文档文本内容
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第09 讲有理数的乘方运算
内容导航
01 预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向
02 教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理
03 题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解
题型1 有理数幂的概念理解
题型2 有理数的乘方运算
题型3 乘方运算的符号规律
题型4 乘方的应用
题型5 有理数乘方运算与有理数分类问题
题型6 有理数乘方运算与数轴综合问题
题型7 与有理数乘方有关的新定义型问题
题型8 用科学记数法表示绝对值大于1 的数
04 过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固
关键词
学习目标导航
乘方、幂、底数、指数、
奇负偶正、括号、运算
顺序。
1. 理解乘方的意义，掌握底数、指数、幂的概念，能正确读写乘方算式。
2. 能进行有理数的乘方运算，特别关注负数和分数的乘方中括号的使用。
3. 掌握幂的符号法则：正数的任何次幂为正；负数的奇次幂为负，偶次幂为
正。
4. 能进行简单的混合运算（含加、减、乘、除、乘方），体会运算顺序的规
定，培养计算能力。
学习重点：乘方的意义及有理数的乘方运算，特别是负数和分数乘方时的括号使用及符号确定。
学习难点：理解乘方与乘法的区别与联系，准确处理负数和分数的乘方运算（如(-2)4 与-24 的区别），
以及乘方在混合运算中的顺序。
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知｜识｜框｜架
知｜识｜精｜讲
知识点01 有理数的乘方
一般地，n 个相同的因数a 相乘，即
个
n
a
a
a
a
，记作
n
a ，读作a 的n 次方.求n 个相同因数的积的
运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂.
在
n
a 中，a 叫做底数，n 叫做指数.
n
a 读作a 的n 次方，也可以读作a 的n 次幂.
【易错提醒】
有理数乘方易错警示：an 表示n 个a 相乘。注意区分(-2)4=16 与-24=-16；负数的奇次幂为负，偶次幂为正。
指数为1 时结果为其本身。勿混淆底数与指数位置。
即时即练1．下列关于
4
2
的说法中，正确的是（
）
A．计算结果为16
B．表示4 个2
相乘
C．结果与
4
2 相等
D．底数是2
，指数是4
2．
3
3
2
的底数是__，指数是__，读作_____，它的含义是_____；
4
2
的底数是__，指数是__，其结果是
__．
知识点02 有理数的乘方运算
3 / 14
（1）正数的任何次幂都是正数；
（2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；
（3）0 的任何正整数次幂都是0；
（4）有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先应确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值.
【易错提醒】
有理数乘方运算易错警示：先确定幂的符号（负数奇次幂为负，偶次为正），再算绝对值。注意底数为分
数或负数要加括号，如
ʹ
͵
ʹ
=
ͺ
ͻ ，而
ʹʹ
͵ =
4
͵ 不同。勿漏指数。
即时即练1．计算：
(1)
2
3
2
；
(2)
2
3
2
；
(3)
35
；
(4)
2
4
3
．
知识点03 科学记数法
把一个大于10 的数记成a×10n 的形式，其中a 是整数数位只有一位的数，n 是正整数，这种记数法叫做科
学记数法．科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n 为正整数．
【易错提醒】
科学记数法易错警示：形式为a×10n，其中1≤|a| < 10，n 为整数。注意a 是整数部分仅一位的数，n 等于原
数整数位数减1 或小数点移动位数。单位需在括号外。
即时即练1．据商务部消息，2025 年以来，电动自行车以旧换新取得积极成效．截至3 月11 日，今年全
国电动自行车售旧、换新各166.4 万辆，超过2024 年总和．数据166.4 万用科学记数法表示为（
）
A．
4
166.4 10
B．
7
0.1664 10
C．
7
1.664 10
D．
6
1.664 10
2．央广网报道“中国旅游研究院数据显示2023
2024
冰雪季，我国冰雪休闲旅游人数超过3.85亿人次，预
