中，在函数
2
1
y
x
图象上的点是（填“ A ”“ B ”或“C ”）．
(4)若点
,9
P m
在函数
2
1
y
x
的图象上，求出m 的值．
一、单选题
1．已知函数为
10
10
y
x
x
，则（
）
A．�= 1 时，
2
y
B．
2
1
y
x
的图象与该函数的图象没有交点
C．y 随�的增大而增大
D．该函数因变量y 的取值范围为1
2
y
2．一次函数
5
y
x
m
的图象上有两点�1, �1
，
2
3,
B
y
，�1与�2的大小关系是（
）
A．�1 > �2
B．�1 < �2
C．�1 = �2
D．无法确定
3．对于一次函数�=−2�+ 4，下列结论错误的是（
）
A．函数的图象不经过第三象限
B．函数的图象与�轴的交点坐标是
2,0
C．函数的图象向右平移2 个单位向下平移4 个单位长度得
2
4
y
x
的图象
D．函数值随自变量的增大而减小
4．当2
5
x
时，一次函数
1
1
y
m
x
m
最小值为6，则实数�的值为（
）
A．0
B．1
C．0 或1
D．0 或−1
5．下列选项中，表示一次函数�= ��+ �与正比例函数y
mnx
（�，n 为常数，且
0
mn
）图像的是（
）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
6．若直线
2
3
y
k
x
k
（k 是常数）的图像不经过第三象限，则k 的取值范围为________．
7．已知一次函数
2
y
kx
（k 是常数，
0
k
），y 随x 的增大而减小，写出一个符合条件的k 的值为________．
8．已知点
1
2
1,
, 2,
y
y
在一次函数
2
1
y
k x
（k 为常数且�≠0）的图象上，则：�1______�2．（填“>”“=”
或“<”）
9．如图，一次函数
2
2
3
y
x
的图象与�轴交于点�，与y 轴交于点B，则△���的面积为___________．
10．如图，在平面直角坐标系中，函数y
x
和
2
y
x
的图象分别为直线�1，�2，过点−1,0 作x 轴的垂线
交�2于点�1…过点�1作y 轴的垂线交�1于点�2，过点�2作x 轴的垂线交�2于点�3，过点�3作y 轴的垂线交�1
于点�4，…依次进行下去，则点�2026的坐标是______．
三、解答题
11．已知正比例函数�= 2�的图像经过点�，且点�的横坐标为2．
(1)求点�的坐标；
(2)已知点�在�轴上，且
8
AOP
S
△
，求点�的坐标．
12．已知一次函数
1
2
4
y
m
x
m
（�为常数）
(1)当函数是正比例函数时，�的值为_______．
(2)当�的值为______时，函数图象与直线
2
1
y
x
平行；
(3)当函数图象不经过第一象限时，�的取值范围是________；
(4)当−2 ≤�≤4 时，一次函数的最大值为4，求�的值．
13．如图，已知直线1 :
4
l
y
kx
交�轴于点
6,0
A
，交y 轴于点�．
(1)直接写出k ；
(2)直线2 :
4
l
y
nx
与�轴，y 轴分别相交于点D ，E ，与直线�1相交于点C ，若
ACD
ODE
S
S
，求n 的值；
(3)点�在直线��上，若
45
BAO
MOA
，求点�坐标．
14．为了画一次函数�=−2�+ 4 的图象，嘉嘉在列表过程中的两组对应值如下．
x
3
y
2
(1)①将表格补充完整；
②在坐标系中描出以表格中x，y 的值为坐标的两个点，并画出一次函数�=−2�+ 4 的图象；
(2)若点��1, �1 ，��2, �2 在一次函数�=−2�+ 4 的图象上，当�1 > �2时，�1______�2（填“>”“<”或“=”）．
x
1
3
y
2
−2
②画出一次函数�=−2�+ 4 的图象，如图所示：
15．如图，在正方形ABCD中，E 为��的中点，以A 为原点，��、��所在直线为x 轴、y 轴，建立平面直
角坐标系，
4,4
C
．点P 从点A 出发，沿�→�→�→�运动，点P 的速度是每秒2 个单位长度，设点P
运动的时间为t 秒，△���的面积为S．
(1)写出S 关于t 的函数解析式：当0
2
t
时，函数解析式为__________；当2
4
t
时，函数解析式为
4
S
；
当4
6
t
时，函数解析式为__________；
(2)通过取点、画图、测量，得到了s 与t 的几组值，如下表：
t
0
6
t
0
1
2
3
4
5
6
S
0
m
4
n
4
2
0
请直接写出�=______，n ______．
(3)在平面直角坐标系中，描出以补全后的表中各组对应值为坐标的点，画出该函数的图象：
(4)当t ______时，
3
APE
S
△
．
16．如图，已知一次函数�=
1
2 �+ 2 与�轴相交于点�，与y 轴交于点�．
(1)求出点�和点�的坐标．
(2)若点C 的坐标是1,0 ，
①△���是_____三角形（按角分类）．
②点�是�轴上的点，若
1
2
ABP
ABC
S
S
△
△
，请求出点�的坐标．
③在�轴是否存在点D ，使得△���是等腰三角形？如果存在，请直接写出点D 的坐标，如果不存在，请说
明理由．
