文档文本内容
第13 讲认识一次函数
内容导航
01 预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向
02 教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理
03 题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解
题型1 正比例函数的定义
题型2 一次函数的识别
题型3 根据一次函数的定义求参数
题型4 求一次函数自变量或函数值
题型5 列一次函数解析式并求值
题型6 根据正比例函数的定义求函数表达式
04 过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固
关键词
学习目标导航
一次函数、正比例函
数、y=kx+b、k≠0、
b=0、建模。
1. 理解一次函数的概念，能识别形如y = kx + b（k, b 为常数，k≠0 ）的函
数。
2. 掌握正比例函数是特殊的一次函数（b = 0），并能区分一次函数与正比例
函数。
3. 能根据实际问题中的数量关系列出一次函数表达式，并确定自变量的取值
范围。
4. 体会函数模型的广泛应用，感受数学与生活的紧密联系。
学习重点：一次函数的概念及其一般形式，正比例函数与一次函数的关系。
学习难点：理解一次函数中k 和b 的实际意义，以及从实际问题中抽象出一次函数模型并确定自变量
的取值范围。
知｜识｜框｜架
知｜识｜精｜讲
知识点01 一次函数的定义
一次函数：一般地，形如y=kx+b（k，b 为常数，k≠0）的函数，叫做一次函数，其中x 是自变量，y 是x 的
函数.
【易错提醒】
一次函数定义易错警示：形如y=kx+b（k≠0），自变量x 次数为1。注意：b 可为0（正比例函数），但k
必须非零。若k=0，则为常函数，不是一次函数。表达式必须为整式。
即时即练1．下列函数中：①
3
4
y
x
；②
9
5
y
x
；③
6
y
x
；④
2
2
y
x
，其中y 是x 的一次函数有
（
）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
2．已知
2
(
1)
5
m
y
m
x
n
.
(1)当m，n 为何值时，y 是x 的一次函数？
(2)当m，n 为何值时，y 是x 的正比例函数？
知识点02 正比例函数的定义
正比例函数：特别地，当b=0 时，y=kx（k 为常数，k≠0），y 叫做x 的正比例函数.
函数图象经过点的含义：函数图象上的点是由适合函数解析式的一对x、y 的值组成的，因此，若已知一个
点在函数图象上，那么以这个点的横坐标代x，纵坐标代y，方程成立.
【易错提醒】
正比例函数定义易错警示：形如y=kx（k≠0），是特殊的一次函数。注意：x 的指数必须为1；k 为比例系数，
不能为0。勿将y=kx+b（b≠0）误认为正比例函数。比例系数带符号。
即时即练1．下列函数中，正比例函数是（
）
A．
2
y
x
B．
3
y
x
C．
2
3
y
x
D．
2
4
y
x
2．写出下列各题中y 与x 之间的关系式，并判断y 是否为x 的一次函数，是否为x 的正比例函数．
①等边三角形的周长y 与边长x 之间的关系；
②汽车行驶前，油箱中有油65 升，已知汽车每行驶10 千米耗油2 升，油箱的余油量y （升）与已行驶的
距离x （千米）之间的关系；
③今年某市出租车收费方式全面调整，具体收费方式如下，行驶距离在3 千米以内（包括3 千米）付起步
价5 元，超过3 千米后，每多行驶1 千米加收1.8 元，另外每辆车加收3 元的燃油附加费，求乘车费用y（元）
与乘车距离x （千米）（
3
x
）之间的函数关系；
④设一长方体盒子高为10cm，底面是正方形，求这个长方体的体积y （
3
cm ）与底面边长x（cm）之间的
关系．
题型1 正比例函数的定义
【例1】下列函数中，是正比例函数的是（
）
A．
8
y
x
B．
8
1
y
x
C．
8
y
D．
8
y
x
【例2】下列函数关系式中，y 是x 的正比例函数的是（
）
A．
2
y
x
B．
2
y
x
C．
2
y
x
D．
2
y
x
=
【技巧归纳】
正比例函数：y=kx（k≠0），自变量的指数为1。图象过原点(0,0)。判断时看是否可化为y=kx 形式，且k
不为0。k>0 图象过一三象限，k<0 过二四。实际问题中如单价固定总价与数量成正比。注意与其他函数区
分。
【变式1-1】下列函数中是正比例函数的是（
）
A．
2
y
x
B．
1
y
x
C．
2
2
1
y
x
D．
2
1
y
x
【变式1-2】下列各函数中，y 是x 的正比例函数的是（
）
A．
1
2
y
x
B．
2
