文档文本内容
第19 讲 认识方程
内容导航
01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向
02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理
03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解
题型1 判断各式是否是方程
题型2 列方程
题型3 判断是否是一元一次方程
题型4 根据一元一次方程求参数的值
题型5 判断是否是一元一次方程的解
题型6 已知一元一次方程的解求参数的值
题型7 已知一元一次方程的解求代数式的值
题型8 等式的基本性质
04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固
关键词
学习目标导航
方程、等式、性质
1、性质2、变形、化
归、等量关系。
1. 理解方程的概念（含有未知数的等式），能区分方程与等式、代数式的区
别。
2. 掌握等式的两个基本性质：性质1（两边同加减同一数或整式，仍相
等）；性质2（两边同乘或除以同一不为0 的数，仍相等）。
3. 能运用等式的性质对等式进行变形，解释变形依据，初步体会化归思想。
4. 能根据实际问题中的等量关系列出方程，感受方程作为刻画数量关系的工
具价值。
学习重点：方程的概念，等式的两条基本性质，以及运用性质进行等式变形。
学习难点：理解等式性质2 中“除以同一个不为0 的数”的必要性，以及运用性质变形时符号和运算
的正确处理（如除以一个数时注意符号变化）。
知｜识｜框｜架
知识点
01
方程的有关概念
定义：含有未知数的等式叫做方程.
【说明】判断一个式子是不是方程，只需看两点：一是等式；二是含有未知数．
【易错提醒】
方程概念易错警示：含有未知数的等式。注意：必须同时满足“等式”和“含未知数”两个条件。如2x+3
（不含等号）不是方程，3+5=8（不含未知数）也不是方程。方程的解需代入验证。
即时即练1．下列式子中，是方程的有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据方程
含有未知数的等式
这一定义，判断选项是否同时满足
含有未知数
是等式
两
“
”
“
”“
”
个条件即可求解．
【详解】解：A 、
不是等式，不满足条件，故A 错误；
B、
是不等式，不是等式，不满足条件，故B 错误；
C、
是等式，但不含未知数，不满足条件，故C 错误；
D、
既含有未知数
，又是等式，满足方程的定义，故D 正确．
知识点
02
一元一次方程的概念
定义：只含有一个未知数（元），并且未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程.
【说明】
元
是指未知数，
次
是指未知数的次数，一元一次方程满足条件：
“
”
“
”
首先是一个方程
①
；
其次是必须只含有一个未知数
②
；
未知数的指数是
③
1；
分母中不含有未知数．
④
知｜识｜精｜讲
【易错提醒】
一元一次方程概念易错警示：必须同时满足：整式、一个未知数、未知数次数为1、且未知数系数不为
0。如 x2-1=0 是二次，1
x =1 是分式，0×x=5 无解，均不是。化简后判断。
即时即练1．下列各式
；②
；
；
中，是一元一次
方程的有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】A
【详解】解：由一元一次方程的定义可得，只有
是一元一次方程．
2．已知
是关于
的一元一次方程，则
的值为__________．
【答案】
【分析】本题考查一元一次方程的定义，根据一元一次方程的定义，未知数的次数为1且一次项系数不为
，据此列出等式求解即可．
【详解】解：由题意得，
，且
．
解
得
，即a=2或a=−2．
又
．
因此a=2．
知识点
03
方程的
解、解方程
1.方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解.
2.解方程：求方程的解的过程.
