文档文本内容
第06 讲平方根
内容导航
01 预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向
02 教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理
03 题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解
题型1 平方根概念理解
题型2 求一个数的平方根
题型3 已知一个数的平方根，求这个数
题型4 平方根中的数值转换器问题
题型5 利用平方根解方程
题型6 求代数式的平方根
题型7 算术平方根与平方根综合问题
04 过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固
关键词
学习目标导航
平方根、±
、开
平方、正负两个、负
数无平方根。
1. 理解平方根的概念，知道正数有两个平方根（互为相反数），0 的平方根是0，
负数没有平方根。
2. 掌握平方根的符号表示（±
），能区分平方根与算术平方根的联系与区别。
3. 能求出一个非负数的平方根，并正确书写解题过程。
4. 经历平方根概念的形成过程，体会从特殊到一般、分类讨论的数学思想。
学习重点：平方根的概念及求法，平方根与算术平方根的区别与联系。
学习难点：理解负数没有平方根的原因，以及正确书写和区分“ �”与“± �”的意义。
知｜识｜框｜架
知｜识｜精｜讲
知识点01 平方根
（1）定义:一般地，如果一个正数x 的平方根等于a,即：
2
,
x
a
那么数x 就叫做a 的平方根，记作
a
，
读作“正负根号a”,
（2）表示方法：一个数a（a≧0）的平方根记作
a
(a≧0)，读作根号a,“正负根号a”,
（3）性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0 只有一个平方根，是它本身，负数没有平方根。
【易错提醒】
正数平方根有两个( ±
�)，互为相反数；0 的平方根是0；负数没有平方根。注意区分平方根与算术平方根，
解题时勿漏负根。
即时即练1.用式子表示“9 的平方根等于3
”正确的是（
）
A．9
3
B．9
3
C．9
3
D．
9
3
【答案】D
【知识点】平方根概念理解
【分析】本题考查了平方根，如果一个数x 的平方等于a，那么x 叫做a 的平方根；根据平方根的定义和表
示方法解答即可.
【详解】解：用式子表示“9 的平方根等于3
”为
9
3
；
故选：D.
2.下列说法正确的是（
）
A．4
是16 的平方根
B．0 没有平方根
C．25 的平方根是5
D．
49
7
【答案】A
【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的平方根、平方根概念理解
【分析】本题主要考查的是算术平方根和平方根，掌握相关定义和性质是解题的关键．依据平方根和算术
平方根的性质求解即可．
【详解】解：A．如果
2x
a
（
0
a
），那么x 叫做a 的平方根．因为
2
( 4)
16
，所以4
是16 的平方根，
该选项说法正确，符合题意；
B．因为
2
0
0
，所以0 的平方根是0 ，该选项说法错误，不符合题意；
C．因为
2
( 5)
25
，所以25 的平方根是5
，而不只是5，该选项说法错误，不符合题意；
D．
49 表示49 的算术平方根，算术平方根是非负的，因为
2
7
49
，所以
49
7
，而不是7
，该选项说
法错误，不符合题意．
故选：A．
3.求下列各数的平方根：
(1)81；
(2) 25
121；
(3)1.69；
(4)
2
2 49 ；
(5)
2
1
2 4
；
(6)
4
1
10
【答案】(1) 9
(2)
5
11
(3) 1.3
(4)
10
7
(5)
1
2 4
(6)
1
100
【知识点】求一个数的平方根
【分析】此题考查了求平方根．
（1）根据平方根的定义进行解答即可；
（2）根据平方根的定义进行解答即可；
（3）根据平方根的定义进行解答即可；
（4）根据平方根的定义进行解答即可；
（5）根据平方根的定义进行解答即可；
（6）根据平方根的定义进行解答即可．
【详解】（1）解：
2
( 9)
81
，
∴81 的平方根是9
．
（2）
2
5
25 ,
11
121
∴25
121的平方根是
5
11
．
（3）
2
( 1.3)
1.69
，
∴1.69 的平方根是1.3
．
（4）
2
10
2
2
,
7
49
∴
2
2 49 的平方根是
10
7
．
（5）
2
2
1
81
1
81
2
,
2
4
16
4
16
，
2
1
2 4
的平方根是
1
2 4
．
（6）
2
4
1
1
1 ,
100
10000
10
∴
4
1
10 的平方根是
1
100
．
知识点02
开平方
（1）定义:求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方，a 叫做被开方数；
（2）
2
2(
0)
a
a
a
与(
）
的性质：
（1）
2
(
0),
0 (
0),
(
0).
