第14 讲一次函数的图象
内容导航
01 预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向
02 教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理
03 题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解
题型1 正比例函数的图象和性质
题型2 画正比例函数的图象
题型3 一次函数的图象和性质
题型4 比较一次函数值的大小
题型5 根据一次函数的性质判定经过的象限
题型6 利用一次函数增减性求值
题型7 根据一次函数增减性求参数
题型8 一次函数图象与坐标轴的交点问题
题型9 一次函数图象的平移问题
题型10 两个一次函数图象共存问题
题型11 一次函数中的规律探究问题
题型12 两个一次函数图象共存问题
04 过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固
关键词
学习目标导航
一次函数图象、直线、
k、b、增减性、截距、
数形结合。
1. 掌握用描点法画一次函数图象的步骤，知道一次函数的图象是一条直线。
2. 理解一次函数y = kx + b 中，k 决定直线的倾斜方向和增减性，b 决定直
线与y 轴的交点位置。
3. 掌握正比例函数y = kx 的图象是过原点的一条直线，能根据图象说出函数
的性质。
4. 体会数形结合思想，能根据图象信息解决简单问题（如判断函数值的大小）。
学习重点：一次函数图象的画法，以及k 和b 对图象位置和形状的影响。
学习难点：理解k 的几何意义（倾斜程度）和b 的几何意义（纵截距），以及k 与一次函数增减性的
关系。
知｜识｜框｜架
知｜识｜精｜讲
知识点01 正比例函数的图象与性质
1）一次函数图象是一条直线；
2）已知一点可以作图，也可求出解析式；
3）交y 轴于点（0，0），交x 轴于点（0，0）；
4）过象限、增减性
y=kx
过原点（0,0）的一条直线
k 值
0
k
0
k
大致图象
经过象限
经过第一、三象限
经过第二、四象限
增减性
y 随x 的增大而增大
y 随x 的增大而减小
5）函数图象大小比较：函数图象上的点是由适合函数解析式的一对x、y 的值组成的（x、y），x 的值是点
的横坐标，纵坐标就是与这个x 的值相对应的y 的值，因此，观察x 或y 的值就是看函数图象上点的横、纵
坐标的值，比较函数值的大小就是比较同一个x 的对应点的纵坐标的大小，也就是函数图象上的点的位置
的高低.
【易错提醒】
正比例函数y=kx 图象性质易错警示：图象是过原点的直线。k>0 过一三象限，y 随x 增大而增大；k<0 过二
四象限，y 随x 增大而减小。注意：|k|越大越陡，勿与一次函数截距混淆。
即时即练1.关于正比例函数
3
y
x
，下列结论正确的是（
）
A．图象必经过点
3,1
B．图象经过第二、四象限
C．y 随x 的增大而增大
D．不论x 取何值，总有
0
y
【答案】C
【知识点】正比例函数的图象、正比例函数的性质
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及正比例函数的性质，逐一分析四个选项的正误．
【详解】A、当
3
x
时，
3 3
9
y
，
∴正比例函数
3
y
x
的图象必经过点
3,9 ，选项A 不符合题意；
B、∵
3
0
k
，
∴正比例函数
3
y
x
的图象经过第一、三象限，选项B 不符合题意；
C、∵
3
0
k
，
∴y 随x 的增大而增大，选项C 符合题意；
D、当�= 0 时，
3 0
0
y
，且y 随x 的增大而增大，
∴当�> 0 时，
0
y
，选项D 不符合题意．
故选：C．
知识点02 一次函数的图象与性质
1）一次函数图象是一条直线；
2）已知两点可以作图，也可求出解析式；
3）交y 轴于点（0，b），交x 轴于点（
b
k
，0）；
4）过象限、增减性
0
b
（过一、二象限）
0
b
（过三、四象限）
0
b
（过原点）
0
k
（过一、三象限）
y 随x 的增大而增大
经过第一、二、三象限
经过第一、三、四象限
经过第一、三象限
0
k
（过二、四象限）
y 随x 的增大而减小
经过第一、二、四象限
经过第二、三、四象限
经过第二、四象限
5）函数图象大小比较：函数图象上的点是由适合函数解析式的一对x、y 的值组成的（x、y），x 的值是点
的横坐标，纵坐标就是与这个x 的值相对应的y 的值，因此，观察x 或y 的值就是看函数图象上点的横、纵
坐标的值，比较函数值的大小就是比较同一个x 的对应点的纵坐标的大小，也就是函数图象上的点的位置
的高低.
【易错提醒】
一次函数y=kx+b 图象性质易错警示：k 决定增减性(k>0 增，k<0 减）和倾斜度；b 决定与y 轴交点(0,b)。k
相同则平行。注意象限判断需结合k,b 符号，可画草图验证，勿死记。
即时即练1．已知点
1,
,
2,
A
m
B
n 均在一次函数
2
1
y
x
的图象上，点
,
C m n ，则下列说法正确的是
（
）
A．函数图象经过二、三、四象限
B．点
( , )
C m n 在第二象限
C．m
n
D．与x 轴的交点坐标为0,1
【答案】C
【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限、一次函数图象与坐标轴的交点问题、比较一次函数值
的大小
【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，根据一次函数的图象和性质直接判断A 即可；将A、B 代入解
析式，求出m、n 的值，得出点C 的坐标即可判定B；根据m、n 的值即可判断C；把
0
y
代入函数解析式，
求出与x 轴的交点坐标即可判断D；掌握一次函数的图象和性质是解题的关键．
【详解】解：∵
2
0
k
，
1
0
b
，
∴一次函数的图象经过第一、二、四象限，故选项A 错误，不符合题意；
把
1,
,
2,
A
m
B
n 分别代入
2
1
y
x
得：
2
1
1
m ，
2
2
1
3
n
，
∴点C 的坐标为
1, 3
，
∴点
( , )
C m n 在第三象限，故B 错误，不符合题意；
∵1
3
，
∴m
n
，故C 正确，符合题意；
把
0
y
代入
2
1
y
x
得：0
2
1
x
，
解得：
1
2
x
，
∴与x 轴的交点坐标为
1
2 , 0 ，故D 错误，不符合题意．
故选：C．
2．在直角坐标系中画出一次函数
2
4
y
x
的图象，并完成下列问题：
(1)此函数图象与坐标轴围成的三角形的面积是；
(2)观察图象，当0
4
x
时，y 的取值范围是；
(3)将直线
2
4
y
x
沿y 轴平移3 个单位长度，请直接写出平移后的直线关系式．
【答案】(1)4
(2) 4
4
y
(3)
2
2
y
x
或
2
10
y
x
【知识点】坐标与图形、一次函数图象与坐标轴的交点问题、画一次函数图象、一次函数图象平移问题
【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，一次函数图象与几何变换，熟知一次函数图象上各
点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
（1）分别求出直线与x 轴、y 轴的交点，画出函数图象，进而解答即可；
（2）根据函数图象与坐标轴的交点可直接得出结论；
（3）根据平移的规律求得即可．
【详解】（1）解：一次函数
2
4
y
x
的图象如图：
令
0
y
，解得
2
x
，令
0
x
，则
4
y ，
∴直线与x 轴交点坐标为2,0 ，与y 轴交点坐标为
0, 4
，
∴函数图象与坐标轴围成的三角形的面积是
1
2
4
4
2
S
，
故答案为：4；
（2）解：由图可知，当0
4
x
时，y 的取值范围为4
4
y
，
故答案为：4
4
y
；
（3）解：将直线
2
4
y
x
沿y 轴平移3 个单位长度得
2
3
4
y
x
，即
2
2
y
x
或
2
10
y
x
．
题型1 正比例函数的图象和性质
【例1】关于正比例函数
2
y
x
的图象，下列叙述错误的是（
）
A．点(1,2) 在这个图象上
B．函数值y 随自变量x 的增大而减小
C．当x 增加1 时，y 增加2
D．图象经过一、三象限
【答案】B
【分析】本题考查了正比例函数的图象与性质，解题的关键是掌握正比例函数
0
y
kx k
中k 的几何意义
及函数的增减性、图象所在象限等知识点．
根据正比例函数的性质，依次分析各选项；将点代入函数验证是否在图象上，依据k 的符号判断增减性和
所在象限，通过计算自变量变化时函数值的变化量判断选项正误．
【详解】选项A : 把
1
x 代入
2 ,
y
x
得
2 1
2,
y
所以点
1,2 在这个图象上，A 正确．
选项B:在正比例函数
2
y
x
中，
2
0,
k
根据正比例函数性质，函数值y 随自变量x 的增大而增大，而非
减小，B 错误．
选项C:当x 增加1 时，设原来的x 为
0,
x 对应的y 为
0
0
2
;
y
x
变化后的x 为