【易错提醒】
方程的解与解方程易错警示：方程的解是使等式成立的未知数的值（具体数）；解方程是求这个值的过
程。注意：代入检验时要两边同时计算，必须使左右相等。勿将化简过程误认为解。
即时即练1．x =3是下列哪个方程的解（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了一元一次方程的解的定义，一元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的
值，据此把x =3代入对应的方程中，计算出对应方程左边的值，看对应方程的左右两边是否相等即可得到
答案．
【详解】解：A、当x =3时，方程
的左边
，此时原方程的左右两边不相等，故x =3
不是方程
的解，不符合题意；
B、当x =3时，方程
的左边
，此时原方程的左右两边相等，故x =3是方程
的解，符合题意；
C、当x =3时，方程
的左边
，此时原方程的左右两边不相等，故x =3不是方程
的解，不符合题意；
D、当x =3时，方程
的左边
，此时原方程的左右两边不相等，故x =3不是
方程
的解，不符合题意；
故选：B．
知识点
04
等式的性质
性质1：等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；
性质2：等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．
【易错提醒】
等式性质易错警示：性质1：两边同加（减）同一个数（或式子），等式仍成立。性质2：两边同乘同一
个数，或除以**同一个不为0 的数**，等式仍成立。注意：除以含未知数的式子可能失根，需考虑是否为
0。勿在除法中忽略非零条件。
即时即练1．根据等式的基本性质，下列结论正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若x +a= y −a，则
D．若
，则
【答案】A
【分析】等式性质1：等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍得等式；等式性质2：等式两边乘同一
个数，或除以同一个不为零的数，结果仍得等式．
【详解】解：A．
有意义，
，根据等式性质2，等式两边同乘
，可得
，故A 正确；
B．若
，需
时，才有
；当
时，对任意
，
等式都成立，因此该结论不
一定成立，故B 错误；
C．若x +a= y −a，整理得
，仅当a=0时才有
，故C 错误；
D．若
，当x≠0，y ≠0时，需a=b才有
；当
或
中任意一个为0 时，对任意
，b该等式都
成立，因此该结论不一定成立，故D 错误．
题型1 判断各式是否是方程
【例1】下面式子中，是方程的是（ ）．
A．5−x
B．
C．1−2 x =0.5
D．4−3 x<5
【答案】C
【详解】解：A．5−x含有未知数但是不是等式，不是方程，不符合题意；
B．
是等式但是不含有未知数，不是方程，不符合题意；
C．1−2 x =0.5是等式并且含有未知数，是方程，符合题意；
D．4−3 x<5含有未知数但不是等式，不是方程，不符合题意．
【例2】下列式子属于方程的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】本题考查方程的定义，判断式子是否为方程需同时满足两个条件，一是含有未知数，二是等式，
两个条件缺一不可，据此判断各选项即可.
【详解】解：含有未知数的等式叫做方程.
选项
∵
A
是等式，但不含未知数，∴A 不符合要求；
选项
∵
B
含有未知数，但不是等式，∴B 不符合要求；
选项
∵
C
含有未知数，但不是等式，属于不等式，∴C 不符合要求；
选项
∵
D
是含有未知数的等式，符合方程的定义，∴D 符合要求.
【技巧归纳】
方程：含有未知数的等式。判断要点：有等号“=”，且含有字母（未知数）。如2x+1=0 是方程，2+3=5
不是（无未知数），2x>1 不是（不等式）。注意等式两边可有代数式。有时含参数，需要区分已知数和未
知数。直接找“=”和字母。
【变式1-1】下列式子中是方程的是（ ）
A．
B．
C．x =5
D．
【答案】C
【分析】根据方程需同时满足
含有未知数
且
是等式
两个条件，逐一判断选项即可．
“
”
“
”
