文档文本内容
1
第08 讲一元二次方程常考综合题精练
本讲目录
题型01 配方法在几何问题中的应用
题型02 配方法在代数问题中的应用
题型03 解一元二次方程在几何问题中的应用
题型04 解一元二次方程在函数问题中的应用
题型05 一元二次方程根的判别式的应用
题型06 一元二次方程根的实际应用---增长率问题
题型07 一元二次方程根的实际应用---营销问题
题型08 一元二次方程根的实际应用---动态几何问题
2
题型01 配方法在几何问题中的应用
1．如图，已知
2 2
AB
，C 为线段AB 上的一个动点，分别以AC ，CB 为边在AB 的同侧作菱形ACED和
菱形CBGF ，点C，E，F 在一条直线上，
120
D
．P、Q 分别是对角线AE ，BF 的中点，当点C 在线
段AB 上移动时，点P，Q 之间的距离最短为
（结果保留根号）．
2．在平面直角坐标系中，点C、B 分别在x 轴、y 轴上，ABC
是等腰直角三角形，
90
BAC
，已知
2 2
1 0
A
P
（，）、（，）．M 为BC 的中点，当PM 最短时，则M 的坐标为
．
3．如图，某小区有块长为
2a
b
米，宽为
2a
b
米的长方形地块，角上有4 个边长为
a
b
米的小正方
形空地，开发商计划将阴影部分绿化，其中a b ．
（1）用含有a 和b 的式子表示绿化的总面积S；（结果用最简形式表示）
（2）若a b 20 且
33
1
b a
，求S 的大小；
3
（3）若a b 20 ，那么当a 米且b=
米时，有S 的最大值为：当S 取最大值时，若甲乙两个
工程队一起实施绿化，且甲每小时可绿化4 平方米，乙每小时可绿化1 平方米，且乙的工作时间不低于
甲的工作时间，则甲最多工作
小时．
4．求最值问题有多种方法，既有代数法也有几何法．
例如：若代数式
2
4
6
M
a
a
，利用配方法求M 的最小值：
2
2
4
6
2
2
M
a
a
a
，
2
2
0
a
，
当
2
a
时，代数式M 有最小值为2．再比如：正数a，b 满足
3
a
b
，用几何法求
2
2
1
9
a
b
的最
小值．如图，
2
1
a 为线段DC 的长度，
2
9
b
为线段CE 的长度，当
2
2
1
9
a
b
的值最小时，D、C、
E 三点共线，所以最小值为
2
2
2
2
1 3
3
4
5
a
b
．
请根据上述材料解决下列问题：
(1)若代数式
2
2
2
4
8
M
a
a
b
b
，求M 的最小值；
(2)已知正数x，y 满足
7
x
y
，求
2
2
9
16
x
y
的最小值．
5．已知，在ABC
中，AB
AC
，
A
，点D 是边AC 上一点（点D 不与点A，C 重合），连接BD ，
将BD 绕着点D 顺时针旋转，得到DE ，连接CE ．
(1)①如图1，当
90
，点D 是AC 的中点时，请猜想：CE 与AD 数量关系是；
②如图2，当
90
，点D 是AC 边上任意一点时，①中的结论是否依然成立？说明理由．
(2)如图3，若
60
，
4
AC
，直接写出DEC
的面积的最大值．
6．在Rt
DEF
△
中，DE
DF
，
90
EDF
，点E
D
，
分别在长方形ABCO的边BC
CO
，
上．
4
(1)如图1，当点F 在OA上，且
3
CE
，
1
OF 时，则EF ________；
(2)如图2 ，若EC
CO
，点D 为线段CO上一动点（不包括端点），连接OF ，求
AOF
的度数；
(3)如图3 ，若矩形ABCO中，
5
OA
，
4
OC
，在（2 ）的基础上，当BF 取值最小时，求点D 的坐标．
7．如图1，在正方形ABCD中，E 为对角线BD 上一点（DE
BE
），点B ，F 关于直线CE 对称，过点D 作
CF 的垂线，分别交CF ，CE 于点G ，H ．
(1)求证：DH
DC
；
(2)若
1
GH ，
2
FG
，求AB 的长；
(3)如图2，连接DF 并延长与CE 的延长线交于点M ，连接FH ．若已知
2
DM
，设CH
x
，用含x 的代
数式表示MFH
的面积，并求出MFH
面积的最大值．
题型02 配方法在代数问题中的应用
8．新定义，若关于x 的一元二次方程：
2
1(
)
0
a x
m
n
与
2
2(
)
0
a
x
m
n
，称为“同族二次方程”．如
2
2(
3)
4
0
x
与
2
3(
3)
4
0
x
是“同族二次方程”．现有关于x 的一元二次方程：
2
2(
1)
1
0
x
与
2
(
2)
(
4)
8
0
a
x
b
x
是“同