0
1,
x
对应的y 为
0
0
2
1
2
2,
y
x
x
则
0
2,
y
y
即y 增加2，C 正确．
选项D :因为
2
0,
k
所以正比例函数
2
y
x
的图象经过第一、三象限，D 正确．
故选：B．
【例2】已知正比例函数
1
2
y
x
，下列结论正确的是（
）
A．图象是一条射线
B．y 随x 的增大而减小
C．图象必经过点
2,1
D．图象经过第二、三、四象限
【答案】C
【分析】本题考查正比例函数的图象及性质，根据正比例函数的图象及性质逐项判断即可．
【详解】解：A、正比例函数
1
2
y
x
的图象是一条直线，故本选项的结论错误；
B、y 随x 的增大而增大，故本选项的说法错误；
C、当
2
x
时，
1
2
1
2
y
，
∴图象必经过点
2,1 ，故本选项的说法正确；
D、图象经过第一、三象限，故本选项的说法错误．
故选：C
【技巧归纳】
正比例函数y=kx 图象过原点，k>0 在一三象限且y 随x 增大而增大；k<0 在二四且减小。|k|越大越陡。注
意图象关于原点对称。求k 可由一点坐标（非原点）代入。实际应用如速度一定时的路程时间图象。
【变式1-1】关于正比例函数
3
y
x
，下列结论正确的是（
）
A．图象必经过点
1, 3
B．图象经过第一、三象限
C．y 随x 的增大而减小
D．不论x 取何值，总有
0
y
【答案】C
【分析】本题主要考查了正比例函数的图象和性质，熟练掌握正比例函数图象和性质，是解题的关键．正
比例函数
0
y
kx k
，当
0
k
直线经过一、三象限，y 随x 的增大而增大；当
0
k
直线经过二、四象限，
y 随x 的增大而减小．根据正比例函数
3
y
x
-
的性质，逐一分析各选项的正误即可．
【详解】解：A. 当
1
x 时，
3
1
3
y
，故图象经过点
1,3
，而非
1, 3
，选项A 错误；
B. 正比例函数y
kx
的图象经过的象限由k 的符号决定，因
3
k
-
，图象经过第二、四象限，而非第一、
三象限，选项B 错误；
C. 当
0
k
时，y 随x 的增大而减小，正比例函数
3
y
x
中
3
0
k
，故y 随x 的增大而减小，选项C 正
确；
D. 当
0
x
时，
3 0
0
y
，此时
0
y
不满足
0
y
；当
0
x
时，
0
y
，故选项D 错误．
故选：C．
【变式1-2】关于正比例函数
3
y
x
，下列结论正确的是（
）
A．函数图象过点
1,3
B．函数图象经过第二、四象限
C．y 随x 的增大而增大
D．不论x 为何值，总有
0
y
【答案】B
【分析】本题考查正比例函数的图象与性质．根据正比例函数的一般形式y
kx
，当
0
k
时，图象经过第
二、四象限，且y 随x 的增大而减小．通过代入点坐标验证选项，结合函数性质逐一排除错误选项即可．
【详解】A．当
1
x 时，
3 1
3
3
y ，图象不经过点
1,3 ，错误；
B．因
3
0
k
，函数图象经过第二、四象限，正确；
C．因
3
0
k
，y 随x 的增大而减小，错误；
D．当
0
x
时，
0
y
，此时y 不小于0，错误．
故选：B．
题型2 画正比例函数的图象
【例3】已知正比例函数�= ��的图象经过点
2, 4
．
(1)求这个函数的解析式；
(2)在如图所示的平面直角坐标系中画出这个函数的图象；
(3)判断点
4, 2
A
，是否在这个函数的图象上．
【答案】(1)
2
y
x
(2)见解析
(3)不在
【分析】（1）直接把点
2, 4
代入正比例函数�= ��，求出k 的值即可；
（2）利用描点法画出函数图象即可；
（3）把点
4, 2
A
的横坐标代入正比例函数的解析式求出y 的值，进一步比较得出答案即可．
【详解】（1）解：∵正比例函数�= ��的图象经过点
2, 4
，
∴4
2k
，
解得�=−2，
∴这个函数的解析式
2
y
x
；
（2）解：当�= 0 时，�= 0，
当
1
x 时，�=−2，
∴经过点0,0 ，
1, 2
，描点画出图象如下：
（3）解：∵正比例函数的解析式为
2
y
x
，
∴当�= 4 时，�=−8，
∴点
4, 2
A
不在这个函数的图象上．
【例4】已知正比例函数�= ��的图象经过点
2, 4
．
(1)求这个函数的解析式，并写出y 的值随x 值的变化情况；
(2)用你认为最简单的方法，在如图所示的平面直角坐标系中画出这个函数的图象；
(3)判断点
4, 2
A
，
1.5,3
B
是否在这个函数的图象上．
【答案】(1)
2
y
x
，y 的值随x 值的增大而减小
(2)见解析
(3)点
4, 2
A
不在这个函数的图象上，点
1.5,3
B
在这个函数的图象上
【分析】（1）直接把点
2, 4
代入正比例函数�= ��，求出k 的值即可；
（2）利用描点法画出函数图象即可；
（3）把点
4, 2
A
、点
1.5,3
B
横坐标代入正比例函数的解析式求出y 的值，进一步比较得出答案即可．
【详解】（1）解：∵正比例函数�= ��的图象经过点
2, 4
，
∴4
2k
，
解得�=−2，
∴这个函数的解析式
2
y
x
，
∵�=−2 < 0，
∴y 的值随x 值的增大而减小；
（2）解：当�= 0 时，�= 0，
当
1
x 时，�=−2，
∴经过点0,0 ，
1, 2
，描点画出图象如下：
（3）解：∵正比例函数的解析式为
2
y
x
，
∴当�= 4 时，�=−8，当
1.5
x
时，�= 3，
∴点
4, 2
A
不在这个函数的图象上，点
1.5,3
B
在这个函数的图象上．
【技巧归纳】
正比例函数y=kx 图象是过原点的直线。只需再找一点（如x=1，y=k），连线即可。若k 为分数，取x 为
分母倍数避免小数。注意标明坐标轴、原点及解析式。k>0 上升，k<0 下降。直线穿过象限与k 符号一致。
【变式2-1】已知�与�之间成正比例关系，且图象经过点
2,6
A
．
(1)求�与�之间的函数解析式．
(2)画出该函数的图象．
(3)图像上有两点��1, �1 ，��2, �2 ，如果�1 > �2，则�1______�2．
【答案】(1)
3
y
x
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查了待定系数法求函数的解析式，正比例函数的性质，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
（1）根据题意设出函数解析式，把
2,6
A
代入解析式，便可求出k 的值，从而求出其解析式；
（2）描点两点，连线即可求解；
（3）根据正比例函数的性质判断即可．
【详解】（1）解∶∵�与�之间成正比例关系，
∴设函数解析式为�= ��，
把
2,6
A
代入，得2
6
k
，
解得
3
k ，
∴
3
y
x
；
（2）解：该函数的图象经过
2,6
A
和原点，
该函数的图象如图所示．
（3）解：
3
0
k
，
∴y 随x 的增大而减小，
∵�1 > �2，
∴�1 < �2，
故答案为：．
【变式2-2】已知正比例函数�= ��的图象经过点(2, 6)
．
(1)求这个函数表达式；
(2)判断点
( 1,3)
A
是否在这个函数图象上；
(3)图象上的两点
1
1
2
2
( ,
),
(
,
)
C x y
D x
y
，如果�1 > �2，比较�1与�2的大小．
【答案】(1)
3
y
x
(2)点A 在图象上
(3)�1 > �2时，�1 < �2
【分析】本题考查了正比例函数图象上点的坐标特征，涉及待定系数法求解析式，正比例函数的性质与系
数的关系，熟练掌握正比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
（1）利用待定系数法求解析式即可；
（2）将点A 的横坐标代入函数解析式，求出纵坐标，即可判断点A 是否在这个函数图象上；
（3）根据正比例函数的增减性，即可比较�1，�2的大小．
【详解】（1）解：将点(2, 6)
代入�= ��，
得2
6
k ，
解得
3
k ，
∴这个函数解析式为
3
y
x
．
（2）解：当�=−1 时，
3
1
3
y
，
∴点
( 1,3)
A
在这个函数图象上．
（3）解：∵
3
0
k
，
∴y 随着x 增大而减小，
∵图象上的两点
1
1
,
C x y
，
2
2
,
D x
y
，且�1 > �2，
∴�1 < �2．
题型3 一次函数的图象和性质
【例5】对于一次函数
2
6
y
x
，下列说法不正确的是（
）
A．图像不经过第三象限
B．点
2,2 在直线
2
6
y
x
上
C．图像与直线
2
y
x
平行
D．若点
1
1, y
，
2
2, y
在该函数图像上，则
1
2
y
y
【答案】D
【分析】本题主要考查了一次函数图像上点的坐标特征，一次函数的图像与性质，一次函数图像与系数的
关系，根据一次函数图像的性质进行逐一分析解答即可．
【详解】解：A．∵2
0
，6
0
，
∴一次函数
2
6
y
x
的图像经过一、二、四象限，不经过第三象限，故本选项正确，不符合题意；
B．∵
2
x
时，
2
6
2
y
x
，
∴函数图像必经过点
2,2 ，故本选项正确，不符合题意；
C．∵
2
6
y
x
