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专项训练03 整式的化简求值与含字母参数问题
【知识点1 整式的相关概念】
1.单项式：由数或字母的积组成的式子，单独的一个数或字母也是单项式。单项式中的数字因数是系数，
所有字母的指数和是次数。
2.多项式：几个单项式的和叫做多项式。多项式中每个单项式叫项，不含字母的项叫常数项，次数最高项
的次数是多项式的次数。
3.整式：单项式和多项式统称为整式。
【知识点2 整式的加减】
1.同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项。合并同类项时，同类项的系数相加，字母和
字母的指数不变。
2.去括号法则：括号前是“+”，去掉括号和它前面的“+”，原括号里各项符号不变；括号前是“-”，去
掉括号和它前面的“-”，原括号里各项符号都要改变。
3.整式加减运算法则：几个整式相加减，用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接，然后去括号，合
并同类项。
【题型1 整式的加减】
1.化简：
(1)
(2)
2.化简：
(1)
(2)
【题型2 整式的加减中化简求值】
3.先化简，再求值：
，其中
，
．
4.先化简再求值：
(1)
，其中
．
(2)
，其中
，
．
【题型3 多项式系数，指数中字母求值】
5．若多项式
是四次三项式，则
．
6．已知有理数a 和有理数b 满足多项式A，
是关于x 的二次三项式，则
，
；
【题型4 已知同类项求指数中字母或代数式的值】
7．如果单项式
与
是同类项，则
．
8．若单项式
与
的差仍是单项式，则
的值为 ．
【题型5 整式加减运算中不含某一项的问题】
9．已知多项式
化简后不含
项．
(1)求
的值；
(2)化简并求多项式
的值．
10．已知关于x 的多项式
中不含
和x 项．
(1)求a，b 的值；
(2)试求当
时，这个多项式的值．
【题型6 整式加减运算中取值与字母无关的问题】
11．已知两个多项式：
，
．
(1)求：
；
(2)若（1）中式子的值与m 的取值无关，求n 的值．
12．已知
，
．
(1)当
时，求
的值；
(2)若
的值与a 的取值无关，求b 的值，并求
的值．
【题型7 整式加减中的新定义型问题】
13.定义：若
，则称
与
是关于
的相关数．
(1)若与
是关于
的相关数，则
______．
(2)若
与
是关于
的相关数，
，
的值与
无关，求
的值．
14.定义：若
，则称a 与b 是关于数n 的平均数．比如3 与
是关于
的平均数，7 与13 是关于
10 的平均数．
(1)填空：2 与_______是关于
的平均数，______与
是关于2 的平均数；
(2)现有
与
（k 为常数），且a 与b 始终是关于数n 的平均数，与x 的取值
无关，求n 的值．
【题型8 整式加减应用中图形面积与字母无关的问题】
15．把4 张形状、大小完全相同的小长方形卡片（如图1，长为b，宽为a）不重叠地放在如图2 所示长方
形盒子底部，盒子底面未被卡片覆盖的部分面积分别为
．记
的长为x，若
的值与x 无关，
则
可表示为 ．（用含a 的式子表示）
16．已知，有7 个完全相同的边长为
、
的小长方形（如图1）和1 个宽为10 的大长方形（如图2），
小明把这7 个小长方形按如图所示放置在大长方形中．
(1)当
时，大长方形的面积为______，阴影图形
的面积为______；
(2)请说明阴影
与阴影
的周长的和与小长方形的边长
的取值无关．
1．若
与
是同类项，则
的值为（ ）
A．2
B．4
C．8
D．16
2．如果
是关于x，y 的四次三项式，那么
（ ）
A．
B．
或3
C．3
D．
3．多项式
的值与x，y 的取值无关、则
的值为（ ）
A．1
B．－1
C．2026
D．－2026
4．定义一种新运算：
．如：
．若
的值与
的取值无关，
则
的值为（ ）
A．
B．
C．6
D．
5．如果单项式
与
是同类项，那么
___．
6．已知多项式
