文档文本内容
第14 讲 探索与表达规律
内容导航
01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向
02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理
03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解
题型1 数字类规律探索之排列问题
题型2 数字类规律探索之末尾数字问题
题型3 数字类规律探索之新运算问题
题型4 数字类规律探索之等式问题
题型5 图形类规律探索之数字问题
题型6 图形类规律探索之数量问题
04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固
关键词
学习目标导航
探索规律、代数式、
符号表示、特殊到一
般、验证规律。
1. 经历探索数量关系、运用符号表示规律、验证规律的过程，建立符号意
识，发展抽象思维。
2. 会用代数式表示简单问题中的数量关系，能利用合并同类项、去括号等法
则验证所探索的规律。
3. 在探索规律的过程中，体会由特殊到一般、由一般到特殊的数学思想方
法。
4. 通过小组合作与交流，培养观察、归纳、猜想及有条理表达的能力，提高
学习数学的兴趣。
学习重点：探索实际问题中蕴涵的关系和规律，并用代数式表示规律。
学习难点：用字母、运算符号正确地表示一般规律，并利用整式运算进行验证。
知｜识｜框｜架
知识点
01
数字规律型
等差规律：前后两项差几写成几×n，令 n=1，在通过加减来凑第一个数。
例如：上面的第（3）列数，相差 3，则先得到 3n，而第 1 项是 4，当 n=1 时，
3n=3，3+1=4，所有第n 项表示为 3n+1.
拓展延申：
【易错提醒】
数字规律题易错警示：观察相邻差、比值或拆分为平方/立方关系。注意：多级差（如差再差）和周期循
环。验证规律时至少代入前三项，确保通项公式对所有项成立。勿过早下结论。
知｜识｜精｜讲
即时即练1．“一尺之锤，日取其半，万世不竭．”在如图的三角形中，一条中线将一个三角形分为面积
相等的两部分，在此基础上再作一条中线，可得到原三角形一半面积的一半，即
，已知
，
根据这个几何图形的规律求得
…
的值为（ ）
A．1
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】本题考查了数字的规律，结合图形可知：
，
，
，……
，由此发现规律，即可求解．
【详解】结合图形可知：
，
，
，
……
，
则：
故选：B．
2．观察下列等式：
，
，
，
，
，
，
，
，
．回答
下面问题：
的末位数字是 ．
【答案】4
【分析】本题考查了数字型规律的探究．2 的个位数字为2；
的个位数字为6；
的个位数字
为4；
的个位数字为0；
的个位数字为2；确定循环节为4，计算
，确定末位数字即可．
【详解】解：2 的个位数字为2；
的个位数字为6；
的个位数字为4；
的个位数字为0；
的个位数字为2；
所以循环节为4，
因为
，
所以
的末位数字是4．
故答案为：4．
知识点
02
图案规律型
1.基本思想：图形规律 数字规律
2.基本方法：
（1）从具体的实际问题出发,观察各个数量的特点及相互之间的变化规律.
（2）由此及彼,合理联想,大胆猜想
（3）善于类比,从不同事物中发现相似或相同点；
（4）总结规律,得出结论,并验证结论正确与否;
【易错提醒】
图案规律题易错警示：数图形个数与序号的关系（如每次增加固定数量或倍数）。注意：重叠、旋转、对
称等变化，以及位置交替。将图形转化为数字（点、线、面）找规律，验证时代入相邻序号。勿忽略基础
图形。
即时即练1．化学中把仅有碳和氢两种元素组成的有机化合物称为碳氢化合物，又叫烃，如图，这是部分
碳氢化合物的结构式，第1 个结构式中有1 个C 和4 个H，分子式是
；第2 个结构式中有2 个C 和6
个H，分子式是
；第3 个结构式中有3 个C 和8 个H，分子式是
…按照此规律，回答下列问题．
(1)第6 个结构式的分子式是________；
(2)第n 个结构式的分子式是________；
(3)试通过计算说明分子式
的化合物是否属于上述的碳氢化合物．
【答案】(1)
(2)
(3)不属于，理由见解析
【分析】本题考查了图形规律问题 ，旨在考查学生的抽象概括能力，根据图示确定一般规律即可求解．
（1）由图可知：第n 个结构式中有
个C 和
个H，分子式是
，据此即可求解；
（2）由（1）中的结论即可求解；
（3）令
，计算
即可判断；
【详解】（1）解：由图可知：第n 个结构式中有
个C 和
个H，分子式是
；
∴第6 个结构式的分子式是
，
故答案为：
（2）解：由（1）可知：第n 个结构式的分子式是
，
故答案为：
（3）解：令
，则
，
∴分子式
的化合物不属于上述的碳氢化合物
2．【观察思考】