计新一轮，也就是2024
2025
冰雪季有望突破5亿人次”，数据3.85亿用科学记数法表示为
．
4 / 14
题型1 有理数幂的概念理解
【例1】下列关于
32 的说法中，正确的是（
）
A．底数是3，指数是2
B．表示2 2 2
C．表示3
3
3
D．表示2 3
【例2】
52
表示的意义是（
）
A．5 个2 相乘的相反数
B．2
与5 相乘
C．2 个5
相乘
D．5 个2
相乘
【技巧归纳】
幂：aⁿ表示n 个a 相乘，a 为底数，n 为指数（正整数）。注意区分：(-a)ⁿ与-aⁿ（前者负号在括号内，指数
影响符号；后者负号在括号外）。任何非0 数的0 次幂得1，0 的正整数次幂得0。底数可为分数、小数。
【变式1-1】下列说法正确的是（
）
A．
33
的底数是3
B．
33 表示3 个3 相加
C．
3
3
的指数是3
D．
3
3
与
33
意义相同
【变式1-2】下列说法中，正确的是（
）
A．
32 表示2 3
B．
2
2
5
的结果为正数
C．
2
5
中5
是底数，2 是指数
D．
23 与
2
3
是互为相反数
题型2 有理数的乘方运算
【例3】计算：
(1)
34 ；
(2)
35
；
(3)
3
1
3
．
【例4】计算：
(1)
2
3
；
(2)
23
；
5 / 14
(3)
3
3
；
(4)
2
1.7
；
(5)
5
1
2
．
【技巧归纳】
乘方运算：先确定符号（正数的任何次幂为正；负数的奇次幂为负，偶次幂为正），再计算绝对值的乘方。
底数是分数时，分子分母分别乘方；底数是小数先化分数。注意区分底数范围，如(-2)⁴=16，-2⁴=-16。
【变式2-1】计算：
(1)
2
3
4
；
(2)
3
5
；
(3)
2
3
；
(4)
3
2
．
【变式2-2】计算：
(1)
3
5
；
(2)
5
1
2
；
(3)
4
1
3
；
(4)
35
；
(5)
4
0.1 ；
(6)
81 ．
题型3 乘方运算的符号规律
【例5】有下列各数：①
21
；②
2
( 1)
；③
31
；④
4
( 1)
，其中结果等于1
的是（
）
A．①②③
B．①②④
C．②③④
D．①②③④
【例6】下列各组的两个数中，运算后结果相等的是（
）
A．
23
与
2
3
B．
35 与
53
6 / 14
C．
37
与
3
7
D．
3
3
4
与
33
4
【技巧归纳】
正数的任何次幂都为正；负数的奇次幂为负，偶次幂为正。0 的正整数次幂为0。底数为负且指数为奇数，
结果负；指数偶数，结果正。注意区分(-a)ⁿ与-aⁿ：前者负号参与乘方，后者负号在乘方结果外。
【变式3-1】已知n 为正整数，计算
2
2
1
1
1
n
n
的结果是（
）
A．1
B．-1
C．0
D．2
【变式3-2】若n 是自然数，并且有理数a、b 满足
1
0
a
b
，则必有（
）
A．
2
1
0
n
n
a
b
B．
2
1
2
1
0
n
n
a
b
C．
2
1
1
0
n
n
a
b
D．
2
1
2
1
1
0
n
n
a
b
题型4 乘方的应用
【例7】你喜欢吃兰州牛肉面吗？拉面的师傅，用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉
伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多细的面条，如下图所示．请问要想拉出128 根面条，需要
捏合的次数是（
）
A．5 次
B．6 次
C．7 次
D．8 次
【例8】拉面是很多人都喜欢吃的一种面食．拉面馆的师傅用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉长，再
捏合，又拉长，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多根较细的面条．回答下列问题：
(1)第6 次捏合后，可得多少根面条？
(2)经过多少次捏合后可得到256 根面条？
【技巧归纳】
应用如细胞分裂、拉面折数、增长率等。识别底数为“每轮倍数”，指数为“轮数”。求n 次后总量=初始
量×倍数ⁿ。注意指数从0 开始：第0 次为初始。也用于比较大小，如2¹⁰ 与10³，分别计算或取对数比。
【变式4-1】古时候，在某个王国里有一位聪明的大臣，他发明了国际象棋，献给了国王，为表示对大臣的
感谢，国王答应满足大臣一个要求．大臣说：“就在这个棋盘上放一些米粒吧，第一格放1粒米，第二格放2
粒米，第三格放4 粒米，然后是8粒米，16粒米，L 直到第64 格．”“你真傻就要这么一点米？”国王哈哈大
7 / 14
笑，大臣说：“就怕你的国库里没有这么多米？”你知道第64 格中能放多少米吗？请你帮忙计算出来．
【变式4-2】水葫芦是一种水生漂浮植物，有着惊人的繁殖能力．据研究表明：适量的水葫芦生长对水质的
