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（北师大版）七年级上册数学《第 3 章 整式及其加减》
3.2 整式的加减
3.2.3 整式的加减
整式的加减
知识点
◆1、整式的加减：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项.
◆2、整式的加减步骤及注意问题
（1）整式的加减的实质就是去括号、合并同类项．一般步骤是：先去括号，然后合并同类项．
（2）去括号时，要注意两个方面：一是括号外的数字因数要乘括号内的每一项；二是当括号外是
“﹣”时，去括号后括号内的各项都要改变符号．
◆3、整式加减的最终结果
（1）不含括号、不含同类项;
（2）含字母项的系数不能出现带分数,带分数必须化成假分数;
（3）结果一般按某一字母的降幂或升幂排列.
1题型一 利用整式的加减计算
解题技巧提炼
用A、B表示的多项式分别是一个整体，先化简再代入求值时要把A、B加上括
号后，然后去括号再进行化简.
1．（2023秋•林州市期末）一个多项式与x2﹣2x+1的和是3x﹣2，则这个多项式为（ ）
A．x2﹣5x+3 B．﹣x2+x﹣1 C．﹣x2+5x﹣3 D．x2﹣5x﹣13
2．（2023春•昌平区期中）已知A＝3x2+x﹣5，B＝﹣x﹣2x2+4，则A+B的结果为（ ）
A．2x2﹣x﹣1 B．5x2+2x﹣9 C．x2﹣1 D．4x2﹣x﹣1
23．（2023秋•淮阳区期末）若A＝x2﹣2xy+y2，B＝x2+2xy+y2，则下列各式运算结果等于4xy的是（ ）
A．A+B B．A﹣B C．﹣A+B D．﹣A﹣B
4．（2023秋•隆回县期末）某天数学课上老师讲了整式的加减运算，小颖回到家后拿出自己的课堂笔记，
认真地复习老师在课堂上所讲的内容，她突然发现一道题目：（2a2+3ab﹣b2）﹣（﹣3a2+ab+5b2）＝
5a2 ﹣6b2，空格的地方被墨水弄脏了，请问空格中的一项是（ ）
A．+2ab B．+3ab C．+4ab D．﹣ab
5．（2023秋•大连期中）一个多项式加上3x2y﹣3xy2得x3﹣3x2y，则这个多项式是（ ）
A．x3+3xy2 B．x3﹣3xy2
C．x3﹣6x2y+3xy2 D．x3﹣6x2y﹣3x2y
6．（2023秋•陆丰市期末）计算：
（1）3x+5﹣（2x+1）；
（2）（4a2b﹣5ab2）﹣（3a2b﹣4ab2）．
7．（2023秋•清水县校级期末）计算：
（1）﹣2y3﹣xy2﹣2（xy2﹣y3）；
（2）5x2﹣[3x2﹣2（﹣x2+4x）]．
8．已知：A＝2a2﹣5a，B＝a2+3a﹣5，求A﹣3B； 并确定当a＝﹣1时A﹣3B的值．
3题型二 整式的化简求值---直接代入求值
解题技巧提炼
进行整式的加减时先去括号然后合并同类项进行化简后，直接代入字母的值进行
计算即可.
