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第二章
有理数及其运算单元自测卷
【新教材，北师大版】
（考试时间：90 分钟
试卷满分：120 分）
考前须知：
1．本卷试题共24 题，单选10 题，填空6 题，解答8 题，满分120 分，限时90 分钟。
2．本卷选题均为重难点题型，考点全覆盖，旨在检测学习成果。
一、选择题（本大题共10 小题，每小题3 分，共30 分）
1．2026
的绝对值是(
)
A．2026
B．2026
C．2026
D．
1
2026
【答案】A
【详解】2026
的绝对值是2026
2．5 月12 日，我国在太原卫星发射中心使用长征六号运载火箭，将卫星精准送入预定轨道，发射任务圆满
成功．若向上飞行5 千米记作5
千米，向下降落3 千米记作（
）
A．3
千米
B．3
千米
C．3000
千米
D．3000
千米
【答案】B
【分析】根据“正”“负”的相对性，确定相反意义的量的表示方法．
【详解】解：∵题目规定向上飞行记为正，向下与向上是一对相反意义的量，
∴向下降落应记为负，
∴向下降落3 千米记作3
千米．
3．2026 年河南文旅市场持续升温，一季度全省文旅总收入约1862亿元，数据1862亿用科学记数法表示为
（
）
A．
10
1.862 10
B．
11
1.862 10
C．
10
18.62 10
D．
12
0.1862 10
【答案】B
【详解】解：1862亿
11
1.862 10
．
4．我国几个城市某年1 月份的平均气温如下表所示，其中最低气温是（
）
城市
北京
广州
重庆
哈尔滨
平均气温/℃
5.2
14.2
3.1
20.4
A．5.2
℃
B．14.2 ℃
C．3.1℃
D．20.4
℃
【答案】D
【分析】本题考查有理数的大小比较，利用有理数比较大小的规则即可找出最低气温；
【详解】解：四个城市的平均气温分别为5.2
℃，14.2℃，3.1℃，20.4
℃.
2 / 14
∵正数大于一切负数，
∴14.2和3.1都大于两个负数，只需比较两个负数的大小.
∵
20.4
20.4
，
5.2
5.2
，且20.4
5.2
，
∴根据两个负数比较大小，绝对值大的数反而小，可得20.4
5.2
.
∴最低气温是20.4
℃；
5．计算
2
2
5
| 4 |
5
（
）
A．14
B．14
C．6
D．6
【答案】C
【分析】本题考查有理数的混合运算，原式先计算乘方、再计算乘法、最后进行加减运算即可.
【详解】解：
2
2
5
| 4 |
5
2
25
4
5
10
4
6
．
故选：C．
6．我国有世界上海拔最高及唯一一座位于海平面以下的植物园，已知香格里拉高山植物园是世界上海拔最
高的植物园，其最高海拔为3600 米，而吐鲁番沙漠植物园的平均海拔约为90
米，则香格里拉高山植物园
的最高海拔与吐鲁番沙漠植物园的平均海拔之差为（
）
A．90 米
B．3510 米
C．3600 米
D．3690 米
【答案】D
【详解】解：香格里拉高山植物园最高海拔为3600米，吐鲁番沙漠植物园平均海拔为90
米，
∴海拔之差为：
3600
90
3600
90
3690
（米）．
7．我们常用的十进制数，如
3
2
1243
1 10
2 10
4 10
3
，我国古代易经一书记载，远古时期，人们通
过在绳子上打结来记录数量，如图，一位母亲在如下排列的绳子上打结，并采用七进制（如
3
2
1243
1 7
2 7
4 7
3
），用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是（
）
天．
A．512
B．511
C．510
D．509
【答案】C
3 / 14
【分析】先数出每根绳子上的结数，然后将从左向右的每一位数字分别乘
37 ，
2
7 ，
17 ，
0
7 ，再将计算结果
相加．
【详解】解：据图可知，从左向右，四根绳子的结数分别是1、3、2 、6 ，
则孩子出生的天数为
3
2
1
0
1 7
3 7
2 7
6 7
343 147
14
6
510
．
8．若有理数,x y ，z 满足
2
1
x ，
2
y
，
3
z ，且x