【详解】解：A、
不是等式，不是方程，错误；
B、
是等式，但不含未知数，不是方程，错误；
C、
既是等式，又含有未知数，是方程，正确；
D、
不是等式，不是方程，错误．
【变式1-2】下列各式中，①
；②
；③x =1；④
；⑤
，是方程的有
（ ）个
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【分析】根据含有未知数的等式叫做方程判断即可；
【详解】根据方程的定义可知：
，x =1是方程，有2个．
题型2 列方程
【例3】若一个数x的3倍与的和等于10，据此可列方程为：________．
【答案】
【分析】根据题目描述的数量关系，列出一元一次方程即可．
【详解】解：由题意可列方程为
．
【例4】代数式
比代数式
的值小1，用方程表示为_______．
【答案】
【分析】根据题意找出等量关系，将题目中的文字描述转化为等式，代入对应代数式即可得到方程．
【详解】解：由题意可知，代数式
比代数式
的值小1，
可得等量关系：
等于
减1，
因此列方程得：
．
【技巧归纳】
找等量关系（关键词：是、等于、比…多/少、倍、和、差）。设未知数，用代数式表示相关量，根据等量
关系列方程。注意单位统一，分清已知与未知。多个条件时选择核心关系列式。检验方程是否反映题意。
列完后检查左右意义一致。
【变式2-1】一个数x的相反数加上这个数的
等于12，根据题意可列方程为___________．
【答案】
【分析】本题考查了列一元一次方程．
根据题意，数x的相反数为
，加上x的
即
，由此列方程即可．
【详解】解：数x的相反数是
，这个数的
是3
4 x，
根据题意可得
．
故答案为：
．
【变式2-2】如图，一种常见的足球表面是由若干块黑皮和白皮缝合而成的，其中黑皮为正五边形，白皮
为正六边形，已知黑皮和白皮共有
块，每块黑皮周围有块白皮，每块白皮周围有块黑皮．若缝制这
样一个足球需要黑皮x 块，由题意可列方程为______．
【答案】
【分析】本题考查的知识点是由实际问题抽象出一元一次方程，解题关键是读懂题意，设出未知数，找出
合适的等量关系列方程．设缝制这样一个足球需要x 块黑皮，
块白皮，根据黑皮和白皮共有
块，
每块黑皮周围有块白皮，每块白皮周围有块黑皮，列方程即可．
【详解】解：设缝制这样一个足球需要x 块黑皮，
块白皮，
由题意得
．
故答案为：
．
题型3 判断是否是一元一次方程
【例5】下列方程是一元一次方程的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】本题考查一元一次方程的定义，根据
只含有一个未知数，且未知数的最高次数为
“
1，等号两边
都是整式的方程是一元一次方程
逐一判断选项即可
”
.
【详解】解： 选项A，未知数的次数为2，不是一元一次方程，选项A 不符合题意；
选项B，方程含分式，不是整式方程，不是一元一次方程，选项B 不符合题意；
选项C，方程只含有1 个未知数，未知数最高次数为1，且等号两边都是整式，是一元一次方程，选项C
符合题意；
选项D，方程含有两个未知数，不是一元一次方程，选项D 不符合题意．
【例6】下列各式中，是一元一次方程的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】解：A、
，含有2 次项，不是一元一次方程；
B、
，不是等式，不是一元一次方程；
C、
，含有两个未知数，不是一元一次方程；
D、
，是一元一次方程.
【技巧归纳】
一元一次方程：含一个未知数，未知数最高次数1，且为整式方程（分母无未知数）。可化为ax+b=0
（a≠0）。判断时：整理后看未知数个数、次数，分母有无未知数，系数a 是否为零。如2x+3=0 是一元一
次，x ²=4 不是（次数2），1/x=3 不是（分母含x）。
【变式3-1】下列各式中，属于一元一次方程的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】本题考查一元一次方程的定义，根据
只含有一个未知数，且未知数的最高次数为
“
1 的整式方程
是一元一次方程
，逐一判断各选项即可求解．
”
【详解】解： A 选项
含有两个未知数，不符合一元一次方程定义；
B 选项
中未知数的最高次数为2，不符合一元一次方程定义；
C 选项
