文档内容
（北师大版）七年级上册数学《第 3 章 整式及其加减》
3.2 整式的加减
3.2.3 整式的加减
整式的加减
知识点
◆1、整式的加减：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项.
◆2、整式的加减步骤及注意问题
（1）整式的加减的实质就是去括号、合并同类项．一般步骤是：先去括号，然后合并同类项．
（2）去括号时，要注意两个方面：一是括号外的数字因数要乘括号内的每一项；二是当括号外是
“﹣”时，去括号后括号内的各项都要改变符号．
◆3、整式加减的最终结果
（1）不含括号、不含同类项;
（2）含字母项的系数不能出现带分数,带分数必须化成假分数;
（3）结果一般按某一字母的降幂或升幂排列.
1题型一 利用整式的加减计算
解题技巧提炼
用A、B表示的多项式分别是一个整体，先化简再代入求值时要把A、B加上括
号后，然后去括号再进行化简.
1．（2023秋•林州市期末）一个多项式与x2﹣2x+1的和是3x﹣2，则这个多项式为（ ）
A．x2﹣5x+3 B．﹣x2+x﹣1 C．﹣x2+5x﹣3 D．x2﹣5x﹣13
【分析】由题意可得被减式为3x﹣2，减式为x2﹣2x+1，根据差＝被减式﹣减式可得出这个多项式．
【解答】解：由题意得：这个多项式＝3x﹣2﹣（x2﹣2x+1），
＝3x﹣2﹣x2+2x﹣1，
2＝﹣x2+5x﹣3．
故选：C．
【点评】本题考查整式的加减，难度不大，注意在合并同类项时要细心．
2．（2023春•昌平区期中）已知A＝3x2+x﹣5，B＝﹣x﹣2x2+4，则A+B的结果为（ ）
A．2x2﹣x﹣1 B．5x2+2x﹣9 C．x2﹣1 D．4x2﹣x﹣1
【分析】根据整式的加减计算法则求解即可．
【解答】解：∵A＝3x2+x﹣5，B＝﹣x﹣2x2+4，
∴A+B＝3x2+x﹣5+（﹣x﹣2x2+4）
＝3x2+x﹣5﹣x﹣2x2+4
＝x2﹣1，
故选：C．
【点评】本题主要考查了整式的加减计算，熟知整式的加减计算法则是解题的关键．
3．（2023秋•淮阳区期末）若A＝x2﹣2xy+y2，B＝x2+2xy+y2，则下列各式运算结果等于4xy的是（ ）
A．A+B B．A﹣B C．﹣A+B D．﹣A﹣B
【分析】此题先根据合并同类项的法则分别进行计算，即可求出答案．
【解答】解：∵A＝x2﹣2xy+y2，B＝x2+2xy+y2，
∴﹣A＝﹣x2+2xy﹣y2，
∴﹣A+B＝﹣x2+2xy﹣y2+x2+2xy+y2
＝4xy，
∴运算结果等于4xy的是：﹣A+B；
故选：C．
【点评】此题考查了整式的加减；解决此类题目的关键是熟练运用合并同类项的法则，这是各地中考的
常考点．
4．（2023秋•隆回县期末）某天数学课上老师讲了整式的加减运算，小颖回到家后拿出自己的课堂笔记，
认真地复习老师在课堂上所讲的内容，她突然发现一道题目：（2a2+3ab﹣b2）﹣（﹣3a2+ab+5b2）＝
5a2 ﹣6b2，空格的地方被墨水弄脏了，请问空格中的一项是（ ）
A．+2ab B．+3ab C．+4ab D．﹣ab
【分析】将等式右边的已知项移到左边，再去括号，合并同类项即可．
【解答】解：依题意，空格中的一项是：（2a2+3ab﹣b2）﹣（﹣3a2+ab+5b2）﹣（5a2﹣6b2）
＝2a2+3ab﹣b2+3a2﹣ab﹣5b2﹣5a2+6b2＝2ab．
3故选：A．
【点评】本题考查了整式的加减运算．解决此类题目的关键是运用移项的知识，同时熟记去括号法则，
熟练运用合并同类项的法则，这是各地中考的常考点．
5．（2023秋•大连期中）一个多项式加上3x2y﹣3xy2得x3﹣3x2y，则这个多项式是（ ）
A．x3+3xy2 B．x3﹣3xy2
C．x3﹣6x2y+3xy2 D．x3﹣6x2y﹣3x2y
【分析】根据题意得出：（x3﹣3x2y）﹣（3x2y﹣3xy2），求出即可．
【解答】解：根据题意得：（x3﹣3x2y）﹣（3x2y﹣3xy2）
＝x3﹣3x2y﹣3x2y+3xy2
＝x3﹣6x2y+3xy2，
故选：C．
【点评】本题考查了整式的加减的应用，主要考查学生的计算能力．
6．（2023秋•陆丰市期末）计算：
（1）3x+5﹣（2x+1）；
（2）（4a2b﹣5ab2）﹣（3a2b﹣4ab2）．
【分析】（1）直接去括号进而合并同类项得出答案；
（2）直接去括号进而合并同类项得出答案．
【解答】解：（1）3x+5﹣（2x+1）
＝3x+5﹣2x﹣1
＝x+4；
（2）（4a2b﹣5ab2）﹣（3a2b﹣4ab2）
＝4a2b﹣5ab2﹣3a2b+4ab2
＝a2b﹣ab2．
【点评】此题主要考查了整式的加减，正确合并同类项是解题关键．
7．（2023秋•清水县校级期末）计算：
（1）﹣2y3﹣xy2﹣2（xy2﹣y3）；
（2）5x2﹣[3x2﹣2（﹣x2+4x）]．
【分析】（1）根据整式的加减运算法则即可求出答案．
（2）根据整式的加减运算法则即可求出答案．
【解答】解：（1）原式＝﹣2y3+2y3﹣xy2﹣2xy2
＝﹣3xy2．
4（2）原式＝5x2﹣（3x2+2x2﹣8x）
＝5x2﹣（5x2﹣8x）
＝5x2﹣5x2+8x
＝8x．
【点评】本题考查整式的加减运算，解题的关键是熟练运用整式的加减运算法则，本题属于基础题型．
8．已知：A＝2a2﹣5a，B＝a2+3a﹣5，求A﹣3B； 并确定当a＝﹣1时A﹣3B的值．
【分析】把A与B代入A﹣3B，去括号合并后，将a的值代入计算即可求出值．
【解答】解：∵A＝2a2﹣5a，B＝a2+3a﹣5
∴A﹣3B＝2a2﹣5a﹣3a2﹣9a+15＝﹣a2﹣14a+15，
当a＝﹣1时，原式＝﹣1+14+15＝28．
【点评】此题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
题型二 整式的化简求值---直接代入求值
解题技巧提炼
进行整式的加减时先去括号然后合并同类项进行化简后，直接代入字母的值进行
计算即可.