用同样大小的圆形棋子按如图所示的规律摆放：第1 个图形中有6 个棋子，第2 个图形中有9 个棋子，第3
个图形中有12 个棋子，第4 个图形中有15 个棋子，以此类推．
【规律发现】
（1）第6 个图形中有____________个圆形棋子；
（2）第n 个图形中有____________个圆形棋子；（用含n 的代数式表示）
【规律应用】
（3）将2024 个圆形棋子按照题中的规律一次性摆放，且棋子全部用完．若能摆放，是第几个图形？若不
能，请说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）不能，理由见解析
【分析】本题主要考查数与形结合的规律，以及列代数式相关知识，发现每一个图形中的棋子数比前一个
图形多3 个是解本题的关键．
（1）观察得到每一个图形中的棋子数比前一个图形多3 个，即可得出答案；
（2）根据（1）中规律表示出第n 个图形中的棋子数，即可得解；
（3）由（2）中的规律可知，
，解方程并分析即可解题．
【详解】（1）解：由图知，第1 个图形中有
个圆形棋子，
第2 个图形中有
个圆形棋子，
第3 个图形中有
个圆形棋子，
第4 个图形中有
个圆形棋子，
，依此类推，
第6 个图形中有
个圆形棋子，
故答案为：
．
（2）解：由（1）中规律可知，第
个图形中有
个圆形棋子，
故答案为：
．
（3）解：不能，理由如下：
由题知，
，解得
，
不为整数．
2024 个圆形棋子不能按照题中的规律一次性摆放．
题型1 数字类规律探索之排列问题
【例1】一列数
第6 项是 ，第2018 项是 ．
【答案】
【知识点】数字类规律探索
【分析】观察不难发现，分子都是1，分母是以2 为底数的幂，是第n 项，2 的指数就是
，由此写出第
6 项和2018 项即可．
本题主要考查通过分析数的变化总结归纳规律，解题的关键在于求出分母的变化规律．
【详解】解：第6 项是
；
第2018 项是
．
故答案为：
；
．
【例2】观察下列一组有规律的数：
，
，
，
，
，
，
，根据其规律可知：第
个数是
．
【答案】
【知识点】数字类规律探索
【分析】本题考查了数字类规律探索，根据所给数得出规律即可，正确得出规律是解此题的关键．
【详解】解：∵
，
，
，
，
，
，…，
∴第
个数是
，
故答案为：
．
【技巧归纳】
观察数字排列的序号与数值关系：通常与n 有关（等差、等比、平方、周期）。先列前几项，找差或比的
变化，构造通项公式。注意符号交替用(-1)n。分奇偶项讨论，验证首项是否符合通项。常见于数表、数列
题。
【变式1-1】有一列数：
，
，
，
，
，则第
个数表示为 ．
【答案】
【知识点】数字类规律探索
【分析】本题考查了数字的变化规律，找出分子分母的联系，得出运算规律是解决问题的关键．通过观察
分别找出分子分母的规律即可解答．
【详解】解：观察可得：
分母：
，则则第
个数的分母为
，
分子：
，则则第
个数的分子为
，
故第n 个数为
．
故答案为：
．
【变式1-2】按一定规律排列的一组数据：
，则按此规律排列的第
个数是
．
【答案】
【知识点】数字类规律探索
【分析】本题主要考查了探究数字的规律问题，确定分子和分母变化的规律是解题的关键．通过观察：从
符号看，正负相隔，奇数项为正数，偶数项为负数，从绝对值看，它们的分子是连续的正整数的平方，分
母是连续的奇数．据此求解即可．
【详解】解：∵
、
、
、
、
、
∴按此规律排列的第
个数是
，
故答案为：
．
题型2 数字类规律探索之末尾数字问题
【例3】观察等式：
，
，
，
，
，
，
，…．通过观察，用你
发现的规律确定
的个位数字是 ．
【答案】6
【知识点】数字类规律探索
【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，观察可知，
这一列数字每4 个数为一个循环，
其个位数字依次为2，4，8，6，再根据
即可得到答案．
【详解】解：
，
，
，
，
，
，
，…，
以此类推可得，
这一列数字每4 个数为一个循环，其个位数字依次为2，4，8，6，
∵
，
∴
的个位数字是6，
故答案为：6．
【例4】计算
，
，
，
，
，…归给计算结果中的个位数字规律，
猜测
的个位数字是 ．
【答案】
【知识点】数字类规律探索
【分析】本题主要考查规律，熟练掌握规律是解题的关键．根据规律进行解题即可．
【详解】解：由题意可知，个位数字以
为周期按照
的顺序进行循环，
，
故猜测
的个位数字是
．
故答案为：
．
【技巧归纳】
末尾数字具有周期性。计算前几项尾数，找循环节长度。如2n尾数：2,4,8,6 循环。用指数除以周期长度，
余数决定末位。注意余数为0 时对应周期末位。可用于幂运算、乘积尾数。验证多算几个确保周期。
【变式2-1】观察下列几个算式：
；
；
；
，……，结合你观察到的规律判断：
的计算结果的末位数字为 ．
【答案】
【知识点】数字类规律探索