只含一个未知数x，未知数最高次数为1，且是整式方程，符合一元一次方程定义；
D 选项
分母中含有未知数，不是整式方程，不符合一元一次方程定义．
【变式3-2】下列方程：①
；②
；③
；④
；⑤
．其中一元一次方
程有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】B
【分析】先明确一元一次方程的定义，即只含有一个未知数，未知数的最高次数为1，等号两边都是整式，
依此逐个判断每个方程即可．
【详解】解：①
，
分母含有未知数，不是整式方程，
不是一元一次方程；
∵
∴
②
，
只含
∵
1 个未知数x，未知数次数为1，两边都是整式，
是一元一次方程；
∴
③
，
只含
∵
1 个未知数x，未知数次数为1，两边都是整式，
是一元一次方程；
∴
④
，
未知数
∵
的最高次数为2，
不是一元一次方程；
∴
⑤
，
含有
∵
2 个不同未知数，
不是一元一次方程；
∴
综上，一元一次方程共有2 个．
题型4 根据一元一次方程求参数的值
【例7】已知
是关于
的一元一次方程，那么
．
【答案】1
【知识点】一元一次方程的定义
【分析】本题考查一元一次方程的定义：等号两边是整式，只有一个未知数且未知数的次数是1 的方程叫
一元一次方程，根据定义列式求解即可得到答案
【详解】解：∵
是关于
的一元一次方程，
∴
，
∴
，
故答案为：1．
【例8】已知
是关于
的一元一次方程，则
的值为 ．
【答案】
【知识点】一元一次方程的定义
【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义，根据一元一次方程的定义列出关于m 的方程求解即可得出
答案．
【详解】解：∵
是关于
的一元一次方程，
∴
且
，
解得：
，
故答案为：
．
【技巧归纳】
先将方程化为标准形式ax+b=0，令x 的系数a≠0 且x 的指数为1。若方程含参数，根据条件（如方程是一
元一次）列方程或不等式。如(m-2)x+3=0 是一元一次，则m-2≠0 得m≠2。若有二次项，需使二次项系数
为0。解参数并检验。
【变式4-1】已知关于
的方程
是一元一次方程，则
．
【答案】
【知识点】一元一次方程的定义
【分析】本题考查了一元一次方程，根据一元一次方程的定义可得
且
，据此即可求解，掌
握一元一次方程的定义是解题的关键．
【详解】解：
关于
∵
的方程
是一元一次方程，
∴
且
，
解得
，
故答案为：
．
【变式4-2】若关于
的方程
是一元一次方程，则
的值为 ．
【答案】或
【知识点】一元一次方程的定义
【分析】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，且未知数的指数是1，一次项系
数不是0，这是这类题目考查的重点．根据一元一次方程的一般形式即可判定有种情况，分别讨论
当
①
且
时，
当
②
且
时，
当
③
时是否满足该方程为一元一次方程即可．
【详解】解：
关于
的方程
是一元一次方程，
可考虑三种情况，
当
①
且
时，
即
且
，
则
，解得：
，
此时
，故排除；
当
②
且
时，
即
且
，
，符合条件；
当
③
即
时，
，符合条件；
综上：
的值为或
，
故答案为：或
．
题型5 判断是否是一元一次方程的解
【例9】下列方程中，解是x =1的方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了一元一次方程的解的定义，一元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的
值，据此把x =1代入对应的方程中，看方程左右两边是否相等即可得到答案．
【详解】解：A、把x =1代入
中，方程左边
，此时方程左右两边相等，故原方程的解是
x =1，符合题意；
B、把x =1代入
中，方程左边
，此时方程左右两边不相等，故原方程的解不是x =1，不
符合题意；
C、把x =1代入
中，方程左边=1−1=0，此时方程左右两边不相等，故原方程的解不是x =1，不
符合题意；
D、把x =1代入
中，方程左边
，此时方程左右两边不相等，故原方程的解不是x =1，
不符合题意；
故选：A．
【例10】下列方程中，解为
的是（ ）
A．3 x−1=0