1．（2024春•靖江市校级月考）先化简，再求值：6y2﹣（2x2﹣y）+2（x2﹣3y2），其中x＝﹣2023，y＝
2024．
【分析】先去括号，再合并同类项，最后将y＝2024，代入求值即可．
【解答】解：6y2﹣（2x2﹣y）+2（x2﹣3y2）
＝6y2﹣2x2+y+2x2﹣6y2
＝y，
当y＝2024时，原式＝2024．
【点评】本题考查了整式的化简求值，熟练掌握整式的运算法则是关键．
1
2．（2023秋•苍南县期末）先化简，再求值：2（2a2+3ab）﹣（4a2+4ab﹣9），其中a= ，b＝﹣3．
2
1
【分析】先去括号，然后合并同类项，最后将a= ，b＝﹣3代入化简结果进行计算即可求解．
2
【解答】解：原式＝2（2a2+3ab）﹣（4a2+4ab﹣9）
＝4a2+6ab﹣4a2﹣4ab+9
5＝（4a2﹣4a2）+（6ab﹣4ab）+9
＝2ab+9；
1
当a= ，b＝﹣3时，
2
1
原式＝2× ×（﹣3）+9
2
＝﹣3+9
＝6．
【点评】本题考查了整式的加减与化简求值，掌握去括号法则与合并同类项法则是解题的关键．
1 1 3 1
3．（2023•宣城期末）先化简，再求值： x−2(x− y2 )+(− x+ y2 )，其中x＝﹣2，y＝3．
2 3 2 3
【分析】先去括号，再合并同类项，最后把xy的值代入求出即可．
1 1 3 1
【解答】解： x−2(x− y2 )+(− x+ y2 )
2 3 2 3
1 2 3 1
= x﹣2x+ y2− x+ y2
2 3 2 3
＝﹣3x+y2
当x＝﹣2，y＝3时，原式＝﹣3×（﹣2）+32＝15．
【点评】本题考查了整式的加减﹣化简求值，主要考查学生的计算和化简能力．
4．（2023秋•沙坪坝区期末）先化简，再求值：
已知2（﹣3xy+x2）﹣[2x2﹣3（5xy﹣2x2）﹣xy]，其中x，y满足|x+2|+（y﹣3）2＝0．
【分析】首先利用去括号法则去括号，进而合并同类项，再利用非负数的性质得出x，y的值，进而求
出即可．
【解答】解：原式＝﹣6xy+2x2﹣（2x2﹣15xy+6x2﹣xy）
＝﹣6xy+2x2﹣2x2+15xy﹣6x2+xy
＝﹣6x2+10xy
∵|x+2|+（y﹣3）2＝0
∴x＝﹣2，y＝3，
∴原式＝﹣6x2+10xy
＝﹣6×（﹣2）2+10×（﹣2）×3
＝﹣24﹣60
＝﹣84．
6【点评】此题主要考查了整式的加减运算以及非负数的性质，正确化简整式是解题关键．
5．（2023秋•新邵县期末）已知：A﹣2B＝7a2﹣7ab，且B＝﹣4a2+6ab+7．
（1）求A等于多少？
（2）|a+1|+（b﹣2）2＝0，求A的值．
【分析】（1）由题意确定出A即可；
（2）利用非负数的性质求出a与b的值，代入计算即可求出值．
【解答】解：（1）由题意得：A＝2（﹣4a2+6ab+7）+（7a2﹣7ab）
＝﹣8a2+12ab+14+7a2﹣7ab
＝﹣a2+5ab+14；
（2）∵|a+1|+（b﹣2）2＝0，
∴a＝﹣1，b＝2，
则原式＝﹣（﹣1）2+5×（﹣1）×2+14
＝﹣1﹣10+14
＝3．
【点评】本题考查了整式的加减，掌握整式加减的运算法则是解本题的关键．
6．（2023秋•子洲县期末）已知多项式A＝2a2+3ab﹣2a﹣1，B＝a2+ab﹣1，且A﹣2B﹣C＝0．
（1）求多项式C．
（2）当a＝2，b＝﹣3时，求多项式C的值．
【分析】（1）直接由A﹣2B﹣C＝0得到C＝A﹣2B，再把A、B多项式代入求出结果；
（2）将a＝2，b＝﹣3代入多项式C中，求值即可．
【解答】解：（1）因为A＝2a2+3ab﹣2a﹣1，B＝a2+ab﹣1，且A﹣2B﹣C＝0．
所以C＝A﹣2B＝2a2+3ab﹣2a﹣1﹣2（a2+ab﹣1）
＝2a2+3ab﹣2a﹣1﹣2a2﹣2ab+2
＝ab﹣2a+1．
（2）当a＝2，b＝﹣3时，
C＝ab﹣2a+1＝2×（﹣3）﹣2×2+1＝﹣6﹣4+1＝﹣9．
【点评】本题考查了整式的加减，关键运用代入法来解答．
7．（2023秋•长沙期末）已知A＝2x2﹣3xy+4，B＝﹣3x2+5xy﹣8．
（1）化简3A+2B．
（2）当|x﹣3|+（y+2）2＝0，求3A+2B的值．
【分析】（1）把A，B表示的式子代入3A+2B，去括号合并同类项即可；
7（2）先根据非负数的性质求出x和y的值，然后代入（1）中化简的结果计算．
【解答】解：（1）∵A＝2x2﹣3xy+4，B＝﹣3x2+5xy﹣8，
∴3A+2B
＝3（2x2﹣3xy+4）+2（﹣3x2+5xy﹣8）
＝6x2﹣9xy+12﹣6x2+10xy﹣16
＝xy﹣4；
（2）∵|x﹣3|+（y+2）2＝0，
∴x＝3，y＝﹣2，
∵3A+2B＝xy﹣4＝3×（﹣2）﹣4＝﹣10．
【点评】本题考查了非负数的性质，整式的化简求值，解答本题的关键是熟练掌握整式的运算法则，将
所给代数式化简．
题型三 整式的化简求值---整体代入求值
解题技巧提炼
先对原式进行去括号、合并同类项的化简，再把数值整体代入到化简后的式子求
值即可．
1．（2023秋•泗阳县期末）若m﹣x＝2，n+y＝3，则（m﹣n）﹣（x+y）＝（ ）
A．﹣5 B．﹣1 C．1 D．5
【分析】原式去括号整理后，将已知等式代入计算即可求出值．
【解答】解：∵m﹣x＝2，n+y＝3，
∴原式＝m﹣n﹣x﹣y＝（m﹣x）﹣（n+y）＝2﹣3＝﹣1，
故选：B．
【点评】此题考查了整式的加减﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
2．（2023秋•邢台期末）已知x2﹣xy＝3，3xy+y2＝5，则x2﹣4xy﹣y2的值是（ ）
A．2 B．﹣4 C．﹣2 D．8
【分析】将已知的两个等式相减便可求得结果．
【解答】解：∵x2﹣xy＝3，3xy+y2＝5，
∴x2﹣xy﹣（3xy+y2）＝3﹣5，
∴x2﹣4xy﹣y2＝﹣2，
8故选：C．
【点评】本题考查了整数的减法，关键是灵活应用整式的减法法则进行计算．
3．（2023秋•金台区期末）已知x2﹣xy＝3，3xy+y2＝5，则2x2+xy+y2的值是（ ）
A．8 B．2 C．11 D．13
【分析】第一个等式两边乘以2，与第二个等式相加即可求出原式的值．
【解答】解：x2﹣xy＝3①，3xy+y2＝5②，
①×2+②得：2x2﹣2xy+3xy+y2＝2x2+xy+y2＝11．
故选：C．
【点评】此题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
1
4．（2023春•平谷区期末）已知x2﹣5x﹣4＝0，求2x2−3(x2−2+x)−2(x−x2+
)的值．
2
【分析】将已知等式化成x2﹣5x＝4，将所求整式去括号合并同类项，最后整体代入即可．
【解答】解：∵x2﹣5x﹣4＝0，
∴x2﹣5x＝4，
1
∴2x2−3(x2−2+x)−2(x−x2+
)
2
＝2x2﹣3x2+6﹣3x﹣2x+2x2﹣1
＝x2﹣5x+5
＝4+5
＝9．
【点评】本题考查了整式的化简，去括号和合并同类项是本题考查的重点，在化简过程中注意正负号的
变化．
5．求值：
（1）已知5x﹣2y＝3，求15x﹣6y﹣8的值．
5
（2）已知a﹣b＝5，﹣ab＝3，求(7a+4b+ab)−6( b+a−ab)的值．
6
【分析】（1）把15x﹣6y﹣8化为3（5x﹣2y）﹣8后，再把5x﹣2y＝3代入即可求出结果；
