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第16 讲比较线段的长短
内容导航
01 预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向
02 教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理
03 题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解
题型1 两点之间线段最短
题型2 线段的数量问题的应用
题型3 线段的和与差
题型4 作线段（尺规作图）
题型5 线段中点的有关计算
题型6 线段n 等分点的有关计算
题型7 与线段有关的动点问题
04 过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固
关键词
学习目标导航
度量法、叠合法、线段
中点、尺规作图、等分
点、数形结合。
1. 掌握比较线段长短的两种方法：度量法（用刻度尺量长度）和叠合法（放
到同一直线上比较端点位置）。
2. 理解线段中点的概念，掌握中点将线段分成两条相等的线段，能进行相关
计算和推理。
3. 能用尺规作图作一条线段等于已知线段，并作线段的和与差。
4. 体会几何图形中数量关系和位置关系的相互转化，培养逻辑思维和几何直
观。
学习重点：用度量法和叠合法比较线段长短，理解线段中点的概念及作用，能用尺规作线段的和与差。
学习难点：叠合法中“重合端点”的操作与判断，以及用线段中点进行比例计算和符号表达（如AM
= MB =
ͳ
ʹAB），尺规作图的基本操作规范。
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知｜识｜框｜架
知｜识｜精｜讲
知识点01 线段的性质
两点之间的所有连线中，线段最短.简单地：两点之间线段最短.我们把两点之间线段的长度，叫做这两点
之间的距离.
【易错提醒】
线段性质易错警示：两点之间线段最短。注意：是“线段”最短，不是直线或射线。两点间距离指线段长度，
非线段本身。比较线段长短可用度量或叠合法，勿与“直线无限延伸”混淆。中点定义需准确。
即时即练1．高速公路是指专供汽车高速行驶的公路．高速公路在建设过程中，通常要从大山中开挖隧道
穿过，把道路取直以缩短路程．其中的数学原理是（
）
A．两点之间，线段最短
B．两点确定一条直线
C．平行线之间的距离最短
D．垂线段最短
【答案】A
【分析】本题考查线段的性质，解题的关键是掌握：两点之间，线段最短．
【详解】解：在高速公路的建设中，通常从大山中开挖隧道穿过，把道路取直，以缩短路程，这是因为：
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两点之间，线段最短．
故选A．
知识点02 线段大小比较
1.比较线段大小的方法：（1）目测法；（2）度量法；（3）叠合法
2.叠合比较法：利用直尺和圆规把线段放在同一条直线上，使其中一个端点重合，另一个端点位于重合端
点同侧，根据另一端点与重合端点的远近来比较长短．如下图：
【说明】线段的比较方法除了叠合比较法外，度量比较法也是常用的方法．
【易错提醒】
线段大小比较易错警示：可用度量法（统一单位）或叠合法（一端对齐，看另一端位置）。注意：叠合法
需考虑线段方向，比较的是长度而非位置。单位不一致时先换算。勿仅凭视觉判断（如弯曲线段）。中点
将线段分为相等两部分。
即时即练1．如图，点E 、F 在线段AB 上，点M 、N 分别是AE 、BF 的中点，
12
AB
，且
:
:
1: 2 :1
AE EF FB
，
那么线段MN 的长是
．
【答案】9
【分析】本题考查了线段和差的计算以及线段中点的定义，比例的性质，根据题意得
3,
6,
3
AE
EF
FB
，
根据中点的性质可得ME=
ͳ
ʹ ܣ䖈֨
͵
ʹ ǡ′൭֨
ͳ
ʹ ′㈱֨
͵
ʹ，进而根据MN
ME
EF
FN
，即可求解．
【详解】解：∵
12
AB
，且
:
:
1: 2 :1
AE EF FB
，
∴
3,
6,
3
AE
EF
FB
∵点M 、N 分别是AE 、BF 的中点，
∴
∴
3
3
6
9
2
2
MN
ME
EF
FN
，
故答案为：9．
知识点03 尺规作图
仅用圆规和没有刻度的直尺作图的方法叫做尺规作图.
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【说明】（1）只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题．
（2）直尺必须没有刻度，无限长，且只能使用直尺的固定一侧.只可以用它来将两个点连在一起，不可以在
上面画刻度．
（3）圆规可以开至无限宽，但上面也不能有刻度.它只可以拉开成之前构造过的长度．
【易错提醒】
尺规作图易错警示：用无刻度直尺和圆规作图，保留作图痕迹。注意：直尺只能画直线，不能量长度；圆
规画弧或截取等长。作图后需写结论。基本作图（作相等线段、角、垂直平分线等）步骤要清晰，勿随意
增加刻度尺测量。
即时即练1．作图题：如图，平面上有四个点A，B，C，D，根据下列语句画图：
(1)做射线BC ；
(2)取一点P，使点P 既在直线AB 上又在直线CD 上；
(3)若A、C 两点之间的距离为4，B、D 两点之间的距离为3，点M 到A，B，C，D 四点距离之和最短．画
出点M 的位置，并写出该最短距离和是___________．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)图见解析，7
【分析】本题考查射线，直线和线段，以及线段的性质：
（1）根据射线的定义，作图即可；
（2）直线
,
AB CD 的交点即为点P ；
（3）两点之间线段最短，得到AC ，BD 的交点即为点M ，再进行求解即可．
【详解】（1）解：作射线BC ，如图；
（2）直线AB 和直线DC 的交点就是点P；
（3）连接AC ，BD 交于M，点M 即为所求，最短距离和是4
3
7
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知识点04 线段的和与差
如下图：线段AB 上有一点C，则AC+BC=AB；AC=AB - BC；BC=AB - AC，
在这里线段AC、BC、AB 表示线段的长度，如AC+BC=AB 表示AC 长度与BC 长度之和等于AB 长度.
【易错提醒】
线段和差易错警示：线段的和差是长度运算，结果仍为线段。注意：作图时需截取相等长度，并用圆规或
刻度尺准确。计算时注意单位统一，如AB+BC=AC 需验证点B 是否在AC 上。勿与角度运算混淆。
即时即练1．如图，点C
E
，
是线段AB 上两点，点D 为线段AB 的中点，
6
AB
，
1
CD ．
(1)图中共有_______条线段；
(2)求BC 的长；
(3)若
13
AE EC
∶
∶，求EC 的长．
【答案】(1)10；
(2) 2 ；
(3)3．
【分析】（1）根据线段的定义即可求解；
（2 ）根据线段中点定义及线段和差关系即可求解；
（3）利用线段和差关系求出AC ，再根据线段的比即可求解；
本题考查了线段，线段的和差，中点的定义，正确识图是解题的关键．
【详解】（1）解：由图可得，线段共有4
3
2 1 10
条，
故答案为：10；
（2）解：∵点D 为线段AB 的中点，
6
AB
，
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∴
1
3
2
BD
AB
，
∵
1
CD ，
∴
3 1
2
BC
BD CD
；
（3）解：∵
6
AB
，
2
BC
∴
6
2
4
AC
，
∵
13
AE EC
∶
∶，
∴
3
3
4
3
4
4
EC
AC
．
知识点05 线段的中点
线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如下图所示，点C 是线段AB 的中点，
则AC=CB= 2
1 AB，或AB=2AC=2BC．
