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专项训练03 整式的化简求值与含字母参数问题
【知识点1 整式的相关概念】
1.单项式：由数或字母的积组成的式子，单独的一个数或字母也是单项式。单项式中的数字因数是系数，所
有字母的指数和是次数。
2.多项式：几个单项式的和叫做多项式。多项式中每个单项式叫项，不含字母的项叫常数项，次数最高项的
次数是多项式的次数。
3.整式：单项式和多项式统称为整式。
【知识点2 整式的加减】
1.同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项。合并同类项时，同类项的系数相加，字母和字
母的指数不变。
2.去括号法则：括号前是“+”，去掉括号和它前面的“+”，原括号里各项符号不变；括号前是“-”，去
掉括号和它前面的“-”，原括号里各项符号都要改变。
3.整式加减运算法则：几个整式相加减，用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接，然后去括号，合并
同类项。
【题型1 整式的加减】
1.化简：
(1)
2
3
5
4
x
y
x
y
(2)
2
2
2
2
4
5
2 3
4
a b
ab
a b
ab
【答案】(1)7x
y
(2)
2
2
2
3
a b
ab
【知识点】整式的加减运算
【分析】本题主要考查了整式的加减计算：
（1）先去括号，然后合并同类项即可得到答案；
（2）先去括号，然后合并同类项即可得到答案．
.
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【详解】（1）解：
2
3
5
4
x
y
x
y
2
3
5
4
x
y
x
y
7x
y
；
（2）解：
2
2
2
2
4
5
2 3
4
a b
ab
a b
ab
2
2
2
2
4
5
6
8
a b
ab
a b
ab
2
2
2
3
a b
ab
．
2.化简：
(1)
2
2
4
5
5
4
2
x
x
x
x
(2)
2 2
3
3 2
3
a
b
b
a
【答案】(1)
2
3
9
x
x
(2) 5a
【知识点】整式的加减运算
【分析】本题考查整式的加减运算：
（1）去括号后，合并同类项即可；
（2）去括号后，合并同类项即可．
【详解】（1）解：原式
2
2
2
4
5
5
4
2
3
9
x
x
x
x
x
x
；
（2）解：原式
4
6
6
9
5
a
b
b
a
a
．
【题型2 整式的加减中化简求值】
3.先化简，再求值：
2
2
2
2
5
10
3 2
2
5
2
x
y
xy
y
x
，其中
1
x ，
2
y ．
【答案】
2
3
y
xy
，10
【知识点】整式的加减中的化简求值
【分析】本题考查了整式的加减—化简求值，先去括号，再合并同类项即可化简，再代入
1
x ，
2
y 计
算即可得出答案，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
【详解】解：
2
2
2
2
5
10
3 2
2
5
2
x
y
xy
y
x
2
2
2
2
10
6
3
5
10
x
y
xy
y
x
2
3
y
xy
当
1
x ，
2
y 时，原式
2
2
3
1
2
10
．
4.先化简再求值：
(1)
2
2
1
4
1
2
1
4
2
2
x
x
x
x
，其中
3
x ．
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(2)
2
2
2
2
2
3
4
3
2
xy
xy
x
xy
x
y
y
，其中
3
2
x
，
1
4
y
．
【答案】(1)
2
4
5
6
x
x
，57
(2)
2
2
2
3
xy
x
y
，
97
16
【知识点】整式的加减中的化简求值
【分析】此题主要考查了整式的化简求值．熟练掌握去括号，合并同类项，再把给定字母的值代入计算，
是解决问题的关键．
（1）原式去括号后合并同类项得到最简结果，再将x 的值代入计算即可求出值．
（2）原式先去小括号合并同类项，接着去中括号合并同类项，再去大括号合并同类项，得到最简结果，最
后将x 与y 的值代入计算即可求出值．
【详解】（1）解：
2
2
1
4
1
2
1
4
2
2
x
x
x
x
2
2
4
4
2
2
2
x
x
x
x
2
4
5
6
x
x
，
当
3
x 时，
原式
2
4
3
5
3
6
57
；
（2）解：
2
2
2
2
2
3
4
3
2
xy
xy
x
xy
x
y
y
2
2
2
2
3
3
3
2
xy
xy
x
xy
y
y
2
2
2
3
xy
x
y
2
2
2
3
xy
x
y
，
当
3
2
x
，
1
4
y
时，
原式
2
2
3
1
3
1
97
2
3
2
4
2
4
16
．
【题型3 多项式系数，指数中字母求值】
5．若多项式
2
3
1
2
2
1
n
m
x y
xy
xy
是四次三项式，则m
n
．
【答案】2
【分析】本题主要考查多项式的定义、代数式求值等知识点，掌握多项式的定义是解题的关键．
根据多项式是四次三项式可知
2
0
m
，1
1
n
，可得m、n 的值，然后代入计算即可．
【详解】解：∵多项式
2
3
1
2
2
1
n
m
x y
xy
xy
是四次三项式，
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∴
2
0
m
，1
1
n
，
解得：
2,
4
m
n
，
∴
2
4
2
m
n
．
故答案为：2
．
6．已知有理数a 和有理数b 满足多项式A，
2
3
2
1
b
A
a
x
x
x
bx
a
是关于x 的二次三项式，则