y
x
=
C．y
x
D．
3
y
x
题型2 一次函数的识别
【例3】下列函数为一次函数的有（
）
①
6
y
x
；②
2
1
y
x
x
；③
2
4
1
y
x
x
；④
4
y
x
．
A．①②④
B．①③
C．①②
D．②④
【例4】下列函数中，是一次函数，但不是正比例函数的是（
）
A．
2
15
y
x
B．
2
(
5)
y
x x
x
C．
1
2
y
x
D．
5
1
y
x
【技巧归纳】
一次函数：y=kx+b（k≠0），自变量的指数为1。判断依据：可化为该标准式，且k≠0。若b=0 则为正比例
函数。注意系数含参数时要保证k 不为0。如y=2x+1 是一次；y=3/x 不是。分母含自变量或指数非1 则不是。
【变式2-1】在下列函数解析式中，①
3
y
x
；②
3
y
x
；③
3
2
x
y
；④
2
2
1
y
x
，一定是一次函数
的有（
）
A．4 个
B．3 个
C．2 个
D．1 个
【变式2-2】有下列五个式子：①
2
3
x
y
；②
2
3
y
x
；③
1
y
x
；④
1 (
3)
2
y
x
；⑤
2
2
1
y
x
．其中，
表示y 是x 的一次函数的有（
）
A．5 个
B．4 个
C．3 个
D．2 个
题型3 根据一次函数的定义求参数
【例5】已知函数
2
1
1
y
m
x
m
．
（1）当m
时，y 是x 的一次函数；
（2）当m
时，y 是x 的正比例函数．
【例6】若
1
3
6
k
y
x
是关于x 的一次函数，则k
．
【技巧归纳】
化为y=kx+b 形式，令自变量指数为1 且系数k≠0。如y=(m-1)x+2 是一次函数，则m-1≠0 得m≠1。若还要
求正比例，则b=0。列方程或不等式，解出参数，排除使k=0 或分母为零的值。注意多个条件联立。
【变式3-1】当m
时，函数
2 3
2
m
y
m
x
是一次函数．
【变式3-2】若函数
1
2
4
k
y
k
x
是一次函数，则k 的值是
．
题型4 求一次函数自变量或函数值
【例7】已知点
,
P a b 在一次函数
2
3
y
x
的图象上，则
3 2
6
a
b
b
的值为
．
【例8】已知点
( , )
P m n 在一次函数
4
3
y
x
的图象上，则4
3
m
n
的值是
．
【技巧归纳】
已知解析式y=kx+b，求函数值：代入x；求自变量：解方程y=kx+b。注意x 的取值应在定义域内（实际问
题有范围）。若给出图象，直接读取坐标。多个函数值比较时，直接代入计算或利用增减性（k>0 增，k<0
减）。
【变式4-1】若点
,
m n 在直线
2
3
y
x
上，则代数式2
1
m
n
的值是
．
【变式4-2】已知函数
2
3
y
x
．
(1)求当
4
x
时，函数y 的值；
(2)求当
5
y 时，自变量x 的值．
题型5 列一次函数解析式并求值
【例9】已知点A（8，0）及在第一象限的动点P（x，y），且x+y=10，设△OPA 的面积为S．
(1)求出S 关于x 的函数解析式，并求出x 的取值范围；
(2)当S=12 时，求P 的坐标．
【例10】甲、乙两地相距120km，现有一列火车从乙地出发，以80km/h 的速度向甲地行驶．设x（h）表
示火车行驶的时间，y（km）表示火车与甲地的距离．
（1）写出y 与x 之间的关系式，并判断y 是否为x 的一次函数；
（2）当x=0.5 时，求y 的值．
【技巧归纳】
先根据题意找等量关系，设y=kx+b。代入两组对应值，解方程组求k、b。写出解析式并注明自变量范围。
求值时代入x 或y。注意实际问题中变量关系可能为正比例（b=0），需代入验证。单位要统一。
【变式5-1】如图，甲、乙两地相距100km，现有一列火车从乙地出发，以80km/h 的速度向丙地行驶．
设
h
x
表示火车行驶的时间，
km
y
表示火车与甲地的距离．
（1）写出y 与x 之间的关系式，并判断y 是否为x 的一次函数；
（2）当
0.5
x
时，求y 的值．
【变式5-2】尊老爱幼是中华民族的传统美德，为鼓励在“争做孝心好少年”主题活动中表现优秀的同学，某
班准备购买钢笔和笔记本作为奖品．某文具商店给出了两种优惠方案：①买一支钢笔赠送一本笔记本，多
于钢笔数的笔记本按原价收费；②钢笔和笔记本均按定价的八折收费．已知每支钢笔定价为15 元，每本笔
记本定价为4 元．该班班长准备购买x 支钢笔和
10
x
本笔记本，设选择第一种方案购买所需费用为
1y 元，
选择第二种方案购买所需费用为
2y 元．
(1)请分别写出
1y ，
2y 与x 之间的关系式；
(2)若该班班长准备购买10 支钢笔，且只能选择其中一种优惠方案，请你通过计算说明选择哪种方案更为优
惠．
题型6 根据正比例函数的定义求函数表达式
【例11】已知y 与x 成正比例，且当