【分析】本题考查了多项式的乘法运算以及数字的变化规律，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
根据已知的式子的特点得出规律，求出式子的结果，再求出
的末位数字，即可得解．
【详解】解：根据题意可知：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
的乘方运算，其末位数字分别为
，
，，
，每
个为一组，依次循环，
，
的末位数字为
，
的末位数字为，
即
的计算结果的末位数字为，
故答案为：．
【变式2-2】二进制即“逢二进一”，如
表示二进制，将它化为十进制数为
，（注：
），把二进制数
（注：里面有2024 个1）化
为十进制数后，此十进制数的个位数字是 ．
【答案】5
【知识点】数字类规律探索、乘方的应用
【分析】本题考查了数字类规律探索、有理数乘方的应用，正确归纳类推出一般规律是解题关键．先利用
二进制与十进制之间的转换公式、有理数乘方法则可得
，再归纳类推出
的个位数字是以
为一个循环，（其中
为正整数），然后求出
的个位数字，由
此即可得．
【详解】解：由题意得：
，
∵
，
，
，
，
，
，
∴
的个位数字是以
为一个循环，（其中
为正整数），
∵
，
∴
的个位数字与
的个位数字相同，即为6，
∴
的个位数字为
，
即把二进制数
（注：里面有2024 个1）化为十进制数后，此十进制数的个位数字是5，
故答案为：5．
题型3 数字类规律探索之新运算问题
【例5】已知
，其中
表示当
时代数式的值，如
，则
，
．
【答案】
/0.75
【知识点】多个有理数的乘法运算、数字类规律探索
【分析】根据题意求得代数式
的值，然后根据有理数的乘法进行计算即可求解．本题考查了代数式求
值，有理数的混合与运算，理解题意是解题的关键．
【详解】解：依题意，
，
∴
，
故答案为：
，
．
【例6】已知
．设
为正整数，请用关于
的等
式表示这个规律 ．
【答案】
【知识点】数字类规律探索
【分析】本题考查了数字类规律探索，根据题干已有式子结构，得
的等式表示这个规律
，正确掌
握相关性质内容是解题的关键．
【详解】解：∵
，
∴关于
的等式表示这个规律为
，
故答案为：
．
【技巧归纳】
先理解新运算规则，列举前几项计算结果，观察是否成等差、等比或周期变化。用序号n 表示规律，常见
与n 的一次、二次或指数函数有关。验证时多代几个n。若涉及递推，写出递推式并求通项。注意初始条
件。
【变式3-1】a 是不为2 的有理数，我们把
称为a 的“伴随数”，如3 的“伴随数”是
，
的“伴随数”是
，已知
，
是
的“伴随数”，
是
的“伴随数”，
是
的“伴随
数”，…，以此类推，则
等于 ．
【答案】4
【知识点】数字类规律探索
【分析】本题考查了数字类的规律探究，实数的运算等知识点，解题的关键在于根据题意推导出一般性规
律．
根据所给“伴随数”的定义，依次求出，
，发现规律即可解决问题，能通过计算发现从开始，这
列数按
重复出现是解题的关键．
【详解】解：由题意知，
，
，
，
，
，
由此可知，这列数按
重复出现，
，
，
故答案为：4．
【变式3-2】定义一种对正整数n 的“F”运算：①当n 为奇数时，
；②当n 为偶数时，
（其中k 是使
为奇数的正整数）…两种运算交替进行，例如，取
，则
…，有按此规律继续计算，第2025 次“F”运算的结果是 ．
【答案】1
【知识点】数字类规律探索、含乘方的有理数混合运算
【分析】本题考查了数字的变化类、有理数的混合运算，解决本题的关键是掌握“给什么用什么”是“新
定义”解题的基本思路．
计算出
时第
次运算的结果，通过计算从第5 次开始，结果就只有1 和4 两个数循环出现，
进而观察规律即可得结论．
【详解】解：当
，
第1 次“F”运算的结果是：
，
第2 次“F”运算的结果是：
，
第3 次“F”运算的结果是：
，
第4 次“F”运算的结果是：
第5 次“F”运算的结果是
，
第6 次“F”运算的结果是
，
第7 次“F”运算的结果是
，
…
以此类推可知，从第5 次“F”运算开始，每两次“F”运算为一个循环，运算的结果为1、4 依次出现，且当
次数为偶数时，结果是4，次数为奇数时，结果是1，
∴第2025 次“F”运算的结果是1，
故答案为：1．
题型4 数字类规律探索之等式问题
【例7】观察下列算式：
①
②
③
……
把这个规律用含字母
（
为正整数）的式子表示出来 ．
【答案】
【知识点】数字类规律探索、用代数式表示数、图形的规律
【分析】本题考查了数字类规律研所，根据已知算式发现规律是解题关键．观察所给算式可知，对于三个
连续自然数，最大和最小的自然数的积与中间一个自然数平方的差等于
，即可用含n 的式子表示出来即
可．
【详解】解：观察已知算式把这个规律用含字母
（
为正整数）的式子表示出来为
，
故答案为：
．
【例8】已知
