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第06 讲平方根
内容导航
01 预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向
02 教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理
03 题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解
题型1 平方根概念理解
题型2 求一个数的平方根
题型3 已知一个数的平方根，求这个数
题型4 平方根中的数值转换器问题
题型5 利用平方根解方程
题型6 求代数式的平方根
题型7 算术平方根与平方根综合问题
04 过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固
关键词
学习目标导航
平方根、±
、开
平方、正负两个、负
数无平方根。
1. 理解平方根的概念，知道正数有两个平方根（互为相反数），0 的平方根是0，
负数没有平方根。
2. 掌握平方根的符号表示（±
），能区分平方根与算术平方根的联系与区别。
3. 能求出一个非负数的平方根，并正确书写解题过程。
4. 经历平方根概念的形成过程，体会从特殊到一般、分类讨论的数学思想。
学习重点：平方根的概念及求法，平方根与算术平方根的区别与联系。
学习难点：理解负数没有平方根的原因，以及正确书写和区分“ �”与“± �”的意义。
知｜识｜框｜架
知｜识｜精｜讲
知识点01 平方根
（1）定义:一般地，如果一个正数x 的平方根等于a,即：
2
,
x
a
那么数x 就叫做a 的平方根，记作
a
，
读作“正负根号a”,
（2）表示方法：一个数a（a≧0）的平方根记作
a
(a≧0)，读作根号a,“正负根号a”,
（3）性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0 只有一个平方根，是它本身，负数没有平方根。
【易错提醒】
正数平方根有两个( ±
�)，互为相反数；0 的平方根是0；负数没有平方根。注意区分平方根与算术平方根，
解题时勿漏负根。
即时即练1.用式子表示“9 的平方根等于3
”正确的是（
）
A．9
3
B．9
3
C．9
3
D．
9
3
2.下列说法正确的是（
）
A．4
是16 的平方根
B．0 没有平方根
C．25 的平方根是5
D．
49
7
3.求下列各数的平方根：
(1)81；
(2) 25
121；
(3)1.69；
(4)
2
2 49 ；
(5)
2
1
2 4
；
(6)
4
1
10
知识点02
开平方
（1）定义:求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方，a 叫做被开方数；
（2）
2
2(
0)
a
a
a
与(
）
的性质：
（1）
2
(
0),
0 (
0),
(
0).
a a
a
a
a
a a
（2）
2
(
)
(
0)
a
a a
（3）
2
2)
a
a
与(
的区别与联系
区别：取值范围不同：
2
a 中a 为任意实数；
2
a
中a
0
；
被开方数不同：
2
a 中被开方数为
2
a ；
2
a
中被开方数为a；
运算顺序不同：
2
a 先平方再开方；
2
a
先开方再平方。
联系：
2
a 结果为非负数；
2
a
中a≧0 时，
2
a =
2
a
【易错提醒】
求一个数的平方根( ±
�)时，正数有两个互为相反数，勿只写正根；0 的平方根是0；负数没有平方根，勿
开方。
即时即练1.解决下列问题：
(1)已知m 是17
1
的整数部分，
3
n
，求
54
mn
的平方根；
(2)已知实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，化简
3
2
3
1
1
a
b
a
b
．
题型1 平方根概念理解
【例1】下列哪个数没有平方根（
）
A．1.21
B．4
C．0
