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第五章 一元一次方程 单元自测卷
【新教材，北师大版】
（考试时间：90 分钟 试卷满分：120 分）
考前须知：
1．本卷试题共24 题，单选10 题，填空6 题，解答8 题，满分120 分，限时90 分钟。
2．本卷选题均为重难点题型，考点全覆盖，旨在检测学习成果。
一、选择题（本大题共10 小题，每小题3 分，共30 分）
1．下列各式中，是一元一次方程的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】解：A、
，含有2 次项，不是一元一次方程；
B、
，不是等式，不是一元一次方程；
C、
，含有两个未知数，不是一元一次方程；
D、
，是一元一次方程.
2．方程
的解是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】按照移项、系数化为1 即可得到方程的解．
【详解】解：
，
移项得：
，
两边同时除以得：
因此方程的解为
．
3．解方程
时，去分母正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】去分母时需要给方程每一项都乘以分母的最小公倍数，分子是多项式时要添加括号．
【详解】解：∵方程
的分母为2 和3，最小公倍数是
，
∴给方程两边同时乘
去分母，得：
．
4．由于换季，商场准备对某商品打折出售，如果按原售价的七五折出售，将亏损25 元，而按原售价的九
折出售，将盈利20 元，则该商品的进价为（ ）
A．240 元
B．270 元
C．250 元
D．230 元
【答案】C
【分析】抓住商品进价不变的特点，根据两种打折出售的盈亏情况建立方程，先求出原售价，再计算进价
即可．
【详解】解：设该商品的原售价为
元，
∵商品进价固定，按原售价七五折出售亏损25 元，可得进价为
元，按原售价九折出售盈利20
元，可得进价为
元，
∴列方程得：
，
解得
，
将
代入
，得进价为：
（元），
因此该商品的进价为250 元．
5．整式
的值随x 的取值不同而不同，下表是当x 取不同数值时对应的整式的值。则关于x 的方程
的解为（ ）
x
0
12
8
4
0
A．0
B．
C．12
D．无法计算
【答案】A
【分析】本题考查一元一次方程的求解，可通过对所求方程变形，结合表格给出的整式对应值直接得到方
程的解，思路清晰简便
【详解】解：∵ 所求方程为
，
∴ 给等式两边同乘
，可得
，
观察表格可知，当整式
的值为
时，对应的
的取值为
，
∴ 方程
的解为
6．当
的值为 25 时，代数式
的值是（ ）
A．51
B．15
C．51 或
D．15 或
【答案】C
【分析】本题考查了代数式求值，绝对值的意义．由
得出
，将
变形
为
，利用整体代入法求值即可．
【详解】解：
，
∴
，
∴
，
当
时，
，
当
时，
，
∴ 代数式的值为51 或
，
故选：C．
7．对于任意有理数
，定义它的“对称差”为：
，例如：
．若
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】本题考查了解一元一次方程，对新定义的理解能力，分当
时和当
时两种情况，根据
“对称差”的定义讨论求解即可．
【详解】∵
，
当
时，
，
，与
矛盾，
∴
，
当
时，
，
∴
，
∴
，
∴
．
故选：A．
8．下列变形中，不正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
【答案】D
【分析】根据等式的基本性质与不等式的基本性质逐一判断各选项即可求解．
【详解】解：根据等式性质，等式两边同时加(或减)同一个数，等式仍然成立，∵
，两边同时
加
，得
，∴ A 变形正确；
根据等式性质，等式两边同时乘(或除以)同一个不为
的数，等式仍然成立，∵
，两边同时除以
，得
，∴B 变形正确；
∵
，
∴
，
根据不等式性质，不等式两边同时除以同一个正数，不等号方向不变，∵
，两边同时除以正数
，
得
，∴C 变形正确；
∵无法确定的符号，当
时，不等式两边同时除以，不等号方向改变，若
，可得
，因此
D 变形错误．
9．牧童分杏各争竞，不知人数不知杏．二人五个少十枚，四人八枚两个剩．问：有几个牧童几个杏？
（选自《算法统宗》）．题目大意：牧童们要分一堆杏，不知道人数也不知道有多少个杏．若2 人一组，