y
x
y
，z
y
y
z
，则x
y
z
的值为（
）
A．4
或6
B．4
或6
C．2
或0
D．4 或6
【答案】A
【分析】本题考查了代数式求值，有理数的乘方逆运算，化简绝对值等知识点，解题的关键是正确求出, ,
x y z
的值．
根据条件
2
1
x 、
2
y
、
3
z 以及绝对值方程的性质，确定x 、y 、z 的可能取值，再代入表达式x
y
z
计算．
【详解】解：∵
2
1
x ，
∴
1
x 或
1
x ，
∵
2
y
，
∴
2
y
或
2
y ，
∵
3
z ，
∴
3
z
或
3
z ，
∵
x
y
x
y
，
∴
0
x
y
，
当
1,
2
x
y
时，
3
0
x
y
，成立；
当
1,
2
x
y
时，
1
0
x
y
，不成立；
当
1,
2
x
y
时，
1
0
x
y
，成立；
当
1,
2
x
y
时，
3
0
x
y
，不成立，
∴可能情况：
1,
2
x
y
或
1,
2
x
y
，
∵
z
y
y
z
，
∴
0
y
z
，即y
z
，
又∵
2
y
，
∴
3
z ，
- 当
1,
2,
3
x
y
z
时，
1 2
3
4
x
y
z
；
- 当
1,
2,
3
x
y
z
时，
1
2
3
6
x
y
z
，
∴
x
y
z
的值为4
或6
，
故选A．
4 / 14
9．若
2
a
，
2
9
b
，且
0
ab
，则a
b
等于（
）
A．1
B．5
C．1
D．1
【答案】B
【分析】本题考查了绝对值、有理数的乘方、求代数式的值，掌握相关知识点是解题的关键．
先根据绝对值和有理数乘方的逆运算求出a 和b 的可能值，再分4 种情况讨论，结合
0
ab
找出符合题意的
情况，从而计算a
b
的值即可．
【详解】解：∵
2
a
，
2
9
b
，
∴
2
a ，
3
b ，
①当
2
a
，
3
b
时，
2 3
6
0
ab
，符合题意，此时
2
3
5
a
b
；
②当
2
a
，
3
b 时，
2
3
6
0
ab
，不符合题意，舍去；
③当
2
a ，
3
b
时，
2
3
6
0
ab
，不符合题意，舍去；
④当
2
a ，
3
b 时，
2
3
6
0
ab
，符合题意，此时
2
3
5
a
b
；
∴综上所述，
5
a
b
．
故选：B．
10．有理数a ，b 在数轴上的位置如图所示，则下列各式一定成立的个数有（
）
①
0
a
b
>
；②b
a
；③
0
ab
；④
1
a
b
．
A．4 个
B．3 个
C．2 个
D．1 个
【答案】B
【分析】根据数轴上点的位置确定a 、b 的正负号及绝对值的大小关系，结合有理数的运算法则逐一判断即
可．
【详解】解：由数轴可知：
0
b
a
，且b
a
，
∴
0
a
b
>
，故①正确；
b
a
，故②正确；
0
ab
，故③正确；
0
1
a
b
，故④错误．
综上所述，一定成立的有①②③，共3 个．
二、填空题（本大题共6 小题，每小题3 分，共18 分）
11．若温度上升5℃记作5
℃，则温度下降9℃记作________℃．
【答案】
5 / 14
9
【分析】本题考查正负数表示具有相反意义的量，已知温度上升记为正数，可得温度下降记为负数，据此
即可求解．
【详解】解：
温度上升5℃记作5
℃，
温度下降9℃记作9
℃．
12．根据苏州市文化广电和旅游局及官方媒体发布的最新数据，2026 年春节期间（含除夕至正月十五或法
定假期延长段，具体统计口径为春节假日期间），苏州市各景区共接待游客约为17500000 人次，可用科学
记数法表示为__________人次．
【答案】
7
1.75 10
【分析】当原数的绝对值大于等于10 时，科学记数法的表示形式为
10n
a
，其中1
10
a
，n 为整数．根
据科学记数法的定义，确定参数a 和n 的值即可．
【详解】解：
7
17500000
1.75 10
．
13．下列各数：
23
，
4
1
3
，
2
2
5
，
2023
1
，
3
中，负数的个数是_____．
【答案】3
【分析】先利用有理数的乘方运算、绝对值的性质化简各数，再根据负数的定义判断其中负数的个数．
【详解】解：
23
9
，是负数；
4
1
1
3
81
，是正数；
