预习讲义 第04 讲 三角形的内角（学生版）
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析教材·学知识
【知识点1 三角形的内角和】
1.三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°.
B
A
C
如图，在
ABC
△
中，
180
A
B
C
Ð + Ð
+ Ð
=
°．
注意：三角形内角和定理适用于所有三角形，三角形最多有三个锐角，最多有一个钝角，最多有一个直角.
2.三角形的内角和定理证明：主要运用平行线的性质，将三个内角“转移”集中到一个顶点处,合并成一个
角,再说明这个角是平角即可.
【知识点2 直角三角形的性质及判定】
1.性质：直角三角形的两个锐角互余.
表示：直角三角形可以用符号“Rt△”表示,直角三角形ABC 可以写成Rt△ABC.
2.判定：有两个角互余的三角形是直角三角形.
练题型·强知识
【题型1 与角平分线有关的角度计算】
【例1】如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷，𝐴𝐸分别为𝐵𝐶边上的高线和∠𝐵𝐴𝐶的角平分线，𝐷𝐹⊥𝐴𝐸于点F，当
∠𝐴𝐷𝐹= 69°，∠𝐶= 65°时，∠𝐵的度数为（ ）
A．21°
B．23°
C．25°
D．30°
【变式1-1】在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴=
1
2∠𝐵=
1
3∠𝐴𝐶𝐵，𝐶𝐷是△𝐴𝐵𝐶的高，𝐶𝐸是∠𝐴𝐶𝐵的角平分线，则∠𝐷𝐶𝐸= ．
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【变式1-2】如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 68°，∠1 = ∠2．若P 为△𝐴𝐵𝐶的角平分线𝐵𝑃，𝐶𝑃的交点，则
∠𝐵𝑃𝐶=
；若P 为△𝐴𝐵𝐶内一点，则∠𝐵𝑃𝐶=
．
【变式1-3】如图，在△ABC 中，AD⊥BC，CE 是△ABC 的角平分线，AD，CE 交于F 点，当∠BAC＝80°，
∠B＝40°时，求∠ACB、∠AEC、∠AFE 的度数．
【题型2 三角板中的角度计算】
【例2】如图，一把直尺的边缘𝐴𝐵经过一块三角板𝐷𝐶𝐵的直角顶点𝐵，交斜边𝐶𝐷于点𝐴，直尺的边缘𝐸𝐹分别
交𝐶𝐷，𝐵𝐷于点𝐸，𝐹，若∠𝐷= 60°，∠𝐴𝐵𝐶= 15°，则∠1的度数为（ ）
A．35°
B．45°
C．50°
D．55°
【变式2-1】两个直角三角板如图摆放，其中∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐵𝐷𝐸= 90°，∠𝐴= 45°，∠𝐸= 30°，若𝐶是𝐷𝐸上一点
且𝐴𝐶∥𝐵𝐷，则∠𝐴𝐵𝐸的大小为（ ）
A．50°
B．60°
C．75°
D．80°
【变式2-2】如图，将一副三角板放置在一组平行线内，其中∠𝐴𝐸𝐷= 45°，下列结论一定正确的是（ ）
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A．∠1 = 25°
B．∠2 = 50°
C．∠3 = 35°
D．∠4 = 75°
【变式2-3】如图所示，一副三角板叠放在一起，则图中∠𝛼等于
．
【题型3 与方向角有关的角度计算】
【例3】某哨兵在灯塔A 处观察到船只B 在灯塔的北偏西38°方向上，船只C 在灯塔的北偏东22°方向上，
船只B 上的人观察到船只C 在他的南偏东78°方向上，则∠𝐴𝐶𝐵的度数为（ ）
A．70°
B．80°
C．90°
D．100°
【变式3-1】如图，一艘轮船由海平面上𝐴地出发，要到𝐴地的北偏东60°方向的𝐶处，已知轮船先沿正东方
向行驶了100 海里到达𝐵地，再沿北偏东30°方向行进，恰能到达目的地𝐶，那么，𝐵、𝐶两地相距 海里．
【变式3-2】如图，点B 在点A 的西南方向，点C 在点A 的南偏东15°方向，点C 在B 的北偏东80°方向，
则∠𝐴𝐶𝐵=
．
【变式3-3】如图，是𝐴，𝐵，𝐶三个便民核酸采样点和小亮家（点𝐷）的平面图，已知𝐴，𝐵，𝐶三点在同一
条东西方向的路段上，𝐷在𝐴的北偏东50°方向，在𝐶的北偏西20°方向，且点𝐵到𝐴，𝐷两点的距离相等，试求
出从小亮家（点𝐷）观测检测点𝐵，𝐶两处的视角∠𝐵𝐷𝐶的度数．
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【题型4 与方向角有关的角度计算】
【例4】如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐵𝐶、∠𝐴𝐶𝐵的角平分线交于点𝑃，将△𝐴𝐵𝐶沿𝐷𝐸折叠使得点𝐴与点𝑃重合，
若∠1 + ∠2 = 80°，则∠𝐵𝑃𝐶的度数是（ ）
A．100°
B．110°
C．120°
D．130°
【变式4-1】如图，在三角形纸片𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴= 65°，∠𝐵= 75°，将纸片的一角折叠，使点𝐶落在△𝐴𝐵𝐶外
的点𝐶′处．若∠2 = 25°，则∠1的度数为（ ）
A．115°
B．100°
C．105°
D．95°
【变式4-2】如图，M，N 分别是△𝐴𝐵𝐶的边𝐴𝐵，𝐴𝐶上一点，将△𝐴𝐵𝐶沿𝑀𝑁折叠，使点A 落在边𝐵𝐶上，
若∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 = 235°，则∠𝐴= （ ）
A．35°
B．45°
C．65°
D．55°
【变式4-3】如图，△𝐴𝐵𝐶中∠𝐴= 30°，E 是𝐴𝐶边上的点，先将 △𝐴𝐵𝐸沿着𝐵𝐸翻折，翻折后△𝐴𝐵𝐸的𝐴𝐵
边交𝐴𝐶于点 D，又将△𝐵𝐶𝐷沿着𝐵𝐷翻折，C 点恰好落在𝐵𝐸上，此时 ∠𝐶𝐷𝐵= 84°，则△𝐴𝐵𝐶中
∠𝐴𝐵𝐶=
．
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【题型5 直角三角形的判定】
【例5】在下列条件中不能判定△𝐴𝐵𝐶为直角三角形的是（ ）
A．∠𝐴= 90°−∠𝐶
B．∠𝐴= ∠𝐵−∠𝐶
C．∠𝐴= 2∠𝐵= 3∠𝐶
D．∠𝐴= ∠𝐵=
1
2∠𝐶
【变式5-1】如图，在直角三角形𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 90°，下列条件能判定𝐷𝐸⊥𝐴𝐶的是（ ）
A．∠𝐴𝐵𝐸= ∠𝐶𝐵𝐸
B．∠𝐶𝐵𝐸= ∠𝐵𝐸𝐷
C．∠𝐴𝐷𝐸= ∠𝐵𝐸𝐶D．∠𝐴𝐵𝐸= ∠𝐷𝐸𝐵
【变式5-2】如图所示，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷是𝐵𝐶边上的高，点E 是𝐴𝐵上一点，𝐶𝐸交𝐴𝐷于点M，且
∠𝐷𝐶𝑀= ∠𝑀𝐴𝐸，求证△𝐴𝐶𝐸是直角三角形．
【变式5-3】如图，在Rt △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵𝐴𝐶= 90°，𝐵𝐷平分∠𝐴𝐵𝐶，且∠𝐶𝐴𝐷= ∠𝐶𝐵𝐷，求证：△𝐴𝐵𝐷是直角
三角形．
【题型6 直角三角形的性质】
【例6】如图，在Rt △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐵𝐶= 90°，𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶交𝐵𝐶于点D，交𝐴𝐶边上的高𝐵𝐸于点F，若
∠𝐶= 𝛼，则∠𝐵𝐹𝐷= （ ）
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A．𝛼
B．𝛼+ 22.5°
C．
𝛼
2 +22.5°
D．
𝛼
2 +45°
【变式6-1】如图，在△𝐴𝐶𝐵中，∠𝐴𝐶𝐵= 90°，𝐶𝐷⊥𝐴𝐵于D．
(1)求证：∠𝐴𝐶𝐷= ∠𝐵；
(2)若𝐴𝐹平分∠𝐶𝐴𝐵分别交𝐶𝐷、𝐵𝐶于E、F，求证：∠𝐶𝐸𝐹= ∠𝐶𝐹𝐸．
【变式6-2】如图，AC，BD 为四边形ABCD 的对角线，∠ABC＝90°，∠ABD+∠ADB＝∠ACB，∠ADC＝
∠BCD．
（1）求证：AD⊥AC；
（2）探求∠BAC 与∠ACD 之间的数量关系，并说明理由．
【变式6-3】直角三角形𝐴𝐵𝐶，∠𝐴𝐶𝐵= 90°，点D 为边𝐴𝐵上一点，𝐵𝐸为△𝐵𝐶𝐷的高线，
(1)求证：∠𝐶𝐴𝐷+ ∠𝐶𝐵𝐸= ∠𝐶𝐷𝐵；