每组5 个杏，则少10 个杏；若4 人一组，每组8 个杏，则多2 个杏．设杏有
个，则所列方程正确的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用牧童总人数不变的等量关系，分别根据两种分杏情况表示出总人数，即可列出正确方程．
【详解】解：设杏有
个，两种分法的牧童总人数相等．
∵第一种分法中，2 人一组，每组5 个杏，少10 个杏，
∴满足分组共需要
个杏，组数为
，总人数为
．
∵第二种分法中，4 人一组，每组8 个杏，多2 个杏，
∴实际分掉
个杏，组数为
，总人数为
．
∵总人数相等，因此可得方程
．
10．记
，
，称
为
，
，…，
这列数的“理想数”．已知
，
，…，
的“理想数”为2026，若在
前面添加一个数
，得到新的一列数
，
，
，…，
的“理想数”仍为2026，则
的值为（ ）
A．0
B．2
C．4
D．6
【答案】B
【分析】根据题意得出
，
，然后建立方程求解即可．
【详解】解：根据题意得：
∴
，
∵在
前面添加一个数
，得到新的一列数
，
，
，…，
的“理想数”仍为2026，
∴
，
∴
，
解得
．
二、填空题（本大题共6 小题，每小题3 分，共18 分）
11．若
是关于
的方程
的解，则
的值为__________．
【答案】
【分析】本题考查方程的解的概念，方程的解是能使方程左右两边相等的未知数的值，将
代入原方程，
得到关于
的一元一次方程，即可求解
的值．
【详解】解：把
代入方程
得：
整理得
移项合并同类项得
系数化为得
．
12．若
是关于x 的一元一次方程，则
______．
【答案】1
【分析】根据一元一次方程的定义，可得未知数次数为1 且一次项系数不为0，据此列关系式求解即可．
【详解】解：
是关于x 的一元一次方程，
∴
，
∴
．
13．若关于
的一元一次方程
的解为
，则关于
的一元一次方程
的解为
________．
【答案】
【分析】通过对比两个方程的结构，将
看作一个整体，结合已知方程的解即可得到结果．
【详解】解：设
，则关于
的一元一次方程
可化为
，
∵关于
的一元一次方程
的解为
，
∴
，
∴
，解得
，
∴关于
的一元一次方程
的解为
．
14．已知代数式
，当
取一个值时，代数式
对应的值如上表所示，则关于
的方程
的解为_____．
0
0.5
1
1
2
2.5
3
【答案】
【分析】本题考查方程的解，将方程两边同时除以2 后，根据表格中数据，即可得出结果．
【详解】解：∵
，
∴
，
由表格可知，当
时，
，
故关于
的方程
的解为
；
故答案为：
15．
年
月
日，我国首艘
万立方米液化天然气（
）运输船“乔治敦”号顺利交付，该船型
被称为“造船业皇冠上的明珠”．某工厂计划用
天时间生产一批轮船模型，实际每天比原计划多生产
个，结果提前
天完成了生产任务，则原计划每天生产________个轮船模型．
【答案】
【分析】根据生产总任务量不变建立等量关系，设未知数后列方程求解即可．
【详解】解：设原计划每天生产
个轮船模型，
由题意可知，实际生产天数为
天，实际每天生产
个，根据总任务量相等，列方程得：
，
解得：
，
即原计划每天生产6 个轮船模型．
16．已知关于
的一元一次方程
的解为
，那么关于y 的一元一次方程
解为_____．
【答案】4048
【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，通过整体代入思想，设
，将新方程转化为关于
的方程，再通过代换得到与已知方程相同的形式，利用已知解求解．
【详解】解：设
，则新方程化为
，
两边乘以
，得：
，
即
，
设
，则方程变为
，
已知方程
的解为
，
因此
，
于是
，即
，
由
，得
，
解得：
．
故答案为：4048．
三、解答题（第17--第22 题，每题8 分；第23，24 题，每题12 分；共8 小题，共72 分）
17．解一元一次方程．
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：
去括号得：
，
移项，合并同类项得：
，
系数化为1 得：
；
（2）解：
去分母得：
，
去括号得：
，
移项，合并同类项得：
，
系数化为1 得：
．
18．小芳同学在解关于
的一元一次方程
时，误将
抄成
，求得方程的解为
，
请帮小芳求出原方程正确的解．
(1)求
的值；
(2)求方程正确的解．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据解的定义，把
