文档文本内容
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第17 讲角
内容导航
01 预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向
02 教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理
03 题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解
题型1 角的概念和表示
题型2 角的单位与角度制
题型3 钟面角
题型4 与方位角有关的计算题
题型5 角的比较
题型6 三角板中角度计算问题
题型7 角平分线的有关计算
题型8 角n 等分线的有关计算
04 过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固
关键词
学习目标导航
角、顶点、边、表示方
法、度分秒换算、角平
分线、角度计算。
1. 理解角的两种定义（静态：有公共端点的两条射线；动态：一条射线绕端
点旋转），能说出角的构成要素。
2. 掌握角的四种表示方法（三字母、单字母、数字、希腊字母），能根据图
形选择合适的方法规范表示。
3. 掌握角的度量单位（度、分、秒）及其换算（60 进制），能正确使用量角
器度量角的大小。
4. 理解角平分线的概念，掌握其符号语言表示，能运用角平分线进行简单的
角度计算。
学习重点：角的概念及四种表示方法，度、分、秒之间的换算，角平分线的概念与应用。
学习难点：根据不同情境正确选择角的表示方法（特别是在顶点处有多个角时），以及度、分、秒的
换算与角度计算（含和差倍分），运用角平分线进行推理计算。
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知｜识｜框｜架
知｜识｜精｜讲
知识点01 角的概念
1.角的定义：
（1）定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两
条边．如图1 所示，角的顶点是点O，边是射线OA、OB．
（2）定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部．如图2
所示，射线OA 绕它的端点O 旋转到OB 的位置时，形成的图形叫做角，起始位置OA 是角的始边，终止位
置OB 是角的终边．
注意：（1）两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关．
（2）平角与周角：如图1 所示射线OA 绕点O 旋转，当终止位置OB 和起始位置OA 成一条直线时，所形
成的角叫做平角，如图2 所示继续旋转，OB 和OA 重合时，所形成的角叫做周角．
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2.角的表示法：角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种：
注意：用数字或小写希腊字母表示角时，要在靠近角的顶点处加上弧线，且注上阿拉伯数字或小写希腊字
母．
3.角的画法
（1）用三角板可以画出30°、45°、60°、90°等特殊角．
（2）用量角器可以画出任意给定度数的角．
（3）利用尺规作图可以画一个角等于已知角．
【易错提醒】
角的概念易错警示：角由两条有公共端点的射线组成。注意：角的表示（∠AOB，顶点字母在中间）。角
的大小与边的长短无关，只与两条射线张开的程度有关。一周角=2 平角=4 直角。0°<锐角<90°<钝角<180°。
勿混淆角与射线方向。
即时即练1．在下列四个图形中，能用
AOB
，
O
，
1
三种方法表示同一个角的图形是（
）
A．
B．
C．
D．
2．如图，用三个大写字母表示所标记的各角．
（1）
1
可以表示为
；
（2）
2
可以表示为
；
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（3）
3
可以表示为
．
知识点02 角度制及其换算
角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成360 等份，每一份就是1°的角，1°的1
60
为1 分，记作
“1′”，1′的1
60
为1 秒，记作“1″”．这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制．
1 周角＝360°，1 平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″．
注意：在进行有关度分秒的计算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减，不够除的要借位，
从高一位借的单位要化为低位的单位后再进行运算，在相乘或相加时，当低位得数大于60 时要向高一位进
位．
【易错提醒】
角度制换算易错警示：1°=60′，1′=60″。换算时乘60 或除60，注意借位（如化小单位用乘法，化大单位用
除法）。计算时度、分、秒分别运算，满60 进1，不够借1 变60。勿与时间进制（60）混淆，但进制相同，