族二次方程”．那么代数式
2
2018
ax
bx
能取的最小值是（
）
A．2011
B．2013
C．2018
D．2023
9．一般情形下等式1
1
1
x
y
不成立，但有些特殊实数可以使它成立，例如
2
x
，
2
y
时，1
1
1
2
2
成立，
我们称(2,2) 是使1
1
1
x
y
成立的“神奇数对”，请完成下列问题：
5
(1)数对4 ,4
3
，
1,1 中，使1
1
1
x
y
成立的“神奇数对”是_________；
(2)若1
2
4
,
2
1
t
t
t
是使1
1
1
x
y
成立的“神奇数对”，求t 的值；
(3)若
,
m n 是使1
1
1
x
y
成立的“神奇数对”，且a
b
m
，b
c
n
，求代数式
2
(
)
4
10
a
c
a
b
b
c
的最小值．
10．定义一种新运算“ *
a b ”：当a
b
时，*
3
a b
a
b
；当a
b
时，*
3
a b
a
b
．例如：
3*
4
3
12
9 6 *12
6
36
42
，
．
（1）填空：( 4
3
)*
_ ；若*
6
(
)
8
x
x
，则x _ ；
（2）已知
3
7 * 3
2
6
x
x
，求x 的取值范围；
（3）小明发现，无论x 取何值，计算
2
2
2
3 *
2
5
x
x
x
x
时，得出结果总是负数，你认为小明的结论
正确吗？请说明理由．
11．阅读材料：选取二次三项式
2
0
ax
bx
c a
中的两项，配成完全平方式的过程叫配方．例如
①选取二次项和一次项配方：
2
2
4
2
2
2
x
x
x
；
②选取二次项和常数项配方：
2
2
4
2
2
2 2
4
x
x
x
x
，或
2
2
4
2
2
4
2 2
x
x
x
x
③选取一次项和常数项配方：
2
2
2
4
2
2
2
x
x
x
x
请根据阅读材料解决下列问题：
(1)比照上面的例子，写出
2
4
9
x
x
三种不同形式的配方；
(2)已知
2
2
4
6
13
0
x
y
x
y
，求
y x
的值
(3)当x ，y 为何值时，代数式
2
2
5
4
6
25
x
xy
y
x
取得最小值，最小值为多少？
12．阅读如下材料，完成下列问题：
材料一：对于二次三项式求最值问题，有如下示例：
2
2
2
2
2
2
3
2
1
1
3
1
2
x
x
x
x
x
．因为
2
1
0
x
，所以
2
1
2
2
x
，所以，当
1
x 时，原式
的最小值为2．
材料二：对于实数a，b，若
0
a
b
，则
1
1
0
a
b
．
完成问题：
（1）求
2
4
1
x
x
的最小值；
6
（2）求
2
2
2
8
13
4
6
x
x
x
x
的最大值；
（3）若实数m，n 满足
2
2
6
12
27
m
n
m
n
．求
2
2
3
n
m
的最大值．
13．悦悦在学习有关配方的知识时，发现一个有趣的现象：关于x 的多项式
2
4
7
x
x
，由于
2
2
4
7
2
3
x
x
x
，所以当
2
x-
取任意一对互为相反数的数时，多项式
2
4
7
x
x
的值是相等的，例如，
当
2
1
x
，即
3
x
或1 时，
2
4
7
x
x
的值均为4：当
2
2
x
，即
4
x
或0 时，
2
4
7
x
x
的值均为7，
于是悦悦给出一个定义：关于x 的多项式，若当x
m
取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，
就称该多项式关于x
m
对称，例如
2
4
7
x
x
关于
2
x
对称．
请结合悦悦的思考过程，运用此定义解决下列问题：
(1)多项式
2
2
5
x
x
关于x ______对称；多项式
2
8
4
x
x
关于x ______对称；
(2)若关于x 的多项式
2
2
3
x
nx
关于
6
x
对称，求n 的值；
(3)若整式
2
2
6
9
4
4
x
x
x
x
关于x
a
对称，求实数a 的值．
题型03 解一元二次方程在几何问题中的应用
14．如图，在ABC
中，
90
ABC
，将AB 边绕点A 逆时针旋转90得到线段AD ，将AC 边绕点C 顺时
针旋转90后得到线段CE ，AE 与BD 交于点F，若DF
2 ，
2
EF
2 ，则BC 边的长为
．
15．如图，在四边形ABCD中，
90
ABC
，AB
BC
，E 为AB 上一点，
2
AE
，
6
BE
，作EF
AC
∥
交BC 于点F ，取EF 上一点H ，以AB ，BH 为邻边向上作
ABHD
，交AC 于点G ，
