第08 讲二次根式及其乘除法
内容导航
01 预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向
02 教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理
03 题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解
题型1 判断二次根式
题型2 根据二次根式有意义条件求范围
题型3 二次根式的乘法
题型4 二次根式的除法
题型5 二次根式的乘除混合运算
题型6 根据参数范围及二次根式的性质化简二次根式
题型7 含隐含条件的参数范围化简二次根式
题型8 复杂的复合二次根式化简
04 过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固
关键词
学习目标导航
二次根式、被开方数非
负、�2= |a|、乘法法
则、除法法则、最简二
次根式。
1. 理解二次根式的概念，掌握被开方数必须为非负数这一前提条件。
2. 掌握二次根式的基本性质：�≥0（a≥0），
�
2=a（a≥0），�2= |a|。
3. 掌握二次根式的乘法法则：�⋅
�= ��（a≥0, b≥0），除法法则：
�
�=
�
�
（a≥0, b>0）。
4. 能运用法则进行二次根式的乘除运算，并能将结果化为最简二次根式。
学习重点:二次根式的概念、基本性质，以及乘除法则的运用和最简二次根式的化简。
学习难点:理解�2= |a|中绝对值符号的必要性（区分a≥0 和a < 0 的情况），以及运用乘除法则时被
开方数非负的条件限制。
知｜识｜框｜架
知｜识｜精｜讲
知识点01 二次根式
1.二次根式的概念:一般地，我们把形如
)
0
a
a
（
的式子的式子叫做二次根式，
”
“
称为称为二次根
号．如
3
2
1.0
,3
，
都是二次根式。
2.二次根式满足条件：（1）必须含有二次根号
”
“
；（2）被开方数必须是非负数.
3.二次根式有意义：被开方数为非负数，即
0
a
a
有意义
；
4.二次根式无意义：被开方数为负数，即
0
a
a
＜
无意义
；
【易错提醒】
二次根式概念易错警示：形如�(a≥)的式子。注意：被开方数必须非负；�表示算术平方根，结果非负。
若a<0，�无意义。勿与立方根混淆。
即时即练1．下列各式中，一定是二次根式的是（
）
A．
2a
B．
2
1
a
C．
2
1
a
D．3
a
【答案】B
【知识点】二次根式有意义的条件
【分析】本题主要考查了二次根式的识别，形如
0
a a
的式子叫做二次根式，据此可得答案．
【详解】解：A、当
0
a
时，
2a 不是二次根式，不符合题意；
B、
2
1
a 是二次根式，符合题意；
C、当2
1
0
a
时，
2
1
a 不是二次根式，不符合题意；
D、3
a
不是二次根式，不符合题意；
故选：B．
2．若
3
x
在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围是
．
【答案】
3
x
【知识点】二次根式有意义的条件
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解题关键是熟练掌握列不等式、解不等式．
根据二次根式有意义的条件，列出不等式求解．
【详解】解：∵
3
x
在实数范围内有意义，
∴
3
0
x
，
解得：
3
x ，
故答案为：
3
x ．
3．如果
2
2
1
y
x
x
，那么xy
．
【答案】2
【知识点】已知字母的值，求代数式的值、二次根式有意义的条件
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，化简二次根式，解题的关键是掌握这些知识点．
根据二次根式有意义的条件得
2
0,2
0
x
x
，解得
2
x
，则把
2,
1
x
y
代入进行计算即可得．
【详解】解：∵
2
0,2
0
x
x
，
∴
2,
2
x
x
，
∴
2
x
，
∴
1
y ，
∴
= 2 1= 2
xy
，
故答案为2．
知识点02 二次根式的性质
1.二次根式
a （
0
a
）的非负性
a （
0
a
）表示a 的算术平方根，也就是说，
a （
0
a
）是一个非负数，即
0
a
（
0
a
）．
2.二次根式
2
a
的性质：
2
a
a
（
0
a
）
3.二次根式
2
a 的性质：
)
0
(
)
0
(
2
a
a
a
a
a
a
【易错提醒】
1.
�2=|a|，不是a（a 为负时易错）。
2.
�⋅
�= ��（a,b≥0），勿忽略范围。
3. 分母有理化时，注意分子分母同乘适当因式，结果化为最简。
即时即练1．已知
3
a
，化简
2
3
a
．
【答案】3
a
【知识点】利用二次根式的性质化简
【分析】本题考查二次根式的性质，根据二次根式的性质，进行化简即可．
【详解】解：∵
3
a
，
∴3
0
a
，
∴
2
3
3
3
a
a
a
；
故答案为：3
a
．
2．若
3
3
x
x
x
x
，则化简
2
1
|
4 |
x
x
的结果是
．
【答案】5
【分析】本题考查了二次根式的乘除法，二次根式的性质与化简，正确计算是解题的关键．
根据二次根式的乘法法则成立的条件得出
0
x
且3
0
x
，即可求出x 的取值范围，再根据二次根式的性
质化简即可．
【详解】解：若
3
3
x
x
x
x
，
则
0
x
且3
0
x
，
解得0
3
x
，
∴
2
1
|
4 |
x
x
1
4
x
x
1 4
x
x
5
，
故答案为：5．
知识点03 二次根式的乘法法则
1.二次根式的乘法法则：
)
0
,0
(
ab
b
a
b
a
（二次根式相乘，把被开方数相乘，根的指数不变）
2.二次根式的乘法法则的推广:
（1）
)
0
,0
,0
a
abc
c
b
a
c
b
（
（2）
)
0
,0
bd
d
b
a
d
b
ac
c
（
，即当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项式的法则进
行计算，即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数.