【说明】若点C 是线段AB 的中点，则点C 一定在线段AB 上．
【易错提醒】
线段中点易错警示：中点将线段分为两条相等的线段（AM=MB=
ͳ
ʹAB）。注意：点必须在线段上，且满足
等距。若只知AM=MB 而点不在线段上，则不是中点。中点公式在数轴上为(x1+x2)/2，勿漏除以2。
即时即练1．线段AB 上，M 为AC 的中点，N 为DB 的中点，AB
a
=
，CD
b
，MN （
）．
A．
1
2
a +
b
B．
1
2
a
b
C．1
1
2
2
a
b
D．1
1
2
2
a
b
【答案】D
【分析】本题考查与线段中点有关的计算，解题的关键是掌握线段中点的性质．先由AC
BD
a
b
，再
根据中点的性质得AM
MC
，BN
DN
，最后由线段的和差关系即可求出结果．
【详解】解：∵AB
a
=
，CD
b
，
∴AC
BD
a
b
，
∵点M 是AC 的中点，点N 是DB 的中点，
∴AM
MC
，BN
DN
，
∴
1
1
1
1
2
2
2
2
MN
MC
CD
DN
AC
BD
CD
a
b
b
a
b
．
故选：D．
2．如图，A ，B ，C ，D 是直线l 上的四个点，M ，N 分别是AB ，CD 的中点．
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(1)如果
2cm
MB
，
1.8cm
NC
，
5cm
BC
，则AD 的长为________cm；
(2)如果
10cm
MN
，
6cm
BC =
，则AD 的长为_________cm；
(3)如果MN
a
，BC
b
，求AD 的长，并说明理由．
【答案】(1)12.6
(2)14
(3)
2
AD
a
b
．
【分析】本题考查了两点间的距离，利用线段的和差得出(
)
MB
CN
的长，利用线段中点的性质，得出
2
AB
MB
，
2
CD
CN
．
（1）根据线段的和，可得
MB
CN
的长，根据线段中点的性质，可得AB 与MB 的关系，CD 与CN 的关系，
根据线段的和，可得答案；
（2）先根据线段的和与差，计算出BM
CN
的长，再根据线段中点的性质，可得AB 与MB 的关系，CD 与
CN 的关系，根据线段的和，可得答案；
（3）根据（2）的解题过程，即可解答．
【详解】（1）解：
2cm
MB
，
1.8cm
NC
，
3.8
MB
NC
，
M ，N 分别是AB ，CD 的中点，
2
AB
BM
，
2
CD
CN
，
2
2
2(
)
7.6
AB
CD
BM
CN
BM
CN
，
7.6
5
12.6 cm
AD
AB
CD
BC
，
故答案为：12.6；
（2）解：
10cm
MN
，
6cm
BC =
，
10
6
4
BM
CN
MN
BC
，
M ，N 分别是AB ，CD 的中点，
2
AB
BM
，
2
CD
CN
，
2
2
2(
)
8
AB
CD
BM
CN
BM
CN
，
8
6
14 cm
AD
AB
CD
BC
，
故答案为：14；
（3）解：
MN
a
，BC
b
，
BM
CN
a
b
，
M ，N 分别是AB ，CD 的中点，
2
AB
BM
，
2
CD
CN
，
2
2
2(
)
AB
CD
BM
CN
BM
CN
，
2(
)
AB
CD
a
b
，
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AD
AB
CD
BC
，
2(
)
2
2
2
AD
a
b
b
a
b
b
a
b
．
题型1 两点之间线段最短
【例1】如图，田亮同学用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长
要小，能正确解释这一现象的数学知识是
．
【答案】两点之间线段最短
【分析】本题主要考查了线段的性质，掌握两点之间线段最短是解题的关键．
根据两点之间线段最短即可解答．
【详解】解：田亮同学用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长
要小，能正确解释这一现象的数学知识是两点之间，线段最短．
故答案为：两点之间线段最短．
【例2】小海同学计划到距家直线距离为12.9 公里的天竺山森林公园游玩．他通过导航软件发现有三条可
选路线，如图所示，长度分别为15.8 公里，15.4 公里，18.4 公里．能解释这一现象的数学知识是
．
【答案】两点之间，线段最短
【分析】本题考查了两点之间，线段最短，熟练掌握两点之间，线段最短是解题关键．
根据两点之间，线段最短求解即可．
【详解】解：能解释这一现象的数学知识是两点之间，线段最短．
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故答案为：两点之间，线段最短．
【技巧归纳】
最短路径问题：化曲为直，利用两点之间线段最短。如蚂蚁在几何体表面爬行，展开成平面后连接两点。
实际中修路选最短。也可作对称点转化折线为直线。验证时，若路径为折线，则直接线段更短。结合三角
形两边之和大于第三边。常见于最短距离。
【变式1-1】安溪地处戴云山脉东南坡，山峦起伏，地形较为复杂．如图，在A 村与B 村之间有一座大山，
原来从A 村到B 村，需沿道路A
C
B
绕过村庄间的大山，打通A ，B 间的隧道后，就可直接从A 村到B
村，缩短A 村到B 村的路程.其中蕴含的数学道理是
．
【答案】两点之间，线段最短
【分析】本题考查线段的性质：两点之间，线段最短．根据该性质即可解答．
【详解】解：蕴含的数学道理是两点之间，线段最短，
故答案为：两点之间，线段最短．
【变式1-2】锦州市开展冬季研学活动，从市府广场出发，开车去东方华地城，打开导航，显示两地直线距
离为41.8km，但导航提供的三条可选路线长却分别为57km,59km,62km ．能解释这一现象的数学知识
是
．
【答案】两点之间，线段最短
【分析】本题主要考查了线段的性质，掌握线段的性质两点之间、线段最短是解题的关键．
直接运用线段的性质即可解答．
【详解】解：打开导航，显示两地直线距离为41.8km，但导航提供的三条可选路线长却分别为
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57km,59km,62km ，能解释这一现象的数学知识是：两点之间，线段最短．
故答案为：两点之间，线段最短．
题型2 线段的数量问题的应用
【例3】如图是广深港高铁线路图，往返于广州南站和深圳北站的高铁列车中途停靠庆盛站、虎门站和光明
城站，则有
种不同的票价，要准备
种车票．
【答案】
10
20
【分析】本题主要考查了线段条数问题，分别用A、B、C、D、E 表示广州南站，深圳北站，庆盛站、虎门
站和光明城站，那么图中线段的条数即为票价种类数，由于两个站之间有往返票，则两个站之间有2 种票，
据此求解即可．
【详解】解：如图所示，分别用A、B、C、D、E 表示广州南站，深圳北站，庆盛站、虎门站和光明城站，
∵一共有广州南站，深圳北站，庆盛站、虎门站和光明城站，共5 个站，且每两个站之间有一种票价，
∴图中线段的条数即为票价种类数，
∵图中有线段AC
AD
AE
AB
CD
CE
CB
DE
DB
BE
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，共10 条线段，
∴有10 种不同的票价，
∵两个站之间有往返票，
∴两个站之间有2 种票，
∴要准备10
2
20
种车票，
故答案为：10；20．
【例4】如图，点A ，B ，C 在直线l 上，则图中有
条线段，
条射线，有
条直线．
【答案】
3
6
1
【分析】本题考查了直线、射线和线段的认识，直线没有端点，是无限长的；射线有一个端点，可以向一
端无限延伸，不能度量长度；线段有两个端点，可以度量长度．据此解答．
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【详解】解：由图可知，直线上有A、B、C 三个点，
根据直线的特征可知，图中有1 条直线；
根据射线的特征可知，以A 为端点时，有2 条射线；以B 为端点时，有2 条射线；以C 为端点时，有2 条