a a
a
a
a
a a
（2）
2
(
)
(
0)
a
a a
（3）
2
2)
a
a
与(
的区别与联系
区别：取值范围不同：
2
a 中a 为任意实数；
2
a
中a
0
；
被开方数不同：
2
a 中被开方数为
2
a ；
2
a
中被开方数为a；
运算顺序不同：
2
a 先平方再开方；
2
a
先开方再平方。
联系：
2
a 结果为非负数；
2
a
中a≧0 时，
2
a =
2
a
【易错提醒】
求一个数的平方根( ±
�)时，正数有两个互为相反数，勿只写正根；0 的平方根是0；负数没有平方根，勿
开方。
即时即练1.解决下列问题：
(1)已知m 是17
1
的整数部分，
3
n
，求
54
mn
的平方根；
(2)已知实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，化简
3
2
3
1
1
a
b
a
b
．
【答案】(1) 3
(2) 2
【分析】（1）先估算出17
1
的取值范围，求出m 的值；由于
3
n ，根据算术平方根的定义可求n，再
代入
54
mn
计算，进一步求平方根即可．
（2）利用数轴得出各项符号，进而利用算术平方根，立方根和绝对值的性质化简．
【详解】（1）解：∵16
17
25
，
∴4
17
5
，
∴3
17
1
4
，
∴
3
m
，
∵
3
n
，
∴
9
n
，
∴
54
3 9
54
9
mn
，
∴
54
mn
的平方根是3
；
（2）解：由数轴可得：1
0
1
a
b
，
则1
0,
0
b
a
b
，
则
3
2
3
1
1
a
b
a
b
1
1
a
b
a
b
2
．
题型1 平方根概念理解
【例1】下列哪个数没有平方根（
）
A．1.21
B．4
C．0
D．
2
2
【答案】B
【分析】本题考查了平方根的性质，理解并掌握“负数没有平方根”是解决问题的关键．根据平方根定义进行
求解即可．
【详解】解：
2
2
4
，4
0
，
∵负数没有平方根，
∴4
没有平方根．
故选：B．
【例2】下列说法正确的是（
）
A．0 的平方根是0
B．4 的平方根是2
C．负数有2 个平方根
D．正数只有1个平方根
【答案】A
【知识点】平方根概念理解
【分析】本题考查了平方根，根据平方根的性质即可求解，掌握平方根的性质是解题的关键．
【详解】解：A 、0 的平方根是0 ，该选项说法正确，符合题意；
B 、4 的平方根是2
，该选项说法错误，不合题意；
C 、负数没有平方根，该选项说法错误，不合题意；
D 、正数有2 个平方根，该选项说法错误，不合题意；
故选：A ．
【技巧归纳】
1. 定义：若x2 = a，则x 是a 的平方根，记作±
�。
2. 双重性：正数有两相反平方根；0 的平方根是0；负数无平方根。
3. 区别：�是算术平方根（非负），−
�是其相反数。
【变式1-1】下列说法中，正确的是（
）
A．
4 的平方根是2
B．
2
3
的算术平方根是3
C．0 的平方根与算术平方根都是0
D．带根号的数都是无理数
【答案】C
【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的平方根、无理数
【分析】本题考查了实数的相关概念，注意带根号的数不一定是无理数，负数没有平方根．
根据平方根、算术平方根及无理数的定义逐一判断选项即可解答．
【详解】解：A、
4 的平方根是
2
，故该选项错误；
B、
2
3
的算术平方根是3，故该选项错误；
C、0 的平方根与算术平方根都是0，故该选项正确；
D、带根号的数不一定都是无理数，如
4 ，故该选项错误．
故选C．
【变式1-2】下列说法：
①
5 是5 的一个平方根；
②
2
( 3)
-
的算术平方根是－3；
③
4 的平方根是2
；
④0 的平方根是0．
其中错误说法的个数是（
）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】B
【分析】本题主要考查了求一个数的平方根和算术平方根，解题的关键是熟练掌握求一个数的平方根和算
术平方根的定义．
逐一分析各说法是否正确，结合平方根和算术平方根的定义进行判断．
【详解】解：说法①：
5 是5 的一个平方根；
平方根的定义：若
2x
a
，则x 是a 的平方根，5 的平方根为
5
，其中
5 是正的平方根（即算术平方根），
因此，