根据以上规律，可得
，猜想：
．经检验，猜想 （填“正确”或“错误”）．
【答案】 80 正确
【知识点】数字类规律探索
【分析】本题考查数字变化的规律，能根据所给等式发现
为大于1 的整数）是解题的
关键．根据所给等式，发现其各部分的变化规律即可解决问题．
【详解】解：由题知，
因为
，
，
，
，
所以
为大于1 的整数）．
当
时，
．
因为
；
，
经检验，猜想正确．
故答案为：80，正确．
【技巧归纳】
观察等式左右结构：左边项数、右边结果与序号n 的关系。常见左边为连续数求和，右边为平方或乘积形
式。先写前几个等式，归纳一般式，再用代数验证。注意符号（如奇数项为负）可用(-1)n处理。拆项配
对。
【变式4-1】观察下列式子：
…探索以上式子的规律，请写出第n 个
等式： ．
【答案】
【知识点】数字类规律探索
【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，根据题意可知两个连续的奇数的乘积加上1 等于较小的奇数
加上1 之后的平方，据此规律可得答案．
【详解】解：第一个式子为
，
第二次式子为
，
第三个式子为
，
……，
以此类推可知，第n 个式子为
，
故答案为：
．
【变式4-2】定义新运算：
，
（右边的运算为平常的加、减、乘、除）．
例如∶
，
．
若
，则称有理数a，b 为“隔一数对”．
例如∶
，
，即
，所以2，3 就是一对“隔一数对”．
请同学们解答下列问题：
(1)
，1 是“隔一数对”吗？请说明理由；
(2)已知两个连续的非零整数都是“隔一数对”，计算：
．
【答案】(1)不是“隔一数对”
(2)
【知识点】数字类规律探索、有理数四则混合运算
【分析】本题考查了有理数的混合运算、数字的变化规律等知识点，理解“隔一数对”的定义并掌握有理
数混合运算法则是解题关键．
（1）根据“隔一数对”的新定义进行计算判断即可；
（2）先根据新定义计算再根据有理数加减运算即可．
【详解】（1）解：由题意可得∶
，
，
∴
，
∴不是“隔一数对”．
（2）解：由题意可得∶
．
题型5 图形类规律探索之数字问题
【例9】观察下列正方形中四个数，分别具有的一定规律，根据规律可得
．
【答案】
【知识点】数字类规律探索、用代数式表示数、图形的规律
【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，代数式求值，观察可知，右下角的数等于其他三个数的和，
且上面两个数是从1 开始的自然数，左下角的数是从2 开始的自然数，据此求出
，则
，再代值计算即可．
【详解】解：
，
，
，
以此类推可知，右下角的数等于其他三个数的和，
观察可知上面两个数是从1 开始的自然数，左下角的数是从2 开始的自然数，即第
幅图，右上角的数为
，左下角的数为
，左上角的数为
，
当
时，解得
，
把
，代入
得：
，
，
，
故答案为：
．
【例10】下面每个表格中的四个数都是按相同规律填写的：
根据此规律确定
的值为
【答案】819
【知识点】数字类规律探索
【分析】本题考查了数字规律，理解表格中数轴的变换规律是解题的关键．
根据题意，上方第一格的数值依次是
的整数，第二格的数值依次是
的整数，下方第一格的数
值依次是
的整数，第二格的数值依次是
，由此列式求解．
【详解】解：表格从左往右，从上往下，
上方第一格的数值依次是
的整数，第二格的数值依次是
的整数，
下方第一格的数值依次是
的整数，第二格的数值依次是
，
∴
，
解得，
，
∴
，
∴
，
故答案为：819 ．
【技巧归纳】
从图形中数出点、线、面的数量，与序号n 建立关系。观察增量（等差、等比或二次）。先列图表，找第
n 个图形与第n-1 个图形差值，再求通项。如正多边形对角线数n(n-3)/2。注意初始条件和图形变化规则。
【变式5-1】我们知道，
，那么如何求
的值？
【观察思考】请你仔细观察，找出下面图形与算式的关系：
【归纳猜想】
（1）
______．
（2）
______．
【拓展应用】
（3）求
的值．
【答案】（1）225；（2）
；（3）
【知识点】含乘方的有理数混合运算、图形类规律探索
【分析】本题考查了有理数的混合运算，以及规律型：图形的变化类，得出规律并运用规律解决实际问题
是解本题的关键．
（1）根据前四个图直接推出结论，即可；
（2）由（1）发现规律可得
，即可．
【详解】（1）解：根据题意得：
，
，
，
；
故答案为： 225
（2）解：由（1）发现：
；
（2）解：
．
【变式5-2】观察下列图形．将边长为1 的正方形纸片按图1 所示方法进行对折，记第1 次对折后得到的图
形面积为
，第2 次对折后得到的图形面积为
，第
次对折后得到的图形面积为
．
(1)继续观察图形填空：设
，计算
___________，并在上面某个图中
将表示
的区域涂成阴影；
(2)请根据上面图形计算：
___________（直接写出结果）
(3)观察图形并探索（ ）中各式的规律：试写出第