a
，b
；
【答案】
1
3
【分析】本题主要考查多项式， 根据多项式的定义解决此题．
【详解】解：由题意得，
1
0
a
，
2
1
b
．
1
a
，
3
b 或
1
b
当
1
b 时
2
A
x
a
∵关于x 的二次三项式，当
1
b 时，
2
1
A
x
，是二次二项式，
∴
1
b 舍去
1
a
，
3
b ．
故答案为：1，3
．
【题型4 已知同类项求指数中字母或代数式的值】
7．如果单项式
1
2
7
m
n
x
y
与
3
3
5
n
x y
是同类项，则m
n
．
【答案】7
【分析】本题主要考查了代数式求值，同类项的定义，所含字母相同，相同字母的指数也相同的单项式叫
做同类项，据此列式求出m、n 的值， 再代值计算即可得到答案．
【详解】解：∵单项式
1
2
7
m
n
x
y
与
3
3
5
n
x y
是同类项，
∴
1
3
3
2
m
n
n
，
，
解得
4
3
m
n
，
，
∴
7
m
n
，
故答案为：7 ．
8．若单项式
2
m
x y 与
3
2
n
x y
的差仍是单项式，则
m
n 的值为
．
【答案】8
【分析】本题考查了同类项的定义，理解定义是关键．
根据题意单项式的差仍是单项式，得出两个单项式是同类项，再根据同类项的定义，含有相同的字母，相
同的字母相同，即可求解
,
m n 的值，则代数式的值即可求解．
【详解】解：根据题意得：
3,
2
m
n
，
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故
32
8
m
n
，
故答案为：8．
【题型5 整式加减运算中不含某一项的问题】
9．已知多项式
2
2
2
2
2
4
3
1
6
4
3
mx
x
x
x
y
x
化简后不含
2x 项．
(1)求m 的值；
(2)化简并求多项式
3
2
2
3
5
5
m
m
m
m
的值．
【答案】(1)
1
m
(2)
3
2
2
3
4
5
m
m
m
；2
【分析】本题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
（1）原式去括号合并得到最简结果，由结果不含
2x 项，即可得到m 的值；
（2）先将所求式子去括号合并得到最简结果，再将（1）中所求的m 的值代入，计算即可求出值．
【详解】（1）解：
2
2
2
2
2
4
3
1
6
4
3
mx
x
x
x
y
x
2
2
2
2
2
4
3
1 6
4
3
mx
x
x
x
y
x
2
2
2
2
2
4
1
mx
x
y
2
2
2
2
4
1
m
x
y
，
结果不含
2x 项，
2
2
0
m
，
解得
1
m ；
（2）
3
2
2
3
5
5
m
m
m
m
3
2
2
3
5
5
m
m
m
m
3
2
2
3
4
5
m
m
m
，
当
1
m 时，原式
3
2
2 1
3 1
4 1 5
2
．
10．已知关于x 的多项式
5
3
2
3
2
2
2
1
1
a
b x
a
x
b
x
b
x
中不含
3x 和x 项．
(1)求a，b 的值；
(2)试求当
2
x 时，这个多项式的值．
【答案】(1)
3
a
，
1
2
b
；
(2) 131
【分析】本题主要是考查了整式加减中的无关项问题．
（1）根据多项式里面不含
3x 和x 项，直接令
3x 和x 项的系数为0，求出a 、b 的值即可；
（2）再将
2
x 代入多项式中，求出多项式的值即可．
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【详解】（1）解：多项式
5
3
2
3
2
2
2
1
1
a
b x
a
x
b
x
b
x
不含
3x 和x 项，
3
0
a
，2
1
0
b ，
即
3
a
，
1
2
b
；
（2）解：
3
a
，
1
2
b
；
原多项式化简为：
5
2
7
5
1
2 x
x
，
当
2
x 时，
原式
5
2
7
2
5
2
1
112
20
1
131
2
．
【题型6 整式加减运算中取值与字母无关的问题】
11．已知两个多项式：
2
2
3
2
1
A
m
mn
m
，
2
1
B
m
mn
．
(1)求：
5
4
2
A
A
B
；
(2)若（1）中式子的值与m 的取值无关，求n 的值．
【答案】(1)5
2
3
mn
m
(2)
2
5
n
【分析】本题考查了整式的加减，解决本题的关键是按照计算法则和计算顺序计算．
（1）先化简
5
4
2
A
A
B
，再将A、B 代入计算即可；
（2）将（1）中的化简，即
5
2
3
5
2
3
mn
m
m
n
，因为（1）中式子的值与m 的取值无关，所以
5
2
0
n
，求出n 即可．
【详解】（1）解：
5
4
2
A
A
B
5
4
2
A
A
B
2
A
B
，
2
2
3
2
1
A
m
mn
m
，
2
1
B
m
mn
，
原式可化为
2
2
2
3
2
1
2
1
m
mn
m
m
mn
2
2
2
2
3
2
1 2
2
m
mn
m
m
mn
5
2
3
mn
m
；
（2）
5
4
2
A
A
B
5
2
3
mn
m
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5
2
3
m
n
，
因为（1）中式子的值与m 的取值无关，
所以5
2
0
n
，
即
2
5
n
．
12．已知
4
2
3
2
A
a
ab
b
，
15
6
B
a
b
ab
．
(1)当
3
2
a
b
ab
，
时，求2A
B
的值；
(2)若2A
B
的值与a 的取值无关，求b 的值，并求2A
B
的值．
【答案】(1)27
(2) 89
2
【分析】本题主要考查了整式的加减-化简求值，掌握整式的加减-化简求值的方法是关键．