代入误抄后的方程即可求出a 的值；
（2）把a 的值代入原方程，然后解方程即可．
【详解】（1）解：依题意可知方程
的解为
．
把
代入，得
．
，
，
；
（2）解：把
代入，可得原方程为
．
去分母，得
．
去括号，得
．
移项，得
．
合并同类项，得
．
19．已知
，
为定值，关于
的方程
，无论
为何值，它的解总是
．求
．
【答案】
【分析】本题考查了一元一次方程的解，根据一元一次方程的解法，去分母并把方程整理成关于a、b 的形
式，然后根据方程的解与k 无关分别列出方程求解即可．
【详解】解： 将
代入方程
，得：
，
整理得：
，
因为上式对任意
的值都成立，所以含
项系数为0，常数项也为0，
则有：
，
，
∴
，
，
∴
．
20．某村为了更方便地运输农作物，现计划将村里全部的交通主干道修成水泥路．已知甲工程队单独完成
此项工程需要的天数比乙工程队单独完成此项工程需要的天数的2 倍少5 天，并且甲工程队单独完成此项
工程需要的天数与乙工程队单独完成此项工程需要的天数之和为25 天．
(1)甲、乙工程队单独完成此项工程各需要多少天？
(2)若甲先单独修5 天，之后甲、乙合作修完，甲、乙还需合作几天才能完成此项工程？
【答案】(1)甲工程队单独完成此项工程需要15 天，乙工程队单独完成此项工程需要10 天．
(2)甲、乙还需合作4 天才能完成此项工程．
【分析】（1）根据甲、乙单独完成工程的天数和倍数关系，设未知数列方程求解得到两队单独完成的天
数；再将总工程量看作单位1，根据“总工作量=各部分工作量之和”列方程，
（2）求解得到合作需要的天数，用到工程问题中工作量=工作效率×工作时间的基本关系．
【详解】（1）解：设乙工程队单独完成此项工程需要
天，则甲工程队单独完成此项工程需要
天，
根据题意得：
，解得
，
甲单独完成需要的天数为
（天）
答：甲工程队单独完成此项工程需要15 天，乙工程队单独完成此项工程需要10 天．
（2）设甲、乙还需合作
天才能完成此项工程，将总工程量看作单位1，则甲每天工作效率为
，乙每
天工作效率为
，根据题意得：
，解得
．
答：甲、乙还需合作4 天才能完成此项工程．
21．定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“相反方程”．例如：方程
的解为
，
的解为
，其中2 和
互为相反数，我们就称方程
和
为“相反方程”．
(1)请说明方程
和
是“相反方程”；
(2)若关于x 的方程
和
是“相反方程”，求m 的值；
(3)若关于y 的方程
的“相反方程”的解，也是关于y 的方程
的解，
求n 的值．
【答案】(1)说明见解析
(2)
(3)
【分析】本题考查了一元一次方程的求解及对“相反方程”定义的理解．
（1）分别求解两个方程，再判断它们的解是否互为相反数；
（2）先求出第一个方程的解，根据“相反方程”的定义得到第二个方程的解，再将其代入第二个方程求
出m 的值；
（3）先求出第一个方程的解，进而得到其“相反方程”的解，再将该解代入第二个方程求出n 的值．
【详解】（1）解：解方程
，得
，
解方程
，得
，
3
∵与
是相反数，
∴方程
与
是“相反方程”．
（2）解：解方程
，得
．
∵关于x 的方程
和
是“相反方程”，
∴
是方程
的解，
将
代入
，得
，
解得
．
（3）解：解方程：
，得
，
∴
的“相反方程”的解是
，
将
代入方程
，得
，
解得
．
22．小晶家以下各月用水量情况如下表所示：（每月1 号检查水表读数，水费按月计费）
月份
1
2
3
4
5
6
7
月初水表读
数为（吨）
185
190
196
203
210
219
233
(1)二月份小晶家用水多少吨？
(2)若一月份比六月份用水少
．已知每个家庭用水量不超过标准范围每吨收取水费3 元，若超过标准范围
超标部分每吨收取水费
元，小晶家六月份共交水费54 元，求每月标准用水量．
(3)在（2）的条件下，若小晶家下半年每个月的用水量均大于或等于用水量的最高标准，且上半年交水费
比下半年少
，求小晶家下半年用水量多少吨？
【答案】(1)
6 吨
(2)
6 吨
(3)
77.4 吨
【分析】（1）由2 月底读数196 减去1 月底读数190，得二月份用水量；
（2）由一月份用水量及"一月份比六月份少
"先求出六月份用水量为14 吨，再设标准量为 吨，由六
月份水费54 元列方程求解；
（3）先逐月计算上半年水费，再由"上半年比下半年少