(1)求证：
ADG
HBE
≌
△
△
．
(2)记
ABHD
面积为a ，四边形GHFC 面积为b ，
①求a 与b 的关系式．
7
②连接CD ，若ACD
为直角三角形时，求a
b 的值．
16．【问题背景】
如图1，在平行四边形ABCD中，
6
AD
，点E 是边CD 的中点，连接AE ，点F
G
、
是线段AE 上的动点，
连接BF
DG
，
，且满足DG
BF
∥
．
【初步尝试】
（1）如图2，当四边形ABCD是正方形时，若BF
AE
，则DG ____，BF ______．
【猜想验证】
（2）如图3，同学们在研究图形时发现，若取线段BF 的中点H ，可得DG
BF 始终为定值．请你猜想这个定值
是多少？并说明理由．
【拓展应用】
（3）如图3，在（2）的基础上，若
4 5
2
AB
FG
，
，当四边形FHGD 是菱形时，求菱形FHGD 的边长．
8
17．如图，平行四边形ABCD中
60
A
，
8cm
AB
，
4cm
AD
，点E 以1cm s的速度从点A 出发沿A
B
C
向点C 运动，同时点F 以1cm s的速度从点A 出发沿A
D
C
向点C 运动，当一个点到达终点时，另一个
点也停止运动，设运动的时间为s
t
．
(1)求平行四边形ABCD的面积；
(2)当
AEF
△
的面积为平行四边形ABCD的面积的1
4 时，求t 的值；
(3)当
10s
t
时，连接AE ，取线段AE 的中点G ，请直接写出DG 的长度．
18．已知，如图1，四边形ABCD中，AD
BC
∥
，
B
D
；
(1)求证：四边形ABCD为平行四边形；
(2)如图2，若AE 平分
BAD
，连接DE ，
2
BC
CD
，求
AED
的度数；
(3)如图3，在（2）的条件下，过点E 作EF
AD
，垂足为F，点S 在DF 上，点N 在DE 上，若DN
AE
EN
，
45
ASN
，
3
3
FS
AF
，求四边形ABCD的面积．
19．综合与实践：
综合与实践课上，高老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动．
【操作判断】
操作一：如图1，正方形纸片ABCD，将
B
沿过点A 的直线折叠，使点B 落在正方形ABCD的内部，得到
折痕AE ，点B 的对应点为M ，连接AM ；再将
D
沿过点A 的直线折叠，使AD 与AM 重合，得到折痕AF ，
将纸片展平，连接EF ．根据以上操作，同学们很快发现E ，M ，F 三点共线，且有以下结论：①
45
EAF
；
9
②线段EF ，BE ，DF 之间的数量关系为：EF
BE
DF
．
【深入探究】
操作二：如图2，再将
C
沿EF 所在直线折叠，使点C 落在正方形ABCD的内部，点C 的对应点为N ，将
纸片展平，连接NE 、NF ．同学们在折纸的过程中发现，当点E 的位置不同时，点N 的位置也不同，在这
次综合实践探究学习中，两位同学又有如下发现：
一、小曾发现，当点N 落在折痕AE 上时，设AM 交NF 于点P ，如图2，则有结论：AP
BE
DF
；
二、小段发现，当点N 落在折痕AE 上时，
BAE
是一个定值．
【解决问题】
（1）证明小曾同学结论的正确性：AP
BE
DF
；
（2）小段同学的发现是否成立？若成立，求出
BAE
的大小；若不成立，请说明理由．
【拓展应用】
（3）如图3，矩形ABCD中，
8
AB
，
4
BC
，点E 、F 分别在边BC 、CD 上，
5
AF
，
45
EAF
，
求CE 的长度．
题型04 解一元二次方程在函数问题中的应用
20．如图1，在平面直角坐标系中，直线2 :
6
l
y
x
与1l 交于点
,4
E e
，2l 与x 轴，y 轴分别交于C，D 两
10
点，1l 与x 轴，y 轴分别交于A，B 两点，且
1
2
OB
OC
．
(1)求直线1l 的解析式；
(2)如图2，在射线EC 上有一动点F，连接AF 、BF ，M 为x 轴上一动点，连接FM 、BM ，当
9
8
ABF
AEC
S
S
△
△
时，求BM
FM
的最大值；
(3)如图3，在（2）的条件下，将
CFM
△
沿直线2l 平移得到
C F M
△
，若在平移过程中BC F
是以BF为
一腰的等腰三角形，请直接写出点C的坐标．
21．如图1，在平面直角坐标系中，直线
8
y
x
的图象分别交x，y 轴于A，B 两点，直线
3
2
y
x
m
的
图象分别交x，y 轴于C，D 两点，且两条直线相交于点E，已知点C 的坐标为
2,0
．
.