3.二次根式的乘法法则的逆用：
)
0
,0
(
a
ab
b
a
b
（二次根式的乘法法则的逆用实为积的算数平
方根的性质）
4.二次根式的乘法法则的逆用的推广：
)
0
,0
,0
,0
a
c
b
a
abcd
d
c
b
d（
【易错提醒】
�⋅
�= ��（a,b≥0）。注意：系数分别相乘，根号内相乘。结果须化为最简（开得尽方的因数要移出根号）。
勿忽略a,b 非负条件。
即时即练设
0,
0
a
b
，计算下列各式：
(1)
2
10
5
(2)
2
48
3
(3)
3
b
ab
a
(4)
2
5 1
2
8
a
b
b
a
．
【答案】(1) 2
(2) 4 2
(3)
2
b
(4)
3
4ab
【知识点】利用二次根式的性质化简、二次根式的乘法
【分析】本题考查了二次根式的乘法，二次根式的性质与化简，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
（1）根据二次根式的乘法法则以及性质化简即可；
（2）根据二次根式的乘法法则以及性质化简即可；
（3）根据二次根式的乘法法则以及性质化简即可；
（4）根据二次根式的乘法法则以及性质化简即可．
【详解】（1）解：
2
2
10
10
4
2
5
5
；
（2）解：
2
2
48
48
32
4 2
3
3
；
（3）解：
0,
0
a
b
，
3
3
4
2
b
b
ab
ab
b
b
a
a
；
（4）解：
0
b
，
2
5
5
6
3
1
2
8
2
8
16
4
a
b
b
a
b
b
a
b
ab
a
．
知识点04 二次根式的除法法则
1.二次根式的除法法则：
b
a
b
a
0
,0
b
a
（二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变）
2.二次根式的除法法则的推广：
)
0
,0
,0
(
c
b
a
c
b
a
c
b
a
.
【易错提醒】
b
a
b
a
0
,0
b
a
。注意：分母不能为0，结果要化简（分母不含根号，被开方数不含分母）。勿忽
略b>0 条件。
即时即练计算：
(1)
75
15
(2)
80
2
(3) 108
3 6
(4)
1
1
3
1
3
2
(5)
9
54
6
12
12
(6)
4
4 5
5 1 5
【答案】(1)
5
(2) 2 10
(3) 2
(4) 2 5
3
(5) 1
6
(6)
4
3
【知识点】二次根式的除法
【分析】本题考查二次根式的除法运算，熟练掌握二次根式的除法运算法则是解题的关键；
（1）根据二次根式的除法法则进行计算即可求解；
（2）根据二次根式的除法法则进行计算即可求解；
（3）化为108
54
，再根据二次根式的除法法则进行计算即可求解；
（4）化为
10
3
3
2
，再根据二次根式的除法法则进行计算即可求解；
（5）根据二次根式的除法法则进行计算即可求解；
（6）根据二次根式的除法法则进行计算即可求解．
【详解】（1）解：
75
15
5
（2）解：
80
2
40
2 10
（3）解：108
3 6
108
54
108
54
2
（4）解：
1
1
3
1
3
2
10
3
3
2
10
2
3
3
20
9
2 5
3
（5）解：
9
54
6
12
12
9
54
6
12
12
9
12
1
12
54
6
1
36
1
6
（6）解：
4
4 5
5 1 5
4 5
9
5 5
4
5
3
5
5
4
5
5
3
4
3
题型1 判断二次根式
【例1】下列式子中，不属于二次根式的是（
）
A．
3
B．
2
1
a
C．
π
D．
0
【答案】C
【分析】根据二次根式的定义，形如
a （
0
a
）的式子称为二次根式，若被开方数为负数，则不属于二
次根式，据此依次判断即可.
【详解】解：选项A：
3 ，被开方数3
0
，不符合题意；
选项B：
2
1
a ，无论a 取何值，
2
0
a
，故
2
1
1
0
a
，不符合题意；
选项C：
，被开方数为
（
0
，故
0
），符合题意；
选项D：
0 ，被开方数0
0
，不符合题意.
故选：C.
【例2】下列式子中：
1
2
，
5000
，3 27 ，8 ，
2
2025
，二次根式的个数有（
）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】C
【分析】二次根式的定义为：形如
0
a a
的式子叫做二次根式，需要同时满足根指数为2、被开方数非
负两个条件，逐个判断统计个数即可．
【详解】解：∵
1
2
的根指数为2，且1
0
2
，满足条件，∴
1
2
是二次根式；
∵
5000
的被开方数5000
0
，不满足条件，∴
5000
不是二次根式；
∵3 27 的根指数为3，不满足条件，∴不是二次根式；
∵8 的根指数为2，且8
0
，满足条件，∴是二次根式；
∵
2
2025
的根指数为2，且
2
2
2025
2025
0
，满足条件，∴是二次根式；
综上，符合条件的二次根式共3 个．
【技巧归纳】
二次根式定义为形如�（a≥0）的式子。判断关键：被开方数非负，根指数为2（通常省略）。注意区分�
与
��，化简后仍为二次根式如4是常数不是根式。
【变式1-1】给出下列式子：①
8 ；②
4
；③
2
1
a ；④
2a ；⑤3
3x ，其中一定是二次根式的有
（
）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】B
【分析】本题考查了二次根式的定义，需满足根指数为2 且被开方数非负．逐一分析各选项即可．
【详解】①8 ：根指数为2，被开方数8
0
，符合二次根式定义．
②
4
：被开方数为4
0
，无意义，不是二次根式．
③
2
1
a ：根指数为2，且
2
1
1
0
a
恒成立，无论a 取何值均成立，一定是二次根式．
④