与
2
y
x
的k 均为2
，
∴
2
6
y
x
的图像与直线
2
y
x
平行，故本选项正确，不符合题意；
D．∵
2
6
y
x
，
2
0
k
，
∴y 随x 的增大而减小，
∵点
1
1, y
，
2
2, y
在该函数图像上，且1
2
，
∴
1
2
y
y
，故本选项错误，符合题意．
故选：D．
【例6】将一次函数
2
1
y
x
的图象向下平移2 个单位后，下列对得到的新图象描述正确的是（
）
A．y 随x 的增大而减小
B．图象与直线
2
y
x
平行
C．点
1, 1
在函数图象上
D．图象经过第一、二、三象限
【答案】B
【分析】本题考查了函数的平移，一次函数的性质，熟练掌握一次函数的图象的平移和性质是解题的关键．先
根据“上加下减”求出新的函数解析式，再根据一次函数的性质逐一判断即可．
【详解】解：将一次函数
2
1
y
x
的图象向下平移2 个单位后，新的函数解析式为
2
1
2
2
1
y
x
x
，
A、因为
2
0
k
，则y 随x 的增大而增大，故该选项不符合题意；
B、因为
2
k
，所以图象与直线
2
y
x
平行，故该选项符合题意；；
C、当
1
x 时，
2
1
1
3
y
，因此点
1, 1
不在函数图象上，故该选项不符合题意；
D、因为
2
0
k
，
1
0
b
，所以函数图象经过第一、三、四象限，故该选项不符合题意；
故选：B．
【技巧归纳】
一次函数y=kx+b 图象是直线，k 定倾斜方向（k>0 增，k<0 减），b 定y 轴截距。与x 轴交点为(-b/k,0)。
过定点（0,b）。|k|越大越陡。利用增减性比较函数值。平移变换：b 改变上下。注意截距可为正负。
【变式3-1】对于函数
2
2
y
x
，下列结论正确的是（
）
A．它的图像经过点(1,2)
B．y 的值随x 值的增大而增大
C．它的图像经过第一、二、四象限
D．它的图像与x 轴交点(0,2)
【答案】C
【分析】本题考查了一次函数的图像，对选项依次判断即可．
【详解】A、当
1
x 时，
2
2
2 1
2
0
y
x
，选项错误，不符合题意；
B、
2
0
k
，y 的值随x 值的增大而减小，选项错误，不符合题意；
C、它的图像经过第一、二、四象限，选项正确，符合题意；
D、当
0
y
时，2
2
0
x
，解得
1
x ，选项错误，不符合题意；
故选：C．
【变式3-2】对于函数
3
1
y
x
，下列结论正确的是（
）
A．它的图象必经过
1,4
B．它的图象经过第一、二、三象限
C．y 的值随x 值的增大而增大
D．当
1
3
x
时，
0
y
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质以及一次函数图象与系数的关系，逐
一分析各选项的正误是解题的关键．
【详解】解：A．当
1
x 时，
3
1
1
2
y
，
2
4
，
一次函数
3
1
y
x
的图象不经过点
1,4
，选项A 不符合题意；
B．
3
0
k
，
1
0
b
，
一次函数
3
1
y
x
的图象经过第二、三、四象限，选项B 不符合题意；
C．
3
0
k
，
y
的值随x 值的增大而减小，选项C 不符合题意；
D．当
0
y
时，3
1
0
x
，
解得：
1
3
x
，
当
1
3
x
时，
0
y
，选项D 符合题意．
故选：D．
题型4 比较一次函数值的大小
【例7】已知点
1,
M
m
，
2,
N
n 在直线
2
y
x
上，则m，n 的大小关系
．
【答案】m
n
【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟知一次函数的性质是解题的关键．根据一次函
数的性质即可解决问题．
【详解】解：∵
2
y
x
中，
1
0
k
∴y 随x 的增大而减小，
∵点
1,
M
m
，
2,
N
n 在直线
2
y
x
上，1
2
∴m
n
，
故答案为：m
n
．
【例8】已知一次函数
2
3
y
x
图像上有三个点
1
2
3
2,
, 3,
,
1,
y
y
y
则
1
2
3
,
,
y y
y 大小关系
．
【答案】
2
1
3
y
y
y
/
3
1
2
y
y
y
【分析】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的增减性是解决本题的关键．
由一次函数中2
0
，可判断该函数中y 随x 的增大而减小，由三个点的横坐标即可判断大小．
【详解】解：∵一次函数
2
3
y
x
中2
0
，
∴该函数中y 随x 的增大而减小，
∵该函数图像上有三个点
1
2
3
2,
, 3,
,
1,
y
y
y
，
且3
2
1
，
∴
2
1
3
y
y
y
．
故答案为：
2
1
3
y
y
y
．
【技巧归纳】
若k>0，x 越大y 越大；若k<0，x 越大y 越小。也可直接代入x 值计算比较。已知函数值比较自变量：根
据k 符号解不等式。图象法：上方点函数值大。注意“一定大于”需考虑k 符号或联立差值判断。
【变式4-1】已知点
1
1,
A m
y
和点
2
1,
B m
y
在一次函数
2
1
y
n
x
b
的图象上，则
1y
2y ．（填“ ”，“ ”或“”）
【答案】
【分析】本题主要考查了一次函数函数值比较大小，解题的关键是熟知一次函数的增减性．根据一次函数
的增减性求解即可．
【详解】解：∵一次函数解析式为
2
1
y
n
x
b
，且
2
1
0
n
，
∴该一次函数的函数值y 随x 的增大而增大，
∵
1
1
m
m
，
∴
1
2
y
y
，
故答案为：．
【变式4-2】设点( 3,
)
m
和点(2, )
n 是直线
2
(
1)
(0
1)
y
k
x
b
k
上的两个点，则
,
m n 的大小关系
是
．
【答案】m
n
【分析】本题主要考查了一次函数图象的性质，
根据0
1
k
可得
2
1
0
k
，再根据一次函数图象的性质解答即可.
【详解】解：∵0
1
k
，
∴
2
1
0
k
，
∴一次函数
2
1
(
)
y
k
x
b
的函数值y 随自变量x 的增大而减小.
∵3
2
,
∴m
n
.
故答案为：m
n
.
题型5 根据一次函数的性质判定经过的象限
【例9】一次函数
2
1
y
x
的图象经过第
象限．
【答案】一、三、四
【分析】本题考查了一次函数的图像与性质，根据k、b 的正负即可确定一次函数y
kx
b
经过的象限．
【详解】解：∵
2
0
k
，
1
0
b
，
∴一次函数
2
1
y
x
的图象经过第一、三、四象限，
故答案为：一、三、四．
【例10】当
0
k
时，一次函数y
kx
k
的图象不经过第
象限．
【答案】二
【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系，牢记一次函数图象在各象限的特征是解题的关键．
根据一次函数得图象与系数的关系即可解答本题．
【详解】解：∵
0
k
，
∴
0
k
，
∴一次函数y
kx
的图象经过第一、三象限．
∴一次函数y
kx
k
的图象与y 轴交于负半轴．
∴该一次函数图象经过第一、三、四象限，即不经过第二象限．
故答案为：二．
【技巧归纳】
由k、b 符号判定：k>0 过一三象限，k<0 过二四；b>0 与y 轴交于正半轴，b<0 交负半轴。组合得：k>0,b>0
过一二三；k>0,b<0 过一三四；k<0,b>0 过一二四；k<0,b<0 过二三四。正比例过原点。结合图形记忆。
【变式5-1】在平面直角坐标系中，一次函数
2025
2025
y
x
的图象不经过第
象限．
【答案】二
【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，根据一次函数的图象与性质即可得出答案，掌握一次函数的
图象与性质是解题的关键．
【详解】解：∵
2025
0,
2025
0
k
b
，
∴一次函数图象经过一、三、四象限，不经过第二象限，
故答案为：二．
【变式5-2】正比例函数y
kx
的图象经过原点和第一、三象限，则直线
3
y
kx
经过第
象限．
【答案】一，二，四
【分析】本题考查判断直线经过的象限，根据正比例函数y
kx
的图象经过原点和第一、三象限，得到
0
k
，
再根据直线的解析式，判断直线经过的象限即可．
【详解】解：∵正比例函数y
kx
的图象经过原点和第一、三象限，
∴
0
k
，
∴
3
y
kx
，
0,3
0
k
，
∴直线过第一，二，四象限；
故答案为：一，二，四
题型6 利用一次函数增减性求值
【例11】已知函数
1
4
3
y
x
，当3
3
x
≤≤时，y 的最大值是
．
【答案】3
【分析】本题考查一次函数的增减性，利用增减性即可求出最大值．
【详解】一次函数
1
4
3
y
x
中，
1
0
3
k
，y 随x 增大而减小．
故当
3
x 时，
max
1
3
4
1
4
3
3
y
．
故答案为：3
．
【例12】已知
2
1
y
x
，若
3
x
，则y 的取值范围是
．
【答案】
5
y
【分析】本题考查一次函数的性质，先求得当
3
x
时，
5
y ，再根据一次函数的增减性求解即可．
【详解】解：当
3
x
时，
2 3 1
5
y ，
∵
2
1