(1)求E 点坐标；
(2)在直线AB 上是否存在点F，使得
FCE
△
是以CE 为腰的等腰三角形，若存在，请求出F 点坐标．若不存
在，请说明理由；
(3)如图2，若点G 为线段CE 上一点，连接AG ，BG ，当
1
3
ABG
E
AC
S
S
△
△
时，经过点G 的一条直线与x 轴
负半轴交于点P，与y 轴正半轴交于点Q，判断
1
1
9
2
PO
QO
的值是否为定值，若是定值，求出此值；若不
是定值，请说明理由．
22．定义：如图1，已知点M 是
POQ
内任意一点，过点M 任意作一条直线AB ，分别交射线OP ，OQ 于
11
点A ，B ．若点M 是线段AB 的中点，则称线段AB 为
AOB
关于点M 的中点线段．
(1)如图2，在平面直角坐标系中，点E 在第一象限内，过点E 的直线CD 分别交x 轴正半轴和y 轴的正半轴
于点C 和D ，线段CD 是
COD
关于点E 的中点线段．
①若点E 的坐标为(2,1) ，求直线CD 的解析式；
②若线段
4
CD
，点F 在直线
3
6
y
x
上，请直接写出线段EF 的最小值及线段EF 取得最小值时点F 的
坐标；
(2)如图3，射线OT 的解析式为
2 (
0)
y
x x
，点
(3,1)
G
，过点G 任意作一条直线HK ，交射线OT 于点H ，交
x 轴于点K ，求
HOK
△
的面积的最小值．
23．如图，在平面直角坐标系中，Rt AOC
的直角边OA在y 轴正半轴上，且顶点O与坐标原点重合，点C
的坐标为
2 2
，，直线
2
y
x
b
过点C ，与x 轴交于点B ，与y 轴交于点D ．
12
(1) B 点的坐标为___________ ，D 点的坐标为___________ ；
(2)动点P 从点O出发，以每秒1个单位长度的速度，沿O
A
C
的路线向点C 运动，同时动点Q 从点B 出
发，以每秒
1
2 个单位长度速度沿BO的方向向点O运动，过点Q 作QH
x
轴，交线段BC 或线段CO于点H．
当点P 到达点C 时，点P 和点Q 都停止运动，在运动过程中，设动点P 运动的时间为t 秒；
①设
CPH
△
的面积为S，求S关于t 的函数关系式___________ ；
②是否存在以Q 、P 、H 为顶点的三角形的面积与S相等？若存在，直接写出t 的值___________ ．
24．如图，在平面直角坐标系中，点F 的坐标为
010
，．点E 的坐标为
20 0
，，直线1l 经过点F 和点E，直
线1l 与直线2
3
:
4
l
y
x
相交于点P．
(1)求直线1l 的表达式和点P 的坐标；
(2)矩形ABCD的边AB 在y 轴的正半轴上，点A 与点F 重合，点B 在线段OF 上，边AD 平行于x 轴，且
6
9
AB
AD
，
，将矩形ABCD沿射线FE 的方向平移，边AD 始终与x 轴平行，已知矩形ABCD以每秒5
个单位的速度匀速移动（点A 移动到点E 时止移动），设移动时间为t 秒
0
t
．
①当
1
t 时，A 点坐标是_________，移动t 秒时，D 点坐标为_________，
②矩形ABCD在移动过程中，B、C、D 三点中有且只有一个顶点落在直线1l 或2l 上时，矩形会发出红光，请
直接写出矩形发出红光时t 的值；
③若矩形ABCD在移动的过程中，直线CD 交直线1l 于点N，交直线2l 于点M．当PMN
的面积等于18 时，
13
请直接写出此时t 的值．
题型05 一元二次方程根的判别式的应用
25．若关于x 的一元二次方程
2
2
1
13
0
ax
a
x
a
至少有一个整数根，且a 为正整数，则满足条件的a
共有
个．
26．如果关于x 的一元二次方程
2
4
2
0
x
x
m
有实数根，且关于y 的分式方程
1
2
5
3
3
my
y
y
有正整数
解，那么符合条件的所有整数m 的和为
．
27．对于实数a、b，定义运算“*”；
2
*
2
a
ab a
b
a b
b
ab a
b
，关于x 的方程
2
*
1
3
x
x
t
恰好有三个不相
等的实数根，则t 的取值范围是
．
28．如果一个三位自然数abc的各数位上的数字均不为0 ，且使得关于x 的方程
2
0
ax
bx
c
有两个相等的
实数根，那么称这个三位数为该方程的“等根数”．例如：三位数441是方程
2
4
4
1
0
x
x
的“等根数”．则
关于x 的方程
2
0
ax
bx
c
的最小“等根数”是
；如果m 是关于x 的方程
2
0
ax
bx
c
的“等根数”，
记
2
2
2
F m
a
b
c
，
G m
a
c
，若
F m
G m 是整数，则满足条件的m 最大值是
．
29．已知关于x 的方程
2
2
1
2
1
1
0
m
x
m
x
．
(1)求证：不论m 为何值，方程必有实数根；