2
2
4
5
5
，是负数；
2023
1
1
1
，是正数；
3
3
，是负数．
综上，负数共有3 个．
14．观察下列等式：
12
2
，
2
2
4
，
3
2
8
，
4
2
16
，
5
2
32
，
6
2
64
，
72
128
，…通过观察，用你所
发现的规律确定
2022
2
的个位数字是______．
【答案】4
【分析】观察已知等式可知，以2 为底的幂的个位数字按2 ，4 ，8 ，6 依次循环，计算2022
4
得到余数，
根据余数即可确定
2022
2
的个位数字．
【详解】解：观察给出的等式
12
2
，
2
2
4
，
3
2
8
，
4
2
16
，
5
2
32
，…，
∴以2 为底的幂的个位数字每4 个数为一个循环组依次循环，循环顺序为2 ，4 ，8，6 ．
2022
4
505
2
，
∴
2022
2
的个位数字与
2
2 的个位数字相同，是4 ．
15．《夏侯阳算经》说：“满六以上，五在上方，六不积算，五不单张．”意思是，在用算筹计数时，1
5
分
6 / 14
别以纵横方式排列相应数目的算筹来表示，6
9 则以上面的算筹再加下面相应的算筹来表示．而在《九章
算术》中，记载了我国古代在算筹上面斜着放一支算筹表示负数的方法．如：“
”表示238
，则
“
”表示______．
【答案】238
【分析】根据题干给出的示例，识别出算筹代表的数字及负号标记，结合有理数的概念即可求解．
【详解】
解：根据题意，算筹计数规则为：1
5
分别以纵横方式排列相应数目的算筹来表示，6
9 则以上面的算筹
再加下面相应的算筹来表示．由“
”表示238
可知：百位为两根竖线，表示数字2 ；十位为三根横
线，表示数字3；个位为上面一横下面三竖，表示数字5
3
8
．
观察“
”，其算筹排列与“
”相同，即百位为2 ，十位为3，个位为8 ．根据“在算筹上面斜
着放一支算筹表示负数的方法”，“
”中个位算筹上斜放了一支算筹，表示该数为负数．所以
“
”表示的数是238
．
16．实数a ，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是________（填序号）．
①
0
a
；②
0
a b
+
<
；③
1
a ；④
0
ab
．
【答案】④
【分析】根据数轴上点的位置确定,a b 的取值范围及正负性，再结合有理数的运算法则及绝对值的意义逐一
判断即可．
【详解】解：由数轴可知，1
0
a
，1
2
b
对于①，∵a 在原点左侧，
0
a
，故①错误
对于②，∵
1
b ，1
0
a
，∴b
a
，根据有理数加法法则，∴
0
a
b
，故②错误
对于③，∵1
0
a
，∴
1
a ，故③错误
对于④，∵
0
a
，
0
b
，根据有理数乘法法则，∴
0
ab
，故④正确
综上所述，结论正确的是④
三、解答题（第17--第22 题，每题8 分；第23，24 题，每题12 分；共8 小题，共72 分）
17．计算：
(1)
24 14
16
8
．
(2)
1
5
7
36
2
9
12
．
【答案】(1)2
(2) 19
【分析】（1）原式根据有理数加减法法则进行计算即可得到答案；
7 / 14
（2）原式运用乘法分配律进行计算即可．
【详解】（1）解：
24 14
16
8
24 14 16
8
10 16
8
6
8
2
；
（2）解：
1
5
7
36
2
9
12
1
5
7
36
36
36
2
9
12
18
20
21
2
21
19
．
18．把下列各数的序号填在相应的大括号内：
①12，②
1
9
．③5
，④22
7 ，⑤0，⑥5.32
，⑦3.14，⑧π；⑨0.2 ．
(1)正有理数集合；｛____________________…｝
(2)负有理数集合：｛____________________…｝
(3)整数集合：｛____________________…｝
【答案】(1)①，④，⑦，⑨
(2)②，③，⑥
(3)①，③，⑤
【分析】根据正有理数、负有理数、整数的定义对各数逐一分类即可．
【详解】（1）解：π是无限不循环小数，不属于有理数，正有理数是大于0 的有理数，
因此正有理数集合：｛①，④，⑦，⑨…｝.