5 确实是5 的一个平方根，①正确，不符合题意；
说法②：
2
3
的算术平方根是3
；
计算
2
3
9
，其算术平方根为
9
3
（算术平方根非负），题目中结果为3
，显然错误，②错误，符合
题意；
说法③：
4 的平方根是2
；
先计算
4
2
，再求2 的平方根为
2
，题目中结果为2
，与
2
不符，③错误，符合题意；
说法④：0 的平方根是0；
根据定义，0 的平方根仅有0 本身，④正确，不符合题意；
综上，错误的说法为②和③，共2 个，
故选：B．
题型2 求一个数的平方根
【例3】81
16 的平方根是
．
【答案】
9
4
【分析】本题考查求一个数的平方根，根据平方根的定义，进行求解即可．
【详解】解：81
16 的平方根是
9
4
，
故答案为：
9
4
．
【例4】化简：
4
＝
．
【答案】±2
【分析】根据平方根的定义即可解答．
【详解】±
4 ＝±2，
故答案为：±2．
【点睛】本题考查了平方根，解决本题的关键是熟记平方根的定义．
【技巧归纳】
求平方根的关键是找到平方后等于该数的值。正数有两个互为相反数的平方根，0 的平方根是0，负数没有
平方根。计算时先判断符号，再分解质因数简化根式，结果用根号或小数表示。
【变式2-1】16 的平方根是
；2 的算术平方根是
．
【答案】
4
2
【分析】根据平方根和算术平方根的定义即可得．
【详解】解：16 的平方根是4
，
2 的算术平方根是2 ，
故答案为：4
，2 ．
【变式2-2】求下列各数的平方根及算术平方根：
(1)0.36 ；
(2) 25
16 ；
(3)
2
7
8
；
(4)
4
10 ．
【答案】(1)平方根为0.6
，算术平方根为0.6 ；
(2)平方根为
5
4
，算术平方根为5
4 ；
(3)平方根为
7
8
，算术平方根为7
8
(4)平方根为100
，算术平方根为100
【分析】本题考查了平方根，算术平方根，熟练掌握平方根，算术平方根的性质是解题关键．
（1）根据平方根，算术平方根的性质，即可求解；
（2）根据平方根，算术平方根的性质，即可求解；
（3）根据平方根，算术平方根的性质，即可求解；
（4）根据平方根，算术平方根的性质，即可求解．
【详解】（1）解：0.36 的平方根为
0.36
0.6
，算术平方根为0.6 ；
（2）解：25
16 的平方根为
4
25
16
5
，算术平方根为5
4 ；
（3）解：
2
7
8
的平方根为
2
7
7
8
8
，算术平方根为7
8 ；
（4）解：
4
10 的平方根为
4
0
10
10
，算术平方根为100．
题型3 已知一个数的平方根，求这个数
【例5】已知一个正数的两个不同的平方根分别是2
1
a 和3
4
a ，则这个正数是
．
【答案】25
【分析】本题考查了平方根，根据一个正数有两个平方根，它们互为相反数，求出a 的值，从而得出这个
正数的两个平方根，即可得出这个正数，掌握一个正数有两个平方根，它们互为相反数是解题的关键．
【详解】解：由题意得，2
1 3
4
0
a
a
，
解得：
2
a
，
∴一个正数的两个不同的平方根为5
，
∴这个正数为25 ，
故答案为：25 ．
【例6】一个数的两个平方根分别是2
1
a 与
2
a
，则这个数是
．
【答案】9
【分析】本题考查了平方根的定义．
根据平方根的定义列方程求出a 的值，即可求出原数．
【详解】解：∵一个数的两个平方根分别是2
1
a 与
2
a
，
∴2
1
2
0
a
a
，
解得：
1
a ，
∴这个数是
2
2
2
1
2
1
9
a
，
故答案为：9．
【技巧归纳】
已知平方根求原数，直接将平方根平方即可。注意正数有两个相反平方根，平方后得同一数。若给出的是
算术平方根，平方得原数；若为负数平方根，平方后同样得正数。勿忘0 的情况。
【变式3-1】若3
7
a
和
3
a是某正数m 的两个平方根，则这个正数m 为
．
【答案】16
【分析】本题主要考查了平方根的定义，一元一次方程的求解，由3
7
a
和
3
a是某正数m 的两个平方根
得3
7
3
0
a
a
，求出a 的值，进而求出m 的值．
【详解】解：
3
7
a
和
3
a是某正数m 的两个平方根，
3
7
3
0
a
a
，
解得：
1
a ，
3
1
3
4
a
，
2
4
16
m
，
故答案为：16．
【变式3-2】若一个正数的两个平方根分别是
6
m
和2