（1）根据整式的加减计算法则求出2A
B
的结果，再把
3
2
a
b
ab
，
整体代入求解即可；
（2）将在（1）的基础上，进一步化简，要使2A
B
的值与a 的取值无关，则令含有a 的项的系数为0 即
可求出b 的值，再代入2A
B
即可求解2A
B
的值．
【详解】（1）解：2A
B
2 4
2
3
2
15
6
a
ab
b
a
b
ab
8
4
6
4
15
6
a
ab
b
a
b
ab
9
9
2
4
a
b
ab
9
2
4
a
b
ab
，
，
a
b
ab
3
2
，
原式
9
3
2
2
4
27
；
（2）由（1）可得
2
9
2
4
9
9
2
4
9
2
9
4
A
B
a
b
ab
a
b
ab
a
b
b
，
2A B
的值与a 的取值无关，
9
2
0
b
，
9
2
b
，
9
89
2
9
4
9
4
2
2
A
B
b
．
【题型7 整式加减中的新定义型问题】
13.定义：若x
y
m
，则称 x 与y 是关于m 的相关数．
(1)若5 与a 是关于2 的相关数，则a ______．
(2)若A与B 是关于 m 的相关数，
3
5
6
A
mn
m
n
，B 的值与m 无关，求B 的值．
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【答案】(1)3
(2)8
【知识点】整式的加减运算、整式加减中的无关型问题
【分析】（1）根据相关数的定义得到5
2
a
，从而得到a 的值；
（2）根据相关数的定义得到A
B
m
，从而
3
6
6
B
n
m
n
，根据B 的值与m 无关得到3
6
0
n
，
求出n 的值，从而得到B 的值．
本题考查了合并同类项，新定义问题，掌握与m 无关就合并同类项后让m 前面的系数等于0 是解题的关
键．
【详解】（1）解：∵5
2
a
，
∴
3
a
，
故答案为：3；
（2）解：∵A
B
m
，
∴3
5
6
mn
m
n
B
m
，
∴
3
5
6
B
mn
m
n
m
3
6
6
mn
m
n
3
6
6
n
m
n
，
∵B 的值与m 无关，
∴3
6
0
n
，
∴
2
n
，
∴
2
6
8
B
．
答：B 的值为8．
14.定义：若
2
a
b
n
，则称a 与b 是关于数n 的平均数．比如3 与4
是关于0.5
的平均数，7 与13 是关于
10 的平均数．
(1)填空：2 与_______是关于1
的平均数，______与2
5
x
是关于2 的平均数；
(2)现有
2
3
10
13
a
x
kx
与
2
3
5
6
b
x
x
k
（k 为常数），且a 与b 始终是关于数n 的平均数，与x 的取值
无关，求n 的值．
【答案】(1) 4
；2
1
x
(2)
5
n
【知识点】整式的加减运算、整式加减中的无关型问题
【分析】本题主要考查了整式的加减计算，整式加减中的无关型问题：
（1）根据所给的定义列式计算即可；
（2）先根据整式的加减计算法则求出
5 10
13
6
a
b
k x
k
，再根据a 与b 始终是关于数n 的平均数，
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与x 的取值无关，得到5 10
0
k
，则
0.5
k
，再由
13
6
2
a
b
k
n
，即可求出答案．
【详解】（1）解：设2 与m 是关于1
的平均数，
∴2
1 2
m
，
∴
4
m ；
设n 与2
5
x
是关于2 的平均数，
∴2
5
2
2
x
n
，
∴
2
1
n
x
；
故答案为：4
；2
1
x ；
（2）解：∵
2
3
10
13
a
x
kx
与
2
3
5
6
b
x
x
k
，
∴a
b
2
2
3
10
13
3
5
6
x
kx
x
x
k
2
2
3
10
13
3
5
6
x
kx
x
x
k
5 10
13
6
k x
k
，
∵a 与b 始终是关于数n 的平均数，与x 的取值无关，
∴5 10
0
k
，
∴
0.5
k
，
∴
13
6
13
6
0.5
10
2
a
b
k
n
，
∴
5
n
．
【题型8 整式加减应用中图形面积与字母无关的问题】
15．把4 张形状、大小完全相同的小长方形卡片（如图1，长为b，宽为a）不重叠地放在如图2 所示长方
形盒子底部，盒子底面未被卡片覆盖的部分面积分别为
1
2
S
S
、
．记AB 的长为x，若
1
2
4
S
S
的值与x 无关，
则
1
2
4
S
S
可表示为
．（用含a 的式子表示）
【答案】
2
4a
【知识点】整式加减中的无关型问题、整式加减的应用
【分析】此题考查了整式加减的应用，熟练掌握运算法则是解本题的关键．根据AB
x
，可求面积为
1S 的
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长方形的另一条边长为
b
x
，面积为
2
S 的长方形的另一条边长为
3a
x
，表示出
1
2
4
4
3
S
S
b b
x
a
a
x
，根据
1
2
4
S
S
的值与x 无关，可得
4
b
a
，依此用含a 的式子表示
1
2
4
S
S
的
值．
【详解】解：AB
x
，
∴面积为
1S 的长方形的另一条边长为
b
x
，面积为
2
S 的长方形的另一条边长为
3a
x
，
∴
1
2
4
4
3
S
S
b b
x
a
a
x
2
2
12
4
b
bx
a
ax
2
2
12
4
b
a
a
b x
，
1
2
4
S
S
的值与x 无关，
∴
4
b
a
，
∴
2
2
2
1
2
4
4
12
4
S
S
a
a
a
．
故答案为：
2
4a ．
16．已知，有7 个完全相同的边长为m 、n 的小长方形（如图1）和1 个宽为10 的大长方形（如图2），小