个等式
___________，并说明第
个等式成立．
【答案】(1)
(2)
(3)
，详见解析
【知识点】图形类规律探索、数字类规律探索
【分析】本题主要考查了图形规律，列代数，有理数的乘方，正确找到图形的规律是解决此题的关键，
（1）按题意计算画图即可得解；
（2）由图找到数的规律进行计算即可得解；
（3）由图找到数的规律进行计算即可得解；
【详解】（1）解：画图如下，
，
故答案为：
；
（2）解：由图知，
第1 次分割，把正方形的面积二等分，其中阴影部分的面积为
；
第2 次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积之和为
；
第3 次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，
…；
第2025 次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后二等分；
所有阴影部分的面积之和为
，
最后空白部分的面积是
，
∴
，
故答案为：
；
（3）解：由图知，
，
，
，
，
，
∴第
个等式
，
故答案为：
．
题型6 图形类规律探索之数量问题
【例11】下图是由边长相同的小正方形组成的，其中部分小正方形涂有阴影，依此规律完成此题：
图形标号
第一个
第二个
第三个
第四个
涂有阴影的小正方形的个
数
5
a
13
b
(1)
________，
________；
(2)第n 个图形中涂有阴影的小正方形的个数为________个；（用含n 的代数式来表示）
(3)按照这种规律下去，求第400 个图形中涂有阴影的小正方形的个数．
【答案】(1)9；17
(2)
(3)1601
【知识点】图形类规律探索
【分析】本题是图形的规律探究题，找到题目中的规律，并用代数式把规律表示出来是解决本题的关键．
（1）观察图形规律，可知第1 图涂有阴影的小正方形的个数为5 个，第2 图涂有阴影的小正方形的个数为
个，第3 个图涂有阴影的小正方形的个数为
个，以此类推，可知第4 图涂有阴影的小正
方形的个数；
（2）观察可知后面一个图形比前面一个图形多4 个涂有阴影的小正方形，据此规律求解即可；
（3）将
代入
计算求解即可．
【详解】（1）解：第2 个图形涂有阴影的小正方形的个数为
个，即
，
第4 个图形涂有阴影的小正方形的个数为
7 个，即
故答案为：9，17；
（2）观察图形规律，可知：
第1 个图形涂有阴影的小正方形的个数为个，，
第2 个图形涂有阴影的小正方形的个数为
个，
第3 个图形涂有阴影的小正方形的个数为
个，，
第4 个图形涂有阴影的小正方形的个数为
7 个
以此类推，
第n 个图形涂有阴影的小正方形的个数为
个，，
故答案为：
；
（3）解：将
代入
中得：
即第400 个图形中涂有阴影的小正方形的个数为
根．
【例12】用火柴棒按图中的方式摆图形：
按图示规律填空：
图形标号
①
②
③
④
⑤
火柴棒的根数
5
9
13
(1)
________，
________；
(2)按照这种方式搭下去，则搭第
个图形需要火柴棒的根数为________；（用含
的代数式来表示）
(3)按照这种方式搭下去，用（2）中的代数式求搭第2024 个图形需要的火柴棒的根数．
【答案】(1)
，
(2)
(3)
【知识点】图形类规律探索、已知字母的值 ，求代数式的值
【分析】此题主要考查了图形的变化类，注意结合图形，发现蕴含的规律，找出解决问题的途径．
（1）根据所给图形可得a，b 的值；
（2）根据（1）的结果可得出规律；
（3）把n 的值代入（2）的规律式中可求值．
【详解】（1）解：由图④可数出火柴棒的根数为17，故可得
，
由图①②③④可得图⑤为：
，
故
；
故答案为：17；21．
（2）解：由（1）可得第n 个图形需要火柴棒的根数为
，
故答案为：
；
（3）解：将
代入
中得：
．
即第2024 个图形需要的火柴棒根数为8097 根．
【技巧归纳】
图形数量规律：通常与边长或序号n 的一次、二次式相关。观察每层增加的数量，列递推关系。如正方形
点阵总数n ²，三角形点阵n(n+1)/2。用通项公式表示，并用n=1 验证。注意图形旋转对称可简化计算。分
拆成基本图形。
【变式6-1】如图，在边长都为a 的正方形内分别排列着一些大小相等的圆．
(1)根据图中的规律，第4 个正方形内圆的个数是________，第n 个正方形内圆的个数是________．
(2)如果把正方形内除去圆的部分都涂上阴影
①第1 个正方形中阴影部分的面积为________，第n 个正方形中阴影部分的面积为________（用含a 的代
数式表示，结果保留
）．
②若
，请直接写出第2 024 个正方形中阴影部分的面积：________（结果保留
）．
【答案】(1)16，
(2)①
；②