注意单位符号。
即时即练1．1.16
′
″；45 57 18
知识点03 钟表上有关夹角问题
钟表中共有12 个大格，把周角12 等分、每个大格对应30°的角，分针1 分钟转6°，时针每小时转30°，
时针1 分钟转0.5°，利用这些关系，可帮助我们解决钟表中角度的计算问题．
【易错提醒】
钟表夹角易错警示：分针每分钟走6°，时针每分钟走0.5°。计算夹角时，先求两针与12 点方向夹角，再相
减取绝对值（若>180°则用360°-）。注意：时针位置要考虑小时和分钟（如3:30 时针在3 和4 中间）。勿
忽略分针影响时针。
即时即练1．小明每天下午5 20
：放学，此时钟面上时针和分针的夹角是
．
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知识点04 方位角
在航行和测绘等工作中，经常要用到表示方向的角．例如，图中射线OA 的方向是北偏东60°；射线OB
的方向是南偏西30°．这里的“北偏东60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方位角．
注意：（1）正东，正西，正南，正北4 个方向不需要用角度来表示．
（2）方位角必须以正北和正南方向作为“基准”，“北偏东60°”一般不说成“东偏北30°” ．
（3）在同一问题中观察点可能不止一个，在不同的观测点都要画出表示方向的“十字线”，确定其观察点的
正东、正西、正南、正北的方向．
（4）图中的点O 是观测点，所有方向线(射线)都必须以O 为端点．
【易错提醒】
方位角易错警示：以正北或正南为基准，描述为“北偏东×°”或“南偏西×°”。注意：要先标出方向线（上北下
南），再量角度。如“北偏东30°”指从正北向东转30°。勿与“东偏北”混淆（基准不同）。方位角通常小于
90°。注意参照点。
即时即练1．如图是依依家到学校的行走路线图．
(1)小公园在依依家的偏米处．
(2)小公园在银行的偏米处．
(3)学校西偏南20，距离250m 处是超市，请用★标出超市的位置．（1cm表示100m ）
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知识点05 角平分线
从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，OC 是∠AOB
的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，∠AOC＝∠BOC = 1
2
∠AOB．
注意：由角平分线的概念产生的合情推理其思维框架与线段中点的思维框架一样．
【易错提醒】
角平分线易错警示：从角的顶点出发的一条射线，把角分成两个相等的角。注意：角平分线是**射线**，
不是线段或直线。用尺规作图时需保留痕迹。若点P 在角平分线上，则到角两边距离相等（可用于计算）。
勿与中线混淆。
即时即练1．如图，已知OC 是
AOB
内部任意的一条射线，OM 、ON 分别是
AOC
，
BOC
的平分线．
(1)若
20 ,
30
AOM
BON
，求
MON
的度数；
(2)若
120
AOB
，则
MON
；若
AOB
，则
MON
．
知识点06 角的运算
如图所示，∠AOB 是∠1 与∠2 的和，记作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1 是∠AOB 与∠2 的差，记作：∠1＝∠AOB-
∠2．
注意：(1)用量角器量角和画角的一般步骤：①对中(角的顶点与量角器的中心对齐)；②重合(一边与刻度
尺上的零度线重合)；③读数(读出另一边所在线的度数)．
(2) 利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根据角的和、差关系，还可以画出15°，75°，
105°，120°，135°，150°，165°的角．
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【易错提醒】
角的运算易错警示：度分秒加减时，低位满60 进1，不够借1 当60。乘法时度分秒分别乘，满60 进位；
除法从度开始除，余数化分再除。注意：单位统一，结果要化简到度分秒形式（如\(1°=60'=3600''\)）。勿
用十进制直接加减。
即时即练1．如图，已知OC 是
AOB
内部的一条射线，图中有三个角：
AOB
，
AOC
和
BOC
，当
其中一个角是另一个角的两倍时，称射线OC 为
AOB
的“巧分线”．如果
72
MPN
，PQ是
MPN
的“巧
分线”，则
MPQ
的度数为
．
知识点07 角的比较
角的大小比较与线段的大小比较相类似，方法有两种：
方法1：度量比较法．先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小．
方法2：叠合比较法．把其中的一个角移到另一个角上作比较．
如比较∠AOB 和∠A′O′B′的大小：如下图，由图（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由图(2)可得∠AOB
＝∠A′O′B′；由图(3)可得∠AOB＞∠A′O′B′．
【易错提醒】