射线，
所以一共有2 3
6
（条）射线；
根据线段的特征可知，图中有线段AB 、线段AC 、线段BC ，3 条线段．
即图中有1 条直线，6 条射线，3 条线段．
故答案为：1；6；3．
【技巧归纳】
若一条直线上有n 个点（含端点），则线段总数=C(n,2)=n(n-1)/2。若只数部分区间，按端点分类计数。也
可用“基本线段”累加法：先数最短的，再数长的。注意重复计数，按从左到右顺序。如4 个点有6 条。
适用于计数题型。
【变式2-1】如图，图中有线段
条，分别是线段
；图中有射线
条，分别是射
线
、
、
、
、
．
【答案】
6
,
,
,
,
,
AD AE AB DE DB EB
5
BC
AC
DF
EF
BF
【分析】此题考查了线段、射线的识别，根据线段和射线的定义进行解答即可．
【详解】解：如图，图中有线段6 条，分别是线段
,
,
,
,
,
AD AE AB DE DB EB ；图中有射线5 条，分别是射线
BC 、AC 、DF 、EF 、BF ．
故答案为：6，
,
,
,
,
,
AD AE AB DE DB EB ，5，BC 、AC 、DF 、EF 、BF
【变式2-2】湖南湘江新区大王山欢乐云巴对外运营．一张云巴票就能领略沿途10余个景点，感受大王山人
文风情，如图，乘云巴从山塘站出发，沿途经过7 个车站方可到达观音港站，那么运营公司在山塘站，观音
港站两站之间往返需要安排不同的车票
种．
01山
塘站
02 欢乐
雪域站
03欢
乐城站
04 华谊电
影小镇站
05大
王山站
06 桐溪
公园站
07 植物
公园站
08学
士站
09 观
音港站
【答案】72
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【分析】本题考查了如何求线段的条数的问题，设首尾两站为点A
B
、
，点C
D
E
F
G
H
M
、、、、、、
是线段
AB 上的七个点，求出A
B
、
之间的所有线段条数，进而即可求解，理解题意是解题的关键．
【详解】解：设首尾两站为点A
B
、
，点C
D
E
F
G
H
M
、、、、、、
是线段AB 上的七个点，
则图中共有线段
9
9 1
36
2
条，
∵A 到B 与B 到A 车票不同，
∴从A 到B 的车票共有36 2
72
种，
故答案为：72 ．
题型3 线段的和与差
【例5】如图，线段
16
AB
，点C 是线段AB 上一点，且
3
AC
BC
，点D 为线段AC 的中点，则线段
CD
．
【答案】6
【分析】本题考查线段的和差，线段中点的定义，根据AB
AC
BC
，代入数据进行计算即可求出BC 的
长；再求出AC 的长，然后根据线段中点的定义求解即可．准确识图并掌握线段中点的定义是解题的关键．
【详解】解：∵
16
AB
，
3
AC
BC
，
∴16
3
AB
AC
BC
BC
BC
，
∴
4
BC
，
∴
3
3 4
12
AC
BC
，
∵点D 为线段AC 的中点，
∴
1
1 12
6
2
2
CD
AC
．
故答案为：6 ．
【例6】已知线段AB ，在AB 的延长线上取一点C，使
2
BC
AB
，在AB 的反向延长线上取一点D，使
3
DB
AB
，则线段AC 的长度是线段DA 的长度的
倍．
【答案】3
2
【分析】本题考查了两点间的距离，线段的和差，掌握两点间的距离，线段的和差计算是解题的关键．根
据题意画出图形，由线段的和差倍分解答即可．
【详解】解：如图所示，
13 / 39
∵
2
BC
AB
，
∴
2
3
AC
AB
BC
AB
AB
AB
，
∵
3
DB
AB
DA
AB
=
=
+
，
∴
3
2
DA
AB
AB
AB
=
-
=
，
∴
3
3
2
2
AC
AB
DA
AB
=
=
，
故答案为：3
2 ．
【技巧归纳】
线段和：AC=AB+BC（B 在A、C 之间）。差：AB=AC-BC。利用等量代换求未知线段。若给出比例，设
x 表示。注意中点：AM=MB=AB/2。结合图形，用线段和差表示目标线段。如AB=AC+CD+DB。常设未
知数列方程。折叠问题中利用相等关系。
【变式3-1】如图，C 、D 、E 为线段MN 上的三个点，
1
3
5
DE
MN
，线段MN 的长为
．
【答案】15
【分析】本题考查了线段之间的和差关系．根据1
3
5 MN
进行计算即可；
【详解】解：∵1
3
5 MN
，
∴
3 5
15
MN
，
故答案为：15．
【变式3-2】若点A ，B ，C 在同一条直线上，如果线段
7cm
AB
，线段
4cm
BC
，那么A ，C 两点之间
距离是
．
【答案】3cm 或11cm
【分析】本题考查两点间距离，分析两种情况求解：点C 可能在线段AB 上，也可能在线段AB 的延长线上，
进而即可求解．根据题意画出图形是解题的关键，同时渗透了分类讨论的数学思想．
【详解】解：若点C 在线段AB 上，如图，
∵
7cm
AB
，
4cm
BC
，
∴
7
4
3 cm
AC
AB
BC
；
若点C 在线段AB 的延长线上，如图，
14 / 39
∵
7cm
AB
，
4cm
BC
，
∴
7
4
11 cm
AC
AB
BC
，
综上所述，A ，C 两点之间距离是3cm 或11cm ．
故答案为：3cm 或11cm ．
题型4 作线段（尺规作图）
【例7】如图，已知线段
,a b a
b
，用直尺和圆规画出线段c，使它等于2a
b
．（只写出作法）
解：（1）画射线OA；
（2）在射线OA上顺次截取OB
BD
______；
（3）在线段OD 上截取OC ______，线段______即为所求．
【答案】（2）a；（3）b；CD
【分析】本题主要考查了线段之间的关系作图，根据第一二步得到2a ，第三步截取后得2a
b
，线段CD即
为所求．
【详解】解；（1）画射线OA；
（2）在射线OA上顺次截取OB
BD
a
；
（3）在线段OD 上截取OC
b
，线段CD即为所求．
【例8】如图，平面上有四个点A，B，C，D，根据下列语句画图：
(1)画线段AC ，BD 交于E 点；
(2)作射线BC ；
(3)反向延长BC 至F，使得
3
BF
BC
BD
．（不写作法，保留作图痕迹）
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题考查作图﹣复杂作图，直线，射线，线段，两点之间的距离等知识．
（1）根据线段的定义画出图形；
15 / 39
（2）根据射线的定义画出图形；
（3）在CB 的延长线上截取
3
BE
BC
，在线段EB 上，截取EF
BD
，线段BF 即为所求．
【详解】（1）解：如图，线段AC ，BD 交于E 点，点E 即为所求；
（2）解：如图，射线BC 即为所求；
（3）解：如图，线段BF 即为所求．
【技巧归纳】
用无刻度直尺和圆规。作线段等于已知线段：画射线，在射线上截取等长。作线段和差：依次截取或从长
线段中截取。作中点：作垂直平分线。注意保留作图痕迹，写清步骤。圆规截取长度不变。尺规作图不能
测量刻度，只能转移长度。用圆弧确定交点。
【变式4-1】如图，已知线段AB ，请用尺规按下列要求作图：
(1)延长线段AB 到C，使BC
AB
；
(2)延长线段BA 到D，使AD
AC
(3)如果
2cm
AB
，那么AC ______cm，BD ______cm，CD ______cm
16 / 39
【答案】(1)见解析
(2)画图见解析
(3)4，6，8
【分析】本题考查了两点间的距离，利用了线段中点的性质，线段的和差．
（1）根据BC
AB
，可得线段BC ；
（2）根据AD
AC
，可得线段AC ；
（3）根据线段中点的性质，可得AC 的长根据线段的和差，可得BD 的长，根据线段中点的性质，可得CD
的长．
【详解】（1）解：如图1 所示；
（2）解：如图2 所示；
（3）解：∵AD
AC
，BC
AB
，
2cm
AB
，
2
4(cm),
4
2
6(cm),
4
4
8(cm
AC
AB
BD
AD
AB
CD
AD
AC
，
故答案为：4，6，8．
【变式4-2】（1）如图，已知线段a 、b ．请用尺规按要求作图：