15
m
，则
3
7
m
的值是
．
【答案】4
【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，平方根的概念，一个正数的两个平方根互为相反数，据
此可求出m 的值，再根据算术平方根的定义可得答案．
【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别是
6
m
和2
15
m
，
∴
6
2
15
0
m
m
解得
3
m
，
∴
3
7
3 3
7
16
4
m
．
故答案为：4．
题型4 平方根中的数值转换器问题
【例7】按如图所示的程序计算，若开始输入的值为25，则最后输出的y 值是（
）
A．
5
B．
5
C．5
D．5
【答案】B
【详解】解：25 的算术平方根为5，5 是有理数
取5 的平方根
5
，是无理数
输出y 值是
5
．
【例8】按如图所示的程序计算，若开始输入的x 的值为9，则最后输出的y 值是______．
【答案】
3
【分析】本题考查了实数的运算，根据运算程序运算即可得到结果，理解运算程序是解题的关键．
【详解】解：
9
3
，
∵3不是无理数，
∴最后输出的y 值为
3
，
故答案为：
3
．
【技巧归纳】
数值转换器问题：明确输入运算顺序，依次求出平方根或算术平方根。注意平方根通常取非负，多个输出
时考虑正负。若反求输入，则逆向运算并将结果平方。留意定义域，负数无实数平方根。
【变式4-1】如图，是一个数值转换器，原理如图所示．
(1)当输入的x 值为16 时，求输出的y 值；
(2)是否存在输入的x 值后，始终输不出y 值？如果存在，请直接写出所有满足要求的x 值；如果不存在，
请说明理由．
(3)输入一个两位数x，恰好经过两次取算术平方根才能输出无理数，则x ．
【答案】(1)
2
y
(2)存在，
0
x
或1
(3)25 或36 或49 或64
【分析】此题考查了算术平方根的计算和性质．
（1）按照程序依次计算即可得到答案；
（2）
0
x
或1 时，它们的算术平方根是本身，是有理数，不是无理数，负数没有算术平方根，据此即可进
行解答；
（3）根据平方根的性质进行解答即可．
【详解】（1）解：由题意可得，16
4
，
4
2
，
则
2
y
；
（2）解：存在，
当
0
x
或1，它们的算术平方根是本身，是有理数，不是无理数；负数没有算术平方根，
∴当
0
x
或1 时，始终输不出y 值，
综上所述，
0
x
或1；
（3）解：
2
2
5
25
x
或
2
2
36
6
x
或
2
2
49
7
x
或
2
2
64
8
x
．
则两位数
25
x
或36 或49 或64．
【变式4-2】有一个数值转换器，运算流程如下：
(1)在1
，2，4，16 中选择3 个合适的数分别输入x ，求对应输出y 的值．
(2)若输出y 的值为
3
，求输入x 的值．
【答案】(1)当
2
x
时，
2
y
；当
4
x
时，
2
y
；当
16
x
时，
2
y
(2)3 或9
【分析】（1）将
2
x
，4，16分别代入，计算求解即可；
（2）由题意知，分当
3
是无理数的相反数时，当
3
是有理数的负平方根时，两种情况求解作答即可．
【详解】（1）解：当
2
x
时，其算术平方根为2 ，是无理数，故
2
y
；
当
4
x
时，其算术平方根为2，是有理数，故
2
y
；
当
16
x
时，其算术平方根为4，是有理数，故
4
2
y
；
（2）解：当
3
是无理数的相反数时，则x 的算术平方根是
3 ，
∴
3
x
，
当
3
是有理数的负平方根时，则x 的算术平方根的负平方根是
3
，
∴
9
x
，
综上所述，x 的值为3 或9．
题型5 利用平方根解方程
【例9】解方程：
2
1
81
x
【答案】
1
8
x
，
2
10
x
【分析】根据平方根定义解方程即可．
【详解】解：∵
2
1
81
x
，
∴
1
9
x
解得：
1
2
8
10
x
x
，
．
【例10】解方程：
2
1
4
0
x
．
【答案】
1
3
x
，
2
1
x
【分析】直接利用平方根的定义解方程即可．
【详解】解：
2
1
4
x
，
1
2
x ，
1
3
x
，
2
1
x ．
【技巧归纳】
解形如x2 = a 的方程：先判断a 的正负，a<0 无实数解；a=0 得x=0；a>0 得x=±
�。注意将方程化为标
