文档文本内容
第05 讲算术平方根
内容导航
01 预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向
02 教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理
03 题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解
题型1 算术平方根概念理解
题型2 求一个数的算术平方根
题型3 算术平方根中的数值转换器问题
题型4 利用算术平方根的非负性解题
题型5 求算术平方根的整数部分和小数部分
题型6 利用算术平方根的性质化简
题型7 与算术平方根有关的规律探索题
题型8 算术平方根的实际应用
04 过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固
关键词
学习目标导航
算术平方根、
、
双重非负性、被开
方数、估算、逼近。
1. 理解算术平方根的概念，能说出一个非负数的算术平方根的含义。
2. 掌握算术平方根的符号表示（
），能正确读、写并计算完全平方数的算术
平方根。
3. 理解算术平方根的双重非负性（被开方数≥0，结果≥0），并能运用它解决问
题。
4. 能估算无理数算术平方根（如2）的大致范围，培养数感和逼近思想。
学习重点：算术平方根的概念、符号表示及其双重非负性。
学习难点：理解算术平方根的双重非负性（特别是被开方数为非负数），以及估算无理数算术平方根
的大小。
知｜识｜框｜架
知｜识｜精｜讲
知识点01 算术平方根
（1）定义：一般地，如果一个正数x 的平方根等于a,即：
2
,
x
a
那么这个正数x 就叫做a 的算术平方根，
记作
a ，读作“根号a”,
（2）表示方法：非负数a 的算术平方根记作
a ，读作根号a,
（3）性质：①正数只有一个算术平方根，并且恒为正；②0 的算术平方根为0，即
0
0
；③负数没有
算术平方根，当式子
a 有意义时，a 一定是一个非负数。
【易错提醒】
a 表示a 的算术平方根，结果非负。注意：�2=|a|，勿直接写成a。0 的算术平方根是0，负数没有算术
平方根。
即时即练1.下列各数没有算术平方根的是（
）
A．0
B．
2
3
C．
3
2
D．
1
2
2.4 的算术平方根是
．
3.计算
36 的结果为
．
4.探究发散：
(1)完成下列填空①
23
3
，②
2
0.5
0.5
，③
2
6
___________．
④
2
0
0
，⑤
2
3
3
4
4
，⑥
2
1
3
___________．
(2)根据上述计算结果，若a
b
，则
2
a
b
___________．
(3)利用你发现的规律完成下题：有理数, ,
a b c 在数轴上的位置如图所示．
化简：
2
b
c
a
b
a
c
题型1 算术平方根概念理解
【例1】下列说法正确的是（
）
A．25 表示25 的算术平方根
B．
2
表示2 的算术平方根
C．2 的算术平方根记作
2
D．2 是2 的算术平方根
【例2】算术平方根是它本身的数是（
）
A．0 和1
B．1 和1
C．2 和2
D．0 和1
【技巧归纳】
1. 定义：非负数a 的算术平方根
�是非负的平方根（�≥0）。
2. 双重非负：a ≥0 且
�≥0。
3. 运算：�)2 = a，�2 = |a|（不能直接等于a）。
【变式1-1】如果2
6a
有算术平方根，那么a 可以取的值为（
）
A．3
B．2
C．1
D．0
【变式1-2】下列说法正确的有（）
①任何数都有算术平方根；②一个数的算术平方根一定是正数；③
2
a 的算术平方根是a；④
2
4
的算术平
方根是4
；⑤算术平方根不可能是负数．
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
题型2 求一个数的算术平方根
【例3】16
49 的算术平方根是
．
【例4】0.09 的算术平方根是
．
【技巧归纳】
1. 分解质因数：将数分解，成对因子提出根号外。
2. 先看完全平方：如0,1,4,9 直接写根。