(2)如图（2）：𝐴𝐹⊥𝐶𝐷交直线𝐶𝐷于F，G 为𝐸𝐹上一点，𝐵𝐾⊥𝐴𝐺交直线𝐴𝐺于点K，𝐴𝐾交𝐵𝐸于点H，若
∠𝐶𝐴𝐵= ∠𝐶𝐵𝐴= ∠𝐴𝐺𝐹，请你在不添加任何辅助线，直接写出与∠𝐷𝐴𝐹相等的角（不包括∠𝐷𝐴𝐹）
串知识·识框架
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过关测·稳提升
1．在下列条件：①∠𝐴+ ∠𝐵= ∠𝐶，②∠𝐴:∠𝐵:∠𝐶= 5:3:2，③∠𝐴= 90°−∠𝐵，④∠𝐴= 2∠𝐵= 3∠𝐶，⑤
∠𝐴= ∠𝐵=
1
2∠𝐶；⑥∠𝐴=
1
2∠𝐵=
1
3∠𝐶中，能确定△𝐴𝐵𝐶是直角三角形的条件有（ ）
A．3 个
B．4 个
C．5 个
D．6 个
2．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵𝐴𝐶= 70°,∠𝐵= 40°,𝐴𝐷为边𝐵𝐶上的高，𝐶𝐸平分∠𝐴𝐶𝐵交𝐴𝐵于点𝐸，交𝐴𝐷于点𝐹，
则∠𝐴𝐹𝐸的大小为（ ）
A．55°
B．65°
C．75°
D．56°
3．如图所示，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐵𝐷，𝐶𝐸是两条高，∠𝐴= 50°，则∠𝐵𝑂𝐶的度数为（ ）
A．110°
B．120°
C．130°
D．140°
4．如果将一副三角板按如图方式叠放，那么∠1等于（ ）
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A．105°
B．75°
C．60°
D．45°
5．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，点𝑂为∠𝐴𝐵𝐶和∠𝐴𝐶𝐵的角平分线的交点，连接𝑂𝐴, 𝑂𝐵, 𝑂𝐶，作△𝐴𝑂𝐵的一条角平分
线𝐴𝐷．若∠𝐵𝐴𝐶= 𝛼，则∠1 + ∠2的度数为（ ）
A．90° +
3
4𝛼
B．120° +
1
2𝛼
C．160°
D．180°−
1
4𝛼
6．在一个直角三角形中，已知一个锐角比另一个锐角的4倍多15°，则较小锐角的度数为
．
7．如图，点𝑂是△𝐴𝐵𝐶内一点，𝑂𝐴、𝑂𝐶分别平分∠𝐵𝐴𝐶、∠𝐵𝐶𝐴，∠𝐵= 64°，则∠𝑂=
．
8．如图，巡逻艇𝐶在游轮A 北偏东60°的方向上，巡逻艇𝐶在游轮𝐵北偏东15°的方向上，游轮𝐵位于游轮A
的正东方向，则∠𝐴𝐶𝐵的度数为 °．
9．如图，在Rt △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵= 90°，∠𝐴= 58°，𝐷，𝐸分别在𝐵𝐶，𝐴𝐶上，将△𝐶𝐷𝐸沿𝐷𝐸折叠得到△𝐹𝐷𝐸，
且𝐸𝐹∥𝐶𝐵，则∠𝐷𝐸𝐹的度数为
．
10．在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵= 40°，若从顶点𝐴作高线𝐴𝐷和角平分线𝐴𝐸，𝐴𝐷与𝐴𝐸的夹角为5°，则∠ 𝐶的度数为
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°．
11．如图，𝐶𝐸⊥𝐴𝐷，垂足为E．∠𝐴= ∠𝐶．求证：△𝐴𝐵𝐷是直角三角形
12．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，𝐴𝐸平分∠𝐵𝐴𝐶．
(1)若∠𝐶= 70°，∠𝐵= 30°，求∠𝐷𝐴𝐸的度数；
(2)若∠𝐶−∠𝐵= 20°，求∠𝐷𝐴𝐸的度数．
13．在一个三角形中，如果一个内角是另一个内角的3 倍，这样的三角形我们称为“三倍角三角形”．例如，
三个内角分别为100°,60°,20°的三角形是“三倍角三角形”．
(1)在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴= 25°,∠𝐵= 80°，△𝐴𝐵𝐶是“三倍角三角形”吗？请判断并说明理由．
(2)若△𝐴𝐵𝐶是“三倍角三角形”，且∠𝐴= 24°，求△𝐴𝐵𝐶中最小内角的度数．
14．已知，△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶交𝐵𝐶于点𝐷，𝐴𝐸⊥𝐵𝐶，垂足为𝐸， 𝐶𝐹∥𝐴𝐷．
(1)如图①，∠𝐵= 30°，∠𝐴𝐶𝐵= 70°，求∠𝐶𝐹𝐸的度数；
(2)若（1）中的∠𝐵= 𝛼，∠𝐴𝐶𝐵= 𝛽，(𝛼< 𝛽)则∠𝐶𝐹𝐸= ；（用𝛼、𝛽表示）
(3)如图②，（2）中的结论还成立么？请说明理由．
15．如图，已知：点𝐷,𝐸分别在△𝐴𝐵𝐶的边𝐴𝐶,𝐴𝐵上，连接𝐵𝐷,𝐶𝐸,𝐵𝐷与𝐶𝐸交于点𝑂，∠𝐵𝑂𝐶−∠𝐵𝐴𝐶= 51°．
(1)如图1，当𝐵𝐷,𝐶𝐸都是△𝐴𝐵𝐶的角平分线时，求∠𝐵𝑂𝐶的度数；
(2)如图2，当𝐵𝐷,𝐶𝐸都是△𝐴𝐵𝐶的高时，求∠𝐵𝑂𝐶的度数；
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(3)如图3，当∠𝐴𝐵𝑂= 2∠𝐴𝐶𝐸时，探究∠𝐵𝐸𝑂与∠𝐶𝐷𝑂的数量关系，并说明理由．
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答案解析
练题型·强知识
【题型1 与角平分线有关的角度计算】
【例1】如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷，𝐴𝐸分别为𝐵𝐶边上的高线和∠𝐵𝐴𝐶的角平分线，𝐷𝐹⊥𝐴𝐸于点F，当
∠𝐴𝐷𝐹= 69°，∠𝐶= 65°时，∠𝐵的度数为（ ）
A．21°
B．23°
C．25°
D．30°
【答案】B
【分析】本题考查角平分线定义，三角形内角和定理等．根据题意先计算出∠𝐶𝐴𝐷= 25°，再计算出
∠𝐷𝐴𝐹= 21°，继而得到∠𝐶𝐴𝐸= 46°，再利用角平分线定义得∠𝐵𝐴𝐶= 2∠𝐶𝐴𝐸= 92°，
再利用三角形内角和计算∠𝐵= 180°−65°−92° = 23°．
【详解】解：∵𝐴𝐸分别为𝐵𝐶边上的高线和∠𝐵𝐴𝐶的角平分线，𝐷𝐹⊥𝐴𝐸，∠𝐶= 65∘，
∴∠𝐶𝐴𝐷= 180°−90°−65° = 25°，
∵∠𝐴𝐷𝐹= 69∘，
∴∠𝐷𝐴𝐹= 180°−90°−69° = 21°，
∴∠𝐶𝐴𝐸= ∠𝐶𝐴𝐷+ ∠𝐷𝐴𝐹= 46°，
∴∠𝐵𝐴𝐶= 2∠𝐶𝐴𝐸= 92°，
∴∠𝐵= 180°−65°−92° = 23°，
故选：B．
【变式1-1】在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴=
1
2∠𝐵=
1
3∠𝐴𝐶𝐵，𝐶𝐷是△𝐴𝐵𝐶的高，𝐶𝐸是∠𝐴𝐶𝐵的角平分线，则∠𝐷𝐶𝐸= ．
【答案】15°/15 度
【分析】本题考查了三角形的内角和定理，直角三角形两锐角互余，角平分线的定义．根据已知条件用∠𝐴
表示出∠𝐵和∠𝐴𝐶𝐵，利用三角形的内角和求出∠𝐴，再求出∠𝐴𝐶𝐵，然后根据直角三角形两锐角互余求出
∠𝐴𝐶𝐷，最后根据角平分线的定义求出∠𝐴𝐶𝐸即可．
【详解】解：∵∠𝐴=
1
2∠𝐵=
1
3∠𝐴𝐶𝐵，
设∠𝐴= 𝑥，
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∴∠𝐵= 2𝑥，∠𝐴𝐶𝐵= 3𝑥，
∵∠𝐴+ ∠𝐵+ ∠𝐴𝐶𝐵= 180°，
∴𝑥+ 2𝑥+ 3𝑥= 180°，
解得：𝑥= 30°，
∴∠𝐴= 30°，∠𝐴𝐶𝐵= 90°，
∵𝐶𝐷是△𝐴𝐵𝐶的高，
∴∠𝐴𝐷𝐶= 90°，
∴∠𝐴𝐶𝐷= 90°−30° = 60°，
∵𝐶𝐸是∠𝐴𝐶𝐵的角平分线，
∴∠𝐴𝐶𝐸=
1
2 × 90° = 45°，
∴∠𝐷𝐶𝐸= ∠𝐴𝐶𝐷−∠𝐴𝐶𝐸= 60°−45° = 15°．
故答案为：15°．
【变式1-2】如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 68°，∠1 = ∠2．若P 为△𝐴𝐵𝐶的角平分线𝐵𝑃，𝐶𝑃的交点，则
∠𝐵𝑃𝐶=
；若P 为△𝐴𝐵𝐶内一点，则∠𝐵𝑃𝐶=
．
【答案】
112°
112°
【分析】若P 为△𝐴𝐵𝐶的角平分线𝐵𝑃，𝐶𝑃的交点，可求出∠𝐵𝐶𝑃及∠2的度数，然后根据三角形内角和定理
得出答案；若P 为△𝐴𝐵𝐶内一点，可整体求出∠2 + ∠𝐵𝐶𝑃的度数，然后根据三角形内角和定理得出答案．
【详解】解：若P 为△𝐴𝐵𝐶的角平分线𝐵𝑃，𝐶𝑃的交点，
∵∠𝐴𝐶𝐵= 68°，
∴∠1 = ∠𝐵𝐶𝑃= 34°，
∴∠1 = ∠2=34°，
∴∠𝐵𝑃𝐶= 180°−∠𝐵𝐶𝑃−∠2 = 180°−34°−34° = 112°；
若P 为△𝐴𝐵𝐶内一点，
∵∠1 = ∠2，
∴∠𝐴𝐶𝐵= ∠1 + ∠𝐵𝐶𝑃= ∠2 + ∠𝐵𝐶𝑃= 68°，