①作线段AB
a
=
；
②在线段AB 的延长线上截取BC
b
；(不要求写画法，保留作图痕迹)
（2）若点D 是线段AC 的中点，用含a 、b 的式子表示线段BD 的长．
【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）
2
a
b
BD
【分析】本题考查了作线段、与线段中点有关的计算、整式加减的应用，熟练掌握作线段和线段的运算是
解题关键．
（1）①根据作线段的方法，作线段AB
a
=
即可得；
②根据作线段的方法，在线段AB 的延长线上截取BC
b
即可得；
（2）先求出AC
a
b
，再根据线段中点的定义可得
2
a
b
AD
，然后根据BD
AB
AD
即可得．
【详解】解：（1）①作线段AB
a
=
，如图所示：
②在线段AB 的延长线上截取BC
b
，如图所示：
17 / 39
（2）∵AB
a
=
，BC
b
，
∴AC
AB
BC
a
b
，
∵点D 是线段AC 的中点，
∴
1
2
2
a
b
AD
AC
，
∴
2
2
a
b
a
b
BD
AB
AD
a
．
题型5 线段中点的有关计算
【例9】如图，已知点C 为线段AB 上一点，
12cm
AC
，
8cm
CB
，D
E
、
分别是AC
AB
、
的中点．求：
(1)求DE 的长度；
(2)若M 在直线AB 上，且
6cm
MB
，求EM 的长度．
【答案】(1)4cm
(2)4cm 或16cm
【分析】本题主要考查了线段中点的有关计算，数形结合，注意分类讨论，是解题的关键．
（1）根据线段中点定义得出
1
10cm
2
AE
BE
AB
，
1
6cm
2
AD
AC
，求出
4cm
DE
AE
AD
即可；
（2）分两种情况当点M 在线段AB 上时，当点M 在线段AB 的延长线上时，分别求出结果即可．
【详解】（1）解：∵
12cm
AC
，
8cm
CB
，
∴
20cm
AB
AC
BC
，
∵D
E
、
分别是AC
AB
、
中点，
∴
1
10cm
2
AE
BE
AB
，
1
6cm
2
AD
AC
，
∴
4cm
DE
AE
AD
．
（2）解：由（1）可知
10cm
BE
，
6cm
AD
，
①当点M 在线段AB 上时，
∵
6cm
MB
，
∴
4cm
EM
BE
MB
，
②当点M 在线段AB 的延长线上时，
18 / 39
∵
6cm
MB
，
∴
16cm
EM
BE
MB
，
∴EM 的长为4cm 或16cm．
【例10】如图，点C 是线段AB 上一点，点M 是线段AC 的中点，点N 是线段BC 的中点
(1)如果
22cm,
5cm
AB
AM
，求NC 的长
(2)如果
7cm
MN
，求AB 的长
【答案】(1)6cm
(2)14cm
【分析】本题考查了线段中点的性质及线段的和差计算，解题的关键是利用中点性质将线段长度进行转化，
结合已知条件通过和差关系求解．
（1）主要关键步骤：由M 是AC 中点得
2
AC
AM
求出AC 长度；再由AB 与AC 的差求出BC 长度；最后
由N 是BC 中点得
1
2
NC
BC
求出NC 长度．
（2）主要关键步骤：由M、N 分别是AC 、BC 中点得
2
AC
MC
、
2
BC
NC
；根据MN
MC
NC
推出
2
AB
AC
BC
MN
，进而求出AB 长度．
【详解】（1）解：∵点M 是线段AC 的中点，
∴
2
AC
AM
∵
5cm
AM
∴
10cm
AC
∵
22cm
AB
∴
12cm
BC
AB
AC
∵点N 是线段BC 的中点
∴
1
6cm
2
NC
BC
（2）∵点M 是线段AC 的中点，点N 是线段BC 的中点
∴
2
,
2
BC
NC AC
MC
=
=
∵
7cm
MN
NC
MC
∴
2 7
14cm
AB
BC
AC
【技巧归纳】
中点将线段分为两等份。若M 是AB 中点，则AM=MB=AB/2。已知AB 求AM；已知AM 求AB=2AM。
多个中点：依次取半。也可用方程思想：设AM=x，则AB=2x，结合其他条件求x。注意中点必须在线段
19 / 39
上。分类讨论：若点在延长线上，则不是中点。常用“一半”关系。
【变式5-1】如图，点C 为线段AD 上一点，点B 为CD 的中点，且
13cm,
3cm
AD
BC
．
(1)图中共有条线段；
(2)求AC 的长；
(3)若点E 在直线AD 上，且
4cm
EA
，求BE 的长．
【答案】(1)6
(2)7cm
(3)6cm或14cm
【分析】本题考查了两点间的距离，线段中点的定义，线段的和差，正确的理解题意是解题关键．
（1）根据线段的定义，有两个端点，根据题目所给线段，枚举出所有线段即可；
（2）根据点B 为CD 的中点，
3cm,
BC
AC
AD
CD
，即可求得AC 的长；
（3）分两种情况讨论：当点E 在AC 上时，当点E 在CA 延长线上时，根据线段的和差关系求解即可．
【详解】（1）解：图中的线段有
,
,
,
,
,
AC AB AD CB CD BD 共6 条，
故答案为：6；
（2）解：∵点B 为CD 的中点，
3cm
BC
，
∴
2
6cm
CD
BC
．
∵
13cm
AD
，
∴
13
6
7cm
AC
AD
CD
；
（3）解：分两种情况讨论：
①如图（1），当点E 在AC 上时，
∵
10cm,
4cm
AB
AC
BC
EA
，
∴
10
4
6cm
BE
AB
AE
；
②如图（2），当点E 在CA 延长线上时，
∵
10cm,
4cm
AB
AE
，
∴
14cm
BE
AE
AB
；
综上所述，BE 的长为6cm或14cm ．
【变式5-2】（1）如图1，点C 为线段AB 上一点，AC 与CB 长度之比为3:5，D 为线段AC 中点．
20 / 39
①若
16
AB
，求BD 的长．
②点E 为线段BD 的中点，若CE
m
，求AB 的长（用含m 的代数式表示）．
（2）如图2，点M 为线段AD 中点，点N 为线段BC 中点，若AB
a
=
，CD
b
，请用含a，b 的代数式直接
表示出MN 的长．
【答案】（1）①13；②32
7 m ；（2）
1
2 a
b
【分析】本题主要考查两点间的距离，利用了线段中点的性质，线段的和差求解线段的长是解题的关键．
（1）①由
:
3:5
AC BC
设
3
AC
x
，
5
BC
x
，根据
16
AB
AC
BC
可求解x 值，即可得AC ，BC 的长，
结合中点的定义可求解；②根据题意画出图形，由
:
3:5
AC BC
设
3
AC
a
，
5
BC
a
，则
8
AB
a
，利用
线段的和差，结合中点的定义可求解
7
4
CE
a
，由CE
m
，进而可求解AB 的长．
（2）根据中点定义得到
1
1
1
1
2
2
2
2
MD
CN
AD
CB
AD
CB
a
b
，即可求出
1
1
2
2
MN
MD
CN
CD
a
b
b
a
b
．
【详解】（1）解：①由
:
3:5
AC BC
设
3
AC
x
，
5
BC
x
，
∵
16
AB
，AC
BC
AB
，
3
5
16
x
x
，
解得
2
x
，
6
AC
，
10
BC
，
D为线段AC 的中点，
1
3
2
CD
AC
，
3 10
13
BD
CD
BC
．
②解：如图所示．
由
:
3:5
AC BC
设
3
AC
a
，
5
BC
a
，
∴
8
AB
a
，
D为线段AC 的中点，
1
3
2
2
AD
AC
a
，
3
13
8
2
2
BD
AB
AD
a
a
a
，
E 为BD 的中点，
1
13
2
4
BE
BD
a
，
21 / 39
13
7
5
4
4
CE
BC
BE
a
a
a
，
CE
m
，
7
4 a
m
，
解得
4
7
a
m
，
32
8
7
AB
a
m
．
（2）∵点M 为线段AD 中点，点N 为线段BC 中点，
∴
1
1
,
2
2
MD
AD CN
CB
∵AB
a
=
，CD
b
，
∴AD
BC
AB
CD
a
b
∴
1
1
1
1
2
2
2
2
MD
CN
AD
CB
AD
CB
a
b
∴
1
1
2
2
MN
MD
CN
CD
a
b
b
a
b
题型6 线段n 等分点的有关计算