（2）把整式去括号、合并同类项化简后，把a﹣b＝5，﹣ab＝3代入计算即可得出结果．
【解答】解：（1）15x﹣6y﹣8
＝3（5x﹣2y）﹣8，
当5x﹣2y＝3时，
原式＝3×3﹣8
9＝9﹣8
＝1；
5
（2）(7a+4b+ab)−6( b+a−ab)
6
＝7a+4b+ab﹣5b﹣6a+6ab
＝a﹣b+7ab，
∵﹣ab＝3，
∴ab＝﹣3，
当a﹣b＝5，ab＝﹣3时，
原式＝5+7×（﹣3）
＝5﹣21
＝﹣16．
【点评】本题考查了整式的加减—化简求值，去括号、合并同类项把整式正确的化简是解题的关键．
6．我们知道，4x﹣2x+x＝（4﹣2+1）x＝3x．类似地，我们把（a+b）看成一个整体，则4（a+b）﹣2
（a+b）+（a+b）＝（4﹣2+1）（a+b）＝3（a+b）．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思
想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．
（1）若把（a﹣b）2看成一个整体，则合并3（a﹣b）2﹣8（a﹣b）2+6（a﹣b）2的结果是 ．
（2）已知x2﹣2y＝3，求﹣8y+4x2﹣2的值．
【分析】（1）根据整体思想进行同类项合并即可求出答案．
（2）将原式化为4（x2﹣2y）﹣2，然后将x2﹣2y＝3代入原式即可求出答案．
【解答】解：（1）原式＝（3﹣8+6）（a﹣b）2
＝（a﹣b）2．
故答案为：（a﹣b）2．
（2）∵x2﹣2y＝3，
∴﹣8y+4x2﹣2
＝4（x2﹣2y）﹣2
＝12﹣2
＝10．
【点评】本题考查整式的化简求值，解题的关键是正确理解题意，运用整体思想，本题属于基础题型．
7．（2023秋•扶绥县期末）阅读材料：在合并同类项中，5a﹣3a+a＝（5﹣3+1）a＝3a．类似地，我们把
（x+y）看成一个整体，则5（x+y）﹣3（x+y）+（x+y）＝（5﹣3+1）（x+y）＝3（x+y）．“整体思
10想”是中学数学解题中的一种重要的思想，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．
（1）把（x﹣y）2看成一个整体，合并3（x﹣y）2﹣（x﹣y）2+2（x﹣y）2的结果是 ．
（2）已知a2﹣2b＝1，求3﹣2a2+4b的值．
（3）已知a﹣2b＝1，2b﹣c＝﹣1，c﹣d＝2，求a﹣6b+5c﹣3d的值．
【分析】（1）根据合并同类项法则：系数相加减，字母和字母的指数不变，进行计算即可；
（2）把所求代数式的后两项提取公因数﹣2，再把已知条件整体代入求值即可；
（3）把所求代数式中的﹣6b拆成﹣2b﹣4b，5c拆成2c+3c，然后分组提取公因数，让所求代数式出现
已知条件中的式子，再整体代入求值即可．
【解答】解：（1）原式＝（3﹣1+2）（x﹣y）2
＝4（x﹣y）2，
故答案为：4（x﹣y）2；
（2）a2﹣2b＝1，
∴3﹣2a2+4b
＝3﹣2（a2﹣2b）
＝3﹣2×1
＝1；
（3）∵a﹣6b+5c﹣3d
＝a﹣2b﹣4b+2c+3c﹣3d
＝a﹣2b﹣2（2b﹣c）+3（c﹣d），
∵a﹣2b＝1，2b﹣c＝﹣1，c﹣d＝2，
∴原式＝1﹣2×（﹣1）+3×2
＝1+2+6
＝9．
【点评】本题主要考查了整式的加减混合运算，解题关键是熟练掌握合并同类项法则．
题型四 整式加减中与某个字母无关问题
11解题技巧提炼
整式中“不含”与“无关”类问题的求解方法：在整式的加减运算的过程中，若
涉及“不含某项”或“与某项无关”，其实质是指合并同类项后“不含项”或
“无关项”的系数为0.
1．（2023秋•惠城区校级期末）已知A＝3x2+2x﹣1，B＝mx+1，若关于x的多项式A+B不含一次项，则m
的值（ ）
A．2 B．﹣3 C．4 D．﹣2
【分析】先将多项式A、B代入A+B，再根据去括号法则、合并同类项法则化简，由多项式 A+B不含一
次项可得一次项系数为0，以此即可求解．
【解答】解：A+B＝（3x2+2x﹣1）+（mx+1）＝3x2+2x﹣1+mx+1＝3x2+（m+2）x，
∵多项式A+B不含一次项，
∴m+2＝0，
∴m＝﹣2．
故选：D．
【点评】本题考查整式的加减，正确地去括号和合并同类项是解题关键．
2．（2023秋•长沙期末）已知关于x，y的多项式mx2+2xy﹣x与3x2﹣2nxy+3y的差不含二次项，求nm的值（
）
A．﹣1 B．1 C．3 D．﹣3
【分析】先求出两个多项式的差，再根据差不含二次项，二次项系数为0得出方程，即可得出答案．
【解答】解：（mx2+2xy﹣x）﹣（3x2﹣2nxy+3y）
＝mx2+2xy﹣x﹣3x2+2nxy﹣3y
＝（m﹣3）x2+（2+2n）xy﹣x﹣3y，
∵关于x，y的多项式mx2+2xy﹣x与3x2﹣2nxy+3y差不含二次项，
∴m﹣3＝0，2+2n＝0，
∴m＝3，n＝﹣1，
∴nm＝（﹣1）3＝﹣1．
故选：A．
【点评】本题主要考查了整式的加减运算，掌握合并同类项是关键．
3．（2023秋•旌阳区期末）若关于a，b的多项式（a2﹣4ab﹣b2）﹣（a2﹣mab+2b2）化简后不含ab项，
12则m＝ ．
【分析】先去括号，再合并同类项后，根据不含ab项，则该项的系数为0，即可求得m的值．
【解答】解：（a2﹣4ab﹣b2）﹣（a2﹣mab+2b2）
＝a2﹣4ab﹣b2﹣a2+mab﹣2b2
＝（m﹣4）ab﹣3b2，
由题意知，m﹣4＝0，
即m＝4；
故答案为：4．
【点评】本题考查整式的加减，解题的关键是掌握整式是加减法则．
4．（2023秋•清河区校级期末）已知A＝3x3+2x2﹣5x+7m+2，B＝2x2+mx﹣3，若多项式A+B中不含关于x
的一次项，则关于x的多项式A+B的常数项是 ．
【分析】首先求出A+B，根据多项式A+B不含一次项，列出方程求出m的值，然后即可求得A+B的常
数项．
【解答】解：∵A＝3x3+2x2﹣5x+7m+2，B＝2x2+mx﹣3，
∴A+B＝（3x3+2x2﹣5x+7m+2）+（2x2+mx﹣3）
＝3x3+2x2﹣5x+7m+2+2x2+mx﹣3
＝3x3+4x2+（m﹣5）x+7m﹣1，
∵多项式A+B不含一次项，
∴m﹣5＝0，
∴m＝5，
∴多项式A+B的常数项是7m﹣1＝7×5﹣1＝34，
故答案为：34．
【点评】本题考查整式的加减，解题的关键是熟练掌握整式的加减法则，属于中考常考题型．
5．（2023秋•武侯区校级期末）已知多项式x2+ax﹣y+b与bx2﹣3x+6y﹣3差的值与字母x的取值无关，求
代数式3（a2﹣2ab﹣b2）﹣4（a2+ab+b2）的值．
【分析】根据题意列出关系式，由结果与x的值无关，确定出a与b的值，原式去括号合并后代入计算
即可求出值．
【解答】解：根据题意得：（x2+ax﹣y+b）﹣（bx2﹣3x+6y﹣3）＝x2+ax﹣y+b﹣bx2+3x﹣6y+3＝（1﹣
b）x2+（a+3）x﹣7y+b+3，
由差与x的值取值无关，得到1﹣b＝0，a+3＝0，
解得：a＝﹣3，b＝1，
13则原式＝3a2﹣6ab﹣3b2﹣4a2﹣4ab﹣4b2＝﹣a2﹣10ab﹣7b2＝﹣9+30﹣7＝14．
【点评】此题考查了整式的加减﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
1
6．（2023秋•邗江区校级期末）已知关于x的代数式2x2− bx2﹣y+6和ax+17x﹣5y﹣1的值都与字母x的