(2)当m 为整数时，方程是否有有理根？若有求出m 的值，若没有请说明理由．
30．我们不妨约定：在平面直角坐标系中，将点
2,1
P
称为“幸福点”，经过点
2,1
P
的函数，称为“幸福函
数”．
(1)若点
3
4 ,2
r
s
r
s
是“幸福点”，关于x 的函数y
x
t
是“幸福函数”，则r __________，
s __________，t __________．
(2)若关于x 的函数y
kx
b
和
m
y
x
都是“幸福函数”，且两个函数图象有且只有一个交点，求k 的值．
(3)若直线
4
4
0
3
y
x
b b
与x 轴、y 轴分别交于点A，B，M 是y 轴上一点，若将ABM
沿直线AM 折
叠，点B 恰好落在x 轴上的点C 处．试问经过C，M 两点的一次函数是否可以为“幸福函数”？若可以，请
写出所有函数解析式；若不可以，请说明理由．
题型06 一元二次方程根的实际应用---增长率问题
31．五峰县某茶叶公司预计用3 年时间实现三种茶叶产品售出a 万元的目标．2019 年，出售产品A 和B 的
14
销售额是C 产品的2 倍、4 倍．随后两年，A 产品每年都增加b 万元，预计A 产品三年总销售额为54万元
时达成目标：B 产品销售额从2020 年开始逐年按同一百分数递减，依此规律，在2021年只需售出5 万元，
即可顺利达成；C 产品2020 年销售额在前一年基础上的增长率是A 产品2020 年销售额增长率的1.5 倍，2021
年的销售额比该产品前两年的销售总和还多4 万元，若这样，C 产品也可以如期售完．经测算，这三年的A
产品、C 产品的销售总额之比达到3: 2 ．
(1)这三年用于C 产品的销售额达到多少万元？
(2)求B 产品逐年递减的百分数．
32．HW 公司2018 年使用自主研发生产的“QL”系列甲、乙、丙三类芯片共2800 万块，生产了2800 万部手
机，其中乙类芯片的产量是甲类芯片的2 倍，丙类芯片的产量比甲、乙两类芯片产量的和还多400 万块．这
些“QL”芯片解决了该公司2018 年生产的全部手机所需芯片的10%，HW 公司计划2020 年生产的手机全部
使用自主研发的“QL”系列芯片．从2019 年起逐年扩大“QL”芯片的产量，2019 年、2020 年这两年，甲类芯
片每年的产量都比前一年增长一个相同的百分数
%
m
，乙类芯片的产量平均每年增长的百分数，为
（
%
100%
m
），2018 年到2020 年，丙类芯片三年的总产量达到1.44 亿块，这三年丙类芯片的产量每年按
相同的效量递增，这样，2020 年的HW 公司的手机产量比2018 年全年的手机产量多10%（手机与芯片一一
匹配），求丙类芯片2020 年的产量及m 的值．
33．某房地产商决定将一片小型公寓作为精装房出售，每套公寓面积均为32 平方米，现计划为100 套公寓
地面铺地砖，根据用途的不同选用了A、B 两种地砖，其中50 套公寓全用A 种地砖铺满，另外50 套公寓全
用B 种地砖铺满，A 种地砖是每块面积为0.64 平方米的正方形，B 种地砖是每块而积为0.16 平方米的正方
形，且A 种地砖每块的进价比B 种地砖每块的进价高40 元，购进A、B 两种地砖共花费350000 元．（注：
每套公寓地面看成正方形，均铺满地砖且地砖无剩余）
（1）求A、B 两种地砖每块的进价分别是多少元？
（2）实际施工时，房地产商增加了精装的公寓套数，结果实际铺满A 种地砖的公寓套数增加了%
a
，铺满
B 种地砖的公寓套数增加了3 %
a
，由于地砖的购进量增加．B 种地砖每块进价在（1）问的基础上降低了%
a
，
但A 种地砖每块进价保持不变，最后购进A、B 两种地砖的总花费比原计划增加了5 %
7 a
，求a 的值．
34．沙坪坝区各街道居民积极响应“创文明城区”活动，据了解，某街道居民人口共有7.5 万人，街道划分为
A，B 两个社区，B 社区居民人口数量不超过A 社区居民人口数量的2 倍．
（1）求A 社区居民人口至少有多少万人？
（2）街道工作人员调查A，B 两个社区居民对“社会主义核心价值观”知晓情况发现：A 社区有1.2 万人知晓，
B 社区有1.5 万人知晓，为了提高知晓率，街道工作人员用了两个月的时间加强宣传，A 社区的知晓人数平
15
均月增长率为m%，B 社区的知晓人数第一个月增长了4
5 m%，第二月在第一个月的基础上又增长了2m%，
两个月后，街道居民的知晓率达到92%，求m 的值．
35．创意产品蕴含着很多商机，我市某文化创意公司，销售A，B 两种创意产品，其中A 产品的定价是每
件20 元，B 产品的定价是每件30 元．
（1）该公司按定价售出A，B 两种产品共600 件，若销售总额不低于15000 元，则至少销售B 产品多少件？