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】本题考查了一元一次方程的解，掌握解一元一次方程的步骤是关键．把
代入每个方程，当左
边等于右边时，
是该方程的解；当左边不等于右边时，
不是该方程的解，据此判断即可．
【详解】解：A．把
代入方程得：左边
，右边
，左边右边，不符合题意；
≠
B．把
代入方程得：左边
，右边
，左边右边，不符合题意；
≠
C．把
代入方程得：左边
，右边
，左边右边，不符合题意；
≠
D．把
代入方程得：左边
，右边
，左边=右边，符合题意．
故选：D．
【技巧归纳】
将待验证值代入方程左右两边，分别计算，若左右相等，则是方程的解，否则不是。注意代入时加括号，
特别是负数。也适用于分式方程（需检验分母不为0）。若题目给多个值，逐个验证。也可通过等式变形
快速检验。
【变式5-1】下列方程中，解为x =1的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】本题考查一元一次方程的解，把x =1代入每个方程，当左边等于右边时，x =1是该方程的解；当
左边不等于右边时，x =1不是该方程的解，据此判断即可．解题的关键是掌握：方程的解即为能使方程左
右两边相等的未知数的值．
【详解】解：A．把x =1代入方程得：左边=1−1=0，右边
，左边≠右边，故此选项不符合题意；
B．把x =1代入方程得：左边
，右边
，左边=右边，故此选项符合题意；
C．把x =1代入方程得：左边
，右边
，左边≠右边，故此选项不符合题意；
D．把x =1代入方程得：左边
，右边
，左边≠右边，故此选项不符合题意．
故选：B．
【变式5-2】整式
的值随x的取值不同而不同，下表是当x取不同值时整式
对应的值，则关于
x的方程
的解为（ ）
x
−3
0
1
2
9
7
5
3
1
A．
B．x =−2
C．
D．x =1
【答案】C
【分析】本题考查一元一次方程的解，根据表格可知，当
时，
，故
的解为
．
【详解】解：由表格可知：当
时，
，
∴
的解为
．
故选C．
题型6 已知一元一次方程的解求参数的值
【例11】若
是关于x的方程
的解，则
的值为___________．
【答案】
【分析】将方程的解代入原方程即可求解．
【详解】解：
是关于x的方程
的解，
，
整理得
，
移项得
，
系数化为1得
．
【例12】若
是方程
的解，则a 的值是___．
【答案】5
【分析】把x =2代入已知方程列出关于
的新方程，通过解新方程来求
的值．
【详解】解：由题意得，
，
解得：
．
【技巧归纳】
将待验证值代入方程左右两边，分别计算，若左右相等，则是方程的解，否则不是。注意代入时加括号，
特别是负数。也适用于分式方程（需检验分母不为0）。若题目给多个值，逐个验证。也可通过等式变形
快速检验。
【变式6-1】若
是关于x的方程
的解，则
的值为________．
【答案】1
【详解】解：∵
是关于x的方程
的解，
∴
，
解得
．
【变式6-2】已知
是方程
的解，则a 的值为_______．
【答案】
【分析】把
代入方程，进行求解即可.
【详解】解：把
代入方程，得
，
解得
.
题型7 已知一元一次方程的解求代数式的值
【例13】若
是一元一次方程
的解，则代数式
的值为_____．
【答案】
【分析】将x =2代入方程
得到
，对所求代数式变形后整体代入即可求值．
【详解】解：
是一元一次方程
的解，
，
．
【例14】若x =3是关于x的方程
的解，则代数式
的值是________．
【答案】
【分析】将x =3代入关于x的方程
并整理，可得
，然后整体代入并求解即可．
【详解】解：∵x =3是关于x的方程
的解，
∴
，
∴
．
【技巧归纳】
将待验证值代入方程左右两边，分别计算，若左右相等，则是方程的解，否则不是。注意代入时加括号，
特别是负数。也适用于分式方程（需检验分母不为0）。若题目给多个值，逐个验证。也可通过等式变形
快速检验。
【变式7-1】若
是关于x的方程
的解，则
的值是_______．
【答案】2026
【详解】解：∵x =2是方程
的解，
∴
，
∴
．
【变式7-2】已知x =1是方程
的一个解，则整式
的值为__________．
【答案】
【分析】将x =1代入方程可得
，即
，再代入整式计算即可．