y
x
中，
2
0
k
，
∴y 随x 的增大而减小，
∴当
3
x
时，y 的取值范围是
5
y ，
故答案为：
5
y ．
【技巧归纳】
根据k 的符号判断增减：k>0，y 随x 增大而增大；k<0 则减小。利用增减性可比较函数值大小，或确定取
值范围。如已知函数值范围求自变量范围，先找端点对应x 值，再结合增减性写出区间。注意端点是否取
等。
【变式6-1】已知函数
2
y
x
．当1
1
x
时，y 的取值范围是
【答案】1
3
y
【分析】本题主要考查了求一次函数的函数值，一次函数的增减性，先根据解析式可得y 随x 增大而减小，
再分别求出
1
x 和
1
x 时的函数值即可得到答案．
【详解】解：∵一次函数解析式为
2
y
x
，1
0
，
∴y 随x 增大而减小，
在
2
y
x
中，当
1
x 时，
1
2
3
y
，当
1
x 时，
1
2
1
y
，
∴当1
1
x
时，1
3
y
，
故答案为：1
3
y
．
【变式6-2】已知一次函数
3
1
y
x
，当1
5
x
时，函数y 的最大值是
．
【答案】4
【分析】本题考查了一次函数的性质，根据
0
k
时，y 随x 的增大而减小解答即可求解，掌握一次函数的
性质是解题的关键．
【详解】解：∵
3
0
k
，
∴y 随x 的增大而减小，
∵1
5
x
，
∴当
1
x 时，y 取最大值，
3
1
1
4
y
最大值
，
故答案为：4 ．
题型7 根据一次函数增减性求参数
【例13】一次函数
2
4
y
m
x
的函数值y 随x 的增大而减小，则m 的取值范围是
．
【答案】
2
m
【分析】根据一次函数的性质，当一次函数y
kx
b
（k ，b 为常数，
0
k
）中
0
k
时，函数值y 随x 的
增大而减小，本题中
2
k
m
，据此列不等式求解m 的取值范围．本题主要考查了一次函数的性质，熟练
掌握一次函数y
kx
b
（
0
k
）中k 的取值对函数增减性的影响是解题的关键．
【详解】解：∵一次函数
2
4
y
m
x
的函数值y 随x 的增大而减小，
∴
2
0
m
，
解得
2
m
．
故答案为：
2
m
．
【例14】若一次函数
2
3
2
y
m x
的函数值y 随x 的增大而增大，则m 的取值范围是
．
【答案】
2
3
m
【分析】本题考查了一次函数的性质，对一次函数
0
y
kx
b k
，根据当
0
k
时，y 随x 的增大而增大，
得出2
3
0
m
，计算即可得解，熟练掌握一次函数的性质是解此题的关键．
【详解】解：∵一次函数
2
3
2
y
m x
的函数值y 随x 的增大而增大，
∴2
3
0
m
，
∴
2
3
m
，
故答案为：
2
3
m
．
【技巧归纳】
一次函数y=kx+b 中，k 决定增减性：k>0 增，k<0 减。若含参数，列不等式（如增大则k>0）。注意b 不
影响增减。若题目给出函数值随x 增大而减小，则k<0。解出参数范围，注意k≠0。若还要求过象限，需
结合b。
【变式7-1】一次函数
3
1
5
y
a
x
图象上有两点
1
1
,
A x y
、
2
2
,
B x
y
，当
1
2
x
x
时，有
1
2
y
y
，那么a 的
取值范围是
．
【答案】
1
3
a
【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的增减性是解题关键．先根据当
1
2
x
x
时，
有
1
2
y
y
可得y 随x 的增大而减小，则可得3
1
0
a
，再解不等式即可得．
【详解】解：∵一次函数
3
1
5
y
a
x
图象上有两点
1
1
,
A x y
、
2
2
,
B x
y
，当
1
2
x
x
时，有
1
2
y
y
，
∴对于这个一次函数，y 随x 的增大而减小，
∴3
1
0
a
，
解得
1
3
a
，
故答案为：
1
3
a
．
【变式7-2】直线
3
1
y
m
x
m
，函数y 随x 的增大而增大，且图象经过一，三，四象限，则m 的取值
范围是
．
【答案】
1
3
m
【分析】本题考查了已知函数经过的象限求参数范围，根据一次函数增减性求参数，因为函数y 随x 的增
大而增大，且图象经过一，三，四象限，故3
1
0
0
m
m
,
，解出m 的取值范围，即可作答．
【详解】解：∵直线
3
1
y
m
x
m
，函数y 随x 的增大而增大，且图象经过一，三，四象限，
∴3
1
0
0
m
m
,
解得
1
3
m
，
故答案为：
1
3
m
题型8 一次函数图象与坐标轴的交点问题
【例15】直线
2
2
y
x
与x 轴的交点坐标为
．与y 轴的交点坐标为
．
【答案】
1,0
0,2
【分析】本题主要考查了一次函数的性质，熟练掌握，即可解题，根据一次函数的性质，与x 轴的交点即
纵坐标为0，与y 轴的交点坐标即横坐标为0，代入即可得解．
【详解】解：根据题意得：当
0
y
时，2
2
0
x
，
解得：
1
x ，
当
0
x
时，
2
y
，
故答案为：
1,0
；
0,2 ．
【例16】一次函数
2
6
y
x
的图象与x 轴的交点坐标为
，与y 轴的交点坐标为
，与坐标轴
围成的三角形的面积为
．
【答案】
(
)
3,0
0, 6
9
【分析】本题考查一次函数图象性质．分别令
0
y
，
0
x
可求与x 轴和y 轴交点，根据直角三角形的面积
计算方法即可求得一次函数与坐标轴围成的三角形的面积．
【详解】解：当
0
y
时，2
6
0
x
，解得
3
x
，
一次函数图象与x 轴的交点坐标为(
)
3,0 ．
当
0
x
时，y 6 ，
一次函数图象与y 轴的交点坐标为
0, 6
．
故一次函数与坐标轴围成的三角形面积为
1
3
6
9
2
S
．
故答案为：(
)
3,0 ，
0, 6
，9．
【技巧归纳】
与y 轴交点：令x=0 得(0,b)。与x 轴交点：令y=0 得(-b/k,0)。若k 不存在（垂直x 轴）不是一次函数。利
用交点可求截距，求三角形面积（底乘高/2）。注意交点坐标符号由k、b 决定。也可由已知交点求解析式。
【变式8-1】在平面直角坐标系xOy 中，直线
2
6
y
x
与x 轴的交点坐标为
，与两坐标轴围成的三角
形的面积为
．
【答案】
3,0
9
【分析】本题考查了求一次函数与坐标轴交点问题，掌握坐标轴上点的坐标特征是解题关键．
分别令
0,
0
x
y
，求出直线
2
6
y
x
与,y x 轴的交点坐标，即可求解面积．
【详解】解：当
0
y
时，2
6
0
x
，
解得：
3
x
，
∴与x 轴的交点坐标为
3,0 ，
当
0,
6
x
y
，
∴与y 轴的交点坐标为
0, 6
，
∴与两坐标轴围成的三角形的面积为：1
3
6
9
2
，
故答案为：
3,0 ，9．
【变式8-2】如图，一次函数
4
8
3
y
x
的图象与x 轴、y 轴的交点分别为A、B，则AB 的长为
．
【答案】10
【分析】本题考查了直线与坐标轴的交点，勾股定理，令
0
x
，则
8
y
，令
0
y
，则
6
x ，可得
8
6
OB
OA
，
，然后利用勾股定理求解即可．
【详解】解：当
0
x
时，
8
y
，
0,8
B
，
即
8
OB
，
当
0
y
时，
6
x ，
6,0
A
即
6
OA
，
由勾股定理得，
2
2
10
AB
OA
OB
，
故答案为：10．
题型9 一次函数图象的平移问题
【例17】在平面直角坐标系中，若将一次函数
3
y
x
n
的图象向上平移2 个单位长度后，得到一个正比例
函数的图象，则n 的值为
．
【答案】2
【分析】本题主要考查的是一次函数图象与几何变换，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解
析式求得平移后的函数解析式是解题的关键．根据平移的规律得到平移后直线的解析式为
3
2
y
x
n
，然
后把原点的坐标代入求值即可．
【详解】解：将一次函数
3
y
x
n
的图象向上平移2 个单位后，得到
3
2
y
x
n
，
把(0,0) 代入，得到：
2
0
n
，
解得
2
n ．
故答案为：2
．
【例18】直线
2
2
y
x
向下平移1 个单位长度得到的直线的解析式是
．
【答案】
2
1
y
x
/
1
2
y
x
【分析】本题考查图形的平移变换和函数解析式之间的关系，平移后解析式有这样一个规律“左加右减，上
加下减”．关键是要搞清楚平移前后的解析式有什么关系，根据平移规律直接得出结论即可．
【详解】解：直线
2
2
y
x
向下平移1 个单位长度得到的直线的解析式是
2
2 1
2
1
y
x
x
= -
+
- = -
+
，
故答案为：
2
1
y
x
．
【技巧归纳】
平移规律：上下平移，b 变（上加下减）；左右平移，x 变（左加右减）。如y=kx+b 向左平移m 得y=k(x+m)+b。
注意一次函数左右平移时，斜率k 不变，仅改变截距。也可直接看直线与y 轴交点变化。口诀“左加右减，
上加下减”。
【变式9-1】直线
2
3
y
x
向下平移4 个单位可得直线y
，再向左平移2 个单位可得直线y
【答案】
2
7
y
x
2
3
y
x
【分析】本题考查图形的平移变换和函数解析式之间的关系．掌握平移规律“左加右减，上加下减”是解题