2
取值无关．
（1）求a，b的值．
（2）若A＝4a2﹣ab+4b2，B＝3a2﹣ab+3b2，求4A+[（2A﹣B）﹣3（A+B）]的值．
1
【分析】（1）先去括号，再合并同类项，然后根据代数式2x2− bx2﹣y+6和ax+17x﹣5y﹣1的值都与
2
字母x的取值无关得出关于a和b的方程，计算即可．
（2）先将4A+[（2A﹣B）﹣3（A+B）]去括号，合并同类项，再将A＝4a2﹣ab+4b2，B＝3a2﹣ab+3b2代
入化简，然后将a与b的值代入计算即可．
1 1
【解答】解：（1）2x2− bx2﹣y+6＝（2− b）x2﹣y+6，ax+17x﹣5y﹣1＝（a+17）x﹣5y﹣1，
2 2
1
∵关于x的代数式2x2− bx2﹣y+6和ax+17x﹣5y﹣1的值都与字母x的取值无关，
2
1
∴2− b＝0，a+17＝0，
2
∴a＝﹣17，b＝4．
（2）4A+[（2A﹣B）﹣3（A+B）]
＝4A+2A﹣B﹣3A﹣3B
＝3A﹣4B，
∵A＝4a2﹣ab+4b2，B＝3a2﹣ab+3b2，
∴3A﹣4B
＝3（4a2﹣ab+4b2）﹣4（3a2﹣ab+3b2）
＝12a2﹣3ab+12b2﹣12a2+4ab﹣12b2
＝ab，
由（1）知a＝﹣17，b＝4，
∴原式＝（﹣17）×4＝﹣68．
【点评】本题考查了整式的加减﹣化简求值，熟练掌握整式的加减的运算法则是解题的关键．
1
7．（2023秋•金水区期末）已知A、B分别是关于x，y的多项式，一同学在计算多项式 A+B结果的时
2
141
候，不小心把表示A的多项式弄脏了，无法认出，现在只知道 B＝2y2+3ay+2y﹣3， A+B=y2+4ay+2y
2
﹣4．
（1）请根据仅有的信息试求出A表示的多项式；
（2）若多项式A+2B中不含y项，求a的值．
【分析】（1）直接根据已知移项、合并同类项，进而得出答案；
（2）利用（1）中所求，去括号，再合并同类项，结合含y的项系数是零，进而得出答案．
1
【解答】解：（1）∵B＝2y2+3ay+2y﹣3， A+B=y2+4ay+2y﹣4，
2
1
∴ A+2y2+3ay+2y﹣3＝y2+4ay+2y﹣4，
2
1
∴ A＝y2+4ay+2y﹣4﹣（2y2+3ay+2y﹣3）
2
1
∴ A＝y2+4ay+2y﹣4﹣2y2﹣3ay﹣2y+3
2
1
∴ A＝﹣y2+ay﹣1，
2
∴A＝﹣2y2+2ay﹣2；
（2）∵A+2B＝﹣2y2+2ay﹣2+2（2y2+3ay+2y﹣3）
＝﹣2y2+2ay﹣2+4y2+6ay+4y﹣6
＝2y2+（8a+4）y﹣8，
∴8a+4＝0，
1
解得：a=− ．
2
【点评】此题主要考查了整式的加减，正确去括号、合并同类项是解题关键．
题型五 整式加减中的错看问题
解题技巧提炼
看错符号问题，先根据错误的运算方法求出原来的某个多项式，然后再按照正确
的运算方法计算结果即可.
151．（2023秋•内江期末）黑板上有一道题，是一个多项式减去 3x2﹣5x+1，某同学由于大意，将减号抄成
加号，得出结果是5x2+3x﹣7，这道题的正确结果是（ ）
A．8x2﹣2x﹣6 B．14x2﹣12x﹣5 C．2x2+8x﹣8 D．﹣x2+13x﹣9
【分析】根据整式的加减运算先求出这个多项式，然后再根据题意列出算式即可求出答案．
【解答】解：该多项式为：（5x2+3x﹣7）﹣（3x2﹣5x+1）
＝5x2+3x﹣7﹣3x2+5x﹣1
＝2x2+8x﹣8，
∴正确结果为：（2x2+8x﹣8）﹣（3x2﹣5x+1）
＝2x2+8x﹣8﹣3x2+5x﹣1
＝﹣x2+13x﹣9，
故选：D．
【点评】本题考查整式的加减运算，解题的关键是熟练运用整式的加减运算法则，本题属于基础题型．
2．（2023秋•离石区期末）小文在做多项式减法运算时，将减去 2a2+3a﹣5误认为是加上2a2+3a﹣5，求
得的答案是a2+a﹣4（其他运算无误），那么正确的结果是（ ）
A．﹣a2﹣2a+1 B．﹣3a2+a﹣4 C．a2+a﹣4 D．﹣3a2﹣5a+6
【分析】直接利用整式的加减运算法则计算得出答案．
【解答】解：设原多项式为A，则A+2a2+3a﹣5＝a2+a﹣4，
故A＝a2+a﹣4﹣（2a2+3a﹣5）
＝a2+a﹣4﹣2a2﹣3a+5
＝﹣a2﹣2a+1，
则﹣a2﹣2a+1﹣（2a2+3a﹣5）
＝﹣a2﹣2a+1﹣2a2﹣3a+5
＝﹣3a2﹣5a+6．
故选：D．
【点评】此题主要考查了整式的加减，正确合并同类项是解题关键．
3．（2023秋•渠县校级期末）有一道题目是一个多项式A减去多项式2x2+5x﹣3，小胡同学将2x2+5x﹣3抄
成了2x2+5x+3，计算结果是﹣x2+3x﹣7，这道题目的正确结果是（ ）
A．x2+8x﹣4 B．﹣x2+3x﹣1 C．﹣3x2﹣x﹣7 D．x2+3x﹣7
【分析】直接利用整式的加减运算法则得出A，进而利用整式的加减运算法则得出这道题目的正确结果．
【解答】解：由题意可得：A﹣（2x2+5x+3）＝﹣x2+3x﹣7，
则A＝﹣x2+3x﹣7+2x2+5x+3
16＝x2+8x﹣4，
故这道题目的正确结果是：x2+8x﹣4﹣（2x2+5x﹣3）
＝x2+8x﹣4﹣2x2﹣5x+3
＝﹣x2+3x﹣1．
故选：B．
【点评】此题主要考查了整式的加减，正确合并同类项是解题关键．
4．（2024春•绿园区校级期末）一名同学在计算3A+B时，误将“3A+B”看成了“3A﹣B”，求得的结果
是6x2﹣5x+8，已知B＝3x2+7x+3，则3A+B的正确答案为 ．
【分析】根据题意列出相应的式子，结合整式的加减的相应的法则进行运算即可．
【解答】解：由题意得：3A﹣B＝6x2﹣5x+8，
∴3A＝6x2﹣5x+8+B，
∵B＝3x2+7x+3，
∴3A＝6x2﹣5x+8+3x2+7x+3
＝9x2+2x+11，
∴3A+B
＝9x2+2x+11+3x2+7x+3
＝12x2+9x+14．
故答案为：12x2+9x+14．
【点评】本题主要考查整式的加减，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
5．（2023秋•东明县校级期末）小马虎做一道数学题“两个多项式 A，B，已知B＝2x2﹣3x+6，试求A﹣
2B的值”．小马虎将A﹣2B看成A+2B，结果答案（计算正确）为5x2﹣2x+9．
（1）求多项式A；
（2）求出当x＝﹣1时，A﹣B的值．
【分析】（1）将错就错，把B与错误结果代入确定出A即可；
（2）把A与B代入A﹣B中化简，把x＝﹣1代入计算即可求出值．
【解答】解：（1）根据题意得：
A＝5x2﹣2x+9﹣2（2x2﹣3x+6）
＝5x2﹣2x+9﹣4x2+6x﹣12
＝x2+4x﹣3；
（2）∵A＝x2+4x﹣3，B＝2x2﹣3x+6，
∴A﹣B＝（x2+4x﹣3）﹣（2x2﹣3x+6）
17＝x2+4x﹣3﹣2x2+3x﹣6
＝﹣x2+7x﹣9，
当x＝﹣1时，A﹣B＝﹣（﹣1）2+7×（﹣1）﹣9＝﹣1﹣7﹣9＝﹣17．
【点评】此题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
6．马小虎做一道题：“已知两个多项式A、B，计算2A+B”．他误将“2A+B”看成“A+2B，求得的结果为
9x2+x﹣7．如果知道B＝x2﹣2x+6．
（1）请根据现有条件求多项式A；
（2）计算2A+B的正确答案．