"求出下半年水费，设下半年用水量
吨，标
准内部分按3 元/吨，超标部分按
元/吨列方程求解．
【详解】（1）解：
（吨），
二月份小晶家用水6 吨；
（2）解：一月份用水
（吨），
设六月份用水
吨，由一月份比六月份少
，
，
（吨），
若标准量
，水费
，故标准量小于14 吨，
设标准量为 吨，
，
解得，
；
答：每月用水量的最高标准为6 吨；
（3）解：上半年各月用水：5，6，7，7，9，14（吨），
标准量为6 吨，
1 月水费：
（元），
2 月水费：
（元），
3 月水费：
（元），
4 月水费：
（元），
5 月水费：
（元），
6 月水费：
（元），
上半年总水费
（元），
设下半年总水费为
元，
，
解得，
（元），
设下半年用水量为
吨，标准内
吨，
，
解得，
（吨）．
答：小晶家下半年用水量为
吨．
23．“洛书”，是世界上最早的矩阵，又称幻方．“幻方”需要满足的条件是每一行、每一列和每条对角
线上各个数之和都相等．
表1
表2
表3
4
2
1
8
？
3
0
5
4
根据题意回答：
(1)表1 三阶幻方中间的数字是_____；
(2)设表2 三阶幻方中间的数字是
，
①用含
的代数式表示幻方中9 个数的和；
②每一行、每一列、每条对角线三数之和等于中间数的_____倍；
③求第一行中间的代数式；
(3)类比于“幻方”，表3 是一个每一行、每一列和每条对角线上各个数之积都相等的“三阶积幻方”，根
据表格信息求
．
【答案】(1)1
(2)①幻方中9 个数的和为
②3③第一行中间代数式为
(3)
【分析】（1）根据每一行各个数之和都相等，求解即可；
（2）①求出第三列三个数的和，即可解决问题；
②由①可得结论；
③用这一行的和减去第一、三的式子，可得中间的代数式；
（3）根据每一行、每一列和每条对角线上各个数之积都相等，列出方程，解方程，即可解决问题；
【详解】（1）解：由题意可知，
，
∴
，
（2）解：①幻方中9 个数的和为
，
②由①知每一行、每一列、每一对角线三数之和等于中间数的3 倍
③第一行中间代数式为：
（3）解：∵横、竖、斜三数之积均相等，
，
解得：
，
，
；
24．【阅读理解】“数形结合”是重要的数学思想．如：
表示2 与
差的绝对值，实际上也可以
理解为2 与
在数轴上所对应的两个点之间的距离．同样地，
表示
与
在数轴上所对应的两个点
之间的距离．进一步地，数轴上两个点
，
，所对应的数分别用
，
表示，那么
，
两点之间的距
离表示为
．
【简单应用】利用此结论，回答下列问题：
(1)根据绝对值的几何意义，当
时，
__________；
(2)当
取得最小值时，
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
或
(3)【变式应用】已知
，求
的最小值；
(4)【实际应用】如图，一条笔直的公路边有四个居民区
、
、
、
和市民广场
，居民区
、
、
、
分别位于市民广场左侧
，右侧
，右侧
，右侧
．现需要在该公路上建一个便民服务点
，
直接写出这个便民服务点
建在何处，才能使其到四个居民区
、
、
、
总路程最短？最短路程是多
少？
【答案】(1)9 或
(2)C
(3)10
(4)便民服务点
建在点
与点
之间，包括点
和点
处才能使其到四个居民区
、
、
、
总路程最
短，最短路程是
【分析】（1）根据绝对值的几何意义，列方程求解即可；
（2）根据绝对值和的最小值的求法，即可得出对应的
的取值范围；
（3）先求出各绝对值和的最小值，再根据条件确定
，
，的值，进而求出
的最小值；
（4）通过建立数轴，利用绝对值的几何意义，即可解答．
【详解】（1）解：
，
或
，
解得，
或
．
（2）解：由题意得，
，
当
时，
取得最小值．
故选：C．
（3）解：由绝对值的几何意义可知，当
时，
取得最小值，
此时，最小值为
；
当
时，
取得最小值，
此时，最小值为
；
当
时，
取得最小值，
此时，最小值为
；
又
，
，
，
．
又
取最小值，
，
取最小值，取最大值，
，
，
，
的最小值为
．
（4）解：设该便民服务点
表示的数为
，
根据题意，以市民广场
为数轴原点，市民广场右侧为正方向建立数轴，如图所示：
则居民区
、
、
、
在数轴上表示的数分别为
，1，4，9，
点
到
、
、
、
四点的距离和，可表示为
，
当
时，
取得最小值，
此时，最小值为
．
答：便民服务点
建在点
与点
之间，包括点
和点
处，才能使其到四个居民区
、
、
、
总路
程最短，最短路程是
．
