文档文本内容
第11 讲 代数式的概念与代数式的值
内容导航
01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向
02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理
03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解
题型1 代数式的概念
题型2 代数式书写格式
题型3 列代数式
题型4 代数式表示的实际意义
题型5 已知字母的值，求代数式的值
题型6 已知式子的值，求代数式的值
题型7 程序流程图与代数式求值
04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固
关键词
学习目标导航
代数式、列代数式、
代数式的值、数量关
系、书写规范、一般
性。
1. 理解代数式的概念，知道用运算符号把数或表示数的字母连接起来的式子
叫代数式。
2. 掌握代数式的书写规范（如乘号省略、除法写成分数形式等），能正确列
出代数式表示数量关系。
3. 理解代数式的值的意义，能将字母取值代入代数式并按运算顺序求出结
果。
4. 体会从特殊到一般（列代数式）和从一般到特殊（求代数式的值）的数学
思想，感受字母表示数的一般性。
学习重点：理解代数式的概念，掌握列代数式表示数量关系的方法，以及代数式值的求法。
学习难点：准确分析实际问题中的数量关系并正确列出代数式（特别是含括号、分数等形式），理解
同一代数式可表示不同实际意义，以及代数式求值时对负数、分数等代入需加括号的处理。
知｜识｜框｜架
知识点
01
代数式
1.定义：用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方等）把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数
式。单独的一个数或一个字母也是代数式。
注意：
①代数式中除了含有数、字母和运算符号外，还可以有括号；
②代数式中不含有“=、>、<、≠”等符号。等式和不等式都不是代数式，但等号和不等号两边的式子一
般都是代数式；
③代数式中的字母所表示的数必须要使这个代数式有意义，是实际问题的要符合实际问题的意义。
【易错提醒】
代数式易错警示：用运算符号（加、减、乘、除、乘方）连接数和字母的式子。注意：单独一个数或字母
也是代数式；含“=”“<”“>”的式子不是代数式（如方程、不等式）。运算顺序与括号不能漏。
即时即练1．下列式子中：2，2(x + y)，
，n
m，
，
，代数式有（ ）
A．3 个
B．4 个
C．5 个
D．6 个
【答案】B
【分析】本题主要考查了代数式，根据代数式的概念，用运算符号把数字与字母连接而成的式子叫做代数
式．单独的一个数或一个字母也是代数式．根据代数式的定义进行解答即可．
【详解】解：2 是代数式；
是代数式；
是代数式；
是代数式；
是不等式，不是代
数式；
是等式，不是代数式；
知｜识｜精｜讲
综上，代数式有4 个．
故选：B．
2．有下列式子：①2026；②
；③
；④1
t ；⑤
；⑥
；⑦
，其中代数式有
（ ）
A．
个
B．个
C．
个
D．个
【答案】C
【分析】本题考查代数式的判断，掌握用运算符号连接数或字母的式子叫代数式，单独的数或字母也是代
数式．依据代数式的定义：由运算符号连接数或字母的式子，或单独的数、字母，含有等号、不等号的式
子不是代数式，据此判断即可．
【详解】解：∵代数式是指用运算符号连接数或字母的式子，或单独的数、字母，含有等号、不等号的式
子不是代数式
∴①2026（单独的数）是代数式，
②2a（数与字母的乘积）是代数式，
④（数与字母的除法）是代数式，
⑦x
2（字母的乘方）是代数式，
③
（含等号，是方程）不是代数式，
⑤
（含等号，是公式）不是代数式，
⑥
（含不等号，是不等式）不是代数式，
综上，代数式有①②④⑦，共
个．
故选：C．
知识点
02
代数式的书写格式
①代数式中出现乘号，通常省略不写，如vt；
②数字与字母相乘时，数字应写在字母前面，如4a；
③带分数与字母相乘时，应先把带分数化成假分数，如
应写作
；
④数字与数字相乘，一般仍用“×”号，即“×”号不省略；
⑤在代数式中出现除法运算时，一般写成分数的形式，如4÷（a-4）应写作
；注意：分数线具有
“÷”号和括号的双重作用。
⑥在表示和（或）差的代数式后有单位名称的，则必须把代数式括起来，再将单位名称写在式子的后面，
如a2-b2平方米。
【易错提醒】
代数式书写格式易错警示：数字与字母相乘，数字在前（如3a）；带分数要化假分数；除法写成分数；单
