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专项训练03 整式的化简求值与含字母参数问题
【知识点1 整式的相关概念】
1.单项式：由数或字母的积组成的式子，单独的一个数或字母也是单项式。单项式中的数字因数是系数，所
有字母的指数和是次数。
2.多项式：几个单项式的和叫做多项式。多项式中每个单项式叫项，不含字母的项叫常数项，次数最高项的
次数是多项式的次数。
3.整式：单项式和多项式统称为整式。
【知识点2 整式的加减】
1.同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项。合并同类项时，同类项的系数相加，字母和字
母的指数不变。
2.去括号法则：括号前是“+”，去掉括号和它前面的“+”，原括号里各项符号不变；括号前是“-”，去
掉括号和它前面的“-”，原括号里各项符号都要改变。
3.整式加减运算法则：几个整式相加减，用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接，然后去括号，合并
同类项。
【题型1 整式的加减】
1.化简：
(1)
2
3
5
4
x
y
x
y
(2)
2
2
2
2
4
5
2 3
4
a b
ab
a b
ab
2.化简：
(1)
2
2
4
5
5
4
2
x
x
x
x
(2)
2 2
3
3 2
3
a
b
b
a
.
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【题型2 整式的加减中化简求值】
3.先化简，再求值：
2
2
2
2
5
10
3 2
2
5
2
x
y
xy
y
x
，其中
1
x ，
2
y ．
4.先化简再求值：
(1)
2
2
1
4
1
2
1
4
2
2
x
x
x
x
，其中
3
x ．
(2)
2
2
2
2
2
3
4
3
2
xy
xy
x
xy
x
y
y
，其中
3
2
x
，
1
4
y
．
【题型3 多项式系数，指数中字母求值】
5．若多项式
2
3
1
2
2
1
n
m
x y
xy
xy
是四次三项式，则m
n
．
6．已知有理数a 和有理数b 满足多项式A，
2
3
2
1
b
A
a
x
x
x
bx
a
是关于x 的二次三项式，则
a
，b
；
【题型4 已知同类项求指数中字母或代数式的值】
7．如果单项式
1
2
7
m
n
x
y
与
3
3
5
n
x y
是同类项，则m
n
．
8．若单项式
2
m
x y 与
3
2
n
x y
的差仍是单项式，则
m
n 的值为
．
【题型5 整式加减运算中不含某一项的问题】
9．已知多项式
2
2
2
2
2
4
3
1
6
4
3
mx
x
x
x
y
x
化简后不含
2x 项．
(1)求m 的值；
(2)化简并求多项式
3
2
2
3
5
5
m
m
m
m
的值．
10．已知关于x 的多项式
5
3
2
3
2
2
2
1
1
a
b x
a
x
b
x
b
x
中不含
3x 和x 项．
(1)求a，b 的值；
(2)试求当
2
x 时，这个多项式的值．
【题型6 整式加减运算中取值与字母无关的问题】
11．已知两个多项式：
2
2
3
2
1
A
m
mn
m
，
2
1
B
m
mn
．
(1)求：
5
4
2
A
A
B
；
(2)若（1）中式子的值与m 的取值无关，求n 的值．
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12．已知
4
2
3
2
A
a
ab
b
，
15
6
B
a
b
ab
．
(1)当
3
2
a
b
ab
，
时，求2A
B
的值；
(2)若2A
B
的值与a 的取值无关，求b 的值，并求2A
B
的值．
【题型7 整式加减中的新定义型问题】
13.定义：若x
y
m
，则称 x 与y 是关于m 的相关数．
(1)若5 与a 是关于2 的相关数，则a ______．
(2)若A与B 是关于 m 的相关数，
3
5
6
A
mn
m
n
，B 的值与m 无关，求B 的值．
14.定义：若
2
a
b
n
，则称a 与b 是关于数n 的平均数．比如3 与4
是关于0.5
的平均数，7 与13 是关于
10 的平均数．
(1)填空：2 与_______是关于1
的平均数，______与2
5
x
是关于2 的平均数；
(2)现有
2
3
10
13
a
x
kx
与
2
3
5
6
b
x
x
k
（k 为常数），且a 与b 始终是关于数n 的平均数，与x 的取值