∴∠𝐵𝑃𝐶= 180°−(∠2 + ∠𝐵𝐶𝑃) = 180°−68° = 112°；
故答案为：112°，112°．
【变式1-3】如图，在△ABC 中，AD⊥BC，CE 是△ABC 的角平分线，AD，CE 交于F 点，当∠BAC＝80°，
∠B＝40°时，求∠ACB、∠AEC、∠AFE 的度数．
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【答案】∠ACB=60°，∠AEC=70°，∠AFE=60°
【分析】根据三角形的内角和定理，可得∠ACB 的度数，根据角平分线的定义，可得∠ECB 的度数，根据三
角形外角的性质，可得∠AEC 的度数；根据直角三角形的性质，可得∠CFD 的度数，根据对顶角的性质，可
得答案．
【详解】解：由三角形的内角和定理，得
∠ACB=180°-∠B-∠BAC=180°-40°-80°=60°；
由CE 是△ABC 的角平分线，得
∠BCE=
1
2∠ACB=
1
2×60°=30°，
由∠AEC 是△BCE 的外角，得
∠AEC=∠B+∠BCE=40°+30°=70°；
由AD⊥BC，得
∠FDC=90°，
∠CFD=90°-∠FCD=90°-30°=60°，
由对顶角相等，得
∠AFE=∠CFD=60°．
【题型2 三角板中的角度计算】
【例2】如图，一把直尺的边缘𝐴𝐵经过一块三角板𝐷𝐶𝐵的直角顶点𝐵，交斜边𝐶𝐷于点𝐴，直尺的边缘𝐸𝐹分别
交𝐶𝐷，𝐵𝐷于点𝐸，𝐹，若∠𝐷= 60°，∠𝐴𝐵𝐶= 15°，则∠1的度数为（ ）
A．35°
B．45°
C．50°
D．55°
【答案】B
【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，由题意得∠𝐷𝐵𝐴= 90°−∠𝐴𝐵𝐶= 75°，进而由平行
线的性质得∠𝐷𝐹𝐸= ∠𝐷𝐵𝐴= 75°，再根据三角形内角和定理即可求解，掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】解：∵∠𝐴𝐵𝐶= 15°，
∴∠𝐷𝐵𝐴= 90°−∠𝐴𝐵𝐶= 90°−15° = 75°，
∵𝐸𝐹∥𝐴𝐵，
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∴∠𝐷𝐹𝐸= ∠𝐷𝐵𝐴= 75°，
∴∠1 = 180°−∠𝐷−∠𝐷𝐹𝐸= 180°−60°−75° = 45°，
故选：B．
【变式2-1】两个直角三角板如图摆放，其中∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐵𝐷𝐸= 90°，∠𝐴= 45°，∠𝐸= 30°，若𝐶是𝐷𝐸上一点
且𝐴𝐶∥𝐵𝐷，则∠𝐴𝐵𝐸的大小为（ ）
A．50°
B．60°
C．75°
D．80°
【答案】C
【分析】本题考查了平行线的性质，三角板的有关计算，由∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐵𝐷𝐸= 90°，∠𝐴= 45°，∠𝐸= 30°，
则∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐴= 45°，∠𝐷𝐵𝐸= 60°，又𝐴𝐶∥𝐵𝐷，则∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐶𝐵𝐷= 45°，然后通过角度和差即可求解，掌
握知识点的应用是解题的关键
【详解】解：∵∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐵𝐷𝐸= 90°，∠𝐴= 45°，∠𝐸= 30°，
∴∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐴= 45°，∠𝐷𝐵𝐸= 60°，
∵𝐴𝐶∥𝐵𝐷，
∴∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐶𝐵𝐷= 45°，
∴∠𝐸𝐵𝐶= ∠𝐷𝐵𝐸−∠𝐶𝐵𝐷= 60°−45° = 15°，
∴∠𝐴𝐵𝐸= ∠𝐴𝐵𝐶−∠𝐶𝐵𝐸= 90°−15° = 75°，
故选：C．
【变式2-2】如图，将一副三角板放置在一组平行线内，其中∠𝐴𝐸𝐷= 45°，下列结论一定正确的是（ ）
A．∠1 = 25°
B．∠2 = 50°
C．∠3 = 35°
D．∠4 = 75°
【答案】D
【分析】该题考查了三角板中的角度计算，平行线的性质，三角形内角和定理，根据题意得出
∠𝐴𝐷𝐸= 90°,∠𝐷𝐴𝐸= ∠𝐴𝐸𝐷= 45°,∠𝐴𝐵𝐶= 60°,∠𝐴𝐶𝐵= 30°，𝐴𝐸∥𝐵𝐶，再依次判断即可．
【详解】解：根据三角板的特点可得∠𝐴𝐷𝐸= 90°,∠𝐷𝐴𝐸= ∠𝐴𝐸𝐷= 45°,∠𝐴𝐵𝐶= 60°,∠𝐴𝐶𝐵= 30°，
根据题意可得𝐴𝐸∥𝐵𝐶，
∴∠1 = ∠𝐴𝐶𝐵= 30°,∠𝐴𝐸𝐷= ∠𝐸𝐷𝐶= 45°，故A 错误；
∠4 = ∠1 + ∠𝐴𝐸𝐷= 30° + 45° = 75°，故D 正确；
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∠3 = 180°−∠𝐴𝐷𝐸−∠𝐸𝐷𝐶= 180°−90°−45° = 45°，故C 错误；
∠2 = 180°−∠3−∠𝐴𝐵𝐷= 180°−45°−60° = 75°，故B 错误；
故选：D．
【变式2-3】如图所示，一副三角板叠放在一起，则图中∠𝛼等于
．
【答案】105°/105度
【分析】本题主要考查三角形的内角和以及三角板的度数，熟练掌握三角形的内角和是解题的关键．根据
三角板的度数得到∠𝛼= 180°−∠𝐶−∠𝐴𝐵𝐶，即可得到答案．
【详解】解：由题意可得：∠𝐶= 30°，∠𝐴𝐵𝐶= 45°，
∴ ∠𝛼= 180°−∠𝐶−∠𝐴𝐵𝐶= 180°−30°−45° = 105°．
故答案为：105°．
【题型3 与方向角有关的角度计算】
【例3】某哨兵在灯塔A 处观察到船只B 在灯塔的北偏西38°方向上，船只C 在灯塔的北偏东22°方向上，
船只B 上的人观察到船只C 在他的南偏东78°方向上，则∠𝐴𝐶𝐵的度数为（ ）
A．70°
B．80°
C．90°
D．100°
【答案】B
【分析】本题主要考查了方向角的有关计算，平行线的性质，三角形内角和定理，根据题意可知：
∠1 = 38°，∠2 = 22°，∠3 + ∠4 = 78°，由平行线的性质得出∠4 = ∠1 = 38°，进而可求出∠3，最后根据三角
形内角和定理即可得出答案．
【详解】解：根据题意可知：∠1 = 38°，∠2 = 22°，∠3 + ∠4 = 78°，
∵𝐵𝐹∥𝐴𝐷，
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∴∠4 = ∠1 = 38°，
∴∠3 = 78°−∠4 = 40°，
∴∠𝐴𝐶𝐵= 180°−∠1−∠2−∠3 = 80°，
故选：B
【变式3-1】如图，一艘轮船由海平面上𝐴地出发，要到𝐴地的北偏东60°方向的𝐶处，已知轮船先沿正东方
向行驶了100 海里到达𝐵地，再沿北偏东30°方向行进，恰能到达目的地𝐶，那么，𝐵、𝐶两地相距 海里．
【答案】100
【分析】本题主要考查方向角的定义，等腰三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的判定是解题的关键．根
据题意证明△𝐴𝐵𝐶是等腰三角形即可得到答案．
【详解】解：由题意可得：∠𝐵𝐴𝐶= 90°−60° = 30°，∠𝐴𝐵𝐶= 90° + 30° = 120°，
∴∠𝐶= 180°−∠𝐵𝐴𝐶−∠𝐴𝐵𝐶= 30°，
∴∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐶，
∴𝐴𝐵= 𝐵𝐶= 100，
故答案为：100．
【变式3-2】如图，点B 在点A 的西南方向，点C 在点A 的南偏东15°方向，点C 在B 的北偏东80°方向，
则∠𝐴𝐶𝐵=
．
【答案】85°/85 度
【分析】本题主要考查了方位角有关的计算，三角形内角和定理，先根据题意得到∠𝐶𝐵𝐷= 80°，∠𝐵𝐴𝐸= 45°
，∠𝐶𝐴𝐸= 15°，𝐵𝐷∥𝐴𝐸，进而求出∠𝐵𝐴𝐶= 60°，∠𝐴𝐵𝐶= 35°，再根据三角形内角和定理求解即可．
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【详解】解：如图所示，由题意得，∠𝐶𝐵𝐷= 80°，∠𝐵𝐴𝐸= 45°，∠𝐶𝐴𝐸= 15°，𝐵𝐷∥𝐴𝐸，