净化是有利的，关键是科学管理和转化利用，若在适宜的条件下，1 株水葫芦每5 天就能繁殖1 株．（不考
虑死亡、被打捞等其他因素）
(1)假设湖面上现有1 株水葫芦，填写下表：
天数
5
10
15
…
25
…
5n
总株数
2
4
…
…
(2)假定某个水域的水葫芦维持在1280 株以内对水质净化有益．若现有10 株水葫芦，请你计算，按照上述
生长速度，多少天时有1280 株水葫芦？
天数
5
10
15
…
25
…
5n
总株数
2
4
8
…
32
…
2n
题型5 有理数乘方运算与有理数分类问题
【例9】把下列各数分别填入相应的括号中；
2
，0.0314，
11
，2
7 ，
1
4 3
，
3
2 5
，0，
2
2
5
，
2021
1
，
正有理数：｛…｝
整数：｛…｝
分数：｛…｝
非正整数：｛…｝
【例10】将下列有理数填入适当的集合内（写原形式）：2
，5，
1
2
，3
2 ，0.05
，
1
4 3 ，0，
3
，8，
3
1
2
，
正有理数集合：{
…}
整数集合：{
…}
负分数集合：{
…}
【技巧归纳】
先计算乘方，得具体数值后再分类（整数、分数、正负等）。注意底数符号：负底数偶次幂为正，奇次幂
8 / 14
为负。乘方结果可能改变数类型，如(-2)2=4 是正整数。
【变式5-1】把以下各数填在相应的大括号里：0.2 ，0，
4
5
，
22
7
，
9
，
1
，
32
．
（1）正整数集合：{
}；
（2）负分数集合：{
}；
（3）整数集合：{
}；
（4）非负数集合：{
}．
【变式5-2】在数轴上标出表示下列各数的点．
0 ，
2
2
，
| 3.14|
，
2
( 1)
，
1
2
(1)在数轴上表示出以上各数，并用“”把下列各数连接起来．
(2)将上述的有理数填入图中相应的集合内．
负数集合{
}
整数集合{
}
非负整数集合{
}
题型6 有理数乘方运算与数轴综合问题
【例11】已知下列有理数：
2
3
2.5,0,
2 ,
, 1, 2
2
(1)
2
2
中，底数是_______，指数是_______．
(2)画一条数轴，在数轴上表示出这些有理数．
(3)把这些有理数用“ ”号连接起来．
【例12】（1）下列有理数中，互为相反数的是________________________．
23
4
，3，
2
3
，0，
2
3
2
，
3
( 1)
（2）请写出上面有理数的相反数，化简后将其表示在数轴上，并将化简后的数按从小到大的顺序用“＜”连
接起来．
【技巧归纳】
先计算乘方得具体数值，再标在数轴上，注意正负和大小位置。比较大小时，可根据数轴右侧大于左侧判
9 / 14
断，也可结合乘方运算的符号规律和绝对值比较。
【变式6-1】如图，数轴上每个刻度为1 个单位长度，点A 表示的数是3
．
(1)在数轴上标出原点O，并指出点B 所表示的数是___________．
(2)在数轴上表示下列四个数，并用“<”号把这些数按从小到大的顺序连接起来．
2
1
，
1.5
，
4
，0
用“<”号连接各数：_______________________．
【变式6-2】如图，数轴上A，D 两点对应的数分别为4
，1，其中点O为原点，点B ，C ，E 所对应的数
分别为
2.5
，
2
2
，
1
6 2
(1)请在图中标出点O，B ，C ，E 的位置；
(2)把4
，1，0 ，
2.5
，
2
2
，
1
6 2
这六个数，按从小到大的顺序用“”连接起来．
题型7 与有理数乘方有关的新定义型问题
【例13】对于整数a，b，定义一种新的运算“⊕”：当a 与b 同号时，规定
1
b
a
b
a
（
1
b 且
0
b
）；
当a 与b 异号时，规定
1
a
a
b
b
（
1
a 且
0
a
）．
(1)当
3
a
，
4
b 时，则a
b
______．
(2)当
5
a
，且
24
a
b
，则b ______．
(3)已知
63
a
b
，求式子a
b
的值．
【例14】规定三角形框“
”表示a b c
，方框“
”表示
m
n
x
y
．
例如：
1 2
3
6
，
4
2
3
19
．
(1)计算：
_________，
_________．
10 / 14
(2)现有一个算式：
①若■表示3，求这个算式的值；
②如果原算式的值为
1
15
，直接写出表示的正整数．
【技巧归纳】
先理解新定义（如a※b 表示a 的b 次方再取倒数），将自定义运算化为标准乘方形式。注意指数为正整数，
遇负数或分数底数需加括号。按乘方运算法则计算，再结合题目其他运算顺序。可先举例验证规则。
【变式7-1】我们常用的数是十进制数，计算机程序使用的是二进制（只有数码0 和1），它们两者之间可
以互相换算．若规定：任何一个非0 数的0 次幂都等于1，（如
0
0
2
1,3