位要加括号（如(a+b)元）。乘号可省略或写“·”，但数字与数字间不可省略。
即时即练1．以下代数式书写规范的是（ ）
A．
B．
C．
D．
厘米
【答案】B
【分析】根据代数式书写要求逐一判断选项即可．
【详解】解：A．书写
时，应当省略，故该选项不符合书写规范，不符合题意；
B．
符合书写规范，符合题意；
C．书写
时，系数不能用带分数，需化为假分数，故该选项不符合书写规范，不符合题意；
D．书写
时，“÷”号应写为分数线的形式，即
厘米，故该选项不符合书写规范，不符合题意．
2．有下列五个式子：①
；②
；③
（
不等于0）；④
；⑤−n；其中不符合代数式
的书写格式的有（ ）个
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【分析】本题考查代数式的书写规范，关键是掌握代数式书写的核心规则：数字与字母相乘时数字需写在
字母前面，带分数要化为假分数；除法运算需写成分数形式，不能用“÷”；系数为
时可简化为“-字
母”的形式．
【详解】解：对于①
：代数式中数字因数应写在字母因数的前面，正确写法为
或
，
故①不符合书写格式；
对于②
：该式为分数形式，分子是多项式，符合代数式书写格式；
对于③
：代数式中除法运算需写成分数形式，正确写法为
，故③不符合书写格式；
对于④
：带分数与字母相乘时，应将带分数化为假分数，正确写法为
，故④不符合书写格式；
对于⑤−n：系数为
时，可直接写为−n，符合代数式书写格式．
综上，不符合书写格式的有①③④，共3 个．
故选：C．
知识点
03
代数式的值
1.整体思想：就是从问题的整体性质出发，把某些式子看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目
的、有意识的整体处理．
2.根据条件进行求值时，我们可以根据条件的结构特征，合理变形，构造出条件中含有的模型，然后整体
代入，从整体上把握解的方向和策略，从而使复杂问题简单化．
【易错提醒】
代数式求值易错警示：代入数值时需用括号（如x=-2 代入x2得 (-2)2）。负数代入时特别注意平方及乘方
符号。先化简再代入更简便，但需保证化简正确，且代数式有意义（如分母不为0）。
即时即练1．当
时，求下列代数式的值：
(1)
；
(2)
．
【答案】(1)
(2)1
【分析】（1）代入计算即可求解；
（2）代入计算即可求解．
【详解】（1）解：当
时，
原式
；
（2）解：当
时，
原式
=1；
2．【阅读理解】
已知代数式
的值为9，求代数式
的值．
小明采用的方法如下：
解：由题意得，
．
则有，
．
所以
=9．
所以代数式
的值为9．
【方法运用】
（1）若
，则代数式
的值为_____；
（2）若代数式x
2+ x +1的值为12，求代数式
的值；
【拓展应用】
（3）若
，求代数式
的值．
【答案】（1）1；（2）2003；（3）−4
【分析】本题考查了代数式求值，添括号的应用，整体代入是解题的关键；
（1）直接利用整体代入计算即可；
（2）先由
可得
，由
可得
，然后整体代入计算即
可；
（3）先由
可化为
，然后把
，
代入计算即可．
【详解】解：（1）∵
，
∴
．
（2）∵
∴
，
∴
；
（3）∵
，
，
∴
．
题型1 代数式的概念
【例1】在
，
，
，
，
，
，
中，代数式有（ ）
A．7 个
B．6 个
C．5 个
D．4 个
【答案】D
【分析】本题主要考查了代数式的定义，熟练掌握“代数式是由数字、字母和运算符号组成，不含等号或
不等号”是解题的关键．
先明确代数式的定义，再逐个判断所给式子是否符合代数式的特征，统计符合条件的数量，从而选出正确
答案．
【详解】解：∵π 是常数，属于代数式，
∵
是方程，不是代数式，
∵
是分式，属于代数式，
∵y >2是不等式，不是代数式，
∵
是单项式，属于代数式，
∵
是多项式，属于代数式，
∵
是不等式，不是代数式，
∴代数式有π、
、
、
，共4 个，
故选：D．
【例2】下列各式中，代数式的个数是（ ）
①
；②
③
；④
；⑤
；⑥a；⑦
；⑧
．
A．5
B．6
C．7
D．8
【答案】C
【分析】本题主要考查了代数式的定义，熟练掌握代数式的概念，能区分代数式与等式是解题的关键．
先明确代数式的定义，再逐一判断每个式子是否符合定义，统计符合条件的式子数量，从而得出答案．
【详解】解：∵代数式的定义为：用运算符号把数字与字母连接而成的式子，单独的一个数或一个字母也
是代数式，等式不是代数式，
∴①
是代数式，
②
是代数式，
③
是等式，不是代数式，
④
是代数式，
⑤
是代数式，
⑥
是代数式，
⑦
是代数式，
⑧
是代数式，
∴符合代数式定义的共7 个，