（2）2017 年8 月，该公司按定价售出A 产品300 件，B 产品400 件．2017 年9 月，公司根据市场情况，
适当调整A，B 产品的售价，A 产品的售价比定价增加了a%，销量与8 月保持不变；B 产品的售价比定价
减少了a%，销量比8 月份增加了a%，结果9 月份A，B 产品的销售总额比8 月份增加了1
6 a%，求a 的值．
题型07 一元二次方程根的实际应用---营销问题
36．一玩偶店销售“抱竹熊猫”、“打坐熊猫”两款玩偶，其中“抱竹熊猫”成本每件100元，“打坐熊猫”成本每
件120元，“打坐熊猫”的售价是“抱竹熊猫”的4
3 倍，大运会开幕第一天“抱竹熊猫”比“打坐熊猫”多卖3件，且
两款玩偶当天销售额都刚好到达1800元．为更好地宣传国宝，第二天店家决定降价出售，但规定降价后的
售价不低于成本价的5
4 ，“抱竹熊猫”的售价降低了1
%
4 m
，当天“抱竹熊猫”的销量在第一天基础上增加了
5
%
4 m
；“打坐熊猫”的售价打8.5 折，结果“打坐熊猫”的销量在第一天基础上增加了5
%
6 m
，最终第二天两款
熊猫玩偶的总利润为1230元，求m 的值为（
）
A．40
B．60
C．80
D．100
37．正月十五是中华民族传统的节日——元宵节，家家挂彩灯、户户吃汤圆已成为世代相沿的习俗．位于
北关古城内的盼盼手工汤圆店，计划在元宵节前用21 天的时间生产袋装手工汤圆，已知每袋汤圆需要0.3
斤汤圆馅和0.5 斤汤圆粉，而汤圆店每天能生产450 斤汤圆馅或300 斤汤圆粉（每天只能生产其中一种）．
(1)若这21 天生产的汤圆馅和汤圆粉恰好配套，且全部及时加工成汤圆，则总共生产了多少袋手工汤圆？
(2)为保证手工汤圆的最佳风味，汤圆店计划把达21 天生产的汤圆在10 天内销售完毕．据统计，每袋手工
汤圆的成本为13 元，售价为25 元时每天可售出225 袋，售价每降低2 元，每天可多售出75 袋．汤圆店按
售价25 元销售2 天后，余下8 天进行降价促销，第10 天结束后将还未售出的手工汤圆以15 元/袋的价格全
部卖给古城小吃店，若最终获利40500 元，则促销时每袋应降价多少元？
38．为奠基孩子深厚的人文底蕴，某中学初一年级各班家委会准备去书店购买《乐山乐水》、《艾青诗选》
和《朝花夕拾》这三本书．书店老板从图书批发市场分别以10 元/本、20 元/本、12 元/本的价格购进《乐山
乐水》、《艾青诗选》和《朝花夕拾》这三本书共4500 本，已知《乐山乐水》的数量是《朝花夕拾》的数量
的3 倍，共花费52000 元．
16
(1)求书店老板分别购进《乐山乐水》、《艾青诗选》和《朝花夕拾》这三本书各多少本？
(2)该书店老板一开始分别以25 元/本、60 元/本、30 元/本的价格售卖《乐山乐水》、《艾青诗选》和《朝花
夕拾》这三本书，每天能售卖《乐山乐水》120 本，《艾青诗选》50 本，《朝花夕拾》20 本，后面经调查发
现，不少学生早已购买《朝花夕拾》，于是他准备在原来售价的基础上，《乐山乐水》的售价不变，《艾青诗
选》的每本售价提升原来的15
a ，《朝花夕拾》每本降价5
a 元，调整售价后，《乐山乐水》每天多售卖3
a 本，
《艾青诗选》每天多售卖4
a 本，《朝花夕拾》的售卖量每天保持不变，这样一天能获利6836 元，求a 的值．
39．随着武汉解封，湖北各地的复工复产正有序进行，经济复苏也按下了“重启键”．为助力湖北复苏，4 月
8 日抖音发起了“湖北重启，抖来助力--抖音援鄂复苏计划”，通过直播或短视频助力推广湖北特色产品.已知
当天的直播活动中热干面和周黑鸭共销售18万份，其中周黑鸭的销量是热干面的3.5倍．
(1)求当天的直播活动中销售了多少万份周黑鸭？
(2)为刺激消费，直播中推出了优惠活动.疫情前，疫情期间售价均为100元一份的周黑鸭（一份里面有一盒
锁骨，两盒鸭脖，一盒鸭掌），以6折力度售卖．疫情前，疫情期间售价均为60 元一份的热干面（一份里面
有6包热干面），以5折力度售卖．已知疫情前周黑鸭的日销售量比直播当天的销量少2 %
a
，疫情期间的日
销售额比疫情前的日销售额减少了680 万元；疫情前热干面的日销量比直播当天热干面的销量少10 %
3 a
，疫
情期间的日销售量比疫情前的日销售量减少了8 %
a
；疫情期间周黑鸭和热干面的总日销售额比直播当天的
总销售额少5 %
a
，求a 的值．
40．某“5A”景区决定在“5.1”劳动节期间推出优惠套餐，预售“亲子两人游”套票和“家庭三人行”套票，预售中
的“家庭三人行”套票的价格是“亲子两人游”套票的2 倍．
(1)若“亲子两人游”套票的预售额为21000 元，“家庭三人行”套票的预售额为10500 元，且“亲子两人游”的销
售量比“家庭三人行”的套票多450 套，求“亲子两人游”套票的价格.
