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05B 二次三项式的因式分解及应用
考情链接
1. 本次任务由5个部分构成
（1）二次三项式因式分解
（2）数字问题
（3）握手问题
（4）增长率问题
（5）面积问题
2. 考情分析
（1）二次三项式及一元二次方程的应用是一元二次方程的部分，属于方程与代数式板块，
占中考分值约10%。
（2）二次三项式的因式分解，以填空题、解答题为主，一元二次方程的应用考察解答题。
（3）对应教材：八年级上册第十七章一元二次方程第三节。
（4）二次三项式的因式分解，要借助一元二次方程的知识进行解答。其次，运用方程思想
解决实际问题，重点问题找到题目中的等量关系，其中列方程思想是本节的重点内容。
1知识加油站 1——二次三项式因式分解
考点一：二次三项式因式分解
知识笔记1
二次三项式因式分解
（1）形如_________________________的多项式称为二次三项式；
（2）如果一元二次方程ax2 +bx+c=0 (a0)的两个根是x 和x ,那么二次三项式的分解公
1 2
式为：_________________________．
例题1:
（1）一元二次方程2x2 + px+q =0的两根为-1和2，那么二次三项式2x2 + px+q可分解
为( )
A ．(x+1)(x−2) B ．(2x+1)(x−2) C ．2(x−1)(x+2) D ．2(x+1)(x−2)
（2）在实数范围内因式分解：
①x2 −x−1=____________；
②2x2 +3xy− y2 =_____________；
③4x2 +2x−3 =____________；
④−6x2 −2x+1=____________；
⑤ ( x2 −3 )( x2 +2 ) =____________.
练习1:
（1）如果一元二次方程2x2 +bx+c=0的两根为2、−1，那么二次三项式2x2 +bx+c在实数
范围内可以分解为( )
A．(2x−2)(2x+2) B．(2x−2)(2x−1) C．2(x−2)(x−1) D．2(x−2)(x+1)
2（2）在实数范围内分解因式：
①3x2 −4x−5 =____________；
②3a2 −5ab−b2 =____________；
③−x2 −4x+3 =____________；
④ p2 −1−2p =____________；
⑤2x2 −2 2x−1=____________.
考点二：二次三项式因式分解的条件
知识笔记2
二次三项式ax2 +bx+c可以因式分解的条件：
（1）_____________________；
（2）_____________________.
例题2:
（1）若二次三项式ax2 +3x+4在实数范围内可以因式分解，那么a的取值范围是__________．
（2）若二次三项式x2 −3x+a在实数范围内可以因式分解，则a的取值范围是__________．
练习2:
（1）（2022•浦东新区期中）下列关于x的二次三项式在实数范围内不能够因式分解的是(
)
A．x2 −4x+4 B．3x2 −5xy−2y2 C．y2 −2y+9 D．y2 − 2y−1
（2）如果二次三项式 px2 +2x−1在实数范围内可以因式分解，求 p 的取值范围．
3知识加油站 2——数字问题
考点三：解决一元二次方程的数字问题
知识笔记3
数字问题
对于数的应用题主要是要知道数的表示．
例如：一个三位数百位、十位、个位分别为 x、y、z，那么这个三位数则可以表示为
___________________．
例题3:
（1）有一个两位数等于它十位上与个位上数的积的3倍，已知十位上的数比个位上的数小
2．设个位数字为x，则可列方程为____________________（化为一般式）．
（2）已知一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小 4，且个位上的数字与十位上的数
字的平方和比这个两位数小4，则这个两位数是 ___________．
（3）有一个两位数，它们的十位数字与个位数字之和为8，如果把十位数字与个位数字调
换后，所得的两位数乘以原来的两位数就得1855，求原来的两位数．
练习3:
（1）两个连续偶数的平方和是 100，求这两个数．若设最小的数为x，则可列方程为
____________________．
（2）有一个两位数等于其数字之积的2倍，其十位数字比个位数字小3，求这个两位数．
（3）一两位数，数字之和是9，如将个位数字，十位数字对调与原数相乘的结果是1458，
求原来的两位数．
4知识加油站 3——握手和贺卡问题
考点四：解决一元二次方程的握手和贺卡问题
知识笔记4
握手问题
n人“握手”公式：_____________________.
贺卡问题
n人“送祝福”公式：_____________________.