D．
2
2
【例2】下列说法正确的是（
）
A．0 的平方根是0
B．4 的平方根是2
C．负数有2 个平方根
D．正数只有1个平方根
【技巧归纳】
1. 定义：若x2 = a，则x 是a 的平方根，记作±
�。
2. 双重性：正数有两相反平方根；0 的平方根是0；负数无平方根。
3. 区别：�是算术平方根（非负），−
�是其相反数。
【变式1-1】下列说法中，正确的是（
）
A．
4 的平方根是2
B．
2
3
的算术平方根是3
C．0 的平方根与算术平方根都是0
D．带根号的数都是无理数
【变式1-2】下列说法：
①
5 是5 的一个平方根；
②
2
( 3)
-
的算术平方根是－3；
③
4 的平方根是2
；
④0 的平方根是0．
其中错误说法的个数是（
）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
题型2 求一个数的平方根
【例3】81
16 的平方根是
．
【例4】化简：
4
＝
．
【技巧归纳】
求平方根的关键是找到平方后等于该数的值。正数有两个互为相反数的平方根，0 的平方根是0，负数没有
平方根。计算时先判断符号，再分解质因数简化根式，结果用根号或小数表示。
【变式2-1】16 的平方根是
；2 的算术平方根是
．
【变式2-2】求下列各数的平方根及算术平方根：
(1)0.36 ；
(2) 25
16 ；
(3)
2
7
8
；
(4)
4
10 ．
题型3 已知一个数的平方根，求这个数
【例5】已知一个正数的两个不同的平方根分别是2
1
a 和3
4
a ，则这个正数是
．
【例6】一个数的两个平方根分别是2
1
a 与
2
a
，则这个数是
．
【技巧归纳】
已知平方根求原数，直接将平方根平方即可。注意正数有两个相反平方根，平方后得同一数。若给出的是
算术平方根，平方得原数；若为负数平方根，平方后同样得正数。勿忘0 的情况。
【变式3-1】若3
7
a
和
3
a是某正数m 的两个平方根，则这个正数m 为
．
【变式3-2】若一个正数的两个平方根分别是
6
m
和2
15
m
，则
3
7
m
的值是
．
题型4 平方根中的数值转换器问题
【例7】按如图所示的程序计算，若开始输入的值为25，则最后输出的y 值是（
）
A．
5
B．
5
C．5
D．5
【例8】按如图所示的程序计算，若开始输入的x 的值为9，则最后输出的y 值是______．
【技巧归纳】
数值转换器问题：明确输入运算顺序，依次求出平方根或算术平方根。注意平方根通常取非负，多个输出
时考虑正负。若反求输入，则逆向运算并将结果平方。留意定义域，负数无实数平方根。
【变式4-1】如图，是一个数值转换器，原理如图所示．
(1)当输入的x 值为16 时，求输出的y 值；
(2)是否存在输入的x 值后，始终输不出y 值？如果存在，请直接写出所有满足要求的x 值；如果不存在，
请说明理由．
(3)输入一个两位数x，恰好经过两次取算术平方根才能输出无理数，则x ．
【变式4-2】有一个数值转换器，运算流程如下：
(1)在1
，2，4，16 中选择3 个合适的数分别输入x ，求对应输出y 的值．
(2)若输出y 的值为
3
，求输入x 的值．
题型5 利用平方根解方程
【例9】解方程：
2
1
81
x
【例10】解方程：
2
1
4
0
x
．
【技巧归纳】
解形如x2 = a 的方程：先判断a 的正负，a<0 无实数解；a=0 得x=0；a>0 得x=±
�。注意将方程化为标
准形式，系数为分数时先化简，勿忘正负解。
【变式5-1】解方程：
2
48
3
2
0
x
【变式5-2】解方程：
2
4 2
1
36
x
．
解：
2
2
1
9
x
2
1
3
x
．．．．．．第一步
2
4
x
．．．．．．第二步
2
x
．．．．．．第三步
(1)以上解方程的过程中从第___________步开始出现错误，错误的原因是___________．
(2)请写出正确的解方程过程．
题型6 求代数式的平方根
【例11】若a 是
90 的整数部分，b 是
3 的小数部分．则
3
1
a