故选：C．
【技巧归纳】
代数式由数、字母和运算符号组成，不含等号或不等号。判断时注意：单独一个数或字母也是代数式。含
关系符号（=、<、>）的不是。列代数式时，关键词“和差积商”对应运算顺序，括号表示优先。
【变式1-1】下列式子：①1；②2a；③
；④1
t ；⑤
；⑥
，其中代数式有（ ）
A．2 个
B．3 个
C．4 个
D．5 个
【答案】B
【分析】本题考查代数式的判断，代数式是指用运算符号连接数或字母的式子，或单独的数或字母；含有
等号或不等号的式子不是代数式，据此进行判断即可．
【详解】解：①1；②2a；③
；④1
t ；⑤
；⑥
中，①②④为代数式；③⑤⑥中的
式子含有等号或不等号，不是代数式；
故选B．
【变式1-2】下列式子：①1；②
；③
；④1
t ；⑤
，其中代数式有（ ）
A．2 个
B．3 个
C．4 个
D．5 个
【答案】B
【分析】本题考查了代数式的概念，正确理解代数式的概念是关键．根据代数式的定义（由数字、字母和
运算符号组成，不包含等号或不等号），判断每个式子是否为代数式即可．
【详解】解：① 1 是数字，是代数式；
②
是数字与字母的乘积，是代数式；
③
含有等号，是方程，不是代数式；
④1
t 是除法运算，是代数式；
⑤
含有不等号，是不等式，不是代数式；
代数式有①②④，共3 个．
故选：B．
题型2 代数式书写格式
【例3】下列各式中，书写格式正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．ab×5
【答案】B
【分析】本题考查代数式的书写规范，代数式书写需遵循以下规则：数字与数字相乘，不能将乘号简写为·；
带分数与字母相乘，需先化为假分数；数字与字母相乘时，数字写在字母前，字母与字母相乘可省略乘号．
掌握代数式的基本书写规则即可判断出正误，得到答案．
【详解】解：A 选项
是数字与数字相乘，乘号简写错误，不符合书写要求．
B 选项mn是字母与字母相乘，省略乘号，书写格式正确，符合要求．
C 选项
带分数未化为假分数，书写错误，不符合要求．
D 选项
数字未写在字母前，书写错误，不符合要求．
【例4】下列代数式书写正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】解：选项A 的书写符合代数式书写规范，选项A 正确；
选项B 中，除法运算应写成分数形式，正确书写为
，故B 不符合要求；
选项C 中，数字因数应写在字母前面，正确书写为
，故C 不符合要求；
选项D 中，字母与字母相乘，乘号应省略，正确书写为
，故D 不符合要求.
【技巧归纳】
数字与字母相乘时数字在前（如3a），字母间乘号可省略或记“·”，除号用分数形式。带分数须化为假
分数。相同字母相乘写幂，如a ²。单位括号加在式子后，如(a+b)米。注意运算顺序。
【变式2-1】有下列各式：①
；②
；③
米；④
；⑤
；⑥
．其中，不符合代
数式书写规范要求的有（ ）
A．2 个
B．3 个
C．4 个
D．5 个
【答案】D
【分析】本题考查了代数式的书写，代数式写法规则为：数与字母相乘时，数写在字母的前面，数字是带
分数的化为假分数或小数，除号用分数线表示，代数式不含单位；据此解答即可．
【详解】解： ①
中使用了“ ”号，不符合规范；
②
中数字1 未省略，不符合规范；
③
米，代数式中含有单位，不符合规范；
④
书写正确；
⑤
中使用了除号，不符合规范；
⑥
中使用了带分数，不符合规范，
∴不符合规范的有①②③⑤⑥，共5 个，
故选：D．
【变式2-2】有下列四个式子：
；其中不符合代数式的书写
格式的为（ ）
A．①③⑤
B．②③④
C．①③④
D．②④⑤
【答案】C
【分析】此题考查代数式的表示，熟练掌握代数式的书写要求是解题关键．
根据代数式的书写要求：（1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“ ”或者省略不写；（2）数字与字
母相乘时，数字要写在字母的前面；（3）在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写，带分
数要写成假分数的形式，判断各项．
【详解】解：
①
，数字因数写在前面，乘号可以省略不写，应写为
，不符合书写格式；
③
应写为
，不符合书写格式；
④
应写为
，不符合书写格式；
而②
和⑤−n符合书写格式；
不符合的是①③④，有3 个．
故选：C．
题型3 列代数式
【例5】一种商品的标价为
元，按标价的七折出售，则这件商品的售价是__________元．
【答案】
【分析】明确打折的含义，七折出售即按标价的
倍出售，据此列出代数式即可.
