文档文本内容
第09 讲二次根式的加减法
内容导航
01 预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向
02 教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理
03 题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解
题型1 最简二次根式的判断
题型2 化为最简二次根式
题型3 已知最简二次根式求参数
题型4 同类二次根式的判断
题型5 求同类二次根式中的参数
题型6 二次根式加减运算
题型7 二次根式加减乘除混合运算
题型8 二次根式的混合运算中的新定义型问题
04 过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固
关键词
学习目标导航
同类二次根式、化简、
最简二次根式、合并、
加减运算、类比。
1. 理解同类二次根式的概念，能识别并合并同类二次根式（类比合并同类项）。
2. 掌握将二次根式化为最简二次根式的方法，为加减运算做准备。
3. 能熟练进行二次根式的加减运算，先化简，再合并同类二次根式。
4. 能综合运用二次根式的加减乘除法则进行混合运算，体会类比思想。
学习重点:将二次根式化为最简二次根式，并判断同类二次根式，再进行合并运算。
学习难点:准确识别并合并同类二次根式（特别是根号内被开方数不同但化简后相同的情况），以及混
合运算中运算顺序与化简的结合。
知｜识｜框｜架
知｜识｜精｜讲
知识点01 最简二次根式
最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母，（2）被开方数中不含能开方开得尽得因数或因式
【易错提醒】
最简二次根式易错警示：需满足（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式。
化简时注意：分母有理化要彻底，平方因子要完全移出根号。勿遗漏条件。
即时即练下列二次根式中，是最简二次根式的是（
）
A．
1
2
B．15
C．1.1
D．8
知识点02
同类二次根式
1.同类二次根式概念：化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。
2.合并同类二次根式的方法：把根号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合并的依据式乘法分
配律，如
)
0
(
)
(
m
a
a
n
m
a
n
a
【易错提醒】
同类二次根式易错警示：必须化为最简后，被开方数**相同**的二次根式才是同类。注意：2与8是同类
（因为8=2\ 2），3与2不是。仅系数不同可合并。
即时即练下列各组二次根式中，属于同类二次根式的是（
）．
A．a a 与9a
B．
4a 与
4
2a
C．
2
a b 与
2
ab
D．1
32
7
与
2
5
知识点03
二次根式的加减法
1.二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。
2.二次根式加减运算的步骤：
①化：将各个二次根式化成最简二次根式；
②找：找出化简后被开方数相同的二次根式；
③合：合并被开方数相同的二次根式——将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变。
【易错提醒】
二次根式加减法易错警示：先将各根式化为最简，再合并同类二次根式（系数相加减，根号不变）。注意：
不是同类二次根式不能合并（如2+ 3) 无法简化）。勿盲目去根号。
即时即练计算：
(1) 12
27
48
(2)
1
( 45
27)
1
125
3
(3)
2
3
1
5
40
10
5
10
题型1 最简二次根式的判断
【例1】下列式子中，是最简二次根式的是（
）
A．0.2
B．
3
C．
9
D．12
【例2】下列根式是最简二次根式的是（
）
A．15
B．12
C．8
D．3 5
【技巧归纳】
最简二次根式：被开方数不含能开得尽方的因子，不含分母，分母中不含根号。检查时，先化简根号内，
如18=3 2不是最简；
1
2=
2
2 也不是，需有理化。
【变式1-1】下列二次根式中，是最简二次根式的是（
）
