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第五章 分 式与分式方程
5.2 分式的运算
第 4 课时 分式的混合运算
【素养目标】
1.能进行简单的分式加、减、乘、除、乘方的混合运算，并能化简求值．
2.经历分式混合运算法则的探究过程，进一步领会类比和转化的数学思想．
3.能利用分式运算解决简单的实际问题，培养应用意识，体会逻辑推理的思维价值．
重点：熟练地进行分式的混合运算．
难点：分式的混合运算及化简求值．
【复习导入】
1. 分式的乘除法则是什么？用字母表示出来：
2. 分式的加减法则是什么？用字母表示出来：
【合作探究】
探究点1：分式的混合运算
思考：下面我们先来回忆一下，分数的混合运算的运算顺序是什么？
讨论：类比分数，猜一猜分式的混合运算顺序是什么？
[典例精析]
2a 2 1 a b
例1 计算：( ) × − ÷
b a−b b 4
x2
例2 计算：(1) −x+1 (2)
x+1
第 1 页[归纳总结]
1. 计算时注意观察符号；
2. 根据题型熟练运用添括号法则进行通分；
3. 分母为多项式时，要先对分母进行因式分解.
注意：计算结果要化为最简分式或整式．
[对应训练]
a+b 1
1.计算：( −a−b) × .
2a a+b
问题1: 还能继续计算吗？
问题2: 你还有其他更简便的解法吗？
2.化简： (a+3−
7
)÷
a2 −8a+16
.
a−3 a−3
[典例精析]
例2 已知 求 的值.
[练一练]
3.先化简，再求值： 其中 x = -2.
第 2 页[尝试·思考]
根据规划设计，某工程队准备修建一条长 1120 m的盲道. 由于采用新的施工方式，
实际每天修建盲道的长度比原计划增加 10 m，从而缩短了工期. 假设原计划每天修建
盲道 x m，那么
(1) 原计划修建这条盲道需要多少天? 实际修建这条盲道用了多少天?
(2) 实际修建这条盲道的工期比原计划缩短了几天 ?
[练一练]
4. 张华和李明同时从甲地沿同一路线步行去乙地. 张华在前半段路程的平均行走速度
是 a km/h，在后半段路程的平均行走速度是 b km/h；李明全程的平均行走速度
是 km/h. 如果 a≠b，两人谁先到达乙地?
当堂反馈
1.下列分式中，计算结果为x－1的是( )
1 x2－1 x x＋1
A.1－ B. ∙ C. ÷
x x x＋1 x
1 x2＋2x＋1
D.
x－1 x＋1
x y x＋y
2.化简( － )÷ 的结果为( )
y x x
x－y
A.y B. C.
y
x＋y 1
D.
y y
1 a
3.当a＝3时，化简(1＋ )÷ 的值为( )
a－1 a2－2a＋1
A.0 B.1 C.2 D.3
1 b 2a
4.计算：( ＋ )∙ ＝ .
a a b＋1
5.计算：
x－3 x2＋x＋3 a－3 5 1 1 y
(1) ∙(1＋ )；(2) ÷(a＋2－ )；(3)( － )∙( －
x2－4 x－3 3a2－12 a－2 x＋y x－y x
x
).
y
第 3 页a＋2 8 a－2
6.先化简，再求值：( ＋ )÷ ，其中a为－1＜a＜3中的整数.
a2－2a 4－a2 a
参考答案
【复习导入】
1.
2.
【合作探究】
探究点1：分式的混合运算
思考：先乘方，再乘除，然后加减.
讨论：式与数的混合运算有相同的运算顺序，即先乘方，再乘除，然后加减. 有括号时，
先做括号内的运算，再做括号外的运算.
[典例精析]
4a2 1 a 4 4a2 4a 4a2 4a(a−b)
例1 解：原式= × − × = − = −
b2 a−b b b b2 (a−b) b2 b2 (a−b) b2 (a−b)
4a2 −4a2+4ab 4ab 4a
= = = .
b2 (a−b) b2 (a−b) ab−b2
例2 解：(1)
(2)
[a+b ] 1
[ 对 应 训 练 ]1. 解 ： 原 式 = −(a+b) ×
2a a+b
a+b−2a(a+b) 1 a+b−2a2 −2ab 1
= × = × .
2a a+b 2a a+b
(a+b)−2a(a+b) (a+b)−2a(a+b) 1
问题1: 可将 a+b 看成一个整体 原式= = ×
2a 2a a+b
第 4 页[a+b ] 1 a+b−2a(a+b) 1 a+b−2a2 −2ab 1
解：原式= −(a+b) × = × = ×
2a a+b 2a a+b 2a a+b
(a+b)−2a(a+b) 1 (a+b)(1−2a) 1 1−2a
= × = × = .
2a a+b 2a a+b 2a
问题2: 其他解法
[a+b ] 1 a+b 1 1 1 1−2a
解：原式= −(a+b) × = × −(a+b)× = −1= .
2a a+b 2a a+b a+b 2a 2a
2. 解：原式 ((a+3)(a−3) 7 ) a2 −8a+16 a2 −16 a−3
= − × = ×
a−3 a−3 a−3 a−3 (a−4) 2
(a−4)(a+4) a−3 a+4
= × = .
a−3 (a−4) 2 a−4
[典例精析]
例2 解：
因为 即 y = 2x，
所以原式 =
[练一练]3.解：
[尝试·思考]解：(1) 原计划修建盲道需要的天数：
实际修建盲道需要的天数：
(2)
[练一练]4. 解：设从甲地到乙地的路程为 s km，张华从甲地到乙地的时间(单位：h)为
s s s 2s
=
2 2 (a+b)s 李明从甲地到乙地的时间(单位： h )为 a+b a+b .
+ = .
a b 2ab 2
第 5 页(a+b)s 2s (a+b) 2s−4abs (a2+b2 −2ab)s (a−b) 2s
两人的时间差为 − = = = ,
2ab a+b 2ab(a+b) 2ab(a+b) 2ab(a+b)
(a−b) 2
因 为 s , a , b 均 大 于 0 ， 且 a ≠ b ， 所 以 >0 即
2ab(a+b)
(a−b)s 2s
> .
2ab a+b
因此，李明先到达乙地。
当堂反馈
1.B 2.B 3.C
4. 2
x 1
5.(1)原式＝ . (2)原式＝ . (3)解：原式
x－2 3(a＋2）（a＋3)
2
＝ .
x
[ a＋2 －8 ] a a－2 a 1
6.解：原式＝ ＋ ∙ ＝ ∙ ＝ .
a(a－2) (a－2）（a＋2) a－2 a(a＋2) a－2 a＋2
∵－1＜a＜3，且a为整数，
∴a＝0，1，2.
又∵a≠0且a－2≠0，即a≠0且a≠2，
1 1
∴a＝1.当a＝1时，原式＝ ＝ .
1＋2 3
第 6 页