的关键．
根据“左加右减，上加下减”的平移规律即可求解．
【详解】解：直线
2
3
y
x
向下平移4 个单位可得直线
2
7
y
x
，再向左平移2 个单位可得直线
2
2
7
y
x
，即
2
3
y
x
，
故答案为：
2
7
y
x
，
2
3
y
x
【变式9-2】已知直线y
kx
b
平行于直线
7
4
y
x
，且在y 轴上的截距为1
，那么该直线的解析式
是
．
【答案】
7
1
y
x
【分析】本题考查两条直线相交或平行问题，根据互相平行的直线的解析式的一次项系数的值相等确定出k，
根据“在y 轴上的截距为1
”计算求出b 值，即可得解．
【详解】解：∵直线y
kx
b
平行于直线
7
4
y
x
，
∴
7
k ．
又∵直线y
kx
b
在y 轴上的截距为1
，
∴
1
b ，
∴这条直线的解析式是
7
1
y
x
．
故答案为：
7
1
y
x
．
题型10 两个一次函数图象共存问题
【例19】在平面直角坐标系中，一次函数
2
3
y
x
的图象大致是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，对于一次函数y
kx
b
（k 为常数，
0
k
），当
0
k
时，y
随x 的增大而增大；当
0
k
时，y 随x 的增大而减小；当
0
b
，图象与y 轴的正半轴相交，当
0
b
，图象
与y 轴的负半轴相交，当
0
b
，图象经过原点，据此求解即可．
【详解】解：∵
2
3
y
x
中2
0
，
∴y 随x 的增大而增大，
∵3
0
，
∴函数图象与y 轴的负半轴相交，
∴一次函数
2
3
y
x
经过第一，三，四象限．
故选：C．
【例20】一次函数y
ax
a
（a 为常数，
0
a
）的图象可能是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】本题考查了一次函数的图象，根据一次函数的解析式判断其图象是解题的关键．根据一次函数的
性质可得，一次函数y
ax
a
经过点
1,0 ，据此逐项分析即可判断．
【详解】解：一次函数y
ax
a
，
当
1
x 时，
0
y
a
a
，
∴一次函数y
ax
a
经过点
1,0 ，
只有C 符合题意
故选：C．
【技巧归纳】
分别分析各直线的k、b 符号，判断它们是否可能同时出现在同一坐标系中。先根据假设确定一个的符号范
围，再验证另一个是否矛盾。常通过排除法：如一条斜率正且截距负（过一三四），另一条斜率负且截距
正（过一二四）可能共存。注意b=0 时过原点。
【变式10-1】下列表示一次函数y
kx
b
（,k b 是常数，且
0
kb
）的图象与正比例函数y
bx
的图象可能
的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数图象与正比例函数图象的综合判断，解题的关键是熟练掌握一次函数的图象
与性质以及正比例函数的图象与性质．
分别对每个选项中一次函数y
kx
b
中的b 与正比例函数y
bx
中的b 的符号进行判断是否一致即可．
【详解】解：A、由图象可得一次函数y
kx
b
中
0
b
，正比例函数y
bx
中
0
b
，矛盾，故本选项不符
合题意；
B、由图象可得一次函数y
kx
b
中
0
b
，正比例函数y
bx
中
0
b
，矛盾，故本选项不符合题意；
C、由图象可得一次函数y
kx
b
中
0
b
，正比例函数y
bx
中
0
b
，矛盾，故本选项不符合题意；
D、由图象可得一次函数y
kx
b
中
0
b
，正比例函数y
bx
中
0
b
，正确，故本选项符合题意；
故选：D．
【变式10-2】若一次函数
1
1
1
y
k x
b
与
2
2
2
y
k x
b
，满足
1
2
b
b ，且已知
1 2
k k 没有意义，则能大致表示这
两个函数图象的是（）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，一次函数的图象和性质，由
1 2
k k 没有意义可得
1
2
0
k k
，即
可得直线
1
1
1
y
k x
b
与直线
2
2
2
y
k x
b
相交，再根据
1
2
b
b 可知直线
2
2
2
y
k x
b
与y 轴的交点在直线
1
1
1
y
k x
b
与y 轴的交点上方，综合各选项即可求解，掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】解：∵
1 2
k k 没有意义，
∴
1
2
0
k k
，
∴直线
1
1
1
y
k x
b
与直线
2
2
2
y
k x
b
相交，
又∵
1
2
b
b ，
∴直线
2
2
2
y
k x
b
与y 轴的交点在直线
1
1
1
y
k x
b
与y 轴的交点上方，
综上各选项，只有选项D 符合题意，
故选：D ．
题型11 一次函数中的规律探究问题
【例21】如图，直线
2
y
x
与y 轴相交于点
0
A ，过点
0
A 作x 轴的平行线交直线
0.5
1
y
x
=
+ 于点
1
B ，过点
1
B
作y 轴的平行线交直线
2
y
x
于点
1A ，再过点
1A 作x 轴的平行线交直线
0.5
1
y
x
=
+ 于点
2
B ，过点
2
B 作y 轴
的平行线交直线
2
y
x
于点
2
A ，…，依此类推，得到直线
2
y
x
上的点
1A 、2
A ，
3
A ，…，与直线
0.5
1
y
x
=
+
上的点
1B ，
2
B ，
3
B ，…，则
7
8
A B 的长为
．
【答案】256
【分析】本题考查数字规律问题，解题的关键是根据一次函数解析式求出相关点的坐标，然后找出
1
n
n
A
B
的
长的规律，对于直线
2
y
x
，令
0
x
求出y 的值，确定出
0
A 纵坐标，即为
1
B 的纵坐标，代入直线
0.5
1
y
x
=
+
中求出
1B 的横坐标，即可求出
0
1
A B 的长，由
1B 与
1A 的横坐标相等得出
1A 的横坐标，代入
2
y
x
求出纵坐
标，即为
2
B 的纵坐标，代入直线
0.5
1
y
x
=
+ 中求出
2
B 的横坐标，即可求出
1
2
A B 的长，同理求出
2
3
A B ，
3
4
A B ，
，归纳总结即可得到
7
8
A B 的长．
【详解】解：对于直线
2
y
x
，令
0
x
，求出
2
y
，即
0 0,2
A
，
0
1
A B
x
轴，
1B 的纵坐标为2 ，
将
2
y
代入
0.5
1
y
x
=
+ 中得：
2
x
，即
1 2,2
B
，
1
0
1
2
2
A B
，
1
1
A B
y
轴，
1A 的横坐标为2 ，
将
2
x
代入直线
2
y
x
中得：
4
y
，即
1 2,4
A
，
1A 与
2
B 的纵坐标为4 ，
将
4
y
代入
0.5
1
y
x
中得：
6
x
，即
2 6,4
B
，
2
1
2
4
2
A B
，
同理
3
2
3
8
2
A B
，，
1
2n
n
n
A
B
，
则
7
8
A B 的长为
82
256
．
故答案为：256 ．
【例22】如图，已知直线a：y
x
，直线b：
1
2
y
x
和点
1,0
P
，过点P 作y 轴的平行线交直线a 于点
1P ，
过点
1P 作x 轴的平行线交直线b 于点
2P ，过点
2P 作y 轴的平行线交直线a 于点
3P ，过点
3P 作x 轴的平行线
交直线b 于点
4P ……按此作法进行下去，则点
100
P 的横坐标为
．
【答案】
50
2
【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，正确找出规律是解题的关键．依据题意，观察横
坐标变化规律，根据规律求解即可．
【详解】解：
1,0
P
，点
1P 在直线y
x
上，
1 1,1
P
，
1
PP
y
轴，
点
2P 的纵坐标为1，
点
2P 在直线
1
2
y
x
上，
1
1
2 x
，
2
x
，
2
2,1
P
，即点
2P 的横坐标为2
，
同理可得，点
3P 的横坐标为2
，
点
4P 的横坐标为
2
2 ，
点
5P 的横坐标为
2
2 ，
点
6P 的横坐标为
3
2
，
点
7P 的横坐标为
3
2
，
点
8P 的横坐标为
4
2 ，
，
点
4n
P 的横坐标为
2
2 n ，
令4
100
n
，
25
n
，
点
100
P 的横坐标为
2 25
50
2
2
，
故答案为：
50
2 ．
【技巧归纳】
观察直线族中k 或b 按等差、等比变化，写出通项公式。如直线y=nx+n²，研究其过定点或交点规律。也
可结合坐标变化，找横纵坐标关系。先算前几项，归纳一般式，再代入验证。注意系数中的n 为参数，分
类讨论。
【变式11-1】正方形
1
1
1
A B C O ，
2
2
2
1
A B C C ，
3
3
3
2
A B C C L 按如图的方式放置，
1A ，
2
A ，
3A 和点
1
C ，
2
C ，
3
C
分别在直线
2
y
x
和x 轴上，则点
2023
C
的横坐标是
．
【答案】
2024
2
2
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，点的坐标变化规律，分别求出点
