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专项训练02 数轴上的动点探究问题
【知识点1 数轴上的动点探究问题】
1. 两点基础关系（距离与中点）
- 距离公式：数轴上两点A(a) 、B(b)的距离AB = |a-b| （右侧减左侧可直接去绝对值）。
- 中点公式：A、B 的中点M 对应的数为a+b
2
（即平均数）。
- 关键：动点问题中，距离相等或中点重合是列方程的常用等量关系。
2. 动点位置表示（含时间参数）
- 匀速运动：点P 从a 出发，速度为v，运动时间为t：
- 向右运动：P(t) = a + vt ；
- 向左运动：P(t) = a - vt。
- 关键：运动方向由速度正负决定（通常设向右为正）。
- 多动点：分别用含t 的式子表示各点位置，然后建立它们之间的等量关系。
3. 核心题型与列方程策略
- 追及/相遇：
- 相遇：两动点位置相同（P(t) = Q(t) ）；
- 追及：速度快的追上慢的（位置相同且时间满足先后条件）。
- 距离问题：
- 两点距离为定值d：|P(t)-Q(t)| = d（去绝对值时分左右两种情况讨论）；
- 若可确定左右位置，直接右侧减左侧。
- 中点/定比分点：
- 某点为两动点的中点：P(t) + Q(t) = 2M （M 为定点或另一点）。
- 隐含条件：
- 时间 t≥0；
- 注意是否有“停止点”（如点到原点后折返、点到达终点停止等）。
- 多解验证：绝对值方程通常有两解，需结合运动方向或范围舍去无效解。
【题型1 数轴动点中的相遇问题】
1．如图，数轴上两点
（点
在点
的左侧，
表示点
与点
之间的距离），点
表示的有理数为
．点
从点
出发，以每秒2 个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点
从点
出发，
以每秒4 个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动的时间为秒（
）．
(1)点
表示的数为___________，线段
的中点表示的数为___________；
(2)用含的代数式表示：秒后，点
表示的数为___________，点
表示的数为___________；
(3)当为何值时，点
与点
相遇？
(4)当
时，此时点
表示的数是多少？
2．在数轴上A 点在原点的左侧，所表示的数是a；B 点在原点的右侧，所表示的数是b，且a，b 满足
.
(1)求a，b 的值；
(2)点P、Q 是数轴上的两个动点，点P 从点A 出发沿数轴向右运动，同时点Q 从点B 出发沿数轴向右运动，
且点P 的速度是点Q 速度的2 倍，经过6 秒钟点P 与点Q 相遇，求点Q 与点P 的速度分别为每秒几个单位；
(3)若P、Q 两点同时以（2）中各自的速度相向而行，点P 从点A 出发沿数轴向右运动，同时点Q 从点B
出发沿数轴向左运动，且点P 运动到B 点后原速返回，当点Q 到达点A 时，P、Q 停止运动，经过几秒钟，
P、Q 两点相距6 个单位长度．
【题型2 数轴动点中的相距问题】
3．如图，在数轴上点A 表示的数为a，点B 表示的数为b，点C 表示的数为c，点C 是
的中点．已知
，
，请回答下列问题：
(1)填空：
________；
(2)现有两动点P，Q 在数轴上同时开始运动，其中点P 以每秒3 个单位长度的速度从点A 出发向右匀速运
动，点Q 以每秒4 个单位长度的速度从点B 出发向左匀速运动．P、Q 两点同时出发，设
秒后点
P，Q 所表示的数分别为m，n．
当
①
时，
________，
_______，此时P，Q 两点之间的距离是_______；
求几秒后，
②
P，Q 之间相距4 个单位长度．
4．【阅读材料】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美的结合，某数学兴趣小组
探究数轴发现了一些重要的规律．
规律1：如图1，数轴上点
表示的数为
，点
表示的数为
，则
、
两点间的距离
可表示为：
①
（即用右边点
表示的数减去左边点
表示的数）；
②
（即两点表示的数之差的绝对值）．
规律2：数轴上
、