【例11】已知线段
30
AB
，延长BA 至点C，使
4 3
CB AB =
:
: ，点D、E 均为线段BA 延长线上两点，且
3
BD
AE
，M、N 分别是线段DE
AB
、
的中点，当点C 是线段BD 的三等分点时，MN 的长为
．
【答案】40 或80
【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算、线段n 等分点的有关计算
【分析】本题考查了线段的和差问题，画出线段有助于更直观地解题，注意分情况讨论．分
2
3
BC
BD
时和
1
3
BC
BD
时两种情况，画出对应的图形分别讨论求解即可．
【详解】解：∵
30
AB
，
4 3
CB AB =
:
: ，N 是线段AB 的中点，
∴
40
CB
，
1
15
2
AN
BN
AB
=
=
=
，
①若
2
3
BC
BD
，如图1 所示：
∵
40
CB
，
22 / 39
∴
60
BD
，
∵
3
BD
AE
，
∴
20
AE
∴
60
30
20
10
DE
BD
AB
AE
=
-
-
=
-
-
=
，
∵M 是线段DE 的中点，N 是线段AB 的中点，
∴
5
DM
ME
，
1
15
2
BN
AB
=
=
，
∴
60
5 15
40
MN
BD
DM
BN
=
-
-
=
-
-
=
；
②若
1
3
BC
BD
，如图：
∴
3
120
BD
BC
=
=
，
∵
3
BD
AE
，
∴
40
AE
，
∴
120
30
40
70
DE
BD
AB
AE
=
-
-
=
-
-
=
，
∵M 是线段DE 的中点，N 是线段AB 的中点，
∴
35
DM
ME
=
=
，
1
15
2
BN
AB
=
=
，
∴
120
35 15
80
MN
BD
DM
BN
=
-
-
=
-
-
=
；
故答案为：40 或80．
【例12】二等分点：又叫线段的
，把线段分成
的两部分．
即：如图，若点P 是线段AB 的中点，则
1
2
AP
BP
AB
或
2
2
AB
AP
BP
三等分点：把线段分成
的三部分．以此类推．
【答案】
中点
相等
相等
【知识点】线段之间的数量关系、线段n 等分点的有关计算
【分析】本题考查了线段的中点，线段的三等分点，正确理解定义是解题的关键．
【详解】二等分点：又叫线段的中点，把线段分成相等的两部分．
即：如图，若点P 是线段AB 的中点，
则
1
2
AP
BP
AB
或
2
2
AB
AP
BP
三等分点：把线段分成相等的三部分．以此类推．
23 / 39
故答案为：中点；相等；相等．
【技巧归纳】
n 等分点将线段分成n 等份。若点P 是AB 的m 等分点（AP:PB=m:(n-m)），则AP=m/n·AB。已知比例
可设每份为x，列方程。注意等分点位置：从A 起第k 个分点，AK=k/n·AB。多个等分点时，用比例关系
转化。常设份数法，避免分数运算。验证总和等于全长。
【变式6-1】如图，C 为线段AD 上一点，点B 为CD 的中点，已知
10,
6
AD
AC
．
(1)求BC 的长；
(2)若点P 是线段AC 上靠近点A 的三等分点，求BP 的长．
【答案】(1) 2
(2)6
【知识点】线段n 等分点的有关计算、线段中点的有关计算、线段的和与差
【分析】本题考查的是线段的中点的含义，线段的和差关系，掌握以上知识是解题的关键．
（1）根据线段的和差，求得CD 的长，再根据线段中点的性质，可求出BD 的长；
（2）先求得AP 的长，再根据线段的和差，可得答案．
【详解】（1）解：因为
10,
6
AD
AC
，
所以
4
CD
AD
AC
，
因为点B 为CD 的中点，
所以
1
2
2
BC
CD
；
（2）解：因为
6
AC
，点P 是线段AC 上靠近点A 的三等分点，
所以
1
2
3
AP
AC
，
则
4
PC
AC
AP
．
所以
4
2
6
BP
PC
BC
．
【变式6-2】已知线段
90cm
AB
，C 是线段AB 上任意一点（不与点A，B 重合）．
(1)若M，N 分别是AC
BC
，
的中点，求MN 的长度；
(2)若
1
3
AM
AC
，
1
3
BN
BC
，求MN 的长；
(3)在（2）的条件下，若
30cm
BC
且G 点在直线AB 上，
15cm
GB
，求MG 的长度．
24 / 39
【答案】(1) 45cm
(2)60cm
(3)55cm 或85cm
【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算、线段n 等分点的有关计算
【分析】本题考查了线段的n 等分点有关的计算，线段的和差，理解线段n 等分点的定义是解答本题的关
键．
（1）由中点的定义可得
1
2
MC
AC
，
1
2
CN
BC
，然后根据MN
MC
CN
求解即可；
（2）由
1
3
AM
AC
，
1
3
BN
BC
可得
2
3
MC
AC
，
2
3
CN
BC
，然后根据MN
MC
CN
求解即可；
（3）先求出线段MB 的长，然后分点G 在线段AB 上和点G 在线段AB 的延长线上两种情况求解即可．
【详解】（1）∵M，N 分别是AC
BC
，
的中点，
∴
1
2
MC
AC
，
1
2
CN
BC
，
∴
1
1
1
2
2
2
MN
MC
CN
AC
BC
AB ．
∵
90cm
AB
，
∴
45cm
MN
；
（2）∵
1
3
AM
AC
，
1
3
BN
BC
，
∴
2
3
MC
AC
，
2
3
CN
BC
，
∴
2
2
2
3
3
3
MN
MC
CN
AC
BC
AB
，
∵
90cm
AB
，
∴
60cm
MN
；
（3）∵
90cm
AB
，
30cm
BC
，
∴
60cm
AC
AB
BC
．
∵
1
3
AM
AC
，
∴
20cm
AM
，
∴
90
20
70cm
MB
．
当点G 在线段AB 上时，
70 15
55cm
MG
MB
GB
；
当点G 在线段AB 的延长线上时，
70 15
85cm
MG
MB
GB
．
综上可知，MG 的长度为55cm 或85cm ．
25 / 39
题型7 与线段有关的动点问题
【例13】已知线段AB ，点C 为线段AB 上的一个动点（点C 不与A、B 重合），点D、E 分别是AC 和BC
的中点
(1)若
5cm
DE
，求AB 的长；
(2)若点C 恰好是AB 的中点，且
6cm
AD
，求DE 的长．
【答案】(1)10cm
(2)12cm
【分析】本题考查了与线段中点有关的计算，线段的和差，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关
键．
（1）由题意可得
1
2
CD
AC
，
1
2
CE
BC
，再由
5cm
DE
CD
CE
计算即可得解；
（2）由题意可得AC
BC
，
1
2
AD
CD
AC
，
1
2
CE
BC
，结合DE
CD
CE
计算即可得解．
【详解】（1）解：如图：
，
∵点D、E 分别是AC 和BC 的中点，
∴
1
2
CD
AC
，
1
2
CE
BC
，
∵
5cm
DE
CD
CE
，
∴
2
2
2
10cm
AB
AC
BC
CD
CE
CD
CE
；
（2）解：∵点C 恰好是AB 的中点，
∴AC
BC
，
∵点D、E 分别是AC 和BC 的中点，
∴
1
2
AD
CD
AC
，
1
2
CE
BC
，
∴
6cm
CD
CE
AD
，
∴
12cm
DE
CD
CE
．
【例14】已知点C 为线段AB 上一动点，点D，E 分别是线段AC 和BC 的中点．
(1)如图，若线段
10cm,
4cm
AB
AC
，求线段DE 的长；
(2)若线段AB 的长为a ，则线段DE 的长为（用含a 的代数式表示）．
【答案】(1)5cm
(2) 1
2 a
26 / 39
【分析】本题主要考查了线段的和差，线段中点的性质等知识点，解题的关键是熟练掌握线段中点的性质．
（1）利用线段的和差表示出相关的线段，再利用线段中点的性质求解即可；
（2）假设线段AB 的长为a ，线段AC 的长为b ，则线段BC 的长为a
b
，利用线段中点的性质即可表示出
线段DE 的长．
【详解】（1）解：∵