1
2
3
C
C
C
、
、
的横坐标，
可得点
n
C 的横坐标为
1
2
3
2
2
2
2 n
，即得点
n
C 的横坐标为
1
2
2
n
，进而即可求解，找到点的坐标变
化规律是解题的关键．
【详解】解：∵直线
2
y
x
，当
0
x
时，
2
y
，
1 0,2
A
，
∴
1
2
OA
，
∵四边形
1
1
1
A B C O 是正方形，
∴
1
1
2
OC
OA
，
1 2,0
C
，
∴点
1
C 的横坐标为
1
2
2
，
把
2
x
代入
2
y
x
，得
2
2
4
y
，
2 2,4
A
，
∴
2
1
2
A C
，
∵四边形
2
2
2
1
A B C C 是正方形，
∴
1
2
2
1
2
C C
A C
，
∴
2
2
4
6
OC
，
2 6,0
C
，
∴点
2
C 的横坐标为
1
2
6
2
2
，
同理可得，
3 14,0
C
，
∴点
3
C 的横坐标为
1
2
3
14
2
2
2
，
,
点
n
C 的横坐标为
1
2
3
2
2
2
2 n
，
设
1
2
3
2
2
2
2 n
S
①，则
1
2
3
2
3
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
n
n
S
②，
∴②- ①，得
1
2
2
n
S
,
即
1
2
3
1
2
2
2
2
2
2
n
n
，
∴点
n
C 的横坐标为
1
2
2
n
，
∴点
2023
C
的横坐标是
2024
2
2
，
故答案为：
2024
2
2
．
【变式11-2】如图，已知直线:
2
l y
x
，分别过x 轴上的点
1
2
1,0
2,0
,0
n
A
A
A
n
、
、、
，作垂直于x 轴的
直线交l 于点
1
2
n
B
B
B
、
、、
，将
1
1
OA B
，四边形
1
2
2
1
A A B B
、、四边形
n 1
n
n
n 1
A
A B B
的面积依次记为
1
2
n
S
S
S
、、、
，则
n
S
．
【答案】2
1
n
【分析】本题考查了正比例函数解析式与坐标轴的几何规律题，掌握梯形的面积公式是解题的关键．
根据梯形的面积公式求解出
n
S 的函数解析式即可．
【详解】解：当
1
x 时，
2
y
；当
2
x
时，
4
y
；
当
3
x
时，
6
y
；
当
4
x
时，
8
y
...；
则
1
2
3
1,2 ,
2,4 ,
3,6 ,...,
,2
n
B
B
B
B
n
n ，
由题意知得
1
1 1 2
1
2
S
，
根据梯形的面积公式得，
2
1
4
2
1
3
2
2 1
2
S
，
3
1
6
4
1
5
2 3 1
2
S
，
故我们可以得出
2
1
n
S
n
，
∵当
1,2,3
n
均成立，
∴
2
1
n
S
n
成立，
故答案为：2
1
n ．
题型12 画一次函数的图象
【例23】在平面直角坐标系中，一次函数
4
y
x
的图象与y 轴交于点A ．
(1)求点A 的坐标；
(2)在图中画出该一次函数的图象．
【答案】(1)点A 的坐标为
0, 4
(2)见解析
【分析】本题考查了一次函数的图象和性质．
（1）直接计算当
0
x
时y 的值即可；
（2）求出一次函数
4
y
x
的图象与x 轴的交点，结合A 点连线即可．
【详解】（1）当
0
x
时，
0
4
4
y
，
∴点A 的坐标为
0, 4
；
（2）当
0
y
时，
4
0
x
，
解得
4
x ，
即一次函数
4
y
x
的图象与x 轴交于
4,0
，
该一次函数的图象如下：
【例24】如图，在平面直角坐标系xOy 中，函数
3
y
x
的图象与x 轴交于点A，与y 轴交于点B，直线y
kx
与
3
y
x
的图象交于第一象限某一点C．
(1)请在平面直角坐标系内画出函数
3
y
x
的图象；
(2)若
3
AOB
BOC
S
S
△
△
，求k 的值；
【答案】(1)见解析
(2)
2
k
．
【分析】本题是两条直线相交问题，考查了次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，
三角形的面积，求得交点坐标是解题的关键．
（1）根据一次函数
3
y
x
，其图象是一条直线，画其图象时只需找两个点，再由两点确定一条直线可画
出图象；
（2）利用三角形面积公式求得
AOB
的面积，进而求得
3
2
BOC
S
，利用面积公式求得C 的横坐标，代入
3
y
x
即可求得纵坐标，然后利用待定系数法即可求得k 的值．
【详解】（1）解：∵一次函数
3
y
x
的图象是一条直线，
当
0
x
时，解得
3
y ；
当
0
y
时，解得
3
x
，
∴直线与坐标轴的两个交点分别是
0,3
B
和
3,0
A
，
其图象如下：
；
（2）解：∵
3
OA
OB
，
∴
1
9
3 3
2
2
AOB
S
△
，
∵
3
AOB
BOC
S
S
△
△
，
∴
1
9
3
3
2
2
BOC
S
，
∴1
3
2
2
C
OB x
，即1
3
3
2
2
cx
，
∴
1
Cx ，
把
1
x 代入
3
y
x
得，
2
y
，
∴
1,2
C
，
把C 的坐标代入y
kx
得，
2
k
．
【技巧归纳】
一次函数图象是直线，用两点法：取x=0 得(0,b)，取y=0 得(-b/k,0)。若b=0，取(0,0)和(1,k)。连线并向两
端延长，注意标明坐标轴、解析式。k 决定倾斜方向，b 决定上下位置。实际画图选刻度合适，使直线完整。
【变式12-1】已知一次函数
2
2
y
x
．
x
0
_______
y
_______
0
(1)请完成下列表格，并在如图所示平面直角坐标系中画出这个函数的图象；
(2)请根据函数图象直接写出当
2
y 时，x 的取值范围．
【答案】(1) 1
，2，见解析
(2)
2
x
【分析】（1）根据解析式，确定函数值，自变量的值即可；
（2）根据函数的性质解答即可．
本题考查了求函数值，自变量的值，函数的性质，熟练掌握性质是解题的关键．
【详解】（1）解：
2
2
y
x
，得
0
x
时，
2
2
2
y
x
；当
0
y
时，
2
2
0
y
x
，解得
1
x ，填表
如下：
，
故答案为：1
，2．
画图象如下：
（2）解：由
2
2
y
x
，
当
2
y 时，2
2
2
x
，
解得
2
x ．
【变式12-2】画出函数
2
1
y
x
的图象．
x
…
1
0
1
…
y
…
a
1
1
…
(1)根据列表，a ．
(2)根据列表，在如图所示的平面直角坐标系中描点并连接．
(3)点
3, 5
A
，
2, 3
B
，
3,5
C
中，在函数
2
1
y
x
图象上的点是（填“ A ”“ B ”或“C ”）．
(4)若点
,9
P m
在函数
2
1
y
x
的图象上，求出m 的值．
【答案】(1) 3
(2)见解析
(3)C
(4)5
【分析】本题考查画一次函数图像，列表，描点，判断点是否在函数上：
（1）将值代入求解即可得到答案；
（2）根据表描点，连线即可得到答案；
（3）将点代入求解，比较判断即可得到答案；
（4）将点代入求解即可得到答案．
【详解】（1）解：当
1
x 时，
2
1
1
3
y
，
∴
3
a
故答案为：3
（2）解：描点并连接，画出图象如下：
（3）解：当
3
x 时，
2
3
1
7
5
y
，
当
2
x
时，
2 2 1
3
3
y
，
当
3
x
时，
2 3 1
5
y
，
∴点C 在函数
2
1
y
x
图象上，点A、B 不在函数
2
1
y
x
图象上，
故答案为：C
（4）解：∵点
,9
P m
在函数
2
1
y
x
的图象上，
∴2
1
9
m
，
解得：
5
m
．
一、单选题
1．已知函数为
10
10
y
x
x
，则（
）
A．�= 1 时，
2
y
B．
2
1
y
x
的图象与该函数的图象没有交点
C．y 随�的增大而增大
D．该函数因变量y 的取值范围为1
2
y
【答案】C
【分析】根据一次函数的性质逐一判断选项即可．
【详解】解：A、当�= 1 时，
1
2
y
x
，故该选项错误，不符合题意；
B、联立方程
2
1
y
x
y
x
，解得
1
1
x
y
，
∵10
1 10
，
∴两图象存在交点，故该选项错误，不符合题意；
C 、由y
x
可得1
0
，
当10
10
x
，y 随�的增大而增大，故该选项正确，符合题意；
D、∵10
10
x
且y
x
，
∴10
10
y
，不符合1
2
y
，故该选项错误，不符合题意．
2．一次函数
5
y
x
m
的图象上有两点�1, �1
，
2
3,
B
y
，�1与�2的大小关系是（
）
A．�1 > �2
B．�1 < �2
C．�1 = �2
D．无法确定
【答案】A
【分析】对于一次函数�= ��+ �，当
0
k
时，y 随�的增大而减小，通过比较两点横坐标的大小，结合一
次函数的性质即可得到�1与�2的大小关系．
【详解】解：在一次函数
5
y
x
m
中，∵
5
0
k
，
∴y 随�的增大而减小，
∵1
3
，
∴�1 > �2．
3．对于一次函数�=−2�+ 4，下列结论错误的是（
）
A．函数的图象不经过第三象限
B．函数的图象与�轴的交点坐标是