是关于
的四次三项式，
的值是______．
7．已知关于x，y 的多项式
与
的差不含二次项，则
______．
8．定义新运算“Δ”，对于任意有理数a，b，规定
，若
，
，则
的值为______．
9．先去括号，再合并同类项：
(1)
；
(2)
；
(3)
；
(4)
．
10．先化简，再求值：
，其中
．
11．已知单项式
与
是同类项．
(1)求m，n 的值；
(2)求
的值．
12．定义：若
，则称
与
是关于2 的友好数．
(1)3 与__________是关于2 的友好数；
(2)若
，
，判断与
是否关于2 的友好数，并说明理由．
13．已知整式
，其中a、b、c 为常数．
(1)若
的结果中不含
项和x 项，求a、b 的值；
(2)若对于任意x，
的值始终为
，求a、b、c 的值．
14．【阅读理解】我们知道：
，类似的，若我们把
看成一个整体，则有
．这种解决问题的方法渗透了数学中的“整体思
想”．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，其应用极为广泛．
【方法运用】
(1)把
看成一个整体，则
__________；
(2)已知
，求代数式
的值；
(3)当
时，代数式
的值是
，则当
时，求
的值（结果用含
的代数式
表示）．
【拓展应用】
(4)将一块长方形纸片剪成如图所示的
、
、
、
①
②
③
④4 个正方形和
一个小长方形，设
号正方形的边长
⑤
①
为
，
号正方形的边长为
②
，若图中
号小长方形的周长为
⑤
20，试求
号正方形的周长．
③
15．新定义型阅读理解题
【知识背景】
定义1：一个关于
，
的多项式，如果把其中
，
互换，所得的结果都与原式相同，则称此多项式是关
于
，
的二元对称多项式．如
，
都是关于
，
的二元对称多项式．
定义2：若多项式组
（
，
，
是关于
，
的整式)中的三个整式满足两个条件：
多项式
①
是二元对称多项式；
整式
②
，
通过加减运算后可得到整式
，我们把这样的多项式组称为“二元对称关联式”．
【知识应用】
(1)请你写出一个满足下列条件的二元对称多项式：
它是关于
①
，
的三次四项式；
它不能合并同类项
②
；
按照
③
的降幂排列．
(2)判断①
，②
能否成为“二元对称
关联式”，说明理由．
(3)若
是“二元对称关联式”，写出所有符合条件的多项式A．
1．已知
和
的和是单项式，x 与y 互为相反数（
），c 与d 互为倒数，则
．
2．已知关于
的多项式
和
，其中
（
为常数），
．
(1)若多项式
中不含
项，求
的值；
(2)当
时，求
；
(3)在（2）的条件下，若
，求
的值．
3．已知代数式
，
．
(1)求
；
(2)若单项式
与单项式
是同类项，求
的值；
(3)当m 取何值时，
的值与n 的取值无关．
4.阅读理解题
我们定义：如果两个多项式
与
的差为常数，且这个常数为正数，则称
是
的“雅常式”，这个常数
称为
关于
的“雅常值”，如多项式
，
，
，则
是
的“雅常式”，
关于
的“雅常值”为9
(1)已知多项式
，
，则
关于
的“雅常值”是______；
(2)多项式
是多项式
的“雅常式”且“雅常值”是3，已知多项式
，求多项式
(3)已知多项式
（
为常数），
，
是
的“雅常式”，求
关于
的“雅常值”
5.【知识回顾】
在学习代数式求值时，遇到这样一类题：“代数式
的值与x 的取值无关，求a 的值”．
通常的解题方法是把x，y 看作字母，把a 看作系数合并同类项．因为代数式的值与x 的取值无关，所以含
x 项的系数为0，即原式
，其中
，则
．
【方法应用】
（1）当
______，
______时，关于x 的多项式
不含
项和
项．
（2）已知
，
，且
的值与y 的取值无关，求x 的值．
【拓展延伸】
（3）淇淇用6 张长为b，宽为a 的长方形纸片按照如图所示的方式不重叠地放在大长方形
内，大长
方形中有两个部分未被覆盖，设左上角部分的面积为
，右下角部分的面积为
．当
的长发生变化时，
的值始终保持不变．请求出a 与b 之间的数量关系．