2
x 时，
6
y
．
(1)求y 与x 之间的函数关系式；
(2)若点( ,3)
m
在这个函数的图象上，求m 的值．
【例12】已知
3
y - 与4
2
x
成正比例，且当
1
x 时，
5
y
．
(1)求y 与x 的函数关系式；
(2)设点
, 2
a
在（1）中函数的图象上，求a 的值．
【技巧归纳】
正比例函数y=kx（k≠0）。若已知一对对应值（除原点），代入得k=y/x。也可由实际意义中“成正比”直
接设，再通过已知条件求k。注意k 的符号与图象象限对应。若题中给出比例系数，直接写出式。验证时过
原点。
【变式6-1】已知y 与
2
x
成正比例，当
2
x
时
5
y ；
(1)求y 关于x 的函数解析式；
(2)当
2
3
y
时，求x 的值．
【变式6-2】已知
1
y 与
3
x 成正比例，当= 1
x 时，
3
y ．
(1)求出y 与x 的函数关系式；
(2)设点
, 2
a
在这个函数的图象上，求a 的值．
(3)试判断点
2,5
是否在此函数图像上，说明理由．
一、单选题
1．下列y 关于x 的函数中，是正比例函数的是（
）
A．�=
�
3；
B．�=
3
�；
C．
3
y
x
=
+
；
D．�=
�+1
3 ．
2．一次函数�=−�+ 1 的图像经过点A，则点A 的坐标可能是（）
A．(2,4)
B．( 1,2)
C．( 2, 1)
D．(1, 2)
3．函数①�= ��+ �；②
3
y
x
；③�=−
2
�；④
1
3
3
y
x
；⑤
2 2
1
y
x
x
，其中是一次函数的有（
）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
4．已知y 是x 的正比例函数，且当�= 2 时，y 6 ，当�=−3 时，y 的值为（
）
A．6
B．−6
C．9
D．−9
5．弹簧原长（不挂重物）12cm，弹簧总长L（cm）与重物质量x（kg）的关系如下表所示：当重物质量为
7 5kg
.
（在弹性限度内）时，弹簧的总长L（cm）是（
）
弹簧总长L（cm）
13
14
15
16
17
重物质量x（kg）
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
A．27
B．27.5
C．20
D．19.5
二、填空题
6．已知点
1,
A
a 在一次函数�=−�+ 3 的图象上，则�的值为_____．
7．函数�= �−1 ��+ 2 是一次函数，则m 的值为______．
8．点
,a b 在直线�=−2�−1 上，则代数式4
2
3
a
b
的值为________．
9．定义：对于函数�= ��+ �（
0
k
），将k
b
的值叫做该函数的特征值．若函数�= 2�+ �的特征值为
1
，则m ______．
10．新定义：
,a b 为一次函数�= ��+ �（
0，，
a
a
b 为实数）的“关联数”．若“关联数”
3
5
m
,
所对应
的一次函数是正比例函数，则m 的值是___________．
三、解答题
11．写出下列各题中y 与x 之间的关系式，并判断：y 是否为x 的一次函数？是否为正比例函数？
(1)正方形的面积
2
cm
y
与它的边长
cm
x
之间的关系；
(2)某地居民用电收费标准是0.53 元/（kW h
），应缴电费y（元）与用电量x（kW h
）之间的关系；
(3)小华用50 元去文具店买黑色签字笔，已知黑色签字笔的单价是2 元，小华剩余的费用y（元）与购买的
黑色签字笔x（支）之间的关系．
12．已知函数
2
1
y
x
，
(1)当�= 2 时，求函数的值；
(2)当x 取何值时，函数的值为0．
13．已知y 关于x 的函数表达式为
2
3
y
x
m
．
(1)若y 是x 的正比例函数，求m 的值；
(2)若�= 4，通过计算判断点
2 8
,
3 3
A
是否在该函数的图象上．
14．已知
1
y 与�+ 2 成正比例，且当�= 3 时，
11
y
；
(1)求出�与�之间的函数关系式；
(2)当�=−1 时，求�的值；
(3)当�= 0 时，求�的值．
15．在平面直角坐标系中，对于点
( , )
P a b 和点
( , )
Q m n ，若满足：
2
2
1
m
a
n
b
，则称点�的“美好点”为点�．例
如，点(2,1) 的美好点是(4,1)．
(1)点
( 3,2)
P
的美好点坐标是______，若点�的美好点为(5, 4)
，则点�的坐标是______；
(2)若点
( ,3)
P a
的美好点在直线
3
2
y
x
上，求�的值；
(3)点�在直线
2
1
y
x
上且点�的横坐标为k ，点�为点�的美好点，点�______直线
2
1
y
x
（填“在”或“不
在”），请说明理由．