(2)套票在出售当天计划推出“亲子两人游”套票1600 张，“家庭三人行”套票400 张，由于预售的火爆，景区
决定将“亲子两人行”套票的价格（1）中价格的基础上增加3
4 a元，而“家庭三人行”套票在（1）中“家庭三人
行”套票票价上增加了a 元，结果“亲子两人游”套票的销量比计划少32a 套，“家庭三人行”套票的销售量与
计划保持一致，最终实际销售额和计划销售额相同，求a 的值．
41．重庆1949 大剧院自建成开演以来，吸引不少外地游客前来观看，所有演出门票中，普通席和嘉宾席销
售最快，已知一张普通席的票价比一张嘉宾席的票价少40 元，一张普通席的票价与一张嘉宾席票价之和为
600 元．
(1)求普通席和嘉宾席两种门票单张票价分别为多少元？
17
(2)因为疫情原因，11 月份以来，外地游客人数减少，普通席票平均每天售出100 张，嘉宾席票平均每天售
出200 张．12 月份后，疫情得到有效控制，观看人数明显增加，为了吸引游客，剧院决定降低普通席的票
价，这样与11 月份相比，普通席票平均每天售价降低金额数是售出普通席普通票增加张数的2 倍，嘉宾席
的票价与11 月份保持不变，但平均每天售出嘉宾席票增加张数是12 月份售出普通席增加张数的
1
2 ，这样
12 月份两种票平均一共销售总额为99200 元，求12 月份普通席的票价是多少元？
42．新型冠状病毒爆发时期，医疗防护物资严重匮乏，民众急需护目镜和N95 口罩．重庆某药店3 月初购
进了一批护目镜和N95 口罩，购进的N95 口罩数量是护目镜数量的3 倍．已知每个护目镜的售价比每个N95
口罩的售价多40 元，3 月底护目镜和N95 口罩全部销售完，据统计，护目镜的销售额为10000 元，N95 口
罩的销售额为6000 元．
（1）该药店3 月初购进了多少个护目镜？
（2）4 月份疫情得以缓和，该药店又购进以上两种医疗物资．该药店根据上月民众的需求和销售情况适当
调整了进货计划，购进的护目镜购进的数量与3 月份相同，但在运输过程中损耗了2%，导致受损的护目镜
无法销售，而N95 口罩数量比3 月份增加了5 %
2 a
．由于政府对医疗物资价格的调整，护目镜的售价比3 月
份降低了a%，N95 口罩的售价比3 月份降低了2 %
3 a
，4 月底售完这两种医疗物资后该药店的销售额达到了
15800 元，求a 的值．
题型08 一元二次方程根的实际应用---动态几何问题
43．如图，在ABC
中，
90
B
Ð
=
°，
12cm
AB
，
24cm
BC
，动点P 从点A 出发沿边AB 向点B 以2cm/s的
速度移动，同时动点Q 从点B 出发沿边BC 向点C 以4cm/s 的速度移动，当P 运动到B 点时P，Q 两点同时
停止运动，设运动时间为st ．
(1) BP _________cm ；BQ _________cm ；（用含t 的代数式表示）
(2)若D 是AC 的中点，连接PD 、QD 、PQ，当t 为何值时PDQ
的面积为
2
40cm ？
44．如图，Rt
ABC
△
中，
90
B
Ð
=
°，
6cm
AB
，
8cm
BC
．
18
(1)如图1，点P 从A 点开始沿AB 边向点B 以1cm/s的速度移动（到达点B 即停止运动），点Q 从B 点开始沿BC
边向点C 以2cm/s的速度移动（到达点C 即停止运动）．如果点P ，Q 分别从A ，B 两点同时出发．
①经过多少秒钟，PBQ
的面积等于
2
8 cm ；
②线段PQ能否将ABC
分成面积为1:3的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由；
(2)如图2，若P 点沿射线AB 方向从A 点出发以1cm/s 的速度移动，点Q 沿射线CB 方向从C 点出发以2cm/s的
速度移动，P ，Q 同时出发，直接写出几秒后，PBQ
的面积为
2
1cm ．
45．如图1，矩形ABCD纸片，
4cm
AB
，
3cm
BC