（2）解：负有理数是小于0 的有理数，因此负有理数集合：｛②，③，⑥，…｝；
（3）解：整数包括正整数，0 和负整数，因此整数集合：｛①，③，⑤，…｝．
19．小明同学在黑板上计算“
1
1
5
4
4
8
8
”时，他的解答过程如下：
解：
1
1
5
4
4
8
8
1
1
5
2
2
……………………第一步
5 1
………………………………第二步
4
…………………………………第三步
解答下列问题：
8 / 14
(1)同学们发现小明的解答过程存在错误，请你指出他是在哪一步出现错误的？并写出正确的解答过程；
(2)计算：
2
2
4
2
4
6
3
．
【答案】(1)小明在第一步出现错误；正确计算过程为：
1
1
5
4
4
8
8
1
1
5
4
2
8
1
5
8 4
2
5
16
11
；
(2) 4
【分析】（1）小明在第一步中先计算了1
4
8 ，因此出现错误；根据有理数混合运算法则进行计算即可；
（2）根据含乘方的有理数混合运算法则，进行计算即可．
【详解】（1）略
（2）解：
2
2
4
2
4
6
3
16
2
4
8
4
4
．
20．如图，数轴上每个刻度为1 个单位长度，点A 表示的数是3
．
(1)在数轴上标出原点，并指出点B 所表示的数是__________；
(2)补全数轴，并在数轴上表示下列各数，然后用“ ”号把这些数按从小到大连接起来．
2.5，
1
4 2
，
1.5
，
2
．
【答案】(1)
；4；
(2)
，
1
4
2
1.5
2.5
2
【分析】（1）根据点A 表示3
即可得原点位置，进一步得到点B 所表示的数；
（2）先化简
1.5
1.5
，
2
2
，再在数轴上确定表示各数的点的位置，最后根据在数轴上右边的数总
比左边的数大，用“”号把这些数连接起来即可．
9 / 14
【详解】（1）略
（2）略
21．科技的发展给人们的生活带来了巨大的变化，许多农商利用网络对产品进行销售．小王把自家种的柚
子放在网上销售，计划每天销售100 千克，但每天的销售量与计划销售量相比有出入，如下表是第一周柚
子的销售情况（超过计划量记为正，不足计划量记为负，单位：千克）．
星期
一
二
三
四
五
六
日
与计划量的差值
3
5
2
11
7
13
5
(1)第一周柚子销售量最多的一天比最少的一天多销售多少千克？
(2)若小王按8 元/千克进行包邮销售，平均运费为3 元/千克，则小王第一周销售柚子一共盈利多少元？
【答案】(1)第一周柚子销售量最多的一天比最少的一天多销售20 千克
(2)共盈利3590 元
【分析】此题考查正数和负数以及有理数的混合运算，此题的关键是读懂题意，列式计算．
（1）将销售量最多的一天与销售量最少的一天相减计算即可；
（2）首先计算实际销售的柚子的数量，然后将总数量乘以单价解答即可．
【详解】（1）解：
13
7
13
7
20
（千克）．
答：第一周柚子销售量最多的一天比最少的一天多销售20 千克；
（2）解：
3
5
2
11
7
13
5
100 7
3 5
2 11 7 13
5
700
718
718
8
3
3590
（元）．
答：小王第一周销售柚子共盈利3590 元．
22．哈尔滨红肠是全国驰名的哈尔滨特产．某品牌哈尔滨红肠计划在国庆节期间开展一系列优惠活动，其
中，针对一款原价48 元/盒的哈尔滨红肠推出了两种优惠方案（两种方案只能选择一种）．方案一：每盒按
九折销售．方案二：每买5 盒，送1 盒．
(1)李阿姨需要买4 盒这种哈尔滨红肠，她选择了方案一，李阿姨节约多少钱？
(2)王阿姨需要买8 盒这种哈尔滨红肠，她选择了方案二，相当于每盒单价多少元？
(3)刘阿姨有一张满888 元减168 元的优惠券，这张优惠券不可与上述方案同享．刘阿姨需要买20 盒哈尔滨