∴∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝐵𝐴𝐸= 45°，∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐵𝐴𝐸+ ∠𝐶𝐴𝐸= 60°，
∴∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐶𝐵𝐷−∠𝐴𝐵𝐷= 35°，
∴∠𝐴𝐶𝐵= 180°−∠𝐵𝐴𝐶−∠𝐴𝐵𝐶= 85°，
故答案为：85°．
【变式3-3】如图，是𝐴，𝐵，𝐶三个便民核酸采样点和小亮家（点𝐷）的平面图，已知𝐴，𝐵，𝐶三点在同一
条东西方向的路段上，𝐷在𝐴的北偏东50°方向，在𝐶的北偏西20°方向，且点𝐵到𝐴，𝐷两点的距离相等，试求
出从小亮家（点𝐷）观测检测点𝐵，𝐶两处的视角∠𝐵𝐷𝐶的度数．
【答案】∠𝐵𝐷𝐶= 30°
【分析】本题考查的知识点是方向角、三角形的内角和定理，解题关键是正确理解方位角的定义．
根据𝐷在𝐴的北偏东50°方向，在𝐶的北偏西20°方向，得∠𝑀𝐴𝐷= 50°，∠𝐸𝐶𝐷= 20°，根据𝐴𝐵= 𝐵𝐷推得
∠𝐷𝐵𝐶，再根据三角形内角和定理即可得解．
【详解】解：由题意可知：
∠𝑀𝐴𝐶= ∠𝐸𝐶𝐴= 90°，∠𝑀𝐴𝐷= 50°，∠𝐸𝐶𝐷= 20°，𝐴𝐵= 𝐵𝐷，
∴∠𝐷𝐴𝐶= ∠𝑀𝐴𝐶−∠𝑀𝐴𝐷= 40°，∠𝐷𝐶𝐵= ∠𝐸𝐶𝐴−∠𝐸𝐶𝐷= 70°，∠𝐴𝐷𝐵= ∠𝐷𝐴𝐵= 40°，
∴∠𝐷𝐵𝐶= ∠𝐴𝐷𝐵+ ∠𝐷𝐴𝐵= 80°，
在△𝐷𝐵𝐶中，∠𝐷𝐵𝐶+ ∠𝐷𝐶𝐵+ ∠𝐵𝐷𝐶= 180°，
∴∠𝐵𝐷𝐶= 180°−70°−80° = 30°．
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【题型4 与方向角有关的角度计算】
【例4】如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐵𝐶、∠𝐴𝐶𝐵的角平分线交于点𝑃，将△𝐴𝐵𝐶沿𝐷𝐸折叠使得点𝐴与点𝑃重合，
若∠1 + ∠2 = 80°，则∠𝐵𝑃𝐶的度数是（ ）
A．100°
B．110°
C．120°
D．130°
【答案】B
【分析】本题考查三角形内角和定理及角平分线的定义，熟练掌握三角形的内角和是180°是解题关键．根
据折叠得出∠𝑃𝐷𝐸= ∠𝐴𝐷𝐸，∠𝑃𝐸𝐷= ∠𝐴𝐸𝐷，再由三角形内角和和平角定义求出∠𝐴=
1
2(∠1 + ∠2) = 40°．根
据三角形内角和定理可得∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵= 180°−∠𝐴，根据角平分线的定义可得
∠𝐵𝑃𝐶= 180°−(∠𝐹𝐵𝐶+ ∠𝐹𝐶𝐵) = 90° +
1
2∠𝐴由此即可得答案．
【详解】解：由折叠可知：∠𝑃𝐷𝐸= ∠𝐴𝐷𝐸，∠𝑃𝐸𝐷= ∠𝐴𝐸𝐷，
∴∠1 + 2∠𝐴𝐷𝐸= 180°，∠2 + 2∠𝐴𝐸𝐷= 180°．
∴∠1 + ∠2 + 2(∠𝐴𝐷𝐸+ ∠𝐴𝐸𝐷) = 360°，
又∵∠𝐴𝐷𝐸+ ∠𝐴𝐸𝐷= 180°−∠𝐴，
∴∠1 + ∠2 + 2(180°−∠𝐴) = 360°，即∠𝐴=
1
2(∠1 + ∠2) = 40°，
∵∠𝑃𝐵𝐶=
1
2∠𝐴𝐵𝐶，∠𝑃𝐶𝐵=
1
2∠𝐴𝐶𝐵，∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵= 180°−∠𝐴，
∴∠𝑃𝐵𝐶+ ∠𝑃𝐶𝐵=
1
2(∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵) =
1
2(180°−∠𝐴)，
∴∠𝐵𝑃𝐶= 180°−(∠𝐹𝐵𝐶+ ∠𝐹𝐶𝐵) = 90° +
1
2∠𝐴，
∴∠𝐵𝑃𝐶= 90° +
1
2 × 40° = 110°．
故选：B．
【变式4-1】如图，在三角形纸片𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴= 65°，∠𝐵= 75°，将纸片的一角折叠，使点𝐶落在△𝐴𝐵𝐶外
的点𝐶′处．若∠2 = 25°，则∠1的度数为（ ）
A．115°
B．100°
C．105°
D．95°
【答案】C
【分析】在△ABC 中利用三角形内角和定理可求出∠C 的度数，由折叠的性质，可知：∠CDE＝∠C′DE，∠CED
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＝∠C′ED，结合∠2 的度数可求出∠CED 的度数，在△CDE 中利用三角形内角和定理可求出∠CDE 的度数，
再由∠1＝180°﹣∠CDE﹣∠C′DE 即可求出结论．
【详解】解：在△ABC 中，∠A＝65°，∠B＝75°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝40°．
由折叠，可知：∠CDE＝∠C′DE，∠CED＝∠C′ED，
∴∠CED＝
180°+∠2
2
＝102.5°，
∴∠CDE＝180°﹣∠CED﹣∠C＝37.5°，
∴∠1＝180°﹣∠CDE﹣∠C′DE＝180°﹣2∠CDE＝105°．
故选：C．
【变式4-2】如图，M，N 分别是△𝐴𝐵𝐶的边𝐴𝐵，𝐴𝐶上一点，将△𝐴𝐵𝐶沿𝑀𝑁折叠，使点A 落在边𝐵𝐶上，
若∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 = 235°，则∠𝐴= （ ）
A．35°
B．45°
C．65°
D．55°
【答案】D
【分析】本题考查三角形内角和定理，先根据三角形内角和定理求出∠𝐶+ ∠𝐵= 125°，再求出∠𝐴的度数即
可得到答案；
【详解】解：∵∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 = 235°，∠1 + ∠4 + ∠𝐵= 180°，∠2 + ∠3 + ∠𝐶= 180°，
∴∠𝐶+ ∠𝐵= 360°−(∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4) = 125°，
∵∠𝐴+ ∠𝐶+ ∠𝐵= 180°
∴∠𝐴= 180°−(∠𝐶+ ∠𝐵) = 55°
故选：D．
【变式4-3】如图，△𝐴𝐵𝐶中∠𝐴= 30°，E 是𝐴𝐶边上的点，先将 △𝐴𝐵𝐸沿着𝐵𝐸翻折，翻折后△𝐴𝐵𝐸的𝐴𝐵
边交𝐴𝐶于点 D，又将△𝐵𝐶𝐷沿着𝐵𝐷翻折，C 点恰好落在𝐵𝐸上，此时 ∠𝐶𝐷𝐵= 84°，则△𝐴𝐵𝐶中
∠𝐴𝐵𝐶=
．
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【答案】81．
【分析】在图(1)的△𝐴𝐵𝐶中，根据三角形内角和定理，可求得∠𝐵+ ∠𝐶= 150°；结合折叠的性质和图(2)(3)
可知： ∠𝐵= 3∠𝐶𝐵𝐷，即可在△𝐶𝐵𝐷中，得到另一个关于 ∠𝐵、∠𝐶度数的等量关系式，联立两式即可求得
∠𝐵的度数．
【详解】解：在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴= 30°，则∠𝐵+ ∠𝐶= 150°①；
根据折叠的性质知：∠𝐵= 3∠𝐶𝐵𝐷，∠𝐵𝐶𝐷= ∠𝐶；
在△𝐶𝐵𝐷中，则有：∠𝐶𝐵𝐷+ ∠𝐵𝐶𝐷= 180°−84°，
即：
1
3∠𝐵+ ∠𝐶= 96° ②；
①-②，得：
2
3∠𝐵= 54°，
解得∠𝐵= 81°
故答案为：81．
【题型5 直角三角形的判定】
【例5】在下列条件中不能判定△𝐴𝐵𝐶为直角三角形的是（ ）
A．∠𝐴= 90°−∠𝐶
B．∠𝐴= ∠𝐵−∠𝐶
C．∠𝐴= 2∠𝐵= 3∠𝐶
D．∠𝐴= ∠𝐵=
1
2∠𝐶
【答案】C
【分析】判定三角形是否为直角三角形，即计算各个角的度数，有一角为直角就是直角三角形，若无直角
就不是直角三角形．
【详解】解：A、∠𝐴= 90°−∠𝐶，∠𝐴+ ∠𝐶= 90°，所以∠𝐵= 180°−(∠𝐴+ ∠𝐶) = 90°，即∠𝐵是直角，能判定
三角形是直角三角形，不符合题意；
B、∠𝐴= ∠𝐵−∠𝐶，∠𝐵= ∠𝐴+ ∠𝐶,∠𝐴+ ∠𝐵+ ∠𝐶= ∠𝐵+ ∠𝐵= 180°，所以∠𝐵是直角，能判定三角形是直角
三角形，不符合题意；
C、∠𝐴= 2∠𝐵= 3∠𝐶，可得∠𝐴= 3∠𝐶，∠𝐵=
3
2∠𝐶，所以∠𝐴+ ∠𝐵+ ∠𝐶= 3∠𝐶+
3
2∠𝐶+ ∠𝐶= 180°，解得
∠𝐶=
360°
11 ，∠𝐵=
540°
11 ，∠𝐴=
1080°
11 ，都不是直角，不能判定三角形是直角三角形，符合题意；