10cm,
4cm
AB
AC
，
∴
6cm
BC
AB
AC
，
∵点D，E 分别是线段AC 和BC 的中点，
∴
1
1
2cm
3cm
2
2
DC
AC
CE
BC
，
，
5cm
DE
DC
CE
；
（2）解：假设线段AB 的长为a ，线段AC 的长为b ，则线段BC 的长为a
b
，
∵点D，E 分别是线段AC 和BC 的中点，
∴
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
DC
AC
b
CE
BC
a
b
，
，
1
2
DE
DC
CE
a
，
故答案为：1
2 a．
【技巧归纳】
设运动时间为t，用t 表示动点位置（如P 从A 出发速度为v，则AP=vt）。根据线段和差或中点条件列方
程。注意方向：向B 运动则AP+PB=AB；若往返需分段。解方程求t，检验是否在运动范围内。常用数轴
表示，设坐标法更简便。分类讨论相遇、追及。
【变式7-1】如图，已知线段
20cm
AB
，点M 从点A 出发以1cm / s 的速度沿A
B
的方向运动，同时点N
从点B 出发以3cm / s的速度沿B
A
的方向运动，其中一个点到达端点时，另一个点也同时停止，设运动
时间为st ．
根据题意回答下列问题：
(1)当
3s
t
时，MN ______；当
6s
t
时，MN ______．
(2)若C 为线段AB 上一点，当点M 与N 相遇时，设相遇的位置为点D ．
①若
2
3
AD
AC
，求线段BC 的长；
②若
4
BD
CD
，求线段AC 的长．
【答案】(1)8cm ，4cm
27 / 39
(2)①
12.5 cm ，②线段AC 的长为1.25cm 或8.75cm
【分析】本题考查代数式，一元一次方程，线段的运算，熟练掌握线段的运算是解题的关键；
（1）根据速度时间关系，可以求得相对应线段的长度，利用线段之间运算即可求解；
（2）①由题意，得
cm
AM
t
，
3 cm
BN
t
，根据相遇关系列方程，求得t 的值，求出AC 的值，进而求解；
②根据题意
4
BD
CD
，求得CD 的长度，进而分情况讨论，即可求解；
【详解】（1）解：当
3s
t
时，
3 3
9 cm
BN
，
1 3
3 cm
AM
20
20
9
3
8 cm
MN
BN
AM
，
当
6s
t
时，
20 18
2 cm
AN
，
20
6
14 cm
BM
，
20
20
2 14
4 cm
MN
AN
BM
，
故答案为：8cm ，4cm
（2））①由题意，得
cm
AM
t
，
3 cm
BN
t
，
当点M ，N 相遇时，
3
4
t
t
t
，4
20
t
，
则
5
t
，
所以
5cm
AD
，
因为
2
3
AD
AC
，
所以
2
5
7.5 cm
3
AC
，
所以
20
7.5
12.5 cm
BC
AB
AC
；
②由①可得，
15cm
BD
AB
AD
，
因为
4
BD
CD
，
所以
15
4
3.75 cm
CD
，
当点C 在点D 左侧时，
5
3.75
1.25 cm
AC
AD
CD
，
当点C 在点D 右侧时，
5
3.75
8.75 cm
AC
AD
CD
，
故线段AC 的长为1.25cm 或8.75cm ．
【变式7-2】如图，已知数轴上点A 表示的数为a ，点B 表示的数为b ，满足
16
12
0
a
b
．动点P 从
点A 出发以每秒4 个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t 秒．
(1)数轴上点A 表示的数是_______，点B 表示的数是_______；
(2)若点P 从A 点出发向左运动，点Q 为AP 的中点，在点P 到达点B 之前，求证：BA
BP
BQ
为定值．
【答案】(1)16，12
(2)证明见解析
28 / 39
【分析】本题考查了绝对值的非负性、数轴、线段的中点等知识，熟练掌握数轴的性质是解题关键．
（1）根据绝对值的非负性可得
16,
12
a
b
，由此即可得；
（2）先根据数轴的性质可得
28
BA
，点P 表示的数是16
4t
，再求出
,
AP BP ，然后根据线段中点的定义
可得AQ ，则可得BQ ，代入计算即可得证．
【详解】（1）解：∵
16
12
0
a
b
，
16
0,
12
0
a
b
，
∴
16
0,
12
0
a
b
，
∴
16,
12
a
b
，
∵数轴上点A 表示的数为a ，点B 表示的数为b ，
∴数轴上点A 表示的数是16，点B 表示的数是12
，
故答案为：16，12
．
（2）证明：由（1）已得：数轴上点A 表示的数是16，点B 表示的数是12
，
∴
16
12
28
BA
，
∵动点P 从点A 出发以每秒4 个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，运动时间为t 秒，
∴点P 表示的数是16
4t
，
∴在点P 到达点B 之前，
16
4
12
28
4
BP
t
t
，
16
16
4
4
AP
t
t
，
∵点Q 为AP 的中点，
∴
1
2
2
AQ
AP
t
，
∴
28
2
BQ
BA
AQ
t
，
∴
2 28
2
28
28
4
56
4
2
28
2
28
2
28
2
t
BA
BP
t
t
BQ
t
t
t
，
∴BA
BP
BQ
为定值．
一、单选题
1．如图，A、B 两点之间的距离指的是（
）
29 / 39
A．线段ܣ㈱
B．射线ܣ㈱
C．线段ܣ㈱的长度
D．ᇞܣ㈱䁨中
C
的对边
【答案】C
【详解】解：A、B 两点之间的距离指的是线段ܣ㈱的长度．
2．如图，A，B 两地间修建曲路与修建直路相比，虽然有利于游人更好地观赏风光，但增加了路程的长度，
其中蕴含的数学道理是（
）
A．经过一点可以作无数条直线
B．经过两点有且只有一条直线
C．两点之间，有若干种连接方式
D．两点之间，线段最短
【答案】D
【详解】解：A，B 两地间修建曲路与修建直路相比，增加了路程的长度，其中蕴含的数学道理是两点之间，
线段最短．
3．已知线段
10cm,
12cm
AB
AC
BC
，则点C 的位置可能会出现以下的（
）种情况．
①在线段ܣ㈱上；
②在线段ܣ㈱的延长线上；
③在线段BA 的延长线上；
④在直线ܣ㈱外．
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】D
【分析】本题考查线段的和差计算与两点之间的距离，分四种情况逐一讨论验证即可解题．
【详解】解：①若点䁨在线段ܣ㈱上
10
AB
cm
10cm
AC
BC
AB
，与
12cm
AC
BC
矛盾，故①不可能．
②若点䁨在线段ܣ㈱的延长线上
设
cm
BC
x
，则
10
cm
AC
AB
BC
x
由
12
AC
BC
得：
10
12
x
x
解得ݔ֨
ͳ，存在符合条件的点䁨，故②可能．
③若点䁨在线段BA 的延长线上
30 / 39
设
cm
AC
x
，则
10
cm
BC
AB
AC
x
由
12
AC
BC
得：
10
12
x
x
解得ݔ֨
ͳ，存在符合条件的点䁨，故③可能．
④若点䁨在直线ܣ㈱外
根据两点之间，线段最短，可得AC
BC
AB
，即
10
AC
BC
cm
，
因此AC
BC
可以等于12cm，存在符合条件的点䁨，故④可能．
综上，②③④共3 种可能情况．
4．如图，点䁨在线段ܣ㈱上，线段ܣ䁨֨
段，㈱䁨֨
⸳，点ܯ、൭分别是ܣ䁨、㈱䁨的中点，则MN （
）
A．6
B．7
C．8
D．9
【答案】B
【分析】根据线段中点的定义求出MC 和CN 的长，再利用线段的和差关系求解ܯ൭．
【详解】解：∵点ܯ、൭分别是ܣ䁨、㈱䁨的中点，
∴
1
1
6
3
2
2
MC
AC
，
1
1
8
4
2
2
CN
BC
．
∴
3
4
7
MN
MC
CN
．
5．如图，数轴上ܱ
，ܣ两点的距离为24 ，一动点ܲ
从点ܣ出发，按以下规律跳动：第ͳ 次跳动到AO 的中
点
1A 处，第ʹ 次从
1A 点跳动到
1AO的中点
2
A 处，第͵ 次从
2
A 点跳动到
2
A O 的中点
3
A 处．按照这样的规律继
续跳动到点
4
A ，
5
A ，