2,0
C．函数的图象向右平移2 个单位向下平移4 个单位长度得
2
4
y
x
的图象
D．函数值随自变量的增大而减小
【答案】C
【分析】根据一次函数的性质，函数图象与坐标轴交点的求法，函数图象平移的法则，逐个判断选项即可
得到错误结论．
【详解】解：对于一次函数�=−2�+ 4，可得�=−2，
4
b
．
A 选项：
2
0
k
，
4
0
b
，函数图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，A 结论正确．
B 选项：令�= 0，则2
4
0
x
，解得�= 2，函数图象与�轴的交点坐标是
2,0 ，B 结论正确．
C 选项：根据图象平移“左加右减自变量，上加下减常数项”的原则，函数向右平移2 个单位，向下平移4
个单位后，解析式为
2
2
4
4
y
x
，化简得�=−2�+ 4，不是
2
4
y
x
，C 结论错误．
D 选项：
2
0
k
，函数值随自变量�的增大而减小，D 结论正确．
4．当2
5
x
时，一次函数
1
1
y
m
x
m
最小值为6，则实数�的值为（
）
A．0
B．1
C．0 或1
D．0 或−1
【答案】B
【分析】根据一次函数的增减性，分一次项系数大于零、小于零、等于零三种情况讨论，计算出m，舍去
不符合条件的解即可．
【详解】解：当
1
0
m
，即�>−1 时，y 随�的增大而增大，
∴当�= 2 时，y 取得最小值6，
代入得，
3
1
6
m
解得�= 1，符合条件；
当
1
0
m
，即
1
m 时，y 随�的增大而减小，
∴当�= 5 时，y 取得最小值6，
代入得，
6
1
6
m
解得
0
1
m
，舍去；
当�+ 1 = 0，即�=−1 时，�= 0，不符合最小值为6，舍去；
综上，�= 1．
5．下列选项中，表示一次函数�= ��+ �与正比例函数y
mnx
（�，n 为常数，且
0
mn
）图像的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】结合正比例函数图象和一次函数图象判断即可．
【详解】解：图中过原点直线为正比例函数y
mnx
，不过原点直线为一次函数�= ��+ �，
①当
0
mn
时，正比例函数y
mnx
过第一、三象限，
∴�，n 同号，同正时，一次函数�= ��+ �过第一、二、三象限，同负时过第二、三、四象限；
②当
0
mn
时，正比例函数y
mnx
过第二、四象限，
∴�，n 异号，则�= ��+ �过第一、三、四象限或第一、二、四象限，
结合图象可知，其中A,B 选项
0
mn
，C,D 选项
0
mn
，
所以A 选项正确．
二、填空题
6．若直线
2
3
y
k
x
k
（k 是常数）的图像不经过第三象限，则k 的取值范围为________．
【答案】3
2
k
【分析】根据直线
2
3
y
k
x
k
（k 是常数）的图像不经过第三象限，得到直线经过第一、二象限或第
二、四象限或第一、二、四象限，则
2
0
k
，
3
0
k
，解不等式组即可得到k 的取值范围．
【详解】解：∵直线
2
3
y
k
x
k
（k 是常数）的图像不经过第三象限，
∴直线经过第一、二象限或第二、四象限或第一、二、四象限，
∴
2
0
3
0
k
k
，
解得3
2
k
．
7．已知一次函数
2
y
kx
（k 是常数，
0
k
），y 随x 的增大而减小，写出一个符合条件的k 的值为________．
【答案】−1（答案不唯一，�< 0 即可）
【分析】根据一次函数的增减性和一次项系数的关系即可确定k 的范围．
【详解】∵在
2
y
kx
中，y 随�的增大而减小，
0
k
,k 的值可以是−1（答案不唯一，�< 0 即可）．
8．已知点
1
2
1,
, 2,
y
y
在一次函数
2
1
y
k x
（k 为常数且�≠0）的图象上，则：�1______�2．（填“>”“=”
或“<”）
【答案】<
【分析】根据一次函数图象的增减性，结合两点横坐标的大小关系，即可比较纵坐标的大小.
【详解】解：∵一次函数解析式为
2
1
y
k x
，�≠0，
2
0
k
，
y
随�的增大而增大，
∵点
1
2
1,
, 2,
y
y
在该函数图象上，且1
2
，
1
2
y
y
．
9．如图，一次函数
2
2
3
y
x
的图象与�轴交于点�，与y 轴交于点B，则△���的面积为___________．
【答案】3
【分析】本题考查一次函数与坐标轴的交点计算，当
0
x
时，y 值为点�纵坐标，同理，当�= 0 时，�值
为点�横坐标，从而求得OA，OB ，计算△���的面积．
【详解】当
0
x
时，�=−2，
当�= 0 时，2
2
0
3 x
，
3
x
，
则��= 3，
2
OB
，
△���的面积
1
3 2
3
2
．
10．如图，在平面直角坐标系中，函数y
x
和
2
y
x
的图象分别为直线�1，�2，过点−1,0 作x 轴的垂线
交�2于点�1…过点�1作y 轴的垂线交�1于点�2，过点�2作x 轴的垂线交�2于点�3，过点�3作y 轴的垂线交�1
于点�4，…依次进行下去，则点�2026的坐标是______．
【答案】
1013
1013
2
,2
【分析】根据题意依次求出点
1
2
3
4
5
6
,
,
,
,
,
A A A A A A 的坐标，观察坐标数值与下标的关系以及点所在象限的变
化规律，归纳出规律，进而求解．
【详解】解：当
1
x 时，
2
1
2
y
，
∴点�1的坐标为−1,2 ，即
0
1
2 ,2
；
当
2
y
时，�= 2，
∴点�2的坐标为2,2 ，即
1
1
2 ,2
，
当�= 2 时，
2
2
4
y
，
∴点�3的坐标为2, −4 ，即
1
2
2 , 2
，
当�=−4 时，�=−4，
∴点�4的坐标为
4, 4
，即
2
2
2 , 2
，
当�=−4 时，
2
4
8
y
，
∴点
5
A 的坐标为
4,8
，即
2
3
2 ,2
，
当�= 8 时，�= 8，
∴点�6的坐标为8,8 ，即
3
3
2 ,2
⋯⋯
观察上述点的坐标变化规律可知，点的坐标以4 为周期循环变化，且数值部分与2 的幂次有关，
对于偶数点
2n
A ：当n 为奇数时，点
2n
A 在第一象限，坐标为
2 ,2
n
n ；
当n 为偶数时，点
2n
A 在第三象限，坐标为
2 , 2
n
n
；
∵2026
2
1013
，且1013 为奇数
∴点�2026符合
2n
A 中n 为奇数的情况，其中
1013
n
，
∴点�2026的坐标为
1013
1013
2
,2
．
三、解答题
11．已知正比例函数�= 2�的图像经过点�，且点�的横坐标为2．
(1)求点�的坐标；
(2)已知点�在�轴上，且
8
AOP
S
△
，求点�的坐标．
【答案】(1)
2,4
A
(2)
4,0 或−4,0
【分析】（1）将点�的横坐标代入解析式即可；
（2）根据三角形的面积列方程求解．
【详解】（1）解：当�= 2 时，
2
4
y
x
，
∴
2,4
A
；
（2）解：如图，设��, 0 ，
则有
1
·
2
8
2
AOP
A
S
OP y
m
，
解得
4
m ，
∴点�的坐标为
4,0 或−4,0 ．
12．已知一次函数
1
2
4
y
m
x
m
（�为常数）
(1)当函数是正比例函数时，�的值为_______．
(2)当�的值为______时，函数图象与直线
2
1
y
x
平行；
(3)当函数图象不经过第一象限时，�的取值范围是________；
(4)当−2 ≤�≤4 时，一次函数的最大值为4，求�的值．
【答案】(1)−2
(2)1
(3) 2
1
m
(4)2 或2.5
【分析】（1）根据一次函数�= ��+ �中，
0,
0
k
b
时，函数是正比例函数，可得答案．
（2）根据一次函数图象平行时，k 的值相等列方程求解即可；
（3）根据一次函数�= ��+ �中，
0
k
，�≤0 时，函数的图象不经过第一象限，可得答案．
（4）①根据一次函数�= ��+ �中，
0
k 时，y 随x 的增大而增大，则当
4
x
时，最大值是4，②根据一
次函数�= ��+ �中，
0
k
时，y 随x 的增大而减小，则当�=−2 时，最大值是4，可得答案．
【详解】（1）解：∵函数
1
2
4
y
m
x
m
（�为常数）是正比例函数，
∴
1
0
2
4
0
m
m
，
解得：
2
m ；
（2）解：∵一次函数
1
2
4
y
m
x
m
与直线
2
1
y
x
平行，
∴
1
2
m
，
解得：�= 1；
（3）解：∵函数图象不经过第一象限，
∴
1
0
2
4
0
m
m
，
解得2
1
m
；
（4）解：①当
1
0
m
时，即�>−1 时，y 随x 的增大而增大，
∴当
4
x
时，最大值是4，
∴4(
1)
(2
4)
4
m
m
，
解得
2
m
；
②当
1
0
m
时，即
1
m 时，y 随x 的增大而减小，
∴当�=−2 时，最大值是4，
∴
4
2
2
1
4
m
m
，
解得
2.5
m
．
综上，m 的值为2 或2.5
．
13．如图，已知直线1 :
4
l
y
kx
交�轴于点
6,0
A
，交y 轴于点�．
(1)直接写出k ；