【分析】本题考查了图形类找规律，列代数式，代数式求值，整式的加减，找到规律是解题的关键．
（1）分别求出前几个图形内圆的个数，发现规律进而求得第n 个正方形中圆的个数；
（2）①根据正方形的面积减去圆的面积求解即可；②同理可知第n 个图中的阴影部分面积也是为
，
将
代入
中求解即可．
【详解】（1）解：第1 个正方形内圆的个数是
，
第2 个正方形内圆的个数是
，
第3 个正方形内圆的个数是
，
第4 个正方形内圆的个数是
，
……
第
个正方形内圆的个数是
．
（2）①第1 个正方形中，
，
第
个正方形中，
．
②从以上计算看出各个正方形中阴影部分的面积均相等，与圆的个数无关．
第
个正方形中阴影部分的面积
，
当
时，第2024 个正方形中阴影部分的面积为
．
【变式6-2】如图，将形状，大小完全相同的“●”和线段按照一定的规律摆成下列图形，第1 个图案中
“●”的个数为3，第2 个图案中“●”的个数为8，第3 个图案中“●”的个数为15，…，以此类推．
(1)第5 个图案中“●”的个数是________．
(2)请用含n 的代数式表示第n 个图案中“●”的个数．
(3)请用含n 的代数式表示第n 个图案中最长的线段上“●”的个数．
【答案】(1)35
(2)
或
个
(3)
个
【知识点】用代数式表示数、图形的规律、图形类规律探索
【分析】本题考查了图形的变化规律．
（1）根据每组图形规律列出点数即可求得；
（2）根据第一问列出的点数特点总结规律即可；
（3）根据每组图形规律列出每个图案中最长的线段上“●”的个数，即可得解．
【详解】（1）解：观察图形：
第1 个图案中“●”的个数是
个，
第2 个图案中“●”的个数是
个，
第3 个图案中“●”的个数是
个，
第4 个图案中“●”的个数是
个，
∴第5 个图案中“●”的个数是
个，
故答案为：35；
（2）解：
，
，
，
，
……
由上规律知，第n 个图案中“●”的个数为
或
；
（3）解：第1 个图案中最长的线段上“●”的个数为2，
第2 个图案中最长的线段上“●”的个数为3，
第3 个图案中最长的线段上“●”的个数为4，…，
∴第n 个图案中最长的线段上“●”的个数为
．
一、单选题
1．我们规定一个新数“i”，使其满足
并进一步规定：一切有理数可以与新数进行四则运算，
且原有的运算律和运算法则仍然成立，于是有
则
值为（ ）
A．i
B．
C．
D．1
【答案】D
【分析】根据给定规则可得的幂次以
为周期循环，先计算每
个连续项的和，再分组计算剩余项即可得
到最终结果．
【详解】解：∵
，
，
，
，
，
∴
，
，
，
，
，
∴算式中的项以
循环，
∵
，
，
∴
=1．
2．已知有理数a≠1，我们把
称为
的“差倒数”，如：2 的“差倒数”是
，−1的“差倒
数”是
．若
，a2是a1的“差倒数”，a3是a2的“差倒数”，a4是a3的“差倒数”，…，
依此类推，则a2025的值是( )
A．
B．
C．4
D．
【答案】C
【分析】根据差倒数的定义计算前几项，找出数列的循环规律，再通过除法运算得到余数，根据规律得出
a2025的值．
【详解】解：∵
∴
∴该数列以
三个数为一个周期循环
∵
，刚好整除
∴
故选：C．
3．下列各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，
的值为（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】观察可知，右上角的数
左下角的数，左下角的数
左上角的数
，根据右上角的数求a、b
的值，再判断出右下角的数
左下角的数与右上角的数的积
左上角的数，得到
，即可求解．
【详解】如图，
∵左下角的数依次为
，右上角的数依次为
，
∴右上角的数
左下角的数，即
，解得：
，
∵左上角的数依次为
，左下角的数依次为
，
∴左下角的数
左上角的数
，即
，解得：a=7，
∵根据( )可得：
，
根据(
)可得：
，
根据( )可得：
，
∴推出第(
)个式子为：
，
∴
．
4．链状烷烃是一类由碳，氢元素组成的有机化合物，这类物质前四种化合物的分子结构模型如图，其中
灰球代表碳原子，白球代表氢原子．第1 种如图①有1 个碳原子和4 个氢原子，化学式为
；第2 种如
图②有2 个碳原子和6 个氢原子，化学式为
；第3 种如图③有3 个碳原子和8 个氢原子，化学式为
C3H8…按照这一规律，第2026 种化合物的化学式为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据题意易得第n 种有n 个碳原子和
个氢原子，化学式为CnH2n+2，然后问题可求解．
【详解】解：∵第1 种如图①有1 个碳原子和
个氢原子，化学式为
；
第2 种如图②有2 个碳原子和
个氢原子，化学式为
；
第3 种如图③有3 个碳原子和
个氢原子，化学式为C3H8；
……；
∴第n 种有n 个碳原子和