【详解】解：∵x =1是方程
的一个解，
∴
，
∴
，
∴
．
题型8 等式的基本性质
【例15】下面关于等式性质的运用，正确的式子是（ ）
A．如果
，那么5 x = y +5
B．如果
，那么x + y =2 y
C．如果2 x +3=5 x，那么
D．如果
，那么x +a= y −a
【答案】B
【分析】根据等式的性质和字母的取值，即可判断．
【详解】解：A、当
时，5 x =5×1=5，y +5=1+5=6，则5 x≠y +5，故选项不符合题意；
B、当
时，x + y = y + y =2 y，故选项符合题意；
C、当
时，2 x +3=2×2+3= 4+3=7，5 x =5×2=10，则2 x +3≠5 x，故选项不符合题意；
D、如果
，当
时，x +a= y +a≠y −a，故选项不符合题意；
【例16】下列变形符合等式性质的是 （ ）
A．如果
，那么
B．如果
，那么
C．如果
，那么
D．如果
，那么
【答案】D
【分析】本题考查等式的基本性质，利用等式性质1 和等式性质2，逐一判断各选项的变形是否正确即可．
【详解】解：A：若
，两边同时加3，得
，本选项变形错误；
B：若
，两边同时加2，得
，本选项变形错误；
C：若
，两边同时除以
，得
，本选项变形错误；
D：若
，两边同时乘以−3，得
，本选项变形正确．
【技巧归纳】
性质1：两边同加（减）同一个数，等式仍成立。性质2：两边同乘（除）同一个不为0 的数，等式仍成
立。应用：移项（性质1）、去分母（性质2）。注意除以一个式子时确保它不为0。性质2 反向也成立
（同除为0 除外）。用于方程变形。
【变式8-1】下列等式变形，错误的是（）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则a=b
D．若
，则
【答案】D
【分析】本题考查等式的基本性质，等式性质1：等式两边同时加上或减去同一个数，等式仍然成立；等
式性质2：等式两边同时乘以或除以同一个不为0 的数，等式仍然成立，据此判断各选项即可．
【详解】解：A 若
，根据等式性质1，两边同时加1，得
，变形正确；
B 若
，根据等式性质2，两边同时乘2，得
，变形正确；
C 若
，根据等式性质1，两边同时减1，得a=b，变形正确；
D 若
，当a=0时，
与
无意义，只有
才能得到
，变形错误．
【变式8-2】下列等式的变形中，正确的是（ ）
A．若
，则
B．若a=b，则
C．若
，则a=b
D．若a=b，则
【答案】C
【分析】根据相关性质逐一判断选项即可得到答案．
【详解】解：A 选项：
若
∵
，可得
或
，∴A 变形错误；
B 选项：
若
∵
a=b，根据等式性质，两边同时加同一个数等式仍成立，可得
，∴B 变形错误；
C 选项：∵
中分母不为0，隐含条件
，等式两边同乘可得a=b，∴C 变形正确；
D 选项：
若
∵
a=b，当
时，
与
无意义，该变形不成立，∴D 变形错误．
一、单选题
1．下列方程中，是一元一次方程的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】本题考查一元一次方程的概念，根据一元一次方程的定义：只含有一个未知数，未知数的最高次
数为1，且等号两边都是整式的方程，逐一判断选项即可．
【详解】
一元一次方程需满足三个条件：①只含一个未知数；②未知数的最高次数为；③是整式方程．
依次判断各选项：
选项
：
，满足三个条件，是一元一次方程；
选项B：
，分母含有未知数，不是整式方程，不满足条件；
选项
：
，含有
和
两个未知数，不满足条件；
选项
：
，未知数
的最高次数为
，不满足条件；
故选
．
2．下列利用等式的基本性质变形，错误的是（ ）．
A．如果
，那么
B．如果
，那么
C．如果
，那么
D．如果
，那么
【答案】B
【分析】根据等式两边同时加、减同一个数，等式仍然成立以及等式两边同时乘同一个数，或除以同一个
不为0 的数，等式仍然成立逐一分析选项找出变形错误的一项．
【详解】A、如果
，等式两边都除以
，那么
，A 正确；
B、如果
，当
时，得不出
，B 错误；
C、如果
，等式两边都减6，那么
，C 正确；
D、等式两边都乘
，得
，D 正确．
3．已知
是关于x 的方程