(2)直线2 :
4
l
y
nx
与�轴，y 轴分别相交于点D ，E ，与直线�1相交于点C ，若
ACD
ODE
S
S
，求n 的值；
(3)点�在直线��上，若
45
BAO
MOA
，求点�坐标．
【答案】(1)
2
3
(2)�= 2
(3)
60 12
,
13 13
M
或
60
12
,
7
7
M
【分析】本题考查一次函数与几何的综合，解题的关键是掌握一次函数的图象和性质，全等三角形的判定
和性质，学会数形结合的解题思路．
（1）根据点在函数图象上，把点代入函数解析式，即可；
（2）根据函数解析式，求出
AOB
S
的面积，根据
ACD
ODE
S
S
，等量代换，则
12
BCE
ABO
S
S
，根据三角
形的面积公式，求出点C 的横坐标，根据点在直线上，即可；
（3）在线段��上取点�，过点�作��⊥��交��于点�，过点�作MQ
x
轴于点�，过点�作NP
x
轴
于点�，根据全等三角形的判定和性质，则PN
QO
，PO
QM
=
，设
2
,
4
3
M t
t
，
2
4,
3
N
t
t
，根据点
在函数上，求出t ，得到点�的坐标；在��的延长线上取点�，使
1
AOM
AOM
，过点�1作
1
M F
x
轴
于点G ，交��的延长线于点F ，根据全等三角形的判定和性质，可得
1
OGF
OGM
≌
，
1
FG
M G
；设
1
2
,
4
3
M
s
s
，
2
,
4
3
F s
s
，根据点在函数上，求出t ，得到点�的坐标．
【详解】（1）解：∵直线1 :
4
l
y
kx
交�轴于点
6,0
A
，
∴0
6
4
k
解得：
2
3
k
．
（2）解：由（1）可得，直线的解析式为：
2
4
3
y
x
∴�0,4 ，
∵直线2 :
4
l
y
nx
与�轴，y 轴分别相交于点D ，E ，
∴
0, 4
E
，
∵��= 4，
6
OA
∴
1
12
2
ABO
AO
O
S
B
．
∵
ACD
ODE
S
S
△
△
，
∴
12
BCE
ABO
S
S
，
∴1
12
2
C
BE x
，
∴
3
Cx
，
∴
2
3
4
2
3
C
y
，
∴2
3
4
n
，
∴�= 2．
（3）解：在线段��上取点�，过点�作��⊥��交��于点�，过点�作MQ
x
轴于点�，过点�作NP
x
轴于点�，
∴
90
NOM
NPO
MQO
，
∵
45
BMO
BAO
MOA
，
∴
45
BMO
MNO
，
∴MO
NO
．
∵
90
NOP
PNO
，
90
NOP
QOM
，
∴
PNO
QOM
，
∴PNO
QOM
≌
，
∴PN
QO
，PO
QM
=
．
设
2
,
4
3
M t
t
，
∴
2
4,
3
N
t
t
，
∴
2
2
4
4
3
3
t
t
，
∴
60
13
t
，
∴
60 12
,
13 13
M
，
在��的延长线上取点�，使
1
AOM
AOM
，过点�1作
1
M F
x
轴于点G ，交��的延长线于点F ，
1
90
OGF
OGM
，
∵
1
AOM
AOM
，OG
OG
，
∴
1
OGF
OGM
≌
，
∴
1
FG
M G
；
设
1
2
,
4
3
M
s
s
，
∴
2
,
4
3
F s
s
，
直线��的解析式为
1
5
y
x
，
∴2
1
4
3
5
s
s
，
∴
60
7
s
，
∴
1
60
12
,
7
7
M
．
综上，
60 12
,
13 13
M
或60
12
,
7
7
．
14．为了画一次函数�=−2�+ 4 的图象，嘉嘉在列表过程中的两组对应值如下．
x
3
y
2
(1)①将表格补充完整；
②在坐标系中描出以表格中x，y 的值为坐标的两个点，并画出一次函数�=−2�+ 4 的图象；
(2)若点��1, �1 ，��2, �2 在一次函数�=−2�+ 4 的图象上，当�1 > �2时，�1______�2（填“>”“<”或“=”）．
【答案】(1)解：①补全表格如下：
x
1
3
y
2
−2
②画出一次函数�=−2�+ 4 的图象，如图所示：
(2)<
【分析】（1）①把表格数据代入�=−2�+ 4 进行计算，即可作答；②先结合表格数据，再描点，连线，
即可画出一次函数�=−2�+ 4 的图象；
（2）根据②的一次函数�=−2�+ 4 的图象，且结合�1 > �2进行分析，即可作答．
【详解】（1）解：①当
3
x
时，
2
4
2 3
4
2
y
x
，当
2
y
时，即2
2
4
x
，则�= 1，
补全表格略：
②略；
（2）解：由（1）②的函数图像可知，y 的值随着x 的增大而减小，
∵点��1, �1 ，��2, �2 在一次函数�=−2�+ 4 的图象上，
∴当�1 > �2时，�1 < �2．
15．如图，在正方形ABCD中，E 为��的中点，以A 为原点，��、��所在直线为x 轴、y 轴，建立平面直
角坐标系，
4,4
C
．点P 从点A 出发，沿�→�→�→�运动，点P 的速度是每秒2 个单位长度，设点P
运动的时间为t 秒，△���的面积为S．
(1)写出S 关于t 的函数解析式：当0
2
t
时，函数解析式为__________；当2
4
t
时，函数解析式为
4
S
；
当4
6
t
时，函数解析式为__________；
(2)通过取点、画图、测量，得到了s 与t 的几组值，如下表：
t
0
6
t
0
1
2
3
4
5
6
S
0
m
4
n
4
2
0
请直接写出�=______，n ______．
(3)在平面直角坐标系中，描出以补全后的表中各组对应值为坐标的点，画出该函数的图象：
(4)当t ______时，
3
APE
S
△
．
【答案】(1)
2
S
t
；
2
12
S
t
(2)2；4
(3)见解析
(4)1.5或4.5
【分析】（1）根据三角形面积公式，写出函数解析式即可；
（2）根据函数解析式，得出m、n 的值即可；
（3）根据表格中的数据先描点，再连线即可；
（4）把
3
S
分别代入
2
S
t
和
12
2
S
t
，求出t 的值即可．
【详解】（1）解：∵在正方形ABCD中，
4,4
C
，
∴
4
AB
BC
CD
AD
，
∵E 为��的中点，
∴
1
2
2
AE
BE
AB
，
当0
2
t
时，点P 在��上，��= 2�，则：
1
2 2
2
2
S
t
t
；
当4
6
t
时，点P 在��上，
4 3
2
12
2
BP
t
t
，则：
1
2
12
2
2
12
2
S
t
t
；
（2）解：把�= 1 代入
2
S
t
得：
2
S
，即
2
m
；
∵2
4
t
时，函数解析式为
4
S
，
∴�= 3 时，
4
S
，即�= 4；
（3）解：函数图象，如图所示：
（4）解：把
3
S
代入
2
S
t
得：2
3
t
，解得：�= 1.5；
把
3
S
代入
12
2
S
t
得：12
2
3
t
，解得：�= 4.5；
综上，当�= 1.5 或4.5 时，
3
APE
S
△
．
16．如图，已知一次函数�=
1
2 �+ 2 与�轴相交于点�，与y 轴交于点�．
(1)求出点�和点�的坐标．
(2)若点C 的坐标是1,0 ，
①△���是_____三角形（按角分类）．
②点�是�轴上的点，若
1
2
ABP
ABC
S
S
△
△
，请求出点�的坐标．
③在�轴是否存在点D ，使得△���是等腰三角形？如果存在，请直接写出点D 的坐标，如果不存在，请说
明理由．
【答案】(1)
4,0
A
，�0,2
(2)①直角；②
3 ,0
2
P
或
13 ,0
2
P
；③存在点D ，坐标为：
3
1
5,0 , 1
5,0 ,
1,0 ,
,0
2
．
【分析】（1）令�= 0 可求出点A 的坐标，令
0
x
可求出点B 的坐标；
（2）①根据勾股定理及其逆定理判断即可；
②根据
1
2
ABP
ABC
S
S
△
△
求出AP 长即可求解；
③分三种情况，利用勾股定理列出方程求解即可．
【详解】（1）解：∵当�= 0 时，
1
0
2
2 x
，�=−4，
∴�−4,0 ．
∵当
0
x
时，
2
y
，
∴�0,2 ；
（2）解：①∵�−4,0 ，�0,2 ，点C 的坐标是1,0 ，
∴
4,
2,
1
OA
OB
OC
，
∴
2
2
2
2
4
2
2 5,
1
2
5,
1 4
5
AB
BC
AC
．
∵
2
2
2
2 5
5
25,5
25
∴��2 + ��2 = ��2，
∴△���是直角三角形；
②∵
1
2
ABP
ABC
S
S
△
△
，
∴1
1
1
2
2 5
5
2
2
2
AP
，
∴
5
2
AP
，
∴
5
4
,0
2
P
或
5
4
,0
2
P
，即
3 ,0
2
P
或
13 ,0
2
P
；
③设D 的坐标是
,0
m
∴
2
2
1
CD
m
，
2
2
2
2
0
0
2
4
BD
m
m
，
当BC
CD
时，
2
5
1
m
，解得：
1
2
1
5,
1
5
m
m
；
当BC
BD
时，
2
5
4
m
，解得：
3
4
1,
1
m
m
（舍去）；
当CD
BD
时，
2
2
1
4
m
m
，解得：
5
3
2
m
；
综上可知，点D 的坐标为
3
1
5,0 , 1
5,0 ,
1,0 ,
,0
2
．