个氢原子，化学式为CnH2n+2，
∴第2026 种化合物的化学式为
．
5．观察下列等式：
；
；
；
根据以上规律计算
的值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据已知等式总结规律，再将所求式子变形，计算即可．
【详解】解：由已知等式可归纳出规律：
∵(x−1)(x
n+ x
n−1+…+ x +1)= x
n+1−1
令
，代入得：(3−1)(3
2025+3
2024+…+3+1)=3
2026−1
∴2×(3
2025+3
2024+…+3+1)=3
2026−1
∴3
2025+3
2024+…+3+1= 3
2026−1
2
．
二、填空题
6．按规律排列的一组数：
，按此规律第n 个数为________．
【答案】
【分析】将数列各数的分子，分母分开，根据已知项找出分子分母与对应序号
的变化规律，归纳得到第
个数的表达式．
【详解】解：观察已知排列的数：
第个数：
；
第
个数：
；
第个数：
；
第
个数：
；
；
按此规律，可得第
个数的分子为2n−1，分母为
．
∴第
个数为
．
7．如图，填在各方格中的三个数之间均具有相同的规律，根据此规律，n 的值是____________．
【答案】44
【分析】根据前三个图的数字变化，得出数字规律即可求出
，
的值．
【详解】解：∵第1 个图中，
，
，
第2 个图中，
，
，
第3 个图中，
，
，
∴第4 个图中，
，
．
8．中国结艺是中国特有的民间手工编结艺术，体现了中国人民的智慧和深厚的文化底蕴．如图，抽离出
其平面图形，若其中第1 个图形中共有9 个小正方形，第2 个图形中共有14 个小正方形，第3 个图形中共
有19 个小正方形，…；则第10 个图形小正方形的个数为__________．
【答案】54
【详解】解：由图可知：第1 个图形中共有
个小正方形，第2 个图形中共有
个小正
方形，第3 个图形中共有
个小正方形，…；
∴第
个图形小正方形的个数为
个，
∴第10 个图形小正方形的个数为
．
9．“数学好玩”兴趣小组做一个数字游戏．第一步：取一个自然数
，计算
得a1；第二步：算
出a1的各位数字之和得n2，计算
得a2；第三步，算出a2的各位数字之和得n3，计算
得a3；
…………以此类推，则
______．
【答案】26
【分析】根据题意分别求出
以及
的值，由此发现an以26，65，122 三个数为一个循环，
即可求解．
【详解】解：根据题意得：
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
……，
由此发现，an以26，65，122 三个数为一个循环，
∵
，
∴
．
10．计算3 的正整数次幂，
，
，
，
，3
5=243，
，
，
…观察归纳各计算结果中个位数字的规律，可得
的个位数字是_______．
【答案】9
【分析】根据已知数据得到
的个位数字以
四个一组循环，通过计算指数除以周期的余数，即可得
到
的个位数字．
【详解】解：由题意，可知
的个位数字以
四个一组循环，
，
的个位数字是循环组中的第2 个数字，即为．
三、解答题
11．找规律
(1)观察：4×6=24，
，
，
，……
你发现其中的规律了吗？如何用代数式表示这一规律？
(2)利用（1）中的规律计算
．
(3)你还能找到哪些类似的规律？试举两例．
【答案】(1)
（
为非负整数）
(2)
(3)
示例：
，
（答案不唯一，符合规律即可）
【分析】（1）根据
个例题的计算过程找到规律，用含
的代数式表示出规律即可；
（2）根据（1）中的规律计算即可；
（3）通过观察可知相乘的两个数的个位数相加为
，其他数位上的数字相同，根据规律写出两个符合规
律的算式．
【详解】（1）解：4×6=24，
，
，
，
，
根据规律可得：
（
为非负整数）；
（2）解：根据规律可得：
；
（3）解：
，
（答案不唯一）．
12．观察下列各式：
①
②
③
……，
探索以上式子的规律：
(1)第5 个等式是 ；
(2)试写出第n 个等式，并用所学知识说明第n 个等式成立．
【答案】(1)
(2)
，说明过程见解析
【分析】（1）由已知等式得出奇数与比它大4 的奇数的积与4 的和等于这两个奇数中间的奇数的平方即可
得；
（2）根据以上所得规律列出等式即可得，再利用整式的混合运算验证左右两边是否相等即可．
【详解】（1）解：第5 个等式是
；
（2）解：由题意得，第n 个等式为
，
理由：左边
，
右边
，
左边
右边，
．
13．在数学活动中，小明为了求
的值，写出下列解题过程．
设：
①
两边同乘以2 得：
②
由②−①得：S =2
n+1−2
(1)应用结论：
______；
(2)拓展探究：
①求：
的值；
②求：
的值．
【答案】(1)
；
(2)①
；②
.
【分析】（1）将
代入
中即可得解；
（2）①模仿题目中的算法计算即可；
②模仿题目中的算法计算即可.