角的比较易错警示：可用度量法（用量角器）或叠合法（顶点和一边重合，看另一边位置）。注意：角的
大小与边长短无关，只与张开程度有关。叠合法时需确保顶点及一边重合，单位统一。钝角>直角>锐角。
勿仅凭视觉判断。
即时即练1．已知
1
76 24
，
2
76.24
，
3
76.4
，下列说法正确的是（
）
A．
1
2
B．
1
3
C．
1
2
D．
2
3
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题型1 角的概念和表示
【例1】下列说法正确的是（
）
A．角是由一条线段绕着它的一个端点旋转而形成的图形
B．角的大小和角的开口大小无关
C．由两条具有公共端点的射线组成的图形叫作角
D．角的两边越长，角就越大
【例2】下列语句中，不正确的个数是（
）
①由两条射线组成的图形叫做角；②角可以看作由一条射线绕着其端点从一个位置旋转到另一个位置所形
成的图形；③大于90的角是钝角；④钝角的一半是锐角．
A．1
B．2
C．3
D．4
【技巧归纳】
角由两条有公共端点的射线组成，顶点为公共端点。表示：∠AOB（顶点在中间）或∠O（若仅一个角）。
注意写法顺序，射线OA 到OB。也可用数字或希腊字母。
【变式1-1】图中能用
1
ACB
C
，
，
三种方法表示同一个角的是（
）
A．
B．
C．
D．
【变式1-2】下列四个图中，能用
1
，
AOB
，
O
三种方法表示同一个角的是（
）
A．
B．
C．
D．
题型2 角的单位与角度制
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【例3】35.15
'
"；12 15 36
．
【例4】（1）34.37
'
"；
（2）62.125
'
"．
【技巧归纳】
角度制：1°=60′，1′=60″。换算时，大化小乘60，小化大除以60。如1.2°=1°12′，则0.2×60=12′。反向：
35′≈0.583°。计算角度加减时，度分秒分别运算，满60 进1，不够借1。注意进制为60，与十进制不同。
可用小数表示角度简化运算。常见于钟表问题。
【变式2-1】单位换算：
（1）4.5
' ；
（2）4680ⅱ=
；
（3）52.36
'
'' ；
（4）49 31 21
．
【变式2-2】计算（用度、分、秒表示）：
（1）103.3
176 42
98.34
．
（2）24 22 36
3
．
（3）147 45
5
．
（4）180
18 15
6
．
题型3 钟面角
【例5】2 时20 分时，钟面上时针与分针所成的角是
．
【例6】在9 时40 分这一刻，时针和分针的夹角为
度．
【技巧归纳】
钟面一圈360°，每大格30°，每小格6°。时针速度0.5°/分，分针6°/分。求某时刻两针夹角：先算分针角度
=6m，时针=30h+0.5m（h 为小时，m 为分钟）。夹角=两者差取绝对值，若>180°则取360°-差。夹角不大
于180°。注意整点时刻，如3:00 夹角90°。审清时刻。
【变式3-1】如图，在地面上有一个钟，钟面的12 个粗线段刻度是整点时针（短针）所指的位置，根据图
中时针与分针（长针）所指的位置，该钟面所显示的时刻是
时
分．
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【变式3-2】每天上午9:35 “阳光大课间”都如约而至，此时时针与分针所夹的角为
．
题型4 与方位角有关的计算题
【例7】如图，OA方向是北偏东
，
AOB
．
【例8】如图，OA的方向是北偏东21，OB 的方向是北偏西27．若
2
AOC
AOB
，则OC 的方向
是
．
【技巧归纳】
方位角从正北顺时针度量，范围0°~360°。表示：北偏东30°即方位角30°，南偏西60°即240°。计算两方位
角夹角：先化为同一参考，差绝对值，若>180°则用360°-差。实际中常画方位图，用南北方向作基准。如A
在B 北偏东40°，B 在A 南偏西40°。注意互余、互补关系。
【变式4-1】如图，早上李老师开车从家出发去学校，以60 千米/小时的速度沿南偏东30方向行驶20 分钟
到达学校．下班后李老师沿同一路线回家，则李老师行驶的方向是
，路程是
千米．
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【变式4-2】如图，某海域有三个小岛A
B
O
，，
，在小岛O处观测到小岛A 在它北偏东58的方向上，观测
到小岛B 在它南偏东42的方向上，则
AOB
的度数大小是
．
题型5 角的比较
【例9】比较大小：
'
38 15
38.15．（填“>”、“<”或“=”）
【例10】若
10.2
，
10 2
，则
．（填“ ”“”或“ ”）
【技巧归纳】
角的大小比较：度量法（用量角器）、叠合法（将顶点及一边重合，看另一边位置）。注意角的大小与边
长短无关。也可估算：锐角<90°，直角=90°，钝角>90°。计算差：大角减小角。若用度数表示，直接比较
数值。如30°<60°。在图形中，可通过全等或相似判断。常用估测。
【变式5-1】若
30.4
A
，
'
30 22
B
，则
A
B
．（填“>”“<”或“=”）
【变式5-2】若
50 20
A
，
50.5
B
，则
A
(
B
填“ ”“ ”或“”).