2a ：根指数为2，但被开方数2a 需满足2
0
a
，即
0
a
．由于a 的取值未限定，无法保证恒成立，
故不一定是二次根式．
⑤3
3x ：根指数为3，属于三次根式，不是二次根式．
故选B．
【变式1-2】下列各式中，是二次根式有（
）
①
7 ；②
3
；③3 10 ；④
3
x
；⑤
2
9
a
；⑥
2
1
1
x
A．2 个
B．3 个
C．4 个
D．5 个
【答案】B
【分析】本题主要考查了二次根式的定义，一般地，形如
0
a a
的式子叫做二次根式，据此求解即可．
【详解】解：①
7 ：根指数为2，被开方数7
0
，是二次根式．
②
3
：被开方数3
0
，无意义，不是二次根式．
③3 10 ：根指数为3，属于三次根式，不是二次根式．
④
3
x
：被开方数为3
x
，当3
0
x
，即
3
x 时才有意义．但题目未限定x 的范围，无法保证被
开方数非负，故不是二次根式．
⑤
2
9
a
：无论a 取何值，
2
9
9
0
a
，被开方数恒正，是二次根式．
⑥
2
1
1
x ：分母
2
1
1
0
x
，被开方数恒正，是二次根式．
综上，符合条件的有①⑤⑥，共3 个，
故选B．
题型2 根据二次根式有意义条件求范围
【例3】使二次根式
x 有意义的x 的值为
（写出一个符合题意的值即可）．
【答案】1（答案不唯一）
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是被开方数大于等于零是解
此题的关键．
根据二次根式有意义的条件列出关于x 的不等式，求出的取值范围即可．
【详解】解：要使二次根式
x 有意义，
则
0
x
，
∴使二次根式
x 有意义的x 的值可以为1（答案不唯一），
故答案为：1（答案不唯一）．
【例4】若代数式
3
x
在实数范围内有意义，则x 的取值范围是
．
【答案】
3
x
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件．
直接根据二次根式有意义的条件作答即可．
【详解】解：∵代数式
3
x
在实数范围内有意义，
∴
3
0
x
，
即
3
x
，
故答案为：
3
x
．
【技巧归纳】
二次根式有意义：被开方数≥0；分母中有根式时，分母≠0；奇次根式被开方数为全体实数。多个条件联立
取交集。注意隐含着平方、绝对值等非负条件，化简前先依原式列式。
【变式2-1】若二次根式
2026
x
有意义，则x 的取值范围是_______．
【答案】
2026
x
【详解】解：二次根式
2026
x
有意义，
2026
0
x
，
解得：
2026
x
，
x 的取值范围是
2026
x
．
【变式2-2】已知
8
16
2
9
y
x
x
，则
xy 的值为
．
【答案】6 2
【分析】本题考查二次根式的加减法，结合已知条件求得x 的值是解题的关键．利用二次根式有意义的条件
求得x 的值，然后求得y 的值，将其代入原式计算即可．
【详解】解：已知
8
16
2
9
y
x
x
，
8
0
x
，16
2
0
x
，
8
x
，
8
x
，
8
x
，
0
0
9
9
y
，
8 9
72
6 2
xy
，
故答案为：6 2 ．
题型3 二次根式的乘法
【例5】计算：
(1) 2 5
3 6
；
(2)8 2
2 8
；
(3)4
1
xy
y
；
(4)3 5
2 10
a
b
．
【答案】(1)6 30
(2)64
(3) 4 x
(4)30 2ab
【分析】本题主要考查二次根式的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
（1）根据二次根式的乘法进行运算，再对所求结果进行化简即可；
（2）根据二次根式的乘法进行运算，再对所求结果进行化简即可；
（3）根据二次根式的乘法进行运算，再对所求结果进行化简即可；
（4）根据二次根式的乘法进行运算，再对所求结果进行化简即可．
【详解】解：（1）2 5
3 6
2 3
5 6
6 30
；
（2）8 2
2 8
2 8
2 8
16
16
16 4
64
；
（3）
1
4 xy
y
1
4 xy y
4 x
；
（4）3 5
2 10
a
b
2 3 50ab
6 5 2ab
30 2ab
．
【例6】计算：
(1)
2
5
；
(2)
1
9
3
；
(3) 14
7
；
(4)3 5
2 10
．
【答案】(1) 10
(2)
3
(3)7 2
(4)30 2
【分析】本题主要考查二次根式的乘法，根据二次根式的乘法则计算，最后结果化为最简二次根式即可．
（1）二次根式的乘法则计算，最后结果化为最简二次根式；
（2）二次根式的乘法则计算即可；
（3）二次根式的乘法则计算，最后结果化为最简二次根式；
（4）二次根式的乘法则计算，最后结果化为最简二次根式；
【详解】（1）
2
5
2 5
10
；
（2）
1
9
3
1 9
3
3
；
（3）14
7
14 7
2 7 7
2
49
＝7 2 ；
（4）3 5
2 10
＝6 50
＝6
25 2
＝6
25
2
＝30 2 ．
【技巧归纳】
�⋅
�= ��（a,b≥0）。先确定被开方数非负，再合并根号内相乘，最后化简（提平方因子）。系数相乘放
在根号外。注意负号处理，如\(\sqrt{-a}\) 无意义时不可直接乘。
【变式3-1】计算：
(1) 30
5
；
(2)
2
12
3
；
(3)2 3
4 6
；
(4)
2
1
12
6 xy
x
．
【答案】(1)5 6
(2) 2 2
(3) 24 2
(4)
2x y
【分析】根据二次根式的乘法法则，
a
b
a b
（
0
a
，
0
b
）计算即可．
【详解】（1）解：
30
5
5 6
5
5
6
5
5 6
（2）
2
2
12
12
4 2
2 2
3
3
（3）
2
2 3
4 6
2 3
4
3
2
2
2
2 3 4
4
（4）
2
2
2