【分析】（1）根据题意，可知A＝（9x2+x﹣7）﹣2B，从而可以计算出多项式A；
（2）根据（1）中求得的A和题目中的B，可以计算出2A+B的正确答案．
【解答】解：（1）由题意可得，
A＝（9x2+x﹣7）﹣2（x2﹣2x+6）
＝9x2+x﹣7﹣2x2+4x﹣12
＝7x2+5x﹣19，
即多项式A为7x2+5x﹣19；
（2）由（1）知A＝7x2+5x﹣19，
∵B＝x2﹣2x+6，
∴2A+B
＝2（7x2+5x﹣19）+（x2﹣2x+6）
＝14x2+10x﹣38+x2﹣2x+6
＝15x2+8x﹣32，
即2A+B的正确答案是15x2+8x﹣32．
【点评】本题考查整式的加减，解答本题的关键是明确整式加减的计算方法．
7．（2024春•南岗区校级期中）某同学做一道题，已知两个多项式 A、B，求A﹣B的值．他误将“A﹣
B”看成“A+B”，经过正确计算得到的结果是x2+14x﹣6，其中A＝﹣2x2+5x﹣1．
（1）请你帮助这位同学求出正确的结果；
（2）若x是最大的负整数，求A﹣2B的值．
【分析】（1）根据题意，求出代数式B即可；
（2）先求出A﹣2B代数式，根据题意，则求出x的值，把x代入，即可．
【解答】解：（1）∵A+B＝x2+14x﹣6，A＝﹣2x2+5x﹣1，
∴B＝x2+14x﹣6﹣（﹣2x2+5x﹣1）＝3x2+9x﹣5，
18∴A﹣B＝﹣2x2+5x﹣1﹣（3x2+9x﹣5）＝﹣5x2﹣4x+4．
（2）∵A＝﹣2x2+5x﹣1，B＝3x2+9x﹣5，
∴A﹣2B＝﹣2x2+5x﹣1﹣2（3x2+9x﹣5）＝﹣8x2﹣13x+9，
∵x是最大的负整数，
∴x＝﹣1，
∴A﹣2B＝﹣8x2﹣13x+9＝﹣8+13+9＝14．
【点评】本题考查整式的知识，解题的关键是掌握多项式的运算即可．
题型六 整式加减与数轴、绝对值的结合
解题技巧提炼
先由数轴上点的位置判断出绝对值里边式子的正负，原式利用绝对值的代数意义
化简，去括号合并即可得到结果．
1．有理数a、b在数轴上的位置如图所示，则化简|a|﹣|a﹣b|+|b﹣a|的结果是（ ）
A．﹣3a+2b B．2b﹣a C．a﹣2b D．﹣a
【分析】根据数轴可以判断a，b，a﹣b，b﹣a的正负情况，从而可以把绝对值符号去掉，然后化简即
可解答本题．
【解答】解：根据题目中的数轴可得，a＜0，b＞0，
∴a﹣b＜0，b﹣a＞0．
∴|a|﹣|a﹣b|+|b﹣a|
＝﹣a﹣（b﹣a）+（b﹣a）
＝﹣a．
故选：D．
【点评】本题考查绝对值、数轴和整式的加减，解题的关键是去绝对值符号时，判断绝对值内式子的值
的正负．
2．有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简|a﹣b|+|c﹣a|﹣|b﹣c|的结果是（ ）
A．﹣2a B．﹣2b C．﹣2a﹣2b D．2a﹣2b
【分析】根据数轴比较a﹣b、c﹣a、b﹣c与0的大小关系，然后根据绝对值的性质化简．
【解答】解：由数轴可知：c＜b＜0＜a，
19∴a﹣b＞0，c﹣a＜0，b﹣c＞0，
∴原式＝（a﹣b）﹣（c﹣a）﹣（b﹣c）
＝a﹣b﹣c+a﹣b+c
＝2a﹣2b
故选：D．
【点评】本题考查整式的加减运算，涉及数轴比较数的大小，绝对值的性质．
3．已知a，b，c是三个有理数，它们在数轴上的位置如图所示，则化简|a﹣b|+|c﹣a|﹣|b+c|+（c﹣a）的结
果是（ ）
A．3a﹣c B．﹣2a+c C．a+c D．﹣2b﹣c
【分析】根据数轴上点的位置判断出绝对值里边式子的正负，利用绝对值的代数意义化简即可得到结果．
【解答】解：根据数轴得：c＜b＜0＜a，且|a|＜|b|＜|c|，
∴a﹣b＞0，c﹣a＜0，b+c＜0，
则原式＝a﹣b+a﹣c+b+c+c﹣a＝a+c，
故选：C．
【点评】此题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
4．已知有理数a，b，c在数轴上的位置如图，且|c|＞|a|＞|b|，则|a+b|﹣2|c﹣b|+|a+c|＝（ ）
A．c﹣b B．0 C．3b﹣3c D．2a+3b﹣c
【分析】由有理数a，b，c在数轴上的位置及|c|＞|a|＞|b|可得：c＜b＜0＜﹣b＜a＜﹣c，再按照绝对值
的化简法则和有理数的加减运算法则计算即可．
【解答】解：由有理数a，b，c在数轴上的位置及|c|＞|a|＞|b|可得：
c＜b＜0＜﹣b＜a＜﹣c，
∴|a+b|﹣2|c﹣b|+|a+c|
＝a+b﹣2（b﹣c）﹣a﹣c
＝b﹣2b+2c﹣c
＝c﹣b．
故选：A．
【点评】本题考查了借助数轴进行的绝对值化简及有理数的加减运算，数形结合并熟练掌握相关运算法
则是解题的关键．
205．（2023秋•黔南州期中）如图，数轴上的三点A、B、C分别表示有理数a、b、c，则
（1）b﹣a 0，a﹣c 0，b+c 0（用“＞”“＜”或“＝”填空）．
（2）化简：|b﹣a|﹣|a﹣c|+|b+c|
【分析】（1）根据数轴上右边的数总是大于左边的数即可判断 a、b、c的大小关系，根据有理数的加
法法则判断符号；
（2）根据绝对值的性质即可去掉绝对值符号，然后合并同类项即可．
【解答】解：（1）根据数轴可得b＜a，a＞c，c＜b＜0．
则b﹣a＜0，a﹣c＞0，b+c＜0．
故答案为：＜，＞，＜；
（2）原式＝a﹣b﹣（a﹣c）﹣（b+c）
＝a﹣b﹣a+c﹣b﹣c
＝﹣2b．
【点评】本题考查了利用数轴比较数的大小，右边的数总是大于左边的数，以及绝对值的性质，正确根
据性质去掉绝对值符号是关键．
6．（2023秋•大安市期中）数a，b，c在数轴上的位置如图所示且|a|＝|c|；化简：|a+c|+|2b|﹣|b﹣a|﹣|c﹣b|
+|a+b|．
【分析】根据数轴上点的位置判断出绝对值里边式子的正负，利用绝对值的代数意义化简，去括号合并
即可得到结果．
【解答】解：根据数轴得：c＜b＜0＜a，且|a|＝|c|＞|b|，
所以a+c＝0，b﹣a＜0，c﹣b＜0，a+b＞0，
则原式＝0﹣2b+b﹣a+c﹣b+a+b＝﹣b+c．
【点评】此题考查了整式的加减，数轴，以及绝对值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
7．数a，b，c在数轴上的位置如图所示且|a|＝|c|；
c
（1）求：a+c与 的值
a
（2）化简：|a﹣c|﹣|b﹣a|+|a+c|．
【分析】（1）由题意得到a与c互为相反数，利用相反数性质计算即可得到结果；
21（2）由数轴上点的位置判断出绝对值里边式子的正负，原式利用绝对值的代数意义化简，去括号合并即
可得到结果．
【解答】解：（1）由数轴上点的位置得：a与c互为相反数，
c
则a+c＝0， =−1；
a
（2）由数轴得：c＜b＜0＜a，
∴a﹣c＞0，b﹣a＜0，a+c＝0，
则原式＝a﹣c+b﹣a＝b﹣c．
【点评】此题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
题型七 利用整式加减解决数字问题
解题技巧提炼
根据方框在日历中的不同位置寻找规律，并利用规律求值；解决本题的难点是发
现日历中左右相邻的数相隔1，上下相邻的数相隔7．
1．一个三位数M，百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c．
（1）用含a、b、c的式子表示这个数M为 ．