【详解】解：已知商品标价为
元，按标价的七折出售，
因此售价为
元.
【例6】列代数式表示“a 的相反数与b 的平方的差”是______．
【答案】
【分析】先得到
的相反数，再得到
的平方，最后计算两者的差即可.
【详解】解：
的相反数与
的平方的差为
.
【技巧归纳】
先找关键词：和、差、倍、分、倒数、平方等，确定运算顺序。用字母表示未知数，按语言描述的顺序列
式。注意“的”字结构：如“a 与b 的平方和”为a ²+b ²，“a 与b 的和的平方”为(a+b)²。区分。
【变式3-1】呼和浩特市某景点的成人票价是每张
元，儿童票价是每张18元．某旅行团有
名成人和
名儿童，则该旅行团应付门票费用总和为________元．
【答案】
【分析】利用“总价
单价数量”，分别求出成人总票价、儿童总票价，再相加得到门票总费用．
【详解】解：成人票单价30 元，一共
名成人，
成人门票费用：
元；
儿童票单价18 元，一共
名儿童，
儿童门票费用：
元；
总费用
成人费用
儿童费用，
应付门票费用总和为：
元．
【变式3-2】填空：
（1）已知操场环形跑道一圈长400 m，甲、乙两人同时同地出发，沿跑道同向跑步，甲的速度为
，
乙的速度为
，甲跑步超过乙一圈需_________s；
（2）巧克力糖的单价为每千克a 元，奶糖的单价为每千克b 元，将
巧克力糖和
奶糖混合，这样得
到的混合糖的平均单价是每千克_________元．
【答案】
【分析】（1）本题是同向追及行程问题，甲超过乙一圈时，两人的路程差为环形跑道一圈的长度400 m，
根据时间等于路程差除以速度差可求解；
（2）本题考查混合糖平均单价的计算，先求出混合糖的总价和总质量，再根据平均单价等于总价除以总
质量可求解．
【详解】解：（1）设甲跑步超过乙一圈需要xs，根据题意，得：
，
解得
；
（2）根据题意，
巧克力糖的总价为
元，
奶糖的总价为
元，因此混合糖的总总价为
元，混合糖的总质量为
，
因此平均单价为
元每千克．
题型4 代数式表示的实际意义
【例7】已知一个足球的价格是a 元，则代数式“3a”表示的实际意义为_________．
【答案】3 个足球的总价格
【详解】解：已知一个足球的价格是a 元，则代数式“3a”表示的实际意义为3 个足球的总价格．
【例8】
的意义是
的平方与
的平方的和，那么(x−y)
2的意义是_____．
【答案】x 与y 的差的平方
【分析】本题考查了代数式的意义，根据代数表达式的定义，(x −y)
2 表示先计算
与
的差，再对该差
进行平方运算．
【详解】解：(x−y)
2的意义是x 与y 的差的平方
故答案为：x 与y 的差的平方．
【技巧归纳】
将代数式中字母替换为实际量，解释运算含义。如5x 表示单价5 元买x 个的总价；2(a+b)表示长方形周
长。注意单位要一致。可从运算关系（加减乘除）入手，赋予现实情境（行程、面积、总价等）。
【变式4-1】李老师买了3 个篮球，每个篮球
元，付给售货员258 元，且付的钱足够，
表示
______．
【答案】售货员找回李老师的钱数
【分析】本题考查代数式表示的意义，掌握知识点是解题的关键．
付给售货员的钱减去购买篮球的总价，即为找回的钱数
【详解】解：付给售货员258 元，购买3 个篮球每个x 元，总价为3 x元，因此
表示售货员找回李
老师的钱数．
故答案为：售货员找回李老师的钱数．
【变式4-2】某商场开展促销活动，促销方法是将原价为x 元的商品以
元的价格出售，请用恰当
的文字语言表达这次促销方法：_______________________
【答案】先降价15 元，再打8 折
【分析】本题主要考查了代数式的意义，根据表达式
，可知先执行减法运算
，再执行乘
法运算（乘以
），即先降价15 元，然后打8 折．
【详解】解：表达式
表示原价x 元先减去15 元，再乘以
（即打8 折），
因此用文字语言描述为“先降价15 元，再打8 折”．
故答案为：先降价15 元，再打8 折．
题型5 已知字母的值，求代数式的值
【例9】当x = 1
2，
时，求多项式
的值．
【答案】
【分析】直接把x = 1
2，
分别代入
计算，即可作答．
【详解】解：∵x = 1
2，
则
．
【例10】当