3. 分数开方：分子分母分别开方。
4. 非负数范围：结果≥0，负数无算术平方根。
【变式2-1】
9
4
的算术平方根是
．
【变式2-2】若2
1
x 的算术平方根是5，则x ____________．
题型3 算术平方根中的数值转换器问题
【例5】一个数值转换器的原理如图．当输入的x 为64 时，输出的y 是（
）
A．8
B．18
C．12
D．8
【例6】有一个数值转换器，原理如图所示，当输入x 的值为81 时，输出y 的值是_______________．
【技巧归纳】
1. 明确运算顺序：先输入\(x\)，按流程计算（如平方、取反、加常数）。
2. 列方程：已知输出值，逆向倒推或列方程求输入值。
3. 注意非负：算术平方根输出非负，输出负数时无解或换路径。
【变式3-1】有一个数值转换器，原理如图所示，当输入x 的值为16 时，输出y 的值为_________
【变式3-2】根据图所示的程序计算，若输入x 的值为64，则输出结果为_____．
题型4 利用算术平方根的非负性解题
【例7】已知x ，y 为实数，且
2
1
0
x
y
，则
xy 的值为
．
【例8】已知有理数a ，b 满足
1
3
0
a
a
b
，则
2025
a
b
．
【技巧归纳】
1. 非负性：�≥0，且a ≥0。
2. 常见题型：多个非负式（如
�+ |b| + c2 = 0）和为零，则每项为零。
3. 列方程：利用非负性求参数值或解范围。注意被开方数非负。
【变式4-1】若a
b
c
，，是
ABC
的三边，且
2
8
(
15)
17
0
a
b
c
，则
ABC
的面积为
．
【变式4-2】若实数x，y，z 满足
2
4
2
2
0
x
y
z
，则xyz 的算术平方根是______．
题型5 求算术平方根的整数部分和小数部分
【例9】若设4
3
的整数部分为a ，则a 的值为
．
【例10】
3 的整数部分是a，小数部分是b，则a
b
的值是
．
【技巧归纳】
1. 找整数部分：找到两个相邻整数n、n+1，使n2 ≤a < (n+1)2，则整数部分为n。
2. 小数部分：小数部分=
�- n。
3. 注意范围：a 非负，小数部分在[0,1)内。
【变式5-1】已知：m 、n 为两个连续的整数，且
10
m
n
，则m
n
．
【变式5-2】已知x，y 满足等式
2
1
0,
x
y
m
是
5 的小数部分，则
xy
m
的值为__________
题型6 利用算术平方根的性质化简
【例11】实数a 在数轴上的位置如图所示，则化简
2
2
a
a
的结果为
．
【例12】已知实数a
b
c
，，在数轴上的位置如图所示，化简：
2
2
2
3
a
b
b
c
a
c
．
【技巧归纳】
1. 公式：�2 = |a|\)，结合a 的符号去绝对值。
2. 拆积：��= �∙
�(a,b≥0)。
3. 拆商：
�
�=
�
�(a≥0,b>0)。
4. 化为最简：被开方数不含能开得尽方的因子。
【变式6-1】（1）计算
23
；
2
( 6)
；
2
1
(
)
2
；
2
0
（2）根据（1）中的计算结果可知，
2
a __________．
（3）利用上述规律计算：实数a 、b 在数轴上的位置，化简
2
2
2
a
b
a
b
．
【变式6-2】探究以下问题：
(1)【特例探究】
25 _______，
2
0 _______，
2
( 6)
______．
(2)【规律总结】
对于实数a，当
0
a
时，
2
a _______，当
0
a
时，
2
a ______．
(3)【学以致用】
计算：
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
2
3
2
4
3
2026
2025
．
题型7 与算术平方根有关的规律探索题
【例13】观察下表，并解决问题．
a
0.0004
0.04
4
400
40000
a
0.02
0.2
2
20
200
(1)根据上表，可以得到被开方数和它的算术平方根之间的小数点的变化规律：若被开方数的小数点向右（或