两点的中点
表示的数为
．
【简单应用】如图1，点
在数轴上所对应的数为
，点
表示的数为4，
是数轴上一动点．
（1）则
、
两点间的距离
________，
、
两点的中点
表示的数为________．
（2）若
、
两点间的距离
，则点
表示的数为________．
【拓展运用】如图2，已知数轴上有
、
两点，分别表示的数为
，8，点
以每秒2 个单位的速度沿
数轴向右匀速运动，同时点
以每秒3 个单位向左匀速运动，设运动时间秒（
）．
（3）用含的式子填空：
点
运动秒后所在位置的点表示的数为________；（用含的式子填空）
点
运动秒后所在位置的点表示的数为________；（用含的式子填空）
此时
、
两点的中点
表示的数为________．（用含的式子填空）
（4）按上述方式运动，
、
两点经过多少秒会相遇？经过多少秒相距5 个单位长度？
【题型3 数轴动点中的折返问题】
5．数轴上点A，B 对应的数分别是
和10，点P 以每秒2 个单位的速度从点A 出发向右运动，同时，点
Q 以每秒3 个单位的速度从点B 出发向左运动，当点Q 到达点A 后立即折返向右运动，设运动时间为t 秒．
(1)当点P 和点Q 第一次相遇时，求t 的值；
(2)当
时，求点P 到点Q 的距离；
(3)在整个运动过程中，当t 为多少时，P，Q 两点间的距离为2？请直接写出t 的值．
6．“阳光向上，跑动青春”，为营造阳光运动的校园氛围，培养学生热爱体育、崇尚运动的健康观念和
良好习惯，学校利用课间进行趣味跑操活动，其中有两名学生课间在操场上沿着直线进行折返跑，往返一
次；将这条直线看成数轴，起点记为M，折返点记为N，主席台记为点O，两位同学分别记为点P，Q；若
动点P、Q 从M 点同时出发向N 点运动，到达N 点后折返到M 点；
已知：数轴上点M、N 对应的数分别为m、n，且满足
．
(1)直接写出m、n 的值；
(2)设点P 在数轴上对应的数为x，那么当x 为多少时能使得
？
(3)已知点P 的速度为3 个单位长度/秒，点Q 的速度为2 个单位长度/秒，当动点P 到达点N 后，点Q 开始
改变速度，以a 个单位长度/秒继续折返跑，4 秒后，P、Q 两点相距2 个单位长度，求a 的值．
【题型4 数轴动点中的翻折问题】
7．已知点A，B 在数轴上，A，B 对应的数字为a，b，满足
，点M 从点A 开始以2 个单
位长度/秒的速度向右移动，同时点N 从点B 开始以3 个单位长度/秒的速度向右移动，移动时间为t 秒
(1)
__________，
_________．
(2)用含t 的代数式表示点M 对应的数为__________，点N 对应的数__________．
(3)数轴上有一点P．若将数轴沿着点A 翻折后，点P 对应的数为Q，点Q 对应的数为
．当点N 到达点
P 时，立即向左返回；当点N 到达点B 时，点M，N 同时停止移动．在移动过程中，请用含t 的代数式表
示点M 与点N 之间的距离
．
8．数轴是一个非常重要的数学工具，它把数和数轴上的点建立了对应关系，形象地揭示了数与数轴上的
点之间的内在联系，是数形结合的基础．翻折是初中数学重要的图形变化．请借助数轴，结合具体情境解
答下列问题．
【问题情境】
如图，若数轴上表示的点与表示的点重合．
则表示
的点与表示______的点重合；
若数轴上
，
两点之间的距离为
（点
在点
的左侧），当
，
两点经折叠后重合，则点
表
示的数为______，点
表示的数为______；
若点
表示数
，点
经折叠后与点
重合，则点
表示的数是______；
【问题情境
】
如图
，一条数轴上有
，
，
三点，其中点
，
表示的数分别是
和，现以
为折点，将数轴
向右对折．若对折后点
对应的点为
，且点
与点
之间的距离为，求点
表示的数．
【题型5 数轴动点中的定值问题】
9．已知：如图数轴上有A，B，C 三点，点A 和点B 间距20 个单位长度且点A，B 表示的有理数互为相反
数，
，数轴上有一动点P 从点A 出发，以2 个单位/秒的速度向右沿数轴运动，设运动时间为t 秒
（
）．
(1)点A 表示的数是，点C 表示的数是，点P 表示的数是（用含t 的式子表示）；
(2)当
秒时，P，B 两点之间相距10 个单位长度；