，
，
时求下列代数式的值：
(1)
；
(2)
．
【答案】(1)
(2)25
【分析】把
，
，
直接代入计算．
【详解】（1）解：当
，
，
时，
；
（2）当
，
，
时，
．
【技巧归纳】
直接将字母值代入代数式，按运算顺序计算。注意负数代入时加括号，如x=-2 时x ²=(-2)²=4。分数值代入
时先化简。若代数式含多个变量，对应代入。计算结果化为最简形式（分数、小数）。检查单位。
【变式5-1】已知
与
互为相反数，求
的值．
【答案】
【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、绝对值非负性、有理数的乘方运算
【分析】本题考查了相反数、绝对值的非负性、含乘方的有理数混合运算等知识点，熟练掌握各定义和运
算法则是解题关键．
先根据相反数的定义、绝对值的非负性可求出x、y 的值，再代入代数式运用含乘方的有理数混合运算法则
计算即可．
【详解】解：∵
与
互为相反数，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
．
【变式5-2】汪风家里购买了一套商品房，准备将地面铺上相同的瓷砖，地面结构如图，根据图中的数据
（单位：米），解答下列问题：
(1)用x、y 的代数式表示地面总面积；
(2)已知铺1 平方米地砖的平均费用为240 元，当
时，铺这一套商品房所需地砖的总费用为多少
元？
【答案】(1)
(2)21600 元
【知识点】列代数式、已知字母的值 ，求代数式的值
【分析】（1）首先求得各部分的面积，然后再相加即可；
（2）将x、y 的值代入所得代数式计算即可．
本题主要考查的是求代数式的值和列代数式，熟练掌握相关知识是解题的关键．
【详解】（1）解：客厅面积为
，卧室面积为
，厨房面积为
，卫生间面积为
．
故总面积
．
（2）解：当
时，
总费用为
（元）．
所以总费用为21600（元）．
题型6 已知式子的值，求代数式的值
【例11】数学中，运用整体思想在求代数式的值时非常重要．例如：已知
，则代数式
，
．请根据以上思想方法解答以下问题：
(1)若整式
的值是9，求整式
的值；
(2)若
，求
的值；
(3)当
时，多项式
的值是5，求当
时，多项式
的值．
【答案】(1)3
(2)5
(3)
【分析】本题考查了代数式求值，整体代入是解题的关键．
（1）由题意可以得到
，即可得解；
（2）将
的值代入代数式即可求解；
（3）由题意可以得到
的值，然后把原式变形为包含
的形式即可得解；
【详解】（1）解：
，
．
（2）解：
，
．
（3）解：∵当
时，多项式
的值是5，
∴
，
，
当
时，
．
【例12】【阅读理解】“整体思想”是中学数学解题思想中的一种重要思想，在整式的化简与求值中应用
极为广泛．例如：已知代数式x
2+ x +1的值为7，求代数式
的值．
小明采用的方法如下：
解：由题意得
，则有
，
所以
，
所以代数式
的值为9．
【方法运用】
（1）若代数式
的值为5，求代数式
的值．
（2）若代数式
的值为13，求代数式
的值．
【拓展应用】（3）若
，
，求代数式
的值．
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【分析】本题考查整式的化简求值，涉及整式运算、整体代入求值等知识，熟练掌握整式运算及整体代入
思想是解决问题的关键．
（1）利用整体代入思想，化简求值即可得到答案；
（2）利用整体代入思想，化简求值即可得到答案；
（3）将所求代数式变形为
，然后整体代入求解即可得到答案．
【详解】解：（1）
，
，
；
（2）
，
，
；
（3）
，
．
【技巧归纳】
利用整体代入法：将已知式子看作整体，变形所求代数式使其出现该整体。如已知a+b=3，求
2a+2b-1=2(a+b)-1=5。注意恒等变形技巧：乘除、提公因式、添项拆项配凑。避免先求单个字母。
【变式6-1】【阅读材料】已知
，求代数式
的值．
小普同学在做作业时采用的方法如下：
由题意
，所以代数式
的值为5．
【学以致用】
(1)当
，求代数式
的值是______；
(2)当
时，求代数式
的值是______；
(3)当
，
时，求代数式