1
）那么，二进制
2
101
换算成十
进制数为：
2
1
0
2
101
1 2
0
2
1 2
4
0
1
5
；二进制
2
1011
换算成十进制数目为：
3
2
1
0
2
1011
1 2
0
2
1 2
1 2
8
0
2
1
11
．
(1)将二进制数(10011)2 换算成十进制数，则
2
10011
4
3
2
0 2
2
2
1
0
2
1 2
(2)请将
2
110100
转换为十进制数；
(3)十进制数9 转换成二进制为：
3
2
1
0
2
9
1 2
0
2
0
2
1 2
(1001)
，则将27 转换成二进制数为
【变式7-2】【概念学习】
定义：求若干个相同的有理数（均不等于0 ）的除法运算叫做除方，如2
2
2
，
3
3
3
3
等．类
比有理数的乘方，我们把2
2
2
记作
32 ，读作“ 2 的下3次方”，
3
3
3
3
记作
4
( 3)
，读作“ 3
的下4 次方”．一般地，把
0
n
a
a
a
a a
…
记作
na ，读作“ a 的下n 次方”．
(1)直接写出计算结果：
4
2
，
3
1
3
．
(2)【深入探究】
我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如
何转化为乘方运算呢？例如：
类比上面的算式，将一个非零有理数a 的下n 次方写成幂的形式是：
na ．（直接写出结果）
(3)【结论应用】
已知同底数幂乘法公式：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．例如：
25
2
25 2
27
3
3
3
3
．
11 / 14
请根据同底数幂乘法公式和以上探究结论，计算
2025
2026
1
6
5
6
的值．
题型8 用科学记数法表示绝对值大于1 的数
【例15】铜仁市到贵阳市的车程约为324000m．数据324000 用科学记数法表示为（
）
A．
3
324 10
B．
4
3.24 10
C．
5
3.24 10
D．
6
0.324
10
【例16】第一宇宙速度，也称为环绕速度，是指一个物体在地球表面附近以一定的速度水平抛出，使其能
够绕地球做圆周运动而不会落回地面的最小速度．第一宇宙速度的具体数值是7900 米/秒，用科学记数法表
示7900 应为
．
【技巧归纳】
科学记数法：a×10ⁿ，其中1≤|a|<10，n 为正整数。n 等于原数整数位数减1。将小数点左移至第一个数字
后，数出移动位数得n。如3800=3.8×10³。注意0 的个数与指数关系，不要漏掉数字末尾的0。
【变式8-1】一个人一日三餐少浪费一粒米，全国一年就可以节省约3240 万斤粮食，这些粮食可供9 万人
吃一年.“3240 万”这个数据用科学记数法表示为
.
【变式8-2】央广网报道“中国旅游研究院数据显示2023
2024
冰雪季，我国冰雪休闲旅游人数超过3.85亿
人次，预计新一轮，也就是2024
2025
冰雪季有望突破5亿人次”，数据3.85亿用科学记数法表示为
．
一、单选题
1．负数的概念最早出现在我国古代著名的数学专著《九章算术》中．下列算式中，运算结果为负数的是（
）
A．( )
2
- -
B．
2
C．
2
2
D．
2
2
2．下列各组数中，互为相反数的是（
）
A．
2
3
和3
B．
2
3
和
23
C．
3
和3
D．
3
和
3
3．第57 次《中国互联网络发展状况统计报告》于2026 年2 月5 日发布．报告显示，截至2025 年12 月，
我国网民规模达11.25 亿人，互联网普及率达80.1% ．数据“11.25 亿”用科学记数法表示为（
）．
A．
10
1.125 10
B．
10
0.1125 10
C．
9
1.125 10
D．
8
11.25 10
4．在下列各数中：
1
2
，
2
4
，
3
，
2
5
，
2
，
2016
1
，0，其中是负数的有（
）个．
12 / 14
A．2 个
B．3 个
C．4 个
D．5 个
5．在实数范围内定义一种新运算“＠”，其运算规则为：@
1
a
b
ab
，如：2@5
1 2 5
9
，则
2027
2026
1
2
@
2
的值为（
）
A．
1
2
B．
1
2
C．3
2
D．
3
2
二、填空题
6．
63
的底数是________，读作________．
7．2026 年，我国天问二号深空探测器按计划开启小行星探测任务，探测器往返星际飞行的总里程约
720000000 千米．其中数据720000000 用科学记数法表示为___________．
8．定义一种运算：
2
2
a
b
a
ab
b
★
．例如：
2
2
2
3
2
2 3
3
4
6
9
19
★
．那么
1
2
3
★
★