题型6 三角板中角度计算问题
【例11】如图，将一副三角尺的两个锐角（45角和60角）的顶点叠放在一起，没有重叠的部分分别记作
1
和
2
，若
1
23
，则
2
的度数为
．
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【例12】如图，将一个直角三角板的30角的顶点与另一个直角三角板的直角顶点重合若
1
20 30
，则
EAB
．
【技巧归纳】
常用三角板角度：45°-45°-90°和30°-60°-90°。拼角时，角度相加减可得15°的整数倍（如30+45=75，45-30=15）。
求组合角时，直接相加或相减。注意三角板平行边可产生同位角、内错角。若重叠，用已知角减重叠角。
可画出示意图辅助计算。拼图时考虑公共边。
【变式6-1】如图，将一个三角板60角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，若DA 平分
BAC
，则
CAE
的度数是
．
【变式6-2】一副三角板按如图方式摆放，点
,
,
B C D 在同一条直线上，
45 ,
30
A
E
．现将三角板DCE
绕点C 逆时针旋转一周，当AC 所在直线恰好平分
DCE
时，三角板DCE 转过的角度为
．
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题型7 角平分线的有关计算
【例13】如图，点O在直线AB 上，OC
OD
．
(1)若OC 平分
BOE
，
25
BOD
，则
AOE
________．
(2)若
BOD
为锐角，
2
AOE
BOD
，请说明OC 平分
BOE
．
【例14】如图，OC 是
AOD
的平分线，OE 是
BOD
的平分线，
130
AOB
．
(1)求
COE
的度数是多少？
(2)如果
20
COD
，求BOE 的度数．
【技巧归纳】
角平分线将角分成两个相等角，OC 平分∠AOB，则∠AOC=∠COB=½∠AOB。若给出角平分线，可用倍数关
系求角。多个角平分线时，设未知数列方程。如OC、OD 分别平分∠AOB 和∠BOC，则∠AOD=¾∠AOB。
注意角平分线的定义，常用于几何证明。设x 表示部分角更简便。
【变式7-1】已知OC 是过点O的一条射线，OD
OE
，
分别平分
AOC
BOC
，
．
(1)当射线OC 在
AOB
的内部时
①如图①，若
80
AOB
，则
DOE
_________；
②如图②，若
AOB
x
，求
DOE
的度数（用含x 的式子表示）；
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(2)当射线OC 在
AOB
的外部时，
AOB
x
，请借助备用图探究
DOE
的度数是________（直接写出答
案）
【变式7-2】【问题背景】已知OC 是
AOB
内部的一条射线，且
3
AOB
AOC
．
【问题再现】（1）如图1，若
120
AOB
，OM 平分
AOC
，ON 平分
AOB
．求
MON
的度数；
【问题推广】
（2）如图2，
90
AOB
，从点O 出发在
BOC
内引射线OD，满足
BOC
AOC
COD
．若
OM 平分
COD
．求
BOM
的度数；
【拓展提升】（3）如图3，在
AOC
的内部作射线OP ，在
BOC
的内部作射线OQ ．若
1 2
COP
BOQ
：
= ：；
求
AOP
和COQ 的数量关系．
题型8 角n 等分线的有关计算
【例15】在
AOB
的内部作射线OC ，射线OC 把
AOB
分成两个角，分别为
AOC
和
BOC
，若
1
3
AOC
AOB
或
1
3
BOC
AOB
，则称射线OC 为
AOB
的三等分线．若
60
AOB
，射线OC 为
AOB
的三等分线，则
AOC
的度数为（
）
A．20
B．40
C．20或40
D．20或30
【技巧归纳】
n 等分线将角分成n 个相等角。若射线OC 是∠AOB 的m 等分线（从OA 起第m 条），则∠AOC=m/n·∠AOB。
已知比例可设每份角为x，列方程。注意等分线位置顺序。多个等分线时，依次累加。如三等分线：∠AOC=1/3
∠AOB，∠COD=1/3，∠DOB=1/3。常设份数求值。
【变式8-1】定义：从
AOB
的顶点出发，在角的内部引一条射线OC ，把
AOB
分成1: 2 的两部分，射线
OC 叫做
AOB
的三等分线．若在
MON
中，射线OP 是
MON
的三等分线，射线OQ 是
MOP
的三等分
线，设
MOQ
x
，则
MON
用含x 的代数式表示为
．
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一、单选题
1．下列图形中，能用
1
，
ACB
，
C
三种方法表示同一个角的是（
）
A．
B．
C．
D．
2．下列换算中，正确的是（
）
A．83.5
83 50