红肠，怎样买最划算？写出判断过程．
【答案】(1)李阿姨节约19.2 元
(2)相当于每盒单价42 元
(3)使用满888 元减168 元优惠券购买最划算
【分析】（1）分别计算出原价和按照方案一的价格，然后作差求解即可；
10 / 14
（2）首先求出王阿姨只需要花费7 盒的钱，然后计算出总价，再除以8 即可求解；
（3）分别求出三种方案的花费，然后判断即可．
【详解】（1）解：48 4
192
（元）
192 90%
172.8
（元）
节约钱数为192 172.8
19.2
（元）
答：李阿姨节约19.2 元．
（2）解：∵方案二每买5 盒，送1 盒，王阿姨需要买8 盒，
∴可参与1 次“买5 送1”活动得到6 盒（支付5 盒的钱），再另购2 盒，共需支付5
2
7
盒的钱，
∴48 7
336
（元）
∴336 8
42
（元）
答：相当于每盒单价42 元．
（3）解：①方案一总价：48
20
90%
864
（元）
②方案二：可参与3 次“买5 送1”活动得到18 盒（支付15 盒的钱），再另购2 盒，共需支付15
2
17
盒的钱，
48 17
816
（元）；
③优惠券方案：48 20
960
（元），
960
888
，可减168 元．
960 168
792
（元）
∵792
816
864
，
∴使用满888 元减168 元优惠券最划算．
答：使用满888 元减168 元优惠券购买最划算．
23．综合与实践
活动主
题
进位制的认识与探究
背景
进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统、约定逢十进一就是十
进制，逢二进一就是二进制，也就是说，“逢几进几”就是几进制，几进制的
基数就是几，为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数，例如，
2
1011
就是二进制的简单写法，十进制数一般不标注基数．
素材一
十进制数
2
1
0
345
3 10
4 10
5 10
，记作345；
六进制数
2
1
0
6
123
1 6
2 6
3 6
，记作
123 6 ；
说明：各进制之间可以进行转化，如：六进制数转化成与其相等的十进制数，
只要将六进制数的每个数字，依次乘6 的相应正整数次幂（指数比数的位数
少1），然后将这些乘积相加，就可得到与它相等的十进制数
11 / 14
素材二
将十进制数化为与其相等的六进制数，用十进制的数除以6，然后将商继续除
以6，直到商小于6，这个商作为最下面的余数，将最后的商与各次所得的余
数按倒序排列即可．如：
6 57
……3（第1 位余数）
2 6
0（第1 位余数）
6 9
……3（第2 位余数）
2 3
1（第2 位余数）
1
……1（最后的商为1）
1
1（最后的商为1）
根据以上材料，解决下列问题：
(1)将二进制数与五进制数转化成为十进制数：
2
101
______，
5
2002
______；
(2)将十进制数13 化成二进制数：13 ______
2 ；
(3)利用二进制四则运算法则进行计算：
2
2
11011
111
______
2 ；
2
2
10001
1101
______
2 ；
【答案】(1)5，252
(2)1101
(3)100010，100
【分析】（1）参考素材一进行求解；
（2）参考素材二进行求解；
（3）参考素材三进行求解．
【详解】（1）解：
2
101
2
1
0
1 2
0
2
1 2
5
，
3
2
1
0
5
2002
2 5
0 5
0 5
2 5
252
；
（2）解：13
2
6
1
，
6
2
3
0
，
3
2
1
1
…… ，
故
2
13
1101
；
（3）解：
2
2
2