______．
9．程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．如图所示的程序框图，当
输入x 的值是1
时，根据程序，第1 次计算输出的结果是1，第2 次计算输出的结果是2
,…，这样计算下
去，第7 次计算输出的结果是_____．
10．上海举办过第十四届国际数学教育大会（简称
14
ICME
），会徽的主题图案（如图）有着丰富的数学
元素，展现了中国古代数学的灿烂文明，图案中右下方的图形是用中国古代的计数符号写出的八进制数字
3745．我们常用的数是十进制数，如
3
2
1
4657
4 10
6 10
5 10
7 1
；在电子计算机中用的二进制，如
二进制中
2
1
110
1 2
1 2
0 1
等于十进制的数6 ；八进制数字745换算成十进制是_________．
三、解答题
11．计算：
(1)
3
( 4)
；
(2)
4
1
3
；
(3)
6
2
．
13 / 14
12．规定一种新运算：
2
1
a
b
ab
a
b
☆
，
2
3
4
3
4
3
4
1
☆
，请计算下列各式的值：
(1) 2
5
☆；
(2)
2
5
☆
．
13．【概念学习】规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2
2
2
等．类比
有理数的乘方，我们把2
2
2
记作
32 ，读作“2 的下3 次方”，一般地，把n 个(
0)
a a
相除记作
na ，读作“ a
的下n 次方”．
【初步探究】
（1）直接写出计算结果：
32 ___________．
【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数
的除方运算如何转化为乘方运算呢？例如：
2
4
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
（幂的形式）；
（2）试一试：将下列除方运算直接写成幂的形式．
65 ___________；
10
1
2
___________；
（3）算一算：
3
3
4
1
2
( 8)
2
4
．
14．阅读材料，解决问题：
由
1
2
3
4
5
6
7
8
3
3,3
9,3
27,3
81,3
243,3
729,3
2187,3
6561,
，
不难发现3 的正整数幂的个位数字以3，9，7，1 为一个周期循环出现，由此可以得到：
因为
2025
4 506 1
3
3
，所以
2025
3
的个位数字与
13 的个位数字相同，应为3．
(1)请你仿照材料，分别求出
99
7 的个位数字及
99
8 的个位数字．
(2)
21
21
21
2
7
8
的个位数字为________．
15．[阅读材料]：所谓进位制，就是人们规定的一种进位方法．对于任何一种进制——X 进制，就表示某一
位置上的数运算时是逢X 进一位，例如十进制是逢十进一，二进制就是逢二进一，以此类推．为与十进制
进行区分，我们常把用X 进制表示的数a 写成（a）x．类比于十进制我们可以知道：X 进制表示的数（1111）
x 中，右起第一位上的1 表示
0
1
X
，第二位上的1 表示
1
1
X
，第三位上的1 表示
2
1
X
，第四位上的1 表
3
1
X
，故
3
2
1
0
1111
1
1
1
1
X
X
X
X
X
，即：
1111 X 转化为了十进制表示的数
3
2
1
0
X
X
X
X
．如：
3
2
1
0
2
1111
1 2
1 2
1 2
1 2
15
，即二进制的数1111 等于十进制数15．
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[问题解决]：
(1)中国古代《易经》一书中记载，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图①所示是一位
妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录采集到的野果数量为______个．（用十进制
数表示）
(2)如图②，是小明同学的准考证号的二维码的简易编码，（黑色代表1，白色代表0）．其中第一行代表二
进制的数字(11000)₂，转换成十进制数为24；同理第二行至第五行代表二进制的数字分别转换成十进制的
两位数，依次组合到一起就是小明同学的准考证号2410072013，其中第四行编码“20”表示考场号为20．
（i）图③是小亮同学的准考证号的二维码的简易编码，其中第四行代表二进制的数字是______，转化成十
进制后可知他的考场号是_______；（直接写出答案．）
（ii）若本次考试中，“小芳”的准考证号是2417051311，图④是“小芳”自己绘制的二维码简易编码，但在第
三、五两行少涂黑了几个小正方形．请你写出计算过程，并帮她在图④中补充完整．