明把这7 个小长方形按如图所示放置在大长方形中．
(1)当
5,
2
m
n
时，大长方形的面积为______，阴影图形B 的面积为______；
(2)请说明阴影A 与阴影B 的周长的和与小长方形的边长m 的取值无关．
【答案】(1)130，40 ；
(2)见解析
【知识点】列代数式、整式加减的应用
【分析】本题考查了整式的加减运算的应用，解题关键是能根据图形和题意正确列出代数式，熟练掌握整
式混合运算的运算顺序和运算法则．
（1）求出长方形的长，然后利用长乘以宽求出面积即可，再求解阴影图形B 的长与宽，再计算面积即可；
（2 ）求出阴影A
B
、的周长，再求出周长和即可说明；
【详解】（1）解：当
5
m
，
2
n
时，大长方形的长为5
2 4
13
，
∴大长方形的面积为13 10
130
，
阴影图形B 的面积为：
4 2
10
5
8 5
40
；
（2）证明：阴影A 的周长为
2
2 10
3
2
6
20
m
n
m
n
，
阴影B 的周长为
4
2
10
2
2
8
20
n
m
m
n
，
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∴阴影A 与阴影B 的周长的和为：
2
6
20
2
8
20
2
6
20
2
8
20
2
40
m
n
m
n
m
n
m
n
n
，
∴阴影A 与阴影B 的周长的和与m 的取值无关．
1．若
1
3
m
x y
与
2
2
n
x y 是同类项，则mn 的值为（ ）
A．2
B．4
C．8
D．16
【答案】A
【详解】解：根据同类项的定义：所含字母相同，且相同字母的指数也相同的单项式是同类项，
∵
1
3
m
x y
与
2
2
n
x y 是同类项，
∴ 相同字母x 的指数相等，得
2
m
，相同字母y 的指数相等1，得
1
n ，
∴
2 1
2
mn
．
2．如果
1
2
3
3
m
x
y
m
xy
x
是关于x，y 的四次三项式，那么m （ ）
A．1
B．1
或3
C．3
D．3
【答案】A
【详解】解：∵
1
2
3
3
m
x
y
m
xy
x
是关于x ，y 的四次三项式
∴
1
2
4
m
，
3
0
m
，
解得
3
m
或
1
m ，
3
m
，
∴
1
m ．
3．多项式
2
2
3
3
5
6
mx
ny
y
x
的值与x，y 的取值无关、则
2026
m
n
的值为（ ）
A．1
B．－1
C．2026
D．－2026
【答案】A
【分析】先合并同类项，再根据多项式的值与x、y 取值无关得出对应项系数为0，求出m、n 的值，最后代
入计算即可．
【详解】解：
2
2
2
3
3
5
6
3
6
3
5
mx
ny
y
x
m
x
n y
，
∵多项式的值与x、y 的取值无关，
∴3
6
0
m
，3
0
n
，
解得：
2
m ，
3
n
，
∴
2026
2026
2026
2
3
1
1
m
n
．
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4．定义一种新运算：
a
b
ad
bc
c
d
．如：
2
3
2 5
3 4
2
4
5
．若
1
4
3
x
k
x
的值与x 的取值无关，则
1
4
3
x
k
x
的值为（ ）
A．9
B．4
C．6
D．8
【答案】A
【分析】本题考查整式加减中的无关型问题，先根据新运算规则展开代数式，再根据代数式的值与x 无关
时x 的系数为0 求出k，最后代入计算结果即可．
【详解】解：∵根据新运算定义，
1
3
1
4
4
3
x
k
x
k
x
x
，
∴展开得：
3
3
4
3
3
4
x
k
kx
k
x
k
．
∵该式的值与x 的取值无关，
∴x 的系数
3
0
k
．
∴解得
3
k
．
将
3
k
代入
3
3
4
k
x
k
，得0
3
4 3
3 12
9
x
．
故选：A．
5．如果单项式
1
3
ax
y
与
1
1
2
a
b
y
x
是同类项，那么a
b
___．
【答案】9
【分析】根据同类项的定义，得到相同字母的指数相等，列方程求出a 和b 的值，再计算a
b
．
【详解】解：单项式
1
3
ax
y
与
1
1
2
a
b
y
x
是同类项，
可得：
1
1
3
a
b
a
，
解得：
4
5
a
b
，
4
5
9
a
b
．
6．已知多项式
2
3
2
2
3
2
m
m
x
y
x y
xy
是关于,x y 的四次三项式，m 的值是______．
【答案】3
【分析】本题考查多项式的概念，根据多项式的次数和项数的定义，第一项的次数必须为4，且系数不为零，
以确保多项式为四次三项式．据此解答即可．
【详解】解：∵多项式是关于,x y 的四次三项式，
∴最高次项的次数为4，且项数为3．
∵第二项
2x y 的次数为2 1
3
，第三项
2
2xy
的次数为1
2
3
，
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故第一项
2
3
3
m
m
x
y
的次数必须为4，即
2
3
4
m
，解得
3
m
或
3
m
．
又∵多项式是三项式，第一项的系数
3
0
m
，即
3
m
，故
3
m
．
故答案为：3
．
7．已知关于x，y 的多项式
2
3
mx
xy
x
与
2
4
2
3
x
nxy
y
的差不含二次项，则m
n
______．
【答案】11
2
【分析】先计算
2
2
3
4
2
3
mx
xy
x
x
nxy
y
，然后根据关于x，y 的多项式
2
3
mx
xy
x
与
2
4
2
3
x
nxy
y
的差不含二次项，即可得到m、n 的值，再计算m
n
即可．
【详解】解：由题意可得，
2
2
3
4
2
3
mx
xy
x
x
nxy
y
2
2
3
4