向左）移动两位，则它的算术平方根的小数点就相应地向右（或向左）移动______位．
(2)已知
0.2
0.4472
，
2
1.414
，则
20 ______．
(3)根据上述探究过程类比研究一个数的立方根，已知3 0.3
0.6694
，3 3
1.442
，3 30
3.107
，则
3 300 ______．
【例14】观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律：
(1)观察算式规律，计算5 9
4
＝；16
20
4
＝．
(2)用含正整数n 的式子表示上述算式的规律：．
(3)计算：1 5
4
2 6
4
3 7
4
4 8
4
2021 2025
4
．
【技巧归纳】
1. 计算前几项：化简算术平方根，观察结果整数部分、小数变化。
2. 找递推：看相邻项差或比，猜想含n 的通项公式。
3. 验证与推广：代入首项验证，用平方或根式性质证明规律。
【变式7-1】（1）填表：
m
0
0.000001
0.0001
0.01
1
100
10000
m
0
0.001
______
0.1
1
______
100
（2）规律归纳：
①若正数m 的小数点向左（或右）移动______位，则
m 的小数点就相应地______移动______位；
②当
1
m 时，若正数m 越大，则
m 也越大．
（3）尝试运用：已知169
13
，
1300
m
，求m 的值；
（4）灵活应用：当
0
m
时，比较
m 和m 的大小．
【变式7-2】数学活动课上，老师出示了一组题，阅读下列解题过程，探求规律：
5
9
3
1
4
4
2
，
7
16
4
1
9
9
3
，
9
25
5
1 16
16
4
；…
实践探究：
(1)按照此规律，计算：
11
1
25
；
17
1
64
；
(2)计算：
5
7
9
21
1
1
1
1
4
9
16
100
；
迁移应用：
(3)若
2
2025
1
x
n
符合上述规律，请直接写出x 的值：．
题型8 算术平方根的实际应用
【例15】天气晴朗时，一个人能看到大海的最远距离s（单位：千米）可用公式
2
125
8
s
h
来估计，其中h
（单位：米）是眼睛离海平面的高度．
(1)如果小天站在岸边观察，当眼睛离海平面的高度是1.6 米时，能看到多远？
(2)若小天登上岸边的一个观望台A，已知小天眼睛离观望台地面的高度是1.6米，他想看到距离岸边大约10
千米处的一个货轮B，则观望台至少离海平面高多少米才可以看得见？
【例16】在综合实践课上，某同学用一根铁丝围成了一个面积为
2
400cm 的正方形框架，该同学计划用同样
长的一根铁丝围一个面积为
2
300cm 的长方形框架，且长与宽的比为5:3．
(1)求正方形框架的边长．
(2)该同学能围出这个长方形框架吗？请通过计算说明你的判断．
【技巧归纳】
1. 建模：将实际问题转化为算术平方根表达式（如面积求边长）。
2. 计算近似值：用估算或计算器求值，结果符合实际精度。
3. 取正值：算术平方根非负，舍去负值，注意单位统一。
【变式8-1】小悦和小涵利用当地一座高楼探究小球的下落时间和下落高度之间的关系．
实验一：小悦从80 米高处释放小球，记录小球下落时间1t ；
实验二：小涵从20 米高处释放小球，记录小球下落时间2t ．
已知一个物体从高处自由下落时，下落高度h（米）和下落时间t（秒）可以用公式
5
h
t
来表示．
(1)请利用公式，求1t 的值．
(2)实验后，小涵对小悦说：“我记录的时间2t 刚好是你记录的时间1t 的一半．”小悦说：“你一定是记录错了．”
两位同学谁的说法正确？请通过计算说明理由．
【变式8-2】综合与实践
(1)【问题发现】：如图1，把两个边长为1 的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4 个直角三角形拼在
一起，就可以得到一个大正方形，所得到的大正方形的边长为_____．
(2)【知识迁移】：爱钻研的小思同学受到启发，尝试用两个同样大小的长方形拼出一个正方形．如图2，