2
1
1
12
12
2
2
6
6
xy
x
xy
x
x y
x y
【变式3-2】计算：
(1)
1
75
3
；
(2)
5 27
3 3
；
(3)
5
9
3
3
125
；
(4)
1
3 ab
b
（
0
a
，
0
b
）．
【答案】(1)5
(2) 135
(3) 3
5
(4)3 a
【分析】本题考查了二次根式的乘法，熟练掌握二次根式的乘法运算法则是解题的关键．
（1）利用二次根式的乘法运算法则计算即可；
（2）利用二次根式的乘法运算法则计算即可；
（3）利用二次根式的乘法运算法则计算即可；
（4）利用二次根式的乘法运算法则计算即可．
【详解】（1）解：
1
75
3
1
75
3
25
5
；
（2）解：
5 27
3 3
5
3
27 3
15
81
15 9
135
；
（3）解：
5
9
3
3
125
5
9
3
3 125
9
25
3
5
；
（4）解：
1
3 ab
b
1
3 ab
b
3 a
．
题型4 二次根式的除法
【例7】计算：
(1)
48
6
(2)
3
3
27
10
8
【答案】(1) 2 2
(2) 20 2
【分析】本题考查二次根式的除法计算，熟知二次根式的除法法则是解题的关键．
（1）根据二次根式的除法法则可解决问题．
（2）根据二次根式的除法法则可解决问题．
【详解】（1）
48
6
8
2 2
（2）
3
3
27
10
8
10
8
3
3
27
27
10
8
3
3
10
72
3
2
6
10
3
20 2
【例8】计算：
(1)
18
6
；
(2)
2
5
13
54
；
(3)
2
6 3
3
3
x
x
．
【答案】(1)
3
(2) 3 2
(3)6 x
【分析】本题主要考查了二次根式的除法，根据二次根式的除法法则逐个计算即可．
【详解】（1）
18
18
3
6
6
；
（2）
2
5
5
5
5
54
1
18
3 2
3
54
3
54
3
5
；
（3）
2
2
3
6 3
3
(6
3) 3
2 9
6
3
x
x
x
x
x
x
．
【技巧归纳】
b
a
b
a
0
,0
b
a
。先保证被开方数非负且分母不为0，再合并根号内相除，化简为最简二次根式（分
母不含根号）。系数相除放外，结果可分母有理化。
【变式4-1】计算：
(1)
5 14
7
(2) 2 18
3 2
(3)
3
6
2 3
2
(4)
8
16
5
5
【答案】(1) 5 2
(2)2
(3)
3 2
4
(4)
2
2
【分析】根据二次根式的除法计算法则求解即可．
【详解】（1）解：原式
5 14
7
5 2
；
（2）解：原式
2
18
2
3
9
2
3
2
3
3
2
；
（3）解：原式
3
6
3
4
2
4
3
；
（4）解：原式
8
16
5
5
8
5
5
16
1
2
2
2
．
【变式4-2】计算：
(1)
54
6
；
(2)
2
1
9
18
；
(3) 2 6
24
；
(4)
2
1
25
ab
a
．
【答案】(1)3
(2) 2
(3)1
(4)5a b
【分析】根据二次根式除法运算及
2
a
a
逐题计算即可．
【详解】（1）解：
54
6
54
6
9
3
；
（2）解：
2
1
2
1
2 18
4
2
9
18
9
18
9
；
（3）解：2 6
24
1
24
24
；
（4）解：
2
2
2
2
2
1
1
25
25
5
25
25
ab
ab
ab
a
a b
a b
a
a
．
题型5 二次根式的乘除混合运算
【例9】计算：
(1)
27
14
6
2
；
(2)
27
50
2 6
．
【答案】(1) 3 14
2
(2)15
2
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解答本题的关键，
（1）根据二次根式的乘除法法则计算，即可求解；
（2）根据二次根式的乘除法法则计算，即可求解．
【详解】（1）解：
27
14
6
2
14
27
6
2
63
2
2
2
7 2 3
2
3 14
2
（2）解：
27
50
2 6
3 3 5 2
2 6
15 6
2 6
15
2
【例10】计算：
(1)
1
2 3
2
2
．
(2)
2
1
1
1
2
1
3
3
5
【答案】(1)
3
(2)
42
7
【分析】本题考查了二次根式的乘除混合运算，掌握运算法则是解题的关键．
（1）根据二次根式的乘除混合运算法则计算即可；
（2）根据二次根式的乘除混合运算法则计算即可．
【详解】（1）解：
1
2 3
2
2
2
1
2 3
2
2
3
；
（2）解：
2
1
1
1
2
1
3
3
5
5
7
6
3
3
5
5
3
6
3
7
5
6
7
42
7
．
【技巧归纳】
统一为
形式，系数乘除放外，根号内乘除合并。先化简每个根式，再乘除。注意运算顺序：从左到右，
除法变乘法（乘倒数）。最后化为最简二次根式（分母有理化，开尽方）。
【变式5-1】计算：
(1)
3
2 12
5 2
4
；
(2) 6 8
2 6
4 27
；
(3)
4
3
4
3 5
10
5
4
；
(4)
3
2 12
5 2
4
；
(5)
1
1
6
6
24
3
6
．
【答案】(1) 3 2
10
(2) 4
(3)
8 15
5
(4) 3
6
10
(5) 6
【分析】本题各小题根据二次根式的乘法和除法运算法则进行解答即可．
【详解】（1）解：
3
2 12
5 2
4
3
2 2 3
5 2
4
3 5 2
3 2
10
；
（2）解：6 8
2 6
4 27
12 2
2 6
12 3
48 3 12 3
4
；
（3）解：
4
3
4
3 5
10
5
4
4
6 6
3 10
8 15
5
；
（4）解：
3
2 12
5 2
4
3
1
12
2
4
5
2
3
6
10
；
（5）解：
1
1
6
6
24
3
6
1
2 6
6
.