准形式，系数为分数时先化简，勿忘正负解。
【变式5-1】解方程：
2
48
3
2
0
x
【答案】
6
x
或
2
x ．
【分析】整理后，利用平方根的性质求解即可．
【详解】解：整理得
2
2
16
x
，
开方得
2
4
x
，
解得
6
x
或
2
x ．
【变式5-2】解方程：
2
4 2
1
36
x
．
解：
2
2
1
9
x
2
1
3
x
．．．．．．第一步
2
4
x
．．．．．．第二步
2
x
．．．．．．第三步
(1)以上解方程的过程中从第___________步开始出现错误，错误的原因是___________．
(2)请写出正确的解方程过程．
【答案】(1)一，求9的平方根出错
(2)见解析
【分析】（1）根据正数的平方根有两个，互为相反数，可知，第一步开方运算出错；
（2）利用平方根解方程即可．
【详解】（1）解：以上解方程的过程中从第一步开始出现错误，错误的原因是求9的平方根出错．
故答案为：一，求9的平方根出错；
（2）解：
2
4 2
1
36
x
，
∴
2
2
1
9
x
，
∴2
1
3
x
或2
1
3
x ，
∴2
4
x
或2
2
x ，
∴
2
x
或
1
x ．
题型6 求代数式的平方根
【例11】若a 是
90 的整数部分，b 是
3 的小数部分．则
3
1
a
b
的平方根是
．
【答案】3
/3 和3
/ 3
和3
【分析】根据
2
2
9
90
10
可得9
90
10
，即可得到
90 的整数部分是9，小数部分是
90
9
，即可求解．
【详解】解：∵
2
2
9
90
10
，
2
2
1
3
2
∴9
90
10
，1
3
2
,
∴
90 的整数部分是9，则
9
a
，
3 的小数部分是3 1
，则
3
1
b
，
∴
3
1
9
3
1
3
1
9
a
b
，
∴9 的平方根为3
．
故答案为：3
．
【例12】若
2
8
0
x
y
|，则
xy 的平方根为
．
【答案】2
【分析】此题考查了算术平方根和绝对值的非负性、平方根和算术平方根等知识，根据算术平方根和绝对
值的非负性得到
2
8
x
y
，
，先求出
xy ，再求出
xy 的平方根即可．
【详解】解：因为
2
8
0
x
y
，
2
0,
8
0
x
y
所以
2
x
0，
8
0
y
，
解得
2
8
x
y
，
，
所以
16
4
2
8
xy
，
所以
xy 的平方根为：
4
2
．
故答案为：2
．
【技巧归纳】
求代数式的平方根，先确保代数式非负，再将其视为整体开平方，结果用± 表示。若含未知数，需讨论其
范围以保证被开方数非负，并化简根号内的完全平方项，注意绝对值处理。
【变式6-1】已知实数x，y 满足
3
3
2
y
x
x
，则xy 的平方根为
．
【答案】
6
【分析】先利用被开方数有意义的条件
3
0
3
0
x
x
求出x 的值，代入后求y 的值即可求解．
【详解】解：由题意得：
3
0, 3
0
x
x
，
∴
3
0
3
0
x
x
，解得：
3
x
，
∴
2
y
，
∴
6
xy
，
∴xy 的平方根为
6
，
故答案为：
6
．
【变式6-2】已知实数a ，b ，c 满足：
2
5
4
3
0
a
b
c
，求：
(1) a ，b ，c 的值．
(2) a
b
c
的平方根．
【答案】(1)
5,
4,
3
a
b
c
(2) a
b
c
的平方根为2
【分析】本题主要考查偶次幂、绝对值及算术平方根的非负性、平方根，熟练掌握偶次幂、绝对值及算术
平方根的非负性是解题的关键；
（1）根据题意易得
2
5
0
4
0
3
0
a
b
c
，
，
，然后进行求解即可；
（2）根据（1）可得a
b
c
的值，然后根据平方根可进行求解．
【详解】（1）解：∵
2
5
4
3
0
a
b
c
，且
2
5
0
4
0
3
0
a
b
c
，
，
，
∴
2
5
0
4
0
3
0
a
b
c
，
，
，
解得：
5
4
3
a
b
c
，
，
；
（2）解：由（1）得：
5
4
3
a
b
c
，
，
，
∴
5
4
3
4
a
b
c
，
∴4 的平方根为2
，
即a
b
c
的平方根为2
．
题型7 算术平方根与平方根综合问题
【例13】已知2
1
a 的平方根是3
，
3
1
a
b
的算术平方根是4．
(1)求a、b 的值；
(2)求
5
ab
的平方根．
【答案】(1)a＝5，b＝4；