D、∠𝐴= ∠𝐵=
1
2∠𝐶，可得∠𝐴=
1
2∠𝐶，∠𝐵=
1
2∠𝐶，所以∠𝐴+ ∠𝐵+ ∠𝐶=
1
2∠𝐶+
1
2∠𝐶+ ∠𝐶= 180°，解得
∠𝐶= 90°，即∠𝐶是直角，能判定三角形是直角三角形，不符合题意
故答案为：C
【变式5-1】如图，在直角三角形𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 90°，下列条件能判定𝐷𝐸⊥𝐴𝐶的是（ ）
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A．∠𝐴𝐵𝐸= ∠𝐶𝐵𝐸
B．∠𝐶𝐵𝐸= ∠𝐵𝐸𝐷
C．∠𝐴𝐷𝐸= ∠𝐵𝐸𝐶D．∠𝐴𝐵𝐸= ∠𝐷𝐸𝐵
【答案】B
【分析】题目主要考查平行线的判定和性质，根据选项依次进行判断即可，熟练掌握平行线的判定和性质
是解题关键
【详解】解：A、∠𝐴𝐵𝐸= ∠𝐶𝐵𝐸，不能判定𝐷𝐸⊥𝐴𝐶，不符合题意；
B、∵∠𝐶𝐵𝐸= ∠𝐵𝐸𝐷，
∴𝐷𝐸∥𝐵𝐶，
∵∠𝐴𝐶𝐵= 90°，
∴∠𝐴𝐸𝐷= 90°，即𝐷𝐸⊥𝐴𝐶，符合题意；
C、∠𝐴𝐷𝐸= ∠𝐵𝐸𝐶，不能判定𝐷𝐸⊥𝐴𝐶，不符合题意；
D、∠𝐴𝐵𝐸= ∠𝐷𝐸𝐵，不能判定𝐷𝐸⊥𝐴𝐶，不符合题意；
故选：B
【变式5-2】如图所示，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷是𝐵𝐶边上的高，点E 是𝐴𝐵上一点，𝐶𝐸交𝐴𝐷于点M，且
∠𝐷𝐶𝑀= ∠𝑀𝐴𝐸，求证△𝐴𝐶𝐸是直角三角形．
【答案】证明见解析
【分析】本题考查了直角三角形的性质，三角形内角和定理，掌握三角形内角和定理是解题的关键；
由𝐴𝐷是𝐵𝐶边上的高，根据直角三角形的两个锐角互余得∠𝐷𝑀𝐶+ ∠𝐷𝐶𝑀= 90°；又根据对顶角以及等角的
余角相等，可推出∠𝐷𝐶𝑀= ∠𝑀𝐴𝐸；然后通根据三角形内角和定理得∠𝑀𝐸𝐴= 90°，证明结论．
【详解】证明：∵𝐴𝐷是𝐵𝐶边上的高，
∴∠𝐷𝑀𝐶+ ∠𝐷𝐶𝑀= 90°．
又∵∠𝐷𝑀𝐶= ∠𝐴𝑀𝐸，∠𝐷𝐶𝑀= ∠𝑀𝐴𝐸，
∴∠𝐴𝑀𝐸+ ∠𝑀𝐴𝐸= 90°，
∴∠𝑀𝐸𝐴= 90°．
即△𝐴𝐶𝐸是直角三角形．
【变式5-3】如图，在Rt △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵𝐴𝐶= 90°，𝐵𝐷平分∠𝐴𝐵𝐶，且∠𝐶𝐴𝐷= ∠𝐶𝐵𝐷，求证：△𝐴𝐵𝐷是直角
三角形．
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【答案】见解析
【分析】证明∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝐶𝐴𝐷，得到∠𝐵𝐴𝐷+ ∠𝐴𝐵𝐷= 90°，即可证明△𝐴𝐵𝐷是直角三角形．
【详解】证明：在Rt △𝐴𝐵𝐶中，
∵∠𝐵𝐴𝐶= 90°，
∴∠𝐵𝐴𝐷+ ∠𝐶𝐴𝐷= 90°，
∵𝐵𝐷平分∠𝐴𝐵𝐶，
∴∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝐶𝐵𝐷，
∵∠𝐶𝐴𝐷= ∠𝐶𝐵𝐷，
∴∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝐶𝐴𝐷，
∴∠𝐵𝐴𝐷+ ∠𝐴𝐵𝐷= 90°，
∴△𝐴𝐵𝐷是直角三角形．
【题型6 直角三角形的性质】
【例6】如图，在Rt △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐵𝐶= 90°，𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶交𝐵𝐶于点D，交𝐴𝐶边上的高𝐵𝐸于点F，若
∠𝐶= 𝛼，则∠𝐵𝐹𝐷= （ ）
A．𝛼
B．𝛼+ 22.5°
C．
𝛼
2 +22.5°
D．
𝛼
2 +45°
【答案】D
【分析】本题考查了直角三角形的性质，角平分线的定义，根据直角三角形两锐角互余，得到
∠𝐵𝐴𝐶= 90°−𝛼，再根据较平县的定义求出∠𝐶𝐴𝐷= 45°−
𝛼
2，再根据直角三角形两锐角互余求出
∠𝐴𝐹𝐸= 45° +
𝛼
2，由对顶角的定义即可得出结果．
【详解】解：∵∠𝐴𝐵𝐶= 90°,∠𝐶= 𝛼，
∴∠𝐵𝐴𝐶= 90°−𝛼，，
∵𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶，
∴∠𝐶𝐴𝐷= 45°−
𝛼
2，
∵𝐵𝐸⊥𝐴𝐶，
∴∠𝐴𝐸𝐹= 90°，
∴∠𝐴𝐹𝐸= 90°−∠𝐶𝐴𝐷= 45° +
𝛼
2，
∴∠𝐵𝐹𝐷= ∠𝐴𝐹𝐸= 45° +
𝛼
2，
故选：D．
【变式6-1】如图，在△𝐴𝐶𝐵中，∠𝐴𝐶𝐵= 90°，𝐶𝐷⊥𝐴𝐵于D．
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(1)求证：∠𝐴𝐶𝐷= ∠𝐵；
(2)若𝐴𝐹平分∠𝐶𝐴𝐵分别交𝐶𝐷、𝐵𝐶于E、F，求证：∠𝐶𝐸𝐹= ∠𝐶𝐹𝐸．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了直角三角形的性质，三角形角平分线的定义，对顶角的性质，余角的性质，难度适中．
（1）由于∠𝐴𝐶𝐷与∠𝐵都是∠𝐵𝐶𝐷的余角，根据同角的余角相等即可得证；
（2）根据直角三角形两锐角互余得出∠𝐶𝐹𝐴= 90°−∠𝐶𝐴𝐹，∠𝐴𝐸𝐷= 90°−∠𝐷𝐴𝐸，再根据角平分线的定义得
出∠𝐶𝐴𝐹= ∠𝐷𝐴𝐸，然后由对顶角相等的性质，等量代换即可证明∠𝐶𝐸𝐹= ∠𝐶𝐹𝐸．
【详解】（1）证明：∵∠𝐴𝐶𝐵= 90°，𝐶𝐷⊥𝐴𝐵于D，
∴∠𝐴𝐶𝐷+ ∠𝐵𝐶𝐷= 90°，∠𝐵+ ∠𝐵𝐶𝐷= 90°，
∴∠𝐴𝐶𝐷= ∠𝐵；
（2）证明：在Rt △𝐴𝐹𝐶中，∠𝐶𝐹𝐴= 90°−∠𝐶𝐴𝐹，
同理在Rt △𝐴𝐸𝐷中，∠𝐴𝐸𝐷= 90°−∠𝐷𝐴𝐸．
又∵𝐴𝐹平分∠𝐶𝐴𝐵，
∴∠𝐶𝐴𝐹= ∠𝐷𝐴𝐸，
∴∠𝐴𝐸𝐷= ∠𝐶𝐹𝐸，
又∵∠𝐶𝐸𝐹= ∠𝐴𝐸𝐷，
∴∠𝐶𝐸𝐹= ∠𝐶𝐹𝐸．
【变式6-2】如图，AC，BD 为四边形ABCD 的对角线，∠ABC＝90°，∠ABD+∠ADB＝∠ACB，∠ADC＝
∠BCD．
（1）求证：AD⊥AC；
（2）探求∠BAC 与∠ACD 之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）∠BAC＝2∠ACD；理由见解析.
【分析】（1）利用直角三角形的两锐角互余、三角形的内角和定理、以及角的和差即可得；
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（2）先根据直角三角形的两锐角互余可得∠𝐵𝐴𝐶= 90°−(∠𝐵𝐶𝐷−∠𝐴𝐶𝐷)，再由题（1）的结论和∠𝐴𝐷𝐶= ∠𝐵𝐶𝐷
推出∠𝐵𝐶𝐷= 90°−∠𝐴𝐶𝐷，联立化简求解即可得.
【详解】（1）∵在𝛥𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐵𝐶= 90°
∴∠𝐴𝐶𝐵+ ∠𝐵𝐴𝐶= 90°
在𝛥𝐴𝐵𝐷中，∠𝐴𝐵𝐷+ ∠𝐴𝐷𝐵+ ∠𝐵𝐴𝐷= 180°
∵∠𝐴𝐵𝐷+ ∠𝐴𝐷𝐵= ∠𝐴𝐶𝐵
∴∠𝐴𝐶𝐵+ ∠𝐵𝐴𝐷= 180°，即∠𝐴𝐶𝐵+ ∠𝐵𝐴𝐶+ ∠𝐶𝐴𝐷= 180°
∴∠𝐶𝐴𝐷= 90°
∴𝐴𝐷⊥𝐴𝐶；
（2）∠𝐵𝐴𝐶= 2∠𝐴𝐶𝐷，理由如下：
∵∠𝐴𝐵𝐶= 90°
∴∠𝐵𝐴𝐶= 90°−∠𝐴𝐶𝐵= 90°−(∠𝐵𝐶𝐷−∠𝐴𝐶𝐷)
由题（1）知，∠𝐷𝐴𝐶= 90°
∴∠𝐴𝐷𝐶= 90°−∠𝐴𝐶𝐷
∵∠𝐴𝐷𝐶= ∠𝐵𝐶𝐷
∴∠𝐵𝐶𝐷= 90°−∠𝐴𝐶𝐷
∴∠𝐵𝐴𝐶= 90°−(90°−∠𝐴𝐶𝐷−∠𝐴𝐶𝐷) = 2∠𝐴𝐶𝐷.
【变式6-3】直角三角形𝐴𝐵𝐶，∠𝐴𝐶𝐵= 90°，点D 为边𝐴𝐵上一点，𝐵𝐸为△𝐵𝐶𝐷的高线，
(1)求证：∠𝐶𝐴𝐷+ ∠𝐶𝐵𝐸= ∠𝐶𝐷𝐵；
(2)如图（2）：𝐴𝐹⊥𝐶𝐷交直线𝐶𝐷于F，G 为𝐸𝐹上一点，𝐵𝐾⊥𝐴𝐺交直线𝐴𝐺于点K，𝐴𝐾交𝐵𝐸于点H，若
∠𝐶𝐴𝐵= ∠𝐶𝐵𝐴= ∠𝐴𝐺𝐹，请你在不添加任何辅助线，直接写出与∠𝐷𝐴𝐹相等的角（不包括∠𝐷𝐴𝐹）
【答案】(1)见解析
(2)∠𝐶𝐴𝐺、∠𝐴𝐵𝐸和∠𝐶𝐵𝐾
【分析】本题主要考查直角三角形两个锐角互余和对顶角的知识，
（1）由直角三角形两个锐角互余得出∠𝐷𝐵𝐸+ ∠𝐸𝐷𝐵= 90°，且∠𝐶𝐴𝐷+ ∠𝐶𝐵𝐸+ ∠𝐸𝐵𝐷= 90°，则有结论成
立．
（2）根据题意可知∠𝐶𝐴𝐵= ∠𝐶𝐵𝐴= 45°，进一步得到∠𝐶𝐴𝐵= ∠𝐺𝐴𝐹，则有
∠𝐶𝐴𝐺+ ∠𝐺𝐴𝐵= ∠𝐺𝐴𝐵+ ∠𝐷𝐴𝐹，即∠𝐶𝐴𝐺= ∠𝐷𝐴𝐹；由题意得∠𝐵𝐷𝐸= ∠𝐴𝐷𝐹，则∠𝐴𝐵𝐸= ∠𝐷𝐴𝐹；由题意得