的解，则m 的值为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】A
【分析】方程的解满足方程，将已知解
代入原方程，即可计算求出
的值．
【详解】解：∵
是方程
的解，
将
∴
代入原方程得：
化简得
，
移项计算得
，
因此
的值为
．
4．解方程
时，墨水把其中一个数字染成了
，查阅答案方程的解为
，则
处
的数为（ ）
A．
B．
C．−3
D．
【答案】B
【分析】根据方程的解代入求参数即可．
【详解】
解：将
代入原方程可得
，
解得
处的数为
．
5．关于x 的方程
的一个解是
，则
（ ）
A．2026
B．2025
C．2024
D．2023
【答案】D
【分析】将
代入方程
，得到
，从而
，再代入所求表达式计算即可．
【详解】解：∵
是方程
的解，
代入得
∴
，
即
，
∴
．
二、填空题
6．由“
的2 倍与3 的和等于5”可列方程为_____．
【答案】
【分析】根据题意将文字描述转化为代数式，结合等量关系列出方程即可
【详解】解：x 的2 倍可表示为
，x 的2 倍与3 的和可表示为
，
根据和等于5，列方程为
7．关于
的方程
的解为
，则
的值为 _____
【答案】
【分析】根据方程的解的定义，将已知解
代入原方程，得到关于
的一元一次方程，解该方程即可求
出
的值．
【详解】解：将
代入原方程，得
，
解得：
．
8．已知等式
是关于x 一元一次方程，则
_________．
【答案】
【分析】本题考查一元一次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的次数为1，一次项系数不为0 的
方程叫做一元一次方程，其一般形式为
（a，b 是常数且
），据此列出关于m 的关系式，即
可求解得到m 的值．
【详解】解：根据题意，由一元一次方程的定义得
且
，
由
可得
或
，
解得
或
，
结合
即
，
可得
，
故答案为：1．
9．若关于
的一元一次方程
的解是
，则
的值是_______
【答案】
【分析】由方程的解可得
，可得
，再进一步求解即可．
【详解】解：
关于
∵
x 的方程
的解为
，
∴
，
∴
，
∴
．
10．已知关于
的方程
（
，
为常数），无论
为何值，它的解总是
，则
的值是______．
【答案】
17
【分析】将已知解代入原方程，整理为关于
的等式，根据等式对任意
恒成立，得到关于
和
的关系式，
再代入所求代数式计算即可．
【详解】解：把
代入方程
得
，
整理得
，
因为无论
为何值，方程的解总是
，所以等式对任意
恒成立，
因此
，
解得：
，
，
将结果代入
得
．
三、解答题
11．判断下列变形是否正确，若正确，指出依据的等式性质．
(1)如果
，那么
；
(2)如果
，那么
；
(3)如果
，那么
；
(4)如果
，那么
．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
(4)见解析
【分析】本题考查等式的基本性质：
等式两边同时加上（减去）同一个数，等式仍然成立；
等式两边
①
②
同时乘以（除以）同一个不为0 数，等式仍然成立，熟记等式的基本性质是解决问题的关键．
（1）由等式的基本性质1 逐项验证即可得到答案；
（2）由等式的基本性质2 逐项验证即可得到答案；
（3）由等式的基本性质2 逐项验证即可得到答案；
（4）由等式的基本性质2 逐项验证即可得到答案．
【详解】（1）解：正确．
等式两边都加上同一个数，结果仍相等．依据：等式性质1；
（2）解：正确．
等式两边都除以同一个不为0 的数，结果仍相等．依据：等式性质2；
（3）解：正确．
等式两边都乘同一个数，结果仍相等．依据：等式性质2；
（4）解：正确．
由
知
，等式两边都乘以同一个不为0 的数，结果仍相等．依据：等式性质2．
12．根据下列条件列出方程：
(1)
的倍与
的和等于
的倍与
的差．
(2)某数的
比它本身小6．（设这个数为
）
(3)一个数的倍加上等于这个数的倍减去
．（设这个数为
）
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了列一元一次方程，熟练掌握方程的列法是解题的关键．
（1）根据题意列出方程即可；
（2）根据题意列出方程即可；
（3）根据题意列出方程即可．
【详解】（1）解：由题意可得：