的值．
【答案】(1)5
(2)4
(3)2
【分析】此题考查了求代数式的值．
（1）把原式变形后整体代入即可；
（2）由
得到
，把原式变形后整体代入即可；
（3）把已知条件整体代入
即可求出答案．
【详解】（1）解：
，
；
（2）解：
，
，
；
（3）解：
，
，
．
【变式6-2】“整体思想”是数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用较为广泛．
如图所示是老师安排的作业题．
代数式
的值为7，求代数式
的值．
【阅读理解】小明在做作业时采用的方法如下：因为
，所以
，所以
，所以代数式
的值为5．
【方法运用】
（1）若代数式
的值为15，求代数式
的值；
（2）当
时，代数式
的值为
，求当x =−8时，代数式
的值；
【拓展应用】
（3）当
时，代数式
的值为
，求当
时，代数式
的值．
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【分析】本题考查了整体代入求值，准确计算是解题的关键．
（1）根据
，整体代入，即可求解；
（2）先将
代入得出
，再根据
，整体代入，即可求解；
（3）先将
代入得出
，再根据
，整体代入，即可求解．
【详解】解：（1）∵
，
∴
，
∴
；
（2）当
时，
，
∴
，
∴当x =−8时，代数式
；
（3）当
时，
，
∴
，
∴当
时，代数式
．
题型7 程序流程图与代数式求值
【例13】根据如图所示的程序计算函数
的值，若输入
的值是
，则输出
的值为_____．
【答案】
【分析】观察程序计算图，根据输入
的值，找出
与
的关系式，将其
值代入即可求出答案，计算过
程需要注意的是有理数的加减法法则（减一个数等于加上这个数的相反数；同号两数相加，取相同的符号
并将绝对值相加）．
【详解】解：
输入
的值是
，
将
代入
中，
．
【例14】按图所示的程序计算，若开始输入的值为
，则最后输出的结果是_____．
【答案】
【分析】从
开始，依次计算
并判断是否大于
，不满足则重复代入，直到结果大于
时输出．
【详解】解：输入
，则
，
，返回输入；
输入
，则
，
，返回输入；
输入
，则
，
，输出结果．
按下面的程序计算：
【技巧归纳】
按流程图顺序代入计算，从输入开始执行每个运算框，遇到分支判断选择路径。注意循环结构需重复计
算，可列表追踪各变量值。最终输出即为所求代数式的值。理解流程中每一步的运算含义。
【变式7-1】如图所示，在这个运算程序中，若开始输入x 的值为2，结果输出的是1，将第1 次输出的结
果1，再次输入运算程序，进行第2 次运算，结果输出的是
，…则第2026 次输出的结果是________．
【答案】
【分析】本题考查流程图与数字类规律，理解题意并写出前几次结果寻找规律是解题关键．
先按题干所给的流程图计算出前几次结果，归纳总结出规律．
【详解】解：根据题意和运算程序可以计算出前几次的输出结果如下：
第一次输出的结果为1，
第二次输出的结果为
，
第三次输出的结果为
，
第四次输出的结果为
，
第五次输出的结果为
，
第六次输出的结果为
，
…，
发现规律：从第二次输出结果开始，以
，
，
依次循环出现，
∵
，
∴第2026 次输出的结果是
．
故答案为：
．
【变式7-2】按下面的程序计算：
如果输入x 的值是正整数，输出结果是150，那么满足条件的x 的值为 ．
【答案】
或10 或3
【知识点】程序流程图与代数式求值
【分析】本题考查了一元一次方程的解法．解答本题的关键就是弄清楚题图给出的计算程序．注意可反复
输入．
由程序图，可以得到输出结果和x 的关系：输出结果
，当输出结果是150 时，可求出x 的值．若计
算结果与x 的值相等且
时，需重新确定输入新的数值，反复直到x 不能满足正整数为止．
【详解】解：当
时，
；
当
时，
；
当
时，
；
当
时，x 不是正整数，不合题意．
即当
或10 或3 时，输出的结果都是150．
故答案为：
或10 或3．
一、单选题
1．代数式
的意义可以是（ ）
A．
与
的和
B．
与
的差
C．
与
的积
D．
与
的商
【答案】C
【详解】解：代数式
的意义可以是
与
的积.