∠𝐶𝐴𝐾= ∠𝐶𝐵𝐾，结合∠𝐶𝐴𝐺= ∠𝐷𝐴𝐹，则有∠𝐶𝐵𝐾= ∠𝐷𝐴𝐹成立．
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【详解】（1）证明：∵𝐵𝐸为△𝐵𝐶𝐷的高线，
∴∠𝐵𝐸𝐷= 90°，
∴∠𝐷𝐵𝐸+ ∠𝐸𝐷𝐵= 90°，
又∵∠𝐴𝐶𝐵= 90°，
∴∠𝐶𝐴𝐷+ ∠𝐶𝐵𝐸+ ∠𝐸𝐵𝐷= 90°，
∴∠𝐶𝐴𝐷+ ∠𝐶𝐵𝐸= ∠𝐶𝐷𝐵．
（2）∵∠𝐴𝐶𝐵= 90°，∠𝐶𝐴𝐵= ∠𝐶𝐵𝐴，
∴∠𝐶𝐴𝐵= ∠𝐶𝐵𝐴= 45°，
∵∠𝐶𝐴𝐵= ∠𝐴𝐺𝐹，𝐴𝐹⊥𝐶𝐷，
∴∠𝐶𝐴𝐵= ∠𝐺𝐴𝐹，
∴∠𝐶𝐴𝐺+ ∠𝐺𝐴𝐵= ∠𝐺𝐴𝐵+ ∠𝐷𝐴𝐹，
即∠𝐶𝐴𝐺= ∠𝐷𝐴𝐹；
∵𝐵𝐸为△𝐵𝐶𝐷的高线，∠𝐵𝐷𝐸= ∠𝐴𝐷𝐹，
∴∠𝐴𝐵𝐸= ∠𝐷𝐴𝐹；
∵∠𝐴𝐶𝐵= 90°，𝐵𝐾⊥𝐴𝐺，
∴∠𝐶𝐴𝐾= ∠𝐶𝐵𝐾
∵∠𝐶𝐴𝐺= ∠𝐷𝐴𝐹，
∴∠𝐶𝐵𝐾= ∠𝐷𝐴𝐹，
故与∠𝐷𝐴𝐹相等的角有∠𝐶𝐴𝐺、∠𝐴𝐵𝐸和∠𝐶𝐵𝐾
过关测·稳提升
1．在下列条件：①∠𝐴+ ∠𝐵= ∠𝐶，②∠𝐴:∠𝐵:∠𝐶= 5:3:2，③∠𝐴= 90°−∠𝐵，④∠𝐴= 2∠𝐵= 3∠𝐶，⑤
∠𝐴= ∠𝐵=
1
2∠𝐶；⑥∠𝐴=
1
2∠𝐵=
1
3∠𝐶中，能确定△𝐴𝐵𝐶是直角三角形的条件有（ ）
A．3 个
B．4 个
C．5 个
D．6 个
【答案】C
【分析】根据直角三角形的定义，结合三角形的内角和定理分别求解各种情况中的三角形的内角的大小，
从而得到答案．
【详解】：①∵∠𝐴+ ∠𝐵= ∠𝐶，则2∠𝐶= 180°，∠𝐶= 90°，
∴△𝐴𝐵𝐶是直角三角形；
②∵∠𝐴:∠𝐵:∠𝐶= 5:3:2，设∠𝐴= 𝑥，
则5𝑥+ 2𝑥+ 3𝑥= 180，解得：𝑥= 18°，
∴∠𝐴= 18° × 5 = 90°，
∴△𝐴𝐵𝐶是直角三角形；
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③∵∠𝐴= 90°−∠𝐵，
∴∠𝐴+ ∠𝐵= 90°，
则∠𝐶= 180°−90° = 90°，
∴△𝐴𝐵𝐶是直角三角形；
④∵∠𝐴= 2∠𝐵= 3∠𝐶，
∴∠𝐴+ ∠𝐵+ ∠𝐶=
1
3∠𝐴+
1
2∠𝐴+ ∠𝐴= 180°，
∠𝐴=
1080°
11 ，
∴△𝐴𝐵𝐶为钝角三角形．
⑤∵∠𝐴= ∠𝐵=
1
2∠𝐶，
∴∠𝐴+ ∠𝐵+ ∠𝐶=
1
2∠𝐶+
1
2∠𝐶+ ∠𝐶= 180°，
则∠𝐶= 90°，
∴△𝐴𝐵𝐶是直角三角形；
⑥∵∠𝐴=
1
2∠𝐵=
1
3∠𝐶，
∴∠𝐴+ ∠𝐵+ ∠𝐶= 3∠𝐴+ 2∠𝐴+ ∠𝐴= 180°，
解得：∠𝐴= 30°，
∴∠𝐶= 90°，
∴△𝐴𝐵𝐶是直角三角形．
故选C
2．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵𝐴𝐶= 70°,∠𝐵= 40°,𝐴𝐷为边𝐵𝐶上的高，𝐶𝐸平分∠𝐴𝐶𝐵交𝐴𝐵于点𝐸，交𝐴𝐷于点𝐹，
则∠𝐴𝐹𝐸的大小为（ ）
A．55°
B．65°
C．75°
D．56°
【答案】A
【分析】本题考查了三角形内角和定理，先求出∠𝐴𝐶𝐵的度数，再根据角平分线求出∠𝐵𝐶𝐸的度数，根据高
线，求出∠𝐶𝐹𝐷的度数，由此得出∠𝐴𝐹𝐸的大小．
【详解】解：∵∠𝐵𝐴𝐶+ ∠𝐵+ ∠𝐴𝐶𝐵= 180°，∠𝐵𝐴𝐶= 70°,∠𝐵= 40°,
∴∠𝐴𝐶𝐵= 180°−70°−40° = 70°，
∵𝐶𝐸平分∠𝐴𝐶𝐵，
∴∠𝐵𝐶𝐸=
1
2∠𝐴𝐶𝐵= 35°，
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∵𝐴𝐷为边𝐵𝐶上的高，
∴𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，
∴∠𝐶𝐹𝐷= 90°−∠𝐵𝐶𝐸= 55°，
∴∠𝐴𝐹𝐸= ∠𝐶𝐹𝐷= 55°，
故选：A．
3．如图所示，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐵𝐷，𝐶𝐸是两条高，∠𝐴= 50°，则∠𝐵𝑂𝐶的度数为（ ）
A．110°
B．120°
C．130°
D．140°
【答案】C
【分析】本题考查了三角形的高的定义，直角三角形两个锐角互余，三角形的外角的性质，掌握以上知识
是解题的关键．根据直角三角形中的两个锐角互余求得：∠𝐴𝐵𝐷= 40°，根据三角形的外角性质可得
∠𝐵𝑂𝐶= ∠𝐴𝐵𝐷+ ∠𝐵𝐸𝑂，即可求解．
【详解】解： ∵在△𝐴𝐵𝐶中，𝐵𝐷，𝐶𝐸是两条高，∠𝐴= 50°，
∴ ∠𝐵𝐸𝐶= ∠𝐵𝐷𝐴= 90°，∠𝐴𝐵𝐷= 90°−∠𝐴= 40°，
∴ ∠𝐵𝑂𝐶= ∠𝐴𝐵𝐷+ ∠𝐵𝐸𝑂= 40° + 90° = 130°，
故选：C．
4．如果将一副三角板按如图方式叠放，那么∠1等于（ ）
A．105°
B．75°
C．60°
D．45°
【答案】B
【分析】此题考查了三角形内角和定理，根据三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：∵∠𝐴= 30°，∠𝐴𝐷𝐺= 90°
∴∠𝐴𝐺𝐷= 180°−∠𝐴−∠𝐴𝐷𝐺= 60°
∴∠𝐸𝐺𝐹= ∠𝐴𝐺𝐷= 60°
∵∠𝐸= 45°
∴∠1 = 180°−∠𝐸𝐺𝐹−∠𝐸= 75°．
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第 28 页 共 36 页
故选：B．
5．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，点𝑂为∠𝐴𝐵𝐶和∠𝐴𝐶𝐵的角平分线的交点，连接𝑂𝐴, 𝑂𝐵, 𝑂𝐶，作△𝐴𝑂𝐵的一条角平分
线𝐴𝐷．若∠𝐵𝐴𝐶= 𝛼，则∠1 + ∠2的度数为（ ）
A．90° +
3
4𝛼
B．120° +
1
2𝛼
C．160°
D．180°−
1
4𝛼
【答案】A
【分析】本题主要考查三角形的内角和定理，角平分线的定义等知识，根据角平分线定义可得∠2 = 90° +
𝛼
2，∠1 =
𝛼
4，从而可求出∠1 + ∠2．
【详解】解：∵∠𝐵𝐴𝐶+ ∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵= 180°,∠𝐵𝐴𝐶= 𝛼，
∴∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵= 180°−𝛼，
∵𝐵𝑂是∠𝐴𝐵𝐶的平分线，𝐶𝑂是∠𝐴𝐶𝐵的平分线，
∴∠𝐶𝐵𝑂=
1
2∠𝐴𝐵𝐶,∠𝐵𝐶𝑂=
1
2∠𝐴𝐶𝐵，
∴∠𝐶𝐵𝑂+ ∠𝐵𝐶𝑂=
1
2∠𝐴𝐵𝐶+
1
2∠𝐴𝐶𝐵=
1
2(∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵) =
1
2(180°−𝛼) = 90°−
𝛼
2，
∵∠𝑂𝐶𝐵+ ∠𝑂𝐵𝐶+ ∠2 = 180°，
∴∠2 = 180°−(∠𝑂𝐶𝐵+ ∠𝑂𝐵𝐶) = 180°−90°−
𝛼
2 = 90° +
𝛼
2，
∵𝐴𝑂是∠𝐵𝐴𝐶和平分线，
∴∠𝐵𝐴𝑂=
1
2∠𝐵𝐴𝐶=
1
2𝛼，
∵𝐴𝐷是∠𝐵𝐴𝑂的平分线，
∴∠1 =
1
2∠𝐵𝐴𝑂=
1
2 ×
1
2𝛼=
1
4𝛼，
∴∠1 + ∠2 =
1
4𝛼+ 90° +
1
2𝛼= 90° +
3
4𝛼,
故选：A．
6．在一个直角三角形中，已知一个锐角比另一个锐角的4倍多15°，则较小锐角的度数为
．
【答案】15°/15 度
【分析】本题考查了直角三角形两锐角互余的性质，关键步骤是正确设定变量并准确列方程，最终求出较
小的锐角度数．本题设定未知数，根据直角三角形两锐角互余的性质，建立方程求解较小的锐角度数．
【详解】解：设较小的锐角为𝑥°，则较大的锐角为4𝑥+ 15°，
根据直角三角形两锐角之和为90°，得：
𝑥+ (4𝑥+ 15) = 90，
解得：𝑥= 15，
所以较小锐角的度数为15°．
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故答案为：15°．
7．如图，点𝑂是△𝐴𝐵𝐶内一点，𝑂𝐴、𝑂𝐶分别平分∠𝐵𝐴𝐶、∠𝐵𝐶𝐴，∠𝐵= 64°，则∠𝑂=
．
【答案】122°/122 度
【分析】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义，熟练掌握三角形的内角和定理，并掌握整体法是
解题的关键．利用角平分线定义得出∠𝑂𝐴𝐶=
1
2∠𝐵𝐴𝐶，∠𝑂𝐶𝐴=
1
2∠𝐵𝐶𝐴，再利用三角形内角和定理得出