1．（2024春•靖江市校级月考）先化简，再求值：6y2﹣（2x2﹣y）+2（x2﹣3y2），其中x＝﹣2023，y＝
2024．
1
2．（2023秋•苍南县期末）先化简，再求值：2（2a2+3ab）﹣（4a2+4ab﹣9），其中a= ，b＝﹣3．
2
1 1 3 1
3．（2023•宣城期末）先化简，再求值： x−2(x− y2 )+(− x+ y2 )，其中x＝﹣2，y＝3．
2 3 2 3
4．（2023秋•沙坪坝区期末）先化简，再求值：
已知2（﹣3xy+x2）﹣[2x2﹣3（5xy﹣2x2）﹣xy]，其中x，y满足|x+2|+（y﹣3）2＝0．
5．（2023秋•新邵县期末）已知：A﹣2B＝7a2﹣7ab，且B＝﹣4a2+6ab+7．
（1）求A等于多少？
（2）|a+1|+（b﹣2）2＝0，求A的值．
46．（2023秋•子洲县期末）已知多项式A＝2a2+3ab﹣2a﹣1，B＝a2+ab﹣1，且A﹣2B﹣C＝0．
（1）求多项式C．
（2）当a＝2，b＝﹣3时，求多项式C的值．
7．（2023秋•长沙期末）已知A＝2x2﹣3xy+4，B＝﹣3x2+5xy﹣8．
（1）化简3A+2B．
（2）当|x﹣3|+（y+2）2＝0，求3A+2B的值．
题型三 整式的化简求值---整体代入求值
解题技巧提炼
先对原式进行去括号、合并同类项的化简，再把数值整体代入到化简后的式子求
值即可．
1．（2023秋•泗阳县期末）若m﹣x＝2，n+y＝3，则（m﹣n）﹣（x+y）＝（ ）
A．﹣5 B．﹣1 C．1 D．5
2．（2023秋•邢台期末）已知x2﹣xy＝3，3xy+y2＝5，则x2﹣4xy﹣y2的值是（ ）
A．2 B．﹣4 C．﹣2 D．8
3．（2023秋•金台区期末）已知x2﹣xy＝3，3xy+y2＝5，则2x2+xy+y2的值是（ ）
A．8 B．2 C．11 D．13
1
4．（2023春•平谷区期末）已知x2﹣5x﹣4＝0，求2x2−3(x2−2+x)−2(x−x2+ )的值．
2
55．求值：
（1）已知5x﹣2y＝3，求15x﹣6y﹣8的值．
5
（2）已知a﹣b＝5，﹣ab＝3，求(7a+4b+ab)−6( b+a−ab)的值．
6
6．我们知道，4x﹣2x+x＝（4﹣2+1）x＝3x．类似地，我们把（a+b）看成一个整体，则4（a+b）﹣2
（a+b）+（a+b）＝（4﹣2+1）（a+b）＝3（a+b）．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思
想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．
（1）若把（a﹣b）2看成一个整体，则合并3（a﹣b）2﹣8（a﹣b）2+6（a﹣b）2的结果是 ．
（2）已知x2﹣2y＝3，求﹣8y+4x2﹣2的值．
7．（2023秋•扶绥县期末）阅读材料：在合并同类项中，5a﹣3a+a＝（5﹣3+1）a＝3a．类似地，我们把
（x+y）看成一个整体，则5（x+y）﹣3（x+y）+（x+y）＝（5﹣3+1）（x+y）＝3（x+y）．“整体思
想”是中学数学解题中的一种重要的思想，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．
（1）把（x﹣y）2看成一个整体，合并3（x﹣y）2﹣（x﹣y）2+2（x﹣y）2的结果是 ．
（2）已知a2﹣2b＝1，求3﹣2a2+4b的值．
（3）已知a﹣2b＝1，2b﹣c＝﹣1，c﹣d＝2，求a﹣6b+5c﹣3d的值．
题型四 整式加减中与某个字母无关问题
6解题技巧提炼
整式中“不含”与“无关”类问题的求解方法：在整式的加减运算的过程中，若
涉及“不含某项”或“与某项无关”，其实质是指合并同类项后“不含项”或
“无关项”的系数为0.
1．（2023秋•惠城区校级期末）已知A＝3x2+2x﹣1，B＝mx+1，若关于x的多项式A+B不含一次项，则m
的值（ ）
A．2 B．﹣3 C．4 D．﹣2
2．（2023秋•长沙期末）已知关于x，y的多项式mx2+2xy﹣x与3x2﹣2nxy+3y的差不含二次项，求nm的值（
）
A．﹣1 B．1 C．3 D．﹣3
3．（2023秋•旌阳区期末）若关于a，b的多项式（a2﹣4ab﹣b2）﹣（a2﹣mab+2b2）化简后不含ab项，
则m＝ ．
4．（2023秋•清河区校级期末）已知A＝3x3+2x2﹣5x+7m+2，B＝2x2+mx﹣3，若多项式A+B中不含关于x
的一次项，则关于x的多项式A+B的常数项是 ．
5．（2023秋•武侯区校级期末）已知多项式x2+ax﹣y+b与bx2﹣3x+6y﹣3差的值与字母x的取值无关，求
代数式3（a2﹣2ab﹣b2）﹣4（a2+ab+b2）的值．
1
6．（2023秋•邗江区校级期末）已知关于x的代数式2x2− bx2﹣y+6和ax+17x﹣5y﹣1的值都与字母x的
2
取值无关．
（1）求a，b的值．
（2）若A＝4a2﹣ab+4b2，B＝3a2﹣ab+3b2，求4A+[（2A﹣B）﹣3（A+B）]的值．
1
7．（2023秋•金水区期末）已知A、B分别是关于x，y的多项式，一同学在计算多项式 A+B结果的时
2
71
候，不小心把表示A的多项式弄脏了，无法认出，现在只知道 B＝2y2+3ay+2y﹣3， A+B=y2+4ay+2y
2
﹣4．
（1）请根据仅有的信息试求出A表示的多项式；
（2）若多项式A+2B中不含y项，求a的值．
题型五 整式加减中的错看问题
解题技巧提炼
看错符号问题，先根据错误的运算方法求出原来的某个多项式，然后再按照正确
的运算方法计算结果即可.