2．下列各式中：①
；②(a−b)÷ c；③
人；④
；⑤
．其中符合代数式书写要求的个数
有( )
A．3 个
B．2 个
C．1 个
D．0 个
【答案】C
【详解】解：①带分数作字母系数时，必须化为假分数，因此
不符合要求；
②代数式中除法运算需要写成分数形式，不能直接使用除号，因此(a−b)÷ c不符合要求；
③加减形式的代数式带单位时，需要给整体代数式加括号，因此
人不符合要求；
④数字与数字相乘不能使用点乘，必须用乘号连接，因此
不符合要求；
⑤2.5a
2b符合代数式的书写要求．
∴符合书写要求的式子共1 个，故选C．
3．若
，则
的值是（ ）
A．5
B．1
C．
D．
【答案】D
【详解】解：∵
，
∴
．
4．某校开展知识竞赛活动．答对1 题加
分，答错1 题扣1 分．小明答对3 道题，答错2 道题，则小明的
得分可以表示为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据题目给出的计分规则，分别计算答对题的总得分和答错题扣除的分数，再作差即可得到小明
的总得分．
【详解】解：∵答对1 题加
分，小明答对3 道题，
∴答对题的总得分是
分，
又∵答错1 题扣1 分，小明答错2 道题，
∴答错题一共扣除
分，
∴小明的总得分为
分．
5．数学家欧拉最先把关于x 的多项式用符号
表示，并把当
时的多项式
的值用
表示．
对于多项式
，若
，则
的值等于（ ）
A．6
B．
C．7
D．
【答案】B
【分析】先根据
求出
的值，再代入
计算即可得到结果．
【详解】解：∵
，
∴
，
∴
．
二、填空题
6．若
，则
的值是________．
【答案】
【分析】根据绝对值与有理数乘方的非负性，求出
和
的值，再代入所求代数式计算即可．
【详解】解：
，
，且
，
，
，
可得：
，
，
解得：
，
，
将
，
代入
，
可得：
．
7．某精品手办打八折销售，已知原价为300 元/件，则小明购买
件该商品需要__________元．
【答案】
【详解】解：每件手办现价为
（元），购买
件，总价为
（元）．
8．若a，b 互为相反数，则
______，
_______．
【答案】
10
【分析】先根据相反数的定义求出
，再整体代入计算，并根据绝对值解答．
【详解】解：∵a，b 互为相反数，
∴
，
所以
；
．
9．如图是一个运算程序，若开始输入x 的值为25，则第2025 次输出的结果为__________．
【答案】5
【分析】根据运算程序图可知输出结果按5 和1 一循环，然后问题可求解．
【详解】解：由运算程序图可知：
第一次输出结果为
，第二次输出结果为
，第三次输出结果为
，第四次输出结果为
，…..；由此可知：输出结果按5 和1 一循环，
∵
，
∴第2025 次输出的结果为5．
10．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方将明文加密为密文传输给接收方，接收方收到密文后解密
还原为明文，已知某种加密规则为明文
，
对应的密文为
，
．例如：明文1，2 对应的密文
是
，4，当明文是2，5 时，密文应是______，______．
【答案】
9
【分析】根据给定的加密规则，将明文的值代入对应密文计算即可．
【详解】解：由题意得，明文
，
，将
，
代入加密规则得：
第一个密文：
，
第二个密文：
．
三、解答题
11．请用代数式表示：
(1)a 减去b 的差与c 的积．
(2)x，y 两数和的平方减去它们差的平方．
(3)a 的3 倍与b 的和．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了列代数式，理解题意，是解题的关键．
（1）a 和b 的差表示为
，然后与c 的积表示为
；
（2）x 和y 的和表示为
，其平方为
；x 和y 的差表示为
，其平方为
，然后相减；
（3）a 的3 倍表示为
，与b 的和表示为
．
【详解】（1）解：a 减去b 的差与c 的积可表示为：
．
（2）解：x，y 两数和的平方减去它们差的平方可表示为：
；
（3）解：a 的3 倍与b 的和可表示为：
．
12．如图，长方形的长为
，宽为
．现以长方形的四个顶点为圆心，宽的一半为半径在四个角上分别画
出四分之一圆．
(1)用含
，
的代数式表示图中阴影部分的面积；
(2)当
，
时，求图中阴影部分的面积．（
取）
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）长方形的面积减去四个