A．1
3
B．
1
3
C．
0.3
D．30
【变式1-2】在
2
2
a
b
，4 6a ，
3
2a ，
9
2
，
27 ，
3
c 中，最简二次根式的个数是（）
A．4 个
B．3 个
C．2 个
D．1 个
题型2 化为最简二次根式
【例3】把
9
2
化成最简二次根式为
．
【例4】将18 化成最简二次根式为
．
【技巧归纳】
分解质因数，将完全平方因子开方到根号外。分数化去分母：分子分母同乘分母使分母为完全平方数或使
用
�
�=
�
�再有理化。系数处理：小数化分数，带分数化假分数。
【变式2-1】将
1
12
化为最简二次根式为___________．
【变式2-2】将108 化成最简二次根式的结果为
．
题型3 已知最简二次根式求参数
【例5】若3
6
m
是最简二次根式，则整数m 的最小值为
．
【例6】若
3
4
m
是最简二次根式，且m 为整数，则m 的最小值是
．
【技巧归纳】
根据最简条件：被开方数不含能开得尽方的因子，且不含分母。列出参数方程或不等式，如18�最简则a
不含2 的奇次幂。系数不为0，被开方数为整数。解出参数，注意检验合理性。
【变式3-1】若最简二次根式
a 与
75 能合并，则a 的值为__________．
【变式3-2】若
3
n
a 是最简二次根式，则自然数n
．
题型4 同类二次根式的判断
【例7】下列根式和2 是同类二次根式的是（
）
A．12
B．
0.2
C．
1
8
D．
27
【例8】下列各式中，与10 是同类二次根式的是（
）
A．
40
B．
60
C．80
D．
1
5
【技巧归纳】
先化为最简二次根式，再比较被开方数是否相同。相同则为同类，系数可不同。如3 2与−
�是同类，与3
不是。注意先化简再判断，避免直接看原式被开方数。
【变式4-1】下列各组二次根式中，是同类二次根式的为（
）
A．
3 和9
B．
a 和
2a
C．12 和
1
3
D．
2
a b 和
2
ab
【变式4-2】下列各组二次根式中，不是同类二次根式的是（
）．
A．8 与
1
32
B．
0.1
与
40
C．12b 与
2
3
3a b
D．
ab 与
2
a b
题型5 求同类二次根式中的参数
【例9】若
3 与最简二次根式
2
1
m 是同类二次根式，则m
．
【例10】若12 与最简二次根式
2
1
x 是同类二次根式，则x
．
【技巧归纳】
先将各二次根式化为最简形式，根据同类条件：被开方数相同，列方程或不等式。注意被开方数为非负，
系数可为任意实数。解出参数后，代入原式验证是否为最简，且有意义。可能有多种情况，需分类讨论。
【变式5-1】
28 与最简二次根式5
1
x 为同类二次根式，则x
．
【变式5-2】
27 与最简二次根式
1
1
n
m
是同类二次根式，则mn 为____________．
题型6 二次根式加减运算
【例11】计算：
1
12
3
48
27
3
．
【例12】计算：
(1) 2 2
3 2
4 2
；
(2)
1
2 12
6
3 48
3
．
【技巧归纳】
先化为最简二次根式，再合并同类二次根式（系数相加减）。不同类根式保留原样。运算结果也需最简。
注意括号和去括号规则，减法时整体变号。不能合并的根式不可强行计算。
【变式6-1】计算：
(1)
1
12
2
(2 3
18)
2
；
(2)
2
( 2
3)
(2 3
3 5)(2 3
3 5)
．
【变式6-2】计算：
(1)
1
20
10
45
5
；
(2)
3
2
3
2
2
1
．
题型7 二次根式加减乘除混合运算
【例13】计算：
(1)
1
6
3
8
2
；
(2)
2
6
2
6
2
( 2
1)
．
【例14】计算：
(1)
18
32
8
2
(2)
1
6
8
12
6
6
【技巧归纳】
先乘除后加减，有括号先括号内。将每个根式化为最简，再进行乘除�⋅
�= ��，最后合并同类二次根式。
注意除法转化为乘法（乘倒数），分母有理化。运算结果化为最简形式。
【变式7-1】计算：
(1)
3
2
3
2
12
3
(2)
1
27
12
3
【变式7-2】计算：
(1)2 5
20
45
；
(2)
3
12
10
5
2
；
(3)
2
2 3
1 2 3
1
2
．
题型8 二次根式的混合运算中的新定义型问题
【例15】对于任意的整数a ，b ，定义运算“☆”为：
a
b a
b
a
b