1．（2023秋•内江期末）黑板上有一道题，是一个多项式减去 3x2﹣5x+1，某同学由于大意，将减号抄成
加号，得出结果是5x2+3x﹣7，这道题的正确结果是（ ）
A．8x2﹣2x﹣6 B．14x2﹣12x﹣5 C．2x2+8x﹣8 D．﹣x2+13x﹣9
2．（2023秋•离石区期末）小文在做多项式减法运算时，将减去 2a2+3a﹣5误认为是加上2a2+3a﹣5，求
得的答案是a2+a﹣4（其他运算无误），那么正确的结果是（ ）
A．﹣a2﹣2a+1 B．﹣3a2+a﹣4 C．a2+a﹣4 D．﹣3a2﹣5a+6
3．（2023秋•渠县校级期末）有一道题目是一个多项式A减去多项式2x2+5x﹣3，小胡同学将2x2+5x﹣3抄
成了2x2+5x+3，计算结果是﹣x2+3x﹣7，这道题目的正确结果是（ ）
A．x2+8x﹣4 B．﹣x2+3x﹣1 C．﹣3x2﹣x﹣7 D．x2+3x﹣7
4．（2024春•绿园区校级期末）一名同学在计算3A+B时，误将“3A+B”看成了“3A﹣B”，求得的结果
是6x2﹣5x+8，已知B＝3x2+7x+3，则3A+B的正确答案为 ．
5．（2023秋•东明县校级期末）小马虎做一道数学题“两个多项式 A，B，已知B＝2x2﹣3x+6，试求A﹣
82B的值”．小马虎将A﹣2B看成A+2B，结果答案（计算正确）为5x2﹣2x+9．
（1）求多项式A；
（2）求出当x＝﹣1时，A﹣B的值．
6．马小虎做一道题：“已知两个多项式A、B，计算2A+B”．他误将“2A+B”看成“A+2B，求得的结果为
9x2+x﹣7．如果知道B＝x2﹣2x+6．
（1）请根据现有条件求多项式A；
（2）计算2A+B的正确答案．
7．（2024春•南岗区校级期中）某同学做一道题，已知两个多项式 A、B，求A﹣B的值．他误将“A﹣
B”看成“A+B”，经过正确计算得到的结果是x2+14x﹣6，其中A＝﹣2x2+5x﹣1．
（1）请你帮助这位同学求出正确的结果；
（2）若x是最大的负整数，求A﹣2B的值．
题型六 整式加减与数轴、绝对值的结合
9解题技巧提炼
先由数轴上点的位置判断出绝对值里边式子的正负，原式利用绝对值的代数意义
化简，去括号合并即可得到结果．
1．有理数a、b在数轴上的位置如图所示，则化简|a|﹣|a﹣b|+|b﹣a|的结果是（ ）
A．﹣3a+2b B．2b﹣a C．a﹣2b D．﹣a
2．有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简|a﹣b|+|c﹣a|﹣|b﹣c|的结果是（ ）
A．﹣2a B．﹣2b C．﹣2a﹣2b D．2a﹣2b
3．已知a，b，c是三个有理数，它们在数轴上的位置如图所示，则化简|a﹣b|+|c﹣a|﹣|b+c|+（c﹣a）的结
果是（ ）
A．3a﹣c B．﹣2a+c C．a+c D．﹣2b﹣c
4．已知有理数a，b，c在数轴上的位置如图，且|c|＞|a|＞|b|，则|a+b|﹣2|c﹣b|+|a+c|＝（ ）
A．c﹣b B．0 C．3b﹣3c D．2a+3b﹣c
5．（2023秋•黔南州期中）如图，数轴上的三点A、B、C分别表示有理数a、b、c，则
（1）b﹣a 0，a﹣c 0，b+c 0（用“＞”“＜”或“＝”填空）．
（2）化简：|b﹣a|﹣|a﹣c|+|b+c|
6．（2023秋•大安市期中）数a，b，c在数轴上的位置如图所示且|a|＝|c|；化简：|a+c|+|2b|﹣|b﹣a|﹣|c﹣b|
+|a+b|．
7．数a，b，c在数轴上的位置如图所示且|a|＝|c|；
10c
（1）求：a+c与 的值