；
（2）解：由题意可得：
；
（3）解：由题意可得：
．
13．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为
美好方程
．例如：方程
“
”
和
为
美好方程
．
“
”
(1)若关于x 的方程
与方程
是
美好方程
，求
“
”
m 的值；
(2)若
美好方程
的两个方程解的差为
“
”
8，其中一个解为n，求n 的值．
【答案】(1)
(2)
或
【分析】本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，能根据等式的性质求出方程的解是解此题的关
键．
（1）先根据等式的性质求出两个方程的解，再根据两方程是
美好方程
得出关于
“
”
m 的方程，再求出m
即可；
（2）设另一个方程的解为
，列出方程，求出n 值即可．
【详解】（1）解：由条件可知
，
，
∴x =3，
关于x 的方程
与方程
是
美好方程
，
“
”
，
解得
；
（2）解：由条件可知另一个方程的解为：
，
又
两个方程解的差为8，
得：
或
，
或
．
14．请用式子表示下列问题中的数量关系，并判断所列式子中，哪些是一元一次方程．
(1)x 与3 的差是5．
(2)代数式
与
的值相等．
(3)两个正方形的边长分别为xcm，y cm，它们的面积差为
．
(4)小明参加学校的乒乓球比赛，胜了x 场，负了(8−x)场，胜的场数大于负的场数．
【答案】(1)
，是一元一次方程
(2)
，不是一元一次方程
(3)
，不是一元一次方程
(4)
，不是一元一次方程
【分析】本题考查了列方程，一元一次方程的定义．
（1）根据题意列出方程，再根据一元一次方程的定义判断即可；
（2）根据题意列出方程，再根据一元一次方程的定义判断即可；
（3）根据题意列出方程，再根据一元一次方程的定义判断即可；
（4）根据题意列出方程，再根据一元一次方程的定义判断即可．
【详解】（1）解：根据题意，x 与3 的差是5，可得
．该式只含一个未知数x，且未知数的次数为
1，是一元一次方程；
（2）解：根据题意，代数式
与
的值相等，可得
．该式含有两个未知数x 和y，不
是一元一次方程；
（3）解：根据题意，两个正方形的面积差为
，可得
．该式含有两个未知数x 和y，且次数
为2，不是一元一次方程；
（4）解：根据题意，胜的场数大于负的场数，可得
．该式不是等式，不是方程，因此不是一元一
次方程．
15．已知两个整式
，
，将整式M 与整式N 求和后得到整式
此操作记作第一次求
和操作；将第一次求和操作的结果
加上
的结果记为
，记作第二次求和操作；将第二次求和操
作的结果
加上
的结果记为
，记作第三次求和操作；将第三次操作的结果
加上
的
结果记为
，记作第四次求和操作，
，以此类推．
…
根据以上材料，回答下列问题：
(1)【理解定义】
计算：
①
______，
______（用含x，y 的代数式表示）；
观察前三次的结果，猜想
②
______（用含n，x，y 的代数式表示）．
(2)【初步应用】
当
时，
①
______；
若关于
②
x 的方程
有无数个解，则
______．
(3)【深入探究】
当n 为大于3 的正整数时，
是关于x，y 的五次三项式其中m 和
k 均为整数，则
的值为______．
【答案】(1)
①
，
；②
(2)①
；②
(3)4 或0 或
【分析】（1）根据所给操作方式进行计算即可；
（2）结合（1）中发现的规律进行计算即可；
（3）根据题意，求出m 和k 的值即可解决问题．
【详解】（1）解：
由题意知，
①
，
因为
②
，
，
，
，
，
…
所以
（2）解：
因为
①
则当
时，
当
②
时，
，
则原方程为
，
整理得，
，
因为此方程有无数个解，
所以
（3）解：由题意知，
原多项式为
因为n 为大于3 的正整数，
所以
是一个二项式．
因为该多项式是关于x，y 的五次三项式，
所以
或
当
，即
时，要使该多项式为五次的，
则
，
解得
或
，
经检验，都符合题意，
所以
或
；
当
，即
时，要使该多项式为五次的，
则
或
，
由
得，k =3或
，
经检验，都符合题意，
所以
或0；
由
得，k =3或
，
时，该多项式为九次三项式，故舍去；
当k =3时，符合题意，
则
，
综上所述，
的值为4 或0 或