(3)若点A，点B 和点C 与点P 同时在数轴上运动，点A 以1 个单位/秒的速度向左运动，点B 和点C 分别以
3 个单位/秒和4 个单位/秒的速度向右运动，是否存在常数m，使得
为定值，若存在，请
求出m 的值以及这个定值；若不存在，请说明理由．
10．课本P52 页习题8，我们曾探究过，如果数轴上点
表示数
，点
表示数
，线段
的长表示为
．当点
为线段
中点时，即
时，点
表示的数为
．请同学们借助以上结论，解决下
面问题：
如图，在数轴上的
点表示数
，
点表示数5．若在原点
处放一挡板，一动点
从点
处以2 个单位
／秒的速度向左运动；同时另一个动点
从点
处以3 个单位／秒的速度也向左运动，在碰到挡板后以原
来的速度向相反的方向运动，回到
点后，两动点均停止运动，运动结束．假设运动的时间为（秒）．
(1)动点
表示的数为______；
当
时，动点
表示的数为______；
当
时，动点
表示的数为______；（用含的代数式表示）
(2)当
是线段
中点时，求时间的值；
(3)分别取
和
的中点
，
；
当
①
时，求时间的值；
试判断是否存在常数
②
，使得
的值是定值，若存在，求出
的值；若不存在，说明理由．
【题型6 数轴动点中的新定义问题】
11．已知数轴上点
表示的数为6，
是数轴上在
左侧的一点．且
，
两点间的距离为10，动点
从
点
出发，以每秒6 个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点
从点
出发，以每秒2 个单位长度的
速度沿数轴向左匀速运动，若点
、
同时出发．设运动时间为
秒．求：
(1)当点
运动多少秒时，点
追上点
？
(2)当点
运动多少秒时，点
与点
间的距离为8 个单位长度？
(3)如果
、
、
中有一个点是另外两点所构成线段的中点，就称
、
、
为一组“幸福点”．求出点
运动多少秒时，点
、点
、点
是一组“幸福点”．
12．对于数轴上的A，
，
三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2 倍的数
量关系，则称该点是其它两个点的“联盟点”．
例如：数轴上点A，
，
所表示的数分别为1，3，4，此时点
是点A，
的“联盟点”．
(1)若点A 表示数
，点
表示数2，则下列各数
，0，4，6 所对应的点分别为
，
，
，
，其中
是点A，
的“联盟点”的是________；
(2)点A 表示数
，点
表示数30，点
为数轴上的一个动点，
若点
①
在点
的左侧，且点
是点A，
的“联盟点”，求此时点
所表示的数；
若点
②
在点
的右侧，点
，A，
中有一个点恰好是其他两个点的“联盟点”，请直接写出此时点
所表示的数为________．
1．如图，数轴上线段
（单位长度），
（单位长度），点
在数轴上表示的数是
，点
在数轴上表示的数是16．若线段
以6 个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段
以2 个单位长
度/秒的速度向左匀速运动．问：当
（单位长度）时，运动时间为多少秒？（ ）
A．2 秒
B．
秒
C．2 秒或4 秒
D．2 秒或
秒
2．如图，将一条数轴在原点
，点
，点
处折一下，得到一条“折线数轴”．图中点
表示
，点
表示12，点
表示24，点
表示36，我们称点
与点
在数轴上的“友好距离”为45 个单位长度，并表
示为
．点
从点
出发沿着“折线数轴”运动至点
，点
从点
出发沿着“折线数轴”运动
至点
，两点同时出发．点
，
的初始速度分别是3 个单位长度秒和6 个单位长度秒，点
和点
运动到折线时速度发生变化，“上坡”时速度为初始速度的
，“下坡”时速度为初始速度的2 倍，离开
折线后速度恢复为初始速度．一个点到达终点时，另一点继续运动，设运动时间为
秒，有下列结论：
当
①
时，点
表示的数为数轴的原点；
当点
②
到达点
时，
；
当点
③
到达点
时，
；
运动过程中，点
④
和点
在线段
上相遇；
当
⑤
或18 时，
．
以上结论正确的有（ ）
A．2 个
B．3 个
C．4 个
D．5 个
3．在一张透明的纸上画一条数轴，点