(2) 5
．
【分析】（1）根据平方根，算术平方根的定义，求解即可；
（2）根据平方根定义，求解即可．
【详解】（1）解：∵2
1
a 的平方根是3
，
3
1
a
b
的算术平方根是4．
∴2
1
9
a
，
3
1 16
a
b
，解得a＝5，b＝4．
（2）解：当a＝5，b＝4 时，ab+5＝25 ，而25 的平方根为
25
5
，
即ab+5 的平方根是5
．
【例14】已知3
3
a 的平方根为3
，
2
a
b 的算术平方根为4 ．
(1)求a
b
，的值；
(2)求
3
b
a
的平方根．
【答案】(1)
2,
7
a
b
(2) 1
【知识点】求一个数的平方根、已知一个数的平方根，求这个数、求一个数的算术平方根
【分析】本题考查了平方根，算术平方根，根据题意正确列式是解题的关键．
（1）由题得
2
3
3
3
a
，求出
2
a
，继而得到
2
2
2
4
b
，求出
7
b
；
（2）由
2,
7
a
b
得到
3
7
3 2
1
b
a
，再根据平方根的定义即可得到答案．
【详解】（1）解：3
3
a 的平方根为3
，
2
3
3
3
a
，
2
a
；
2
a
b 的算术平方根为4 ，
2
2
2
4
b
，
7
b
；
（2）解：
2,
7
a
b
，
3
7
3 2
1
b
a
，
3
b
a
的平方根为1
【技巧归纳】
区分算术平方根（非负）与平方根（互为相反数）。已知平方根求原数用平方，已知算术平方根则直接平
方。解方程时注意是否要求正负，避免遗漏或增根。被开方数需非负，此为隐含条件。
【变式7-1】已知一个正数m 的两个平方根分别是2
1
n + 和4
3n
．
(1)求m 和n 的值；
(2)若
2
4
0
a
b
c
n
，求a
b
c
的算术平方根．
【答案】(1)
121
m
，
5
n
(2)3
【知识点】利用算术平方根的非负性解题、已知一个数的平方根，求这个数、求一个数的算术平方根
【分析】本题主要考查平方根、算术平方根的非负性及立方根．
（1）根据平方根的意义可直接列方程求解；
（2）由绝对值、算术平方根、偶次幂的非负性可求出, ,
a b c 的值，然后代入求解即可．
【详解】（1）依题意得：2
1 4
3
0
n
n
，
解得：
5
n
，
2
2
1
121
m
n
；
（2）∵
2
4
0
a
b
c
n
∴
4
0,
0,
0
a
b
c
n
，
∴
4
0
5
a
b
c
n
，
，
，
9
a
b
c
，
9
的算术平方根为3．
【变式7-2】已知一个正数m 的两个平方根分别是3
a
和2
1
a ．
(1)求m 和a 的值；
(2)若2
1
b 的立方根为5
，求
1
2 a
b
的平方根．
【答案】(1)
4
a ，
49
m
(2) 8
【分析】（1）根据“一个正数的平方根互为相反数”可得3
2
1
0
a
a
，求解确定a 的值，然后计算m 的
值即可；
（2）首先根据立方根的定义确定b 的值，进而可得
1
2 a
b
的值，然后根据平方根的定义，即可获得答案．
【详解】（1）解：依题意，得3
2
1
0
a
a
，
解得：
4
a ，
2
2
3
3
4
49
m
a
；
（2）
2
1
b
的立方根是5
，
3
2
1
5
125
b
，
62
b
，
1
1
4
62
64
2
2
a
b
，且64 的平方根为8
，
∴
1
2 a
b
的平方根为8
．
一、单选题
1．下列结论中，正确的是（）
A．4
- 的平方根是2
B．0 没有平方根
C．1 的算术平方根是1
D．9 的平方根是3
【答案】C
【详解】解：根据平方根定义，负数没有平方根，∵4
是负数，∴4
没有平方根，故A 错误；
∵0 的平方根是0，∴0 有平方根，故B 错误；
1的算术平方根是1，符合算术平方根的定义，故C 正确；
9
3
，3的平方根是
3
，不是3
，故D 错误．
2．下列语句中，正确的是（
）
A．
16
的平方根是4
B．16 的平方根是4
C．16 的算术平方根是2
D．16 的算术平方根是2
【答案】D
【分析】根据算术平方根和平方根的定义逐一判断即可．
【详解】解：A、在实数范围内，负数没有算术平方根，即
16
无意义，原说法错误，不符合题意；
B、16
4
的平方根是2
，原说法错误，不符合题意；
C、16
4
的算术平方根是2，原说法错误，不符合题意；
D、16
4