无关，求n 的值．
【题型8 整式加减应用中图形面积与字母无关的问题】
15．把4 张形状、大小完全相同的小长方形卡片（如图1，长为b，宽为a）不重叠地放在如图2 所示长方
形盒子底部，盒子底面未被卡片覆盖的部分面积分别为
1
2
S
S
、
．记AB 的长为x，若
1
2
4
S
S
的值与x 无关，
则
1
2
4
S
S
可表示为
．（用含a 的式子表示）
16．已知，有7 个完全相同的边长为m 、n 的小长方形（如图1）和1 个宽为10 的大长方形（如图2），小
明把这7 个小长方形按如图所示放置在大长方形中．
(1)当
5,
2
m
n
时，大长方形的面积为______，阴影图形B 的面积为______；
(2)请说明阴影A 与阴影B 的周长的和与小长方形的边长m 的取值无关．
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1．若
1
3
m
x y
与
2
2
n
x y 是同类项，则mn 的值为（ ）
A．2
B．4
C．8
D．16
2．如果
1
2
3
3
m
x
y
m
xy
x
是关于x，y 的四次三项式，那么m （ ）
A．1
B．1
或3
C．3
D．3
3．多项式
2
2
3
3
5
6
mx
ny
y
x
的值与x，y 的取值无关、则
2026
m
n
的值为（ ）
A．1
B．－1
C．2026
D．－2026
4．定义一种新运算：
a
b
ad
bc
c
d
．如：
2
3
2 5
3 4
2
4
5
．若
1
4
3
x
k
x
的值与x 的取值无关，则
1
4
3
x
k
x
的值为（ ）
A．9
B．4
C．6
D．8
5．如果单项式
1
3
ax
y
与
1
1
2
a
b
y
x
是同类项，那么a
b
___．
6．已知多项式
2
3
2
2
3
2
m
m
x
y
x y
xy
是关于,x y 的四次三项式，m 的值是______．
7．已知关于x，y 的多项式
2
3
mx
xy
x
与
2
4
2
3
x
nxy
y
的差不含二次项，则m
n
______．
8．定义新运算“Δ”，对于任意有理数a，b，规定
2
2
Δ
2
3
a b
a
b
a
b
，若
1
x ，
2
y
，则
Δ
Δ
x y
y x
的值为______．
9．先去括号，再合并同类项：
(1)
5
3
a
a
b
；
(2)
2
2
2
2
2
2
a
ab
b
a
ab
b
；
(3)
2
2
2
2
3 2
2 3
2
x
y
y
x
；
(4)
2
2
5
4
2 5
4
2
x
x
x
x
．
10．先化简，再求值：
2
2
2
2
3
5
2
7
16
25
ab
b
a
ab
a
b
，其中
2
1
2
0
a
b
．
11．已知单项式
3
2n
x y
与
2
1
3
m
x y 是同类项．
(1)求m，n 的值；
(2)求
3
2
3
3 2
3
4
mn
m
n
mn
m
n
的值．
12．定义：若
2
a
b
，则称a 与b 是关于2 的友好数．
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(1)3 与__________是关于2 的友好数；
(2)若
2
4
c
x
x
，
2
2
2
2
1
d
x
x
x
，判断c 与d 是否关于2 的友好数，并说明理由．
13．已知整式
2
2
2,
2
M
ax
bx
N
x
x
c
，其中a、b、c 为常数．
(1)若M
N
的结果中不含
2
x 项和x 项，求a、b 的值；
(2)若对于任意x，2M
N
的值始终为
2
3
2
1
x
x
，求a、b、c 的值．
14．【阅读理解】我们知道：
4
2
4
2 1
5
x
x
x
x
x
，类似的，若我们把
a
b
看成一个整体，则有
4
2
4
2 1
5
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
．这种解决问题的方法渗透了数学中的“整体思
想”．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，其应用极为广泛．
【方法运用】
(1)把
a
b
看成一个整体，则
2
2
2
3
7
2
a
b
a
b
a
b
__________；
(2)已知
2
2
5
x
y
，求代数式
2
3
6
21
x
y
的值；
(3)当
2025
x
时，代数式
2
1
ax
x
的值是m ，则当
2025
x
时，求
2
1
ax
x
的值（结果用含m 的代数式
表示）．
【拓展应用】