a
（2）化简：|a﹣c|﹣|b﹣a|+|a+c|．
题型七 利用整式加减解决数字问题
解题技巧提炼
根据方框在日历中的不同位置寻找规律，并利用规律求值；解决本题的难点是发
现日历中左右相邻的数相隔1，上下相邻的数相隔7．
1．一个三位数M，百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c．
（1）用含a、b、c的式子表示这个数M为 ．
（2）现在交换百位数字和个位数字，得到一个新的三位数N，请用含a、b、c的式子表示这个数N为
．
（3）请用含a、b、c的式子表示N﹣M，并回答N﹣M能被11整除吗？
2．（2023•丰润区二模）一个三位数，若它的十位数字等于个位数字与百位数字的和，那么称这个三位数
为“和谐数”．
（1）最小的三位“和谐数”是 ，最大的三位“和谐数”是 ；
（2）若一个“和谐数”的个位数字为a（a≥0），十位数字为b（b≥1，b＞a且a、b都是自然数），
请用含a，b的代数式表示该“和谐数”；
（3）判断任意一个三位“和谐数”能否被11整除，若能，请说明理由，若不能，请举出反例．
3．（2023秋•东城区校级期中）如图1是2022年2月的日历表：
11（1）在图1中用优美的“”U形框框住五个数，其中最小的数为1，则U形框中的五个数字之和为
；
（2）在图1中将U形框上下左右移动，框住日历表中的5个数字，设最小的数字为x，用代数式表示U
形框框住的五个数字之和为 ；
（3）在图1中移动U形框的位置，若U形框框住的五个数字之和为53，则这五个数字从小到大依次为
；
（4）在图1日历表的基础上，继续将连续的自然数排列成如图2的数表，在图2中U形框框住的5个
数字之和能等于2023吗？若能，分别写出U形框框住的5个数字；若不能，请说明理由．
4．（2022秋•雄县期中）如图1，图2是某月的日历．
（1）如图1，小明用带阴影的长方形围住9个数字．
①若设长方形围住的左上角的第一个数为x，则长方形围住的右下角的第9个数为 （用含x的
式子表示）；此时这9个数的和为 （用含x的式子表示）；
②若设长方形围住的正中间的数为a，请你试猜想围住的9个数之和与其正中间的数有什么关系，并说
明理由；
（2）若围住的数字由长方形中9个数字变成如图2所示的带阴影的数字，试判断是否还满足②中的结
论，并说明理由．
12题型八 利用整式加减进行新定义运算
解题技巧提炼
将多项式作为整体代入新定义的运算中，切记将多项式要用括号括起来，再去
括号．
1．（2024春•天元区校级期末）若“ ”是新规定的某种运算符号，设a b＝3a﹣2b，则（x+y） （x﹣
y）的值为（ ） ω ω ω
A．x+y B．x+2y C．2x+2y D．x+5y
|a b| |a b|
2．阅读材料：对于任何数，我们规定符号 的意义是 =ad﹣bc．
c d c d
|1 2|
例如： =1×4﹣2×3＝﹣2．
3 4
|1 −2|
（1）按照这个规定，请你计算 的值；
3 −1
（2）按照这个规定，请你化简|−3x2+ y x2+ y|．
3 2
1
3．（1）先化简再求值：当x=− ，y＝﹣3时，求代数式3（x2﹣2xy）﹣[3x2﹣2y+2（xy+y）]的值．
2
（2）我们定义一种新运算：a*b＝a2﹣b+ab．
①求2*（﹣3）的值；
②求（﹣2）*[2*（﹣3）]的值．
|a b|
4．（2023秋•防城区期中）阅读材料：对于任何数，我们规定符号 的意义
c d
|a b|
是 =ad﹣bc
c d
|1 2|
例如： =1×4﹣2×3＝﹣2
3 4
13|6 5|