的算术平方根是2，原说法正确，符合题意．
3．若一个正数的两个平方根是2
1
a 和
8
a ，则这个正数是（
）
A．3
B．6
C．9
D．25
【答案】D
【分析】根据一个正数的两个平方根是2
1
a 和
8
a ，可得
0
2
8
1
a
a
，从而得到
3
a
，即可求解．
【详解】解：∵一个正数的两个平方根是2
1
a 和
8
a ，
∴
0
2
8
1
a
a
，
解得：
3
a
，
∴这个正数是
2
2
2
1
5
25
a
．
4．一个自然数的一个平方根是a，则与它相邻的下一个自然数的平方根是（
）
A．
1
a
B．
1
a
C．
2
1
a
D．
2
1
a
【答案】D
【分析】本题考查平方根，以及已知一个数的平方根，求这个数，先用a 表示该自然数，然后再求出这个
自然数相邻的下一个自然数，进而得到其平方根．
【详解】解：由题意可知：该自然数为
2
a ，
该自然数相邻的下一个自然数为
2
1
a ，
2
1
a 的平方根为
2
1
a
．
故选：D．
5．若19 介于两个连续的整数a 和b 之间（a
b
），则a
b
的平方根是（
）
A．3
B．3
C．4
D．4
【答案】B
【分析】先估算无理数19 的范围，得到连续整数a 和b 的值，再计算a
b
，最后求出a
b
的平方根即可
得到答案．
【详解】∵16
19
25
，
∴
16
19
25
，即4
19
5
．
∵
19
a
b
，且a ，b 是连续整数，
∴
4
a
，
5
b
．
∴
4
5
9
a
b
．
∵9的平方根是3
，
∴a
b
的平方根是3
．
二、填空题
6．
3
27
_________，
2
( 6)
的算术平方根为_________，
81 的平方根为_________．
【答案】
3
6
3
【分析】本题依次根据立方根的定义，绝对值的性质.有理数乘方的意义，算术平方根的定义，平方根的定
义逐步计算，即可得到结果．
【详解】解：
3
27
3
3
；
∵
2
( 6)
36
，
36
6
，
∴
2
( 6)
的算术平方根为6；
∵
81
9
，9的平方根为3
；
∴
81 的平方根为3
．
7．已知一个正数的两个平方根分别是
1
a 和10
2a
，则a 的算术平方根是_____．
【答案】3
【分析】本题根据正数平方根的性质解题，正数的两个平方根互为相反数，据此列出方程求出a 的值，再计
算a 的算术平方根即可得到结果．
【详解】解：正数的两个平方根互为相反数
1
10
2
0
a
a
整理得
9
0
a
解得
9
a
9的算术平方根为3．
8．实数a 、 b 满足
2
5
0
a
b
∣
∣
，则2a
b
的平方根是________．
【答案】3
【分析】根据绝对值和算术平方根的非负数性质得出
2
a
，
5
b ，进而求出2a
b
的平方根即可．
【详解】解：∵实数a 、 b 满足
2
5
0
a
b
∣
∣
，
2
0
a
，
5
0
b
，
∴
2
0
a
，且
5
0
b
，
解得：
2
a
，
5
b ，
∴2
2
2
( 5)
9
a
b
，
∴2a
b
的平方根是3
．
9．实数a，b 在数轴上对应点A，B 的位置如图，化简
2
2
|
|
(
)
a
b
b
a
b
=_________．
【答案】-2a+b/b－2a
【分析】根据数轴得出b＜0＜a，|b|＞|a|，再根据算术平方根的性质和绝对值进行计算，最后合并同类项即
可．
【详解】解：∵从数轴可知：b＜0＜a，|b|＞|a|，
∴a+b＜0，a﹣b＞0，
∴
2
2
|
|
(
)
a
b
b
a
b
＝﹣（a+b）﹣|b|﹣|a﹣b|
＝﹣a﹣b+b﹣（a﹣b）
＝﹣a﹣b+b﹣a+b
＝﹣2a+b．
故答案为：﹣2a+b
10．已知3
1
y 和3 3
2y
的值互为相反数，且3
21
x
的平方根是它本身，则x
y
的平方根为_______．
【答案】3
【分析】根据相反数的性质得到两个立方根的等量关系，利用立方根的性质求出y 的值，再根据平方根的
定义求出x 的值，计算得到x
y
后，求其平方根即可．
【详解】解：∵3
1
y 和3 3
2y
互为相反数
3
3
1
3
2
0
y
y
3
3
1
3
2
y
y
3
3
3
3
1
3
2
y
y
1
3
2
y
y
解得
2
y
3
21
x
的平方根是它本身，平方根等于本身的数只有0 ，
3
21
0
x
解得
7.