（2）现在交换百位数字和个位数字，得到一个新的三位数N，请用含a、b、c的式子表示这个数N为
．
（3）请用含a、b、c的式子表示N﹣M，并回答N﹣M能被11整除吗？
【分析】（1）根据百位数字为a，十位数字为b，个位数字是c表示出M即可；
（2）同（1）可表示出N；
（3）列出整式相加减的式子，再合并同类项即可．
【解答】解：（1）M为：100a+10b+c；
故答案为：100a+10b+c；
（2）N为：100c+10b+a；
故答案为：100c+10b+a；
（3）∵N﹣M＝（100c+10b+a）﹣（100a+10b+c）
＝99c﹣99a
＝99（c﹣a）．
∴N﹣M能被11整除．
22【点评】本题考查的是整式的加减，熟知整式的加减实质上就是合并同类项是解答此题的关键．
2．（2023•丰润区二模）一个三位数，若它的十位数字等于个位数字与百位数字的和，那么称这个三位数
为“和谐数”．
（1）最小的三位“和谐数”是 ，最大的三位“和谐数”是 ；
（2）若一个“和谐数”的个位数字为a（a≥0），十位数字为b（b≥1，b＞a且a、b都是自然数），
请用含a，b的代数式表示该“和谐数”；
（3）判断任意一个三位“和谐数”能否被11整除，若能，请说明理由，若不能，请举出反例．
【分析】（1）设个位数字为x（x≥0），百位数字为y（y＞0），则十位数字为x+y，则“和谐数”为：
100y+10（x+y）+x＝110y+11x，由此可得结论；
（2）按题意列代数式即可；
（3）由110y+11x＝11（10y+x）可得结论．
【解答】解：（1）设个位数字为x（x≥0），百位数字为y（y＞0），则十位数字为x+y，
∴“和谐数”为：100y+10（x+y）+x＝110y+11x，
当x＝0，y＝1时，有最小的三位“和谐数”是110，
当x＝0，y＝9时，有最大的三位“和谐数”是990，
故答案为：110，990；
（2）100（b﹣a）+10b+a＝100b﹣100a+10b+a＝110b﹣99a，
∴该“和谐数”为：110b﹣99a；
（3）能，理由：
由（1）得“和谐数”为：100y+10（x+y）+x＝110y+11x，
∵110y+11x＝11（10y+x），
∴任意一个三位“和谐数”能被11整除．
【点评】本题属于新定义问题，涉及到列代数式、整式加减等问题，正确理解新定义是解决本题的关键．
3．（2023秋•东城区校级期中）如图1是2022年2月的日历表：
23（1）在图1中用优美的“”U形框框住五个数，其中最小的数为1，则U形框中的五个数字之和为
；
（2）在图1中将U形框上下左右移动，框住日历表中的5个数字，设最小的数字为x，用代数式表示U
形框框住的五个数字之和为 ；
（3）在图1中移动U形框的位置，若U形框框住的五个数字之和为53，则这五个数字从小到大依次为
；
（4）在图1日历表的基础上，继续将连续的自然数排列成如图2的数表，在图2中U形框框住的5个
数字之和能等于2023吗？若能，分别写出U形框框住的5个数字；若不能，请说明理由．
【分析】（1）将五个数字直接相加即可；
（2）由图可知，在U形框中，最小的数在左上角，上下相邻的数：上面的数比下面的数少 7，左右相
邻的数：右边的数比左边的数大2，最下方的数为最小的数加上15，根据此规律即可列出代数式；
（3）根据（2）中得出的代数式，U形框框住的五个数字之和为53，算出x即可解答；
（4）根据（2）中得出的代数式，U形框框住的五个数字之和等于2023，算出x，再根据图中的规律写
出这五个数字即可．
【解答】解：（1）1+8+3+10+16＝38，
故答案为：38；
（2）由图可知，
在U形框中，最小的数在左上角，
上下相邻的数：上面的数比下面的数少7，
左右相邻的数：右边的数比左边的数大2，
最下方的数为最小的数加上15，
则U形框框住的五个数字之和为：x+x+2+x+7+x+9+x+15＝5x+33，
故答案为：5x+33；
（3）∵U形框框住的五个数字之和为53，
∴5x+33＝53，
解得：x＝4，
∴这五个数字从小到大依次为4，6，11，13，19，
故答案为：4，6，11，13，19；
（4）U形框框住的五个数字之和等于2023，
则5x+33＝2023，
解得：x＝398，
24由图可推出398在第七列，
∴不能框住．
【点评】本题考查一元一次方程的应用和列代数式，解决此类问题的关键在于找出题目中数字排列的规
律，根据这个规律写出式子解决问题．
4．（2022秋•雄县期中）如图1，图2是某月的日历．
（1）如图1，小明用带阴影的长方形围住9个数字．
①若设长方形围住的左上角的第一个数为x，则长方形围住的右下角的第9个数为 （用含x的
式子表示）；此时这9个数的和为 （用含x的式子表示）；
②若设长方形围住的正中间的数为a，请你试猜想围住的9个数之和与其正中间的数有什么关系，并说
明理由；
（2）若围住的数字由长方形中9个数字变成如图2所示的带阴影的数字，试判断是否还满足②中的结
论，并说明理由．
【分析】（1）①根据右边的数字总比左边的数字大1，下面的数字比上面的数字大7进行表示即可，
将9个数字相加合并同类项即可解答；②根据正中间的数为a，分别表示出其余8个数，再求和，即可
求解；
（2）设中间一行的中间数为m，分别表示出其余数字，进行求和即可解答．
【解答】解：（1）①设长方形围住的左上角的第一个数为x，
则第一行的三个数字分别表示为：x，x+1，x+2，第二行的三个数字分别表示为：x+7，x+8，x+9，第三
行的三个数字分别表示为：x+14，x+15，x+16，
九个数的和为：x+x+1+x+2+x+7+x+8+x+9+x+14+x+15+x+16＝9x+72，
故答案为：x+16；9x+72；
②围住的9个数之和是其正中间的数的9倍；
理由：因为长方形围住的正中间的数为a，则上面一行数为a﹣8，a﹣7，a﹣6，中间一行数为a﹣1，
a，a+1，下面一行数为a+6，a+7，a+8，围住的9个数之和为（a﹣8）+（a﹣7）+（a﹣6）+（a﹣
1）+a+（a+1）+（a+6）+（a+7）+（a+8）＝9a，所以围住的9个数之和是其正中间的数的9倍；
25（2）满足；
理由：设中间一行的中间数为m，则上面一行数为m﹣7，m﹣6，m﹣5，中间一行数为m﹣1m，m+1，
下面一行数为m+5，m+6，m+7，则阴影的9个数之和是（m﹣7）+（m﹣6）+（m﹣5）+（m﹣1）+m+
（m+1）+（m+5）+（m+6）+（m+7）＝9m．
【点评】本题主要考查了列代数式，难度不大，弄清日历横行相邻数相差 1，竖列相邻两数相差7，发
现这个规律是解题的关键．
题型八 利用整式加减进行新定义运算
解题技巧提炼
将多项式作为整体代入新定义的运算中，切记将多项式要用括号括起来，再去
括号．
1．（2024春•天元区校级期末）若“ ”是新规定的某种运算符号，设a b＝3a﹣2b，则（x+y） （x﹣
y）的值为（ ） ω ω ω
A．x+y B．x+2y C．2x+2y D．x+5y
【分析】根据新规定的运算法则列出算式，再去括号、合并同类项即可．
【解答】解：（x+y） （x﹣y）
＝3（x+y）﹣2（x﹣y）ω
＝3x+3y﹣2x+2y
＝x+5y，
故选：D．
【点评】本题主要考查整式的加减，整式的加减的实质就是去括号、合并同类项．一般步骤是：先去括
号，然后合并同类项．
|a b| |a b|
2．阅读材料：对于任何数，我们规定符号 的意义是 = ad﹣bc．