6
A ，…，
n
A （
3
n
，݊
是整数）处，问经过这样2026 次跳动后的点
2026
A
与原点的距
离是（
）
A．
2024
1
3
2
B．
2023
1
3
2
C．
2022
1
3
2
D．
2021
1
3
2
【答案】B
【分析】本题主要考查了与数轴有关的规律题型，根据ܱ
，ܣ两点的距离为24 ，
1A 与点ܱ
的距离是24
2 ，
2
A
到点ܱ
的距离是24
4 ，得出规律
n
A 到点ܱ
的距离是24
2n ，即可解答．
【详解】由题知，因为数轴上ܱ
，ܣ两点的距离为24 ，
因为点
1A 为AO 的中点，所以点
1A 与点ܱ
的距离是
1
24
2
；
因为点
2
A 为
1AO的中点，所以点
2
A 到点ܱ
的距离是
2
1
1
1
24
24
2
2
2
；
31 / 39
依次类推，点
3
A 到点ܱ
的距离是是
2
3
1
1
1
24
24
2
2
2
；
点
4
A 到点ܱ
的距离是
3
4
4
1
1
1
24
24
24
2
2
2
2
；
所以点
n
A 到点ܱ
的距离是24
2n ，
当
2026
n
时，点
2026
A
与点ܱ
的距离是
2026
3
2023
2023
2023
24
3 8
3
1
3
2
2
2
2
2
，
故答案为：B ．
二、填空题
6．下列三个日常现象：①用两根钉子就可以把一根木条固定在墙上：②植树时，只要定出两个树坑的位置，
就能使同一行树坑在一条直线上：③把弯曲的公路改直，就能够缩短路程，其中，可以用“两点之间，线段
最短”来解释的现象是_______（填序号）．
【答案】③
【分析】本题考查了两点之间，线段最短；两点确定一条直线；
“两点之间，线段最短”是指两点之间所有路径中线段最短，用于优化距离；现象③中改直公路缩短路程，
应用此原理．
【详解】解：现象①用两根钉子固定木条，基于“两点确定一条直线”；
现象②定出两个树坑使树坑在一直线上，也基于“两点确定一条直线”；
现象③把弯曲公路改直缩短路程，应用了“两点之间，线段最短”．
故答案为：③．
7．如图，在直线݈
上顺次取ܣ，㈱，䁨，ܦ四点，则AC _______ BC
AD
_______，AC
BD
BC
_______．
【答案】
ܣ㈱
䁨ܦ
ܣܦ
【详解】解：由线段的关系可知AC
AB
BC
AD
CD
，
AC
BD
BC
AD
．
8．如图，ܣ㈱֨
段，䁨为ܣ㈱的中点，点ܦ在线段ܣ䁨上，且
1
3
AD
AC
，则线段㈱ܦ的长为____________．
【答案】5
【详解】解：∵
6
AB
，点䁨是ܣ㈱中点，
∴
1
3
2
AC
BC
AB
，
∵
1
1
3
1
3
3
AD
AC
，
32 / 39
∴
3 1
2
CD
AC
AD
，
∴
2
3
5
BD
CD
BC
，
故答案为：5 ．
9．如图，已知A，B（B 在A 的左侧）是数轴上的两点，点A 对应的数为4，且ܣ㈱֨
段，动点P 从点A 出
发，以每秒2 个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点P 的运动过程中，M，N 始终为
,
AP BP 的中点，设
运动时间为(
0)
t t
秒，则下列结论中正确的有________________．
①B 对应的数是2；②点P 到达点B 时，
3
t
；③
2
BP
时，ݐ֨
ʹ；④在点P 的运动过程中，线段ܯ൭的
长度不变．
【答案】②④/④②
【分析】先求出点㈱对应的数，可判断①；再求出
3
t
时对应的点ܲ
的位置即可判断②；分两种情况，点ܲ
在点㈱的右侧，点ܲ
在点㈱的左侧，由题意求出AP 的长，再利用路程除以速度即可判断③；分两种情
况，点ܲ
在点㈱的右侧，点ܲ
在点㈱的左侧，利用线段的中点性质进行计算即可判断④．
【详解】解：∵点A 对应的数为4，且ܣ㈱֨
段，㈱在ܣ的左侧，
∴点㈱对应的数是4
6
2
，故①错误；
由题意得：4
2 3
2
，
∴
3
t
时，点ܲ
到达点㈱，故②正确；
分两种情况：当点ܲ
在点㈱的右侧，
6,
2
AB
BP
，
6
2
4
AP
AB
BP
，
4
2
2
，
2
BP
时，ݐ֨
ʹ；
当点ܲ
在点㈱的左侧，
6,
2
AB
BP
，
6
2
8
AP
AB
BP
，
8
2
4
，
2
BP
时，
4
t
，
综上所述，
2
BP
时，ݐ֨
ʹ 或4，故③错误；
分两种情况：当点ܲ
在点㈱的右侧，
∵ܯǡ൭分别为
,
AP BP 的中点，
1
1
,
2
2
MP
AP NP
BP
，
1
1
1
1
3
2
2
2
2
MN
MP
NP
AP
BP
AP
BP
AB
，
33 / 39
当点ܲ
在点㈱的左侧，
∵ܯǡ൭分别为
,
AP BP 的中点，
∴
1
1
,
2
2
MP
AP NP
BP
，
1
1
1
1
3
2
2
2
2
MN
MP
NP
AP
BP
AP
BP
AB
，
∴在点ܲ
的运动过程中，线段ܯ൭的长度不变，故④正确．
所以，上述结论中正确的是②④．
10．规定：在数轴上的三个点中，其中一个点是另外两个点所构成的线段的中点，我们则称这三点形成“美
丽组”．已知，数轴上点P 所表示的数是4
，点Q 表示的数是2，数轴上另有一点N，若要使P，Q，N 三
点形成“美丽组”，则点N 表示的数为_______．
【答案】10
或െͳ 或8
【分析】分三种情况进行讨论求解即可.
【详解】解：当ܲ
为线段QN 的中点时，点N 表示的数为
2
4
2
10
；
当ܳ
为线段PN 的中点时，点N 表示的数为
2 2
4
8
；
当൭为线段PQ 的中点时，点N 表示的数为
2
4
1
2
；
综上：则点N 表示的数为10
或െͳ 或8.
三、解答题
11．如图，已知C，E 为线段ܣ㈱上的点，
13cm
AE
，
12cm
CB
，
28cm
AB
，D 是ܣ䁨的中点．
(1)求䖈䁨的长度；
(2)求ܦ䖈的长度．
【答案】(1)3cm
(2)5cm
【分析】（1）利用线段的和差求解；
（2）首先求出ܣ䁨，然后由线段中点的性质求出ܣܦ，然后利用线段的和差求解．
【详解】（1）解：∵
13cm
AE
，
12cm
CB
，
28cm
AB
，
∴
28 13 12
3 cm
EC
AB
AE
CB
；
（2）解：∵
13cm
AE
，
3cm
EC
，
∴
13
3
16 cm
AC
AE
EC
，
∵D 是ܣ䁨的中点，
∴
1
8cm
2
AD
AC
，
34 / 39
∴
13 8
5 cm
DE
AE
AD
．
12．如图，点C 为线段ܣ㈱的中点，点M、N 在线段ܣ㈱上，已知
:
1:3
AM MC
，
(1)若
2
AM
cm
，求线段ܣ㈱的长；
(2)若
5cm
CN
，
8
5
AB
AN
，求线段㈱ܯ的长．
【答案】(1)16cm
(2)35cm
【分析】
1 根据题意，由
:
1:3
AM MC
，可设
cm
AM
x
，则
3 cm
MC
x
，
4 cm
AC
x
，根据
2
AM
cm
，
即可得出
6cm
MC
，
8
AC
cm
再根据点C 为线段ܣ㈱的中点，可得
2
AB
AC
，即可得出ܣ㈱的长；
2 由
1 可知
4 cm
AC
x
，根据点C 为线段ܣ㈱的中点，由线段的中点定义可得：
2
8 cm
AB
AC
x
，再根
据
8
5
AB
AN
，即可得出
5 cm
AN
x
，再根据已知
5cm
CN
，由CN
AN
AC
可得出：5
5
4
x
x
，解方
程求出x 的值，则得
,
AM AB的值，最后由B M
A B
A M
进行计算，即可得出答案．
【详解】（1）解：∵
:
1:3
AM MC
，
2
AM
cm
，
2 3
6cm
MC
，
2
6
8 cm
AC
AM
CM
．
点C 为线段ܣ㈱的中点，
2
2 8
16 cm
AB
AC
；
（2）解：由（1）可知
4 cm
AC
x
，
∵点C 为线段ܣ㈱的中点，
2
8 cm
AB
AC
x
，
8
5
AB
AN
，
m
8
5
8
5
5
8
c
AN
AB
x
x
，
5cm
CN
，CN
AN
AC
，
5
5
4
x
x
，
5
x
，
5cm
AM
，
m
5 8
0 c
4
AB
，
40
5
35
BM
AB
AM
cm