(4)将一块长方形纸片剪成如图所示的①、②、③、④4 个正方形和⑤一个小长方形，设①号正方形的边
长为x ，②号正方形的边长为y ，若图中⑤号小长方形的周长为20，试求③号正方形的周长．
15．新定义型阅读理解题
【知识背景】
定义1：一个关于x ，y 的多项式，如果把其中x ，y 互换，所得的结果都与原式相同，则称此多项式是关
于x ，y 的二元对称多项式．如x
y
，
2
2
3
x
xy
y
都是关于x ，y 的二元对称多项式．
定义2：若多项式组
, ,
A B C （A ，B ，C 是关于x ，y 的整式)中的三个整式满足两个条件：
①多项式C 是二元对称多项式；
②整式A ，B 通过加减运算后可得到整式C ，我们把这样的多项式组称为“二元对称关联式”．
【知识应用】
(1)请你写出一个满足下列条件的二元对称多项式：①它是关于x ，y 的三次四项式；②它不能合并同类项；
③按照x 的降幂排列．
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(2)判断①
2
2
2
2
2
2
2
,
2
,
x
xy
y
x
xy
y
x
y
，②
2
2
2
2
2
,2
2
,
x
y
xy
xy
y
x
xy
y
能否成为“二元对称
关联式”，说明理由．
(3)若
2
2
2
,
,
2
A xy
y
x
xy
y
是“二元对称关联式”，写出所有符合条件的多项式A．
1．已知
2
25
m
a
b
和
6
1
7
n
a b 的和是单项式，x 与y 互为相反数（
0
x
），c 与d 互为倒数，则
n
y
m
cd
x
．
2．已知关于x 的多项式M 和N ，其中
2
(
2)
(
1)
3
M
a
x
b
x
（,a b 为常数），
2
5
3
N
x
x
．
(1)若多项式
2
(
2)
(
1)
3
a
x
b
x
中不含
2x 项，求a 的值；
(2)当
3,
2
a
b
时，求3M
N
；
(3)在（2）的条件下，若
2
5
3
4
0
x
x
，求3M
N
的值．
3．已知代数式
2
2
3
2
A
m
mn
n
，
2
B
m
mn
m
．
(1)求
2
A
B
；
(2)若单项式
3
7
nx y 与单项式
2
9
m
x y
是同类项，求
2
A
B
的值；
(3)当m 取何值时，
2
A
B
的值与n 的取值无关．
4.阅读理解题
我们定义：如果两个多项式A 与B 的差为常数，且这个常数为正数，则称A 是B 的“雅常式”，这个常数称为
A 关于B 的“雅常值”，如多项式
2
2
1
A
x
x
，
(
4)(
2)
B
x
x
，
2
2
1
A
B
x
x
(
4)(
2)
x
x
2
2
2
1
2
8
9
x
x
x
x
，则A 是B 的“雅常式”，A 关于B 的“雅常值”为9
(1)已知多项式
2
1
C
x
x
，
(
2)(
1)
D
x
x
，则C 关于D 的“雅常值”是______；
(2)多项式E 是多项式F 的“雅常式”且“雅常值”是3，已知多项式
2
(
3)
E
x
x
，求多项式F
(3)已知多项式
2
(
)
M
x
a
（a 为常数），
2
4
N
x
x
，M 是N 的“雅常式”，求M 关于N 的“雅常值”
5.【知识回顾】
在学习代数式求值时，遇到这样一类题：“代数式
6
3
5
1
ax
y
x
y
的值与x 的取值无关，求a 的值”．通
常的解题方法是把x，y 看作字母，把a 看作系数合并同类项．因为代数式的值与x 的取值无关，所以含x
项的系数为0，即原式
3
6
5
a
x
y
，其中
3
0
a
，则
3
a ．
【方法应用】
（1）当b ______，c ______时，关于x 的多项式
4
3
2
3
5
1
5
1
x
b
x
c
x
x
不含
3x 项和
2x 项．
（2）已知
2
3
2
3
1
A
x
xy
y
，
2
2
2
1
B
x
xy
，且2
3
A
B
的值与y 的取值无关，求x 的值．
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【拓展延伸】
（3）淇淇用6 张长为b，宽为a 的长方形纸片按照如图所示的方式不重叠地放在大长方形ABCD 内，大长
方形中有两个部分未被覆盖，设左上角部分的面积为
1S ，右下角部分的面积为
2
S ．当AD 的长发生变化时，
2
1
5
2
S
S
的值始终保持不变．请求出a 与b 之间的数量关系．
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