b
的平方根是
．
【例12】若
2
8
0
x
y
|，则
xy 的平方根为
．
【技巧归纳】
求代数式的平方根，先确保代数式非负，再将其视为整体开平方，结果用± 表示。若含未知数，需讨论其
范围以保证被开方数非负，并化简根号内的完全平方项，注意绝对值处理。
【变式6-1】已知实数x，y 满足
3
3
2
y
x
x
，则xy 的平方根为
．
【变式6-2】已知实数a ，b ，c 满足：
2
5
4
3
0
a
b
c
，求：
(1) a ，b ，c 的值．
(2) a
b
c
的平方根．
题型7 算术平方根与平方根综合问题
【例13】已知2
1
a 的平方根是3
，
3
1
a
b
的算术平方根是4．
(1)求a、b 的值；
(2)求
5
ab
的平方根．
【例14】已知3
3
a 的平方根为3
，
2
a
b 的算术平方根为4 ．
(1)求a
b
，的值；
(2)求
3
b
a
的平方根．
【技巧归纳】
区分算术平方根（非负）与平方根（互为相反数）。已知平方根求原数用平方，已知算术平方根则直接平
方。解方程时注意是否要求正负，避免遗漏或增根。被开方数需非负，此为隐含条件。
【变式7-1】已知一个正数m 的两个平方根分别是2
1
n + 和4
3n
．
(1)求m 和n 的值；
(2)若
2
4
0
a
b
c
n
，求a
b
c
的算术平方根．
【变式7-2】已知一个正数m 的两个平方根分别是3
a
和2
1
a ．
(1)求m 和a 的值；
(2)若2
1
b 的立方根为5
，求
1
2 a
b
的平方根．
一、单选题
1．下列结论中，正确的是（）
A．4
- 的平方根是2
B．0 没有平方根
C．1 的算术平方根是1
D．9 的平方根是3
2．下列语句中，正确的是（
）
A．
16
的平方根是4
B．16 的平方根是4
C．16 的算术平方根是2
D．16 的算术平方根是2
3．若一个正数的两个平方根是2
1
a 和
8
a ，则这个正数是（
）
A．3
B．6
C．9
D．25
4．一个自然数的一个平方根是a，则与它相邻的下一个自然数的平方根是（
）
A．
1
a
B．
1
a
C．
2
1
a
D．
2
1
a
5．若19 介于两个连续的整数a 和b 之间（a
b
），则a
b
的平方根是（
）
A．3
B．3
C．4
D．4
二、填空题
6．
3
27
_________，
2
( 6)
的算术平方根为_________，
81 的平方根为_________．
7．已知一个正数的两个平方根分别是
1
a 和10
2a
，则a 的算术平方根是_____．
8．实数a 、 b 满足
2
5
0
a
b
∣
∣
，则2a
b
的平方根是________．
9．实数a，b 在数轴上对应点A，B 的位置如图，化简
2
2
|
|
(
)
a
b
b
a
b
=_________．
10．已知3
1
y 和3 3
2y
的值互为相反数，且3
21
x
的平方根是它本身，则x
y
的平方根为_______．
三、解答题
11．利用平方根的意义求下列各式中的x ．
(1)
2
16
0
x
；
(2)
2
3
1
147
x
．
12．已知2
1
a
的算术平方根是3，3
1
a
b
的平方根是4
，c 是13 的整数部分，求
2
a
b
c
的平方
根．
13．已知一个正数x 的两个平方根分别是2
1
a 和
4
a
，
25
1
b
．
(1)求a 和x 的值；
(2)求
2
a
b 的平方根．
14．已知一个正数m 的两个不相等的平方根是
6
a
与2
9
a
．
(1)求a 和正数m 的值；
(2)求关于x 的方程
2
2
16
0
a x
的解．
15．如图，有一只蚂蚁从点B 沿数轴向左爬了2 个单位长度到达点A，若点B 表示数
3 ，设点A 所表示的
数为m ．
(1)实数m 的值是________；
(2)求
2
2
1
m
m
的值．
(3)在数轴上还有
,
C D 两点分别表示实数c 和d ，且有2
4
c
与
4
d
互为相反数，e 是13 的整数部分，求
2
2
3
c
d
e
的平方根
