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专项训练01 与绝对值有关的化简
【知识点1 绝对值的定义】
定义：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值，例如+2 的绝对值等于2，记作|+2|
=2；-3 的绝对值等于3，记作|-3|=3．
要点分析：
（1）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是
0．即对于任何有理数a 都有：
(
0)
|
|
0
(
0)
(
0)
a
a
a
a
a
a
（2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对
值越大；离原点的距离越近，绝对值越小．
（3）一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的．
【知识点2 绝对值的性质】
性质：（1）0 除外，绝对值为一正数的数有两个，它们互为相反数．
（2）互为相反数的两个数（0 除外）的绝对值相等.
（3）绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0．
【题型1 绝对值的非负性】
1．（1）若
，则
______，
_______．
（2）若
，则
_____，
_____．
2．（1）根据
是非负数，且非负数中最小的数是0，解答下列问题．
①x 满足______时，式子
的值最______，为______；
②x 满足______时，式子
的值最______，为______；
（2）已知若
，则
，即
，若
，则
，即
，如果x、y、z 是有理
数，且
，
时，直接写出
的值为______．
【题型2 利用数轴化简绝对值】
3．已知有理数
，
在数轴上对应位置如图．
(1)用“
或
”
“
填空：
”
______0，
______0；
(2)比较
，
，
，
的大小(用“
把它们连接起来
”
)，填写在横线上______；
(3)化简：
．
4．已知
，
是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示．
(1)
______0，
______0，
______0（填“
或
”
“
）
”
(2)用“
将
”
，
，
，
连接起来：______．
(3)化简
．
【题型3 分类讨论化简绝对值】
5．在学习一个数的绝对值过程中，化简
时，可以这样分类：当
时，
，当
时，
；
当
时，
．请用这种方法解决下列问题．
(1)当
时，则
_____；当
时，则
_____．
(2)已知
，
是有理数，当
时，试求
的值．
(3)已知
，
，是非零有理数．满足
且
，求
的值．
6．在数学学习中，常用到分类讨论的数学方法，以化简
为例．当
时，
；当
时，
；
当
时，
．
知识储备：在小学学过一个非零数字除以它本身等于1，我们学习了用字母表示数，这句话可以表示为
求解下列问题：
(1)当
时，
值为_____，当
时，
的值为_____，当
为不等于0 的有理数时，
的值为_____；
(2)已知
，求
的值；
(3)已知：
，这
个数都是不等于0 的有理数，若这
个数中有
个正数，
，则
的值为_____．（请用含n 的式子表示）．
【题型4 几何意义化简绝对值】
7．如图，已知数轴上有A，B 两个点，分别表示有理数－6，4．若x 表示一个有理数．
(1)数轴上点A 到点B 的距离为______；数轴上到点A、B 的距离相等的点表示的有理数为______；
(2)若
，则
______；
(3)式子
的最小值为______，此时x 的取值范围是______；
(4)式子
有最大值么？若有，请直接写出最大值；若不存在，请说明理由．
8．【阅读】若点
，
在数轴上分别表示有理数
，
，
，
两点之间的距离表示为
，则
，即
表示为5 与3 两数在数轴上所对应的两点之间的距离．
（1）点
，
表示的数分别为
，2，则
_______；
（2）若
，则
_________；
【应用】
（3）如图，数轴上表示数
的点，问
是否有最小值？如果有，直接写出最小值；如果没有，
说明理由．
（4）由以上的探索猜想，对于任意有理数
，
是否有最小值？如果有，直接写出最小
值，并写出此时x 的值；如果没有，说明理由．
1．若
，则
一定是（ ）．
A．正数
B．负数
C．正数或零
D．负数或零
2．若
与
互为相反数，则
的值为（ ）
A．3
B．
C．0
D．3 或
3．实数a，b 在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．已知
，则
的最大值为（ ）
A．6
B．5
C．4
D．3
5．已知a，b 为有理数，下列式子：①
；②
；③
；④
．其中一定能够表示
a，b 异号的有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
6．代数式