2
3
mx
xy
x
x
nxy
y
2
4
3
2
3
m
x
n xy
x
y
，
关于x，y 的多项式
2
3
mx
xy
x
与
2
4
2
3
x
nxy
y
的差不含二次项，
4
0
m
，3
2
0
n
，
解得
4
m
，
3
2
n
，
3
11
4
2
2
m
n
，
故答案为：11
2 ．
8．定义新运算“Δ”，对于任意有理数a，b，规定
2
2
Δ
2
3
a b
a
b
a
b
，若
1
x ，
2
y
，则
Δ
Δ
x y
y x
的值为______．
【答案】7
【分析】本题考查新定义运算，求代数式的值．根据新定义求得
Δ
x y 和
Δ
y x 的值，再代入数据求解即
可．
【详解】解：∵
2
2
2
2
2
Δ
2
3
2
3
3
2
a b
a
b
a
b
a
b
a
b
b
a
，
∴
2
2
Δ
Δ
3
2
3
2
x y
y x
y
x
x
y
，
∵
1
x ，
2
y
，
∴
2
2
Δ
Δ
3 2
2
1
3
1
2 2
x y
y x
6
2
3
8
7
，
故答案为：7
．
9．先去括号，再合并同类项：
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(1)
5
3
a
a
b
；
(2)
2
2
2
2
2
2
a
ab
b
a
ab
b
；
(3)
2
2
2
2
3 2
2 3
2
x
y
y
x
；
(4)
2
2
5
4
2 5
4
2
x
x
x
x
．
【答案】(1) 4
3
a
b
(2)4ab
(3)
2
2
10
9
x
y
(4)
2
3
15
4
x
x
【详解】（1）解：
5
3
5
3
4
3
a
a
b
a
a
b
a
b
；
（2）解：
2
2
2
2
2
2
a
ab
b
a
ab
b
2
2
2
2
2
2
a
ab
b
a
ab
b
，
4ab
；
（3）解：
2
2
2
2
3 2
2 3
2
x
y
y
x
，
2
2
2
2
6
3
6
4
x
y
y
x
，
2
2
10
9
x
y
；
（4）解：
2
2
5
4
2 5
4
2
x
x
x
x
2
2
5
4 10
8
4
x
x
x
x
，
2
3
15
4
x
x
．
10．先化简，再求值：
2
2
2
2
3
5
2
7
16
25
ab
b
a
ab
a
b
，其中
2
1
2
0
a
b
．
【答案】
2
2
4
10
10
ab
a
b
，38
【分析】先去括号，然后合并同类项化简，再根据非负数的性质求出a、b 的值，最后代值计算即可．
【详解】解：
2
2
2
2
3
5
2
7
16
25
ab
b
a
ab
a
b
2
2
2
2
3
15
6
7
16
25
ab
b
a
ab
a
b
2
2
4
10
10
ab
a
b
，
∵
2
1
2
0
a
b
，
∴
1
0
a
，
2
0
b
，
解得：
1
a ，
2
b ，
∴原式
2
2
4 1
2
10 1
10
2
8 10
40
38
．
11．已知单项式
3
2n
x y
与
2
1
3
m
x y 是同类项．
(1)求m，n 的值；
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(2)求
3
2
3
3 2
3
4
mn
m
n
mn
m
n
的值．
【答案】(1)
3
m
，
1
n
(2)21
【详解】（1）解
3
2n
x y
与
2
1
3
m
x y 是同类项，
3
m
且2
2
n
3
m
且
1
n ；
（2）解：原式
3
2
3
6
9
12
mn
m
n
mn
m
n
，
3
7
9
mn
m
n
将
3
m
，
1
n 代入得，
原式
3 3 1
7
3
9 1
9
21
9
21
．
12．定义：若
2
a
b
，则称a 与b 是关于2 的友好数．
(1)3 与__________是关于2 的友好数；
(2)若
2
4
c
x
x
，
2
2
2
2
1
d
x
x
x
，判断c 与d 是否关于2 的友好数，并说明理由．
【答案】(1) 1
(2)是，见解析
【分析】此题考查了有理数的加法运算，整式的加减运算，解题的关键是掌握以上知识点．
（1）根据有理数的加法法则求解即可；
（2）根据题意计算
c
d 的值，然后判断即可．
【详解】（1）解：∵
3
1
2
∴3 与1
是关于2 的友好数；
（2）解：是，理由如下：
2
2
2
4
2
2
1
c
d
x
x
x
x
x
2
2
2
4
2
4
2
x
x
x
x
x
2
所以c 与d 是关于2 的友好数．
13．已知整式
2
2
2,
2
M
ax
bx
N
x
x
c
，其中a、b、c 为常数．
(1)若M
N
的结果中不含
2
x 项和x 项，求a、b 的值；
(2)若对于任意x，2M
N
的值始终为
2
3
2
1
x
x
，求a、b、c 的值．
【答案】(1)
1
a ，
2
b
(2)
1
a ，
0
b
，
5
c
【分析】（1）把M 与N 代入M
N
中，去括号合并后，根据结果不含
2
x 项和x 项，可求出a、b 的值；
（2）把M 与N 代入2M
N
中，去括号合并后，根据2M
N
的值始终为
2
3
2
1
x
x
，可分别得关于a、b、
c 的一元一次方程，解方程即可．
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【详解】（1）解：
2
2
2
2
2
1
2
2
M
c
N
ax
bx
x
x
x
b
x
c
a
，
∵M
N
的结果中不含
2
x 项和x 项，
∴
1
0
a
，
2
0
b
，
解得
1
a ，
2
b ；
（2）解：2M
N
2
2
2
2
2
ax
bx
x
x
c
2
2
2
4
1
2
b