24
1
12
4
6
．
【变式5-2】计算：
(1)
3
6
18
2
；
(2) 3
2
24
32
9 2
4
3
；
(3)
1
3
2
9 45
3
2
5
20
3
；
(4)
2
2
1
2
3
2
2
y
x
x
y
y
x
．
【答案】(1)
2
2
(2)
4
6
9
(3) 9
6
2
(4)3y
【分析】本题考查了二次根式的乘除混合运算．
（1）利用二次根式的乘除混合运算法则计算即可求解；
（2）利用二次根式的乘除混合运算法则计算即可求解；
（3）利用二次根式的乘除混合运算法则计算即可求解；
（4）利用二次根式的乘除混合运算法则计算即可求解．
【详解】（1）解：
3
6
18
2
3
1
6
2
18
6 3 1
2 18
1
2
2
2
；
（2）解：3
2
24
32
9 2
4
3
3
2
1
24 32
2
4
3
9
1
8 2
18
4
6
9
；
（3）解：
1
3
2
9 45
3
2
5
20
3
5
3
8
27 5
3
20
3
1
3
8
27
5 5
3
20
3
27
10
6
20
3
9
6
2
；
（4）解：
2
2
3
2
2
12
y
x
x
x
y
y
2
2
3
12
2
2
y
x
y
x
y
x
2
2
3
12
2
2
y
x
y
x
y x
•
2
y
x
• 18xy
18
2
y
xy
x
3y
．
题型6 根据参数范围及二次根式的性质化简二次根式
【例11】当
0
a
时，化简
2
9a
．
【答案】3a
【分析】本题考查二次根式的性质，根据二次根式的性质即可得出答案．
【详解】解：当
0
a
时，
2
9
3
a
a
，
故答案为：3a ．
【例12】已知2
3
x
，化简
2
2
3
x
x
．
【答案】1
【分析】本题考查了二次根式性质和绝对值化简．根据二次根式性质和绝对值意义化简计算即可．
【详解】解：∵2
3
x
，
∴
2
2
3
2
3
2
3
1
x
x
x
x
x
x
，
故答案为：1．
【技巧归纳】
先由条件确定参数范围，判断根号内表达式符号。利用�2=|a|去掉根号，根据范围去掉绝对值。再合并同
类项化简。注意被开方数为完全平方时直接开方，结果为非负。
【变式6-1】当1
3
x
时，
2
1
6
9
x
x
x
．
【答案】2
【分析】本题主要考查了化简二次根式和化简绝对值，把原式变形为
2
1
3
x
x
，再根据1
3
x
化简
绝对值和二次根式即可得到答案．
【详解】解：∵1
3
x
，
∴
2
1
6
9
x
x
x
2
1
3
x
x
1
3
x
x
2
，
故答案为：2．
【变式6-2】若
0
a
，
0
b
，化简
3
3
2
3
ab
a b
____________________．
【答案】
3
2
a
b
ab
【分析】利用二次根式的性质
2x
x
，结合
0
a
，
0
b
的条件去掉绝对值，化简后合并同类二次根式即
可得到结果．
【详解】解：∵
0
a
，
0
b
，
∴
3
3
2
3
2
3
2
3
3
2
ab
a b
b
ab
a
ab
b ab
a ab
a
b
ab
．
题型7 含隐含条件的参数范围化简二次根式
【例13】化简
2
3
4a b 结果为（
）
A．2ab b
B．4ab b
C．2ab
D．2ab ab
【答案】A
【知识点】利用二次根式的性质化简
【分析】本题考查了二次根式的化简，掌握二次根式的性质是解题的关键；利用二次根式的性质化简即可．
【详解】解：
2
3
2
2
4
4
2
a b
a b
b
ab b
；
故选：A．
【例14】化简
3
a
-
的结果是（
）
A．a
a
-
B．a
a
C．
a a
-
D．a a
【答案】B
【知识点】二次根式有意义的条件、利用二次根式的性质化简
【分析】本题考查二次根式有意义的条件以及二次根式的性质，根据二次根式有意义的条件确定
0
a
，再
根据二次根式的性质进行化简即可．掌握二次根式有意义的条件以及二次根式的性质是正确化简的前提．
【详解】解：由于二次根式
3
a
-
有意义，
所以
0
a
，
所以
3
a
a
a
a
a
，
故选：B．
【技巧归纳】
挖掘隐含条件：如�−2+ 2 −�有意义得a=2。先根据被开方数非负、分母非零推出参数具体值或范围，
再判断根号内其他表达式的符号，最后利用�2=|a|化简，去掉绝对值。
【变式7-1】化简
1
m
m
的结果是（
）
A．
m
B．
m
C．m
D．
m
【答案】B
【知识点】二次根式有意义的条件、利用二次根式的性质化简
【分析】本题考查了二次根式的化简，解题的关键是根据二次根式有意义的条件确定m 的取值范围，再运
用二次根式的性质进行化简．
先根据被开方数非负确定m 的正负，再利用二次根式的性质
(
0,
0)
ab
a
b a
b
对原式进行化简．
【详解】因为二次根式
1
m
有意义，则
1
0
m
，
所以
0
m
．
则
2
1
1·
m
m
m
m
m
．
答案选B．
【变式7-2】已知x
y
，则化简二次根式
3x y
的结果是（
）
A．x
xy
B．x xy
C．x
xy
D．x xy
【答案】A
【分析】先根据二次根式有意义的条件求出x、y 的正负，再化简二次根式即可．
【详解】解：∵
3x y
有意义，
∴
3
0
x y
，
∴
3
0
x y
，
∵x
y
，
∴
0,
0
x
y
，
∴
3
2
x y
xy x
x
xy
x
xy
．
题型8 复杂的复合二次根式化简
【例15】形如
2
m
n
的化简，只要找到两个正数a，b，使a
b
m
，ab
n
，即
2
2
(
)
(
)
a
b
m
，
a
b
n
，那么便有
2
2
(
)
(
)
m
n
a
b
a
b a
b
．
例如：化简
7
4 3
．
解：
7
4 3
7
2 12
，这里
7
m
，
12
n
，由于4
3
7,4 3
12
，
∴
2
7
4 3
7
2 12
4
3
2
3
．
请仿照上例解下列问题：
(1)填空：
4
2 3
________，9
4 5
________，
8
60
________；
(2)化简：
3
5
（请写出计算过程）；
(3)化简：
1
1
1
1
1
3
8
5
24
7
48
9
80
11
120
【答案】(1) 3
1
；
5
2
；5
3
(2)
10
2
2
(3)
6
1
【知识点】复合二次根式的化简、二次根式的加减运算、分母有理化
【分析】本题考查二次根式的化简，二次根式的混合运算，熟练掌握题干给定的化简方法，是解题的关键：
（1）根据题干给定的化简方法，进行化简即可；
（2）根据题干给定的化简方法，进行化简即可；
（3）根据题干给定的化简方法，先化简，再进行计算即可．
【详解】（1）解：
2
2
2
4
2 3
1
2 3