c d c d
|1 2|
例如： = 1×4﹣2×3＝﹣2．
3 4
|1 −2|
（1）按照这个规定，请你计算 的值；
3 −1
|−3x2+ y x2+ y|
（2）按照这个规定，请你化简 ．
3 2
26【分析】（1）根据定义即可求出答案．
（2）根据定义以及整式的运算法则即可求出答案．
|1−2|
【解答】解：（1） = 1×（﹣1）﹣3×（﹣2）
3−1
＝﹣1+6＝5．
|−3x2+ y x2+ y|
（2） ．
3 2
＝2（﹣3x2+y）﹣3（x2+y）
＝﹣6x2+2y﹣3x2﹣3y
＝﹣9x2﹣y．
【点评】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．
1
3．（1）先化简再求值：当x=− ，y＝﹣3时，求代数式3（x2﹣2xy）﹣[3x2﹣2y+2（xy+y）]的值．
2
（2）我们定义一种新运算：a*b＝a2﹣b+ab．
①求2*（﹣3）的值；
②求（﹣2）*[2*（﹣3）]的值．
【分析】（1）先去括号，再合并同类项得到最简结果，将x，y的值代入求解即可．
（2）①根据新运算可知，2*（﹣3）＝22﹣（﹣3）+2×（﹣3），即可得出答案．
②由①可得2*（﹣3）的值，再根据新运算求（﹣2）*[2*（﹣3）]即可．
【解答】解：（1）原式＝3x2﹣6xy﹣3x2+2y﹣2xy﹣2y
＝﹣8xy．
1 1
当x=− ，y＝﹣3时，原式＝﹣8×（− ）×（﹣3）＝﹣12．
2 2
（2）①2*（﹣3）＝22﹣（﹣3）+2×（﹣3）＝4+3﹣6＝1．
②由①可得2*（﹣3）＝1，
∴（﹣2）*1＝（﹣2）2﹣1+（﹣2）×1＝4﹣1﹣2＝1．
【点评】本题考查整式的加减﹣化简求值、有理数的混合运算，理解题目定义的新运算，掌握运算法则
是解答本题的关键．
|a b|
4．（2023秋•防城区期中）阅读材料：对于任何数，我们规定符号 的意义
c d
|a b|
是 = ad﹣bc
c d
27|1 2|
例如： = 1×4﹣2×3＝﹣2
3 4
|6 5|
（1）按照这个规定，请你计算 的值．
2 3
| 1 2xy+3 y|
（2）按照这个规定，请你计算当|x+y﹣2|+（xy+1）2＝0时， 的值．
−1 3x−1
【分析】（1）利用题中的新定义计算即可得到结果；
（2）利用非负数的性质求出x+y与xy的值，原式利用题中新定义变形，把x+y与xy的值代入计算即可
求出值．
|6 5|
【解答】解：（1）根据题意得： = 6×3﹣2×5
2 3
＝18﹣10
＝8；
（2）∵|x+y﹣2|+（xy+1）2＝0，
∴x+y＝2，xy＝﹣1，
则原式＝1×（3x﹣1）﹣（﹣1）×（2xy+3y）
＝3x﹣1+2xy+3y
＝3（x+y）+2xy﹣1
＝3×2+2×（﹣1）﹣1
＝3．
【点评】本题考查了整式的加减﹣化简求值，掌握运算法则是关键．
5．（2023秋•卫辉市期末）给出如下定义：我们把有序实数对（a，b，c）叫做关于x的二次多项式
ax2+bx+c的特征系数对，把关于x的二次多项式ax2+bx+c叫做有序实数对（a，b，c）的特征多项式．
回答下列问题：
（1）关于x的二次多项式3x2+2x﹣1的特征系数对为 ；
（2）求有序实数对（1，4，4）的特征多项式与有序实数对（﹣3，﹣4，2）的特征多项式的和．
【分析】（1）根据特征系数对的定义，直接写出答案即可；
（2）根据特征多项式的定义，写出两个多项式，再进行相加计算出结果．
【解答】解：（1）多项式3x2+2x﹣1的特征系数对为（3，2，﹣1），
故答案为：（3，2，﹣1）；
（2）有序实数对（1，4，4）的特征多项式：x2+4x+4；
有序实数对（﹣3，﹣4，2）的特征多项式：﹣3x2﹣4x+2．
28∴（x2+4x+4）+（﹣3x2﹣4x+2）
＝x2+4x+4﹣3x2﹣4x+2
＝﹣2x2+6．
【点评】本题考查了整式的加减，解题的关键是根据题意写出特征系数对和特征多项式．
|a b|
6．（2023秋•龙湖区期末）我们将 这样的式子称为二阶行列式，它的运算法则公式表示就是
c d
|a b| |1 2|
= ad﹣bc，例如 = 1×4﹣2×3＝4﹣6＝﹣2．
c d 3 4
|3 −2|
（1）请你依此法则计算二阶行列式 ．
4 3
|2x−3 x+2|
（2）请化简二阶行列式 ，并求当x＝4时二阶行列式的值．
2 4
|a b|
【分析】（1）根据 = ad﹣bc，可以求得所求式子的值；
c d
|a b|
（2）根据 = ad﹣bc，可以将题目中的式子化简，然后将x＝4代入化简后的式子即可．
c d
【解答】解：（1）由题意可得，
|3 −2|
4 3
＝3×3﹣（﹣2）×4
＝9+8
＝17；
|2x−3 x+2|
（2）
2 4
＝4（2x﹣3）﹣2（x+2）
＝8x﹣12﹣2x﹣4
＝6x﹣16，
当x＝4时，原式＝6×4﹣16＝24﹣16＝8．
【点评】本题考查整式的加减、有理数的混合运算、新定义，解答本题的关键是明确新定义，会用新定
义解答问题．
7．（2023秋•北京期末）我们规定：使得a﹣b＝2ab成立的一对数a，b为“有趣数对”，记为
（a，b）．例如，因为2﹣0.4＝2×2×0.4，（﹣1）﹣1＝2×（﹣1）×1，所以数对（2，0.4），（﹣1，1）
都是“有趣数对”．
291 1
（1）数对（1， ），（1.5，3），（− ，﹣1）中，是“有趣数对”的是 ；
3 2
（2）若（k，﹣3）是“有趣数对”，求k的值；
1
（3）若（m，n）是“有趣数对”，求代数式8[3mn− m﹣2（mn﹣1）]﹣4（3m2﹣n）+12m2的值．
2
【分析】（1）利用“有趣数对”的定义进行判断即可；
（2）利用“有趣数对”的定义列出方程，解方程即可得出结论；
（3）先将代数式化简，再利用“有趣数对”的定义得出m，n的关系式，最后利用整体代入的方法化简
运算即可．
1 2 1 2
【解答】解：（1）∵1− = ，2×1× = ，
3 3 3 3
1 1
∴1− =2×1× ，
3 3
1
∴数对（1， ）是“有趣数对”；
3
∵1.5﹣3＝﹣1.5，2×1.5×3＝9，
∴1.5﹣3≠2×1.5×3，
∴数对（1.5，3）不是“有趣数对”；
1 1 1
∵− −（﹣1）= ，2×(− )×（﹣1）＝1，
2 2 2
1 1
∴− −（﹣1）≠2×（− ）×1，
2 2
1
∴数对（− ，﹣1）不是“有趣数对”．
2
1
综上，是“有趣数对”的是（1， ），
3
1
故答案为：（1， ）；
3
（2）∵（k，﹣3）是“有趣数对”，
∴k﹣（﹣3）＝2×k×（﹣3），
∴k+3＝﹣6k，
∴7k＝﹣3，
3
∴k=− ；
7
301
（3）8[3mn− m﹣2（mn﹣1）]﹣4（3m2﹣n）+12m2
2
1
＝8（3mn− m﹣2mn+2）﹣12m2+4n+12m2
2
＝24mn﹣4m﹣16mn+16﹣12m2+4n+12m2
＝8mn﹣4m+4n+16，
∵（m，n）是“有趣数对”，
∴m﹣n＝2mn．
∴原式＝8mn﹣4（m﹣n）+16
＝8mn﹣4×2mn+16
＝8mn﹣8mn+16
＝16．
【点评】本题主要考查了实数的混合运算，整式的加减与化简求值，本题是阅读型题目，理解新定义并
熟练运用是解题的关键．
题型九 运用整式的加减解决实际问题
解题技巧提炼
有关整式加减的实际问题，应先根据题目中的数量关系，正确列出关系式，再按
照整式加减的运算法
则计算出最后的结果.