例题4:
（1）同学聚会，每两人都握手一次，共握手45次，设x人参加聚会，列方程为( )
45 1
A．x(x−1)=45 B．x(x−1)= C． x(x−1)=45 D．x(x+1)=45
2 2
（2）某区要组织一次篮球赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排28场
比赛，则应邀参加比赛的球队支数是________．
练习4:
（1）在一次同学聚会上，参加的每个人都与其他人握手一次，共握手190次，设参加这次
同学聚会的有x人，可得方程( )
A．x(x−1)=190 B．x(x−1)=380 C．x(x−1)=95 D．(x−1)2 =380
（2）某市要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等
条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请的参赛队数是( )
A．8 B．7 C．6 D．5
5例题5:
（2022•闵行区梅陇中学期中）2022 年卡塔尔世界杯即将在本月开幕，共有若干支球队参
赛．第一阶段为小组赛，第二阶段为淘汰赛．在小组赛阶段，所有参赛球队将被分成8个小
组（每组参赛球队数量相同），分别进行单循环赛（两支球队之间只踢一场），根据规则，小
组前2名的球队顺利出线，进入淘汰赛．已知本届世界杯小组赛阶段共有48场比赛，请问：
共有多少支队伍参加比赛？
练习5:
在东方绿舟游玩时，新华中学的校女子篮球队的队员们拍照留念，每两位队员合拍一张合影，
这样一共拍了55张照片底片，新华中学的小女子篮球队共有多少名队员？如果每个队员都
要得到自己的照片，每一张照片的冲印费是0.80元，那么一共要花多少元去冲印这些照片？
例题6:
过元旦了，全班同学每人互发一条祝福短信，共发了380条，设全班有x名同学，列方程为
（ ）
1
A． x(x−1)=380 B．x（x﹣1）=380
2
C．2x（x﹣1）=380 D．x（x+1）=380
练习6:
（1）九年级学生毕业前夕，某班每名同学都为其他同学写一段毕业感言，全班共写了 870
段毕业感言，如果该班有x名同学，根据题意列出方程为（ ）
A．x（x﹣1）＝870 B．x（x+1）＝870
x(x−1)
C．2x（x+1）＝870 D． ＝870
2
（2）．一个小组有若干人，新年互送贺卡一张，若全组共送出贺卡 56 张，设这个小组有x
人．则（ ）
1 1
A． x(x−1)=56 B． x(x+1)=56 C．x(x−1)=56 D．x(x+1)=56
2 2
6知识加油站 4——增长率问题
考点五：解决一元二次方程的增长率和降低率问题
知识笔记5
增长率问题
基本公式：_____________________，
a表示增长前的数，x表示增长率，b 表示增长后的数，要列出这类方程关键在于找出a、
b ．如果是降低率，则为______________.
例题7:
（1）（2022•青浦区白鹤中学期末）某商场七月份的销售额为1000万元，八月份的销售额下
降了20%，商场从九月份起改进经营措施，销售额稳步增长，十月份的销售额达到1352万
元，如果每月的销售额增长率相同，设这个增长率为 x，那么可列方程 _____________．
（2）某商场今年8 月的营业额为 400 万元，9 月份营业额比8 月份增加10%，11月份的营
业额达到633.6万元，求9月份到11月份营业额的月平均增长率．
练习7:
为了让我们的小朋友们有更好的学习环境，我校2020年投资110万元改造硬件设施，计划
以后每年以相同的增长率进行投资，到2022年投资额将达到185.9万元．
（1）求我校改造硬件设施投资额的年平均增长率；
（2）从2020年到2022年，这三年我校将总共投资多少万元？
7例题8:
（2022•青浦区东方中学期末）有一件商品，由原售价连续两次降价，每次降价的百分率相
同．已知原售价是875元，降价两次后的售价是560元，若每次下降的百分率是 x，由题意
列出关于 x的方程：_________________________.