3
3
1
3
1
；
2
2
2
9
4 5
9
2 20
2
2
2
5
5
5
2
5
2
；
2
2
2
8
60
5
2
5
3
3
5
3
5
3
；
（2）解：
2
3
5
6
2 5
2
，
∴
6
m
，
5
n
，1 5
6,1 5
5
，
∴
2
2
2
2
10
2
3
5
6
2 5
5
1
5
1
2
2
2
2
；
（3）原式
1
1
1
1
1
3
2 2
5
2 6
7
2 12
9
2 20
11
2 30
1
1
1
1
1
1
2
2
3
3
2
2
5
5
6
2
1
3
2
2
3
5
2
6
5
6
1
．
【例16】有这样一类题目：将
2
a
b
化简，如果你能找到两个数m、n，使
2
2
m
n
a
且mn
b
，则可
将
2
a
b
将变成
2
2
2
m
n
mn
，即变成
2
(
)
m
n
，从而使得
2
a
b
化简．例如，
2
2
2
5
2 6
3
2
2 6
3
2
2 2
3
3
2
，∴
2
5
2 6
3
2
3
2
．这种
方法叫做配方法，换一种思路，假设化简5
2 6
的结果是
0
(
)
x
y x
y
，可知
2
5
2 6
x
y
．整
理，得5
2 6
2
x
y
xy
，比较等式两边的组成，可得
5
x
y
，
6
xy
，即
3
x
，
2
y
，所以
5
2 6
3
2
．
尝试化简下列各式：
(1)
7
4 3
；
(2)
8
60
．
【答案】(1) 2
3
(2) 5
3
【知识点】运用完全平方公式进行运算、复合二次根式的化简
【分析】（1）根据完全平方公式得出
2
7
4 3
2
3
进而求出即可；
（2）根据完全平方公式得出
2
8
60
5
3
(
)
进而求出即可．
此题主要考查了二次根式的化简与性质，熟练应用完全平方公式是解题关键．
【详解】（1）
2
7
4 3
2
3
2
3
；
（2）解：
2
8
60
8
2 15
( 5
3)
5
3
．
【技巧归纳】
尝试配方法：将根号内化为( �±
�)2，即m+n 为有理数，2 ��为根式部分。也可设
�+
�= �+ �
平方求解，注意x,y 为有理数，检验非负。
【变式8-1】阅读与思考：数学上有一些被开方数带根号的数能通过完全平方公式及二次根式的性质化简．例
如：
2
2
2
5
2 6
3
2
2 6
3 )
2
2
2
3
3
2
3
2
3
2
；
2
2
2
3
2 2
3
2 1
2
1
( 2)
2 1
2
1
2
1
2
1
2
．
解决下列问题：
(1)化简：
9
4 5
；
(2)化简并求出：
52 14 3
7
4 3
的值．
(3)如图，已知一正方形花圃（如图所示阴影部分）边长为4 米，现增种鲜花面积为4 15 平方米，形成新正
方形花圃ABCD ，求出新正方形花圃ABCD 的边长．
【答案】(1)
5
2
(2)9
(3)
10
6
米
【分析】（1）将被开方数9
4 5
凑成
2
a
b
的形式，再利用二次根式的性质化简即可；
（2）分别将两个被开方数凑成完全平方式，再分别利用二次根式的性质化简，最后合并同类二次根式即可
解答；
（3）先求出新正方形花圃ABCD 的面积为16
4 15
，则边长为16
4 15
，再仿照范例解答即可．
【详解】（1）解：
9
4 5
5
4 5
4
2
2
5
2 2
5
2
2
5
2
5
2
．
（2）解：
52 14 3
7
4 3
49 14 3
3
4
4 3
3
2
2
2
2
7
2 7
3
3
2
2 2
3
3
(
)
(
)
2
2
7
3
2
3
=
-
+
+
7
3
2
3
=
-
+
+
9
．
（3）解：由题意可得：
2
4
4 15
16
4 15
S
S
S
阴
新
增
，
所以新正方形花圃ABCD 的边长为16
4 15
，
16
4 15
16
2 4 15
16
2 60
10
2
10
6
6
2
2
10
2
10
6
6
2
10
6
10
6
米．
【变式8-2】阅读材料：把根式
2
x
y
进行化简，若能找到两个数
,
m n ，使
2
2
m
n
x
，mn
y
，即把
2
x
y
变成
2
2
2
2
m
n
mn
m
n
，从而可以对根式
2
x
y
进行化简．
例如：化简：
5
2 6
．
解：
2
2
2
5
2 6
3
2 6
2
3
2
3
2
2
3
2
，
2
5
2 6
3
2
3
2
．
根据上述材料，解答下列问题．
(1)化简：11 6 2
．
(2)化简：
2
1
m
m
．
(3)计算：12
6 3
16
8 3
．
【答案】(1)3
2
(2)
1
1
m
(3)5
3
【知识点】利用二次根式的性质化简、复合二次根式的化简、二次根式的乘法、二次根式的加减运算
【分析】本题考查了二次根式的性质，将被开方数化为平方的形式是解题的关键．
（1）仿照例题即可求解；
（2）将
2
1
m
m
化为
2
1
1
m
，再利用二次根式的性质化简计算；
（3）将12
6 3
16
8 3
变形为
2
2
3
3
2 3
2
，再利用二次根式的性质化简计算．
【详解】（1）解：∵
2
2
2
11 6 2
3
2 3
2
2
3
2
，
∴11 6 2
3
2
；
（2）解：∵
2
2
2
2
1
1
2
1 1 1
1
2
1 1 1
1
1
m
m
m
m
m
m
m
，
而
1
0
m
，则
1 1
0
m
∴
2
2
1
1 1
1 1
m
m
m
m
（3）解：12
6 3
16
8 3
2
2
3
3
2 3
2
3
3
2 3
2
3
3
2 3
2
5
3
．
一、单选题
1．下列式子①
1
3
：②
5
；③
2
1
x
；④3 3 ：⑤
2
1
3
中，二次根式的个数为（
）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】B
【分析】根据二次根式的定义逐个判断每个式子，统计符合条件的个数即可得到答案．
【详解】解：①
1
3
：根指数为2，被开方数1
0
3
，是二次根式；
②
5
：被开方数5
0
，在实数范围内无意义，不是二次根式；
③
2
1
x
：根指数为2，
2
0
x
，
2
1
1
0
x
，满足被开方数非负，是二次根式；
④3 3 ：根指数为3，属于三次根式，不是二次根式；
⑤
2
1
3
：根指数为2，被开方数
2
1
1
0
3
9
，是二次根式；
综上，符合条件的二次根式共3 个，故选B．
2．下列说法不正确的是（
）
A．
a （
0
a
）是二次根式
B．当
0
a
时，
2
a
a
C．
2
a
b
（
0
b
）是最简二次根式
D．
2
3
3
x
x
成立的条件是
3
x
【答案】C
【分析】根据二次根式的定义、性质、最简二次根式的定义，逐一判断即可.