1．（2024•临夏州一模）如图，长方形的长是3a，宽是2a﹣b，则长方形的周长是（ ）
A．10a﹣2b B．10a+2b C．6a﹣2b D．10a﹣b
【分析】直接根据长方形的周长公式进行解答即可．
【解答】解：∵长方形的长是3a，宽是2a﹣b，
∴长方形的周长＝2（3a+2a﹣b）＝10a﹣2b．
故选：A．
【点评】本题考查的是整式的加减及长方形的周长，熟知长方形的周长＝2（长+宽）是解答此题的关键．
312．（2023秋•定陶区期末）一辆客车上原有（6a﹣2b）人，中途下车一半人数，又上车若干人，这时车上
共有（12a﹣5b）人．则中途上车的乘客是 人．
【分析】先求出中途下车后车上剩余的人数，然后用最后车上的人数减去中途下车后剩余的人数就是上
车的人数．
【解答】解：根据题意，中途下车后车上剩余的人数为：
1
×（6a﹣2b）＝3a﹣b，
2
（12a﹣5b）﹣（3a﹣b）
＝12a﹣5b﹣3a+b
＝9a﹣4b．
故答案为：（9a﹣4b）．
【点评】本题主要考查了整式的加减，求出中途下车后剩余的人数是解题的关键，计算时要注意符号的
处理，这是本题容易出错的地方．
3．（2024春•通州区期中）两个形状大小完全相同的长方形中放入4个相同的小长方形后，得到图①和图
②的阴影部分，如果大长方形的长为m，则图②与图①的阴影部分周长之差是（ ）
m m m m
A．− B． C． D．−
2 2 3 3
【分析】设图中小长方形的长为x，宽为y，表示出两图形中阴影部分的周长，求出之差即可．
【解答】解：设图③中小长方形的长为x，宽为y，大长方形的宽为n，
1
根据题意得：x+2y＝m，x＝2y，即y= m，
4
图①中阴影部分的周长为2（n﹣2y+m）＝2n﹣4y+2m，图②中阴影部分的周长2n+4y+2y＝2n+6y，
5 m
则图②与图①的阴影部分周长之差是2n+6y﹣（2n﹣4y+2m）＝10y﹣2m= m﹣2m= ．
2 2
故选：B．
【点评】此题考查了整式的加减，以及列代数式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
4．（2023秋•乐陵市期末）如图，将三种大小不同的正方形纸片①，②，③和一张长方形纸片④，平
32铺长方形桌面，重叠部分（图中阴影部分）是正方形，若要求长方形桌面长与宽的差，只需知道
（ ）
A．正方形①的边长 B．正方形②的边长
C．阴影部分的边长 D．长方形④的周长
【分析】可设正方形①的边长为：x，正方形②的边长为y，正方形③的边长为m，表示出长方形桌面
的长与宽，再求差即可．
【解答】解：设①②③的边长分别是x，y，m．
则EH＝m﹣x，EF＝2y﹣x，
∵四边形EFGH是正方形，
∴m﹣x＝2y﹣x，
∴m＝2y，
∴AB﹣AD＝（m+x）﹣（x+y）＝m﹣y＝2y﹣y＝y，
∴只需要知道正方形②的边长即可．
故选：B．
【点评】本题考查了列代数式，整式的加减，关键是表示出长方形桌面的长与宽．
5．（2023秋•方城县期末）某商店在甲批发市场以每包m元的价格进了40包茶叶，又在乙批发市场以每
m+n
包n元（m＞n）的价格进了同样的60包茶叶，如果商家以每包 元的价格卖出这种茶叶，卖完后，
2
这家商店（ ）
33A．盈利了 B．亏损了
C．不赢不亏 D．盈亏不能确定
【分析】根据题意列出商店在甲批发市场茶叶的利润，以及商店在乙批发市场茶叶的利润，将两利润相
加表示出总利润，根据m大于n判断出其结果大于0，可得出这家商店盈利了．
m+n
【解答】解：根据题意列得：在甲批发市场茶叶的利润为40（ −m）＝20（m+n）﹣40m＝20n﹣
2
20m；
m+n
在乙批发市场茶叶的利润为60（ −n）＝30（m+n）﹣60n＝30m﹣30n，
2
∴该商店的总利润为20n﹣20m+30m﹣30n＝10m﹣10n＝10（m﹣n），
∵m＞n，∴m﹣n＞0，即10（m﹣n）＞0，
则这家商店盈利了．
故选：A．
【点评】此题考查了整式加减运算的应用，解题的关键是理解利润＝（售价﹣进价）×数量．
6．某冰箱销售商，今年四月份销售冰箱（a﹣1）台，五月份销售冰箱比四月份的2倍少1台，六月份销
售冰箱比前两个月的总和还多5台．
（1）求五月份和六月份分别销售冰箱多少台？
（2）六月份比五月份多销售冰箱多少台？
【分析】（1）分别表示出五月份和六月份销售的台数即可；
（2）用六月份减去五月份的销量即可求解．
【解答】解：（1）五月份的销量为：2（a﹣1）﹣1＝2a﹣3，
六月份的销量为：（a﹣1）+（2a﹣3）+5＝3a+1；
（2）3a+1﹣（2a﹣3）＝3a+1﹣2a+3＝a+4．
故六月份比五月份多销售冰箱（a+4）台．
【点评】本题考查了整式的加减，解答本题的关键是掌握去括号法则和合并同类项法则．
7．为了绿化校园，学校决定修建一块长方形草坪，长30米，宽20米，并在草坪上修建如图所示的等宽
的十字路，小路宽为x米．
（1）用代数式表示小路和草坪的面积分别是多少平方米？
（2）当x＝3米时，求草坪的面积．
34【分析】（1）小路的面积等于长为30米，宽为x米和长为20米，宽为x米的长方形的面积之和减去一
个边长为x米的正方形的面积．
（2）将x＝3米代入（1）中所得的草坪的面积表达式计算即可．
【解答】解：（1）根据题意得：
小路的面积为：30x+20x﹣x2＝（﹣x2+50x）平方米；
草坪的面积为：
20×30﹣（50x﹣x2）
＝（600﹣50x+x2）平方米．
（2）当x＝3米时，草坪的面积为：
600﹣50x+x2
＝600﹣50×3+32
＝600﹣150+9
＝459（平方米）．
【点评】本题考查了列代数式和代数式求值，数形结合并熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
35