练习8:
（1）（2023•崇明期末）某型号的手机经过连续两次降价，每部售价由原来的1152元降到了
800元．设平均每次降价的百分率为x，列出关于x的方程_________________．
（2）（2022•青浦期中）最近国家出台了一系列的政策，全国各地房市遇冷，以上海某地一
处小区二手房为例，原价600万元，经过连续两次降价，现价为486万元，则平均降价率为
____________．
8知识加油站 5——面积问题
考点六：解决一元二次方程的面积问题
知识笔记6
几何面积问题
x
对于面积问题首先判断要求面积的图形的形状，再根据公式将要求出的量用 表示出来．例
如要求的某个长方形面积，就必须先把___________表示出来．
例题9:
（2022•黄浦区期中）第二十二届中国上海国际艺术节首次移师上海市黄浦区南京东路第一
百货商业中心．主办方工作人员准备利用一边靠墙（墙长25米）的空旷场地为提前到场的
观众设立面积为320平方米的封闭型长方形等候区．如图，为了方便观众进出，在两边空出
两个宽各为1米的出入口，共用去隔栏绳50米．请问，工作人员围成的这个长方形的相邻
两边长分别是多少米？
练习9:
（2022•奉贤区期中）如图，用 33米长的竹篱笆一边靠墙（墙长 18 米）围一个长方形养鸡
场，墙的对面有一个2米宽的门，围成的养鸡场的面积为150平方米，设垂直于墙的长方形
的宽为 x米，则可列出方程为_______________________．
9例题10:
（1）某小区为了美化环境，准备在一块长50米，宽42米的长方形场地上修筑两条宽度相
等且互相垂直的道路，余下的部分作为草坪（图中阴影部分）．若草坪的面积是 1920 平方
米，求道路的宽度．
（2）如图，某小区有一块长为45米，宽为36米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的
矩形草地，它们的面积之和为1080平方米，两块草地之间及周围都是宽度相同的人行通道，
求人行通道的宽度为多少米？
练习10:
如图，在宽为20m，长为30m的矩形地面上修建两条同样宽且互相垂直的道路，余下部分作
为耕地为551m2．则道路的宽为？
10例题11:
（2022•静安期中）在 ABC中，ACB=90，AC =16cm，BC =12cm，动点M、N分别
从点A和点C同时开始移动，点M的速度为2cm/秒，点N的速度为3cm/秒，点M移动
到点C后停止，点N移动到点B后停止．问经过几秒钟，△MCN的面积为36cm2？
练习11:
（2023•上海专题练习）等腰Rt△ABC中，AB=BC=8cm，动点P从点A出发，沿AB向
点B移动，通过点P引平行于BC、AC的直线与AC、BC分别交于点R、Q，问：AP等
于多少厘米时，平行四边形PQCR的面积等于16cm2．
11全真战场
关卡一
练习1:
（1）在实数范围内分解因式：−6x2
−2x+1
.
（2）在实数范围内因式分解：−2a2b2 +ab+2．
练习2:
三个连续奇数的平方和是 251，求这三个数，若设最小的数为 x ，则可列方程为
____________________．
练习3:
在一次同学聚会时，每个人都与别人握一次手，有人做了一次统计，共握了78次手，设共
有 x人参加这次聚会，那么可列方程为______．
练习4:
为改善村容村貌，建设美丽乡村，某村计划将一块长18米、宽10米的矩形场地建成绿化广
场．如图，广场内部修建同样宽的三条小路，其中一条路与广场的长边平行，另两条路与广
场的短边平行，其余区域进行绿化，使绿化区域的面积为广场总面积的80%，小路的宽应
为多少米？
12练习5:
如图， ABC中，C =90，AC =8cm，BC =4cm，一动点P从点C出发沿着CB方向以
1cm/s的速度运动，另一动点Q从A出发沿着AC边以2cm/s的速度运动，P，Q两点同时
出发，运动时间为ts．
1
(1)若△PCQ的面积是 ABC面积的 ，求t的值？
4
(2)△PCQ的面积能否为 ABC面积的一半？若能，求出t的值；若不能，说明理由．
关卡二
练习6:
一个容器盛满纯酒精63升，第一次倒出若干升后，用水加满，第二次又倒出同样多的升数，
4
再用水加满，这时容器内剩下的纯酒精是原来的 ，问第一次倒出酒精多少升？
9
13练习7:
世界上最长的跨海大桥−−杭州湾跨海大桥通车后，苏南A地到宁波港的路程比原来缩短了
120千米．已知运输车速度不变时，行驶时间将从原来的3时20分缩短到2时．
（1）求A地经杭州湾跨海大桥到宁波港的路程．
（2）若货物运输费用包括运输成本和时间成本，已知某车货物从A地到宁波港的运输成本
是每千米1.8元，时间成本是每时 28元，那么该车货物从A地经杭州湾跨海大桥到宁波港
的运输费用是多少元？
（3）A地准备开辟宁波方向的外运路线，即货物从A地经杭州湾跨海大桥到宁波港，再从
宁波港运到B地．若有一批货物（不超过10车）从A地按外运路线运到B地的运费需8320
元，其中从A地经杭州湾跨海大桥到宁波港的每车运输费用与（2）中相同，从宁波港到B
地的海上运费对一批不超过10车的货物计费方式是：一车800元，当货物每增加1车时，
每车的海上运费就减少20元，问这批货物有几车？
14