x
c
a
x
，
∵对于任意x，2M
N
的值始终为
2
3
2
1
x
x
，
∴2
1
3
a
，2
2
2
b
，4
1
c
，
解得
1
a ，
0
b
，
5
c ．
14．【阅读理解】我们知道：
4
2
4
2 1
5
x
x
x
x
x
，类似的，若我们把
a
b
看成一个整体，则有
4
2
4
2 1
5
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
．这种解决问题的方法渗透了数学中的“整体思
想”．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，其应用极为广泛．
【方法运用】
(1)把
a
b
看成一个整体，则
2
2
2
3
7
2
a
b
a
b
a
b
__________；
(2)已知
2
2
5
x
y
，求代数式
2
3
6
21
x
y
的值；
(3)当
2025
x
时，代数式
2
1
ax
x
的值是m ，则当
2025
x
时，求
2
1
ax
x
的值（结果用含m 的代数式
表示）．
【拓展应用】
(4)将一块长方形纸片剪成如图所示的①、②、③、④4 个正方形和⑤一个小长方形，设①号正方形的边
长为x ，②号正方形的边长为y ，若图中⑤号小长方形的周长为20，试求③号正方形的周长．
【答案】(1)
2
2 a
b
(2)36
(3)
4050
m
(4)20
【分析】（1）按照“整体思想”进行计算即可；
（2）把
2
3
6
21
x
y
用
2
2
x
y
表示，然后整体代入即可；
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（3）由题意得
2
2025
1
2025
a
m
，再把
2025
x
代入，最后整体代入
2
2025
1
2025
a
m
即可求解；
（4）由题意可得③号正方形的边长，进而表示出④号正方形的边长，则可表示⑤号长方形的长与宽，根
据⑤号长方形的周长为20，可求得x
y
的值，从而求解．
【详解】（1）解：
2
2
2
2
2
3
7
2
3
7
2
2
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
；
（2）解：
2
2
3
6
21
3
2
21
3 5
21
36
x
y
x
y
；
（3）解：当
2025
x
时，代数式
2
1
ax
x
的值是m ，
即
2
2025
2025 1
a
m
，
∴
2
2025
1
2025
a
m
；
当
2025
x
时，
2
2
2
1
2025
2025 1
2025
1
2025
2025
2025
4050
ax
x
a
a
m
m
；
（4）解：∵①号正方形的边长为x ，②号正方形的边长为y ，
∴③号正方形的边长为x
y
，
∴④号正方形的边长为
2
x
y
x
x
y
，
∴⑤号长方形的长为2
3
x
y
x
x
y
，宽为y
x
，
由题意得
2 3
20
x
y
y
x
，
∴
5
x
y
，
则③号正方形的周长为4 5
20
．
15．新定义型阅读理解题
【知识背景】
定义1：一个关于x ，y 的多项式，如果把其中x ，y 互换，所得的结果都与原式相同，则称此多项式是关
于x ，y 的二元对称多项式．如x
y
，
2
2
3
x
xy
y
都是关于x ，y 的二元对称多项式．
定义2：若多项式组
, ,
A B C （A ，B ，C 是关于x ，y 的整式)中的三个整式满足两个条件：
①多项式C 是二元对称多项式；
②整式A ，B 通过加减运算后可得到整式C ，我们把这样的多项式组称为“二元对称关联式”．
【知识应用】
(1)请你写出一个满足下列条件的二元对称多项式：①它是关于x ，y 的三次四项式；②它不能合并同类项；
③按照x 的降幂排列．
(2)判断①
2
2
2
2
2
2
2
,
2
,
x
xy
y
x
xy
y
x
y
，②
2
2
2
2
2
,2
2
,
x
y
xy
xy
y
x
xy
y
能否成为“二元对称
关联式”，说明理由．
(3)若
2
2
2
,
,
2
A xy
y
x
xy
y
是“二元对称关联式”，写出所有符合条件的多项式A．
【答案】(1)
3
2
2
3
x
x y
xy
y
(答案不唯一)；
(2)①能成为“二元对称关联式”；②能成为“二元对称关联式”；
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(3)
2
3
x
xy
，
2
3
x
xy
，
2
2
2
x
xy
y
；
【分析】本题考查新定义下的多项式的相关概念与整式加减运算，核心是理解两个定义：二元对称多项式
是将x 与y 互换后与原式完全相同的多项式；“二元对称关联式”需同时满足两个条件：①多项式C 是二元对
称多项式；②整式A 与B 通过一次加法或减法运算可得到C ．
（1）根据三次四项式、二元对称多项式的要求，构造满足x 与y 互换后不变、无同类项、按x 降幂排列的
多项式即可；
（2）对每个多项式组，先验证C 是否为二元对称多项式，再验证A 与B 能否通过加减运算得到C ；
（3）利用“二元对称关联式”的条件，分A
B
C
、A
B
C
、B
A
C
三种情况列等式，求解对应的多
项式A ．
【详解】（1）解：根据定义，构造多项式
3
2
2
3
x
x y
xy
y
，该多项式是三次四项式，将x 与y 互换后结果
与原式一致，且无同类项可合并，按x 降幂排列；
故答案为：
3
2
2
3
x
x y
xy
y
(答案不唯一)．
（2）解：①对于多项式组
2
2
2
2
2
2
2
,
2
,
x
xy
y
x
xy
y
x
y
：
∵将
2
2
C
x
y
中的x 与y 互换，得