11011
+111
100010
2
2
2
11011
111
100010
；
2
2
2
10001
1101
100
2
2
2
10001
1101
100
．
12 / 14
24．【资料阅读】史料：如图1，是我国南宋数学家杨辉1261 年所著《详解九章算法》一书中出现的，称
为“杨辉三角”据资料记载，此图是杨辉取自贾宪所著《释锁算书》，故也称“贾宪三角”，欧洲人帕斯卡在
1654 年也有类似的发现，称为“帕斯卡三角形”，比杨辉迟393 年，比贾宪迟600 年，杨辉三角是一种离散
型数与形的结合，把组合数内在的一些规律直观地从图形中体现了出来，是中国古代数学的杰出研究成果
之一．
规定：若
0
a
，则
0
1
a ．
(1)【问题探究】将“杨辉三角”简化为图2，按照规律：
①第8 行添加的数分别为_____；（相邻两数之间要用“，”分隔开）
②第100 行的数之和用幂可以表示为_____．
(2)如图3，分别画出7 条斜线，并计算出了每条斜线经过的数之和．若继续画出第10 条斜线，该直线经过
的数之和为_____．
(3)【拓展延伸】结合“问题探究”中问题（2）揭示的规律，作如下正方形（数字即为正方形的边长）：
利用上面的正方形按一定规律建构如下长方形，并依次记为长方形①，长方形②，长方形③，长方形④．
13 / 14
按照这样的规律继续建构长方形，则长方形⑪的周长为______．
【答案】(1)①1，8，28，56，70，56，28，8，1；②
100
2
(2)55
(3)754
【分析】（1）①观察杨辉三角可发现下一行数字为上一行对应空格两边数字之和，即可求得答案；
②分别求出每一行的数字之和，并找出规律即可；
（2）找出每条斜线经过的数之和的规律，即可得到答案；
（3）找出后一个长方形的长与宽之和是前两个长方形的数据之和这一规律，即可得到答案．
【详解】（1）解：①观察杨辉三角可发现下一行数字为上一行对应空格两边数字之和，所以第8 行添加
的数分别为1，8，28，56，70，56，28，8，1；
②观察发现
第0 行的和为
0
1
1
2
，
第1 行的和为
1
1 1
2
2
，
第2 行的和为
2
1
2
1
4
2
，
第3 行的和为
3
1
3
3
1
8
2
，
第4 行的和为
4
1
4
6
4
1
16
2
，
故可得第100 行的数之和为
100
2
；
（2）解：观察可知，第1 条斜线经过的数之和为1，
第2 条斜线经过的数之和为1，
第3 条斜线经过的数之和为2
1 1
，
第4 条斜线经过的数之和为3
2 1
，
第5 条斜线经过的数之和为5
3 2
，
第6 条斜线经过的数之和为8
5
3
，
第7 条斜线经过的数之和为13
8
5
，
发现从第3 条开始，每条斜线经过的数之和都为前两条斜线的数据之和，
所以第8 条斜线经过的数之和为13 8
21
，
第9 条斜线经过的数之和为21 13
34
，
故第10 条斜线经过的数之和为34
21
55
；
（3）解：观察：长方形①的长与宽的和为1 1 1
3
，
长方形②的长与宽的和为1 1 1 2
5
，
长方形③的长与宽的和为1 1 1 2
3
8
，
14 / 14
长方形④的长与宽的和为1 1 1 2
3
5
13
，
发现后一个长方形的长与宽之和是前两个长方形的数据之和，
所以长方形⑤的长与宽的和为8 13
21
，
长方形⑥的长与宽的和为13
21
34
，
长方形⑦的长与宽的和为21 34
55
，
长方形⑧的长与宽的和为34
55
89
，
长方形⑨的长与宽的和为55
89
144
，
长方形⑩的长与宽的和为89
144
233
，
长方形⑪的长与宽的和为144
233
377
，
故长方形⑪的周长为377 2
754
．