【详解】解：∵根据二次根式的定义：形如
0
a a
的式子是二次根式，
∴A 选项说法正确，不符合题意；
∵当
0
a
时，
2
a
a
a
∴B 选项说法正确，不符合题意；
∵当
1,
3
a
b
时，
2
4
a
b
不是最简二次根式，
∴C 选项说法不正确，符合题意；
∵等式
2
3
3
x
x
，当
3
0
x
即
3
x 时，
2
3
3
x
x
，
∴D 选项说法正确，不符合题意；
故选：C.
3．实数a，b 在数轴上的位置如图所示，化简
2
2
1
1
a
b
的结果是（
）
A．
2
a
b
B．a
b
C．a
b
D．
2
a
b
【答案】D
【分析】根据数轴可得
0
1
b
a
，再根据二次根式的性质进行计算即可．
【详解】解：由数轴可知，
0
1
b
a
，
∴
1
0
a
，
1
0
b
，
∴
2
2
1
1
1
1
1
1
1 1
2
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
4．若
0,
0
x
y
，则化简
x
y
x xy
y
y
x
所得结果为（
）
A．y
xy
x
B．x
xy
y
C．
xy
D．xy xy
【答案】C
【分析】本题考查二次根式的乘除法，解题的关键是熟练运用二次根式的乘除运算法则，本题属于基础题
型．
根据二次根式的乘除运算法则即可求出答案．
【详解】解：原式
y
y
x xy
y x
x
xy
，
故选：C．
5．一般地，我们把被开方数中含有二次根式的二次根式称为复合二次根式，例如：
3 、6
3
、3
2 2
都是复合二次根式．其中，有些特殊的复合二次根式可以进一步化简，如：
3
2 2
2
2
21
2
2 1
2
1
2
1
2
．请你利用上述方法化简复合二次根式：8
2 15
（）
A．
6
2
B．5
3
C．15
1
D．
7
1
【答案】B
【分析】将被开方数凑成完全平方式，再开方化简即可．
【详解】解：∵8
2 15
5
3
2
5
3
2
2
5
3
2
5
3
2
5
3
，
∴
2
8
2 15
5
3
又∵5
3
，
∴
2
5
3
5
3
．
二、填空题
6．若二次根式
4
x
有意义，任写一个满足条件的x 的值是__________．
【答案】0 （答案不唯一，满足
4
x
即可）
【分析】二次根式有意义的条件为被开方数是非负数，因此根据二次根式有意义的条件，求出x 的取值范围，
在取值范围内任写一个符合要求的x 的值即可．
【详解】解：若二次根式
4
x
有意义，则4
0
x
，
解得
4
x
，
故在
4
x
范围内任取一个值，例如
0
x
．
7．化简：
2
3
__________．
【答案】
3
/ 3
【详解】解：
2
3
π
3
π
π
3
．
8．化简
2
3
1
12
1
3
2
x y
x
xy
的结果为__________．
【答案】
2
3xy
【分析】本题考查了二次根式的乘除，熟练掌握二次根式的乘除法的法则，二次根式的性质，是解题的关
键．
将除法转化为乘法，利用二次根式的乘法法则和性质简化即可．
【详解】原式
2
3
1
12
3
2
x y
xy
x
2
3
1
12
3
2
x y
xy
x
2
4
1
36
2
x y
2
1
6
2
xy
2
3xy
．
故答案为
2
3xy
9．对于任意不相等的两个非负实数,a b ，新定义一种运算“ # ”如下：
#
a
b
a b
b
a
b
a
，则3#7 ______．
【答案】
21
2
/ 1
21
2
【分析】根据定义代入新定义，然后根据二次根式的乘除运算法则计算即可．
【详解】解：∵
#
a
b
a b
b
a
b
a
，
∴
3
7
21
21
3#7
2
7
3
4
10．阅读材料：一般地，我们把被开方数中含有二次根式的二次根式称为复合二次根式，例如：
3 ，6
3
，
6
2 5
等都是复合二次根式．其中有一些特殊的复合二次根式可以进行化简，例如：
2
2
2
6
2 5
1
2 5
5
1
2 1
5
5
1
5
1
5
．请利用上述运算法则化简：
7
4 3
_____．
【答案】
2
3
【分析】将被开方数变形凑成完全平方公式的形式，再利用二次根式的性质化简即可.
【详解】解：
7
4 3
4
4 3
3
2
2
2
2 2
3
3
2
2
3
2
3
.