．
13．如图，点A，B，C 是不在同一条直线上的三个点．用尺规按下列步骤作图：（不写作法，保留作图痕
迹）
35 / 39
(1)①画直线㈱䁨；
②画线段䁨ܣ，并延长线段䁨ܣ到ܦ，使得点ܣ为䁨ܦ的中点；
③画射线BA ，在射线BA 上截取
2
BE
AB
．
(2)在（1）的条件下，若ܣ㈱֨
ܣ䁨，
8cm
CD
，求BE 的长．
【答案】(1)①见解析；②见解析；③见解析
(2)⸳
【分析】本题主要考查了线段、直线、射线以及线段和差计算，熟练掌握相关知识是解题关键．
（1）①根据直线的定义作图即可；②首先作线段䁨ܣ，延长䁨ܣ，并截取AD
CD
即可；③根据射线的定义
作出射线BA ，并在射线BA 上截取
2
BE
AB
即可；
（2）首先根据线段中点的定义可知
4
CA
，结合ܣ㈱֨
ܣ䁨易得ܣ㈱֨
Ͷ，再根据
2
BE
AB
即可获得答案．
【详解】（1）解：①②③如图所示；
（2）解：因为
8
CD
，点ܣ为䁨ܦ的中点，
所以
1
1
8
4
2
2
CA
CD
，
因为ܣ㈱֨
ܣ䁨，
所以ܣ㈱֨
Ͷ，
所以
2
8
BE
AB
．
14．已知点䁨在线段ܣ㈱上，若
5
AC
BC
或
5
BC
AC
，则称点䁨是线段ܣ㈱的“五美点”．
【理解定义】
（1）若线段
6,
AB
C
是线段ܣ㈱的“五美点”，则AC _____；
【解决问题】
（2）如图，䖈在射线OM 上，
12
OE
．
若点D
F
、
均为线段OE 的“五美点”，且OD
OF
，又ܭ为线段ܦ䖈的中点，求线段KF 的长度．
【答案】（ͳ）5或ͳ；（ʹ）͵
【分析】
（ͳ）先根据“五美点”的定义得到ܣ䁨与㈱䁨的两种数量关系，再结合线段ܣ㈱的长度和AC
BC
AB
的线段和关系，分别计算出两种情况下ܣ䁨的长度；
36 / 39
（ʹ）先依据“五美点”定义和OD
OF
的条件确定OD 和OF 的长度；接着计算ܦ䖈和䖈′ 的长度；再利用中
点的性质求出KE 的长度；最后通过线段的差求出KF 的长度．
【详解】（ͳ）
C 在线段ܣ㈱上，
AC
BC
AB
，
C 是线段ܣ㈱的“五美点”，
5
AC
BC
或
5
BC
AC
，即
1
5
BC
AC
或
5
BC
AC
，
5
6
AC
AB
或
1
6
AC
AB
，
又 ܣ㈱֨
段，
5
AC
或ͳ．
（ʹ）点ܦ、′ 均为线段ܱ
䖈的“五美点”，且OD
OF
，
5
1
10,
2
6
6
OF
OE
OD
OE
，
2,
10
EF
OE
OF
DE
OE
OD
，
K 为线段ܦ䖈的中点，
1
5
2
KE
DE
，
5
2
3
KF
KE
EF
．
15．如图，C，B 两点在线段ܣܦ上（点C 在点B 左侧），点E 在线段ܣ䁨上，点F 在线段㈱ܦ上．
(1)如图1，点E 为线段ܣ䁨中点，点F 为线段㈱ܦ中点．
①若
9
AD
，
1
BC ，则䖈′ 的长为______；
②若ܣ㈱֨
段，
4
CD
，求䖈′ 的长；
(2)如图2，当
1
3
EC
AC
，
1
3
FD
BD
时，
2
AB
CD
，求EF
AB 的值．
【答案】(1)①５；②５；
(2)
ʹ
͵．
【分析】本题考查线段中点定义，线段的和差倍分，熟练掌握相关结论，会设未知数利用数形结合思想是
解题的关键．
（1）①先求AC
BD
的长，再由中点定义得
1
2
EC
AC
,
1
2
BF
BD
,
1
1
1
2
2
2
EC
BF
AC
BD
AC
BD
，
最后根据线段组合得䖈′ 的长；
②设BC
x
，得
6
AC
x
，
4
BD
x
，再由线段组合得䖈′，抵消ݔ即可得长度．
（2）设EC
a
，得
3
AC
a
，设FD
b
，得
3
BD
b
，
2
BF
b
，设BC
c
，由
2
AB
CD
，推出
3
6
c
a
b
，
37 / 39
代入EF
AB 整理后约分即得结果．
【详解】（1）解：①∵
9
AD
,
1
BC ,
∴
9 1
8
AC
BD
AD
BC
,
∵点E 为线段ܣ䁨中点，点F 为线段㈱ܦ中点，
∴
1
2
EC
AC
,
1
2
BF
BD
,
∴
1
1
1
1
8
4
2
2
2
2
EC
BF
AC
BD
AC
BD
,
∴
4 1
5
EF
EC
BF
BC
．
②设BC
x
，
则
6
AC
AB
BC
x
，
4
BD
CD
BC
x
，
∵点E 为线段ܣ䁨中点，点F 为线段㈱ܦ中点，
∴
1
6
2
2
x
EC
AC
,
1
4
2
2
x
BF
BD
,
∴
6
4
5
2
2
x
x
EF
EC
BF
BC
x
．
（2）解：∵
1
3
EC
AC
，
1
3
FD
BD
，
2
AB
CD
，
∴设EC
a
，则
3
AC
a
，
设FD
b
，则
3
BD
b
，
2
BF
b
，
设BC
c
，
则
3
AB
AC
BC
a
c
，
3
CD
BD
BC
b
c
，
2
EF
EC
BC
BF
a
c
b
，
∵
2
AB
CD
，
∴
3
2 3
a
c
b
c
，
整理得
3
6
c
a
b
，
∴
4
2
3
6
2
4
4
2
3
3
3
6
6
6
6
3
a
b
EF
a
c
b
a
a
b
b
a
b
AB
a
c
a
a
b
a
b
a
b
．
16．琪琪在学习了比较线段的长短时对下面问题产生了探究的兴趣．
如图1，图2，点C 在线段ܣ㈱上，M，N 分别是ܣ䁨，㈱䁨的中点．若ܣ㈱֨
ͳͲ，ܣ䁨֨
段，求ܯ൭的长．
(1)根据题意，琪琪求得MN ；
(2)琪琪在求解（1）的过程中，发现ܯ൭的长度具有一个特殊规律，于是她先将题中的条件一般化，并开始
深入探究．
38 / 39
已知AB
a
，C 是线段ܣ㈱上任意一点（不与点A，B 重合），琪琪提出了如下三个问题，请你帮助琪琪解
答：
①如图1，M，N 分别是ܣ䁨，㈱䁨的中点，则MN ；
②如图2，M，N 分别为靠近A、B 的ܣ䁨，㈱䁨的三等分点，即
1
3
AM
AC
，
1
3
BN
BC
，求ܯ൭的长；
③若M，N 分别为靠近A、B 的ܣ䁨，㈱䁨的n 等分点，即
1
AM
AC
n
，
1
BN
BC
n
，则MN ．
【答案】(1)5
(2)①1
2 a ；②
2
3
MN
a
；③
1
n
a
n
【分析】本题考查了线段中点的意义、线段的和差计算；
（1）首先根据ܯ、൭分别是ܣ䁨、㈱䁨的中点，可得
1
3
2
CM
AC
、
1
2
2
CN
BC
，从而可得
5
MN
CM
CN
；
（2）①由ܯ，൭分别是ܣ䁨，㈱䁨的中点，可得
1
1
1
2
2
2
MN
AC
BC
AB
，根据AB
a
可得
1
2
MN
a
；
②根据
1
3
AM
AC
、
1
3
BN
BC
，可知
2
3
CM
AC
、
2
3
CN
BC
，所以可得
2
2
2
3
3
3
MN
CM
CN
AC
BC
AB
，
从而可得
2
3
MN
a
；
③由
1
AM
AC
n
，
1
BN
BC
n
，知
1
n
CM
AC
n
，
1
n
CN
BC
n
，即得
1
1
1
n
n
n
MN
CM
CN
AC
BC
AB
n
n
n
，从而可得答案．
【详解】（1）解：∵ܣ㈱֨
ͳͲ，ܣ䁨֨
段，
4
BC
AB
AC
，
点ܯ、൭分别是ܣ䁨、㈱䁨的中点，
1
3
2
CM
AC
，
1
2
2
CN
BC
，
5
MN
CM
CN
；
故答案为：5；
（2）①因为ܯ、൭分别是ܣ䁨、㈱䁨的中点，
1
2
CM
AC
，
1
2
CN
BC
，
1
1
1
2
2
2
MN
AC
BC
AB
，
AB
a
，
39 / 39
1
2
MN
a
；
故答案为：1
2 a ；
②
1
3
AM
AC
，
1
3
BN
BC
，
2
3
CM
AC
，
2
3
CN
BC
，
2
2
2
3
3
3
MN
CM
CN
AC
BC
AB
，
AB
a
，
2
3
MN
a
；
③
1
AM
AC
n
，
1
BN
BC
n
，
1
n
CM
AC
n
，
1
n
CN
BC
n
，
1
1
1
n
n
n
MN
CM
CN
AC
BC
AB
n
n
n
，
AB
a
，
1
n
MN
a
n
，
故答案为：
1
n
a
n
．
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