2
2
2
2
y
x
x
y
，与原式相同，
∴C 是二元对称多项式；
又∵
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
x
xy
y
x
xy
y
x
xy
y
x
xy
y
x
y
C
，
即A 与B 通过减法运算可得到C ，
∴该多项式组①能成为“二元对称关联式”；
②对于多项式组
2
2
2
2
2
,2
2
,
x
y
xy
xy
y
x
xy
y
：
∵将
2
2
C
x
xy
y
中的x 与y 互换，得
2
2
2
2
y
yx
x
x
xy
y
，与原式相同，
∴C 是二元对称多项式；
又∵
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
xy
y
x
y
xy
xy
y
x
y
xy
x
xy
y
C
，即B 与A 通过减法运算可得到C ，
∴该多项式组②能成为“二元对称关联式”；
（3）解：已知
2
2
2
A,
,
2
xy
y
x
xy
y
是“二元对称关联式”，其中
2
B
xy
y
，
2
2
2
C
x
xy
y
，易知C
是二元对称多项式，分三种情况讨论：
情况1：若A
B
C
，则
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
A
C
B
x
xy
y
xy
y
x
xy
y
xy
y
x
xy
；
情况2：若A
B
C
，则
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
A
C
B
x
xy
y
xy
y
x
xy
y
xy
y
x
xy
y
；
情况3：若B
A
C
，则
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
A
B
C
xy
y
x
xy
y
xy
y
x
xy
y
x
xy
；
综上，符合条件的多项式A 为
2
3
x
xy
，
2
3
x
xy
，
2
2
2
x
xy
y
．
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1．已知
2
25
m
a
b
和
6
1
7
n
a b 的和是单项式，x 与y 互为相反数（
0
x
），c 与d 互为倒数，则
n
y
m
cd
x
．
【答案】11
【分析】本题考查同类项的判断，相反数和倒数的定义，代数式求值．根据同类项的判断，求得m、n 的值，
由相反数的定义得出
0
x
y
，由倒数的定义得出
1
cd ，即可求解．
【详解】解：∵
2
25
m
a
b
和
6
1
7
n
a b 的和是单项式，
∴2
6
m
，
1
1
n ，
解得
3
m
，
2
n
，
∵x 与y 互为相反数，
∴
0
x
y
，
∴x
y
，
∵c 与d 互为倒数，
∴
1
cd ，
∴
23
1
9 1 1
11
n
y
y
m
cd
x
y
，
故答案为：11．
2．已知关于x 的多项式M 和N ，其中
2
(
2)
(
1)
3
M
a
x
b
x
（,a b 为常数），
2
5
3
N
x
x
．
(1)若多项式
2
(
2)
(
1)
3
a
x
b
x
中不含
2x 项，求a 的值；
(2)当
3,
2
a
b
时，求3M
N
；
(3)在（2）的条件下，若
2
5
3
4
0
x
x
，求3M
N
的值．
【答案】(1)
2
a
(2)
2
3
10
6
9
M
N
x
x
(3)3
1
M
N
【分析】本题考查的是整式的加减运算，求解代数式的值；
（1）由多项式
2
(
2)
(
1)
3
a
x
b
x
中不含
2x 项，可得
2
0
a
，再进一步求解即可；
（2）先代入，再去括号，合并同类项即可；
（3）由条件可得：
2
5
3
4
x
x
，再进一步变形整体代入计算即可.
【详解】（1）解：多项式
2
(
2)
(
1)
3
a
x
b
x
中不含
2x 项
2
0
a
，
2
a
；
（2）解：当
3,
2
a
b
时
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2
2
3
3 5
3
3
5
3
M
N
x
x
x
x
2
2
15
9
9
5
3
x
x
x
x
2
10
6
9
x
x
；
（3）解：由（2）可知，
2
3
10
6
9
M
N
x
x
2
5
3
4
0
x
x
，
2
5
3
4
x
x
，
2
3
2 5
3
9
M
N
x
x
2
4
9
1
；
3．已知代数式
2
2
3
2
A
m
mn
n
，
2
B
m
mn
m
．
(1)求
2
A
B
；
(2)若单项式
3
7
nx y 与单项式
2
9
m
x y
是同类项，求
2
A
B
的值；
(3)当m 取何值时，
2
A
B
的值与n 的取值无关．
【答案】(1)
2
5
2
2
A
B
mn
n
m
；
(2)28；
(3)
2
5
m
时，
2
A
B
的值与n 的取值无关．
【分析】本题考查了整式的加减运算，涉及到同类项概念的应用，熟练掌握整式加减运算法则是解题的关
键．
（1）把A，B 的代数式代入
2
A
B
中，去括号，合并同类项后，即可得到结果；
（2）根据同类项的概念，得到m，n 的值，代入
2
A
B
中，得到结果；
（3）根据题意，对
2
A
B
变形，得到5
2
0
m
，得到m 的值．
【详解】（1）解：∵
2
2
3
2
A
m
mn
n
，
2
B
m
mn
m
，
∴
2
2
2
2
3
2
2
A
B
m
mn
n
m
mn
m
2
2
2
3
2
2
2
2
m
mn
n
m
mn
m
2
2
2
2
3
2
2
2
m
m
mn
mn
n
m
5
2
2
mn
n
m