三、解答题
11．运算能力计算：
(1)
3
1
2
3 18
3
4
2
3
；
(2)
2
1
2
1
2
2
3
3
5
．
【答案】(1) 27 3
8
(2) 2 21
7
【分析】本题主要考查了二次根式乘除混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键．
（1）根据二次根式乘除混合运算法则，进行计算即可；
（2）根据二次根式乘除混合运算法则，进行计算即可．
【详解】（1）解：
3
1
2
3 18
3
4
2
3
3
2
1
3
18
3
4
3
2
3
3
3
9
3
4
2
27 3
8
．
（2）解：
2
1
2
1
2
2
3
3
5
2
1
2
1
2
2
3
3
5
5
7
12
3
3
5
5
3
12
3
7
5
12
7
2 21
7
．
12．计算：
(1)
3
1
1
2 3
10
5
2
；
(2)
3
1
2
2
a
b
b
a
b
；
(3)
3
5
2
3
3
5
2
x
y
xy
y
x
．
【答案】(1) 4 3
(2)
3
4
(3)
2
1
5 x y
xy
【分析】本题考查了二次根式的乘除混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则和性质是解答本题的关键．
（1）利用二次根式的乘法法则，先将系数与被开方数分别相乘，再化简结果；
（2）将除法转化为乘法，结合二次根式的性质化简，再进行约分计算；
（3）按照从左到右的顺序，依次运用二次根式乘除运算法则，结合幂的运算性质化简，最终得到结果．
【详解】（1）解：原式
1
8
2
3 10
16 3
4 3
2
5
．
（2）解：原式
3
1
1
1
3
3
3
2
2
4
4
4
a
b
b
b
a
b
b
b
a
b
a
b
．
（3）解：原式
3
5
2
2
3
1
1
5
2
3
5
x
x
xy
x y xy
y
y
．
13．观察下列各式：
1
1
1
2
3
3
；
1
1
2
3
4
4
；
1
1
3
4
5
5
……，请你猜想：
(1)
1
4
6
________，
1
5
7
________；
(2)计算（请写出推导过程）：
1
15
17
；
(3)请你将猜想到的规律用含有自然数
1
n n
的代数式表达出来：_____________．
【答案】(1)
1
5 6
，
1
6 7
(2)
1
16 17
，见解析
(3)
1
1
1
1
2
2
n
n
n
n
n
≥
【分析】（1）仿照题干式子求解；
（2）利用二次根式的性质化简；
（3）根据以上式子总结规律求解．
【详解】（1）解：
1
1
4
5
6
6
，
1
1
5
6
7
7
；
（2）解：
1
15
17
255
1
17
17
256
17
1
16 17
；
（3）解：根据题意得，
1
1
1
1
2
2
n
n
n
n
n
≥
．
14．有这样一类题目：将
2
a
b
化简，如果你能找到两个数m 、n ，使
2
2
m
n
a
且mn
b ，则将
2
a
b
变成
2
2
2
m
n
mn
，即变成
2
m
n
，从而使得
2
a
b
得以化简．
例如：
2
2
2
5
2 6
3
2
2 6
3
2
2 2
3
3
2
2
2
2
2
8
2 7
1 7
2 7
1
7
2 1
7
1
7
1
7
(1)请仿照上例化简：12
2 35
=
，9
4 5
．
(2)请运用上述方法化简11 2 30
．（写出计算过程）
(3)若
2
2 15
a
m
n
，且a 、m 、n 均为整数，求a 的值．
【答案】(1)
2
7
5
，
2
5
2
(2)
6
5
(3)a 的值为8 或16．
【分析】
（1）对于形如
2
A
B
的式子，可尝试将A 拆分为两个数
,
m n 的和，且mn
B
，则原式可化为
2
(
)
m
n
．
（2）对于形如
2
A
B
的式子，可尝试将A 拆分为两个数
,
m n 的和，且mn
B
，则原式可化为
2
(
)
m
n
．
（3）将等式右边展开，根据对应项系数相等，结合m 、n 为整数的条件，求出m 、n 的值，进而求出a 的
值．
【详解】（1）解：12
2 35
7
5
2 7 5
2
2
7
5
2 7
5
2
7
5
，
9
4 5
9
2 20
5
4
2 5 4
2
2
5
4
2 5
4
2
5
2
；
（2）解：11
2 30
6
5
2 6 5
2
2
6
5
2 6
5
2
6
5
6
5
；
（3）解：∵
2
2
m
n
m
n
mn
，
2
2 15
a
m
n
，
m
n
a
，
15
mn
∵m 、n 均为整数，且15
1 15
3 5
，
∴当
1
m ，
15
n
时，
1 15
16
a
，
当
15
m
，
1
n 时，
15 1 16
a
，
当
3
m
，
5
n
时，
3
5
8
a
，
当
5
m
，
3
n
时，
5
3
8
a
，
∴
8
a 或16．
15．阅读下列解题过程：
第1 个等式：
1 2 3 4 1
1 4
2 3
1
4 6 1
25
5
；
第2 个等式：
2 3 4 5 1
2 5
3 4
1
10 12 1
121
11
；
第3 个等式：
3 4 5 6 1
3 6
4 5
1
18 20 1
361
19
；
⋯
请回答下列问题：
(1)观察上面的解答过程，请写出第4 个等式
4 5 6 7 1
__________；
(2)利用上面的规律，则
2
2025 2026 2027 2028 1
2026
__________；
(3)写出你猜想的第(
n n 为正整数）个等式：__________（用含n 的等式表示），并证明．
【答案】(1)29
(2)2025
(3)
2
1
2
3
1
3
1
n n
n
n
n
n
，见解析
【分析】（1）根据规律，得第一个因数与第四个因数结合，第二个因数与第三个因数结合，求解即可；
（2）根据规律，得第一个因数与第四个因数结合，第二个因数与第三个因数结合，求解即可；
（3）用n 表示连续的整数，结合完全平方公式，写出规律再证明即可．
【详解】（1）解：根据题意，得
4 5 6 7 1
4 7
5 6
1
28 30 1
841
29
；
（2）解：
2
2025 2026 2027 2028 1
2026
2
2025 2028
2026 2027
1
2026
2
2
2
2025
3 2025
2025
3 2025
2
1
2026
2
2
2
2
2025
3 2025
2
2025
3 2025
1
2026
2
2
2
2025
3 2025 1
2025 1
2
2
2025
3 2025 1
2025
2
2025 1
3
2
2025
2025
；
（3）猜想：
2
1
2
3
1
3
1
n n
n
n
n
n
．
证明：
1
2
3
1
n n
n
n
3
1
2
1
n n
n
n
2
2
3
3
2
1
n
n
n
n
2
2
2
3
2
3
1
n
n
n
n
2
2
3
1
n
n
2
3
1
n
n
．