（1）按照这个规定，请你计算 的值．
2 3
| 1 2xy+3 y|
（2）按照这个规定，请你计算当|x+y﹣2|+（xy+1）2＝0时， 的值．
−1 3x−1
5．（2023秋•卫辉市期末）给出如下定义：我们把有序实数对（a，b，c）叫做关于x的二次多项式
ax2+bx+c的特征系数对，把关于x的二次多项式ax2+bx+c叫做有序实数对（a，b，c）的特征多项式．
回答下列问题：
（1）关于x的二次多项式3x2+2x﹣1的特征系数对为 ；
（2）求有序实数对（1，4，4）的特征多项式与有序实数对（﹣3，﹣4，2）的特征多项式的和．
|a b|
6．（2023秋•龙湖区期末）我们将 这样的式子称为二阶行列式，它的运算法则公式表示就是
c d
|a b| |1 2|
=ad﹣bc，例如 =1×4﹣2×3＝4﹣6＝﹣2．
c d 3 4
|3 −2|
（1）请你依此法则计算二阶行列式 ．
4 3
|2x−3 x+2|
（2）请化简二阶行列式 ，并求当x＝4时二阶行列式的值．
2 4
7．（2023秋•北京期末）我们规定：使得a﹣b＝2ab成立的一对数a，b为“有趣数对”，记为
（a，b）．例如，因为2﹣0.4＝2×2×0.4，（﹣1）﹣1＝2×（﹣1）×1，所以数对（2，0.4），（﹣1，1）
都是“有趣数对”．
1 1
（1）数对（1， ），（1.5，3），（− ，﹣1）中，是“有趣数对”的是 ；
3 2
（2）若（k，﹣3）是“有趣数对”，求k的值；
1
（3）若（m，n）是“有趣数对”，求代数式8[3mn− m﹣2（mn﹣1）]﹣4（3m2﹣n）+12m2的值．
2
题型九 运用整式的加减解决实际问题
14解题技巧提炼
有关整式加减的实际问题，应先根据题目中的数量关系，正确列出关系式，再按
照整式加减的运算法
则计算出最后的结果.
1．（2024•临夏州一模）如图，长方形的长是3a，宽是2a﹣b，则长方形的周长是（ ）
A．10a﹣2b B．10a+2b C．6a﹣2b D．10a﹣b
2．（2023秋•定陶区期末）一辆客车上原有（6a﹣2b）人，中途下车一半人数，又上车若干人，这时车上
共有（12a﹣5b）人．则中途上车的乘客是 人．
3．（2024春•通州区期中）两个形状大小完全相同的长方形中放入4个相同的小长方形后，得到图①和图
②的阴影部分，如果大长方形的长为m，则图②与图①的阴影部分周长之差是（ ）
m m m m
A．− B． C． D．−
2 2 3 3
4．（2023秋•乐陵市期末）如图，将三种大小不同的正方形纸片①，②，③和一张长方形纸片④，平
铺长方形桌面，重叠部分（图中阴影部分）是正方形，若要求长方形桌面长与宽的差，只需知道
（ ）
A．正方形①的边长 B．正方形②的边长
15C．阴影部分的边长 D．长方形④的周长
5．（2023秋•方城县期末）某商店在甲批发市场以每包m元的价格进了40包茶叶，又在乙批发市场以每
m+n
包n元（m＞n）的价格进了同样的60包茶叶，如果商家以每包 元的价格卖出这种茶叶，卖完后，
2
这家商店（ ）
A．盈利了 B．亏损了
C．不赢不亏 D．盈亏不能确定
6．某冰箱销售商，今年四月份销售冰箱（a﹣1）台，五月份销售冰箱比四月份的2倍少1台，六月份销
售冰箱比前两个月的总和还多5台．
（1）求五月份和六月份分别销售冰箱多少台？
（2）六月份比五月份多销售冰箱多少台？
7．为了绿化校园，学校决定修建一块长方形草坪，长30米，宽20米，并在草坪上修建如图所示的等宽
的十字路，小路宽为x米．
（1）用代数式表示小路和草坪的面积分别是多少平方米？
（2）当x＝3米时，求草坪的面积．
16