，
在数轴上表示的数分别为
，6，如图，以点
为折点，将
此数轴向右对折，若对折后点
对应的点
落在数轴上，且
，
两点之间的距离为3，则点
表示的数
是________．
4．定义：已知点
为数轴上三点，我们规定：点
到点
的距离是点
到点
的距离的
倍，
则称
是
的“
倍点”，记作：
．例如：若点
表示的数为
，点
表示的数为
，
点
表示的数为，则
是
的“
倍点”，记作：
．应用：如图有一条数轴，
为数轴上三点，分别对应
，，
．
的值是______；若点
是数轴上一点，且
，则
点
表示的数______．
5．点
在数轴上对应的数为
，点
对应的数为
，且
、
满足
．
(1)填空：
__________；
__________；线段
的长为__________；
(2)动点
从点
出发，以每秒
个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动；动点
从点
出发，以每秒
个
单位长度的速度沿数轴向左移动；动点
从点
出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速移动，
点
，
，
同时出发，设运动时间为秒，
点
①
在数轴上对应的数为
，在数轴上（图中）标出
的大致位置，若动点
到
，
，
三点的距
离满足
，求此时点
对应的数；
若
②
的取值与无关，求的最大值．
6．【知识背景】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，通过对数轴的研
究，我们发现了许多重要的规律：若数轴上点
、点
表示的数分别为
、
，则
，
两点之间的距离
，线段
的中点表示的数为
．如图，数轴上点
表示的数为
，点
表示的数为
．
【综合运用】
(1)填空：
，
两点间的距离
________，线段
的中点表示的数为________；
(2)若
为该数轴上的一点，且满足
，求点
所表示的数；
(3)若点
从点
出发，以每秒1 个单位长度的速度沿数轴向终点
匀速运动；同时点
从点
出发，以每
秒2 个单位长度的速度向左匀速运动，
到达
点后，再立即以同样的速度返回
点，当点
到达终点后，
、
两点都停止运动，设运动时间为秒（
）．
当
①
为何值时，
，
两点第一次重合？
当
②
为何值时，
，
两点间距离为？
7．如图
，已知数轴上点
①
A、O、B、C、D 表示的数分别为
、0、4、8、12，点P、Q 是数轴上的两个
动点，动点P 从点A 出发，以每秒2 个单位长度的速度沿着数轴的正方向运动，同时动点Q 从点D 出发，
以每秒1 个单位长度的速度沿着数轴的负方向运动，设运动的时间为t 秒．
(1)移动t 秒时，点P 在数轴上所表示的数为______，点Q 在数轴上所表示的数为______；（用含t 的式子
表示）
(2)当t 为何值时，P、Q 两点相距2 个单位长度；
(3)现将数轴在原点O 和点B、点C 处各折一下，得到如图
所示的一条“折线数轴”．动点
②
P 从点O 运动
到点B 速度为起始速度的一半，从B 点运动到C 点的速度为起始速度的2 倍，到达C 点之后立刻恢复起始
速度向终点D 运动；同时动点Q 一直以原速度向终点A 运动，其中一点到达终点时，两点都停止运动．当
t 为何值时，P、Q 两点相距2 个单位长度．
8．已知：点A、B、P 为数轴上三点，我们规定：点P 到点A 的距离是点P 到点B 的距离的k 倍，即
，则称P 是
的“k 倍点”，记作：
．例如：若点P 表示的数为0，点A 表示的数
为
，点B 表示的数为1，则P 是
的“2 倍点”，记作：
．
(1)如图，A、B、P 为数轴上三点，回答下面问题：
①
______；
若点
②
C 在数轴上且
，则点C 表示的数为______；
点
③
D 是数轴上一点，且
，求点D 所表示的数．
(2)数轴上，点E 表示的数为
，点F 表示的数为60，从某时刻开始，若点M 从原点O 出发向右在数轴
上做匀速直线运动，且M 的速度为5 单位/秒，设运动时间为t 秒
，当
时，请直接写出t
的值．
1．已知在纸面上有一数轴（如图所示），折叠纸面，若数轴上数1 对应的点与数
对应的点重合，则数