有最小值是 ．
7．当
时，
的值最大．
8．已知有理数
、
满足
，则
．
9．点
，
在数轴上的位置如图所示，其对应的数分别是
和
，对于以下结论：①
；②
；
③
；④
．其中正确的是 （填序号）
10．已知a，b 为实数，下列说法：
若
①
，且a，b 互为相反数，则
；
若
②
，则
是正数；
若
③
，则
；
若
④
，
，且
，则
，
其中正确的是 ．（填序号，填不全得1 分，不填或有错误答案均得0 分）．
11．有理数
在数轴上的位置如图所示．
(1)用“
”“
或
”
“
填空：
”
_________0，
_________0，
_________0；
(2)化简：
．
12．根据
这一性质，解答下列问题：
(1)当
时，
有最小值，此时最小值为 ；
(2)当a 取何值时，
有最小值？这个最小值是多少？
(3)当a 取何值时，
有最大值？这个最大值是多少？
13．有理数
在数轴上的位置如图：
(1)
______
，
______
，
______0；填（“
或
”
“
）
”
(2)如果
互为相反数，则
______；
(3)计算：
．
14．我们知道，
是指数轴上表示数
的点到原点的距离．这是绝对值的几何意义．进一步地，如果数轴
上点
分别对应数
，那么
两点间的距离为
．
(1)如图，点
在数轴上对应的数为
，点
对应的数为
，则
_____
，
_____
，
_____
；
(2)若
，则
_____；
(3)已知
三个数在数轴上的位置如图
所示，化简：
．
1．有理数a，b，c 在数轴上的对应点的位置如图所示，已知
，有如下四个结论：①
；②
；③
；④
．上述结论正确的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
2．下列说法：
若
①
，则
为负数；
若
②
不是负数，则
为非正数；③
；
若
④
，
，则
．其中正确的结论有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
3．已知有理数
、
、在数轴上的对应点如图所示，且
，则
，
，
，
，化简
4．电影《哈利波特》中，小哈利波特穿越墙进入
•
“
站台
的镜头（如示意图的
”
Q 站台），构思奇妙，
给观众留下深刻的印象．若
站台分别位于
，
处，若P 站台到A 站台的距离是到B 站台距离的2
倍，则P 站台用类似电影的方法可称为“ 站台
．
”
5．阅读下列材料：
经过有理数运算的学习，我们知道
可以表示5 与3 之差的绝对值，同时根据绝对值的几何意义，也可
以理解为5 与3 两个数在数轴上所对应的两点之间的距离．
可以表示5 与
之差的绝对值．也可
以理解为5 与
两个数在数轴上所对应的两点之间的距离．
(1)
表示数轴上4 与___________所对应的两点之间的距离．
(2)
表示数轴上有理数
所对应的点到___________所对应的点之间的距离，
表示数轴上有理数
所对应的点到___________所对应的点之间的距离．
(3)利用绝对值的几何意义，请找出有符合条件的整数
，使得
请直接写出这样的整数
的
值：_________________________________．
(4)利用绝对值的几何意义，求出
的最小值．
6．在解决数学问题的过程中，我们常用到
分类讨论
的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解
“
”
决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题．
【提出问题】三个有理数a，b，c 满足
，求
的值．
【解决问题】解：由题意得，a，b，c 三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数．
若
①
a，b，c 都是正数，即
，
，
时，则
；
若
②
a，b，c 中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设
，
，
，
，
综上所述，
的值为3 或
．
【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题：
(1)三个有理数a，b，c 满足
，求
的值；
(2)若a，b，c 为三个不为0 的有理数，且
，求
的值．
7．【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．
(1)【问题情境】如图，探究数轴上任意两点之间与两点的对应数的关系：
点
①
和点
之间的距离为______，
点
②
到点
的距离为______；
点
③
和点
之间的距离为______，
点
④
到点
的距离为______；
(2)【发现新知】如果数轴上点
对应的数是
，点
对应的数是
，那么点
和点
之间的距离可表示为
______．（用含
，
的式子表示）
(3)【综合运用】
数轴上表示
①
和
的两点
，
之间的距离是10，求
的值．
式子
②
的最小值是______．