圆的面积即可求解，四个
圆的面积的和是一个整圆的面积；
（2）把
，
的值代入求解即可．
【详解】（1）解：根据题意知，阴影部分的面积为
；
（2）解：当
，
时，
阴影部分的面积为
．
13．已知若a、b 互为相反数，m 的绝对值为4．
(1)直接写出
，m 的值；
(2)求
的值．
【答案】(1)
，
(2)
【分析】（1）根据相反数的性质和绝对值的意义即可求出对应值；
（2）将（1）中求出的值代入所求代数式，分类计算即可得到结果．
【详解】（1）解：∵a、b 互为相反数，
∴
，
∵m 的绝对值为4，
∴
；
（2）解：当
时，
；
当
时，
，
综上，原式的值为0．
14．如图，整数
，，
在数轴上分别对应点
，
，
，数轴上每个格代表一个单位长度．
(1)若
与
互为相反数，则
_______________；
(2)若
，求
的值；
(3)当原点在点
的左侧时，试说明：整数
，，
的和除以3 所得的余数一定是2．
【答案】(1)
(2)
(3)见解析
【分析】（1）根据“
与
互为相反数”找出原点的位置即可求出的值；
（2）根据的值找到原点的位置，再根据离原点的距离和位置确定
的值求解；
（3）根据“数轴上点的位置
右边点表示的数
两点之间的距离”，用将
的值表示出来进行求解．
【详解】（1）解：∵
与
互为相反数，
∴它们之间的中点位置为原点，即往右侧平移1 个单位为原点，
∴
；
（2）解：当
时，往右移动2 个单位长度是原点，
在原点的右侧，且距原点2 个单位长度，
∴
，
在原点的左侧，且距原点4 个单位长度，
∴
，
∴
；
（3）解：当原点在点
的左侧时，
为负整数，
，均为正整数，
，
，
，
为正整数，
除以3 余数是2，
即整数
，
，的和除以3 所得的余数一定是2．
15．在学习代数式的值时，介绍了计算程序：用“
”表示数据输入、输出框；用“
”表示数
据处理和运算框；用“
”表示数据判断框（根据条件决定执行两条路径中的某一条）．
(1)
如图
，当输入
时，输出
；
如图
，第一个运算框“
”内应填 ；第二个运算
框“
”内应填 ．
(2)
如图
，当输入
时，输出
；
如图
，当输出
时，输入的值
．
(3)为鼓励节约用水，政府决定对用水实行“阶梯价”：当每月用水量不超过
（含
）时，以
元
的
价格收费；当每月用水量超过
时，超过部分以元
的价格收费．请设计出一个“计算程序”，使得输
入数为每月用水量
，输出数为水费
．
【答案】(1)
；
，
(2)
；42 或
(3)见解析
【分析】本题考查了代数式求值，有理数的混合运算，理解题意是解决本题的关键．
（1）①由图1 列出关系式
，将
代入计算即可求出值；
②根据
即可得到
处的结果；
（2）①将
代入计算得到结果为
大于
，将
代入计算得到结果为
大于
，将
代入计算得到结果为
小于
，输出即可；
②分两种情况考虑：当
大于
时，
即可得到
的值；
小于
时，根据
开方求出负数
的值；
（3）因为当每月用水量不超过15 吨时（含15 吨），以2 元/吨的价格收费；当每月用水量超过15 吨时，
超过部分以元/吨的价格收费，所以水费收缴分两种情况，
和
，分别计算，则可以设计计算程
序如详解所示．
【详解】（1）解：①
；
②∵
，
∴先给
乘，然后再给输出结果减，即可得到
，
∴应填
、
；
故答案为：
，
，
；
（2）解：①当
时，
，
∵
，
∴继续运算，
，
∵
，
∴继续运算，
∴
，
∵
，
∴输出，则
；
②若
，则
，解得
，
若
，则
，解得
（正值舍去），
即输入的值
或
，
故答案为：
或
；
（3）解：设计如框图如图：
16．有这样一道题“如果代数式
的值为
，那么代数式
的值是多少？”爱动脑
筋的小伟的解题过程如下：
原式
小伟把
作为一个整体求解．整体思想是中学数学解题中的一种重要思想方法，请仿照上面的解题方
法，完成下面问题：
(1)已知
，求代数式
的值；
(2)已知
，求代数式
的值；
(3)已知
，
，求代数式
的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】此题考查了整式的加减——化简求值．
（1）利用整体代入的思想代入计算即可；
（
）首先把整式去括号，合并同类项进行化简，然后利用整体思想代入计算即可；
（）整体代入计算即可．
【详解】（1）解：∵
，
∴
，
故答案为：
；
（2）解：∵
，
∴
；
（3）解：∵
，
，
∴
．