B．57.28
57 16 48
C．19 5 24
19 9
．
D．0.25
1500
3．将一副常规三角尺（厚度不计）如图摆放，那么
等于（
）
A．30
B．45
C．55
D．⧰ι
4．如图，ܱܥ是
AOB
的平分线，ܱܦ是
BOC
的平分线，
140
AOB
度，则
AOD
的度数是（
）
A．145
B．160
C．75
D．105
5．如图，图中是某航海区域的情况，在灯塔ܱ
附近有A，B，C，D，E，F，6 座海轮，其中F 到灯塔的距
离为10km ，海轮F 在灯塔和海轮ܦ的中点处．且
42 30
AOD
，
78.5
DOE
AOC
．则下列说法正
确的是（
）
①若海轮F 的速度为30km / h ，则海轮F 抵达灯塔最少需要20 分钟；
②
43
EOC
；
③
59
BOE
；
④C 在灯塔的北偏东11 30
的方向上．
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A．①④
B．①②
C．①③④
D．①②③④
二、填空题
6．计算：36 25
42 56
_____________．
7．已知
10.5
，
'
10 20
，则
_______
（填“<”或“>”或“=”）．
8．3：30 时，钟面上时针和分针组成的角是________角；_________时整或________时整，时针和分针的夹
角是直角．
9．如图，已知
80
ABC
，射线BD 在
ABC
的内部，且
3
ABD
CBD
，射线ܤܧ是平面上绕点B 旋转
的一条动射线，BF 平分
DBE
．若
0
60
ABE
，则
CBF
的度数为______．（用含的式子
表示）
10．定义：过角的顶点在角的内部作一条射线，得到三个角，若这三个角中有一个角是另外一个角的两倍，
则称这条射线为这个角的“二倍角线”．如图，
60
AOB
，射线ܱ
ܥ为
AOB
的“二倍角线”，则
AOC
______ ．
三、解答题
11．计算：
(1)
'
'
'
'
85 16
18 47
35 22
26 52
．
(2)
'
''
'
''
53 4030
2
72 57 28
2
．
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12．如图，ܣ、ܱ、ܤ在一条直线上，已知ܱ
ܦ平分
BOC
，OE 是
COD
内部的一条射线．
(1)若
60
BOD
，
35
DOE
，求
COE
的度数；
(2)若
80
AOE
，
2
DOE
COE
，求
BOD
的度数．
13．解答下列问题：
(1)尺规作图，在
AOB
的外部
．．作
BOD
，使得
BOD
AOC
（要求只保留作图痕迹，不写作法）；
(2)
120
AOB
，设
AOC
x
，
①用x 表示
BOD
；
②求证：
120
COD
；
③探究
AOD
与
BOC
的数量关系，并说明理由．
14．已知
120
AOB
，过点O 作射线OC ，设
AOC
，将射线OC 逆时针旋转一定的角度得到射线ܱ
ܦ．
(1)如图1，若
60
0
60
COD
，
，求
AOD
BOC
的度数；
(2)如图2，若
60
60
120
COD
，
．
①求
BOD
的度数（用含α的式子表示）；
②若OE 平分
BOC
，试探究
DOE
与
AOC
的数量关系，并说明理由．
15．【实践操作】三角尺中的数学实践活动课上，“奋进”小组将一副直角三角尺的直角顶点叠放在一起，
如图ͳ，使直角顶点重合于点C ．
【问题发现】
18 / 18
(1)①填空：如图ͳ，若
145
ACB
，则
ACE
的度数是_____，DCB
的度数_____，ECD
的度数是______．
②如图ͳ，你发现
ACE
与
DCB
的大小有何关系？
ACB
与
ECD
的大小又有何关系？请直接写出你发
现的结论．
【类比探究】
(2)如图2，当ACD与BCE 没有重合部分时，上述②中你发现的结论是否还依然成立？请说明理由．
16．特例感知：
（1）如图1，已知线段
14
AB
，点C 为线段ܣܤ上的一个动点，点ܦ，ܧ分别是AC 和BC 的中点．
①若
4
AC
，则线段DE _________；
②若
14
AC
a a
，则线段DE _________；
知识迁移：
（2）我们发现角的很多规律和线段一样，如图2，若
130
AOB
，OC 是
AOB
内部的一条射线，射线OM
平分
AOC
，射线ON 平分
BOC
，
MON
_________；
拓展探究：
（3）如图3，已知
COD
在
AOB
内部，
180
AOB
，
28
COD
∠
，且
3
DOM
AOM
，
3
CON
BON
，求
MON
（用含的式子表示）．
综合提升：
（4）如图4，若
126
AOB
，
60
COD
，射线OE 、OF 分别在
AOC
和
BOD
内部，且
1
3
EOC
AOC
，
1
3
DOF
BOD
，
EOF
_________．（直接写出答案）