a
b a
b
☆
．
求：
3
2
8
12
☆
☆
的值．
【例16】定义新运算：对于任意实数a
b
、，都有
1
a
b
a a
b
，例如
2
5
2
2
5
1
5
．
(1)求
7
3
7
1
的值；
(2)求
3
1
3
1
的值．
【技巧归纳】
先理解新运算规则（如a⨀b= �2 + �2），将自定义式转化为常规二次根式运算。注意运算顺序，括号优先。
按二次根式化简、乘除、加减法则计算。结果化为最简，检验被开方数非负。可代特殊值验证理解。
【变式8-1】定义：对于两个正实数x 和y，如果存在整数k，使得
x
y
k
，则称x 与y 是关于k 的“整
积数”．
(1)已知
2
x＝，y
m
，且x 与y 是关于整数2 的整积数，求m 的值；
(2)已知
6
2
2
x
，
6
2
2
y
，判断x 与y 是否为整积数？若是，求出对应的k 值；若不是，说明理由．
【变式8-2】对于实数a，b 定义一种新运算“”，规定
2
2
a b
a
b
，如
2
3 2
3
2
2
9
2 2
．
(1)求(
6)
2
的值；
(2)若10 (
1)
8
x
，求x 的值．
一、单选题
1．下列二次根式中属于最简二次根式的是（
）
A．2
B．
0.5
C．
1
3
D．8
2．下列各组二次根式中，化简后是同类二次根式的是（
）
A．8 与
3
B．
2 与12
C．
4
3
与
27
D．7 与14
3．下列计算正确的是（
）
A．4 3
3 3
1
B．
2
( 3)
3
C．8
2
4
D．
27
3
9
4．在下列算式中：①
2
5
7
；②5
2
3
x
x
x
；③
18
8
9
4
5
2
；④
9
4
a
a
a
，
其中正确的是（
）
A．①③
B．②④
C．③④
D．①④
5．如图，这是一个程序框图．若输入x 的值为12，则输出y 的值为（
）
A．3
6
B．3
5
C．9
6
D．4 6
二、填空题
6．化简：
27
4 ________；
7．请写出一个正整数a 的值：___________，使
3
1
a 是最简二次根式．
8．若最简二次根式
2
9
m
与
5
m
可以合并，则
3
6
m
的值是______．
9．若b，c 分别为直角三角形两条直角边，且b，c 满足
4 3
4
2
3
3
2
b
c
（其中b，c 为有理数），
则该直角三角形的斜边长为______．
10．定义：我们将
a
b
与
a
b
称为一对“对偶式”．因为
2
2
a
b
a
b
a
b
a
b
，
可以有效的去掉根号，所以有一些题可以通过构造“对偶式”来解决．例如：
2
2
15
3
15
3
15
3
15
3
12
x
x
x
x
x
x
x
x
，所以15
3
x
x
与
15
3
x
x
互为“对偶式”．则
7
2
的“对偶式”是________．
三、解答题
11．计算：
(1)
1
48
3 6
2
6 3
(2)
2
2
3
2
3
1
3
12．计算：
(1)
2
1
18
( 2)
6 2
(2)
20
5
1
12
3
5
13．计算：
(1)
2
18
2
32
( 2)
(2)
0
1
48
(1
2)
4 6
2 3
3
14．定义：若两个二次根式a 、b 满足
*
a b
c
，且c 是有理数，则称a 与b 是关于c 的共轭二次根式．
(1)若a 与2 是关于4 的共轭二次根式，则a _____．
(2)若2
3
与4
3m
是关于2 的共轭二次根式，求m 的值．
15．阅读下列材料，然后解答问题：
材料：将
1
7
6
进行分母有理化，过程如下：
1
7
6
7
6
7
6
7
6
7
6
7
6
7
6
请利用上述方法解答下列问题：
(1)化简：
1
5
3
___________；
(2)计算：
1
1
2
1
3
2
___________；
(3)化简下列式子：
1
1
1
1
3
1
5
3
7
5
99
97
．
16．定义：若
a
b
a
b
c
，c 是有理数，则称
a
b 与
a
b
是关于c 的“美好数”例如：
2
2
3
2
3
2
3
2
1
，则称
3
2
与
3
2
是关于1的“美好数”．
(1) 2
3
关于1的“美好数”是______；
(2)化简：
1
1
1
9
11
11
13
119
121
；
(3)若y 是5
1
关于4 的“美好数”，请求出
2
4
8
2026
y
y
的值．