，动点P ，Q 分别从点A 同时出发，均以1cm / s 的速
度，点P 沿AB
BC
方向，到终点C 停止运动：点Q 沿AD
DC
方向，到终点C 停止运动，连接PQ，将矩
形ABCD在PQ左下方的部分纸片沿PQ折叠得到如图2 ，设点P 运动的时间为(s)
x
，重叠部分图形的面积为
2
cm
y
．
(1)当点A 落到CD 边上时，求x 的值；
(2)求y 与x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；
(3)当
3
x
时，若ACD
以CD 为腰的等腰三角形，直接写出x 的值．
46．如图，在ABC
中，
90 ,
6 3cm,
6cm
B
AB
BC
，点P 从点A 出发，以每秒3cm 的速度沿AB 匀
速运动，同时点Q 从点B 出发以每秒3cm 的速度沿B
C
A
匀速运动，当有一点停止运动时，另一点也
停止运动，设运动时间为t 秒．
19
(1)当
1
t 时，直接写出P，Q 两点间的距离．
(2)是否存在t，使得
BPQ
的面积是ABC
面积的5
12 ？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由．
(3)当
BPQ
为直角三角形时，求t 的取值范围．
47．如图，AC 是正方形ABCD 的对角线，AD＝8，E 是AC 的中点，动点P 从点A 出发，沿AB 方向以每
秒1 个单位的速度向终点B 运动，同时动点Q 从点B 出发，以每秒2 个单位的速度先沿BC 方向运动到点
C，再沿CD 方向向终点D 运动，以EP、EQ 为邻边作平行四边形PEQF，设点P 运动的时间为t 秒（0＜t
＜8）
(1)当t＝1 时，试求PE 的长；
(2)当点F 恰好落在线段AB 上时，求BF 的长；
(3)在整个运动过程中，当▱PEQF 为菱形时，求t 的值．
48．已知，如图：在直角坐标系中，正方形AOBC 的边长为4，点D，E 分别是线段AO，BO 上的动点，D
点由A 点向O 点运动，速度为每秒1 个单位，E 点由B 点向O 点运动，速度为每秒2 个单位，当一个点停
上运动时，另一个点也随之停止，设运动时间为t（秒）
(1)如图1，当t 为何值时，△DOE 的面积为6；
20
(2)如图2，连接CD，与AE 交于一点，当t 为何值时，CD⊥AE；
(3)如图3，过点D 作DG∥OB，交BC 于点G，连接EG，当D，E 在运动过程中，使得点D，E，G 三点
构成等腰三角形，求出此时t 的值
49．如图，在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝6，动点P 从点A 出发，沿AC 以每秒2 个单位长度的
速度向终点C 运动，过点P 作PQ⊥AB 于点Q，将线段PQ 绕点P 逆时针旋转90°得到线段PR，连接QR．设
四边形APRQ 与Rt△ABC 的重叠部分的面积为S，点P 的运动时间为t（t＞0）秒．
(1)线段AP 的长为
（用含t 的代数式表示）．
(2)当点R 恰好落在线段BC 上时，求t 的值．
(3)求S 与t 之间的函数关系式．
(4)当△CPR 为直角三角形时，直接写出t 的值．
50．如图直角坐标系中直线AB 与x 轴正半轴、y 轴正半轴交于A ，B 两点，已知
0,4
B
，
30
BAO
，P ，
Q 分别是线段OB ，AB 上的两个动点，P 从O出发以每秒3 个单位长度的速度向终点B 运动，Q 从B 出发以
每秒8 个单位长度的速度向终点A 运动，两点同时出发，当其中一点到达终点时整个运动结束，设运动时间
为t （秒）．
(1)求线段AB 的长，及点A 的坐标；
(2)t 为何值时，
BPQ
的面积为2 3 ；
21
(3)若C 为OA 的中点，连接QC ，QP ，以QC ，QP 为邻边作平行四边形PQCD ．是否存在时间t ，使x 轴
恰好将平行四边形PQCD 的面积分成1:3两部分，若存在，求出t 的值．