∠𝐵𝐴𝐶+ ∠𝐵𝐶𝐴= 116°，则可得∠𝑂𝐴𝐶+ ∠𝑂𝐶𝐴=
1
2(∠𝐵𝐴𝐶+ ∠𝐵𝐶𝐴) = 58°，再利用三角形内角和定理求解即
可．
【详解】解：∵𝑂𝐴、𝑂𝐶分别平分∠𝐵𝐴𝐶、∠𝐵𝐶𝐴，
∴∠𝑂𝐴𝐶=
1
2∠𝐵𝐴𝐶，∠𝑂𝐶𝐴=
1
2∠𝐵𝐶𝐴，
∵∠𝐵= 64°，
∴∠𝐵𝐴𝐶+ ∠𝐵𝐶𝐴= 180°−∠𝐵= 116°，
∴∠𝑂𝐴𝐶+ ∠𝑂𝐶𝐴=
1
2∠𝐵𝐴𝐶+
1
2∠𝐵𝐶𝐴=
1
2(∠𝐵𝐴𝐶+ ∠𝐵𝐶𝐴) =
1
2 × 116° = 58°，
∴∠𝐶= 180°−∠𝑂𝐴𝐶−∠𝑂𝐶𝐴= 180°−(∠𝑂𝐴𝐶+ ∠𝑂𝐶𝐴) = 180°−58° = 122°，
故答案为：122°．
8．如图，巡逻艇𝐶在游轮A 北偏东60°的方向上，巡逻艇𝐶在游轮𝐵北偏东15°的方向上，游轮𝐵位于游轮A
的正东方向，则∠𝐴𝐶𝐵的度数为 °．
【答案】45
【分析】本题考查了方位角，三角形内角和定理等知识点，掌握三角形内角和定理成为解题的关键．
先求出∠𝐶𝐴𝐵、∠𝐶𝐵𝐴的度数，然后根据三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：由题意知∠𝐶𝐴𝐷= 60°，∠𝐶𝐵𝐸= 15°，∠𝐷𝐴𝐵= ∠𝐸𝐵𝐴= 90°，
∴∠𝐶𝐴𝐵= ∠𝐷𝐴𝐵−∠𝐷𝐴𝐶= 30°，∠𝐶𝐵𝐴= ∠𝐶𝐵𝐸+ ∠𝐴𝐵𝐸= 105°，
∴∠𝐴𝐶𝐵= 180°−∠𝐶𝐴𝐵−∠𝐴𝐵𝐶= 45°．
故答案为：45．
9．如图，在Rt △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵= 90°，∠𝐴= 58°，𝐷，𝐸分别在𝐵𝐶，𝐴𝐶上，将△𝐶𝐷𝐸沿𝐷𝐸折叠得到△𝐹𝐷𝐸，
且𝐸𝐹∥𝐶𝐵，则∠𝐷𝐸𝐹的度数为
．
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【答案】74°/74 度
【分析】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，平行线的性质，根据三角形内角和可以求出∠𝐶的度
数，由折叠性质得出∠𝐹𝐷𝐸= ∠𝐶𝐷𝐸，∠𝐹= ∠𝐶= 32°，再根据平行线性质得到∠𝐹= ∠𝐹𝐷𝐵= 32°，然后通过
平角定义可得∠𝐹𝐷𝐸= ∠𝐶𝐷𝐸= 74°，最后由平行线的性质得出∠𝐷𝐸𝐹= ∠𝐶𝐷𝐸= 74°，掌握知识点的应用是
解题的关键．
【详解】解：∵∠𝐵= 90°，∠𝐴= 58°，
∴∠𝐶= 32°，
由折叠性质可知，∠𝐹𝐷𝐸= ∠𝐶𝐷𝐸，∠𝐹= ∠𝐶= 32°，
∵𝐸𝐹∥𝐶𝐵，
∴∠𝐹= ∠𝐹𝐷𝐵= 32°，
∵∠𝐹𝐷𝐸+ ∠𝐶𝐷𝐸+ ∠𝐹𝐷𝐵= 180°，
∴∠𝐹𝐷𝐸= ∠𝐶𝐷𝐸= 74°，
∵𝐸𝐹∥𝐶𝐵，
∴∠𝐷𝐸𝐹= ∠𝐶𝐷𝐸= 74°，
故答案为：74°．
10．在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵= 40°，若从顶点𝐴作高线𝐴𝐷和角平分线𝐴𝐸，𝐴𝐷与𝐴𝐸的夹角为5°，则∠ 𝐶的度数为
°．
【答案】30或50
【分析】本题考查了三角形的高和角平分线，三角形内角和定理，分∠𝐵> ∠𝐶和∠𝐵< ∠𝐶两种情况，分别画
出图形解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键．
【详解】解：当∠𝐵> ∠𝐶时，如图①，
∵𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，
∴∠𝐴𝐷𝐵= 90°，
∵∠𝐵= 40°，
∴∠𝐵𝐴𝐷= 50°，
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∵∠𝐷𝐴𝐸= 5°，
∴∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐵𝐴𝐷+ ∠𝐷𝐴𝐸= 50° + 5° = 55°，
∵𝐴𝐸是∠𝐵𝐴𝐶的角平分线，
∴∠𝐵𝐴𝐶= 2∠𝐵𝐴𝐸= 2 × 55° = 110°，
∴∠𝐶= 180°−∠𝐵𝐴𝐶−∠𝐵= 180°−110°−40° = 30°；
当∠𝐵< ∠𝐶时，如图②，
∵𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，
∴∠𝐴𝐷𝐵= 90°，
∵∠𝐵= 40°，
∴∠𝐵𝐴𝐷= 50°，
∵∠𝐷𝐴𝐸= 5°，
∴∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐵𝐴𝐷−∠𝐷𝐴𝐸= 50°−5° = 45°，
∵𝐴𝐸是∠𝐵𝐴𝐶的角平分线，
∴∠𝐵𝐴𝐶= 2∠𝐵𝐴𝐸= 2 × 45° = 90°，
∴∠𝐶= 180°−∠𝐵𝐴𝐶−∠𝐵= 180°−90°−40° = 50°；
综上，∠ 𝐶的度数为30°或50°，
故答案为：30或50．
11．如图，𝐶𝐸⊥𝐴𝐷，垂足为E．∠𝐴= ∠𝐶．求证：△𝐴𝐵𝐷是直角三角形
【答案】见解析
【分析】先根据直角三角形两锐角互余可得∠𝐶+ ∠𝐷= 90°；再求出∠𝐴+ ∠𝐷= 90°，进而得到∠𝐴𝐵𝐷= 90°，
再判定即可．
【详解】证明：∵𝐶𝐸⊥𝐴𝐷，
∴∠𝐶𝐸𝐷= 90°，
∴∠𝐶+ ∠𝐷= 90°，
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∵∠𝐴= ∠𝐶，
∴∠𝐴+ ∠𝐷= 90°，
∴∠𝐴𝐵𝐷= 90°，
∴△𝐴𝐵𝐷是直角三角形．
【点睛】本题考查了直角三角形两锐角互余的性质，垂直的定义，是基础题，熟记性质是解题的关键．
12．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，𝐴𝐸平分∠𝐵𝐴𝐶．
(1)若∠𝐶= 70°，∠𝐵= 30°，求∠𝐷𝐴𝐸的度数；
(2)若∠𝐶−∠𝐵= 20°，求∠𝐷𝐴𝐸的度数．
【答案】(1)20°
(2)10°
【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的性质及直角三角形的性质．
（1）先根据三角形内角和定理求出∠𝐵𝐴𝐶的度数，再根据角平分线的定义求出∠𝐶𝐴𝐸的度数即可；根据
𝐴𝐷⊥𝐵𝐶及三角形内角和定理可求出∠𝐶𝐴𝐷的度数，再由∠𝐷𝐴𝐸= ∠𝐶𝐴𝐸−∠𝐶𝐴𝐷即可求出∠𝐷𝐴𝐸的度数；
（2）先根据三角形内角和定理及角平分线的性质用∠𝐵、∠𝐶表示出∠𝐶𝐴𝐸的度数，再根据直角三角形的性质
用∠𝐶表示出∠𝐶𝐴𝐷的度数，∠𝐷𝐴𝐸= ∠𝐶𝐴𝐸−∠𝐶𝐴𝐷，化简即可求出∠𝐷𝐴𝐸的度数．
【详解】（1）解：∵在△𝐴𝐵𝐶中∠𝐶= 70°，∠𝐵= 30°，
∴∠𝐵𝐴𝐶= 180°−∠𝐶−∠𝐵= 180°−70°−30° = 80°，
∵𝐴𝐸平分∠𝐵𝐴𝐶，
∴∠𝐶𝐴𝐸=
1
2∠𝐵𝐴𝐶=
1
2 × 80° = 40°；
∵𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，∠𝐶= 70°，
∴∠𝐶𝐴𝐷= 90°−∠𝐶= 90°−70° = 20°，
∴∠𝐷𝐴𝐸= ∠𝐶𝐴𝐸−∠𝐶𝐴𝐷= 40°−20° = 20°；
（2）解：∵𝐴𝐸平分∠𝐵𝐴𝐶，
∴∠𝐶𝐴𝐸=
1
2(180°−∠𝐶−∠𝐵)，
∵𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，
∴∠𝐶𝐴𝐷= 90°−∠𝐶，
∴∠𝐷𝐴𝐸= ∠𝐶𝐴𝐸−∠𝐶𝐴𝐷=
1
2(180°−∠𝐶−∠𝐵)−(90°−∠𝐶) =
1
2(∠𝐶−∠𝐵) = 10°．
13．在一个三角形中，如果一个内角是另一个内角的3 倍，这样的三角形我们称为“三倍角三角形”．例如，
三个内角分别为100°,60°,20°的三角形是“三倍角三角形”．
(1)在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴= 25°,∠𝐵= 80°，△𝐴𝐵𝐶是“三倍角三角形”吗？请判断并说明理由．
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(2)若△𝐴𝐵𝐶是“三倍角三角形”，且∠𝐴= 24°，求△𝐴𝐵𝐶中最小内角的度数．
【答案】(1) △𝐴𝐵𝐶是“三倍角三角形”，理由见解析
(2)8°或24°
【分析】本题考查新定义问题，涉及三角形内角和定理，读懂题意，理解“三倍角三角形”是解决问题的关键．
（1）根据定义，结合三角形内角和定理求解即可得到答案；
（2）根据题意，由定义，结合三角形内角和定理分三种情况求解即可得到答案．