将两个长和宽分别为3 和2 的长方形沿对角线剪开，将所得到的4 个直角三角形拼出了一个中间有一个镂
空小正方形的大正方形，所得到的小正方形EFGH 的边长为_____；大正方形ABCD 的面积为_____；长方
形的对角线长为_____．
(3)【拓展延伸】：小明同学想用一块面积为
2
14cm 的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为
2
12cm 的长
方形纸片，使它的长与宽之比为2 :1．小思同学思考了一下说：“这可办不到哦！”小明反驳说：“用面积大
的纸片，肯定能裁出面积小的纸片！”请通过计算说明他们谁说得对．
一、单选题
1．4 的算术平方根是（
）
A．2
B．2
C．4
D．4
2．估计19
2
的值在（
）
A．1 和2 之间
B．2 和3 之间
C．3 和4 之间
D．4 和5 之间
3．若
2
1
35
0
a
b
，则a
b
的值是（
）
A．6
B．6
C．
34
D．
34
4．已知,x y 满足等式
2
1
0
x
y
，m 是
5 的小数部分，则
xy
m
的值为（
）
A．3
5
B．1
5
C．1
D．3
5．利用计算器计算出的下表中各数的算术平方根如下：
…
0.0625
0.625
6.25
62.5
625
6250
62500
…
…
0.25
0.7906
2.5
7.906
25
79.06
250
…
根据以上规律，若1.69
1.30
，16.9
4.11
，169
13.0
，则1690 （
）
A．130
B．1300
C．41.1
D．411
二、填空题
6．计算：
2
5
________．
7．若
1
28
n
n
，其中n 为正整数，则n _______．
8．实数a，b 在数轴上的位置如图所示，化简
2
a
b
b
的结果是______．
9．若x ，y 为实数，且满足
3
6
0
x
x
y
，则
2026
x
y
的值是____________．
10．若3
5
的整数部分是a，3
5
的整数部分是b，则a
b
的值为________．
三、解答题
11．计算求值
(1)计算：
2026
1
16
3
2
；
(2)求x 的值：
2
2
1
8
0
x
．
12．若实数,a b 满足
4
3
0
a
b
．
(1)求a 和b 的值；
(2)求
2
2
a
b
的算术平方根．
13．实数a ，b 在数轴上的位置如图所示：
(1)比较大小：a ________0，a
b
________0，b
a
________0；
(2)化简
2
2
a
a
b
b
a
．
14．如图，用两个边长为18cm的小正方形纸片剪拼成一个大正方形．
(1)求大正方形的边长；
(2)若沿着这个大正方形纸片边的方向裁剪，能否裁得一个长宽之比为3: 2 且面积为
2
12cm 的长方形纸片，若
能，求出裁得的长方形纸片的长和宽；若不能，请说明理由．
15．根据下表回答下列问题：
x
14
14.1
14.2
14.3
14.4
14.5
14.6
14.7
14.8
14.9
x²
196
198.81
201.64
204.49
207.36
210.25
213.16
216.09
219.04
222.01
(1)
213.16 _______，
20736 __________，0.020164 __________
(2)
22000 与哪个整数最接近？求
2.1 的近似值（结果精确到0.01）；
(3)若143
144
n
，则满足条件的整数n 有__________个．
16．【观察思考】观察下列等式特征，探索规律．
第①个等式：
4 9
36
6
2 3
；
第②个等式：9 16
144
12
3 4
；
第③个等式：16 25
400
20
4 5
；
第④个等式：
25 36
900
30
5 6
；
．．．
【规律发现】
(1)计算：
36 49
；100 121
；
(2)若
2
2
(
1)
210
a
a
，则正整数a
；
【规律应用】
(3)根据上述等式规律，化简：
1
1
1
4 9
9 16
16 25
81 100
1
．