，
即
2
5
2
2
A
B
mn
n
m
；
（2）解：∵单项式
3
7
nx y 与单项式
2
9
m
x y
是同类项，
∴
2
n
，
3
m
，
∴
2
5
2
2
A
B
mn
n
m
5 3 2
2
2
2
3
28
；
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（3）解：
2
5
2
2
5
2
2
A
B
mn
n
m
m
n
m
，
∵
2
A
B
的值与n 的取值无关，
∴5
2
0
m
，
∴
2
5
m
，
即
2
5
m
时，
2
A
B
的值与n 的取值无关．
4.阅读理解题
我们定义：如果两个多项式A 与B 的差为常数，且这个常数为正数，则称A 是B 的“雅常式”，这个常数称为
A 关于B 的“雅常值”，如多项式
2
2
1
A
x
x
，
(
4)(
2)
B
x
x
，
2
2
1
A
B
x
x
(
4)(
2)
x
x
2
2
2
1
2
8
9
x
x
x
x
，则A 是B 的“雅常式”，A 关于B 的“雅常值”为9
(1)已知多项式
2
1
C
x
x
，
(
2)(
1)
D
x
x
，则C 关于D 的“雅常值”是______；
(2)多项式E 是多项式F 的“雅常式”且“雅常值”是3，已知多项式
2
(
3)
E
x
x
，求多项式F
(3)已知多项式
2
(
)
M
x
a
（a 为常数），
2
4
N
x
x
，M 是N 的“雅常式”，求M 关于N 的“雅常值”
【答案】(1)1
(2)
2
7
6
F
x
x
(3)4
【知识点】整式的加减运算、整式加减中的无关型问题
【分析】本题考查了整式的加减运算，注意计算的准确性即可．
（1）计算C
D
即可求解；
（2）由题意得
3
F
E
，据此即可求解；
（3）计算M
N
，令含未知数的项的系数为零即可求解．
【详解】（1）解：∵
2
1
C
x
x
，
(
2)(
1)
D
x
x
，
∴
2
1
C
D
x
x
2
2
(
2)(
1)
1
2
1
x
x
x
x
x
x
，
∴C 关于D 的“雅常值”是1
故答案为：1
（2）解：多项式E 是F 的“雅常式”且“雅常值”是3，
3
E
F
，
2
2
3
(
3)
3
7
6
F
E
x
x
x
x
.
（3）解：
2
2
(
)
4
M
N
x
a
x
x
2
2
2
2
4
x
ax
a
x
x
2
2
4
ax
x
a
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2
( 2
4)
a
x
a
.
M
是N 的雅常式，
4
2
0
a
，
2
a
，
2
4
a
，
M 关于N 的“雅常值”是4.
5.【知识回顾】
在学习代数式求值时，遇到这样一类题：“代数式
6
3
5
1
ax
y
x
y
的值与x 的取值无关，求a 的值”．通
常的解题方法是把x，y 看作字母，把a 看作系数合并同类项．因为代数式的值与x 的取值无关，所以含x
项的系数为0，即原式
3
6
5
a
x
y
，其中
3
0
a
，则
3
a ．
【方法应用】
（1）当b ______，c ______时，关于x 的多项式
4
3
2
3
5
1
5
1
x
b
x
c
x
x
不含
3x 项和
2x 项．
（2）已知
2
3
2
3
1
A
x
xy
y
，
2
2
2
1
B
x
xy
，且2
3
A
B
的值与y 的取值无关，求x 的值．
【拓展延伸】
（3）淇淇用6 张长为b，宽为a 的长方形纸片按照如图所示的方式不重叠地放在大长方形ABCD 内，大长
方形中有两个部分未被覆盖，设左上角部分的面积为
1S ，右下角部分的面积为
2
S ．当AD 的长发生变化时，
2
1
5
2
S
S
的值始终保持不变．请求出a 与b 之间的数量关系．
【答案】（1）5
，1；（2）
3
x ；（3）
5
b
a
【知识点】整式加减中的无关型问题、整式加减的应用
【分析】本题主要考查了整式加减运算和化简求值：
（1）根据多项式不含
3x 项和
2x 项，列出方程解答即可；
（2）先求2
3
A
B
，根据多项式的值与y 的取值无关可知：化简后的多项式含有y 的项的系数之和为0，列
出方程解答即可；
（3）观察图形，求出
1S 和
2
S 的面积，进而求出
2
1
5
2
S
S
，进行即可得到答案．
解题关键是熟练掌握多项式乘以多项式，单项式乘以多项式法则．
【详解】（1）∵关于x 的多项式
4
3
2
3
5
1
5
1
x
b
x
c
x
x
不含
3x 项和
2x 项，
∴
5
0
b
，
1
0
c
，
∴
5
1
b
c
，
，
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（2）∵
2
3
2
3
1
A
x
xy
y
，
2
2
2
1
B
x
xy
，
∴
2
2
2
3
2
3
2
3
1
3 2
2
1
A
B
x
xy
y
x
xy
2
2
6
4
6
2
6
6
3
x
xy
y
x
xy
2
6
1
xy
y
2
6
1
x
y
∵2
3
A
B
的值与y 的取值无关，
∴2
6
0
x
，
∴
3
x ；
（3）解：设AD
x
，
依题意，
1
4
4
S
b x
a
bx
ab
，
2
2 (
)
2
2
S
a x
b
ax
ab
，
∴
2
1
5
2
5 2
2
2
4
10
2
2
10
2
2
S
S
ax
ab
bx
ab
ax
bx
ab
a
b x
ab
，
∵当AD 的长发生变化时，
2
1
5
2
S
S
的值始终保持不变，
∴10
2
0
a
b
．即
5
b
a
．
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