【详解】（1）解：△𝐴𝐵𝐶是“三倍角三角形”，理由如下：
∵∠𝐴= 25°，∠𝐵= 80°，
∴∠𝐶= 180°−25°−80° = 75° = 25° × 3，
∴△𝐴𝐵𝐶是“三倍角三角形”．
（2）解：∵∠𝐴= 24°，
∴∠𝐵+ ∠𝐶= 156°，
设最小的角为𝑥，
①当24° = 3𝑥时，𝑥= 8°，满足题意；
②当𝑥= 24°时，另外两个角为24° × 3 = 72°，180°−24°−72° = 84°，满足题意；
③当𝑥+ 3𝑥= 156°时，𝑥= 39°，24 < 39，（不合题意，舍去）
答：△𝐴𝐵𝐶中最小内角的度数为8°或24°．
14．已知，△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶交𝐵𝐶于点𝐷，𝐴𝐸⊥𝐵𝐶，垂足为𝐸， 𝐶𝐹∥𝐴𝐷．
(1)如图①，∠𝐵= 30°，∠𝐴𝐶𝐵= 70°，求∠𝐶𝐹𝐸的度数；
(2)若（1）中的∠𝐵= 𝛼，∠𝐴𝐶𝐵= 𝛽，(𝛼< 𝛽)则∠𝐶𝐹𝐸= ；（用𝛼、𝛽表示）
(3)如图②，（2）中的结论还成立么？请说明理由．
【答案】(1)20°
(2)
1
2𝛽−
1
2𝛼
(3)见解析
【分析】（1）根据三角形的内角和及角平分线得到∠𝐴𝐷𝐸，再利用平行线的性质即可得到∠𝐶𝐹𝐸的度数．
（2）根据三角形的内角和及角平分线得到∠𝐴𝐷𝐸，再利用平行线的性质即可得到∠𝐶𝐹𝐸的度数；
（3）根据三角形的内角和及角平分线得到∠𝐴𝐷𝐸，再利用平行线的性质得到∠𝐹𝐶𝐸的度数，最后利用直角三
角形的内角和即可得到∠𝐶𝐹𝐸的度数．
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【详解】（1）解：∵△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵= 30°，∠𝐴𝐶𝐵= 70°，
∴∠𝐵𝐴𝐶= 180°−(∠𝐵+ ∠𝐴𝐶𝐵) = 80°，
∵𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶交𝐵𝐶于点𝐷，
∴∠𝐵𝐴𝐷=
1
2∠𝐵𝐴𝐶= 40°，
∴∠𝐴𝐷𝐶= ∠𝐵𝐴𝐷+ ∠𝐵= 40° + 30° = 70°，
∵𝐴𝐸⊥𝐵𝐶，
∴∠𝐷𝐴𝐸= 90°−∠𝐴𝐷𝐶= 90°−70° = 20°，
∵𝐶𝐹∥𝐴𝐷，
∴∠𝐶𝐹𝐸= ∠𝐷𝐴𝐸= 20°，
（2）解：∵△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵= 𝛼，∠𝐴𝐶𝐵= 𝛽，
∴∠𝐵𝐴𝐶= 180°−(∠𝐵+ ∠𝐴𝐶𝐵) = 180°−(𝛼+ 𝛽)，
∵𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶交𝐵𝐶于点𝐷，
∴∠𝐵𝐴𝐷=
1
2[180°−(𝛼+ 𝛽)] = 90°−
1
2(𝛼+ 𝛽)，
∴∠𝐴𝐷𝐶= ∠𝐵𝐴𝐷+ ∠𝐵= 90°−
1
2(𝛼+ 𝛽) +𝛼= 90° +
1
2(𝛼−𝛽)，
∵𝐴𝐸⊥𝐵𝐶，
∴∠𝐴𝐸𝐷= 90°，
∴∠𝐷𝐴𝐸= 90°−∠𝐴𝐷𝐶= 90°−90° +
1
2(𝛼−𝛽) =
1
2(𝛽−𝛼)，
∵𝐶𝐹∥𝐴𝐷，
∴∠𝐶𝐹𝐸= ∠𝐴𝐷𝐶=
1
2(𝛽−𝛼) =
1
2𝛽−
1
2𝛼，
故答案为：
1
2𝛽−
1
2𝛼．
（3）解：（2）中的结论成立，理由如下：
∵△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵= 𝛼，∠𝐴𝐶𝐵= 𝛽，
∴∠𝐵𝐴𝐶= 180°−(∠𝐵+ ∠𝐴𝐶𝐵) = 180°−(𝛼+ 𝛽)，
∵𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶交𝐵𝐶于点𝐷，
∴∠𝐵𝐴𝐷=
1
2∠𝐵𝐴𝐶=
1
2[180°−(𝛼+ 𝛽)] = 90°−
1
2(𝛼+ 𝛽)，
∴∠𝐴𝐷𝐶= ∠𝐵𝐴𝐷+ ∠𝐵= 90°−
1
2(𝛼+ 𝛽) +𝛼= 90° +
1
2(𝛼−𝛽)，
∵𝐶𝐹∥𝐴𝐷，
∴∠𝐹𝐶𝐸= ∠𝐴𝐷𝐶= 90° +
1
2(𝛼−𝛽)，
∵𝐴𝐸⊥𝐵𝐶，
∴∠𝐹𝐸𝐶= 90°，
∴∠𝐶𝐹𝐸= 90°−∠𝐹𝐶𝐸= 90°−90° +
1
2(𝛼−𝛽) =
1
2𝛽−
1
2𝛼．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，外角的性质，平行线的性质以及直角三角形
预习讲义 第04 讲 三角形的内角（解析版）
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的两锐角互余等知识点，掌握三角形外角的性质是解题的关键．
15．如图，已知：点𝐷,𝐸分别在△𝐴𝐵𝐶的边𝐴𝐶,𝐴𝐵上，连接𝐵𝐷,𝐶𝐸,𝐵𝐷与𝐶𝐸交于点𝑂，∠𝐵𝑂𝐶−∠𝐵𝐴𝐶= 51°．
(1)如图1，当𝐵𝐷,𝐶𝐸都是△𝐴𝐵𝐶的角平分线时，求∠𝐵𝑂𝐶的度数；
(2)如图2，当𝐵𝐷,𝐶𝐸都是△𝐴𝐵𝐶的高时，求∠𝐵𝑂𝐶的度数；
(3)如图3，当∠𝐴𝐵𝑂= 2∠𝐴𝐶𝐸时，探究∠𝐵𝐸𝑂与∠𝐶𝐷𝑂的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)129°
(2)115.5°
(3)∠𝑂𝐷𝐶−∠𝐵𝐸𝑂= 17°，见解析
【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠𝐷𝐵𝐶+ ∠𝐸𝐶𝐵=
1
2 (∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵)，结合三角形的内角和定理，
得出∠𝐵𝑂𝐶= 180°−(∠𝐷𝐵𝐶+ ∠𝐸𝐶𝐵)，∠𝐵𝐴𝐶= 180°−2(∠𝐷𝐵𝐶+ ∠𝐸𝐶𝐵)，进而推出∠𝐷𝐵𝐶+ ∠𝐸𝐶𝐵= 51°，
即可求解；
（2）根据𝐵𝐷，𝐶𝐸都是△𝐴𝐵𝐶的高，可得出∠𝐴= 180°−∠𝐷𝑂𝐸，进而得出∠𝐴= 180°−∠𝐵𝑂𝐶，根据∠𝐵𝑂𝐶−∠
𝐴= 51°，则∠𝐵𝑂𝐶−(180°−∠𝐵𝑂𝐶) = 51°，求解即可；
（3）根据三角形的外角定理可得∠𝐵𝐸𝑂= ∠𝐴+ ∠𝐴𝐶𝐸，∠𝐵𝑂𝐶= ∠𝐴+ ∠𝐴𝐶𝐸+ ∠𝐴𝐵𝐷，根据∠𝐵𝑂𝐶−∠
𝐴= 51°，∠𝐴𝐵𝐷= 2∠𝐴𝐶𝐸，得出51° = ∠𝐴𝐶𝐸+ 2∠𝐴𝐶𝐸，求出∠𝐴𝐶𝐸= 17°，∠𝐴𝐵𝐷= 34°，即可得出结论．
【详解】（1）解：∵𝐵𝐷，𝐶𝐸都是△𝐴𝐵𝐶的角平分线，
∴∠𝐷𝐵𝐶= ∠𝐴𝐵𝐷=
1
2 ∠𝐴𝐵𝐶，∠𝐸𝐶𝐵= ∠𝐴𝐶𝐸=
1
2 ∠𝐴𝐶𝐵，
∴∠𝐷𝐵𝐶+ ∠𝐸𝐶𝐵=
1
2 (∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵)，
∵∠𝐵𝑂𝐶= 180°−(∠𝐷𝐵𝐶+ ∠𝐸𝐶𝐵)，
∠𝐵𝐴𝐶= 180°−(∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵) = 180°−2(∠𝐷𝐵𝐶+ ∠𝐸𝐶𝐵)，
∴∠𝐵𝑂𝐶−∠𝐵𝐴𝐶= 180°−(∠𝐷𝐵𝐶+ ∠𝐸𝐶𝐵)−[180°−2(∠𝐷𝐵𝐶+ ∠𝐸𝐶𝐵)]
= ∠𝐷𝐵𝐶+ ∠𝐸𝐶𝐵= 51°
∴∠𝐵𝑂𝐶= 180°−(∠𝐷𝐵𝐶+ ∠𝐸𝐶𝐵) = 180°−51° = 129°；
（2）解：∵𝐵𝐷，𝐶𝐸都是△𝐴𝐵𝐶的高，
∴∠𝐴𝐷𝐵= ∠𝐴𝐸𝐶= 90°，
∵∠𝐴+ ∠𝐴𝐷𝐵+ ∠𝐷𝑂𝐸+ ∠𝐴𝐸𝐶= 360°，
∴∠𝐴+ 90° + ∠𝐷𝑂𝐸+ 90° = 360°，
∴∠𝐴= 180°−∠𝐷𝑂𝐸，
∵∠𝐷𝑂𝐸= ∠𝐵𝑂𝐶，
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∴∠𝐴= 180°−∠𝐵𝑂𝐶，
∵∠𝐵𝑂𝐶−∠𝐴= 51°，
∴∠𝐵𝑂𝐶−(180°−∠𝐵𝑂𝐶) = 51°，
∴∠𝐵𝑂𝐶= 115.5°．
（3）解：∠𝑂𝐷𝐶−∠𝐵𝐸𝑂= 17°，理由如下：
∵∠𝐵𝐸𝑂= ∠𝐴+ ∠𝐴𝐶𝐸，
∴∠𝐵𝑂𝐶= ∠𝐵𝐸𝑂+ ∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝐴+ ∠𝐴𝐶𝐸+ ∠𝐴𝐵𝐷，
∴∠𝐵𝑂𝐶−∠𝐴= ∠𝐴𝐶𝐸+ ∠𝐴𝐵𝐷．
∵∠𝐵𝑂𝐶−∠𝐴= 51°，∠𝐴𝐵𝐷= 2∠𝐴𝐶𝐸，
∴51° = ∠𝐴𝐶𝐸+ 2∠𝐴𝐶𝐸，
∴∠𝐴𝐶𝐸= 17°，
∴∠𝐴𝐵𝐷= 2 × 17° = 34°，
∵∠𝐵𝑂𝐶= ∠𝑂𝐷𝐶+ ∠𝐷𝐶𝑂= ∠𝐵𝐸𝑂+ ∠𝐴𝐵𝐷，
∴∠𝐵𝐸𝑂+ 34° = ∠𝑂𝐷𝐶+ 17°，
∴∠𝑂𝐷𝐶−∠𝐵𝐸𝑂= 17°．