【详解】（1）解：由题干得：
，
将
代入
得：
；
（2）解：①设
①，
两边同乘
得：
②，
由
得：
，
∴
；
②设
①，
两边同乘2 得：
②，
由
得：
．
14．第1 个等式：1
1×3 = 1
2 ×(1−1
3)；
第2 个等式：
1
3×5 = 1
2 ×(
1
3 −1
5)；
第3 个等式：
；
第4 个等式：
．
(1)探寻上述等式规律，写出第5 个等式：_________；
(2)求
的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）观察所给的式子即可求出；
（2）根据题意把原式变形为
，即可求解．
【详解】（1）解：第5 个等式为
（2）解：
15．将一个面积为1 的三角形分成4 个面积相等的小三角形如图①，再将图①中心的小三角形按同样的方
式分成4 个面积相等的小三角形如图②，再将图②中心的小三角形按同样的方式分成4 个面积相等的小三
角形如图③，以此类推．
(1)图①中阴影部分的面积为 ，图②中阴影部分的面积为 ，图③中阴影部分的面积为 ；
(2)计算：
．
【答案】(1)
；
，
(2)
【分析】（1）根据图形推理即可解得答案；
（2）根据图形得出图n 中空白部分的面积为
．再将
代入得出答案即可．
【详解】（1）解：由题知：
图①中阴影部分的面积为：
；
图②中阴影部分的面积为：
；
图③中阴影部分的面积为：
；
…，
所以图n 中阴影部分的面积为
．
（2）解：由题知，
图①中空白部分的面积为：
；
图②中空白部分的面积为：
；
图③中空白部分的面积为：
；
…，
所以图n 中空白部分的面积为：
．
当
时，
．
16．用长度相同的小棒按图所示的方式摆正方形，从上往下数，第2 层起，每层比上一层多一个正方形，
第1 个图形需要4 根小棒，第2 个图形需要10 根小棒，第3 个图形需要18 根小棒．
【特例感知】（1）第4 个图形比第3 个图形多_____根小棒；
【探索规律】（2）第
个图形需要的小棒根数比第
个图形多100 根，求
的值；
【拓展运用】（3）若第
个图形竖放小棒根数是其序号
的
倍，请用含
的代数式表示
．
【答案】（1）10；（2）49；（3）
【分析】本题考查图形类规律探索，找出图形变化规律是解题的关键．
（1）根据前3 组数据找出变化规律，利用规律求解；
（2）第
个图形需要的小棒根数比第(n−1)个图形多
根小棒，由此列方程求解；
（3）第n 个图形有n 层，每层竖放小棒数为
【详解】解：（1）由题意知，第2 个图形比第1 个图形多6 根小棒，
，
第3 个图形比第2 个图形多8 根小棒，
，
以此类推，第4 个图形比第3 个图形多：
根小棒，
故答案为：10；
（2）由（1）知第
个图形需要的小棒根数比第(n−1)个图形多
根小棒，
令
，
解得
；
（3）由题意得，第n 个图形竖放小棒根数为
，
解得
．
17．【观察思考】
如图，这是由正六边形组成的一系列图案，其中第1 个图案有4 个正六边形；第2 个图案有7 个正六边形；
第3 个图案有10 个正六边形；第4 个图案有13 个正六边形……
【规律发现】
（1）第5 个图案有__________个正六边形．
（2）第
（
是正整数）个图案有__________个正六边形．（用含
的式子表示）
【规律应用】
（3）若小明在摆某一个图案时用到了2026 个正六边形，请你通过计算判断小明摆的是第几个图案．
【答案】（1）16；（2）
；（3）第675 个
【分析】本题主要考查了图形变化的规律及列代数式，能根据题意得出正六边形个数变化的规律是解题的
关键；
（1）根据所给图形，依次求出图形中正六边形的个数，发现规律即可解决问题；
（2）结合（1）中发现的规律即可解决问题；
（3）结合上面发现的规律进行计算即可．
【详解】解：（1）由所给图形可知，
第1 个图案中正六边形的个数为：
；
第2 个图案中正六边形的个数为：
；
第3 个图案中正六边形的个数为：10=3×3+1；
，
所以第
个图案中正六边形的个数为
．
当n=5时，
，
即第5 个图案中正六边形的个数为16．
故答案为：16；
（2）由（1）知，
第
个图案中正六边形的个数为
．
故答案为：
；
（3）由
得，
，
所以小明摆的是第675 个图案．
18．【规律探究】数形结合是一种重要的数学思想，观察下列图形，探究其中的数学规律并解决问题．
(1)探究一：点阵等式规律
观察下面的点阵（图）和相应的等式：
①
；
②
；
③
；
④
；…
①填空：
（ ）
2；
②猜想：
（ ）
2（
是正整数）．
(2)探究二：平面密铺规律
如图
，此图案由边长相等的正六边形、正方形、正三角形无重叠、无缝隙密铺而成．图案的几何中心为
块正六边形，从内向外逐层环绕正方形与正三角形：第一层有
块正方形、
块正三角形；第二层有
块
正方形、
块正三角形；以此类推．
①第层中分别含有________块正方形和________块正三角形；
②第
层中分别含有________块正方形和________块正三角形（用含
的代数式表示）．
(3)【应用拓展】
某市打算在一个新建广场中央，采用如图
的样式铺设地面，现有块正六边形地砖和
块正方形地砖，
若正方形地砖全部用完，且恰好铺满完整的层数，按上述规律铺设，还需要多少块正三角形地砖？请写出
计算过程．
【答案】(1)
5
①；②
(2)
6
①，30；②
(3)还需要600 块正三角形地砖
【分析】（1）根据给出的等式进行推导即可得出结果；
（2）观察可知，每一层均有6 块正方形，后一层比前一层多12 块正三角形，据此进行求解即可；
（3）根据（2）中规律进行作答即可.
【详解】（1）解：①
；
②
；
③
；
④
；
…，
∴
；
；
（2）解：观察可知，每一层均有6 块正方形，后一层比前一层多12 块正三角形，
∴①第层中分别含有6 块正方形和18+12=30块正三角形；
②第
层中分别含有6 块正方形和
块正三角形；
（3）解：铺设这样的图案，还需要600 块正三角形地板砖．理由如下：
（层），
块正方形地板砖可以铺设这样的图案10 层；
∵铺设
层需要正三角形地板砖的数量为：
，
∴当
时，
．
故铺设这样的图案，还需要600 块正三角形地板砖．