x
7
2
9
x
y
∵9的平方根是3
x
y
的平方根为3
．
三、解答题
11．利用平方根的意义求下列各式中的x ．
(1)
2
16
0
x
；
(2)
2
3
1
147
x
．
【答案】(1)
4
x
或
4
x
(2)
8
x
或
6
x
【分析】本题主要考查平方根的定义，如果一个数x 的平方等于a ，即
2x
a
，那么x 叫做a 的平方根或二
次方根，一个正数有两个平方根，它们互为相反数：
（1）根据平方根的定义即可求得答案；
（2）根据平方根的定义即可求得答案．
【详解】（1）解：移项，得
2
16
x
根据平方根的定义，得
4
x
或
4
x ；
（2）解：系数化为1，得
2
1
49
x
根据平方根的意义，得
1
7
x
或
1
7
x
所以
8
x
或
6
x ．
12．已知2
1
a
的算术平方根是3，3
1
a
b
的平方根是4
，c 是13 的整数部分，求
2
a
b
c
的平方
根．
【答案】3
【分析】根据算术平方根的定义求出a 的值，再根据平方根的定义求出b 的值，估算出13 的取值范围求
出c 的值，进而求出
2
a
b
c
的值，最后根据平方根的定义可得答案．
【详解】解：∵2
1
a
的算术平方根是3，
∴
2
2
1
3
9
a
，
∴
5
a
，
∵3
1
a
b
的平方根是4
，
∴
2
3
1
4
16
a
b
，即3 5
1 16
b
，
∴
2
b
；
∵9
13
16
，
∴3
13
4
，
∴13 的整数部分为3，即
3
c ，
∴
2
5
2
2 3
9
a
b
c
，
∴
2
a
b
c
的平方根为
9
3
．
13．已知一个正数x 的两个平方根分别是2
1
a 和
4
a
，
25
1
b
．
(1)求a 和x 的值；
(2)求
2
a
b 的平方根．
【答案】(1)
1
a ，
9
x
(2) 3
【分析】（1）一个正数的两个平方根互为相反数，据此建立方程求出a 的值，进而求出x 的值即可；
（2）求出b 的值，进而求出
2
a
b 的值，再根据平方根的定义求解即可．
【详解】（1）解：∵一个正数x 的两个平方根分别是2
1
a 和
4
a
，
∴2
1
4
0
a
a
，
∴
1
a ，
∴
2
2
2
1
2 1 1
9
x
a
；
（2）解：∵
25
1
5 1
4
b
，
1
a ，
∴
2
4
9
a
b = 1+ 2
，
∴
2
a
b 的平方根为3
．
14．已知一个正数m 的两个不相等的平方根是
6
a
与2
9
a
．
(1)求a 和正数m 的值；
(2)求关于x 的方程
2
2
16
0
a x
的解．
【答案】(1)
1
a ，
49
m
(2)
6
x
或2
．
【分析】（1）由一个正数的两个平方根互为相反数求a 值，即可求解m ；
（2）将a 代入
2
2
16
0
a x
即可求解．
【详解】（1）解：由题意得，
6
2
9
0
a
a
，
解得
1
a ，
2
1
6
49
m
；
（2）解：当
1
a 时，
2
2
16
0
x
，
2
2
16
x
，
2
4
x
，
∴
6
x
或2
．
15．如图，有一只蚂蚁从点B 沿数轴向左爬了2 个单位长度到达点A，若点B 表示数
3 ，设点A 所表示的
数为m ．
(1)实数m 的值是________；
(2)求
2
2
1
m
m
的值．
(3)在数轴上还有
,
C D 两点分别表示实数c 和d ，且有2
4
c
与
4
d
互为相反数，e 是13 的整数部分，求
2
2
3
c
d
e
的平方根
【答案】(1) 3
2
(2)
3
2
(3)
17
【分析】（1）根据两点间的距离公式，直接右边的数减去距离即得左边的数；
（2）代入m 求值即可；
（3）根据非负数的性质，求得c，d 的值，根据无理数的估算，求出e 的值，再代入计算即可．
【详解】（1）解：有一只蚂蚁从点B 沿数轴向左爬了2 个单位长度到达点A，若点B 表示数
3 ，则点A
所表示的数为
3
2
m
．
（2）解：∵
3
2
m
，
∴
2
2
3
2
3
2
1
2
2
1
m
m
2
3
3
1
3
3
1
2
3
；
（3）解：∵2
4
c
与
4
d
互为相反数，
∴2
4
4
0
c
d
，
∵2
4
0
c
，
4
0
d
，
∴2
4
0
c
，
4
0
d
，
解得
2
c ，
4
d
，
∵3
13
4
，
∴
3
e
，
∴
2
2
7
2
2
2
3 4
3
4
2
3
1
9
1
c
d
e
，
∵17 的平方根是
17
，
∴
2
2
3
c
d
e
的平方根是
17
．