轴上数
对应的点与数2 对应的点重合．
根据你对折叠数轴的理解，解答下列问题：
已知数轴上
对应的点与数0 对应的点重合．
(1)数轴上数3 对应的点与数________对应的点重合；
(2)若点A 到原点的距离为5，且点A，B 经折叠后重合，则点B 表示的数为________；
(3)若数轴上M，N 两点之间的距离为2026，且点M，N 经折叠后重合，如果点M 表示的数比点N 表示的
数大，求点M，N 表示的数．
2．如图所示，在数轴上从左到右有点A，B，C，其中点A 到点B 的距离为3，点C 到点B 的距离为7，设
点A，B，C 所对应的数的和是m．三个动点P，Q，M 分别从点A，B，C 同时向数轴正方向运动，点P 与
点Q 的运动速度相同，都是每秒2 个单位长度，点M 的运动速度是每秒1 个单位长度，设运动的时间为t
秒，请回答下列问题：
(1)若以C 为原点，则m 的值是______；
(2)若点C 到原点的距离为4，6 秒后点P 表示的数为______；
(3)请求出当t 为何值时，
；
(4)在三个动点P，Q，M 的运动过程中，当这三个点其中一个点与另外两个点的距离相等时，不包括两点
重合时刻，请直接写出此时t 的值．
3．如图，将一条数轴在原点O 和点B 处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A 表示
，点B 表
示10，点C 表示18，我们称点A 和点C 在数轴上相距28 个长度单位．动点P 从点A 出发，以2 单位/秒的
速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点O 运动到点B 期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；
同时，动点Q 从点C 出发，以1 单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动，从点B 运动到点O 期间速度变为
原来的两倍，之后也立刻恢复原速．当点 P 到达点C 时，两点都停止运动．设运动时间为t．
(1)
秒时，点P 在“折线数轴”上所对应的数是 ；点Q 在“折线数轴”上所对应的数是 ；
(2)P，Q 两点相遇时，
秒；此时相遇点M 在“折线数轴”上所对应的数是 ；
(3)如果动点P、O 两点在数轴上相距的长度与Q、B 两点在数轴上相距的长度相等，请求出t 的值．
4．定义：对于数轴上一点
和一个非零常数
，若存在点
，使得点
到原点的距离是点
到原点距离的
倍，且
两点在原点两侧，我们就称点
是点
的“
倍对称点”．特别地，我们规定原点的“
倍
对称点”为原点．例如，数轴上表示
的点的“ 倍对称点”为表示的点，表示
的点的“
倍对称点”
为表示
的点．
已知数轴上点
表示的数为
，点
表示的数为
，点
从点
出发，以每秒
个单位长度的速度沿数轴
正方向运动，设运动时间为秒
．
(1)点
的“ 倍对称点”表示的数是___________；点
的“ 倍对称点”和点
之间的距离是___________．
(2)①点
表示的数是___________（用含的代数式表示）．
当
②
为何值时，点
的“
倍对称点”到点
的距离是
个单位长度．
(3)已知点
为点
的“
倍对称点”，点
为点
的“ 倍对称点”，那么在点
运动过程中，是否存在
某个或
的值，使得点
到原点的距离恰好等于它到点
的距离？若存在，求或
的值；若不存在，请
说明理由．
5．【阅读理解】
定义：如图，线段
上一点
将线段
分成两条线段
，
，若
或
，则称
点为线段
的“好点”．
（1）如图1，
，
是线段
的“好点”，且
，则
．
【迁移运用】
（2）如图2，点
，点
是数轴上两点，表示的数分别为
，，一动点
从
点出发，以每秒个单位
长度的速度沿数轴向右运动，运动时间为秒．
点
①
，
之间的距离是 个单位长度；
当点
②
是线段
的“好点”时，求t 的值；
若在点
③
出发的同时，点
从
点出发，以每秒
个单位长度的速度沿数轴向右运动，当点
运动到
点
时，两点同时停止运动．请直接写出点
，
，
三点中，其中一点是另外两个点确定的线段的“好
点”时的值．
